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Metodos Matematicos de la Fısica I: Teorıa. Curso 2006/07. Departamento de Algebra. http://www.us.es/da

Metodos Matematicosde la Fısica I

Notas de Teorıa del segundo parcial

Departamento de Algebra, Universidad de Sevilla

Curso 2006/07


El contenido de estas notas ha sido disenado y redactado por el profesorado de laasignatura. Se permite su reproduccion, unica y exclusivamente para estudio personal.No se permite la copia indiscriminada, ni con fines lucrativos o diferentes del citado, dela totalidad o de parte de las presentes notas. c© 2006.


Tema 6: Espacio afın y proyectivo

6.1. Espacio afın.

Definicion.– Sea k un cuerpo arbitrario. El espacio afın n–dimensional sobre k es unaterna (An(k), V, +), donde:

(a) An(k) = kn como conjunto (esto es, NO hay operaciones definidas entre elementosde An(k)). Los elementos de An(k) se denominan puntos y se notaran con letrasmayusculas: A,B,C, ..., P,Q,R, ...

(b) V = kn como espacio vectorial. Sus elementos se seguiran denotando como hastaahora: u, v, .... Cuando se escriban sus coordenadas usaremos la notacion clasica

u =−−−−−−−→(α1, ..., αn).

(c) La operacion + es una operacion externa, de An(k) × V en An(k) que asocia alpar (P, u) el punto P + u definido por

P + u = (a1, ..., an) +−−−−−−−→(α1, ..., αn) = (a1 + α1, ..., an + αn).

Observacion.– Se verifican de manera inmediata las siguientes propiedades:

(a) Fijado P ∈ An(k), se tiene la igualdad de conjuntos {P + u | u ∈ V } = An(k).

(b) Dados P ∈ An(k) y u, v ∈ V , (P + u) + v = P + (u + v).

(c) Dados P ∈ An(k), u, v ∈ X , si P + u = P + v entonces u = v.

(d) Dados P,Q ∈ An(k) existe un unico u ∈ V que verifica P + u = Q. En estascondiciones el vector u tambien se notara −→PQ. Observemos que la unicidad essobre u y no sobre el par (P,Q): es posible que haya otros pares de puntos (A,B)

tales que u =−→AB.

Obviamente, la notacion −→PQ corresponde, intuitivamente, al vector que va de P a Q.Por ello tambien se llaman a P y Q puntos origen y final de −→PQ.

Observacion.– Usando la notacion anteriormente introducida, se pueden probar (en rea-lidad, es poco mas que reescribir las propiedades anteriores en esta notacion):

(a) −→PQ +−→QR =

−→PR para cualesquiera P,Q,R ∈ An(k).


(b) −→PQ = −−→QP para cualesquiera P,Q ∈ An(k).

(c) −→PQ =−→SR si y solo si −→PS =

−→QR, para cualesquiera P,Q,R, S ∈ An(k) (teorema

de Thales paralelo).

Veremos a continuacion el concepto de dependencia afın en un conjunto de puntos,que se corresponde con el de dependencia lineal de vectores.

Definicion.– Sea S ⊂ An(k) un conjunto de puntos de An(k). Diremos que S esafınmente (in)dependiente si existe O ∈ An(k) tal que el conjunto

SO = {−→OQ | Q ∈ S, Q 6= O} ⊂ V

es linealmente (in)dependiente.

Lema.– Para comprobar si S ⊂ An(k) es afınmente (in)dependiente es indiferente quepunto O escojamos en S como origen de todos los vectores.

Demostracion.– En efecto, veamos que sucede si escojemos otro punto P ∈ An(k)y usamos, en lugar de SO el conjunto correspondiente SP .

El conjunto SO es linealmente dependiente si y solo si existe un combinacion linealno trivial igualada a 0 en SO. Esto es, si y solo si existen puntos R1, ..., Rt ∈ S (distintosde O) y escalares α1, ..., αt ∈ k, no todos nulos, tales que

0 = α1−−→OR1 + ... + αt

−−→ORt

= α1(−→OP +

−−→PR1) + ... + αt(

−→OP +

−−→PRt)

= α1−−→PR1 + ... + αt

−−→PRt − (α1 + ... + αt)

−→PO

de donde SP ha de ser linealmente dependiente, puesto que algun αi es no nulo. Estoprueba lo que queremos salvo en el caso de que exista i entre 1 y t verificando

P = Ri, α1 = ... = αi−1 = αi+1 = ... = αt = 0,

en cuyo caso la suma anterior se reduce a 0 = αi−→PO por lo cual, al ser αi 6= 0, ha de ser

O = P en contra de la hipotesis.

Observacion.– Analogamente a este resultado podemos probar que un conjunto T ={P1, ..., Pt} es afınmente independiente si para cualquier O ∈ An(k), O /∈ T existe un Pi

tal que −−→OPi depende linealmente del conjunto −−→OP1, ...,−−−→OPi−1,

−−−→OPi+1, ...,

−−→OPt.

Esto se expresa diciendo que el punto Pi depende afınmente de los puntosP1, ..., Pi−1, Pi+1, ..., Pt y, como antes, no depende de la eleccion del punto O.

Observacion.– Obviamente, por los resultados conocidos de espacios vectoriales, en elespacio afın n–dimensional no puede haber mas de n+1 puntos afınmente independientes.Es mas, un conjunto {P0, P1, ..., Pt}, dado por

Pi = (a1i, ..., ani)

es afınmente independiente si y solo si

t = rg

a11 − a10 ... a1t − a10...

...an1 − an0 ... ant − an0

,


o, utilizando las propiedades del rango, si y solo si

t + 1 = rg

1 1 ... 1a10 a11 ... a1t

......

...an0 an1 ... ant

,

que resulta mas sencillo de recordar. Obviamente, el conjunto es afınmente dependientesi el rango de la matriz anterior es menor estrictamente que t + 1.

6.2. Espacio proyectivo.

Dado el espacio vectorial V = kn+1 consideramos la siguiente relacion en V \ {0}:u ∼ v ⇐⇒ ∃α ∈ k con u = αv.

Observacion.– La relacion ∼ es de equivalencia y probarlo es trivial. Por ejemplo, latransitividad es directa: si u ∼ v ∼ w, entonces

u = αv = αβw =⇒ u ∼ w.

Definicion.– El conjunto de clases de equivalencia de la relacion ∼ se denomina el espa-cio proyectivo n–dimensional (atencion a la dimension) definido sobre k, notado Pn(k).

Un elemento de Pn(k), consistente en la clase de equivalencia de u = (a0, ..., an), senotara [a0 : ... : an] y se denominara punto proyectivo. Notemos que, para cualquieraα 6= 0,

[a0 : ... : an] = [αa0 : ... : αan].

Dicho de otro modo, [a0 : ... : an] = [b0 : ... : bn] si y solo si

rg(

a0 ... an

b0 ... bn

)

= 1.

Observacion.– La notacion para los puntos proyectivos se hereda del caso unidimen-sional, P1(k), denominado la recta proyectiva, donde los puntos [a1 : b1] y [a2 : b2]son iguales si y solo si lo son las proporciones que determinan; esto es, si y solo sia1/b1 = a2/b2.

Definicion.– La aplicacion natural

π : V \ {0} −→ Pn(k)

(a0, ..., an) 7−→ [a0 : ... : an]

se denomina proyeccion (natural de V \ {0} en el espacio proyectivo Pn(k)).

Definicion.– Sea S = {P1, ..., Pt} ⊂ Pn(k). Diremos que S es un conjunto proyectiva-mente (in)dependiente si, dados v1, ..., vt ∈ V cualesquiera verificando que π(vi) = Pi,el conjunto {v1, ..., vt} es linealmente (in)dependiente en V .

Observacion.– Algunos comentarios a tener en cuenta relativos a esta definicion son:


(a) Podemos, por supuesto (como hicimos en espacios vectoriales y afines) definir elconcepto de (in)dependencia lineal sin forzar el hecho de que el conjunto S seafinito. Sin embargo, esto solo complica innecesariamente la definicion: es muchomas sencillo extender de manera natural la definicion al caso infinito donde, comoes evidente, todo S ⊂ V es proyectivamente dependiente (en realidad basta con queS tenga mas de n + 1 puntos).

(b) El hecho de que S = {P1, ..., Pt} sea proyectivamente (in)dependiente no dependede la eleccion de los vi, como se desprende por otro lado de la definicion. En efecto,como sabemos, si notamos

vi = (a0i, a1i, ..., ani) ,

el conjunto S es linealmente dependiente si y solo si

rg

a01 a02 ... a0t

a11 a12 ... a1t

......

...an1 an2 ... ant

< t,

lo cual no depende de la eleccion de los vi, pues otra eleccion solo habrıa multipli-cado la columna correspondiente por un escalar no nulo, lo cual no varıa el rangode la matriz.

Definicion.– Sea Pn(k) el espacio proyectivo n–dimensional. Notemos H ⊂ kn+1 lavariedad definida por x0 = 0. Entonces el subconjunto

H∞ = {[0 : a1 : ... : an] | ai ∈ k} = π (H \ {0})

se denomina el hiperplano del infinito.

Observacion.– Notemos que H∞ se puede identificar canonicamente con Pn−1(k), vıa

H∞ −→ Pn−1(k)[0 : a1 : ... : an] 7−→ [a1 : ... : an]

identificacion que, por supuesto, preserva la dependencia e independencia proyectva.

Los ultimos enunciados de esta leccion tienen por objeto relacionar el espacio afın yel proyectivo mediante la inmersion clasica (en este caso, fijando la primera coordenada).

Observacion.– Consideremos la aplicacion ϕ dada por

ϕ : An(k) −→ Pn(k)

(a1, ..., an) 7−→ [1 : a1 : ... : an]

Entonces ϕ es una aplicacion biyectiva entre An(k) y Pn(k) \ H∞. La inyectividades clara, ya que puntos distintos necesariamente van en puntos distintos. Por otro parte,dado un punto proyectivo que no este en H∞, pongamos P = [a0 : ... : an], como a0 6= 0podemos escribir P = [1 : a1/a0 : ... : an/a0] = ϕ(a1/a0, ..., an/a0).


Ası podemos identificar An(k) con el subconjunto complementario de H∞ en Pn(k),y esta identificacion se usara, a veces, sin mencion explıcita.

Notacion.– Dado P ∈ An(k) para distinguir cuando consideramos P como punto afın ycuando como punto proyectivo, notaremos [P ] = ϕ(P ).

Proposicion.– La identificacion anterior convierte la (in)dependencia afın en(in)dependencia proyectiva y viceversa (cuando ha lugar).

Demostracion.– La prueba es trivial, ya que si {P1, ..., Pr} vienen dados por

Pi = (a1i, ..., ani)

son afınmente independientes si y solo si

rg

1 ... 1a11 ... a1r

......

an1 ... anr

= r,

lo cual es claramente equivalente a que {[P1], ..., [Pr]} sean proyectivamente independi-entes.

6.3. Variedades lineales (I).

Mantenemos las notaciones anteriores relativas a An(k) (espacio afın n–dimensional),V (el espacio vectorial kn) y Pn(k) = (kn+1 \ {0}) / ∼ (espacio proyectivo n–dimensional).

Definicion.– Una variedad lineal proyectiva es el conjunto de clases de equivalencia, por∼, de un subespacio vectorial de kn+1, del que hemos retirado el vector {0}.

En concreto, dado un subespacio L ⊂ kn+1, la variedad correspondiente es π(L\{0}),que por abuso de notacion, denominaremos π(L).

Observacion.– Dado un subespacio L ⊂ kn+1, es trivial probar que u ∈ L si y solo siαu ∈ L para todo α ∈ k no nulo. Esto indica que la anterior definicion es consistente,pues una clase de equivalencia esta (entera) o no esta (entera) en un subespacio de kn+1.

Observacion.– Notemos que, a diferencia de los subespacios vectoriales, el conjuntovacıo sı es una variedad lineal proyectiva, procedente de L = {0}.

Notacion.– Por herencia de la situacion vectorial, si L viene dada por L = L(u1, ..., ut),con ui 6= 0, diremos que π(L) esta generada por (o admite como sistema generador a)π(u1), ..., π(ut), circunstancia que denotaremos

π(L) = Lp(π(u1), ..., π(ut)).

Un sistema generador se dira una base cuando sus puntos sean proyectivamente indepen-dientes.


De la misma forma denominaremos un sistema de ecuaciones implıcitas de π(L) acualquier sistema de ecuaciones implıcitas de L.

Ası, por ejemplo,

H∞ = Lp ([0 : 1 : 0 : ... : 0], [0 : 0 : 1 : ... : 0], ..., [0 : 0 : 0 : ... : 1]) ,

y esos puntos son, de hecho, base de H∞. Un sistema de ecuaciones implıcitas de H∞ es,obviamente, {x0 = 0}.

Por las propiedades ya estudiadas de los espacios vectoriales podemos decir que todavariedad lineal proyectiva admite una base y un sistema de ecuaciones implıcitas inde-pendientes. Ademas, dos bases cualesquiera han de tener el mismo numero de elementos,ası como dos sistemas de ecuaciones implıcitas independientes.

Definicion.– Una variedad lineal afın es la interseccion de una variedad lineal proyectivacon el espacio afın An(k) ⊂ Pn(k) (mediante la inmersion ϕ).

Proposicion.– Sea Y una variedad afın no vacıa. Entonces existe una unica variedadlineal proyectiva Z tal que Y = Z ∩An(k).

Demostracion.– Supongamos que, en efecto Z ′ ∩ An(k) = Z ∩ An(k) = Y parados variedades proyectivas Z y Z ′. Basta entonces probar que Z ′ ∩H∞ = Z ∩H∞ paradeterminar que Z ′ = Z. Veamos solo una inclusion, ya que la otra es analoga. Paraempezar fijemos P = [1 : a1 : ... : an] ∈ Z ∩An(k) = Z ′ ∩An(k).

Si tomamos R = [0 : b1 : ... : bn] ∈ Z ′ ∩H∞ entonces, por provenir de un subespaciovectorial, ha de ser

Q = [1 : a1 + b1 : ... : an + bn] ∈ Z ′ ∩An(k) = Z ∩An(k).

Al tener P,Q ∈ Z, es obvio que R ∈ Z, lo que prueba la inclusion.

Definicion.– Dada una variedad lineal afın no vacıa Y , la unica variedad proyectiva Zque verifica Z ∩An(k) = Y se denomina clausura proyectiva de Y y se denotara Y .

Convendremos que ∅ = ∅, ya que no hay en general (salvo para n = 1) una unicavariedad proyectiva Z tal que Z ⊂ H∞ (y, por tanto, tal que Z ∩An(k) = ∅).

