Métodos Numéricos• Diagnóstico

1. Escriba la definición de los conceptos siguientes:Dígito:Número:Cifras significativas:Modelo matemático:Decimal:Binario:Octal:Hexadecimal:Ecuación:Función:Relación:Exponente:Error absoluto:

DiagnósticoError relativo:Redondeo:Truncado:Aproximación numérica:Diferencial:Preciso:Exactitud:Algoritmo:Unicidad:Estabilidad:Programa:Matriz:

Diagnóstico

• Derivar

• Resolver la ecuación :

5 xy

2322 5325 yxxyyx

yxy ´

Métodos Numéricos

DESARROLLO DE CONTENIDOS

Métodos Numéricos

Métodos numéricos

Procedimientos

Lineales y no lineales

Sistemas de ecuaciones Problemas

Diseño de programas propios

Desarrollo de software

Control de errores de aproximación

Métodos Numéricos. Importancia

Ingeniería

Contabilidad

Ciencias matemáticas y físicas

Perfección y utilización

Invención Conocimientos científicos

Programas que facilitan la comunicación

Producción energía eléctrica

Mantener edificios

Procesos lógicos y reales

Producto final con porcentajes menores de

error

Productos químicos

Métodos NuméricosLa aritmética realizada por una calculadora o computadora es diferente de la que se utiliza en el Algebra y en el Calculo.

• Matemática tradicional: números con una cantidad infinita de cifras. Por ejemplo: 5 multiplicado 5*1= 5.

• Computación digital: la representación de todo número, tiene un número finito, fijo de cifras.

Como no se representa con un número finito de cifras, entonces se proporciona una evaluación aproximada dentro de la maquina, una cuyo cuadrado no es exactamente 5, pero será suficientemente cercana para que sea aceptable en la mayoría de los casos.

Métodos Numéricos

Conceptos • Problema numérico: representación precisa de la

relación funcional entre un conjunto finito de datos de entrada y un conjunto finito de datos de salida

• Algoritmo: secuencia ordenada y finita de pasos, sin ambigüedades, siguiendo un orden lógico conduce a la solución de un problema específico

• Método numérico: proceso para transformar un problema matemático en numérico y resolver este último

Métodos Numéricos

Pasos generales1. Estudio teórico del problema: existencia y unicidad de la

solución2. Aproximación: Crear una solución para un número finito de valores• existencia y unicidad• estabilidad y convergencia3. Resolución: Elección de un algoritmo numérico• Elección del algoritmo: Costo y estabilidad• Codificación del algoritmo• Ejecución del programa

Métodos Numéricos

Existencia y unicidad• Cuando un problema de valor inicial modela

matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de gran importancia, entonces es seguro obtener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder.

• Por otro lado, se supone que la solución sea única, pues si se repite el experimento en condiciones idénticas, se espera obtener los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico.

Métodos Numéricos

• Al considerar un problema con valor inicial, vale realizar las preguntas siguientes:

1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema?

2. Unicidad: ¿En caso de tener solución el problema, será única?

3. Determinación: ¿En caso de tener solución, como la determinamos

Métodos Numéricos

• Ejemplo:Dado el problema de valor inicial

No resulta difícil comprobar que es solución

00

´

y

yxxy

16

4xy

usando la condición inicial y (0)=0 obtenemos c= 0 con lo cual

la solución sería

cx

yxdxy

dyyx

dx

dy

22

2

16

4xy

Métodos Numéricos

Sistemas numéricosLos sistemas numéricos más antiguos son:• Babilónico: base 60• Romano: (I, V, X, L, C, D y M)• Hindú y árabe: decimalEl uso del sistema de numeración decimal oculta la existencia de otros sistemas numéricos:• Binario: base 2• Octal: base 8• Hexadecimal: base 16

Métodos Numéricos

• Realizar la conversiones del sistema decimal a binario, octal y hexadecimal

• 24• 68• 142• 256• 897• 427

Métodos Numéricos (Sistema de Numeración Binario)

Nombre Abrev. Factor Valor

kilo K 1024

Mega M 1048576

giga G 1073741824

tera T 1099511627776

peta P 1125899906842624

Exa E 1152921504606846976

zetta Z 1180591620717411303424

yotta Y 1208925819614629174706176

bronto B 1237940039285380274899124224

geop Ge 1267650600228229401496703205376

1022023024025026027028029021002

Métodos Numéricos

En 1985 la IEEE establece el Binary Floating Point Arithmetic Standard 754-1985, donde se establecen los formatos para representar números punto flotantes de precisión simple (32 bits) y doble (64 bits).

Los números se distribuyen de forma exponencial en la recta real

donde, S representa el bit de signo, E el exponente y F la partefracción binaria del número.

