1. Mtodos numricos para ingenieros Quinta edicin

2. Steven C. ChapraRaymond P. Canale Decano de Computacin e Ingeniera Profesor emrito de Ingeniera Civil Tufts University University of Michigan REVISIN TCNICA:M.C. Juan Carlos del Valle SoteloCatedrtico del Departamento de Fsica y Matemticas ITESM, campus Estado de MxicoMtodos numricos para ingenierosQuinta edicin MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO AUCKLAND LONDRES MILNMONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO 3. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosDirector editorial: Ricardo A. del Bosque AlaynEditor sponsor: Pablo E. Roig VzquezEditora de desarrollo: Lorena Campa RojasSupervisor de produccin: Zeferino Garca GarcaTraduccin:Javier Enrquez Brito Ma. del Carmen Roa HanoMTODOS NUMRICOS PARA INGENIEROSQuinta edicinProhibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.DERECHOS RESERVADOS 2007 respecto a la quinta edicin en espaol porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Edicio Punta Santa Fe Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736Crditos de las fotografas de portada: Jack Novack / SuperStock.MATLABTM es una marca registrada de The MathWorks, Inc.ISBN-13: 978-970-10-6114-5ISBN-10: 970-10-6114-4(ISBN: 970-10-3965-3 edicin anterior)Traducido de la quinta edicin en ingls de la obra NUMERICAL METHODS FOR ENGINEERS, FIFTH EDITION.Copyright 2006 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.ISBN: 0-07-291873-X1234567890 09865432107Impreso en MxicoPrinted in Mexico 4. AMargaret y Gabriel ChapraHelen y Chester Canale 5. CONTENIDO PREFACIOxvii ACERCA DE LOS AUTORESxxiiiPARTE UNOMODELOS, PT1.1 Motivacin 3COMPUTADORAS PT1.2 Antecedentes matemticos 5Y ANLISIS PT1.3 Orientacin 8DEL ERROR 3 CAPTULO 1 Modelos matemticos y solucin de problemas en ingeniera 11 1.1 Un modelo matemtico simple 11 1.2 Leyes de conservacin e ingeniera 19 Problemas 22 CAPTULO 2 Programacin y software26 2.1 Paquetes y programacin 26 2.2 Programacin estructurada 28 2.3 Programacin modular 37 2.4 Excel 38 2.5 MATLAB 42 2.6 Otros lenguajes y bibliotecas 47 Problemas 48 CAPTULO 3 Aproximaciones y errores de redondeo 53 3.1 Cifras signicativas 54 3.2 Exactitud y precisin 56 3.3 Deniciones de error 57 3.4 Errores de redondeo 60 Problemas 76 6. viii CONTENIDO CAPTULO 4 Errores de truncamiento y la serie de Taylor 78 4.1 La serie de Taylor 78 4.2 Propagacin del error 95 4.3 Error numrico total 99 4.4 Equivocaciones, errores de formulacin e incertidumbre en los datos101 Problemas 103 EPLOGO: PARTE UNO 105 PT1.4 Alternativas 105 PT1.5 Relaciones y frmulas importantes 108 PT1.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales 108PARTE DOSRACES DEPT2.1 Motivacin 113ECUACIONES 113 PT2.2 Antecedentes matemticos 115 PT2.3 Orientacin 116 CAPTULO 5 Mtodos cerrados 120 5.1 Mtodos grcos 120 5.2 El mtodo de biseccin 124 5.3 Mtodo de la falsa posicin 131 5.4 Bsquedas por incrementos y determinacin de valores iniciales 138 Problemas 139 CAPTULO 6 Mtodos abiertos142 6.1 Iteracin simple de punto jo 143 6.2 Mtodo de Newton-Raphson 148 6.3 El mtodo de la secante 154 6.4 Races mltiples 159 6.5 Sistemas de ecuaciones no lineales 162 Problemas 167 CAPTULO 7 Races de polinomios 170 7.1 Polinomios en la ciencia y en la ingeniera 170 7.2 Clculos con polinomios 173 7.3 Mtodos convencionales 177 7.4 Mtodo de Mller 177 7.5 Mtodo de Bairstow 181 7.6 Otros mtodos 187 7. CONTENIDO ix 7.7 Localizacin de races con bibliotecas y paquetes de software 187 Problemas 197 CAPTULO 8 Estudio de casos: races de ecuaciones 199 8.1 Leyes de los gases ideales y no ideales (ingeniera qumica y bioqumica) 199 8.2 Flujo en un canal abierto (ingeniera civil e ingeniera ambiental) 202 8.3 Diseo de un circuito elctrico (ingeniera elctrica) 206 8.4 Anlisis de vibraciones (ingeniera mecnica e ingeniera aeronutica) 209 Problemas 216 EPLOGO: PARTE DOS 227 PT2.4 Alternativas 227 PT2.5 Relaciones y frmulas importantes 228 PT2.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales 228PARTE TRESECUACIONES PT3.1 Motivacin 233ALGEBRAICASPT3.2 Antecedentes matemticos 236LINEALES 233 PT3.3 Orientacin 244 CAPTULO 9 Eliminacin de Gauss247 9.1 Solucin de sistemas pequeos de ecuaciones 247 9.2 Eliminacin de Gauss simple 254 9.3 Dicultades en los mtodos de eliminacin 261 9.4 Tcnicas para mejorar las soluciones 267 9.5 Sistemas complejos 275 9.6 Sistemas de ecuaciones no lineales 275 9.7 Gauss-Jordan 277 9.8 Resumen 279 Problemas 279 CAPTULO 10 Descomposicin LU e inversin de matrices 282 10.1 Descomposicin LU 282 10.2 La matriz inversa 292 10.3 Anlisis del error y condicin del sistema 297 Problemas 303 CAPTULO 11 Matrices especiales y el mtodo de Gauss-Seidel 305 11.1 Matrices especiales 305 11.2 Gauss-Seidel 310 8. xCONTENIDO 11.3 Ecuaciones algebraicas lineales con bibliotecas y paquetes de software 317 Problemas 324 CAPTULO 12 Estudio de casos: ecuaciones algebraicas lineales 327 12.1 Anlisis en estado estacionario de un sistema de reactores (ingeniera qumica/bioingeniera) 327 12.2 Anlisis de una armadura estticamente determinada (ingeniera civil/ambiental) 330 12.3 Corrientes y voltajes en circuitos con resistores (ingeniera elctrica) 334 12.4 Sistemas masa-resorte (ingeniera mecnica/aeronutica) 336 Problemas 339 EPLOGO: PARTE TRES 349 PT3.4 Alternativas 349 PT3.5 Relaciones y frmulas importantes 350 PT3.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales350PARTE CUATROOPTIMIZACIN PT4.1 Motivacin 353353PT4.2 Antecedentes matemticos 358 PT4.3 Orientacin 360 CAPTULO 13 Optimizacin unidimensional no restringida 363 13.1 Bsqueda de la seccin dorada 364 13.2 Interpolacin cuadrtica 371 13.3 Mtodo de Newton 373 Problemas 375 CAPTULO 14 Optimizacin multidimensional no restringida 377 14.1 Mtodos directos 378 14.2 Mtodos con gradiente 382 Problemas 396 CAPTULO 15 Optimizacin restringida 398 15.1 Programacin lineal 398 15.2 Optimizacin restringida no lineal 409 15.3 Optimizacin con bibliotecas y paquetes de software410 Problemas 422 9. CONTENIDO xiCAPTULO 16Aplicaciones en ingeniera: optimizacin 42416.1 Diseo de un tanque con el menor costo(ingeniera qumica/bioingeniera) 42416.2 Mnimo costo para el tratamiento de aguas residuales(ingeniera civil/ambiental) 42916.3 Mxima transferencia de potencia en un circuito (ingeniera elctrica) 43316.4 Diseo de una bicicleta de montaa (ingeniera mecnica/aeronutica) 436Problemas 440EPLOGO: PARTE CUATRO 447PT4.4 Alternativas 447PT4.5 Referencias adicionales 448PARTE CINCOAJUSTEPT5.1 Motivacin 451DE CURVAS 451 PT5.2 Antecedentes matemticos453PT5.3 Orientacin 462CAPTULO 17Regresin por mnimos cuadrados 46617.1 Regresin lineal 46617.2 Regresin polinomial 48217.3 Regresin lineal mltiple 48617.4 Mnimos cuadrados lineales en general48917.5 Regresin no lineal 495Problemas 499CAPTULO 18Interpolacin 50318.1 Interpolacin polinomial de Newton en diferencias divididas 50318.2 Polinomios de interpolacin de Lagrange 51618.3 Coecientes de un polinomio de interpolacin 52018.4 Interpolacin inversa 52118.5 Comentarios adicionales 52218.6 Interpolacin mediante trazadores (splines) 525Problemas 537CAPTULO 19Aproximacin de Fourier53919.1 Ajuste de curvas con funciones sinusoidales 54019.2 Serie de Fourier continua 54619.3 Dominios de frecuencia y de tiempo 551 10. xiiCONTENIDO 19.4 Integral y transformada de Fourier 554 19.5 Transformada discreta de Fourier (TDF) 556 19.6 Transformada rpida de Fourier 558 19.7 El espectro de potencia 565 19.8 Ajuste de curvas con bibliotecas y paquetes de software 566 Problemas 575 CAPTULO 20 Estudio de casos: ajuste de curvas 578 20.1 Regresin lineal y modelos de poblacin (ingeniera qumica/ bioingeniera) 578 20.2 Uso de trazadores para estimar la transferencia de calor (ingeniera civil/ambiental) 582 20.3 Anlisis de Fourier (ingeniera elctrica) 584 20.4 Anlisis de datos experimentales (ingeniera mecnica/aeronutica) 585 Problemas 587 EPLOGO: PARTE CINCO PT5.4 Alternativas 597 PT5.5 Relaciones y frmulas importantes 598 PT5.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales599PARTE SEISDIFERENCIACIN PT6.1 Motivacin 603E INTEGRACINPT6.2 Antecedentes matemticos612NUMRICAS 603PT6.3 Orientacin 615 CAPTULO 21 Frmulas de integracin de Newton-Cotes 619 21.1 La regla del trapecio 621 21.2 Reglas de Simpson 631 21.3 Integracin con segmentos desiguales 640 21.4 Frmulas de integracin abierta 643 21.5 Integrales mltiples 643 Problemas 645 CAPTULO 22 Integracin de ecuaciones 648 22.1 Algoritmos de Newton-Cotes para ecuaciones 648 22.2 Integracin de Romberg 649 22.3 Cuadratura de Gauss 655 22.4 Integrales impropias 663 Problemas 666 11. CONTENIDO xiii CAPTULO 23 Diferenciacin numrica 668 23.1 Frmulas de diferenciacin con alta exactitud 668 23.2 Extrapolacin de Richardson 672 23.3 Derivadas de datos irregularmente espaciados 673 23.4 Derivadas e integrales para datos con errores 674 23.5 Integracin/diferenciacin numricas con bibliotecas y paquetes de software 676 Problemas 679 CAPTULO 24 Estudio de casos: integracin y diferenciacin numricas682 24.1 Integracin para determinar la cantidad total de calor (ingeniera qumica/bioingeniera) 682 24.2 Fuerza efectiva sobre el mstil de un bote de vela de carreras (ingeniera civil/ambiental) 684 24.3 Raz media cuadrtica de la corriente mediante integracin numrica (ingeniera elctrica) 687 24.4 Integracin numrica para calcular el trabajo (ingeniera mecnica/aeronutica) 689 Problemas 693 EPLOGO: PARTE SEIS 704 PT6.4 Alternativas 704 PT6.5 Relaciones y frmulas importantes 705 PT6.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales 705PARTE SIETE PT7.1 Motivacin 709ECUACIONES PT7.2 Antecedentes matemticos 713DIFERENCIALESPT7.3 Orientacin 715ORDINARIAS 709 CAPTULO 25 Mtodos de Runge-Kutta 719 25.1 Mtodo de Euler 720 25.2 Mejoras del mtodo de Euler 732 25.3 Mtodos de Runge-Kutta 740 25.4 Sistemas de ecuaciones 751 25.5 Mtodos adaptativos de Runge-Kutta 756 Problemas 764 CAPTULO 26 Mtodos rgidos y de pasos mltiples 767 26.1 Rigidez 767 26.2 Mtodos de pasos mltiples 771 Problemas 792 12. xiv CONTENIDOCAPTULO 27Problemas de valores en la frontera y de valores propios 79427.1 Mtodos generales para problemas de valores en la frontera 79527.2 Problemas de valores propios 80127.3 EDO y valores propios con bibliotecas y paquetes de software 814Problemas 822CAPTULO 28Estudio de casos: ecuaciones diferenciales ordinarias 82528.1 Uso de las EDO para analizar la respuesta transitoria de un reactor(ingeniera qumica/bioingeniera) 82528.2 Modelos depredador-presa y caos (ingeniera civil/ambiental) 83128.3 Simulacin de la corriente transitoria en un circuito elctrico(ingeniera elctrica) 83728.4 El pndulo oscilante (ingeniera mecnica/aeronutica) 842Problemas 846EPLOGO: PARTE SIETE 854PT7.4 Alternativas 854PT7.5 Relaciones y frmulas importantes 855PT7.