Observacion.– Ası como podemos identificar An(k) con Pn(k) \H∞, podemos dotar decontenido geometrico (afın) a H∞.

En efecto, H∞ es, como vimos un espacio proyectivo (n − 1)–dimensional y, portanto, esta formado por las clases de equivalencia de V \ {0} mediante ∼. Ası, podemosinterpretar H∞ como las direcciones en X esto es, los conjuntos formados por un vectorde V y todos sus multiplos no nulos. Esta interpretacion se correspondera perfectamentecon la naturaleza dual del plano afın (puntos–vectores), como se vera.

Notacion.– Para distinguir cuando hablamos de v ∈ kn como vector en el espacio afın ycuando de 〈v〉 \ {0} como punto de H∞, notaremos este ultimo como [v].

Definicion.– Dada una variedad afın Y no vacıa, definimos la variedad de direccion de Ycomo

D(Y ) ={

v ∈ kn | [v] ∈ Y ∩H∞

}

∪ {0}.


Esto es, la direccion de Y estan determinados por los puntos de la variedad proyectivade la que procede Y que se encuentran en el infinito (H∞) o, equivalentemente, por lasdirecciones contenidas en la variedad Y .

Observacion.– D(Y ) es un subespacio vectorial de kn, como se puede comprobarfacilmente. Para ello basta comprobar que, dados u =

−−−−−−−→(a1, ..., an), v =

−−−−−−→(b1, ..., bn) ∈

D(Y ), tenemos que

[u] = [0 : a1 : ... : an], [v] = [0 : b1 : ... : bn] ∈ Y ,

y, por tanto, dados α, β ∈ k,

[αu + βv] = [0 : αa1 + βb1 : ... : αan + βbn] ∈ H∞ ∩ Y ,

de donde αu + βv ∈ D(Y ).

Observacion.– El caso de las variedades lineales afines es algo mas complejo a la hora dehablar de sistemas generadores, bases o sistemas de ecuaciones. Por ejemplo, diferentesbases de una misma variedad proyectiva Z puede dar, al cortar con An(k), conjuntos condiferente cardinal, lo cual no es en modo alguno apropiado. Esto nos llevara la proximaleccion.

6.4. Variedades lineales (II).

Notamos, como de costumbre, An(k), V y Pn(k). Ademas, seguiremos usando H : x0 =0 ⊂ kn+1 y H∞ = π(H) ⊂ Pn(k).

Lema.– Sea π(L) una variedad lineal proyectiva. Entonces existe una base de L,{u1, ..., ut}, tal que π(ui) ∈ H∞ para i = 2, ..., t. Ademas, si π(L) 6⊂ H∞, podemosencontrar una base de L, {v1, ..., vt}, tal que π(vi) /∈ H∞, para i = 1, ..., t.

Demostracion.– La prueba es muy simple: por el teorema de la dimension, tenemosque

dim(H ∩ L) = dim(H) + dim(L)− dim(H + L),

donde tenemos dos opciones. La primera es que L ⊂ H , en cuyo caso no hay nadaque probar, ya que cualquier sistema generador verifica el enunciado evidentemente. Lasegunda es que L 6⊂ H , en cuyo caso L + H = kn+1 y, por tanto,

dim(L ∩H) = dim(L)− 1.

Entonces para probar el primer aserto solo resta tomar una base de L∩H (que son losv2, ..., vt del enunciado) y extenderla a una base de L con otro vector.

En cuanto a la segunda afirmacion, si partimos de {u1, u2, ..., ut} como antes, pode-mos considerar una nueva base de L dada por {u1, u1 + u2, ..., u1 + ut}, cuyos vectoresno estan en H . Probar que este nuevo conjunto es en efecto base de L es un ejerciciosencillo. Esto finaliza la prueba.


Corolario.– Dada una variedad lineal proyectiva Z existe una base P1, ..., Pt tal queP2, ..., Pt ∈ H∞. Ademas, si Z 6⊂ H∞ podemos hallar otra base Q1, ..., Qt tal queQi /∈ H∞.

En terminos afines, esto representa que, dada Y variedad lineal afın, podemos hallaruna base de Y tal que todos sus elementos, menos el primero, sean de la forma [v], conv ∈ kn. Ademas, si Y 6= ∅, podemos tambien escoger una base de Y de la forma[P1], ..., [Pt] con Pi ∈ An(k).

Observacion.– De la prueba de la primera afirmacion se desprende que, comoL(u2, ..., ut) = L ∩ H , el subespacio de kn+1 generado por los t − 1 ultimos vectoresde la base hallada de L no depende de la base en cuestion, sino tan solo del propio L.

Proposicion.– Sea Y una variedad lineal afın no vacıa. Entonces, para todo P ∈ Y ,

Y = P + D(Y ) = {P + u | u ∈ D(Y )}.

Demostracion.– Fijemos P = (a1, ..., an). Probemos en primer lugar que Y ⊂ P +D(Y ). Si tomamos Q = (b1, ..., bn) ∈ Y , tenemos que [Q] ∈ Y = π(L), por lo que(1, a1, ..., an), (1, b1, ..., bn) ∈ L ⊂ kn+1.

Al ser L subespacio, tenemos que (0, b1−a1, ..., bn−an) ∈ L y, ası, (0, b1−a1, ..., bn−an) ∈ H ∩ L, de donde

−→PQ =

−−−−−−−−−−−−−−→(b1 − a1, ..., bn − an) ∈ D(Y ).

Para ver la otra inclusion tomaremos u ∈ D(Y ) dado por u =−−−−−−−→(u1, ..., un) de donde

(0, u1, ..., un) ∈ H∩L. Al ser (1, a1, ..., an) ∈ L tenemos que (1, a1+u1, ..., an+un) ∈ Ly, por tanto

[P + u] ∈ π(L) =⇒ P + u ∈ Y,

lo que prueba la inclusion que restaba.

Observacion.– Ası pues, la base que hallabamos al principio de la leccion para una va-riedad lineal proyectiva π(L) se traduce, en la variedad afın correspondiente Y , en unpunto P ∈ Y y una base {v1, ..., vt} del subespacio D(Y ). La otra base hallada estabaformada, como podemos comprobar reescribiendo la prueba, por los puntos afines P, P +v1, ..., P + vt.

Definicion.– Un conjunto de puntos afines Q1, ..., Qr ∈ X se dicen sistema generador deuna variedad lineal afın Y (denotado Y = La(Q1, ..., Qr)) cuando [Q1], ..., [Qr] generanY .

Observacion.– Por lo anterior, toda variedad lineal afın admite un sistema generador for-mado por puntos afines. Ademas, como existe una base de Y formada por puntos afines,existe un sistema generador de Y formado por puntos afines afınmente independientes(ver 6.2.).

En el sentido contrario, dado un conjunto de puntos afines (respectivamente un punto yun subespacio de V ) el conjunto de puntos afines que dependen de ellos (respectivamentelos puntos que se pueden formar sumando todos los vectores del subespacio al punto) sonuna variedad afın, proveniente de la variedad proyectiva generada por los propios puntos,


vıa ϕ (respectivamente, generada por el punto, visto en Pn(k) y los vectores, vistos enH∞ ⊂ Pn(k)).

Definicion.– Sea Y una variedad lineal afın. Diremos que

A

x1...

xn

=

b1...

bm

es un sistema de ecuaciones implıcitas de Y si se verifica que P = (a1, ..., an) ∈ Y si ysolo si (a1, ..., an) es solucion del sistema.

Proposicion.– Toda variedad lineal afın no vacıa tiene un sistema de ecuacionesimplıcitas.

Demostracion.– Dada Y nos fijamos en un sistema de ecuaciones implıcitas de Y :

a10x0 + a11x1 + ... + a1nxn = 0...

......

...am0x0 + am1x1 + ... + amnxn = 0

Entonces, como P = (a1, ..., an) ∈ Y si y solo si [1 : a1 : ... : an] verifica lasecuaciones, es obvio que un sistema de ecuaciones lineales de Y es

a10 + a11x1 + ... + a1nxn = 0...

......

...am0 + am1x1 + ... + amnxn = 0

Observacion.– Como las direcciones de D(Y ) son los puntos de Y cuya primera coorde-nada es 0, un sistema de ecuaciones del subespacio D(L) ⊂ kn es precisamente

a11x1 + ... + a1nxn = 0...

......

am1x1 + ... + amnxn = 0

esto es, el sistema homogeneo asociado al de Y .

Observacion.– Recıprocamente, como vimos en 2.8., toda solucion de un sistema com-patible de ecuaciones en n indeterminadas se puede escribir como suma de una solucionparticular mas una del sistema homogeneo asociado. A partir de aquı, el conjunto desoluciones de un sistema compatible se puede escribir como una solucion particular (unpunto afın) mas las soluciones del sistema homogeneo (que corresponden a un subespaciode V ).

Ası todo sistema compatible de n incognitas determina una variedad lineal afın Yy haciendo cada ecuacion homogenea, multiplicando el termino independiente por x0,obtenemos la variedad lineal proyectiva Y .


6.5. Operaciones con variedades.

Observacion.– Como en el caso vectorial (o, mas bien, precisamente por ello mismo), lainterseccion de variedades proyectivas es de nuevo una variedad proyectiva. En concreto

π(L1) ∩ π(L2) = π(L1 ∩ L2).

Mas aun, si tenemos dos variedades afines Y1 = π(L1)∩An(k), Y2 = π(L2)∩An(k),entonces

Y1 ∩ Y2 = (π(L1) ∩An(k))⋂

(π(L2) ∩An(k)) = π(L1 ∩ L2) ∩An(k),

con lo que la interseccion de variedades afines tambien es una variedad afın.

Sin embargo, al igual que en el caso vectorial, la union de variedades (tanto afinescomo proyectivas) no es una variedad, en general, por lo que se opta por definir la sumade variedades de la forma natural.

Definicion.– Dadas dos variedades proyectivas Z1 = π(L1), Z2 = π(L2) definimos Z1 +Z2 = π(L1+L2). De la misma forma, dadas dos variedades afines Y1 = Z1∩An(k), Y2 =Z2 ∩An(k), definimos Y1 + Y2 = (Z1 + Z2) ∩An(k).

Proposicion.– En las condiciones anteriores Z1 + Z2 (respectivamente Y1 + Y2) es lamenor variedad lineal proyectiva (respectivamente afın) que contiene a Z1 y a Z2 (respec-tivamente a Y1 e Y2).

Demostracion.– Es directa a partir de la propiedad vectorial correspondiente.

Observacion.– A partir de lo anterior (y de los enunciados correspondientes en el casovectorial) es trivial obtener los siguientes resultados:

(a) Unas ecuaciones de la intereseccion de dos variedades lineales (afines o proyec-tivas) se pueden obtener uniendo unos sistemas de ecuaciones de las variedadeslineales en cuestion.

(b) Un sistema generador de la suma de dos variedades lineales (afines o preyectivas)se puede obtener uniendo unos sistemas generadores de las variedades lineales encuestion.

Estos enunciados prueban, ademas, que si Y1 e Y2 son variedades lineales afines,

(a) Y1 + Y2 = Y1 + Y2.

(b) Si Y1 ∩ Y2 6= ∅, Y1 ∩ Y2 = Y1 ∩ Y2.

Al igual que en el caso vectorial, el hecho de partir de sistemas de ecuaciones inde-pendientes o de sistemas de generadores independientes (proyectivamente o afınmente)no puede garantizar la independencia del sistema de ecuaciones o del sistema generadorobtenido.


Observacion.– En el caso de la suma de dos variedades lineales afines, si optamos porpresentarlas de la forma

Y1 = P + D(Y1) = P + 〈u1, ..., ut〉Y2 = Q + D(Y2) = Q + 〈v1, ..., vs〉

y queremos presentar de la misma forma Y1 +Y2 hemos de tener en cuenta que la anteriorpresentacion implica que las variedades lineales proyectivas de las que proceden verifican,respectivamente

Y1 = Lp([P ], [u1], ..., [ut]), Y2 = Lp([Q], [v1], ..., [vs])

por lo que el sistema generador de Y1 +Y2 obtenido no es de la forma adecuada (un puntoen An(k) y el resto en H∞).

Esto se puede arregalr, sin mayor problema, sustituyendo el punto proyectivo [1 : b1 :... : bn] por [0 : b1 − a1 : ... : bn − an]. En efecto, el sistema generador resultante generael original y a su vez es generado por el, de forma que

Y1 + Y2 = Lp([P ], [u1], ..., [ut], [v1], ..., [vs], [0 : b1 − a1 : ... : bn − an]).

Enunciamos el resultado en terminos de variedades lineales afines.

Proposicion.– Sean Y1 = P + D(Y1), Y2 = Q + D(Y2) variedades lineales afines. En-tonces

D(Y1 + Y2) = D(Y1) + D(Y2) + 〈−→PQ〉.

Observacion.– Dado que P y Q se pueden tomar arbitrarios en Y1 y Y2, respectivamente,es inmediato probar que, si Y1 ∩ Y2 6= ∅, entonces

D(Y1 + Y2) = D(Y1) + D(Y2).

Ası mismo, si Y1 ∩ Y2 = ∅, entonces −→PQ no puede estar ni en D(Y1) ni en D(Y2), porlo que el tercer sumando nunca es superfluo.

Observacion.– Para estudiar la variedad de direccion de la interseccion de dos variedadesafines Y1 y Y2 supondremos de entrada que Y1∩Y2 6= ∅. Entonces D(Y1∩Y2) = D(Y1)∩D(Y2). En efecto, tomemos P ∈ Y1 ∩ Y2 cualquiera y lo consideraremos fijado para loque sigue.

Un vector u ∈ D(Y1 ∩ Y2) si y solo si el punto Q = P + u ∈ Y1 ∩ Y2. Pero entoncesP + u esta en Y1 y en Y2, al igual que P , de donde u ∈ D(Y1) ∩D(Y2).

Para ver la otra inclusion se puede proceder de forma parecida: Si u ∈ D(Y1)∩D(Y2),entonces P + u ∈ Y1 ∩ Y2, por lo que u ∈ D(Y1 ∩ Y2).

6.6. Dimension. Teoremas de dimension.

Observacion.– La dimension de una variedad lineal proyectiva Z = π(L) podrıa definirsecomo dim(Z) = dim(L). Sin embargo, esto producirıa ciertos fenomenos que no se


corresponden con la intuicion: ası el espacio proyectivo n–dimensional tendrıa dimensionn + 1 y un punto proyectivo tendrıa dimension 1.

