1.1. Importancia de los métodos numéricos

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

El análisis numérico trata de diseñar métodos para “ aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.

El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

Cálculo de derivadas

Integrales

Ecuaciones diferenciales

Operaciones con matrices

Interpolaciones

Ajuste de curvas

Polinomios

Los métodos numéricos se aplican en áreas como:

Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc.

1.2 Conceptos básicos: cifra significativa, precisión y exactitud, incertidumbre y sesgo.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Cifras significativas.- Es el conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el valor de una magnitud independientemente de las unidades de medidas utilizadas.

Confiables.- Por que dependen del instrumento de medición empleado.

Necesarias.- Por que depende de leyes, reglamentos, normas o costumbres.

La longitud del pizarrón es:

En 4 mediciones, siendo en cada medición distintas personas, los resultaos fueron los siguientes:

1.- 3.0 m

2.- 3.0 m

3.- 3.0 m

4.- 3.0 m

La longitud de la libreta :

1.- 28 cm ( flexómetro ) 3.- 28 cm

2.- 27.5 cm ( regla ) 4.- 28 cm

La longitud de un lápiz:

Regla: 14.3 cm Tornillo: 14.327 cm

Vernier: 14.32 cm

La velocidad de un automóvil:

Digital: 89.5 km/h

Carátula: 90 km/h

¿ Cuántas cifras significativas ( que tan preciso debe ser ) son necesarias ?

1.- El total de cifras significativas es independiente de la posición del punto decimal.

Ejemplo:

El medir una mujer se registró que su estatura es de 1.67 m = 16. 7 dm = 167 cm , (teniéndose 3 cifras significativas ).

2.- Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas.

Ejemplo:

Un balero tiene un diámetro de 26 mm = 0.026 m = 0.000026 km ( 2 cifras significativas ).

3.- Los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán significativos:

Ejemplo:

40072 ( 5 c.s. )

3.001 ( 4 c.s. )

0.000203 ( 3. c.s. )

EXACTITUD Y PRECISION

Exactitud.- Lo que está más cerca del valor verdadero. Se refiere a que tan cercano está el valor medido o calculado con el valor verdadero.

Precisión.- Se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o calculado con respecto a los otros.

Incertidumbre y sesgo

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.

Incertidumbre: Situación bajo la cual se desconocen las probabilidades de ocurrencia asociados a los diferentes resultado de un determinado evento.

Sesgo: existe sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hecho aleatorio (al azar) advirtiéndose que este ocurre en forma sistematica.

TIPOS DE ERRORES

Los errores.- Es la discrepancia que existe entre la magnitud “ verdadera” y la magnitud obtenida.

Error absoluto.- Es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado:

EA = Vv - Va ( 12 )

Error Relativo.- Es el cociente del error absoluto respecto al valor verdadero:

ER = EA = Vv - Va Vv Vv

Error Relativo Porcentual:

ERP = EA x 100 % ( 13 ) Vv

Ejercicios:

Ejemplo.- Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache. La longitud del puente obtenida es de 9999 cm y la del remache es de 9 cm.

Si los valores verdaderos son 10,000 y 10 cm, respectivamente, calcule :

a) el error absolutob) el error relativo %

para cada caso:

Puente RemacheVv = 10000 cm 10 cmVa = 9999 cm 9 cm

EA = 10000 – 9999 EA = 10 - 9 EA = 1 cm EA = 1 cm

Error Porcentual = 1 x 100 = 0.01 % 10,000

Error Porcentual = 1 x100 = 10 %

10

Ejemplo:

Suponga que el valor para un cálculo debería ser Vv = 0.10 x 102 pero se obtuvo el resultado de Va = 0.08 x 102. Determine el error absoluto y el error relativo porcentual:

EA = 0.10 x 102 – 0.08 x 102

EA = 2 = 0.2 x 101

ERP = 0.2 x 10 1 x 100 = 20% 0.10 x 102

Ejemplo:

Vv = 0.24 x 10 – 4 Va = 0.12 x 10 – 4

EA = 0.24 x 10 - 4 – 0.12 x 10 - 4

EA = 1.2 x 10 – 5 , 0.12 x 10 – 4 , por lo tanto es pequeño

ERP = 0.12 x 10 – 4 x 100 = 50%, por lo tanto es grande. 0.24 x 10 - 4

Ejemplo :

Vv = 0.46826564 x 10 6

Va = 0.46830000 x 10 6

EA = 0.46826564 x 10 6 – 0.46830000 x 10 6

EA = 34.46 , por lo tanto es grande.

ERP = 34.36 x 100 =7.33771504 x 10 – 3, es pequeño

0.46826564 x 10 6

Concluyendo , cuando se manejen cantidades muy grandes o muy pequeñas el EA puede ser engañoso, mientras que el error relativo es más significativo en estos casos.

Determinación del error en ausencia del valor verdadero

Cuando no se conoce la respuesta verdadera, es necesario estimar el valor en ausencia de los valores verdaderos. Ciertos métodos numéricos usan un método iterativo para calcular resultados, tales casos se hace una aproximación con base en la aproximación anterior. Es decir, el error se calcula como la diferencia ente la aproximación actual y la aproximación previa.