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales855PARTE OCHOECUACIONESPT8.1 Motivacin 859DIFERENCIALES PT8.2 Orientacin 862PARCIALES 859CAPTULO 29Diferencias nitas: ecuaciones elpticas 86629.1 La ecuacin de Laplace 86629.2 Tcnica de solucin 86829.3 Condiciones en la frontera 87529.4 El mtodo del volumen de control 88129.5 Software para resolver ecuaciones elpticas 884Problemas 885CAPTULO 30Diferencias nitas: ecuaciones parablicas 88730.1 La ecuacin de conduccin de calor 88730.2 Mtodos explcitos 88830.3 Un mtodo implcito simple 89330.4 El mtodo de Crank-Nicolson 89630.5 Ecuaciones parablicas en dos dimensiones espaciales 899Problemas 903 13. CONTENIDO xvCAPTULO 31Mtodo del elemento nito 90531.1 El enfoque general 90631.2 Aplicacin del elemento nito en una dimensin 91031.3 Problemas bidimensionales 91931.4 Resolucin de EDP con bibliotecas y paquetes de software 923Problemas 930CAPTULO 32Estudio de casos: ecuaciones diferenciales parciales 93332.1 Balance de masa unidimensional de un reactor (ingeniera qumica/bioingeniera) 93332.2 Deexiones de una placa (ingeniera civil/ambiental) 93832.3 Problemas de campo electrosttico bidimensional (ingeniera elctrica) 94032.4 Solucin por elemento nito de una serie de resortes (ingeniera mecnica/aeronutica) 943Problemas 947EPLOGO: PARTE OCHO 949PT8.3 Alternativas 949PT8.4 Relaciones y frmulas importantes 949PT8.5 Mtodos avanzados y referencias adicionales950APNDICE A: LA SERIE DE FOURIER 951APNDICE B: EMPECEMOS CON MATLAB 953BIBLIOGRAFA961NDICE 965 14. PREFACIOHan pasado veinte aos desde que se public la primera edicin de este libro. Duranteese periodo, nuestro escepticismo acerca de que los mtodos numricos y las computadorastendran un papel prominente en el currculo de la ingeniera particularmente en susetapas tempranas ha sido rebasado por mucho. Hoy da, muchas universidades ofre-cen cursos para estudiantes de nuevo ingreso, de segundo ao e intermedios, tanto deintroduccin a la computacin como de mtodos numricos. Adems, muchos de nues-tros colegas integran problemas orientados a la computacin con otros cursos en todoslos niveles del currculo. As, esta nueva edicin an se basa en la premisa fundamentalde que debe darse a los estudiantes de ingeniera una introduccin profunda y tempranaa los mtodos numricos. En consecuencia, aunque la nueva edicin expande sus alcan-ces, tratamos de mantener muchas de las caractersticas que hicieron accesible la prime-ra edicin tanto para estudiantes principiantes como avanzados. stas incluyen lassiguientes: Orientado a problemas. Los estudiantes de ingeniera aprenden mejor cuandoestn motivados por la solucin de problemas, lo cual es especialmente cierto en elcaso de las matemticas y de la computacin. Por tal razn, presentamos los mto-dos numricos desde la perspectiva de la solucin de problemas. Pedagoga orientada al estudiante. Hemos presentado varios detalles para lograrque el libro sea tan accesible para el estudiante como sea posible. stos comprendenla organizacin general, el uso de introducciones y eplogos para consolidar lostemas principales, as como un amplio uso de ejemplos desarrollados y estudios decasos de las reas principales de la ingeniera. Hemos puesto especial cuidado enque nuestras explicaciones sean claras y en que tengan una orientacin prctica. Mtodo de la caja clara. Aunque hacemos especial nfasis en la solucin deproblemas, creemos que sera autolimitante para el ingeniero abordar los algoritmosnumricos como una caja negra. Por lo tanto, hemos presentado suficiente teorapara permitir al usuario comprender los conceptos bsicos que estn detrs de losmtodos. En especial hacemos hincapi en la teora relacionada con el anlisis delerror, las limitaciones de los mtodos y las alternativas entre mtodos. Orientado al uso de computadoras personales. La primera vez que escribimoseste libro haba un gran abismo entre el mundo de las grandes computadoras deantao y el mundo interactivo de las PC. Hoy, conforme el desarrollo de las compu-tadoras personales ha aumentado, las diferencias han desaparecido. Es decir, estelibro enfatiza la visualizacin y los clculos interactivos, que son el rasgo distintivode las computadoras personales. 15. PREFACIO xvii Capacitacin al estudiante. Por supuesto que presentamos al estudiante las capa-cidades para resolver problemas con paquetes como Excel y MATLAB. Sin embar-go, tambin se les ensea a los estudiantes cmo desarrollar programas sencillos ybien estructurados para aumentar sus capacidades bsicas en dichos ambientes. Esteconocimiento le permite programar en lenguajes como Fortran 90, C y C++. Creemosque el avance de la programacin en computadora representa el currculum ocultode la ingeniera. Debido a las restricciones, muchos ingenieros no se conforman conlas herramientas limitadas y tienen que escribir sus propios cdigos. Actualmente seutilizan macros o archivos M. Este libro est diseado para implementar lo anterior. Adems de estos cinco principios, la mejora ms significativa en la quinta edicines una revisin profunda y una expansin de las series de problemas al final de cadacaptulo. La mayor parte de ellos han sido modificados de manera que permitan distin-tas soluciones numricas a los de ediciones anteriores. Adems, se ha incluido una va-riedad de problemas nuevos. Al igual que en las ediciones previas, se incluyen problemastanto matemticos como aplicados a todas las ramas de la ingeniera. En todos los casos,nuestro intento es brindarles a los estudiantes ejercicios que les permitan revisar sucomprensin e ilustrar de qu manera los mtodos numricos pueden ayudarlos para unamejor resolucin de los problemas. Como siempre, nuestro objetivo principal es proporcionarle al estudiante una intro-duccin slida a los mtodos numricos. Consideramos que aquellos que estn motivadosy que puedan disfrutar los mtodos numricos, la computacin y las matemticas, alfinal se convertirn en mejores ingenieros. Si nuestro libro fomenta un entusiasmo ge-nuino por estas materias, entonces consideraremos que nuestro esfuerzo habr tenidoxito.Agradecimientos. Queremos agradecer a nuestros amigos de McGraw-Hill. En particu-lar a Amanda Green, Suzanne Jeans y Peggy Selle, quienes brindaron una atmsferapositiva y de apoyo para la creacin de esta edicin. Como siempre, Beatrice Sussmanrealiz un trabajo magistral en la edicin y copiado del manuscrito, y Michael Ryderhizo contribuciones superiores durante la produccin del libro. Agradecemos en especiala los profesores Wally Grant, Olga Pierrakos, Amber Phillips, Justin Griffee y KevinMace (Virginia Tech), y a la profesora Theresa Good (Texas A&M), quien a lo largo delos aos ha aportado problemas para nuestro libro. Al igual que en ediciones anteriores,David Clough (University of Colorado) y Jerry Stedinger (Cornell University) compar-tieron con generosidad sus puntos de vista y sugerencias. Otras sugerencias tiles tambinprovinieron de Bill Philpot (Cornell University), Jim Guilkey (University of Utah),Dong-Il Seo (Chungnam National University, Corea), y Raymundo Cordero y KarimMuci (ITESM, Mxico). La edicin actual tambin se benefici de las revisiones y su-gerencias que hicieron los colegas siguientes:Ella M. Atkins, University of MarylandBetty Barr, University of HoustonFlorin Bobaru, University of Nebraska-LincolnKen W. Bosworth, Idaho State UniversityAnthony Cahill, Texas A&M UniversityRaymond C. Y. Chin, Indiana University-Purdue, Indianapolis 16. xviii PREFACIOJason Clark, University of California, BerkeleyJohn Collings, University of North DakotaAyodeji Demuren, Old Dominion UniversityCassiano R. E. de Oliveira, Georgia Institute of TechnologySubhadeep Gan, University of CincinnatiAaron S. Goldstein, Virginia Polytechnic Institute and State UniversityGregory L. Griffin, Louisiana State UniversityWalter Haisler, Texas A&M UniversityDon Hardcastle, Baylor UniversityScott L. Hendricks, Virginia Polytechnic Institute and State UniversityDavid J. Horntrop, New Jersey Institute of TechnologyTribikram Kundu, University of ArizonaHysuk Lee, Clemson UniversityJichun Li, University of Nevada, Las VegasJeffrey S. Marshall, University of IowaGeorge Novacky, University of PittsburghDmitry Pelinovsky, McMaster UniversitySiva Parameswaran, Texas Technical UniversityGreg P. Semeraro, Rochester Institute of TechnologyJerry Sergent, Faifield UniversityDipendra K. Sinha, San Francisco State UniversityScott A. Socolofsky, Texas A&M UniversityRobert E. Spall, Utah State UniversityJohn C. Strikwerda, University of Wisconsin-MadisonKarsten E. Thompson, Louisiana State UniversityKumar Vemaganti, University of CincinnatiPeter Wolfe, University of MarylandYale Yurttas, Texas A&M UniversityNader Zamani, University of WindsorViktoria Zoltay, Tufts University Debemos hacer nfasis en que si bien recibimos consejos tiles de las personasmencionadas, somos responsables de cualesquiera inexactitudes o errores que se encuen-tren en esta edicin. Por favor, haga contacto con Steven Chapra por correo electrnicoen caso de que detecte algn error en esta edicin. Por ltimo, queremos agradecer a nuestras familias, amigos y estudiantes por supaciencia y apoyo constantes. En particular, a Cynthia Chapra y Claire Canale, quienessiempre estn presentes brindando comprensin, puntos de vista y amor.STEVEN C. CHAPRA Medford, Massachusetts steven.chapra@tufts.edu RAYMOND P. CANALELake Leelanau, Michigan 17. PREFACIO xixAgradecemos en especial la valiosa contribucin de los siguientes asesores tcnicospara la presente edicin en espaol:Abel Valdez Ramrez, ESIQIE, Instituto Politcnico Nacional, ZacatencoAlejandra Gonzlez, ITESM, campus MonterreyFernando Vera Badillo, Universidad La Salle, campus Ciudad de MxicoJaime Salazar Tamez, ITESM, campus TolucaJess Estrada Madueo, Instituto Tecnolgico de CuliacnJess Ramn Villarreal Madrid, Instituto Tecnolgico de CuliacnJos Juan Surez Lpez, ESIME, Instituto Politcnico Nacional, CulhuacnLeonel Magaa Mendoza, Instituto Tecnolgico de MoreliaMara de los ngeles Contreras Flores, Universidad Autnoma del Estado de Mxico,campus TolucaMario Medina Valdez, Universidad Autnoma Metropolitana - IztapalapaOlga Lpez, ITESM, campus Estado de MxicoReynaldo Gmez, Universidad de Guadalajara 18. xx CONTENIDOVISITA GUIADAPT3.2Antecedentes PT3.1matemticosPT3.3 Motivacin Orientacin 9.2 PT3.6 9.1 Eliminacin dePARTE 3 Gauss simpleMtodos Sistemas avanzadosEcuacionespequeos 9.3Para ofrecer un panorama de los mtodos numricos, PT3.5algebraicaslinealesDificultades 9.4hemos organizado el texto en partes, y presentamos FrmulasimportantesCAPTULO 9 SolucionesEliminacininformacin unificadora a travs de elementos deEPLOGO de Gauss9.5 SistemascomplejosMotivacin, Antecedentes Matemticos, Orienta- PT3.4Alternativas 9.79.6 Sistemasno linealescin y Eplogo.Gauss-Jordan 10.1 12.4 DescomposicinIngenieraLUmecnicaCAPTULO 10CAPTULO 12Descomposicin 10.2 Estudio de LU e inversin La matriz12.3 casosinversa de matrices IngenieraelctricaCAPTULO 11Matrices10.3 especialesAnlisis del error12.2 Ingenieray el mtodo dey condicincivil 12.1Gauss-Seidel del sistema Ingenieraqumica 11.3 Bibliotecas 11.1 y paquetesMatricesespeciales 11.2Gauss-Seidel PROBLEMAS339 PROBLEMAS Ingeniera Qumica/Bioingeniera 12.7 Con el empleo del mismo enfoque que en la seccin 12.1, 12.1 Lleve a cabo el mismo clculo que en la seccin 12.1, perodetermine la concentracin de cloruro en cada uno de los Gran- cambie c01 a 40 y c03 a 10. Tambin cambie los flujos siguientes:des Lagos con el uso de la informacin que se muestra en la fi- Q01 = 6, Q12 = 4, Q24 = 2 y Q44 = 12.gura P12.7. 