Definicion.– Dada una variedad lineal proyectiva Z = π(L), definimos dim(Z) =dim(L) − 1. Analogamente, para una variedad lineal afın no vacıa Y , definimosdim(Y ) = dim(Y )

Las variedades de dimension 0 son los puntos (afines o proyectivos). Las variedadesde dimension 1, 2 y n−1 se denominan, respectivamente, rectas, planos e hiperplanos. Elvacıo, por ejemplo, como variedad proyectiva tiene dimension−1, ası que, como variedadafın, tambien tiene dimension −1.

Observacion.– A partir de estas definiciones y de los resultados de la leccion anteriorpodemos deducir que:

(a) Una variedad proyectiva de dimension r en Pn(k) tiene una base de r + 1 puntos yviene determinada por un sistema de n − r ecuaciones independientes homogeneoen n + 1 incognitas.

(b) Una variedad afın de dimension r en An(k) tiene un sistema generador formado porr+1 puntos afınmente independientes y viene determinada por un sistema de n− recuaciones independientes en n incognitas (en general, no homogeneo). Tambienpuede venir determinada por un punto y una base de su variedad de direccion for-mada por r vectores de kn.

(c) Una variedad afın tiene la misma dimension que su variedad de direccion.

Vamos a estudiar ahora la relacion de las dimensiones de la suma y la interseccion devariedades.

Teorema de la dimension para variedades proyectivas.– Sean Z1, Z2 variedades lin-eales proyectivas. Entonces

dim(Z1 + Z2) + dim(Z1 ∩ Z2) = dim(Z1) + dim(Z2).

Demostracion.– Directa del caso vectorial.

Observacion.– En el caso afın, situaciones conocidas nos hacen ver que el resultadoanalogo no se verifica. Por ejemplo, si tomamos dos rectas afines paralelas (posterior-mente definiremos el paralelismo, pero entedemos que el alumno sabe que son rectasparalelas) R1 y R2 en el plano A2(k). Entonces R1 + R2 = A2(k) y por tanto

dim(R1 + R2) = 2, dim(R1 ∩R2) = −1, dim(R1) = dim(R2) = 1.

Sin embargo, en el proyectivo R1 ∩ R2 no es vacıo porque, al ser paralelas, tienen lamisma variedad de direccion y, por tanto, R1 y R2 se cortan en la recta del infinito (deahı, precisamente, su nombre).

Definicion.– Dadas dos variedades afines Y1 e Y2 decimos que son paralelas cuandoD(Y1) ⊂ D(Y2) o viceversa. Dicho de otro modo, cuando Y1 ∩ H∞ ⊂ Y2 ∩ H∞ (oviceversa). Esto se denota Y1||Y2.

Teorema de la dimension para variedades afines.– Sean Y1, Y2 variedades linealesafines. Entonces:


(a) Si Y1 ∩ Y2 6= ∅,

dim(Y1 + Y2) + dim(Y1 ∩ Y2) = dim(Y1) + dim(Y2).

(b) Si Y1 ∩ Y2 = ∅,

dim(Y1 + Y2) + dim(Y1 ∩ Y2) + dim(D(Y1) ∩D(Y2)) = dim(Y1) + dim(Y2).

Demostracion.– Es muy simple a partir del caso vectorial y de la formula para D(Y1+Y2) que hallamos en la pasada leccion. Por ejemplo, en el caso no disjunto,

dim(Y1) + dim(Y2) = dim(D(Y1)) + dim(D(Y2))= dim(D(Y1 + Y2)) + dim(D(Y1) ∩D(Y2))= dim(Y1 + Y2) + dim(Y1 ∩ Y2)

En el caso disjunto, para cualesquiera P ∈ Y1, Q ∈ Y2

dim(Y1 + Y2) = dim [D(Y1 + Y2)]

= dim[

D(Y1) + D(Y2) + 〈−→PQ〉]

Aplicando ahora el teorema de la dimension para el caso vectorial obtenemos que

dim[

D(Y1) + D(Y2) + 〈−→PQ〉]

=

= dim [D(Y1) + D(Y2)] + dim(〈−→PQ〉)− dim[

(D(Y1) + D(Y2)) ∩ 〈−→PQ〉]

= dim [D(Y1) + D(Y2)] + 1,

ya que, como indicamos en la pasada leccion−→PQ no puede estar ni en D(Y1) ni en D(Y2).

Aplicamos de nuevo el teorema de la dimension en V ,

dim [D(Y1) + D(Y2)] = dim(D(Y1)) + dim(D(Y2))− dim [D(Y1) ∩D(Y2)]= dim(Y1) + dim(Y2)− dim [D(Y1) ∩D(Y2)]

lo cual demuestra el resultado.

Observacion.– Una interpretacion proyectiva de este teorema es la siguiente: dadas Y1 eY2, tenemos que

dim(Y1 + Y2) + dim(Y1 ∩ Y2) = dim(Y1) + dim(Y2),

o seadim(Y1 + Y2) + dim(Y1 ∩ Y2) = dim(Y1) + dim(Y2).

Entonces, si Y1 ∩ Y2 = ∅ es porque Y1 ∩ Y2 ⊂ H∞ y, ası, Y1 ∩ Y2 se debe sustituir porla interseccion de Y1 e Y2 en el infinito, esto es, por la interseccion de sus variedades dedireccion. En concreto, el teorema prueba que, en este caso,

dim [D(Y1) ∩D(Y2)]− 1 = dim(Y1 ∩ Y2).


6.7. Sistemas de referencia (I).

El problema de dotar a una variedad proyectiva de coordenadas proyectivas; esto es,definidas salvo producto por un escalar, es mas complejo de lo que podrıa parecer. Enefecto, dada una variedad Z de dimension r, una base {P0, ..., Pr} de Z y un puntoQ ∈ Z, no es posible definir de forma consistente las coordenadas de Q respecto dela base anterior, ya que hay que pasar al espacio vectorial kn+1 y la forma de hacerlo noes unica.

Ejemplo.– Tomemos H∞ : {x0 = 0} ⊂ P2(k), generado por P = [0 : 1 : 0] y Q = [0 :0 : 1]. Tomamos R = [0 : 1 : 2] ∈ H∞ y observamos que

(0, 1, 2) = (0, 1, 0) + 2(0, 0, 1), (0, 1, 2) = (−1)(0,−1, 0) + 1(0, 0, 2),

donde hemos escrito un vector de la clase de R de dos formas distintas (no proporcionales)como suma de vectores de las clases de P y Q. Con el mismo derecho podemos decir quelas coordenadas de R respecto de {P,Q} son [1 : 2] o [−1 : 1].

La solucion esta en fijar un punto mas, con coordenadas convenidas, de forma quesolo haya una eleccion posible para los vectores que podemos utilizar. Este punto se sueledenominar unidad y las coordenadas que se escogen para el son [1 : 1 : ... : 1]. Veamoscomo se hace esto en concreto.

Definicion.– Dada un variedad lineal proyectiva Z = π(L) ⊂ Pn(k) de dimension r(eventualmente Z = Pn(k)), un conjunto de r +2 puntos P0, ..., Pr+1 se dicen un sistemade referencia proyectivo de Z cuando r + 1 cualesquiera de dichos puntos es base de Z.

Proposicion.– Sea Z = π(L) una variedad proyectiva de dimension r, {P0, P1, ..., Pr+1}un sistema de referencia de Z ⊂ Pn(k). Entonces existen u0, u1, ..., ur+1 ∈ kn+1 verifi-cando:

(a) π(ui) = Pi.

(b) u0 + u1 + ... + ur = ur+1.

Ademas, para cualquier otra (r + 2)–upla de vectores v0, ..., vr+1 cumpliendo (a) y(b), se verifica que existe α ∈ k no nulo con

u0 = αv0, u1 = αv1, ..., ur+1 = αvr+1.

Mas aun, si denotamos BL = {u0, ..., ur}, para cualquier punto Q ∈ Z, si w,w′ sonvectores que verifican π(w) = π(w′) = Q, entonces existe λ ∈ k no nulo tal que

(w)BL= λ(w′)BL

.

Demostracion.– Para probar la primera afirmacion tomamos coordenadas

P0 = [a00 : ... : an0], ..., Pr = [a0r : ... : anr], Pr+1 = [b0 : ... : bn].

Entonces los vectores ui, i = 0, ..., r + 1 han tener a su vez coordenadas

ui = µi(a0i, ..., ani), ur+1 = ν(b0, ..., bn),


para ciertos µ0, ..., µr, ν escalares no nulos. Si imponemos que u0 + ... + ur = ur+1

obtenemos el sistema de ecuaciones (en µ0, ..., µr, ν)

a00µ0 + ... + a0rµr − νb0 = 0...

......

...an0µ0 + ... + anrµr − νbn = 0

que es compatible por ser homogeneo. Pero ademas la matriz de los coeficientes tienerango r + 1, ya que u0, ..., ur+1 generan L, que tiene dimension r + 1.

Esto implica que, al tener r + 2 incognitas, las soluciones del sistema han de ser de laforma

µi = ait, ν = bt, para cualquier t ∈ k,

lo que prueba la primera afirmacion, tomando

ui = ai(a0i, ..., ani), ur+1 = b(b0, ..., bn).

Notemos que todos los ai y b han de ser distintos de 0. De no ser ası (por ejemplo,a0 = 0) tendrıamos

u1 + ... + ur = ur+1,

con lo que {P1, ..., Pr+1} serıa proyectivamente dependiente, contra las hipotesis. Lasegunda afirmacion es tambien trivial a partir de lo ya probado.

Tomamos ahora w tal que π(w) = Q y, dado que w esta en L, que esta generado poru0, ..., ur, podemos escribir

w = α0u0 + ... + αrur

de forma unica. Si escogemos otro vector w′ que verifique π(w′) = Q necesariamenteexiste δ tal que w = δw′ y, ası,

w′ = δ (α0u0 + ... + αrur) ,

de donde tenemos el enunciado, por la unicidad de las coordenadas de un vector (en estecaso, w y w′) respecto de una base (en este caso u0, ..., ur).

Definicion.– En las condiciones anteriores, [α0 : ... : αr] se denominan las coordenadasde Q respecto del sistema de referenciaR = {P0, ..., Pr, Pr+1}, notadas (Q)R.

Observacion.– Notemos que, por la proposicion anterior, estas coordenadas son unicas,salvo producto por escalar: de ahı que usemos la misma notacion que para los puntosproyectivos. En particular, las coordenadas de un punto de Pn(k) son las coordenadasrespecto del sistema de referencia

R = {[1 : 0 : ... : 0], [0 : 1 : ... : 0], ..., [0 : 0 : ... : 1], [1 : 1 : ... : 1]},

denominado sistema de referencia canonico de Pn(k).

Definicion.– Dado un sistema de referenciaRZ = {P0, ..., Pr, Pr+1} de una variedad Z =π(L) ⊂ Pn(k), la base {u0, ..., ur} del enunciado anterior se denomina base normalizadadel sistema de referenciaRZ .

Observacion.– La base normalizada, pues, debe verificar,

π(ui) = Pi, i = 0, ..., r; π(u0 + u1 + ... + ur) = Pr+1,


y es unica salvo producto de todos sus elementos por un mismo escalar no nulo.

Notacion.– El punto (r +2)–esimo de un sistema de referencia se suele denominar puntounidad del sistema y denotarse por U . En particular, sus coordenadas respecto del sistemaal que pertenece son siempre [1 : 1 : ... : 1].

6.8. Sistemas de referencia (II).

En esta clase complementaremos lo ya visto sobre sistemas de referencia proyectivos conalgunos temas adyacentes, como cambios de sistemas de referencia y relacion con lascoordenadas usuales. Veremos el caso de los sistemas de referencia afines, como casoparticular de los sistemas de referencia proyectivos.

Observacion.– Sea Z = π(L) ⊂ Pn(k) una variedad lineal proyectiva de dimension r,R = {P0, ..., Pr; U} un sistema de referencia proyectivo de Z, B = {u0, ..., ur} una basenormalizada de R, ui = (a0i, ..., ani) para i = 0, ..., r. Entonces Q = [x0 : ... : xn] ∈ Zverifica

(Q)R = [z0 : ... : zr] =⇒ λ

a00 ... a0r

......

an0 ... anr

z0...zr

=

x0...

xr

.

para un cierto λ ∈ k no nulo.

Proposicion.– Sea Z ⊂ Pn(k) una variedad lineal proyectiva de dimension r, R y R′

sistemas de referencia proyectivos de Z, B y B′ bases normalizadas cualesquiera de R yR′ respectivamente. Entonces para todo Q ∈ Z se verifica

(Q)R = [x0 : ... : xr](Q)R′ = [y0 : ... : yr]

}

⇐⇒ M (B,B′)

x0...

xr

= λ

y0...yr

,

para cierto λ ∈ k no nulo.

Demostracion.– Evidente; ya que las coordenadas de Q = π(v) respecto de R sonlas coordenadas de v respecto de una base normalizada deR.

Definicion.– Dada una variedad lineal afın Y = Z ∩An(k), un sistema de referencia afınde Y es un conjunto de la forma {P ; u1, ..., ur}, con P ∈ Y , ui ∈ D(Y ), de forma que{[P ], [u1], ..., [ur]} sea base de Z.

Observacion.– Si Y = Z ∩An(k) tiene dimension r, un sistema de referencia afın de Y ,RY = {P ; u1, ..., ur} con P = (α1, ..., αn), ui =

−−−−−−−→(a1i, ..., ani); determina unıvocamente

un sistema de referencia proyectivo de Z

RZ = {[P ], [u1], ..., [ur]; U},

que es el que tiene por base normalizada

B = {(1, α1, ..., αn) , (0, a11, ..., an1) , ..., (0, a1r, ..., anr)} .


Dado entonces el sistema de referencia afın RY y el punto Q = (β1, ..., βn) ∈ Y , si(Q)RY

= [x0 : ... : xr], eso quiere decir que existe λ ∈ k no nulo tal que

λ

1 0 ... 0α1 a11 ... a1r

......

...αn an1 ... anr

x0...

xr

=

1β1...

βn

,

de donde ha de ser x0 6= 0.

Definicion.– En las condiciones anteriores, las coordenadas de Q respecto del sistema dereferenciaRY son

(Q)RY=(

x1

x0

, ...,xr

x0

)

,

esto es, las r ultimas coordenadas de [Q] respecto deRY haciendo la primera coordenadaigual a 1. Por esto, en estas condiciones notaremos [Q]RY

las coordenadas proyectivas de[Q] respecto deRZ cuya primera componente es precisamente 1.

Veamos por ultimo como es posible calcular las coordenadas de Q respecto deRY sinpasar por la clausura proyectiva y usando solo objetos afines.

Proposicion.– En las condiciones anteriores, las coordenadas de Q ∈ Y son las coorde-nadas de −→PQ respecto de la base de D(Y ) dada por {u1, ..., ur}.