FES .0121 127 FES .0121 1023

• Precisión y exactitud• Precisión. Se define partiendo de la dispersión

del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud.

• A menor dispersión mayor precisión.• Ejemplo3: cuando se repite una medida varias

veces y el resultado es parecido, se dice que una máquina es precisa.

Métodos Numéricos

• Algunas definiciones básicas (Texto original: Error, Accuracy, and Precision - Kenneth E. Foote and Donald J. Huebner, Dpto. of Geography of Texas at Austin, 1995. The Geographer Graft Project, Dpto. of Geography, The University of Colorado at Boulder)

1. Es importante distinguir desde el principio la diferencia entre exactitud y precisión: Exactitud es el grado en el cual la información de un mapa o en una base de datos digital se muestra verdadera o con valores aceptables. La exactitud es un asunto perteneciente a la cualidad de los datos y al número de errores contenidos en un conjunto de datos o mapa. Analizando una base de datos de un SIG, es posible considerar la exactitud horizontal y vertical con respecto a la posición geográfica, tanto atributiva y conceptual, como en la agudeza lógica.

1. El nivel de exactitud requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. 2. Producir y compilar una gran exactitud en los datos puede ser muy difícil y costoso.

2. Precisión hace referencia a la medida y exactitud de las descripciones en las base de datos de un SIG. Los atributos de información precisos pueden especificar las características de los elementos con gran detalle. Es importante observar, no obstante, que los datos precisos - no importando el cuidado en su medida - pueden ser inexactos. Los topógrafos pueden cometer errores, o bien los datos pueden ser introducidos en las bases de datos incorrectamente.

1. El nivel de precisión requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. Los proyectos de ingeniería como el de una carretera, y las herramientas de construcción, requieren una muy precisa medida, de milímetros a decenas de centímetros. Análisis demográficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisión mediante un código postal o de circunscripción.

2. Obtener datos altamente precisos puede ser verdaderamente difícil y costoso. Topografiar cuidadosamente las localizaciones requiere de compañías específicas para la recogida de la información.

• Gran precisión no es indicativa de gran exactitud y tener gran exactitud no implica gran precisión. Pero gran exactitud y gran precisión son bastante expresivas.

Métodos Numéricos

• Ejemplo 2

Métodos Numéricos

• Exactitud. La exactitud se define a partir de la cercanía del valor real se encuentra el valor medido.

• La exactitud de un resultado se determina mediante el error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero.

• Ejemplo4 : Una máquina es exacta cuando se repite una medida varias veces, arroja resultados próximos al valor real

• Ejemplo 5: π (pi) es un número irracional constituido por un número infinito de dígitos; 3.141592653589793… es una aproximación tan buena de π, que tal podría considerarse que es su valor exacto. Al considerar las siguientes aproximaciones de π=3.15 es impreciso e inexacto; π=3.14 es exacto pero impreciso; π=3.151692 es preciso pero inexacto; π=3.141593 es exacto y preciso.

Métodos Numéricos

Los métodos numéricos deben ofrecer soluciones suficientemente exactas y precisas. El término error se usa tanto para representar la inexactitud como para medir la imprecisión en las predicciones

Ejemplo 6:

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En la figura A, tiene un alto grado de precisión dado que todos los disparos se concentran en un espacio pequeño, y un alto grado de exactitud dado que los disparos se concentran sobre el centro de la diana.En la figura B, el grado de precisión es similar a la de la figura A, los disparos están igual de concentrados, la exactitud es menor, dado que los disparos se han desviado a la izquierda y arriba, separándose del centro de la diana.En la figura C, la precisión es baja como se puede ver por la dispersión de los disparos por toda la diana, pero la exactitud es alta porque los disparos de reparten sobre el centro de la diana.En la figura D, la distribución de los disparos por una zona amplia denota la falta de precisión, y la desviación a la izquierda del centro de la diana revela la falta de exactitud.

• Aproximación de un número real

Métodos Numéricos

NÚMERO

1.361.35 1.3557

EXCESODEFECTO

APROXIMACIÓN

0057.035.13557.1 0043.036.13557.1

ERRORES COMETIDOS

Métodos Numéricos

• Aproximaciones• Son técnicas mediante las cuales un modelo

matemático es resuelto usando solamente operaciones aritméticas.

• Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de interés, a la cual se le denomina interaciones, es lo que permite acercarse cada vez más al valor buscado

Métodos Numéricos

• Escribir los números siguientes, mediante una aproximación por defecto, con la cota de error que se indica, redondeando con dos cifras decimales en la última columna.