12.2 Si la entrada al reactor 3 de la seccin 12.1, disminuye 25 12.8 La parte baja del ro Colorado consiste en una serie de por ciento, utilice la matriz inversa para calcular el cambio por- cuatro almacenamientos como se ilustra en la figura P12.8. Cada captulo contiene problemas de tarea centual en la concentracin de los reactores 1 y 4.Puede escribirse los balances de masa para cada uno de ellos, lo 12.3 Debido a que el sistema que se muestra en la figura 12.3 est en estado estacionario (estable), qu se puede afirmarque da por resultado el conjunto siguiente de ecuaciones alge-braicas lineales simultneas: nuevos y revisados. El ochenta por ciento de respecto de los cuatro flujos: Q01, Q03, Q44 y Q55? 12.4 Vuelva a calcular las concentraciones para los cinco reac- 13.420 0 0 c1 750.5 los problemas son nuevos o se han modifi- 13.422 12.252 0 tores que se muestran en la figura 12.3, si los flujos cambian como sigue: 00 12.252 12.377 0 c2 300 = cado. El texto incluye problemas de desafo c3 102 0 12.377 11.797 Q01 = 5Q31 = 3 Q25 = 2Q23 = 2 0 c4 30 de todas las disciplinas de la ingeniera.Q15 = 4Q55 = 3 Q54 = 3Q34 = 7Q12 = 4Q03 = 8 Q24 = 0Q44 = 10donde el vector del lado derecho consiste en las cargas de cloru-ro hacia cada uno de los cuatro lagos y c1, c2, c3 y c4 = las con- 12.5 Resuelva el mismo sistema que se especifica en el proble- centraciones de cloruro resultantes en los lagos Powell, Mead, ma 12.4, pero haga Q12 = Q54 = 0 y Q15 = Q34 = 3. Suponga queMohave y Havasu, respectivamente. las entradas (Q01, Q03) y las salidas (Q44, Q55) son las mismas. Use la conservacin del flujo para volver a calcular los valores a) Use la matriz inversa para resolver cules son las concen- de los dems flujos.traciones en cada uno de los cuatro lagos. 12.6 En la figura P12.6 se muestran tres reactores conectadosb) En cunto debe reducirse la carga del lago Powell para que7.7 LOCALIZACIN DE RACES CON BIBLIOTECAS Y PAQUETES DE SOFTWARE 191 por tubos. Como se indica, la tasa de transferencia de produc-la concentracin de cloruro en el lago Havasu sea de 75? tos qumicos a travs de cada tubo es igual a la tasa de flujo (Q, c) Con el uso de la norma columna-suma, calcule el nmero de en unidades de metros cbicos por segundo) multiplicada por lacondicin y diga cuntos dgitos sospechosos se generaran concentracin del reactor desde el que se origina el flujo (c, en al resolver este sistema. Se debe observar que Solver puede fallar. Su xito depende de 1. la condicin del unidades de miligramos por metro cbico). Si el sistema se sistema de ecuaciones y/o 2. la calidad de los valores iniciales. El resultado satisfactoriodel ejemplo anterior no est garantizado. A pesar de esto, se puede encontrar a Solverbastante til para hacer de l una buena opcin en la obtencin rpida de races para unamplio rango de aplicaciones a la ingeniera.7.7.2 MATLABMATLAB es capaz de localizar races en ecuaciones algebraicas y trascendentes, comose muestra en la tabla 7.1. Siendo excelente para la manipulacin y localizacin de racesen los polinomios.Hay secciones del texto, as como problemas de La funcin fzero est diseada para localizar la raz de una funcin. Una represen-tacin simplificada de su sintaxis estarea, dedicadas a implantar mtodos numricosfzero (f, X0, opciones)con el software de Microsoft Excel y con el de Thedonde f es la tensin que se va a analizar, x0 es el valor inicial y opciones son los par-MathWorks, Inc. MATLAB. metros de optimizacin (stos pueden cambiarse al usar la funcin optimset). Si no seanotan las opciones se emplean los valores por omisin. Observe que se pueden emplearuno o dos valores iniciales, asumiendo que la raz est dentro del intervalo. El siguienteejemplo ilustra cmo se usa la funcin fzero.EJEMPLO 7.6 Uso de MATLAB para localizar racesPlanteamiento del problema.Utilice la funcin fzero de MATLAB para encontrarlas races de10f (x) = x 1xx 19. 11.1MATRICES ESPECIALES307EJEMPLO 11.1 Solucin tridiagonal con el algoritmo de Thomas Planteamiento del problema. Resuelva el siguiente sistema tridiagonal con el algo- ritmo de Thomas.El texto presenta numerosos ejemplos resueltos2.04 1 T1 40.8 que dan a los estudiantes ilustraciones paso a paso 1 2.04 1 T 0.8 2 = acerca de cmo implantar los mtodos numricos. 1 2.04 1 T3 0.8 1 2.04 T4 200.8 Solucin.Primero, la descomposicin se realiza as: e2 = 1/2.04 = 0.49 f2 = 2.04 (0.49)(1) = 1.550 e3 = 1/1.550 = 0.645 f3 = 2.04 (0.645)(1) = 1.395 e4 = 1/1.395 = 0.717 f4 = 2.04 (0.717)(1) = 1.323 As, la matriz se transforma en 2.04 1 CAPTULO 320.49 1.5501 0.645 1.395 1 Estudio de casos: ecuaciones 0717 1.323 diferenciales parciales El propsito de este captulo es aplicar los mtodos de la parte ocho a problemas prcticos de ingeniera. En la seccin 32.1 se utiliza una EDP parablica para calcular la distribu- cin de una sustancia qumica, dependiente del tiempo a lo largo del eje longitudinal de un reactor rectangular. Este ejemplo ilustra cmo la inestabilidad de una solucin puede deberse a la naturaleza de la EDP, ms que a las propiedades del mtodo numrico.Las secciones 32.2 y 32.3 presentan aplicaciones de las ecuaciones de Poisson yExisten 28 estudios de caso de la ingeniera Laplace a problemas de ingeniera civil y elctrica. Entre otras cuestiones, esto le per- mitir distinguir tanto las similitudes como las diferencias entre los problemas en esaspara ayudar a los estudiantes a relacionar los reas de la ingeniera. Adems, se pueden comparar con el problema de la placa calen- tada que ha servido como sistema prototipo en esta parte del libro. La seccin 32.2mtodos numricos con los campos principa- trata de la deflexin de una placa cuadrada; mientras que la seccin 32.3 se dedica al clculo de la distribucin del voltaje y el flujo de carga en una superficie bidimensio-les de la ingeniera.nal con un extremo curvado.La seccin 32.4 presenta un anlisis del elemento finito aplicado a una serie de resor- tes. Este problema de mecnica y estructuras ilustra mejor las aplicaciones del elemento finito, que al problema de temperatura usado para analizar el mtodo en el captulo 31.32.1 BALANCE DE MASA UNIDIMENSIONAL DE UN REACTOR (INGENIERA QUMICA/BIOINGENIERA) Antecedentes. Los ingenieros qumicos utilizan mucho los reactores idealizados en su trabajo de diseo. En las secciones 12.1 y 28.1 nos concentramos en reactores simples o acoplados bien mezclados, los cuales constituyen ejemplos de sistemas de parmetros localizados (recuerde la seccin PT3.1.2).FIGURA 32.1Reactor alargado con unsolo punto de entraday salida Un balanceMATERIALES DE APOYOEsta obra cuenta con interesantes complementos quefortalecen los procesos de enseanza-aprendizaje, ascomo la evaluacin de los mismos, los cuales se otor-gan a profesores que adoptan este texto para sus cursos.Para obtener ms informacin y conocer la poltica deentrega de estos materiales, contacte a su representanteMcGraw-Hill. xxi 20. ACERCA DE LOS AUTORESSteve Chapra es profesor en el Departamento de Ingeniera Civil y Ambiental de laUniversidad de Tufts. Entre sus obras publicadas se encuentran Surface Water-QualityModeling e Introduction to Computing for Engineers. El Dr. Chapra obtuvo el grado de Ingeniero por las universidades de Manhattan yde Michigan. Antes de incorporarse a la facultad de Tufts trabaj para la Agencia deProteccin Ambiental y la Administracin Nacional del Ocano y la Atmsfera, fueprofesor asociado en las universidades de Texas A&M y de Colorado. En general, susinvestigaciones estn relacionadas con la modelacin de la calidad del agua superficialy la aplicacin de computacin avanzada en la ingeniera ambiental. Tambin ha recibido gran cantidad de reconocimientos por sus destacadas contri-buciones acadmicas, incluyendo la medalla Rudolph Hering (ASCE en 1993) y elpremio al autor distinguido Meriam-Wiley (1987), por parte de la Sociedad Americanapara la Educacin en Ingeniera. Se ha reconocido como profesor emrito en las facul-tades de ingeniera de las universidades de Texas A&M (premio Tenneco, 1986) y deColorado (premio Hitchinson, 1992).Raymond P. Canale es profesor emrito de la Universidad de Michigan. En sus msde 20 aos de carrera en la universidad ha impartido numerosos cursos en la reas decomputacin, mtodos numricos e ingeniera ambiental. Tambin ha dirigido extensosprogramas de investigacin en el rea de modelacin matemtica y por computadora deecosistemas acuticos. Es autor y coautor de varios libros, ha publicado ms de 100artculos e informes cientficos. Tambin ha diseado y desarrollado software paracomputadoras personales, con la finalidad de facilitar la educacin en ingeniera y lasolucin de problemas en ingeniera. Ha recibido el premio al autor distinguido Meriam-Wiley de la Sociedad Americana para la Educacin en Ingeniera por sus libros y elsoftware desarrollado, as como otros reconocimientos por sus publicaciones tcnicas. Actualmente, el profesor Canale se dedica a resolver problemas de aplicacin, tra-bajando como consultor y perito en empresas de ingeniera, en la industria e institucio-nes gubernamentales. 21. Mtodos numricos para ingenieros 22. PARTE UNO 23. MODELOS, COMPUTADORASY ANLISIS DEL ERRORPT1.1 MOTIVACINLos mtodos numricos constituyen tcnicas mediante las cuales es posible formularproblemas matemticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operacionesaritmticas. Aunque existen muchos tipos de mtodos numricos, stos comparten unacaracterstica comn: invariablemente requieren de un buen nmero de tediosos clculosaritmticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rpi-das, el papel de los mtodos numricos en la solucin de problemas en ingeniera hayaaumentado de forma considerable en los ltimos aos.PT1.1.1 Mtodos sin computadoraAdems de proporcionar un aumento en la potencia de clculo, la disponibilidad cre-ciente de las computadoras (en especial de las personales) y su asociacin con los m-todos numricos han influido de manera muy significativa en el proceso de la solucinactual de los problemas en ingeniera. Antes de la era de la computadora los ingenierosslo contaban con tres mtodos para la solucin de problemas:1. Se encontraban las soluciones de algunos problemas usando mtodos exactos o analticos. Dichas soluciones resultaban tiles y proporcionaban una comprensin excelente del comportamiento de algunos sistemas. No obstante, las soluciones analticas slo pueden encontrarse para una clase limitada de problemas. stos in- cluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y tambin aquellos que tienen una geometra simple y de baja dimensin. En consecuencia, las soluciones analticas tienen un valor prctico limitado porque la mayora de los problemas reales son no lineales, e implican formas y procesos complejos.2. Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones grficas, las cuales tomaban la forma de grficas o nomogramas; aunque las tcnicas grficas se utilizan a menudo para resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos. Adems, las soluciones grficas (sin la ayuda de una computadora) son en extremo tediosas y difciles de implementar. Finalmente, las tcnicas grficas estn limitadas a los problemas que puedan describirse usando tres dimensiones o menos.3. Para implementar los mtodos numricos se utilizaban calculadoras y reglas de clculo. Aunque en teora dichas aproximaciones deberan ser perfectamente ade- cuadas para resolver problemas complicados, en la prctica se presentan varias di- ficultades debido a que los clculos manuales son lentos y tediosos. Adems, los resultados no son consistentes, ya que surgen equivocaciones cuando se efectan los numerosos clculos de esta manera. Antes del uso de la computadora se gastaba bastante energa en la tcnica mismade solucin, en lugar de usarla en la definicin del problema y su interpretacin (figu-ra PT1.1a). Esta situacin desafortunada se deba al tiempo y trabajo montono quese requera para obtener resultados numricos con tcnicas que no utilizaban la compu-tadora. 24. 4 MODELOS, COMPUTADORAS Y ANLISIS DEL ERROR FORMULACINFORMULACINExposicin profunda Leyes fundamentalesde la relacin delexplicadas problema con las leyes brevemente fundamentalesFIGURA PT1.1SOLUCINSOLUCINLas tres fases en la solucinde problemas en ingeniera Mtodos muy elaboradosMtodo de la y con frecuencia complicadosen a) la era anterior a computadora fcil para hacer manejablelas computadoras y b) lade usarel problemaera de las computadoras.Los tamaos de losrecuadros indican el nivelde importancia que seINTERPRETACININTERPRETACINpresenta en cada fase. Lascomputadoras facilitan la Anlisis profundoLa facilidad de calcularimplementacin de tcnicaslimitado por una permite pensar holsticamente yde solucin y, as, permitensolucin quedesarrollar la intuicin; es factibleun mayor inters sobre los consume tiempoestudiar la sensibilidad y elaspectos creativos en lacomportamiento del sistemaformulacin de problemasy la interpretacin de losa) b)resultados. En la actualidad, las computadoras y los mtodos numricos ofrecen una alternati-va para los clculos complicados. Al usar la potencia de la computadora se obtienensoluciones directamente, de esta manera se pueden aproximar los clculos sin tener querecurrir a consideraciones de simplificacin o a tcnicas muy lentas. Aunque las solu-ciones analticas an son muy valiosas, tanto para resolver problemas como para brindaruna mayor comprensin, los mtodos numricos representan opciones que aumentan, enforma considerable, la capacidad para enfrentar y resolver los problemas; como resulta-do, se dispone de ms tiempo para aprovechar las habilidades creativas personales. Enconsecuencia, es posible dar ms importancia a la formulacin de un problema y a lainterpretacin de la solucin, as como a su incorporacin al sistema total, o concienciaholstica (figura PT1.1b).PT1.1.2 Los mtodos numricos y la prctica en ingenieraDesde finales de la dcada de los cuarenta, la amplia disponibilidad de las computado-ras digitales han llevado a una verdadera explosin en el uso y desarrollo de los mtodosnumricos. Al principio, este crecimiento estaba limitado por el costo de procesamien-to de las grandes computadoras (mainframes), por lo que muchos ingenieros seguanusando simples procedimientos analticos en una buena parte de su trabajo. Vale la pena 25. PT1.2 ANTECEDENTES MATEMTICOS5mencionar que la reciente evolucin de computadoras personales de bajo costo ha per-mitido el acceso, de mucha gente, a las poderosas capacidades de cmputo. Adems,existen diversas razones por las cuales se deben estudiar los mtodos numricos:1. Los mtodos numricos son herramientas muy poderosas para la solucin de pro- blemas. Son capaces de manipular sistemas de ecuaciones grandes, manejar no li- nealidades y resolver geometras complicadas, comunes en la prctica de la ingeniera y, a menudo, imposibles de resolver en forma analtica. Por lo tanto, aumentan la habilidad de quien los estudia para resolver problemas.2. En el transcurso de su carrera, es posible que el lector tenga la oportunidad de uti- lizar paquetes disponibles comercialmente, o programas enlatados que contengan mtodos numricos. El uso eficiente de estos programas depende del buen entendi- miento de la teora bsica en que se basan tales mtodos.3. Hay muchos problemas que no pueden resolverse con programas enlatados. Si usted es conocedor de los mtodos numricos y es hbil en la programacin de computadoras, entonces tiene la capacidad de disear sus propios programas para resolver los problemas, sin tener que comprar un software costoso.4. Los mtodos numricos son un vehculo eficiente para aprender a servirse de las computadoras. Es bien sabido que una forma efectiva de aprender programacin consiste en escribir programas para computadora. Debido a que la mayora de los mtodos numricos estn diseados para usarlos en las computadoras, son ideales para tal propsito. Adems, son especialmente adecuados para ilustrar el poder y las limitaciones de las computadoras. Cuando usted desarrolle en forma satisfactoria los mtodos numricos en computadora y los aplique para resolver los problemas que de otra manera resultaran inaccesibles, usted dispondr de una excelente de- mostracin de cmo las computadoras sirven para su desarrollo profesional. Al mismo tiempo, aprender a reconocer y controlar los errores de aproximacin que son inseparables de los clculos numricos a gran escala.5. Los mtodos numricos son un medio para reforzar su comprensin de las matem- ticas, ya que una de sus funciones es convertir las matemticas superiores en ope- raciones aritmticas bsicas, de esta manera se puede profundizar en los temas que de otro modo resultaran oscuros. Esta perspectiva dar como resultado un aumento de su capacidad de comprensin y entendimiento en la materia.PT1.2 ANTECEDENTES MATEMTICOSCada parte de este libro requiere de algunos conocimientos matemticos, por lo que elmaterial introductorio de cada parte comprende una seccin que incluye los fundamen-tos matemticos. Como la parte uno, que est dedicada a aspectos bsicos sobre lasmatemticas y la computacin, en esta seccin no se revisar ningn tema matemticoespecfico. En vez de ello se presentan los temas del contenido matemtico que se cubrenen este libro. stos se resumen en la figura PT1.2 y son:1. Races de ecuaciones (figura PT1.2a). Estos problemas se relacionan con el valor de una variable o de un parmetro que satisface una ecuacin no lineal. Son espe- cialmente valiosos en proyectos de ingeniera, donde con frecuencia resulta impo- sible despejar de manera analtica los parmetros de las ecuaciones de diseo. 26. 6 MODELOS, COMPUTADORAS Y ANLISIS DEL ERROR2.Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (figura PT1.2b). En esencia, se trata deproblemas similares a los de races de ecuaciones, en el sentido de que estn rela-cionados con valores que satisfacen ecuaciones. Sin embargo, en lugar de satisfaceruna sola ecuacin, se busca un conjunto de valores que satisfaga simultneamenteun conjunto de ecuaciones algebraicas lineales, las cuales surgen en el contexto deFIGURA PT1.2 a) Parte 2: Races de ecuacionesf(x)Resumen de los mtodosResuelva f(x) = 0 para x.numricos que se consideranen este libro.Raz x b) Parte 3: Sistema de ecuacionesalgebraicas linealesx2Dadas las as y las cs, resolvera11x1 + a12x2 = c1a21x1 + a22x2 = c2Solucinpara las xs. x1 c) Parte 4: OptimizacinDetermine la x que da el ptimo de f(x). f(x)Mnimo x d) Parte 5: Ajuste de curvas f(x)f(x) Interpolacin Regresinxx e) Parte 6: IntegracinI = a f(x) dx b f(x)Encuentre el rea bajo la curva. Ix 27. PT1.2 ANTECEDENTES MATEMTICOS 7 f ) Parte 7: Ecuaciones diferenciales ordinariasDaday dy y= f (t, y) dt tPendiente =resolver para y como funcin de t.f(t i , y i )yi + 1 = yi + f (ti , yi ) tt titi + 1 t g) Parte 8: Ecuaciones diferenciales parcialesDaday 2u + 2u = f (x, y) x2 y2determine u como funcin dexyyFIGURA PT1.2x(Conclusin)una gran variedad de problemas y en todas las disciplinas de la ingeniera. En par-ticular, se originan a partir de modelos matemticos de grandes sistemas de elemen-tos interrelacionados, tal como estructuras, circuitos elctricos y redes de flujo;aunque tambin se llegan a encontrar en otras reas de los mtodos numricos comoel ajuste de curvas y las ecuaciones diferenciales. 3. Optimizacin (figura PT1.2c). En estos problemas se trata de determinar el valor olos valores de una variable independiente que corresponden al mejor o al valorptimo de una funcin. De manera que, como se observa en la figura PT1.2c, laoptimizacin considera la identificacin de mximos y mnimos. Tales problemasse presentan comnmente en el contexto del diseo en ingeniera. Tambin surgenen otros mtodos numricos. Nosotros nos ocuparemos de la optimizacin tanto parauna sola variable sin restricciones como para varias variables sin restricciones.Tambin describiremos la optimizacin restringida dando especial nfasis a la pro-gramacin lineal. 4. Ajuste de curvas (figura PT1.2d). A menudo se tendr que ajustar curvas a un con-junto de datos representados por puntos. Las tcnicas desarrolladas para tal prop-sito se dividen en dos categoras generales: regresin e interpolacin. La primera seemplea cuando hay un significativo grado de error asociado con los datos; con fre-cuencia los datos experimentales son de este tipo. Para estas situaciones, la estrate-gia es encontrar una curva que represente la tendencia general de los datos, sinnecesidad de tocar los puntos individuales. En contraste, la interpolacin se utilizacuando el objetivo es determinar valores intermedios entre datos que estn, relati-vamente, libres de error. Tal es el caso de la informacin tabulada. En dichas situa-ciones, la estrategia consiste en ajustar una curva directamente mediante los puntosobtenidos como datos y usar la curva para predecir valores intermedios. 5. Integracin (figura PT1.2e). Como hemos representado grficamente, la interpreta-cin de la integracin numrica es la determinacin del rea bajo la curva. La inte- 28. 