Demostracion.– De la observacion anterior, con las mismas notaciones, si (Q)RY=

(x1, ..., xr), entonces

1 0 ... 0α1 a11 ... a1r

......

...αn an1 ... anr

1x1...

xr

=

1β1...

βn

,

esto es,

βi = αi +r∑

j=1

xjaij, i = 1, ..., n,

y, agrupando,−→PQ =

−−−−−−−−−−−−−−−→(β1 − α1, ..., βn − αn) =

r∑

j=1

xj

−−−−−−−−→(a1j, ..., anj),

que es lo que pretendıamos probar.

Observacion.– Dados dos sistemas de referencia afines R1 y R2 de una variedad Y , lamatriz de cambio de base entre las bases normalizadas que inducenR1 yR2 se denominamatriz de cambio de base deR1 aR2, se denota M(R1,R2) y verifica la igualdad

M(R1,R2)[Q]tR1= [Q]tR2

.

En estas condiciones es obvio que, siR1 = {O1;B1} yR2 = {O2;B2},

M(R1,R2) =

1 0 ... 0

(O1)tR2

M(B1,B2)

.


6.9. El espacio proyectivo dual.

Recordemos de 3.1. que el espacio de formas lineales es un espacio vectorial. Una formalineal distinta de 0 en k[x0, x1, ..., xn] define un hiperplano en Pn(k),

H : a0x0 + a1x1 + ... + anxn = 0.

Sin embargo, dos formas lineales distintas pueden definir el mismo hiperplano: con-cretamente a0x0 + ... + anxn y b0x0 + ... + bnxn definen el mismo hiperplano si y solo siexiste λ ∈ k no nulo tal que ai = λbi. Esta situacion es claramente paralela a la relacionentre vectores de kn+1 y puntos de Pn(k). Esto justifica la siguiente definicion.

Definicion.– Definimos el espacio proyectivo dual de Pn(k), notado Pn(k)∗ como elconjunto de hiperplanos de Pn(k).

Observacion.– Denotemos por V ∗ el espacio vectorial de formas lineales en k (ejemplo(i) de 3.1.). Consideramos entonces la aplicacion

π∗ : V ∗ \ {0} −→ Pn(k)∗

a0x0 + ... + anxn 7−→ a0x0 + ... + anxn = 0,

que esta bien definida, porque hemos retirado el vector nulo de V ∗ (que no corresponderıaa ningun hiperplano de Pn(k)).

Ademas notemos que π∗, al igual que π : kn+1\{0} −→ Pn(k), lleva dos originales ala misma imagen si y solo si los originales son proporcionales. Por ello, Pn(k)∗ tambiense denomina el espacio proyectivo asociado al espacio dual de kn+1.

Observacion.– Podemos establecer una biyeccion

Pn(k)∗ ←→ Pn(k)

H : a0x0 + ... + anxn = 0 7−→ [a0 : ... : an]

y, ası, podremos hablar de (in)dependencia proyectiva y de variedades lineales de Pn(k)∗.

De esta forma, diremos que los puntos H1, ..., Ht ∈ Pn(k)∗ o, equivalentemente,los hiperplanos H1, ..., Ht de Pn(k) son linealmente (in)dependientes cuando, fijado unsistema de referencia, exista (respectivamente no exista) una combinacion lineal no trivialde las ecuaciones de H1, ..., Ht que nos de la identidad 0 = 0.

Definicion.– Dada Z ⊂ Pn(k) variedad lineal proyectiva, definimos el dual de Z como

?(Z) = {H ∈ Pn(k)∗ | Z ⊂ H}.

Analogamente, si L∗ ⊂ Pn(k)∗ es una variedad lineal proyectiva en el espacio dual,definimos el dual de L como

?(L∗) =⋂

H∈L∗

H,

esto es, el conjunto de puntos proyectivos que estan en todos los puntos (hiperplanos) deL∗.


Proposicion.– Dado un subespacio L ⊂ kn+1 distinto de {0}, se verifica

π∗(?(L)) = ?(π(L)).

Demostracion.– Simplemente consiste en interpretar adecuadamente los dos conjun-tos: por un lado π∗(?(L)) consiste en el conjunto de hiperplanos de Pn(k) que provienende formas lineales de ?(L), esto es, de formas lineales que anulan a todos los vectores deL.

Por otra parte, ?(π(L)) son los hiperplanos que anulan a todos los puntos de π(L),esto es, los hiperplanos que anulan a todos los vectores de L.

Proposicion.– En las condiciones anteriores, dadas variedades lineales proyectivasZ1, Z2 ⊂ Pn(k),

(a) Si Z1 ⊂ Z2, ?(Z1) ⊃ ?(Z2).

(b) dim(?(Z1)) = n− (dim(Z1) + 1).

(c) ?(?(Z1)) = Z1.

(d) ?(Z1 ∩ Z2) = ?(Z1) + ?(Z2).

(e) ?(Z1 + Z2) = ?(Z1) ∩ ?(Z2).

Demostracion.– El enunciado (a) es elemental por definicion de ?. Para demostrar(b), podemos a comenzar suponiendo que una base de ?(Z1) es {H1, ...Hl}, lo cual im-plica que Z1 = H1 ∩ ... ∩Hl, con H1, ..., Hl linealmente independientes como puntos dePn(k)∗. Esto quiere decir que Z1 viene definida por un conjunto de l ecuaciones lineal-mente independientes, por lo que

dim(Z1) = n− (l + 1) =⇒ l = dim(?(Z1)) = n− (dim(Z1) + 1).

Para demostrar (c), notemos que ?(?(Z1)) es el conjunto de puntos que estan en todoslos hiperplanos que contienen a Z1. Por tanto Z1 ⊂ ?(?(Z1)). Pero, como

dim(?(?(Z1))) = n− dim(?(Z1))− 1 = n− (n− dim(Z1)− 1)− 1 = dim(Z1),

tenemos dos variedades con la misma dimension, una contenida en la otra. Por tanto,deben ser iguales.

Hagamos por ultimo (d) y (e). Para ello, escribimos

?(Z1) = 〈H1, ..., Hs〉, ?(Z2) = 〈H ′1, ..., H

′t〉,

y entoncesZ1 ∩ Z2 = H1 ∩ ... ∩Hs ∩H ′

1 ∩ ... ∩H ′t

y esto implica que

?(Z1 ∩ Z2) = 〈H1, ..., Hs, H′1, ..., H

′t〉

= 〈H1, ..., Hs〉+ 〈H ′1, ..., H

′t〉

= ?(Z1) + ?(Z2).


Como Z1, Z2 ⊂ Z1 + Z2, tenemos por (a) que

?(Z1), ?(Z2) ⊃ ?(Z1 + Z2) =⇒ ?(Z1 + Z2) ⊂ ?(Z1) ∩ ?(Z2),

pero un hiperplano de ?(Z1)∩ ?(Z1) ha de contener tanto a Z1 como a Z2, por lo que estaen ?(Z1 + Z2).

Corolario.– Dadas variedades lineales proyectivas H,L ⊂ Pn(k)∗,

(a) Si H ⊂ L, ?(H) ⊃ ?(L).

(b) dim(?(H)) = n− (dim(H) + 1).

(c) ?(?(H)) = H .

(d) ?(H ∩ L) = ?(H) + ?(L).

(e) ?(H + L) = ?(H) ∩ ?(L).

Ejemplos.– Algunos ejemplos elementales de duales son los siguientes:

(a) En P2(k), el dual de un punto es el conjunto de rectas que pasan por el. En P2(k)∗,el dual de un punto (que es una recta en P2(k)) es el conjunto de hiperplanos deldual que lo contienen: esto es, el conjunto de puntos de P2(k) que estan en la recta.

(b) En P3(k), el dual de un punto es el conjunto de hiperplanos que pasan por el. Eldual de una recta Z es el conjunto de planos que la contienen, que es una recta enP3(k)∗, ya que

dim(?(Z)) = 3− dim(Z)− 1 = 1.


Tema 7: Homografıas y afinidades

7.1. Aplicaciones proyectivas (I).

Definicion.– Sean Z1 = π(L1) ⊂ Pn(k) y Z2 = π(L2) ⊂ Pm(k) dos variedades proyec-tivas. Entonces una aplicacion F : Z1 −→ Z2 se dice una aplicacion proyectiva si existef ∈ Hom(L1, L2) inyectivo, verificando que, para todo u ∈ L1, u 6= 0,

π(f(u)) = F (π(u)).

En estas condiciones, F se dice la aplicacion proyectiva asociada al homomorfismof , y se denota F = π(f).

Observacion.– Dicho de otro modo, una aplicacion proyectiva no es mas que trasladar alas clases de equivalencia que son los puntos proyectivos un homomorfismo de espaciosvectoriales. Claro que el paso a clases de equivalencia puede variar ciertos aspectos.

Proposicion.– Sean L1, L2 como antes, f, g ∈ Hom(L1, L2). Entonces π(f) = π(g) si ysolo si existe λ ∈ k no nulo tal que f = λg.

Demostracion.– Si f = λg, llamamos F = π(f), G = π(g) y es obvio que paracualquier u ∈ L1,

F (π(u)) = π(f(u)) = π(λg(u)) = π(g(u)) = G(π(u)),

de donde F y G coinciden en π(L1) = Z1, luego son iguales.

Supongamos ahora que F = π(f) = π(g) = G. Fijemos un vector u ∈ L1, u 6= 0.Entonces

π(g(u)) = G(π(u)) = F (π(u)) = π(f(u)),

de donde ha de existir λ ∈ k no nulo con f(u) = λg(u). Resta probar que λ no dependede u.

Tomemos entonces v, w ∈ L1 \ {0}. Si v y w fueran linealmente dependientes, v =αw, y entonces

f(w) = λg(w) =⇒ αf(w) = λαg(w) =⇒ f(αw) = λg(αw)

y ası f(v) = λg(v).

Ası pues, supongamos que v y w son linealmente independientes y escribamos

f(v) = λg(v), f(v) = µg(w), f(v + w) = νg(v + w),

y tratemos de probar que λ = µ = ν. Entonces

g(λv + µw) = f(u + v) = νg(v + w) = g(νv + νw),


y entonces (λ− ν)v + (µ− ν)w = 0. Por tanto ha de ser λ = ν = µ.

Observacion.– Consideremos entonces π(f) = F : Z1 −→ Z2. Queremos ahora es-tablecer una forma comoda para hallar la imagen de un punto P ∈ Z1, de forma similar acomo hallabamos la imagen de un vector por un homomorfismo.

Lo primero es fijar sistemas de referencia en Z1 y Z2, que notaremos R1 y R2, conbases normalizadas respectivas B1 y B2. Tomamos ahora un punto P = u ∈ Z1 y seaQ = F (P ). En esta situacion, recordemos que

(a) Las coordenadas de P respecto de R1 son, salvo producto por un escalar, las coor-denadas de u respecto de B1.

(b) Las coordenadas de Q respecto de R2 son, salvo producto por escalar, las de f(u)respecto de B2.

(c) Las coordenadas de f(u) respecto de B2 son, salvo producto por escalar,MB1,B2

(f)(u)tB1

.

Por tanto, si notamos (P )R1= [x0 : ... : xr], existen y0, ..., ys tales que (Q)R2

= [y0 :... : ys] y

MB1,B2(f)

x0...

xr

=

y0...ys

.

Esto, combinado con la proposicion anterior, prueba el siguiente resultado.

Proposicion.– Dada una aplicacion proyectiva F : Z1 −→ Z2 y sistemas de referenciaproyectivosR1,R2 de Z1 y Z2, con bases normalizadas B1, B2, se verifica que

MB1,B2(f)(P )t

R1= (F (P ))t

R2,

donde f es cualquier homomorfismo que verifique π(f) = F .

Observacion.– La matriz A = MB1,B2(f) parece una candidata razonable a ser la matriz

de la aplicacion F (respecto de R1 y R2). No obstante, notemos que cualquier matriz dela forma λA, para λ 6= 0 tambien vale.

Definicion.– En las condiciones anteriores, la clase–matriz de la aplicacion proyectivaF respecto de R1 y R2 es el conjunto de todas las matrices de la forma MB1,B2

(f), conπ(f) = F , notado MR1,R2

(F ).

Observacion.– Por los resultados de esta leccion, fijado un cierto homomorfismo f yconsiderada A = MB1,B2

(f), se tiene que

MR1,R2(F ) = {λA | λ ∈ k \ {0}}.

De la misma forma, pues, que vectores proporcionales dan el mismo punto proyec-tivo, matrices proporcionales (esto es, homomorfismos proporcionales) dan la misma apli-cacion entre variedades proyectivas. En concreto, la relacion

A ' B ⇐⇒ ∃λ ∈ k \ {0} tal que A = λB


es de equivalencia enM(n ×m; k) y la clase–matriz MR1,R2(F ) no es mas que la clase

de equivalencia de las matrices MB1,B2(f), con las notaciones anteriores. Por ello tambien

notaremosMR1,R2

(F ) = [A], para cualquier A ∈MR1,R2(F ).

7.2. Aplicaciones proyectivas (II): Homografıas.

Ampliaremos ahora nuestro estudio de las aplicaciones proyectivas con algunaspropiedades simples y el estudio de una clase concreta de aplicaciones muy util: lashomografıas, que son la contrapartida proyectiva de los isomorfismos.

Observacion.– Las aplicaciones proyectivas heredan las siguientes propiedades obviasde los homomorfismos de espacios vectoriales:

(a) La composicion de aplicaciones proyectivas es una aplicacion proyectiva. En con-creto, si tenemos F : Z1 −→ Z2 y G : Z2 −→ Z3 con sistemas de referenciarespectivosR1,R2,R3,

[MR1,R3(G ◦ F )] = [MR2,R3

(G)] [MR1,R2(F )] ,

con la multiplicacion de clases–matriz definida de la forma obvia.

(b) La restriccion de una aplicacion proyectiva a una subvariedad lineal de la variedadorigen es una aplicacion proyectiva.

(c) La imagen por una aplicacion proyectiva de una variedad lineal es una variedadlineal.

(d) La imagen por una aplicacion proyectiva de un conjunto de puntos proyectivamentedependientes es un conjunto proyectivamente dependiente.

(e) SiR′1 yR′

2 son dos nuevos sistemas de referencia en Z1 y Z2,

MR′1,R′

2(F ) = [M(B2,B′

2)MB1,B2(f)M(B′

1,B1)] ,

donde los conjuntos B1,B′1,B2,B′

2 son bases normalizadas correspondientes aR1,R′

1,R2,R′2.

(f) Si dim(Z1) = dim(Z2), dados sistemas de referencia R1 en Z1 y R2 en Z2 existeuna unica aplicacion proyectiva de Z1 en Z2 que transforma R1 en R2. En partic-ular, cuando Z1 = Z2 y R1 = R2, unicamente la identidad lleva cada punto delsistema de referencia en sı mismo.