Números Décima Centésima Milésima Redondea (dos decimales)

124.5216… 124.5 124.52 124.521 124.52

7124.4444… 7124.4 7124.44 7124.444 7124.44

Cota de error

Métodos Numéricos

• Escribir los números siguientes, mediante una aproximación por exceso, con la cota de error que se indica, redondeando con dos cifras decimales en la última columna.

Números Décima Centésima Milésima Redondea (dos decimales)

124.5216… 124.6 124.53 124.522 124.52

7124.4444… 7124.5 7124.45 7124.445 7124.44

Cota de error

Métodos Numéricos

• Cifras significativas

Métodos Numéricos

• Cifras significativas

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• Cifras Significativas

• REDONDEO• APROXIMAR EL NÚMERO SIGUIENTE:

Métodos Numéricos

1.3557= 1.36

APROXIMACIÓN POR EXCESOAPROXIMACIÓN POR DEFECTOCON TRES CIFRAS

APROXIMACIÓN POR REDONDEO CON TRES CIFRAS

2.4494897

• Aproximar por defecto y por exceso los siguientes números:• a) 263825 con 2 cifras significativas. • b) 6035192 con 1 cifra significativa. • c) 60,35 con 3 cifras significativas.

Métodos Numéricos

Número Por defecto Por exceso N° cifras significativas

Orden de aproximación

263825 260000 270000 2 Decenas de millar

6035192 6000000 7000000 1 Unidad de millón

60.35 60.3 60.4 3 Décimas

• Aproximar por defecto y por exceso los siguientes números:• a. 245,7896 con 4 cifras significativas• b. 4567897 con 3 cifras significativas• c. 4678993 con 2 cifras significativas• d. 4,56 con 2 cifras significativas• e. 7894,67782 con 6 cifras significativas• f. 5/3 con 3 cifras significativas

Métodos Numéricos

• Operaciones básicas• Sumar: 245,679 + 35,6 + 45,78• Restar: 3567,8762 – 25,34

Métodos numéricos

Métodos Numéricos

• Aproximación: de redondeo y truncamiento de decimales

• Ejemplo de redondeo• 4.2416 ; 4.242• 9.145 ; redondeando a la centésima 9,150• 8.33353 ; redondeando a la diezmilésima 8.3335• Ejemplo de truncamiento: • 9.145 a centésimas, redondeando por truncamiento

es: 9.14

Métodos Numéricos

• Aproximar π a los diezmilésimos, mediante los dos tipos de aproximaciones.

• Π = 3,1415926535• Por redondeo: 3.1416• Por truncamiento: 3.1415

¿Qué cifra se aproxima más al valor exacto?La aproximación por redondeo porque incluye el 9.

Métodos NuméricosIndicaciones Aproximación por

truncamientoAproximación por

redondeo3.1415926535Aproximar a diezmilésimas

8.345671Aproximar a la centésima

5.753258Aproximar a la milésima

0.345134Aproximar a diezmilésimas

Métodos numéricos

• Cálculos en cadenaPara los cálculos en cadena, es decir, que su procedimiento se derive a más de un paso, se utiliza un seguimiento modificado. Veamos el siguiente cálculo en dos pasos:• A × B = C• C × D = ESuponiendo que A = 3,66 B = 8,45 D = 2,11. Dependiendo si C se redondea a tres o cuatro cifras significativas, se obtiene un valor diferente para E:

• MetodologíaMétodo 1• Después del punto los números son los decimales que se dejan después de

la multiplicación para obtener una cifra significativa 3,66 × 8,45 = 30,9• 30,9 × 2,11 = 65,2• Método 2• 3,66 × 8,45 = 30,927 ; luego 30,927 × 2,11 = 65,25597 ~ 65,3• Se redondea en 65,3 porque se tiene tres cifras significativas en los factores

del producto.• Si se ha hecho el cálculo como 3,66 × 8,45 × 2,11 utilizando una calculadora

sin redondear el resultado intermedio, se habrá obtenido 65,3 como resultado para E. De manera que, cada paso del cálculo presentará números exactos de cifras significativas. Habrá casos en donde se redondea la respuesta final con el número correcto de cifras significativas.