8 MODELOS, COMPUTADORAS Y ANLISIS DEL ERROR gracin tiene diversas aplicaciones en la prctica de la ingeniera, que van desde la determinacin de los centroides de objetos con formas extraas, hasta el clculo de cantidades totales basadas en conjuntos de medidas discretas. Adems, las frmulas de integracin numrica desempean un papel importante en la solucin de ecua- ciones diferenciales.6. Ecuaciones diferenciales ordinarias (figura PT1.2f). stas tienen una enorme im- portancia en la prctica de la ingeniera, lo cual se debe a que muchas leyes fsicas estn expresadas en trminos de la razn de cambio de una cantidad, ms que en trminos de la cantidad misma. Entre los ejemplos tenemos desde los modelos de prediccin demogrfica (razn de cambio de la poblacin), hasta la aceleracin de un cuerpo que cae (razn de cambio de la velocidad). Se tratan dos tipos de pro- blemas: problemas con valor inicial y problemas con valores en la frontera. Adems veremos el clculo de valores propios.7. Ecuaciones diferenciales parciales (figura PT1.2g). Las ecuaciones diferenciales parciales sirven para caracterizar sistemas de ingeniera, en los que el comporta- miento de una cantidad fsica se expresa en trminos de su razn de cambio con respecto a dos o ms variables independientes. Entre los ejemplos tenemos la dis- tribucin de temperatura en estado estacionario sobre una placa caliente (espacio bidimensional) o la temperatura variable con el tiempo de una barra caliente (tiem- po y una dimensin espacial). Para resolver numricamente las ecuaciones diferen- ciales parciales se emplean dos mtodos bastante diferentes. En el presente texto haremos nfasis en los mtodos de las diferencias finitas que aproximan la solucin usando puntos discretos (figura PT1.2g). No obstante, tambin presentaremos una introduccin a los mtodos de elementos finitos, los cuales usan una aproximacin con piezas discretas.PT1.3 ORIENTACINResulta til esta orientacin antes de proceder a la introduccin de los mtodos num-ricos. Lo que sigue est pensado como una vista general del material contenido en laparte uno. Se incluyen, adems, algunos objetivos como ayuda para concentrar el esfuer-zo del lector en el estudio de los temas.PT1.3.1 Alcance y presentacin preliminarLa figura PT1.3 es una representacin esquemtica del material contenido en la parteuno. Este diagrama se elabor para ofrecer un panorama global de esta parte del libro.Se considera que un sentido de imagen global resulta importante para desarrollar unaverdadera comprensin de los mtodos numricos. Al leer un texto es posible que sepierda uno en los detalles tcnicos. Siempre que el lector perciba que est perdiendo laimagen global vuelva a la figura PT1.3 para orientarse nuevamente. Cada parte de estelibro contiene una figura similar. La figura PT1.3 tambin sirve como una breve revisin inicial del material que secubre en la parte uno. El captulo 1 est diseado para orientarle en los mtodos num-ricos y para motivarlo mostrndole cmo se utilizan dichas tcnicas, en el proceso deelaborar modelos matemticos aplicados a la ingeniera. El captulo 2 es una introduccin 29. PT1.3 ORIENTACIN 9 PT1.2AntecedentesmatemticosPT1.1PT1.3MotivacinOrientacin PARTE 11.1 Un modeloPT1.6Modelos,simple Mtodoscomputadorasavanzados y anlisis del error1.2Leyes dePT1.5 conservacinFrmulas CAPTULO 1 importantes ModelosmatemticosEPLOGOy solucin dePT1.4 Alternativas problemas eningeniera2.1Paquetes y programacin2.2 4.4Programacin Varios tiposestructuradade errorCAPTULO 4 Errores deCAPTULO 2 2.3 truncamiento ProgramacinProgramacin 4.3Error numricoy la serie de Taylory software modulartotal 2.4Excel 4.2 CAPTULO 3Propagacindel error Aproximaciones 2.54.1y errores 2.6 MATLABOtros lenguajesLa serie de redondeo y bibliotecas de Taylor 3.4 3.1 Errores de Cifras redondeo significativas 3.3 3.2DefinicionesExactitudde error y precisinFIGURA PT1.3Esquema de la organizacin del material en la parte uno: Modelos, computadoras y anlisis del error. y un repaso de los aspectos de computacin que estn relacionados con los mtodos numricos y presenta las habilidades de programacin que se deben adquirir para ex- plotar de manera eficiente la siguiente informacin. Los captulos 3 y 4 se ocupan del importante tema del anlisis del error, que debe entenderse bien para el uso efectivo de los mtodos numricos. Adems, se incluye un eplogo que presenta los elementos de juicio que tienen una gran importancia para el uso efectivo de los mtodos numricos. 30. 10 MODELOS, COMPUTADORAS Y ANLISIS DEL ERROR TABLA PT1.1 Objetivos especcos de estudio de la parte uno.1. Reconocer la diferencia entre soluciones analticas y numricas.2. Entender cmo las leyes de la conservacin se emplean para desarrollar modelos matemticos de sistemas fsicos.3. Denir diseo modular y top-down.4. Denir las reglas para la programacin estructurada.5. Ser capaz de elaborar programas estructurados y modulares en un lenguaje de alto nivel.6. Saber cmo se traducen los diagramas de ujo estructurado y el seudocdigo al cdigo en un lenguaje de alto nivel.7. Empezar a familiarizarse con cualquier software que usar junto con este texto.8. Reconocer la diferencia entre error de truncamiento y error de redondeo.9. Comprender los conceptos de cifras signicativas, exactitud y precisin. 10. Conocer la diferencia entre error relativo verdadero ev, error relativo aproximado ea y error aceptable es y entender cmo ea y es sirven para terminar un clculo iterativo. 11. Entender cmo se representan los nmeros en las computadoras y cmo tal representacin induce errores de redondeo. En particular, conocer la diferencia entre precisin simple y extendida. 12. Reconocer cmo la aritmtica de la computadora llega a presentar y amplicar el error de redondeo en los clculos. En particular, apreciar el problema de la cancelacin por sustraccin. 13. Saber cmo la serie de Taylor y su residuo se emplean para representar funciones continuas. 14. Conocer la relacin entre diferencias nitas divididas y derivadas. 15. Ser capaz de analizar cmo los errores se propagan a travs de las relaciones funcionales. 16. Estar familiarizado con los conceptos de estabilidad y condicin. 17. Familiarizarse con las consideraciones que se describen en el eplogo de la parte uno. PT1.3.2 Metas y objetivos Objetivos de estudio. Al terminar la parte uno el lector deber estar preparado para aventurarse en los mtodos numricos. En general, habr adquirido una comprensin fundamental de la importancia de las computadoras y del papel que desempean las aproximaciones y los errores en el uso y desarrollo de los mtodos numricos. Adems de estas metas generales, deber dominar cada uno de los objetivos de estudio especficos que se muestran en la tabla PT1.1. Objetivos de cmputo. Al terminar de estudiar la parte uno, usted deber tener su- ficientes habilidades en computacin para desarrollar su propio software para los mto- dos numricos de este texto. Tambin ser capaz de desarrollar programas de computadora bien estructurados y confiables basndose en seudocdigos, diagramas de flujo u otras formas de algoritmo. Usted deber desarrollar la capacidad de documen- tar sus programas de manera que sean utilizados en forma eficiente por otros usuarios. Por ltimo, adems de sus propios programas, usted deber usar paquetes de software junto con este libro. Paquetes como MATLAB y Excel son los ejemplos de dicho soft- ware. Usted deber estar familiarizado con ellos, ya que ser ms cmodo utilizarlos para resolver despus los problemas numricos de este texto. 31. CAPTULO 1Modelos matemticos y solucinde problemas en ingenieraEl conocimiento y la comprensin son prerrequisitos para la aplicacin eficaz de cualquierherramienta. Si no sabemos cmo funcionan las herramientas, por ejemplo, tendremosserios problemas para reparar un automvil, aunque la caja de herramientas sea de loms completa.sta es una realidad, particularmente cuando se utilizan computadoras para resolverproblemas de ingeniera. Aunque las computadoras tienen una gran utilidad, son prc-ticamente intiles si no se comprende el funcionamiento de los sistemas de ingeniera.Esta comprensin inicialmente es emprica es decir, se adquiere por observaciny experimentacin. Sin embargo, aunque esta informacin obtenida de manera emp-rica resulta esencial, slo estamos a la mitad del camino. Durante muchos aos de ob-servacin y experimentacin, los ingenieros y los cientficos han advertido que ciertosaspectos de sus estudios empricos ocurren una y otra vez. Este comportamiento generalpuede expresarse como las leyes fundamentales que engloba, en esencia, el conocimien-to acumulado de la experiencia pasada. As, muchos problemas de ingeniera se resuel-ven con el empleo de un doble enfoque: el empirismo y el anlisis terico (figura 1.1).Debe destacarse que ambos estn estrechamente relacionados. Conforme se obtie-nen nuevas mediciones, las generalizaciones llegan a modificarse o aun a descubrirseotras nuevas. De igual manera, las generalizaciones tienen una gran influencia en laexperimentacin y en las observaciones. En lo particular, las generalizaciones sirvenpara organizar principios que se utilizan para sintetizar los resultados de observacionesy experimentos en un sistema coherente y comprensible, del que se pueden obtenerconclusiones. Desde la perspectiva de la solucin de un problema de ingeniera, el sis-tema es an ms til cuando el problema se expresa por medio de un modelo matem-tico.El primer objetivo de este captulo consiste en introducir al lector a la modelacinmatemtica y su papel en la solucin de problemas en ingeniera. Se mostrar tambinla forma en que los mtodos numricos figuran en el proceso.1.1 UN MODELO MATEMTICO SIMPLEUn modelo matemtico se define, de manera general, como una formulacin o unaecuacin que expresa las caractersticas esenciales de un sistema fsico o de un procesoen trminos matemticos. En general, el modelo se representa mediante una relacinfuncional de la forma: Variable variables funciones=f, parmetros,(1.1)dependienteindependientes de fuerza 32. 12 MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERA Definicindel problemaModelo TEORA DATOS matemtico Herramientas para resolver problemas: computadoras, estadstica, mtodos numricos,grficas, etctera. Resultados numricos o grficos Relaciones grupales:programacin, optimizacin, comunicacin, interaccin pblica, etctera.InstauracinFIGURA 1.1Proceso de solucin deproblemas en ingeniera. donde la variable dependiente es una caracterstica que generalmente refleja el com- portamiento o estado de un sistema; las variables independientes son, por lo comn, dimensiones tales como tiempo y espacio, a travs de las cuales se determina el com- portamiento del sistema; los parmetros son el reflejo de las propiedades o la composi- cin del sistema; y las funciones de fuerza son influencias externas que actan sobre el sistema.La expresin matemtica de la ecuacin (1.1) va desde una simple relacin algebrai- ca hasta un enorme y complicado grupo de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, a travs de sus observaciones, Newton formul su segunda ley del movimiento, la cual establece que la razn de cambio del momentum con respecto al tiempo de un cuerpo, es igual a la fuerza resultante que acta sobre l. La expresin matemtica, o el modelo, de la segunda ley es la ya conocida ecuacin F = ma(1.2) donde F es la fuerza neta que acta sobre el objeto (N, o kg m/s2), m es la masa del objeto (kg) y a es su aceleracin (m/s2). 33. 1.1 UN MODELO MATEMTICO SIMPLE13 FULa segunda ley puede escribirse en el formato de la ecuacin (1.1), dividiendo, simplemente, ambos lados entre m para obtenerF a=m(1.3) donde a es la variable dependiente que refleja el comportamiento del sistema, F es la funcin de fuerza y m es un parmetro que representa una propiedad del sistema. Ob- serve que en este caso especfico no existe variable independiente porque an no se predice cmo vara la aceleracin con respecto al tiempo o al espacio.La ecuacin (1.3) posee varias de las caractersticas tpicas de los modelos matem- ticos del mundo fsico: 1.Describe un proceso o sistema natural en trminos matemticos. FD2.Representa una idealizacin y una simplificacin de la realidad. Es decir, ignora los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus manifestacionesFIGURA 1.2Representacin esquemtica esenciales. Por ende, la segunda ley de Newton no incluye los efectos de la relati-de las fuerzas que actanvidad, que tienen una importancia mnima cuando se aplican a objetos y fuerzas quesobre un paracaidista en interactan sobre o alrededor de la superficie de la Tierra, a velocidades y en escalasdescenso. FD es la fuerzavisibles a los seres humanos.hacia abajo debida a la3.Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llega a emplear-atraccin de la gravedad.se con la finalidad de predecir. Por ejemplo, dada la fuerza aplicada sobre un objetoFU es la fuerza hacia arriba de masa conocida, la ecuacin (1.3) se emplea para calcular la aceleracin.debida a la resistencia delaire. Debido a su forma algebraica sencilla, la solucin de la ecuacin (1.2) se obtiene con facilidad. Sin embargo, es posible que otros modelos matemticos de fenmenos fsicos sean mucho ms complejos y no se resuelvan con exactitud, o que requieran para su solucin de tcnicas matemticas ms sofisticadas que la simple lgebra. Para ilustrar un modelo ms complicado de este tipo, se utiliza la segunda ley de Newton para deter- minar la velocidad final de la cada libre de un cuerpo que se encuentra cerca de la su- perficie de la Tierra. Nuestro cuerpo en cada libre ser el de un paracaidista (figura 1.2). Un modelo para este caso se obtiene expresando la aceleracin como la razn de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dt), y sustituyendo en la ecuacin (1.3). Se tiene dv F = dt m(1.4) donde v es la velocidad (m/s) y t es el tiempo (s). As, la masa multiplicada por la razn de cambio de la velocidad es igual a la fuerza neta que acta sobre el cuerpo. Si la fuer- za neta es positiva, el cuerpo se acelerar. Si es negativa, el cuerpo se desacelerar. Si la fuerza neta es igual a cero, la velocidad del cuerpo permanecer constante.Ahora expresemos la fuerza neta en trminos de variables y parmetros mensurables. Para un cuerpo que cae a distancias cercanas a la Tierra (figura 1.2), la fuerza total est compuesta por dos fuerzas contrarias: la atraccin hacia abajo debida a la gravedad FD y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire FU. F = FD + FU (1.5) 34. 14 MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERASi a la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se usa la segunda ley de Newton para expresar la fuerza debida a la gravedad comoFD = mg (1.6) donde g es la constante gravitacional, o la aceleracin debida a la gravedad, que es aproximadamente igual a 9.8 m/s2. La resistencia del aire puede expresarse de varias maneras. Una forma sencilla consiste en suponer que es linealmente proporcional a la velocidad,1 y que acta en di- reccin hacia arriba tal comoFU = cv(1.7) donde c es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resistencia o arrastre (kg/s). As, cuanto mayor sea la velocidad de cada, mayor ser la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire. El parmetro c toma en cuenta las propiedades del objeto que cae, tales como su forma o la aspereza de su superficie, que afectan la resis- tencia del aire. En este caso, c podra ser funcin del tipo de traje o de la orientacin usada por el paracaidista durante la cada libre.La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba. Por lo tanto, combinando las ecuaciones (1.4) a (1.7), se obtiene dv mg cv= dt m (1.8) o simplificando el lado derecho de la igualdad, dvc=g v dtm(1.9) La ecuacin (1.9) es un modelo que relaciona la aceleracin de un cuerpo que cae con las fuerzas que actan sobre l. Se trata de una ecuacin diferencial porque est escrita en trminos de la razn de cambio diferencial (dv/dt) de la variable que nos interesa predecir. Sin embargo, en contraste con la solucin de la segunda ley de Newton en la ecuacin (1.3), la solucin exacta de la ecuacin (1.9) para la velocidad del paracaidista que cae no puede obtenerse mediante simples manipulaciones algebraicas. Siendo ne- cesario emplear tcnicas ms avanzadas, del clculo, para obtener una solucin exacta o analtica. Por ejemplo, si inicialmente el paracaidista est en reposo (v = 0 en t = 0), se utiliza el clculo integral para resolver la ecuacin (1.9), as gm v(t ) =(1 e ( c / m )t )c(1.10) Note que la ecuacin (1.10) es un ejemplo de la forma general de la ecuacin (1.1), don- de v(t) es la variable dependiente, t es la variable independiente, c y m son parmetros, y g es la funcin de fuerza. 1 De hecho, la relacin es realmente no lineal y podra ser representada mejor por una relacin con potencias como FU = cv 2. Al nal de este captulo, investigaremos, en un ejercicio, de qu manera inuyen estas no linealidades en el modelo. 35. 1.1UN MODELO MATEMTICO SIMPLE15EJEMPLO 1.1 Solucin analtica del problema del paracaidista que caePlanteamiento del problema. Un paracaidista con una masa de 68.1 kg salta de unglobo aerosttico fijo. Aplique la ecuacin (1.10) para calcular la velocidad antes de quese abra el paracadas. Considere que el coeficiente de resistencia es igual a 12.5 kg/s.Solucin.Al sustituir los valores de los parmetros en la ecuacin (1.10) se obtiene9.8(68.1)v(t ) = (1 e (12.5/ 68.1)t ) = 53.39(1 e 0.18355t )12.5que sirve para calcular la velocidad del paracaidista a diferentes tiempos, tabulando setienet, s v, m/s 0 0.00 216.40 427.77 635.64 841.101044.871247.49 53.39De acuerdo con el modelo, el paracaidista acelera rpidamente (figura 1.3). Se alcanzauna velocidad de 44.87 m/s (100.4 mi/h) despus de 10 s. Observe tambin que, despusde un tiempo suficientemente grande, alcanza una velocidad constante llamada velocidadterminal o velocidad lmite de 53.39 m/s (119.4 mi/h). Esta velocidad es constante por-que despus de un tiempo la fuerza de gravedad estar en equilibrio con la resistenciadel aire. Entonces, la fuerza total es cero y cesa la aceleracin. A la ecuacin (1.10) se le llama solucin analtica o exacta ya que satisface conexactitud la ecuacin diferencial original. Por desgracia, hay muchos modelos matem-ticos que no pueden resolverse con exactitud. En muchos de estos casos, la nica alter-nativa consiste en desarrollar una solucin numrica que se aproxime a la solucinexacta. Como ya se mencion, los mtodos numricos son aquellos en los que se reformulael problema matemtico para lograr resolverlo mediante operaciones aritmticas. Estopuede ilustrarse para el caso de la segunda ley de Newton, observando que a la raznde cambio de la velocidad con respecto al tiempo se puede aproximar mediante (figu-ra 1.4):dv v v(ti +1 ) v(ti ) = (1.11)dt tti +1 tidonde v y t son diferencias en la velocidad y en el tiempo, respectivamente, calculadassobre intervalos finitos, v(ti) es la velocidad en el tiempo inicial ti, y v(ti+1) es la veloci- 36. 16 MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERAVelocidad terminal 40 v, m/s 20FIGURA 1.3Solucin analtica alproblema del paracaidistaque cae segn se calcula enel ejemplo 1.1. La velocidad0aumenta con el tiempo y 0 4 812tiende asintticamente a una t, svelocidad terminal. dad algn tiempo ms tarde ti + l. Observe que dv/dt v/t es aproximado porque t es finito. Recordando los cursos de clculo tenemos quedvv = lmdt t 0 t La ecuacin (1.11) representa el proceso inverso.FIGURA 1.4Uso de una diferencia nitapara aproximar la primeraderivada de v con respectoa t.v(ti +1) Pendiente verdadera dv/dtvPendiente aproximadav(ti )v v(ti +1) v(ti )= t tti +1 i titi +1tt 37. 1.1 UN MODELO MATEMTICO SIMPLE17 A la ecuacin (1.11) se le denomina una aproximacin en diferencia finita divididade la derivada en el tiempo ti. Sustituyendo en la ecuacin (1.9), tenemosv(ti +1 ) v(ti )c = g v(ti ) ti +1 ti mEsta ecuacin se reordena para obtenerv(ti +1 ) = v(ti ) + g v(ti )(ti +1 ti ) c (1.12) mNote que el trmino entre corchetes es el lado derecho de la propia ecuacin diferen-cial [ecuacin (1.9)]. Es decir, este trmino nos da un medio para calcular la razn decambio o la pendiente de v. As, la ecuacin diferencial se ha transformado en una ecua-cin que puede utilizarse para determinar algebraicamente la velocidad en ti+1, usandola pendiente y los valores anteriores de v y t. Si se da un valor inicial para la velocidaden algn tiempo ti, es posible calcular con facilidad la velocidad en un tiempo posteriorti+1. Este nuevo valor de la velocidad en ti+1 sirve para calcular la velocidad en ti+2 y assucesivamente. Es decir, a cualquier tiempo,valor nuevo = valor anterior + pendiente tamao del pasoObserve que esta aproximacin formalmente se conoce como mtodo de Euler.EJEMPLO 1.2 Solucin numrica al problema de la cada de un paracaidistaPlanteamiento del problema. Realice el mismo clculo que en el ejemplo 1.1, perousando la ecuacin (1.12) para obtener la velocidad. Emplee un tamao de paso de 2 spara el clculo.Solucin. Al empezar con los clculos (ti = 0), la velocidad del paracaidista es iguala cero. Con esta informacin y los valores de los parmetros del ejemplo 1.1, se utilizala ecuacin (1.12) para calcular la velocidad en ti+l = 2 s:v = 0 + 9.8 12.5 (0) 2 = 19.60 m/s68.1 Para el siguiente intervalo (de t = 2 a 4 s), se repite el clculo y se obtienev = 19.60 + 9.8 (19.60) 2 = 32.00 m/s 12.568.1 Se contina con los clculos de manera similar para obtener los valores siguientes: 38. 18MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERA t, s v, m/s0 0.00219.60432.00639.85844.82 1047.97 1249.9653.39 Los resultados se muestran grficamente en la figura 1.5, junto con la solucinexacta. Como se puede ver, el mtodo numrico se aproxima bastante a la solucin exac-ta. Sin embargo, debido a que se emplean segmentos de rectas para aproximar unafuncin que es una curva continua, hay algunas diferencias entre los dos resultados. Unaforma de reducir estas diferencias consiste en usar un tamao de paso menor. Por ejem-plo, si se aplica la ecuacin (1.12) con intervalos de 1 s, se obtendra un error menor, yaque los segmentos de recta estaran un poco ms cerca de la verdadera solucin. Con losclculos manuales, el esfuerzo asociado al usar incrementos cada vez ms pequeoshara poco prcticas tales soluciones numricas. No obstante, con la ayuda de una compu-tadora personal es posible efectuar fcilmente un gran nmero de clculos; por lo tanto,se puede modelar con ms exactitud la velocidad del paracaidista que cae, sin tener queresolver la ecuacin diferencial en forma analtica. Como se vio en el ejemplo anterior, obtener un resultado numrico ms precisotiene un costo en trminos del nmero de clculos. Cada divisin a la mitad del tamaode paso para lograr mayor precisin nos lleva a duplicar el nmero de clculos. Como Velocidad terminalo lmite Solucin numrica aproximada40v, m/sSolucin analtica, exacta20FIGURA 1.5Comparacin de lassoluciones numricas y 0 0 4 812analticas para el problema t, sdel paracaidista que cae. 39. 1.2LEYES DE CONSERVACIN E INGENIERA 19 vemos, existe un costo inevitable entre la exactitud y la cantidad de operaciones. Esta relacin es de gran importancia en los mtodos numricos y constituyen un tema rele- vante de este libro. En consecuencia, hemos dedicado el eplogo de la parte uno para ofrecer una introduccin a dicho tipo de relaciones. 