Definicion.– Una aplicacion proyectiva F : Z1 −→ Z2 se dice una homografıa si F =π(f), con f un isomorfismo de k–espacios vectoriales.

Observacion.– Obviamente, como f es unico salvo producto por escalar no nulo, o todoslos homomorfismos a los que esta asociado F son isomorfismos, o no lo es ninguno.


Ademas notemos que F tambien es biyectiva. En efecto, la sobreyectividad se obtienede forma inmediata a partir de la de f . Para ver la inyectividad, supongamos que F (P ) =F (Q). Eso quiere decir que, si P = π(u), Q = π(v), existe un λ ∈ k tal que

f(u) = λf(v) = f(λv) =⇒ u = λv =⇒ P = Q.

Observacion.– Otras conclusiones sencillas son las siguientes, con las mismas notacionesque en la definicion:

(a) Fijados sistemas de referencia,R1 en Z1 yR2 en Z2, F es homografıa si y solo si

|A| 6= 0, para cualquier A ∈MR1,R2(F ).

(b) La composicion de homografıas es una homografıa, cuya clase matriz se puede hal-lar con la formula que dimos al comienzo de la leccion para aplicaciones proyecti-vas generales.

(c) La restriccion de F a una subvariedad W1 ⊂ Z1 sigue siendo una homografıa,si consideramos F|W1

: W1 −→ F (W1), pues ser homomorfismo se conserva alrestringirse.

(d) La aplicacion inversa de F , que existe por ser F biyectiva, tambien es una homo-grafıa, en este caso de Z2 en Z1, notada F−1 y que verifica

MR2,R1(F−1) =

[

A−1]

, para cualquier A ∈MR1,R2(F ).

Ejemplo.– Veamos un ejemplo. Podemos establecer de esta forma una homografıa en-tre el dual una recta Z1 de P3(k) y otra recta Z2 ⊂ P3(k) mediante la aplicacion quelleva cada plano que contiene a Z1 en su punto de interseccion con Z2. (notemos quedim(Z3) = 3− 2 = 1 = dim(Z2)).

7.3. Puntos dobles de homografıas.

Observacion.– Un caso particularmente interesante de las homografıas es el caso F :Z −→ Z, esto es, el correspondiente a los automorfismos de espacios vectoriales. Sidim(Z) = n, entonces Z se puede identificar con Pn(k) y, por tanto, en adelante tratare-mos casi en exclusiva con homografıas F : Pn(k) −→ Pn(k). Por lo visto en 4.3., estashomografıas forman un grupo para la composicion de aplicaciones.

Definicion.– Dada una homografıa F : Pn(k) −→ Pn(k), diremos que una variedadW ⊂ Pn(k) es doble para F si F (W ) = W .

Observacion.– De entre todas las subvariedades dobles que pueden aparecer en una ho-mografıa, nos fijaremos especialmente en dos: los puntos y los hiperplanos. En concreto,conviene tener muy en cuenta la diferencia entre hiperplano doble (aquel que queda in-variante por F ) e hiperplano de puntos dobles (aquel cuyos puntos son todos invariantespor F ), que es una condicion mucho mas restrictiva.

Proposicion.– Fijado f un automorfismo tal que π(f) = F , las condiciones siguientesson equivalentes:


(a) P = π(u) es un punto doble de F .

(b) u es un autovector de f .

Demostracion.– Sea R un sistema de referencia de Pn(k), A = MB(f) la matriz def respecto de una base normalizada deR.

F (P ) = P =⇒ [MB(f)] (P )tR = (P )t

R,

para lo cual, si (P )R = [a0 : ... : an], es necesario y suficiente que exista λ 6= 0 verifi-cando

A (a0 ... an)t = λ (a0 ... an)t .

Observacion.– Fijado entonces un sistema de referencia R y una base normalizada B,tomamos A = MB(f) y el calculo de los puntos dobles de F se reduce al calculo de au-tovectores de f usando A, calculo que ya hemos estudiado. Veamos algunas propiedadesde los puntos dobles de F , usando lo ya visto de los autovectores de f .

Dado λ autovalor de f , notaremos Zλ = π(Vλ), esto es,

Zλ = {P = π(u) ∈ Z | u autovector no nulo asociado a λ} ,

y lo denominaremos el conjunto de puntos dobles asociado a λ.

Notemos que, como Vλ es un subespacio, si u ∈ Vλ, αu ∈ Vλ para todo α ∈ k. Dehecho, un sistema de ecuaciones de Vλ y, por tanto, de la variedad lineal proyectiva Zλ es,como vimos en 4.5.,

(λIn+1 − A)

x0...

xn

= 0(n+1)×1.

Proposicion.– En las condiciones anteriores, se verifican las siguientes propiedades:

(a) Si λ y µ son autovalores distintos de f , Zλ ∩ Zµ = ∅.

(b) Si W ⊂ Pn(k) es una variedad lineal proyectiva tal que todos sus puntos sondobles, entonces todos estan asociados a un unico autovalor λ y su dimension esestrictamente menor que la multiplicidad de λ.

(c) Si λ1, ..., λr son autovalores distintos de f , entonces

r∑

i=1

dim (Zλi) ≤ n + 1− r, Zλi

∩∑

j 6=i

Zλj= ∅.

Demostracion.– Para probar (a) solo tenemos que darnos cuenta de que, si P =π(u) ∈ Zλ ∩ Zµ, entonces u ∈ Vλ ∩ Vµ, lo cual es obviamente imposible, ya que u 6= 0.

Tampoco es complejo probar (b). Si tenemos dos puntos en W provenientes de dosautovalores distintos λ y µ, pongamos P = π(u) ∈ Zλ ⊂ W y Q = π(v) ∈ Zµ ⊂ W , ysuponemos W = π(L), entonces u + v ∈ L pero

f(u + v) = λu + µv,


que no puede ser de la forma α(u + v) porque λ 6= µ. Por tanto π(u + v) = R ∈ W noes un punto doble, contradiciendo la hipotesis.

Para probar la afirmacion relativa a las dimensiones, basta recordar que, si la multipli-cidad de λ es ν, entonces

dim(W ) ≤ dim (Zλ) = dim (Vλ)− 1 < ν.

Por ultimo, la segunda parte del apartado (c) es consecuencia inmediata del hecho deque la union de bases de los espacios Vλi

es un conjunto linealmente independiente. Estoimplica que

Zλi∩

∑

j 6=i

Zλj

= ∅

Para la primera parte basta aplicar recurrentemente el teorema de la dimension (tal ycomo hicimos en 5.9.) y obtenemos el resultado.

Observacion.– Un primer corolario elemental de la proposicion (concretamente de (b) y(c)) es que no cualquier conjunto de variedades lineales proyectivas puede ser el conjuntode variedades de puntos dobles de una homografıa. Esto, sin embargo, no impide que, porejemplo, un plano y una recta secantes en P3(k) sean variedades dobles; pero, al menosuno de ambas no puede ser de puntos dobles.

Observacion.– Por supuesto, en todo el desarrollo anterior esta implıcita la eleccion deA, ya que si escogemos otro homomorfismo g = µf al que esta asociado F , λ no es nece-sariamente autovalor de g. En este caso el conjunto que hemos denominado anteriormenteZλ serıa Zλµ.

7.4. Hiperplanos dobles de homografıas.

Vamos a estudiar ahora como calcular el conjunto de hiperplanos dobles de una homo-grafıa F = π(f) : Pn(k) −→ Pn(k). Para ello, consideraremos fijados en toda la leccionun sistema de referencia, R, de Pn(k) y una base normalizada B de kn+1. DenotemosA = MB(f).

Proposicion.– La homografıa F induce una aplicacion

F ∗ : Pn(k)∗ −→ Pn(k)∗

H 7−→ F−1(H)

que es, ası mismo, una homografıa. De hecho, si consideramos B∗ la base dual de B,entonces F ∗ = π(f ∗), donde

MB∗(f ∗) = At.

Demostracion.– Basta probar que, si L ∈ (kn+1)∗ es un subespacio de dimension nque verifica π(L) = H , y viene definido en la base B por una ecuacion

L : a0x0 + a1x1 + ... + anxn = (a0 ... an)

x0...

xn

= 0,


entonces f−1(L) viene definido, respecto de B, por la ecuacion

f−1(L) : (a0 ... an) A

x0...

xn

= 0,

lo cual ya se probo en 1.3. En efecto, la igualdad anterior, escrita en terminos de coorde-nadas respecto de B∗ resulta

(

f−1(L))t

B∗= At(L)B∗ ,

lo que prueba el resultado.

Definicion.– La homografıa anterior se denomina homografıa dual asociada a F .

Observacion.– El problema de calcular los hiperplanos dobles de F requiere un enfoquedistinto del que usamos para el calculo de los puntos dobles, ya que hallar los hiperplanosH tales que F (H) = H no es, en principio sencillo. Pero, al ser F biyectiva

F (H) = H ⇐⇒ H = F−1(H).

Este simple cambio nos permite reducir el problema al estudiado en la leccion anterior.

Proposicion.– Sea F : Pn(k) −→ Pn(k) una homografıa, H ⊂ Pn(k) un hiperplano.Entonces H es doble para F si y solo si H ∈ Pn(k)∗ es un punto doble para F ∗.

Demostracion.– Trivial.

Observacion.– Dado que

|λIn+1 − A| =∣

∣

∣(λIn+1 − A)t∣

∣

∣ =∣

∣

∣λIn+1 − At∣

∣

∣ ,

tenemos que A y At tienen el mismo polinomio caracterıstico y, por tanto, los mismosautovalores con las mismas multiplicidades. De hecho, si denotamos Wλ la variedad depuntos dobles de F ∗ asociada a λ, obtenemos que

dim(Wλ) = dim (ker(λIn+1 − At))− 1 = n + 1− rg (λIn+1 − At)− 1= n− rg(λIn+1 − A) = dim(Zλ)

Ası, por ejemplo, una homografıa F : P3(k) −→ P3(k) que tenga una recta depuntos dobles, ha de tener necesariamente una recta de hiperplanos dobles (entendidoscomo puntos de P3(k)). Esto es, todos los hiperplanos que contienen a una determinadarecta han de ser dobles para F .

Veamos otras propiedades de la variedad de hiperplanos dobles.

Proposicion.– En las condiciones anteriores si Zλ y Wµ son variedades de puntos doblesde F y F ∗ respectivamente, asociadas a autovalores λ y µ distintos, entonces para todoH ∈ Wµ, Zλ ⊂ H .

Demostracion.– Tomamos un punto P ∈ Zλ, de forma que (P )R = [a0 : ... : an] yun hiperplano H ∈ Wµ definido por la ecuacion b0x0 + ... + bnxn = 0 con respecto a R.Entonces

(a0 ... an) A = λ (a0 ... an) , (b0 ... bn) At = µ (b0 ... bn) ,


de donde obtenemos

λ (a0 ... an)

b0...bn

= µ (a0 ... an)

b0...bn

,

y, al ser λ 6= µ, ha de ser b0a0 + ... + bnan = 0 como querıamos probar.

En el caso k = C podemos demostrar resultados aun mas precisos.

Proposicion.– Sea F : Pn(C) −→ Pn(C) una homografıa. Entonces:

(a) Siempre existen, al menos, un punto y un hiperplano doble para F .

(b) Toda variedad doble de F con dimension l + 1 contiene alguna variedad doble dedimension l.

(c) Toda variedad doble de F con dimension l esta contenida en otra variedad doble dedimension l + 1.

Demostracion.– La propiedad (a) es consecuencia directa del teorema fundamentaldel algebra: dado que k = C, f siempre tiene al menos un autovalor y, por tanto, unautovector no nulo. Ası, han de existir un punto y un hiperplano dobles.

Hagamos ahora (b). Sea Z una variedad doble de dimension l + 1. EntoncesF|Z : Z −→ Z es una homografıa y, simplemente identificando Z con Pl+1(n), podemosaplicar (a). Al existir un hiperplano doble de F|Z hemos probado lo que querıamos.

A pesar de que (c) pueda parecer similar, necesitamos algo mas de maquinaria parademostrarlo. Sea W ahora una variedad doble de dimension l. Entonces el conjunto dehiperplanos que contienen a W ha de ser invariante por F , ya que lo es W . Ası pues,?(W ) es una variedad de dimension n− 1− l, doble para F ∗. Aplicando la propiedad (a)a F ∗

|?(W ), existe un hiperplano H∗ del espacio proyectivo ?(W ) que es doble para F ∗|?(W ).

Pero un hiperplano de ?(W ) es una variedad de Pn(k)∗ de dimension n− l − 2, luego

dim(?(H∗)) = (n− 1)− (n− l − 2) = l + 1,

y, al ser H∗ ⊂ ?(W ), es ?(H∗) ⊃ W . Ademas, como H∗ es invariante para F ∗, ?(H∗) loha de ser para F . La variedad buscada es, por tanto, ?(H∗).

7.5. Proyecciones, secciones y homologıas.

Vamos a estudiar tres ejemplos fundamentales de homografıas, que nos permitiranplantear (y resolver) numerosos problemas (en las horas dispuestas a tal efecto).Lamentablemente, por razones de tiempo, hemos de dejar fuera otras familias interesantesde aplicaciones proyectivas, como las perspectividades o las aplicaciones staudtianas.

Definicion.– Dados un punto P ∈ P2(k) y una recta proyectiva Z ⊂ P2(k) verificandoP /∈ Z, definimos la proyeccion de Z sobre ?(P ) como

p : Z −→ ?(P )

Q 7−→ Q + P := (notacion) QP


En la misma situacion, definimos la seccion de ?(P ) sobre Z como

s : ?(P ) −→ Z

R 7−→ R ∩ Z

Observacion.– Tanto p como s son homografıas.

Observacion.– Las aplicaciones p y s son inversas la una de la otra, como es sencillo decomprobar.

Definicion.– Una homografıa F : Pn(k) −→ Pn(k) con un hiperplano de puntos doblesse denomina una homologıa. El hiperplano en cuestion se denomina eje de la homologıa.

Observacion.– Notemos que, por las condiciones que deben cumplir las variedades depuntos dobles, tal y como probamos en 7.3., no pueden existir dos hiperplanos de puntosdobles para una misma homografıa F .

Podemos de hecho estudiar en detalle la configuracion de puntos dobles de una ho-mologıa de manera mas detallada.

Lema.– En una homologıa, existe un punto O (necesariamente unico) tal que toda varie-dad que lo contiene es doble.

Demostracion.– Directa, por ser el dual de la existencia de un hiperplano de puntosdobles.