Métodos Numéricos

Métodos Numéricos

Regla para establecer cifras significativas• Regla 1: En números que no contienen ceros, todos son

significativos. Ej. 23.7645• Regla 2: Todos los ceros situados entre dígitos, son

significativos. Ej. 253,0045• Regla 3: Los ceros a la izquierda del primer dígito que es

diferente de cero, sirven solo para fijar la posición del punto decimal y no son significativos. Ej. 0.0675

• Regla 4: En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos. Ejemplos: 0.067; 20.00

Métodos Numéricos

• Regla 5: Si un número no tiene punto decimal y termina con uno o más ceros, dichos ceros pueden ser o no significativos. Para especificar el número de cifras significativas, se requiere información adicional. Para evitar confusiones es necesario expresar el número notación científica, no obstante, se suele indicar que dichos ceros son significativos, escribiendo el punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son significativos. Ejemplos

• 2400 dos cifras significativas• 2400. cuatro cifras significativas

Métodos Numéricos

Convergencia y Estabilidad• Convergencia. Es la garantía de que al realizar un

buen número de iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.

• Estabilidad. Es el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen, y por lo contrario divergen, esto es, cada vez más se alejan del valor deseado.

Métodos NuméricosTEORÍA DE LOS ERRORES

• Errores en la medidas

Medir consiste en obtener la magnitud (valor numérico) de algún objeto físico, mediante su comparación con otro de la misma naturaleza que tomamos como patrón

Ejemplo: 1 Supongamos que una persona pregunte ¿qué hora es?. Si se dispone de un reloj con minutero, pero no con segundero. Por lo tanto se trata de estimar el tiempo, se estará cometiendo un error del orden de los minutos.

Ejemplo: 2Medir la longitud de una hoja de papel con una regla. El error proviene de la escala: puede estar mal graduada, la longitud de la hoja puede quedar entre dos marcas

Métodos Numéricos• ERRORES

TIPOS DE ERRORES

SISTEMÁTICOS

DE OBSERVACIÓN

PRECISIÓN DEL APARATO DE MEDIDA

ESTADÍSTICOS O ALEATORIOS

Calibración de un aparato

Aguja de un amperímetro no esté en cero

No equilibrar una balanza

Utilizar un amperímetro con una escala no adecuada

Como norma se toma la incertidumbre en el valor leído la mitad de la mínima división de la escala. Ej. (12 0.5mm)

Variaciones de presión, temperatura, etc

Métodos Numéricos

• ERRORES

CLASES DE ERRORES

ERROR ABSOLUTO

ERROR RELATIVO

XxEa

X

EE ar

Media aritmétican

x

n

xxxx

n

ii

1321 ...

xx 1Desviación

Métodos Numéricos

• Error estándar

1

2

n

1

22

n

v

Desviación estándar

Varianza

Interpretación del error estándarEl error estándar establece los límites dentro de los cuales debe esperarse que caigan las mediciones 68.27% de las veces. En otras palabras, si se repitió 10 veces una medición, debería esperarse que aproximadamente 7 de los resultados queden dentro de los límites establecidos por el error estándar y 3 de ellos caerían fuera de dichos límites. Otra interpretación es que una medición adicional tendría 68.27% de probabilidad de caer dentro de los límites establecidos por el error estándar. Una tercera deducción es que el valor real o verdadero tiene 68.27% de probabilidades de caer dentro de los límites del error estándar.

Errores de 50, 90 y 95%

Se puede determinar la probabilidad de un error de cualquier porcentaje de probabilidad mediante la siguiente ecuación general.

Ep=CpσEn la cual Ep es el porcentaje de error y Cp es un factor numérico.

E50 = 0,6745σE90 = 1,6449σE95 = 1,9599σ

El error de 50% (E50) es el llamado error probable. Este valor establece los límites dentro de los cuales han de caer las mediciones 50% de las veces. En otras palabras, una medida tendrá la misma probabilidad de quedar dentro de estos límites que de caer fuera de ellos.

Métodos Numéricos

Ejemplo: Supóngase que se ha medido 10 veces una línea, con los resultados a continuación. Se supone que estas mediciones ya se han corregido por todos los errores sistemáticos.

Pueden deducirse las siguientes conclusiones:1. La longitud más probable es 1000,45 m.2. El error estándar de una sola medida es ±0,08 m.3. La expectativa normal es que 68% de las veces, una longitud

registrada estaría comprendida entre 1000,37 y 1000,53 m; es decir, que aproximadamente siete de los valores estarían comprendidos dentro de estos límites. (Realmente siete lo están.)

4. El error probable (E50) es ±0,05 m. Por tanto, puede anticiparse que la mitad, o sea cinco, de las medidas caerán dentro del intervalo 1000,40 a 1000,50. (Cuatro valores quedan ahí).

5. 90% de las veces una longitud medida no contendrá un error mayor de ±0,13 m, y su valor estaría dentro del intervalo de 1000,32 y 1000,58

6. El error de 95% sería ±0,15, y la longitud estaría comprendida entre 1000,30 y 1000,60 en el 95% de las veces. (Nótese que todas las medidas están, por cierto, dentro de los límites de ambos errores, el de 90% y el de 95%.