1.2 LEYES DE CONSERVACIN E INGENIERA Aparte de la segunda ley de Newton, existen otros principios importantes en ingeniera. Entre los ms importantes estn las leyes de conservacin. stas son fundamentales en una gran variedad de complicados y poderosos modelos matemticos, las leyes de la conservacin en la ciencia y en la ingeniera conceptualmente son fciles de entender. Puesto que se pueden reducir a Cambio = incremento decremento (1.13) ste es precisamente el formato que empleamos al usar la segunda ley de Newton para desarrollar un equilibrio de fuerzas en la cada del paracaidista [ecuacin (1.8)]. Pese a su sencillez, la ecuacin (1.13) representa una de las maneras fundamentales en que las leyes de conservacin se emplean en ingeniera esto es, predecir cambios con respecto al tiempo. Nosotros le daremos a la ecuacin (1.13) el nombre especial de clculo de variable-tiempo (o transitorio). Adems de la prediccin de cambios, las leyes de la conservacin se aplican tambin en casos en los que no existe cambio. Si el cambio es cero, la ecuacin (1.3) ser Cambio = 0 = incremento decremento o bien, Incremento = decremento(1.14) As, si no ocurre cambio alguno, el incremento y el decremento debern estar en equi- librio. Este caso, al que tambin se le da una denominacin especial clculo en esta- do estacionario, tiene diversas aplicaciones en ingeniera. Por ejemplo, para el flujo Tubera 2 Flujo de entrada = 80Tubera 1 Tubera 4 Flujo de entrada = 100Flujo de salida = ?FIGURA 1.6Equilibrio del ujo de unuido incompresible enestado estacionario a travs Tubera 3de tuberas. Flujo de salida = 120 40. 20 MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERA de un fluido incompresible en estado estacionario a travs de tuberas, el flujo de entra- da debe estar en equilibrio con el flujo de salida, esto es Flujo de entrada = flujo de salida Para la unin de tuberas de la figura 1.6, esta ecuacin de equilibrio se utiliza para calcular el flujo de salida de la cuarta tubera, que debe ser de 60. Para la cada del paracaidista, las condiciones del estado estacionario deberan corres- ponder al caso en que la fuerza total fuera igual a cero o [ecuacin (1.8) con dv/dt = 0] mg = cv (1.15) As, en el estado estacionario, las fuerzas hacia abajo y hacia arriba estn equilibradas, y en la ecuacin (1.15) puede encontrarse la velocidad terminal. mgv=cAunque las ecuaciones (1.13) y (1.14) pueden parecer triviales, stas determinan las dos maneras fundamentales en que las leyes de la conservacin se emplean en ingenie- ra. Como tales, en los captulos siguientes sern parte importante de nuestros esfuerzos por mostrar la relacin entre los mtodos numricos y la ingeniera. Nuestro primer medio para establecer tal relacin son las aplicaciones a la ingeniera que aparecen al final de cada parte del libro.En la tabla 1.1 se resumen algunos de los modelos sencillos de ingeniera y las leyes de conservacin correspondientes, que constituirn la base de muchas de las aplicaciones a la ingeniera. La mayora de aplicaciones de ingeniera qumica harn nfasis en el balance de masa para el estudio de los reactores. El balance de masa es una consecuen- cia de la conservacin de la masa. ste especifica que, el cambio de masa de un com- puesto qumico en un reactor, depende de la cantidad de masa que entra menos la cantidad de masa que sale.Las aplicaciones en ingeniera civil y mecnica se enfocan al desarrollo de modelos a partir de la conservacin del momentum. En la ingeniera civil se utilizan fuerzas en equilibrio para el anlisis de estructuras como las armaduras sencillas de la tabla. El mismo principio se aplica en ingeniera mecnica, con la finalidad de analizar el movi- miento transitorio hacia arriba o hacia abajo, o las vibraciones de un automvil.Por ltimo, las aplicaciones en ingeniera elctrica emplean tanto balances de co- rriente como de energa para modelar circuitos elctricos. El balance de corriente, que resulta de la conservacin de carga, es similar al balance del flujo representado en la figura 1.6. As como el flujo debe equilibrarse en las uniones de tuberas, la corriente elctrica debe estar balanceada o en equilibrio en las uniones de alambres elctricos. El balance de energa especifica que la suma algebraica de los cambios de voltaje alrededor de cualquier malla de un circuito debe ser igual a cero. Las aplicaciones en ingeniera se proponen para ilustrar cmo se emplean actualmente los mtodos numricos en la solu- cin de problemas en ingeniera. Estas aplicaciones nos permitirn examinar la solucin a los problemas prcticos (tabla 1.2) que surgen en el mundo real. Establecer la relacin entre las tcnicas matemticas como los mtodos numricos y la prctica de la ingeniera es un paso decisivo para mostrar su verdadero potencial. Examinar de manera cuidado- sa las aplicaciones a la ingeniera nos ayudar a establecer esta relacin. 41. 1.2 LEYES DE CONSERVACIN E INGENIERA 21TABLA 1.1 Dispositivos y tipos de balances que se usan comnmente en las cuatro grandes reas de la ingeniera.En cada caso se especica la ley de conservacin en que se fundamenta el balance.Campo DispositivoPrincipio aplicadoExpresin matemticaIngeniera ConservacinBalance de la masa:qumicaReactores de la masa EntradaSalidaEn un periodo masa = entradas salidasIngeniera civil Conservacin del Equilibrio de fuerzas: momentum + FV Estructura FH + FH FVEn cada nodo fuerzas horizontales (FH ) = 0 fuerzas verticales (FV ) = 0Ingeniera Mquina Conservacin del Equilibrio de fuerzas:Fuerza hacia arribamecnica momentumx=0Fuerza hacia abajo2 m d x = Fuerza hacia abajo fuerza hacia arriba dt 2Ingeniera Conservacin Balance de corriente:elctricade la carga + i1 i3+ En cada nodo corriente (i) = 0+ i2Circuito Conservacin Balance de voltaje: i 1R 1 de la energai 2R 2i 3R 3Alrededor de cada malla fems cada de potencial en los resistores = 0 iR = 0 42. 22MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERATABLA 1.2 Algunos aspectos prcticos que se investigarn en las aplicacionesa la ingeniera al nal de cada parte del libro.1. No lineal contra lineal. Mucho de la ingeniera clsica depende de la linealizacin que permite soluciones analticas. Aunque esto es con frecuencia apropiado, puede lograrse una mejor comprensin cuando se revisan los problemas no lineales.2. Grandes sistemas contra pequeos. Sin una computadora, no siempre es posible examinar sistemas en que intervienen ms de tres componentes. Con las computadoras y los mtodos numricos, se pueden examinar en forma ms realista sistemas multicomponentes.3. No ideal contra ideal. En ingeniera abundan las leyes idealizadas. A menudo, hay alternativas no idealizadas que son ms realistas pero que demandan muchos clculos. La aproximacin numrica llega a facilitar la aplicacin de esas relaciones no ideales.4. Anlisis de sensibilidad. Debido a que estn involucrados, muchos clculos manuales requieren una gran cantidad de tiempo y esfuerzo para su correcta realizacin. Esto algunas veces desalienta al analista cuando realiza los mltiples clculos que son necesarios al examinar cmo responde un sistema en diferentes condiciones. Tal anlisis de sensibilidad se facilita cuando los mtodos numricos permiten que la computadora asuma la carga de clculo.5. Diseo. Determinar el comportamiento de un sistema en funcin de sus parmetros es a menudo una proposicin sencilla. Por lo comn, es ms difcil resolver el problema inverso; es decir, determinar los parmetros cuando se especica el comportamiento requerido. Entonces, los mtodos numricos y las computadoras permiten realizar esta tarea de manera eciente.PROBLEMAS1.1 Aproximadamente, 60% del peso total del cuerpo correspon- mPV = RTde al agua. Si se supone que es posible separarla en seis regiones,Mwtlos porcentajes seran los que siguen. Al plasma corresponde4.5% del peso corporal y 7.5% del total del agua en el cuerpo.donde P es la presin del gas, V es el volumen de ste, Mwt esLos tejidos conectivos densos y los cartlagos ocupan 4.5% delel peso molecular del gas (para el aire, 28.97 kg/kmol), y R es lapeso total del cuerpo y 7.5% del total de agua. La linfa intersticial constante del gas ideal [8.314 kPa m3/(kmol K)].equivale a 12% del peso del cuerpo y 20% del total de agua en 1.3 Se dispone de la informacin siguiente de una cuenta ban-ste. El agua inaccesible en los huesos es aproximadamente 7.5% caria:del total de agua corporal y 4.5% del peso del cuerpo. Si el aguaintracelular equivale a 33% del peso total del cuerpo y el aguaFechaDepsitos RetirosBalancetranscelular ocupa 2.5% del total de agua en el cuerpo, quporcentaje del peso total corporal debe corresponder al agua 5/11512.33transcelular, y qu porcentaje del total de agua del cuerpo debeser el del agua intracelular?220.13 327.261.2 Un grupo de 30 estudiantes asiste a clase en un saln que6/1mide 10 m por 8 m por 3 m. Cada estudiante ocupa alrededor de216.80 378.610.075 m3 y genera cerca de 80 W de calor (1 W = 1 J/s). Calcule7/1el incremento de la temperatura del aire durante los primeros 15 450.25 106.80minutos de la clase, si el saln est sellado y aislado por com- 8/1pleto. Suponga que la capacidad calorfica del aire, Cu, es de 127.31 350.610.718 kJ/(kg K). Suponga que el aire es un gas ideal a 20 C y 9/1101.325 kPa. Obsrvese que el calor absorbido por el aire Q estrelacionado con la masa de aire m, la capacidad calorfica, y elcambio en la temperatura, por medio de la relacin siguiente: Utilice la conservacin del efectivo para calcular el balance alT26/1, 7/1, 8/1 y 9/1. Demuestre cada paso del clculo. Este clcu- Q=m C dT = mC (T T ) T1 v v 2 1lo es de estado estacionario o transitorio?1.4 La tasa de flujo volumtrico a travs de un tubo est dadoLa masa del aire se obtiene de la ley del gas ideal:por la ecuacin Q = vA, donde v es la velocidad promedio y A 43. PROBLEMAS23Q1,ent = 40 m3/sQ2,sal = 20 m3/s1.9 En vez de la relacin lineal de la ecuacin (1.7), elija mode-lar la fuerza hacia arriba sobre el paracaidista como una relacinde segundo orden, FU = cv2donde c = un coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m). a) Con el empleo del clculo, obtenga la solucin de forma V3,sal = 6 m/scerrada para el caso en que al inicio el saltador se encuentraA3 = ? en reposo (v = 0 en t = 0). b) Repita el clculo numrico en el ejemplo 1.2 con los mismosFigura P1.4 valores de condicin inicial y de parmetros. Utilice un valor de 0.225 kg/m para c.es el rea de la seccin transversal. Utilice la continuidad volu-1.10 Calcule la velocidad de un paracaidista en cada libre conmtrica para resolver cul es el rea requerida en el tubo 3. el empleo del mtodo de Euler para el caso en que m = 80 kg yc = 10 kg/s. Lleve a cabo el clculo desde t = 0 hasta t = 20 s con1.5 En la figura P1.5 se ilustran formas distintas en las que unun tamao de paso de 1 s. Use una condicin inicial en que elhombre promedio gana o pierde agua durante el da. Se ingiere paracaidista tiene una velocidad hacia arriba de 20 m/s en t = 0.un litro en forma de comida, y el cuerpo produce en forma me- Suponga que el paracadas se abre instantneamente en t = 10 s,tablica 0.3 L. Al respirar aire, el intercambio es de 0.05 L alde modo que el coeficiente de arrastre sube a 50 kg/s.inhalar, y 0.4 L al exhalar, durante el periodo de un da. El cuer- 1.11 En el ejemplo del paracaidista en cada libre, se supuso quepo tambin pierde 0.2, 1.4, 0.2 y 0.35 L a travs del sudor, la la aceleracin debida a la gravedad era un valor constante deorina, las heces y por la piel, respectivamente. Con objeto de9.8 m/s2. Aunque sta es una buena aproximacin cuando se estu-mantener la condicin de estado estacionario, cunta agua debe dian objetos en cada cerca de la superficie de la tierra, la fuerzatomarse por da?gravitacional disminuye conforme se acerca al nivel del mar. UnaPielrepresentacin ms general basada en la ley de Newton del