Definicion.– Sea F una homologıa. El punto, pongamos O, cuya existencia asegura ellema anterior se denominara centro de F . El hiperplano H cuya existencia determina elque F sea homologıa se denomina el eje de F .

Si O ∈ H entonces F se dira de centro y eje incidentes. En caso contrario se dira decentro y eje no incidentes.

Observacion.– Fijemos A una matriz tal que [A] = MR(F ) para un cierto sistema de re-ferenciaR de Pn(k). En el caso no incidente, H y O deben estar asociados a autovaloresdistintos, pongamos λ y µ. Dadas las dimensiones de ambas variedades, ha de ser

dim (Zλ) = n, dim (Zµ) = 1,

y no pueden existir mas autovalores.

Definicion.– El cociente λ/µ (admitimos∞) se denomina razon de la homologıa.

Estudiemos con mas detalle algunas propiedades de las homologıas de P2(k). Otraspropiedades se estudiaran en clase de problemas.

Observacion.– Sea F : P2(k) −→ P2(k) una homologıa de centro O y eje H . TomemosP un punto no doble. Entonces la recta OP ha de ser doble, y, por tanto F (P ) ∈ OP .Ası los puntos {O,P, F (P )} han de estar alineados.

El razonamiento dual nos indica que, si Z no es una recta doble de F , entonces{H,Z, F (Z)} son rectas concurrentes.

Proposicion.– Una homologıa plana F , de centro O y eje H queda unıvocamente deter-minada por un punto P y su imagen F (P ) ∈ OP .


Demostracion.– Si F es de centro y eje no incidentes, podemos tomar puntosA,B ∈ H de tal forma que {O,A,B, P} formen un sistema de referencia. Por la uni-cidad estudiada en 7.2. existe una unica homografıa G que transforma este sistema en{O,A,B, F (P )}.

Ahora bien, al ser AB y OP rectas dobles de G tambien lo es AB ∩ OP , luego enAB hay tres puntos dobles y, ası, es doble. Por tanto, G es realmente F , la homologıa decentro O y eje H .

En el caso no incidente, el razonamiento es similar aunque un poco mas complejo.Tomamos en primer lugar Q /∈ OP ∪ H , y trazamos la recta Z = PQ. Para hallarF (Z) necesitamos la imagen de dos puntos; podemos tomar P , porque conocemos F (P )y H ∩ Z, que es doble.

Al conocer F (Z) podemos hallar F (Q) = F (Z) ∩ OQ, ya que OQ es doble. Ahoraprocedemos como antes: escogemos A ∈ H , distinto de O, y denominamos G a la unicahomografıa que lleva {O,P,Q,A} en {O,F (P ), F (Q), A}. Ahora bien, OP , OQ y OAson concurrentes para G, luego G es una homologıa de centro O. El eje, al ser A doble,tiene que ser OA = H .

Corolario.– Una homologıa plana F , de centro O y eje H queda unıvocamente determi-nada por una recta Z y su imagen F (Z), concurrente con H y Z.

Observacion.– Con la demostracion anterior podemos dar un metodo geometrico paraconstruir la imagen de un punto por una homologıa de la que conocemos el centro O, eleje H , un punto no doble P y su imagen F (P ).

En efecto, si Q /∈ OP , podemos hallar F (Q) como hicimos en el caso incidente, yaque el razonamiento es independiente de la incidencia.

Si fuese Q ∈ OP tendrıamos que efectuar dos procesos analogos: en primer lugarescoger otro punto Q′ /∈ OP y hallar F (Q′) y, con posterioridad, hallar F (Q) usando Q′

y F (Q′) en lugar de P y F (P ).

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

@@@@@@@@@@@@@@

HHHHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHHHH

t t t

t

t

t

t

Q O

F (Q)

F (P )

OP ∩ H

P

Z ∩ H = F (Z) ∩ H


7.6. Afinidades (I).

Las afinidades son la version afın de las homografıas. Sin embargo, no toda homografıapuede ser compatible con la restriccion al espacio afın. Consideraremos en lo que siguela inmersion habitual ϕ : An(k) ↪→ Pn(k) = Z.

Definicion.– Sea F : Z −→ Z una homografıa. La aplicacion F se dira compatible conϕ si F|An(k) = An(k). En este caso, la aplicacion f = F|An(k) : An(k) −→ An(k) sedira la afinidad asociada a F .

Observacion.– Dado que F ha de ser biyectiva, es compatible con ϕ si y solo si se tieneF (H∞) = H∞, esto es, si y solo si H∞ es doble para F .

Al igual que sucedıa con los sistemas de referencia, el concepto de matriz deuna afinidad resulta mas simple que el de matriz de una homografıa, ya que siempresuponemos la inmersion ϕ.

Observacion.– Fijemos un sistema de referencia afın

Ra = {O, u1, ..., un}; con O = (a1, ..., an) , ui = (r1i, ..., rni) ;

que tomaremos, por simplicidad, tanto para expresar los originales como las imagenes.Entonces, como vimos en 6.2., existe un sistema de referencia proyectivo en Z determi-nado porRa, a saber,

RZ = {[O], [u1], ..., [un]; U},que es el que tiene por base normalizada

B(Ra) = {(1, a1, ..., an) , (0, r11, ..., rn1) , ..., (0, r1n, ..., rnn)} .

Definicion.– Sea entonces F una homografıa de Z compatible con ϕ, f = F|An(k). Delas matrices que forman la clase–matriz de F , denominaremos matriz de f a MRa

(f) ∈MRZ

(F ) que verifica que el elemento que ocupa la posicion (1, 1) es 1.

Observemos que una tal matriz siempre existe, dado que F (O) ∈ An(k). La eleccionde la matriz anterior trae muchas ventajas, como veremos.

Proposicion.– En las condiciones anteriores, si

(P )Ra= (β1, ..., βn) , (f(P ))Ra

= (γ1, ..., γn)

entonces

MRa(f)[P ]tRa

= MRa(f)

1β1...

βn

=

1γ1...

γn

= [f(P )]tRa.

Demostracion.– Directa, ya que, por eleccion, MRa(f) tiene la forma

MRa(f) =

1 0 ... 0∗ ∗ ... ∗...

... . . . ...∗ ... ∗

,


lo cual, unido a queMRa

(f)(P )tRZ

= (F (P ))tRZ

,

(porque MRa(f) ∈MRZ

(F )) y a que

(P )RZ= [1 : β1 : ... : βn] , (F (P ))RZ

= [1 : γ1 : ... : γn]

prueban el resultado.

Observacion.– Dado que es posible encontrar un sistema de referencia proyectivo de Zcontenido en An(k), el resultado anterior muestra que, dada una afinidad f , existe unaunica homografıa compatible F verificando F|An(k) = f . Esto se notara [f ] = F .

Ademas de servirnos para probar este hecho importante, la matriz MRa(f) tiene otras

propiedades interesantes.

Proposicion.– Sean P,Q,R, S ∈ An(k) tales que −→PQ =−→RS = u ∈ kn. Entonces,

−−−−−−→f(P )f(Q) =

−−−−−−→f(R)f(S).

Mas aun, si denominamos a este vector−→f (u), tenemos que la aplicacion

−→f es un

automorfismo de kn. De hecho, su matriz, respecto de la base B(Ra) = {u1, ..., un} es lasubmatriz de MRa

(f) complementaria al elemento (1, 1).

Demostracion.– La primera afirmacion es trivial tomando coordenadas respecto deRa. Ası, si denotamos

(P )Ra= (α1, ..., αn) , (f(P ))Ra

= (β1, ..., βn) ;(Q)Ra

= (γ1, ..., γn) , (f(Q))Ra= (δ1, ..., δn) ;

tenemos que

(−→PQ)B(Ra) = (

−→RS)B(Ra) = (γ1 − α1, ..., γn − αn)

(−−−−−−→f(P )f(Q))B(Ra) = (δ1 − β1, ..., δn − βn) ,

pero ademas

0δ1 − β1

...δn − βn

=

1δ1...δn

−

1β1...

βn

= MRa(f)

1γ1...

γn

−MRa(f)

1α1...

αn

=

= MRa(f)

0γ1 − α1

...γn − αn

,

lo que prueba el primer aserto. Por otro lado, si denotamos M11 a la submatriz de MRa(f)

complementaria al elemento (1, 1), tenemos por lo anterior que

M11(−→PQ)t

B(Ra) = (−−−−−−→f(P )f(Q))t

B(Ra),

lo que demuestra que−→f es un endomorfismo de kn verificando MB(Ra)(

−→f ) = M11.

Ademas, por ser F biyectiva ha de ser |MRa(f)| = |M11| 6= 0, luego

−→f es automorfismo.


Definicion.– El automorfismo−→f : kn −→ kn se denomina homomorfismo vectorial

asociado a f .

Observacion.– La matriz MRa(f) tiene entonces la forma

MRa(f) =

1 0 ... 0

(f(O))tRa

MB(Ra)(−→f )

.

7.7. Afinidades (II): Dilataciones.

Las afinidades, en tanto que son restricciones de homografıas al espacio afın, heredantodas las propiedades de estas (en la forma conveniente) en lo tocante a composicion,imagenes de variedades, unicidad de aplicaciones, estructura de grupo,...

En concreto, mantenemos la nomenclatura de variedades dobles para las afinidades:sea F una homografıa de Pn(k) compatible con ϕ, f = F|An(k) la afinidad que determina.Una variedad afın Y es doble para f cuando lo es para F , esto es, cuando F (Y ) = Y .Sin embargo, esto no es, a priori, sencillo de calcular, puesto que Y no es una variedadproyectiva.

Proposicion.– En las condiciones anteriores Y es doble para f si y solo si Y es doblepara F .

Demostracion.– Por un lado, si Y es doble para F , dado que H∞ tambien lo es, losera Y ∩H∞ y, por biyectividad, Y = Y \

(

Y ∩H∞

)

.

Para ver la otra inclusion comenzamos por notar que

Y ⊂ Y =⇒ Y = f(Y ) = F (Y ) ⊂ F (Y ).

Por otro lado, si Y ⊂ Z, con Z una variedad lineal proyectiva, entonces

Y = F−1(Y ) ⊂ F−1(Z),

y por ser F−1 homografıa hemos de tener

Y ⊂ Y ⊂ F−1(Z) =⇒ Y = F (Y ) ⊂ F (Y ) ⊂ F(

F−1(Z))

= Z,

y, por ser Y la menor variedad proyectiva que contiene a Y ha de ser forzosamente Y =F (Y ).

Definicion.– Dada una afinidad f = F|An(k) los puntos dobles de F contenidos en An(k)se denominan puntos dobles de f . Los puntos dobles de F contenidos en H∞ son de laforma [u], para u ∈ kn y se denominan direcciones dobles de f .

Observacion.– En lo que resta de leccion nos fijaremos en un tipo concreto de afinidades:las dilataciones, que son aquellas que provienen de homografıas para las que H∞ no solo


es doble sino de puntos dobles. Sea pues f una afinidad tal que para todo Q ∈ H∞,[f ](Q) = Q; esto es, [f ] es una homologıa de eje H∞.

Por los resultados de 7.3. los puntos de H∞ han de estar asociados a un unico auto-valor λ. Por tanto, fijado un sistema de referencia afınR tenemos que

MR(f) =

1 0 ... 0α1 λ... . . .

αn λ

.

En esta situacion se puede presenta una situacion geometrica distinta, que corre para-lela a la casuıstica de las homologıas.

Caso 1: λ = 1. Supondremos que (α1, ..., αn) 6= (0, ..., 0) porque si no, estamos ante laidentidad y no hay mucho que estudiar.

Al tener MR(f) un unico autovalor, y no ser la identidad, el conjunto de puntos doblesde [f ] es exactamente H∞ y, por tanto, es una homologıa de centro incidente.

Para conocer el centro procedemos geometricamente. La afinidad asociada, tomandocoordenadas respecto deR, es

f : An(k) −→ An(k)

(x1, ..., xn) 7−→ (x1 + α1, ..., xn + αn)

y por ello f se denomina la traslacion de vector−−−−−−−→(α1, ..., αn).

Es entonces elemental que:

(a) No hay puntos afines dobles.

(b) Son dobles las variedades afines Y que verifican−−−−−−−→(α1, ..., αn) ∈ D(Y ) (esto es sen-

cillo por doble inclusion).

Por tanto Y es doble para [f ] si y solo si [0 : α1 : ... : αn] ∈ Y ∩ H∞. Ası pues, elcentro de la homologıa F ha de ser, necesariamente, [0 : α1 : ... : αn].

Caso 2: λ 6= 1. Ahora MR(f) posee dos autovalores: λ con multiplicidad n y 1 conmultiplicidad 1. Por ello, el conjunto de puntos dobles de [f ] es exactamente Zλ = H∞

junto con Z1 que es otro punto fuera de H∞ y, por tanto, [f ] es una homologıa de centrono incidente.

Si hallamos el centro O ∈ An(k) y consideramos un nuevo sistema de referenciaafın (que tambien denotaremos R) donde O sea el punto de An(k), la afinidad asociada,tomando coordenadas respecto deR, es

f : An(k) −→ An(k)

(x1, ..., xn) 7−→ (λx1, ..., λxn)

En estas condiciones f se denomina la homotecia de centro O y razon λ. Como sabe-mos, son dobles precisamente las variedades afines Y que verifican O ∈ Y . Observemosque la homotecia queda caracterizada al conocer el centro y la razon, ya que esta es


equivalente a conocer un punto y su imagen, que era el dato necesario para caracterizaruna homologıa.

Observacion.– El conjunto de las dilataciones forman un grupo con la composicion deaplicaciones.


Tema 8: Hipercuadricas

8.1. Hipercuadricas en el espacio proyectivo.

Observacion.– En el conjunto de las formas cuadraticas no nulas de k[x0, ..., xm] defini-mos la siguiente relacion

f ∼ g ⇐⇒ ∃λ ∈ k \ {0} | f = λg.

Esta relacion es claramente de equivalencia.

Definicion.– Una hipercuadrica Q de Pm(k) es una clase de equivalencia para la relacionanterior en el conjunto de formas cuadraticas no nulas de k[x0, ..., xm]. A un elemento fcualquiera de una clase se le denominara una ecuacion de la hipercuadrica.

En estas condiciones se define

Vp(Q) = {P ∈ Pm(k) | f(P ) = 0},

denominada la hipercuadrica–lugar de Q. Tambien lo denotaremos Vp(f), para cualquierf ∈ Q.

Observacion.– Notemos que, como f es una forma cuadratica tiene sentido decir f(P ) =0, pues esto se verifica o no, independientemente de las coordenadas que escojamos paraP .

Ası mismo, la pertenencia de un punto a Vp(Q) no depende de la ecuacion escogidade Q.