Ea = aproximación actual – aproximación anterior x 100 (14)

aproximación actual

Ea

El siguiente criterio es útil para tener la seguridad que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas.

= ( 0.5 x 10 2 – n ) = 0.5 x 10 –3 %, = 0.005 %

Ejemplo:

La función exponencial llamada expansión por serie de Mc Laurin, se puede calcular mediante la ecuación:

ex = 1 + x + x 2 + x 3 + ........... + x n 2! 3! n!

Mientras más términos se le agreguen a la serie, la aproximación se acercará cada vez más al valor de ex . Estímese el valor de e 0.5 , calculando los valores del ERP ( error relativo porcentual y el valor de aproximación ) , si el valor real o verdadero es e 0.5 = 1.648721, agréguese términos a la serie hasta que Ea , cumpla 3 cifras significativas.

Solución:

E = ( 0.5 x 10 2 –3 ) % = 0.5 x 10 – 1 E = 0.005

Ea 0.05 %

1er término

ex = 1

ERP = 1.648721 – 1 x 100 = 39.34 % 1.648721

2do término

ex = 1 + 0.5 = 1.5

ERP = 1.648721 – 1.5 x 100 = 9.02 % 1.648721

3er término

ex = 1 + x + x 2 2!

ex = 1.5 + (0.5)2 = 1.625

2!

ERP = 1.648721 – 1.625 x 100 = 1.438 % 1.648721

Ea = 1.625 – 1.5 x 100 = 7.692% 1.625

4to término

e x = 1.625 + (0.5)3 = 1.645833 3!

ERP = 1.648721 – 1.645833 x 100 = 0.175 % 1.648721

Ea = 1.645833 – 1.625 x 100 = 1.265% 1.645833

5to término

e x = 1.645833 + (0.5)4 = 1.648437 4!

ERP = 1.648721 – 1.648437 x 100 = 0.0172 % 1.648721

Ea = 1.648437 – 1.645833 x 100 = 0.158% 1.648437

6to término

e x = 1.648437+ (0.5)5 = 1.648697 5!

ERP = 0.00142 %

Ea = 1.648697 – 1.648437 x 100 = 0.0158% 1.648697

Ea

0.0158 0.05 %

Término ex ERP Ea

1 12 1.53 1.625

6 1.648697 0.00142 0.0158 Ea

Errores de Truncamiento

Con 5 cifras significativas:

75.667891 75.667591 75.6645375.668 75.668 75.665

Es el que ocurre al aumentar o disminuir artificialmente el valor de una magnitud.

Criterio de redondeo

D1 d2 d3 ..... d1 i +1 ..... dn ( i n )

Di + 1 5 di = di +1Di + 1 5 di = di

Di es par di = di

Di + 1 = 5

Di es impar di = di +1

Ejemplos:

Redondear a 4 cifras significativas:

a) 42.37834 = 42.38b) 382.154 = 382.2c) 545.21 = 545.2

Ejemplo:

Error de redondeo, al restar dos números iguales.

Considere las ecuaciones:

31.69 x + 14.31 y = 45.0013.05 x + 5.89 y = 18.53

Determine los valores aproximados de x e y usando redondeo a dos cifras decimales, obtenga el error absoluto y el error relativo porcentual para cada variable si sus valores verdaderos son:

X = 1.25055 = 1.250547046Y = 0.37527 = 0.375273523

EA = 1.25055 – 1.250547046EA = 0.000002954

EA = 0.37527 – 0.375273523

EA = 0.000003523

ERP = 0.000002954 x100

1.25055

ERP = 0.00023 %

ERP = 0.000002954 x100

0.37527

ERP =0.00078 %

Resuelva la ecuación cuadrática:

100x2 –10011x + 10.011 = 0

Para encontrar las raíces reales ( x1,x2 ), redondeando a 5 dígitos significativos y a 5 dígitos decimales.

10011 +- (-10011)2 –4(100)(10.011)

2(100)

x1 = 80.088, 10041x2 = 20.022, 9981.0

Errores de Truncamiento

Ej. 653. 45931 653. 45

Son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático.

Para estos casos las series de Taylor, en los métodos numéricos, expresan las funciones en forma polinomial:

f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h 2 + f”’(xi)h 3 + .....fn(xi)h n 2! 3! n!

h(x1 +1- xi)

Ej. Use términos en la serie de Taylor de cero a 4to orden para aproximar la función f(x) = -0.1x4 –0.15x3-0.5x2-0.25x +1.2, desde xi = 0 con h =1 para predecir el valor de la función en x1 +1 = 1.