inver-so del cuadrado de la atraccin gravitacional, se escribe como OrinaHeces R2g( x ) = g(0 ) ( R + x )2 Comida Airedonde g(x) = aceleracin gravitacional a una altitud x (en m) CUERPO medida hacia arriba a partir de la superficie terrestre (m/s2), g(0) =BebidaSudor aceleracin gravitacional en la superficie terrestre ( 9.8 m/s2),y R = el radio de la tierra ( 6.37 106 m). a) En forma similar en que se obtuvo la ecuacin (1.9), use Metabolismo un balance de fuerzas para obtener una ecuacin diferencial para la velocidad como funcin del tiempo que utilice estaFigura P1.5representacin ms completa de la gravitacin. Sin embargo, para esta obtencin, suponga como positiva la velocidad hacia arriba. b) Para el caso en que el arrastre es despreciable, utilice la regla1.6 Para el paracaidista en cada libre con arrastre lineal, supon-de la cadena para expresar la ecuacin diferencial comoga un primer saltador de 70 kg con coeficiente de arrastre defuncin de la altitud en lugar del tiempo. Recuerde que la12 kg/s. Si un segundo saltador tiene un coeficiente de arrastre regla de la cadena esde 15 kg/s y una masa de 75 kg, cunto tiempo le tomar alcan-zar la misma velocidad que el primero adquiera en 10 s? dv dv dx=1.7 Utilice el clculo para resolver la ecuacin (1.9) para el caso dt dx dten que la velocidad inicial, v(0) es diferente de cero.1.8 Repita el ejemplo 1.2. Calcule la velocidad en t = 10 s, conc) Use el clculo para obtener la forma cerrada de la solucinun tamao de paso de a) 1 y b) 0.5 s. Puede usted establecerdonde v = v0 en = 0.algn enunciado en relacin con los errores de clculo con base d) Emplee el mtodo de Euler para obtener la solucin num-en los resultados? rica desde x = 0 hasta 100 000 m, con el uso de un paso de 44. 24 MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERA 10 000 m, donde la velocidad inicial es de 1400 m/s hacia o bien, como el rea de la superficie A es constante arriba. Compare su resultado con la solucin analtica.dyQQ = 3 sen 2 t 1.12 La cantidad de un contaminante radiactivo distribuidodxAAuniformemente que se encuentra contenido en un reactor cerrado,Emplee el mtodo de Euler para resolver cul sera la profundi-se mide por su concentracin c (becquerel/litro, o Bq/L). El con-dad y, desde t = 0 hasta 10 d, con un tamao de paso de 0.5 d.taminante disminuye con una tasa de decaimiento proporcional Los valores de los parmetros son A = 1200 m2 y Q = 500 m3/d.a su concentracin, es decir:Suponga que la condicin inicial es y = 0. tasa de decaimiento = kc 1.14 Para el mismo tanque de almacenamiento que se describe en el problema 1.13, suponga que el flujo de salida no es cons-donde k es una constante con unidades de da1. Entonces, de tante sino que la tasa depende de la profundidad. Para este caso,acuerdo con la ecuacin (1.13), puede escribirse un balancela ecuacin diferencial para la profundidad puede escribirsede masa para el reactor, as:comodc= dyQ (1 + y)1.5 kc = 3 sen 2 t dtdxA A (cambio = de la masa) ( disminucinpor decaimiento) Use el mtodo de Euler para resolver cul sera la profundidad y, desde t = 0 hasta 10 d, con un tamao de paso de 0.5 d.a) Use el mtodo de Euler para resolver esta ecuacin desdeLos valores de los parmetros son A = 1200 m2, Q = 500 m3/d, t = 0 hasta 1 d, con k = 0.2 d1. Emplee un tamao de pasoy a = 300. Suponga que la condicin inicial es y = 0. de t = 0.1. La concentracin en t = 0 es de 10 Bq/L. 1.15 Suponga que una gota esfrica de lquido se evapora a unab) Grafique la solucin en papel semilogartmico (p.ej., ln c ver- tasa proporcional al rea de su superficie. sus t) y determine la pendiente. Interprete sus resultados.dV = kA1.13 Un tanque de almacenamiento contiene un lquido condtprofundidad y, donde y = 0 cuando el tanque est lleno a la mitad. donde V = volumen (mm3), t = tiempo (h), k = la tasa de evapo-El lquido se extrae con una tasa de flujo constante Q a fin deracin (mm/h), y A = rea superficial (mm2). Emplee el mtodosatisfacer las demandas. Se suministra el contenido a una tasa de Euler para calcular el volumen de la gota desde t = 0 hasta 10senoidal de 3Q sen2(t).min usando un tamao de paso de 0.25 min. Suponga que k = 0.1 mm/min, y que al inicio la gota tiene un radio de 3 mm. Evaleyla validez de sus resultados por medio de determinar el radio de su volumen final calculado y la verificacin de que es consisten- te con la tasa de evaporacin. 1.16 La ley de Newton del enfriamiento establece que la tempe- ratura de un cuerpo cambia con una tasa que es proporcional a0la diferencia de su temperatura y la del medio que lo rodea (tem- peratura ambiente).dT = k (T Ta )dtFigura P1.13 donde T = temperatura del cuerpo (C), t = tiempo (min), k = constante de proporcionalidad (por minuto), y Ta = temperatu- ra del ambiente (C). Suponga que una tasa de caf tiene origi- nalmente una temperatura de 68C. Emplee el mtodo de EulerPara este sistema, la ecuacin (1.13) puede escribirse comopara calcular la temperatura desde t = 0 hasta 10 min, usando un tamao de paso de 1 min, si Ta = 21C y k = 0.017/min.d ( Ay ) 1.17 Las clulas cancerosas crecen en forma exponencial con = 3Q sen 2 t Qdx un tiempo de duplicacin de 20 h cuando tienen una fuente ili- ( cambio en el volumen) = (flujo de entrada) (flujo de salida)mitada de nutrientes. Sin embargo, conforme las clulas comien- zan a formar un tumor de forma esfrica sin abasto de sangre, el 45. PROBLEMAS 25crecimiento en el centro del tumor queda limitado, y eventual- 1.18 Se bombea un fluido por la red que se ilustra en la figuramente las clulas empiezan a morir.P1.18. Si Q2 = 0.6, Q3 = 0.4, Q7 = 0.2 y Q8 = 0.3 m3/s, determine a) El crecimiento exponencial del nmero de clulas N puede los otros flujos. expresarse como se indica, donde es la tasa de crecimiento de las clulas. Encuentre el valor de para las clulas can- Q1Q3 Q5 cerosas. dN= N dtb) Construya una ecuacin que describa la tasa de cambio del Q2 Q4Q6 Q7 volumen del tumor durante el crecimiento exponencial, dado que el dimetro de una clula individual es de 20 micras.c) Una vez que un tipo particular de tumor excede las 500 micras de dimetro, las clulas del centro del tumor se Q10 Q9 Q8 mueren (pero continan ocupando espacio en el tumor). Determine cunto tiempo tomar que el tumor exceda eseFigura P1.18 tamao crtico. 46. CAPTULO 2Programacin y softwareEn el captulo anterior, desarrollamos un modelo matemtico a partir de la fuerza totalpara predecir la velocidad de cada de un paracaidista. Este modelo tena la forma deuna ecuacin diferencial, dv c= g v dt mTambin vimos que se obtena una solucin de esta ecuacin utilizando un mtodo nu-mrico simple, llamado mtodo de Euler, dv iv i +1 = v i +t dt Dada una condicin inicial, se emplea esta ecuacin repetidamente para calcular lavelocidad como una funcin del tiempo. Sin embargo, para obtener una buena precisinsera necesario desarrollar muchos pasos pequeos. Hacerlo a mano sera muy laborio-so y tomara mucho tiempo; pero, con la ayuda de las computadoras tales clculospueden realizarse fcilmente. Por ende, nuestro siguiente objetivo consiste en observar cmo se hace esto. En elpresente captulo daremos una introduccin al uso de la computadora como una herra-mienta para obtener soluciones de este tipo.2.1 PAQUETES Y PROGRAMACINEn la actualidad existen dos tipos de usuarios de software. Por un lado estn aquellosque toman lo que se les da. Es decir, quienes se limitan a las capacidades que encuentranen el modo estndar de operacin del software existente. Por ejemplo, resulta muy sen-cillo resolver un sistema de ecuaciones lineales o generar una grfica con valores x-ycon Excel o con MATLAB. Como este modo de operacin por lo comn requiere unmnimo esfuerzo, muchos de los usuarios adoptan este modo de operacin. Adems,como los diseadores de estos paquetes se anticipan a la mayora de las necesidades t-picas de los usuarios, muchos de los problemas pueden resolverse de esta manera. Pero, qu pasa cuando se presentan problemas que estn ms all de las capacida-des estndar de dichas herramientas? Por desgracia, decir Lo siento jefe, pero no lo shacer no es algo aceptado en la mayora de los crculos de la ingeniera. En tales casosusted tiene dos alternativas. La primera sera buscar otro paquete y ver si sirve para resolver el problema. staes una de las razones por las que quisimos usar tanto Excel como MATLAB en estelibro. Como veremos, ninguno de los dos abarca todo y cada uno tiene sus ventajas. 47. 2.1PAQUETES Y PROGRAMACIN27Sabiendo usar ambos, se ampla de forma notable el rango de problemas que puedenresolverse. La segunda sera que es posible volverse un potente usuario si se aprende a escri-bir macros en Excel VBA1 o archivos M (M-files) en MATLAB. Y qu son tales cues-tiones? No son ms que programas computacionales que permiten ampliar la capacidadde estas herramientas. Como los ingenieros nunca se sentirn satisfechos al verse limi-tados por las herramientas, harn todo lo que sea necesario para resolver sus problemas.Una buena manera de lograrlo consiste en aprender a escribir programas en los ambien-tes de Excel y MATLAB. Adems, las habilidades necesarias para crear macros o ar-chivos M (M-files) son las mismas que se necesitan para desarrollar efectivamenteprogramas en lenguajes como Fortran 90 o C. El objetivo principal del captulo es ensearle cmo se hace esto. Sin embargo,supondremos que usted ya ha tenido contacto con los rudimentos de la programacin y,por tal razn, destacaremos las facetas de la programacin que afectan directamente suuso en la solucin de problemas en ingeniera.2.1.1 Programas computacionalesLos programas computacionales son nicamente conjuntos de instrucciones que dirigena la computadora para realizar una cierta tarea. Hay mucha gente que escribe programaspara un amplio rango de aplicaciones en los lenguajes de alto nivel, como Fortran 90 oC, porque tienen una gran variedad de capacidades. Aunque habr algunos ingenierosque usarn toda la amplia gama de capacidades, la mayora slo necesitar realizar losclculos numricos orientados a la ingeniera.Visto desde esta perspectiva, reducimos toda esa complejidad a unos cuantos tpicosde programacin, que son: Representacin de informacin sencilla (declaracin de constantes, variables y ti-pos) Representacin de informacin ms compleja (estructuras de datos, arreglos y re-gistros) Frmulas matemticas (asignacin, reglas de prioridad y funciones intrnsecas) Entrada/Salida Representacin lgica (secuencia, seleccin y repeticin) Programacin modular (funciones y subrutinas) Como suponemos que el lector ya ha tenido algn contacto con la programacin,no dedicaremos mucho tiempo en las cuatro primeras reas. En lugar de ello, las pre-sentamos como una lista para que el lector verifique lo que necesitar saber para desa-rrollar los programas que siguen. No obstante, s dedicaremos algn tiempo a los dos ltimos tpicos. Destacaremosla representacin lgica porque es el rea que ms influye en la coherencia y la compren-sin de un algoritmo. Trataremos la programacin modular porque tambin contribuyede manera importante en la organizacin de un programa. Adems, los mdulos son unmedio para almacenar algoritmos utilizados frecuentemente en un formato adecuadopara aplicaciones subsecuentes.1VB