Observacion.– A diferencia de lo que sucedıa con las formas lineales donde es inmediatoprobar que dos formas lineales son iguales, salvo escalar, si lo son los conjuntos de puntosque las verifican (esto es, los correspondientes hiperplanos), una hipercuadrica no quedadeterminada por el conjunto de puntos que verifican una ecuacion. Por ejemplo, si fijamosk = R, m = 1; para cualquier escalar α 6= 0, 1 las hipercuadricas definidas por

f = x20 + x2

1, g = αx20 + x2

1,

verifican ambos que Vp(f) = Vp(g) = ∅, a pesar de que no son obviamente ecuacionesde la misma hipercuadrica.

Esto no sucede para el caso k = C, aunque la demostracion de este hecho, que es unageneralizacion del teorema fundamental del algebra, no se dara.

Definicion.– Dada una hipercuadrica Q de Pm(k),R un sistema de referencia proyectivo,definimos la clase–matriz de Q con respecto a R como el conjunto de matrices A ∈


M(m + 1; k) que verifican

(P )RA(P )tR = 0 ⇐⇒ P ∈ Vp(Q).

Cualquiera de las matrices anteriores se denominan una matriz de Q (con respecto aR).

Observacion.– Dada una hipercuadrica Q y una ecuacion de esta, f , sabemos por 5.5.que la igualdad f(x0, ..., xm) = 0 se puede rescribir de la forma

(x0 ... xm) A

x0...

xm

= 0,

para una matriz simetrica A ∈ M(m + 1; k). La igualdad anterior se denotara en losucesivo f = XAX t = 0.

Notemos que un punto P = [α0 : ... : αm] ∈ Vp(Q) si y solo si

(α0 ... αm) A

α0...

αm

= 0.

En consecuencia, una tal matriz serıa una matriz de Q respecto del sistema de referen-cia canonico de Pm(k).

De 5.5. se desprende inmediatamente que la matriz que obtenemos de la ecuacion λfes obviamente λA. Ası pues, fijado el sistema de referencia canonico, el conjunto de todaslas matrices asociadas a ecuaciones de Q son precisamente la clase–matriz determinadapor A, y, como en el caso de las aplicaciones proyectivas, la denotaremos [A].

Por las observaciones anteriores, el conjunto de matrices de una hipercuadrica Q conrespecto a un sistema de referencia cualquiera es, de hecho, una clase–matriz; esto es, elconjunto de todos los multiplos escalares no nulos de una matriz cualquiera del conjunto.

Observacion.– Denotemos C el sistema de referencia canonico yR otro sistema de refe-rencia cualquiera de Pm(k) y, para un punto generico P , notemos

(P )C = [x0 : ... : xm] , (P )R = [y0 : ... : ym] .

Si escribimos la ecuacion XAX t = 0 de la forma

0 = (P )CA(P )tC,

es obvio que la igualdad es equivalente a

0 = (P )RM(R, C)tAM(R, C)(P )tR.

Definicion.– Sean Q y Q′ dos hipercuadricas de Pm(k). Diremos que Q y Q′ son equiva-lentes si existe un cambio de sistema de referencia F (que podemos entender como unahomografıa) tal que F (Q) = Q′.


Observacion.– La relacion anterior, como su propio nombre indica, es de equivalencia.De hecho, si A y B son matrices de Q y Q′, respectivamente, con respecto a un mismosistema de referencia R, entonces Q y Q′ son equivalentes si A y B son congruentes,salvo tal vez multiplicacion por un escalar.

8.2. Ecuacion reducida.

Los resultados de la leccion anterior, junto con los del tema 5, nos permiten estudiar unahipercuadrica utilizando su clase–matriz y, a su vez, estudiar esta usando un cambio desistema de referencia que nos permita trabajar con ecuaciones particularmente simples.

Teorema de clasificacion de hipercuadricas complejas.– Sea Q una hipercuadrica dePn(C). Entonces:

(a) Todas las matrices de Q, respecto de cualquier sistema de referencia, tienen elmismo rango; que en adelante notaremos rg(Q) y denominaremos rango de Q.

(b) Una matriz B ∈ M(n + 1;C) es una matriz de Q respecto de algun sistema dereferencia si y solo si rg(B) = rg(Q).

(c) Si denotamos rg(Q) = r + 1, existe un sistema de referencia tal que una ecuacionde Q en ese sistema de referencia es precisamente x2

0 + ... + x2r = 0.

Demostracion.– Casi todos los apartados son consecuencias directas del teorema deSylvester. Para empezar, dos matrices son congruentes si y solo si tienen el mismo rango.Ademas es obvio que multiplicar por un escalar no nulo no varıa el rango. Ası pues, estasdos simples observaciones junto con las de la leccion anterior prueban (a) y (b).

Para probar (c) no hay mas que recordar de 5.4. que, dada una matriz simetrica A ∈M(n + 1;C) de rango r + 1, existe una matriz invertible P tal que

P tAP =

1. . .

10

. . .0

,

donde hay exactamente r + 1 elementos no nulos en la diagonal. Considerando P comouna matriz de cambio de sistema de referencia (lo cual es absolutamente legıtimo, pueses de hecho la matriz de un cambio de base) finalizamos la prueba de (c).

Corolario.– Dos hipercuadricas Q y Q′ de Pn(C) son equivalentes si y solo si tienen elmismo rango.

Teorema de clasificacion de hipercuadricas reales.– Sea Q una hipercuadrica dePn(R). Entonces:


(a) Todas las matrices de Q, respecto de cualquier sistema de referencia, tienen elmismo rango; que en adelante notaremos rg(Q). Ademas, para cualquier matrizdiagonal A de Q, el numero natural |sg(A) − sg(−A)| tambien es constante. Estacantidad se denominara signatura proyectiva de Q y se denotara sp(Q).

(b) Una matriz diagonal B ∈ M(n + 1;C) es una matriz de Q respecto de algunsistema de referencia si y solo si rg(B) = rg(Q) y |sg(B)− sg(−B)| = sp(Q).

(c) Si denotamos rg(Q) = r + 1, sp(Q) = |2s− r + 1|; existe un sistema de referenciatal que una ecuacion de Q en ese sistema de referencia es precisamente x2

0 + ... +x2

s − x2s+1 − ...− x2

r = 0.

Demostracion.– La demostracion es paralela a la del caso complejo. Solo hay quetomar en consideracion lo siguiente: dos matrices reales diagonales son congruentes si ysolo si tienen el mismo rango y la misma signatura (numero de elementos positivos en ladiagonal).

Mientras que el rango es invariante al multiplicar por un escalar, no es el caso de lasignatura, ya que si sg(A) = s y rg(A) = r; y multiplicamos A por un escalar negativo(pongamos−1), obtenemos sg(−A) = r−s. En cualquier caso, un invariante de la clase–matriz determinada por A es entonces |sg(A) − sg(−A)| = |2s − r|, como es inmediatode comprobar.

Con los mismos argumentos que en el caso complejo se prueban entonces (a), (b) y(c).

Corolario.– Dos hipercuadricas Q y Q′ de Pn(R) son equivalentes si y solo si tienen elmismo rango y la misma signatura proyectiva.

Corolario.– Sea Q una hipercuadrica real. Entonces rg(Q) y sp(Q) tienen la mismaparidad (esto es, ambos son pares o ambos son impares).

Demostracion.– Inmediata, puesto que si rg(Q) = r+1, sp(Q) = t existe un numeroentero s (que es, en la demostracion del teorema, sg(A)) tal que |2s − r + 1| = t, luegot− (r + 1) es siempre un numero par.

Definicion.– En las condiciones de los teoremas anteriores, las ecuaciones dadas en losapartados (c) se denominan ecuaciones reducidas de las hipercuadricas.

Observacion.– El casos k = Q es mas complejo y, como en 5.4., no entraremos endetalle. En principio, lo que podemos establecer, siguiendo 5.5., es la existencia, para unahipercuadrica dada, de una matriz que sea diagonal.

Otro resultado que se verifica bajo cualquier cuerpo, como indicamos en 5.4., es quesi Q y Q′ son equivalentes, entonces ha de ser rg(Q) = rg(Q′). Esto justifica que lasiguiente definicion se aplique a cualquier cuerpo base.

Definicion.– Una hipercuadrica Q de Pn(k) se dice degenerada cuando rg(Q) < n + 1.En caso contrario Q se dice no degenerada.

Observacion.– El caso extremo de degeneracion se produce cuando rg(Q) = 0. En estecaso Vp(Q) = Pn(k). Es elemental ver que, cuando n ≥ 1, este es el unico rango queverifica esta propiedad.


8.3. Polaridad (I): Primeras propiedades.

La polaridad es la herramienta geometrica mas util relacionada con las hipercuadricas,y se corresponde al concepto euclıdeo de ortogonalidad. Por ello, la mayorıa de laspropiedades resultaran simples de probar, a partir de los resultados del tema 5. Fijaremospara toda la leccion un sistema de referencia y supondremos que todas las coordenadas,matrices y ecuaciones se toman con respecto a el, sin mencion expresa.

Definicion.– Sea Q una hipercuadrica de Pn(k), A una matriz de Q, P ∈ Pn(k) un puntocualquiera.

(a) Si PA = (0 ... 0), entonces P se dice un punto singular de Q. El conjunto depuntos singulares de Q se denota S(Q).

(b) Si PA 6= (0 ... 0), P se dice un punto no singular o regular de Q. Entonces se defineel hiperplano polar de P como el hiperplano definido por la ecuacion PAX t = 0.

En cualquier caso, definimos la variedad polar de P respecto de Q, notada LQ(P ),como el conjunto de puntos R que verifican PARt = 0. Los puntos de LQ(P ) se dicenconjugados de P . Ası

(a) Si P ∈ S(Q), LQ(P ) = Pn(k).

(b) Si P /∈ S(Q), LQ(P ) es el hiperplano polar de P .

Observacion.– Algunas anotaciones inmediatas a la definicion son:

(a) S(Q) ⊂ Vp(Q).

(b) S(Q) es una variedad lineal proyectiva de ecuaciones

A

x0...

xn

= 0(n+1)×1,

de donde dim(S(Q)) = (n + 1)− rg(Q). Ası pues, Q es no degenerada si y solo siS(Q) = ∅.

(c) La relacion P ∼ R si y solo si P y R son conjugados es simetrica, pero no reflexivani transitiva. De hecho, P ∼ P si y solo si P ∈ Vp(Q).

Una nota algo menos trivial es la siguiente: si Q es no degenerada, entonces podemosdefinir una aplicacion

ΦQ : Pn(k) −→ Pn(k)∗

P 7−→ LQ(P )

que, de hecho, si fijamos en Pn(k)∗ el sistema de referencia dual al que estamos usandoen Pn(k) es una homografıa cuya clase–matriz coincide con la de Q.


Definicion.– En las condiciones anteriores, dada una variedad lineal proyectiva Z defini-mos su variedad polar como

LQ(Z) =⋂

P∈Z

LQ(P ).

Presentamos ahora una lista de propiedades de las variedades polares. No es razona-ble, por lo tedioso, probar todas, aunque aquı lo haremos, dejando al criterio del docentecuales incluir y cuales dejar como ejercicio (o dejar, a secas).

Proposicion.– Sean Z,Z1, Z2, {Zi}i∈I variedades lineales proyectivas.

(a) LQ(Z) = {R ∈ Pn(k) | Z ⊂ LQ(R)}.

(b) Z1 ⊂ Z2 =⇒ LQ(Z1) ⊃ LQ(Z2).

(c) S(Q) = LQ(Pn(k)) ⊂ LQ(Z).

(d) LQ

(

∑

i∈I

Zi

)

=⋂

i∈I

LQ(Zi).

(e) Si P1, ..., Pr generan Z, entonces LQ(Z) = LQ(P1) ∩ ... ∩ LQ(Pr).

(f)∑

i∈I

LQ(Zi) ⊂ LQ

(

⋂

i∈I

Zi

)

.

(g) Z ⊂ LQ(LQ(Z)).

(h) dim(LQ(Z)) ≥ n− dim(Z)− 1.

Las contenciones (f), (g) y (h) son igualdades cuando Q es no degenerada.

Demostracion.– Casi todos los enunciados son muy simples.

(a) Basta aplicar lo siguiente:

Z ⊂ LQ(R) ⇐⇒ ∀P ∈ Z, P y R son conjugados ⇐⇒ R ∈ LQ(P ).

(b) Directo de la definicion.

(c) Aplicar (b) a la contencion Z ⊂ Pn(k).

(d) Podemos hacerlo por doble inclusion. Si R ∈ LQ(∑

Zi), R es conjugado de lospuntos de

∑

Zi. En particular, para cada i ∈ I , R es conjugado de los puntos deZi; de donde R ∈ LQ(Zi) para todo i ∈ I . En el otro sentido, si R es conjugado delos puntos de todos los Zi, lo es de los puntos de

∑

Zi. Para ver esto, solo hay querecordar de 6.5. que los puntos de

∑

Zi dependen proyectivamente de una cantidadfinita de puntos de ∪Zi. Una vez visto esto, las demas implicaciones de la inclusionanterior son claramente dobles implicaciones.

(e) Basta aplicar (d) a Z1 = {P1}, ..., Zr = {Pr}.

(f) Se obtiene directamente:

∩Zi ⊂ Zi, ∀ i ∈ I =⇒ LQ(Zi) ⊂ LQ(∩Zi), ∀ i ∈ I

=⇒∑

LQ(Zi) ⊂ LQ(∩Zi).


(g) De la definicion se obtiene que P ⊂ LQ(LQ(P )) para todo P ∈ Z. Ahora tenemosque

Z =∑

P∈Z

P ⊂∑

P∈Z

LQ(LQ(P )) ⊂ LQ

[

⋂

P∈Z

LQ(P )

]

= LQ(LQ(Z)).

(h) Basta aplicar (e) a una base de Z, teniendo en cuenta que LQ(P ) es, bien un hiper-plano, bien Pn(k). Por tanto, LQ(Z) es interseccion de, a lo mas, dim(Z) hiper-planos y (h) se sigue directamente.

Para probar las igualdades (f), (g) y (h) en el caso de que Q sea no degenerada, bastademostrar que las dos variedades involucradas en cada caso tienen la misma dimension,lo cual es inmediato del hecho de que LQ(P ) es un hiperplano para cualquier P ∈ Z.

Observacion.– En el lenguaje clasico, se denominaba polaridad a cualquier homografıaperiodica; esto es, cualquier homografıa F verificando F ◦ F = Id. Ası, cuando Q es nodegenerada, la homografıa definida por F (P ) = ?(ΦQ(P )) es una polaridad.