Solución:

n = 0 orden

f(x1 +1) = f(xi) = -0.1x4 –0.15x3-0.5x2-0.25x +1.2f(x1 +1) = 1.2

n = 1er orden

f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)hf(x1 +1) =1.2 + (-0.4 x3-0.45x2-x-0.25) (1)f(x1 +1) =1.- 0.25f(x1 +1) = 0.95

n= 2do orden

f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h 2 2!

f(x1 +1) = 1.2-0.25+(-1.2x 2 -0.90x-1) (1)2

2!

f(x1 +1) = 0.95 –0.5f(x1 +1) = 0.45

n = 3er orden

f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h 2 + f”’(xi)h 3 2! 3!

f(x1 +1) = 0.45+ ( -2.4x-0.90 ) (1)3

6 f(x1 +1) = .45 – 0.15 f(x1 +1) = 0.3

n = 4to orden

f(x1 +1) = 0.3 + f 4 (x i) h4

4!f(x1 +1) = 0.3 + (-2.4) (1)4

24 f(x1 +1) = 0.2

Error numérico total

Es la suma de los errores de truncamiento y redondeo.

Para minimizar los errores de redondeo debe incrementarse el número de cifras significativas.

El error de truncamiento puede reducirse por un tamaño de paso más pequeño.

Software de Cómputo Numérico

Muchos problemas de cómputo en ingeniería pueden ser divididos en pedazos de cálculos bien conocidos, como solución de sistemas de ecuaciones lineales, transformada rápida de Fourier, etc. Por consecuencia, frecuentemente el programador sólo tiene que escribir una rutina pequeña (driver) para el problema particular que tenga, porque el software para resolver las subtareas se encuentra ya disponible. De esta forma la gente no tiene que reinventar la rueda una y otra vez.

El mejor software para un tipo particular de problema debería ser adquirido de una compañia comercial, pero para álgebra lineal y algunos otros cómputo numéricos básicos hay software de calidad gratis (a través de Netlib).

Netlib

Netlib (NET LI Brary) es una colección grande de software, documentos, bases de datos gratis que son de interes para las comunidades científicas y de métodos numéricos. El depósito es mantenido por los Laboratorios Bell de AT&T, la Universidad de Tennessee y el Laboratorio Nacional Oak Ridge, y replicado en varios sitios alrededor del mundo.

Netlib contiene software de alta calidad que ha sido probado en forma intensiva, pero todo el software libre no tiene garantía y poco (si existe) soporte. Para poder usar el software, primero se tiene que descargar en su computadora y entonces compilarlo.

Paquetes de software comercial para cómputo numérico general:

NAG

El Grupo de Algoritmos numéricos (Numerical Algorithms Group) (NAG) ha desarrollado una biblioteca de Fortran conteniendo alrededor de 1000 subrutinas accesibles al usuario para resolver problemas generales de matemáticas aplicadas, incluyendo: ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, transformada rápida de Fourier, cuadratura, álgebra lineal, ecuaciones no lineales, ecuaciones integrales, y más.

IMSL

La biblioteca numérica de Fortran IMSL hecha por Visual Numerics, Inc. cubre muchas de las áreas contenidas en la biblioteca NAG. También tiene soporte para analizar y presentar datos estadísticos en aplicaciones científicas y de negocios.

NUMERICAL RECIPES

Los libros de Numerical Recipes in C/Fortran son muy populares entre los ingenieros porque pueden ser usados como libro de cocina donde se puede encontrar una “receta (recipe)” para resolver algún problema a mano. Sin embargo, el software correspondiente de Numerical Recipes no es comparable en alcance o calidad al dado por NAG o IMSL. Es un software muy usado en universidades, centros de investigación y por ingenieros. En los últimos años ha incluido muchas más capacidades, como la de programar directamente procesadores digitales de señal, crear código VHDL y otras.

MATLAB

Es un programa de cálculo numérico, orientado a matrices y vectores. Por tanto desde el principio hay que pensar que todo lo que se pretenda hacer con él, será mucho más rápido y efectivo si se piensa en términos de matrices y vectores.

GNU OCTAVE

Es un programa libre para realizar cálculos numéricos. Como indica su nombre es parte de proyecto GNU. MATLAB es considerado su equivalente comercial. Entre varias características que comparten se puede destacar que ambos ofrecen un intérprete permitiendo ejecutar órdenes en modo interactivo. Nótese que Octave no es un sistema de álgebra computacional como podría ser GNU Máxima, sino que usa un lenguaje que está orientado al análisis numérico.

Método iterativo

En matemáticas de cómputo, método iterativo tentativas de solucionar un problema (por ejemplo una ecuación o un sistema de ecuaciones) encontrando sucesivo aproximaciones a la solución a partir de una conjetura inicial. Este acercamiento está en contraste con métodos directos, que procuran solucionar el problema por una secuencia finita de operaciones, y, en ausencia de redondeo de errores, entregaría una solución exacta (como solucionar un sistema linear de ecuaciones Hacha = b por Eliminación Gaussian). Los métodos iterativos son generalmente la única opción para ecuaciones no lineales. Sin embargo, los métodos iterativos son a menudo útiles incluso para los problemas lineares que implican una gran cantidad de variables (a veces de la orden de millones), donde estarían prohibitivo costosos los métodos directos y en algunos casos imposible incluso con la mejor energía que computa disponible.