8.4. Polaridad (II): Tangentes.

El concepto de tangencia es conocido intuitivamente por los alumnos. Se trata ahora dedotarlo de precision para la familia de las hipercuadricas. Posteriormente, cuando veamosejemplos concretos, encontraremos situaciones que posiblemente desafiaran los conceptosintuitivos de los alumnos.

Definicion.– Sea Q una hipercuadrica de Pn(k), P ∈ Vp(Q). Una variedad Z tal queP ∈ Z se dice tangente a Q en P cuando Z ⊂ LQ(P ).

Observacion.– En particular, todos los puntos de una variedad tangente a Q en P debenser conjugados con P . Una definicion equivalente es la siguiente: Z es tangente a Q si ysolo si LQ(Z) ∩ Z 6= ∅.

Para ver esto, si tomamos en primer lugar Z tangente a Q, ha de existir P ∈ Z ⊂LQ(P ). Entonces, como hemos visto,

P ∈ LQ(LQ(P )) ⊂ LQ(Z),

con lo que P ∈ LQ(Z) ∩ Z.

En cuanto a la otra implicacion, supongamos que R ∈ LQ(Z) ∩ Z. Entonces R esconjugado con todos los puntos de Z, en particular consigo mismo y, ası, R ∈ Vp(Q).Ademas

Z ⊂ LQ(LQ(Z)) ⊂ LQ(R),

por lo que Z es tangente a Q.

En el estudio de las variedades tangentes, hemos de distinguir a la hora de enunciarpropiedades, los casos de las cuadricas degeneradas y las no degeneradas. Ademas, noscentraremos de forma especial en los hiperplanos tangentes.


Proposicion.– Sea Q una cuadrica degenerada de Pn(k). Entonces si S(Q) ∩ Z 6= ∅, Zes tangente a Q. Ademas, si Z es un hiperplano, la condicion es necesaria y suficiente yse puede sustituir por S(Q) ⊂ Z.

Demostracion.– Para probar la primera afirmacion basta recordar que, si P ∈ S(Q),LQ(P ) = Pn(k), luego toda variedad que contenga a un punto singular es tangente a Z.

Pasemos ahora a demostrar la necesidad de esta condicion, cuando Z es un hiper-plano. Obviamente, si Z pasa por un punto singular, no hay nada que probar. Ası pues,supongamos que Z es tangente a Q en un punto no singular R ∈ Vp(Q). Entonces Z hade ser, exactamente LQ(P ), puesto que esta variedad es tambien un hiperplano. Ası, Z esla variedad polar de un punto de Q y, por tanto, contiene a S(Q), como indicamos en laleccion pasada.

Proposicion.– Sea Q una hipercuadrica no degenerada, P un punto de Vp(Q), XAX t = 0una ecuacion de Q. Entonces existe un unico hiperplano tangente a Q en P , que es LQ(P )definido por PAX t = 0.

Un hiperplano Z es tangente a Q si y solo si ?(Z) ∈ Vp(Q∗), donde Q∗ es la

hipercuadrica de Pn(k)∗ definida por la ecuacion

(x∗0 ... x∗

n) A−1

x∗0...

x∗n

t

= 0.

Demostracion.– La primera afirmacion es consecuencia directa de todas laspropiedades ya demostradas de la polar de un punto en una hipercuadrica no degener-ada.

Para demostrar el segundo aserto, sea Z un hiperplano. Entonces Z es tangente si ysolo si existe P ∈ Pn(k) tal que una ecuacion de Z es PAX t = 0; esto es, si y solo si?(Z) viene dado por PA, para algun P ∈ Vp(Q).

A partir de aquı,

?(Z)A−1 ? (Z)t = (PA)(

A−1)

(PA)t = PAtP t = (PAP t)t = 0.

La otra implicacion es tambien sencilla: dada ?(Z) con la condicion requerida consi-deramos P = ?(Z)A−1 y se prueba, del mismo modo, que P ∈ Vp(Q) y que Z = LQ(P ).

Definicion.– La hipercuadrica Q∗ de Pn(k)∗, definida por la ecuacion X∗A−1(X∗)t = 0se denomina hipercuadrica dual de Q. Si P ∈ Vp(Q), el hiperplano H = LQ(P ) sedenomina, sin mayor precision, la variedad tangente de Q en P , denotado tgP (Q).

Observacion.– Obviamente, dado que las hipercuadricas complejas se determinan porel rango y que la hipercuadrica dual solo esta definida para el caso no degenerado, eselemental que una hipercuadrica no degenerada y su dual son equivalentes.

En el caso de las hipercuadricas reales, tampoco es complejo demostrar que Q y Q∗

son equivalentes: basta tomar un sistema de referencia proyectivo adecuado para usarecuaciones reducidas y, en esas condiciones, la ecuacion reducida de Q∗ tiene los mismoscoeficientes que la de Q. De aquı se tiene la equivalencia.


Finalizamos esta leccion con una notacion clasica, que tendra despues su reflejo en di-versas lecciones, y que generaliza el concepto de tangente para puntos que no pertenecena la hipercuadrica–lugar.

Lema.– Sea Q no degenerada, P /∈ Vp(Q), Z = LQ(P ). Entonces para todo R ∈Z ∩ Vp(Q), la recta PR es tangente a Q.

El conjuntoctgP (Q) =

⋃

R∈Vp(Q)∩LQ(P )

PR,

denominado cono tangente de Q desde P (o con vertice P ), es una hipercuadrica degene-rada.

Demostracion.– Dado que R esta conjugado con P y consigo mismo, PR estacontenida en tgR(Q). Para ver que el cono tangente es una hipercuadrica degenerada,tomamos un sistema de referencia R cuyo primer punto sea precisamente P y todos losdemas esten en tgQ(P ).

Ası, una matriz de Q respecto de este sistema de referencia tendra la forma

A =

(

1 01×n

0n×1 A′

)

,

y, en consecuencia, tgP (Q) : x0 = 0. Queda probar que un punto S ∈ ctgP (Q) si y solosi

(S)R

(

0 01×n

0n×1 A′

)

(S)tR = 0,

lo que finaliza la prueba. Esto es un ejercicio sencillo y puede ser dejado como tal.

En caso de optar por probarlo en clase, empecemos por recordar que, si S ∈ PR,tenemos

(P )R = [1 : 0 : ... : 0](R)R = [0 : a1 : ... : an]

}

=⇒ (S)R = [λ : µa1 : ... : µan] .

Entonces

(S)R

(

0 01×n

0n×1 A′

)

(S)tR = µ (a1 ... an) Aµ

a1...

an

t

= (R)RA(R)tR = 0,

porque R ∈ Vp(Q).

En el otro sentido, si S verifica la condicion matricial, escribimos (S)R = [x0 : ... :xn] y vemos que ha de ser R = [0 : x1 : ... : xn] ∈ Vp(Q). De aquı, el resultado se siguede forma inmediata.

8.5. Polaridad (III): Restriccion.

El objeto de estudio en esta leccion es estudiar que sucede cuando se corta unahipercuadrica con una variedad lineal. Como el alumno espera intuitivamente, el resultado


es otra hipercuadrica, cuyas caracterısticas podremos predecir, a partir de los resultadosde las dos lecciones anteriores. Como antes, consideramos fijado un sistema de referen-cia R en Pn(k), con respecto al cual tomamos ecuaciones y coordenadas sin mencionexplıcita.

Sea Z ⊂ Pn(k) una variedad lineal proyectiva que podemos suponer no vacıa, Q unhipercuadrica. Queremos saber si el conjunto Vp(Q) ∩ Z es la hipercuadrica–lugar dealguna hipercuadrica en el espacio proyectivo Z.

Observacion.– En las condiciones anteriores sea RZ un sistema de referencia en Z,M(RZ ,R) la matriz (ver 6.8.) que verifica

∀P ∈ Z, P t = M(RZ ,R)(P )tRZ

,

y A una matriz de Q. Entonces es claro que P ∈ Vp(Q) ∩ Z si y solo si

(P )RZM(RZ ,R)tAM(RZ ,R)(P )t

RZ= 0.

Ası, Vp(Q) ∩ Z es la hipercuadrica–lugar, en el espacio proyectivo Z, definida por lamatriz M(RZ ,R)tAM(RZ ,R). Notemos que, si dim(Z) = r, la matriz anterior esta enM(r + 1; k).

Definicion.– La hipercuadrica definida por la matriz anterior se denomina restriccion deQ a Z, y se denotara Q|Z .

El objetivo fundamental ahora es tratar de establecer como varıa el rango (parak = C,R) y la signatura proyectiva (para k = R), al restringir una hipercuadrica auna variedad lineal. Como es obvio, basta estudiar con detalle el caso de la restriccion aun hiperplano, lo que haremos en la proxima leccion.

Proposicion.– Sean Q y Z como antes.

(a) Dos puntos de Z son conjugados respecto de Q|Z si y solo si lo son respecto de Q.

(b) Si P ∈ Z, LQ|Z(P ) = LQ(P ) ∩ Z.

(c) Si Z ′ ⊂ Z, LQ|Z(Z ′) = LQ(Z ′) ∩ Z.

(d) Z ⊂ Vp(Q) si y solo si Z ⊂ LQ(Z).

(e) rg(Q|Z) = dim(Z)− dim(Z ∩ LQ(Z)).

Demostracion.– Las demostraciones de (a) y (b) son inmediatas a partir de unaecuacion de Q|Z . Para ver (c) basta recordar de 8.3. que P ∈ LQ|Z

(Z ′) si es conju-gado, respecto de Q|Z , de todos los puntos de Z ′. Por (a), esto equivale a ser conjugadode todos los puntos de Z ′ respecto de Q y, ademas, pertenecer a Z.

Para demostrar (d) vemos que Z ⊂ Vp(Q) si y solo si todos los puntos de Z sonautoconjugados. Esto es, Vp(Q|Z) = Z. Ası, rg(Q|Z) = 0 y, por tanto, todos los puntosde Z son conjugados dos a dos. Esto implica que Z ⊂ LQ(Z). La otra implicacion esanaloga.

Probemos, por ultimo, (e). Sabemos de 8.3. que

rg(

Q|Z

)

= dim(Z)− dim(

S(Q|Z))

,


por lo que nos podemos reducir a probar que S(Q|Z) = Z ∩ LQ(Z). Esto es similar alpunto (d): un punto es singular en S(Q|Z) si y solo si es de Z y conjugado (respecto deQ) con todos los de Z; esto es, si y solo si esta en Z ∩ LQ(Z).

Corolario.– La hipercuadrica Q|Z es degenerada si y solo si Z es tangente.

Demostracion.– Es obvio a partir del hecho probado en (e): S(Q|Z) = Z ∩ LQ(Z).Ası la existencia de un punto tangente es equivalente a la existencia de P ∈ Z, conjugadocon todos los de Z. Esto es lo mismo que decir Z ⊂ LQ(P ).

Antes de dedicar toda una clase al caso de los hiperplanos, veremos con detalle el casode una recta, que nos permitira distinguir entre dos clases de puntos.

Proposicion.– Sea Q una hipercuadrica, Z una recta. Entonces:

(a) La hipercuadrica–lugar Vp(Q) ∩ Z puede ser el vacıo, un punto, dos puntos o lapropia Z.

(b) Si Z es tangente a Q, entonces Vp(Q) ∩ Z solo puede ser un punto o Z.

Demostracion.– Si estudiamos las posibilidades de una hipercuadrica en Z = P1(k),vemos que son, en funcion del rango de Q|Z , que notamos r:

(r = 0) Una ecuacion de Q|Z es tautologica: Vp(Q|Z) = Z.

(r = 1) Una ecuacion de Q|Z (en un sistema de referencia adecuado) es de la forma αx20 =

0. Ası, Vp(Q|Z) = {[0 : 1]}.

(r = 2) Una ecuacion de Q|Z (como antes) es de la forma αx20+βx2

1 = 0, con α y β distintosde 0. Esta ecuacion tiene dos soluciones o ninguna, dependiendo de si −β/α tieneraız cuadrada en k o no.

Esta descripcion, junto con el resultado anterior, prueba el resultado. Notemos que, sik = C, no es posible que Vp(Q|Z) sea el vacıo.

Definicion.– Sea Q no degenerada, P ∈ Vp(Q).

(a) Si, para toda recta Z ⊂ tgP (Q) pasando por P se tiene que Vp(Q|Z) = {P},P se denomina un punto elıptico. Equivalentemente, P es elıptico si y solo sitgP (Q) ∩Q = {P}.

(b) Si, existe alguna Z ⊂ tgP (Q) pasando por P tal que Vp(Q|Z) = Z, P se dice unpunto hiperbolico. Equivalentemente, P es hiperbolico si y solo si tgP (Q) ∩ Q 6={P}.


8.6. Polaridad (IV): Restriccion a hiperplanos.

Vamos a estudiar, por ultimo (en lo referente a temas relativos a polaridad) que sucedecuando restringimos una hipercuadrica a un hiperplano. Por motivos de interes ybrevedad, nos dedicaremos exclusivamente al caso de las hipercuadricas no degeneradas.Tal y como vimos en la leccion anterior, resultan distintos los razonamientos (y los resul-tados) dependiendo de si el hiperplano a restringir es o no tangente.

Teorema.– Sea Q una hipercuadrica no degenerada de Pn(k), Z un hiperplano. Entonces:

(a) Si Z no es tangente a Q, entonces rg(Q|Z) = n, y, si k = R, sp(

Q|Z

)

= sp(Q)±1.

(b) Si Z es tangente a Q, entonces rg(Q|Z) = n− 1, y, si k = R, sp(

Q|Z

)

= sp(Q).

Demostracion.– Veamos primero lo relativo al rango. El apartado (a) es consecuenciadirecta de un resultado de la leccion anterior: si Z no es tangente, Q|Z es no degenerada.Veamos entonces (b). Para ello, vamos a escoger un sistema de referencia apropiado.

Como Z es tangente y Q es no degenerada, sabemos que ha de existir P ∈ Z ∩Vp(Q)tal que Z = LQ(P ). Tomamos entonces otro punto R /∈ Z y hallamos Z ′ = LQ(R).Como Q es no degenerada y P 6= R, ha de ser Z ′ 6= Z y, ası, dim(Z ∩ Z ′) = n− 2.

Tomemos entonces {P2, ..., Pn} base de Z ∩ Z ′ y tendremos que el conjunto{P,R, P2, ..., Pn} es una base de Pn(k), ya que ningun hiperplano puede contenerlosa todos. Completamos entonces con un punto unidad adecuado, tomando vectores encada clase, y obtenemos un sistema de referencia de Pn(k), que notaremos R. Algunasconsideraciones a tener en cuenta son:

(a) Z = Lp(P, P2, ..., Pn), esto es, Z : x1 = 0 enR.

(b) Sabemos que todos los Pi estan conjugados con P y que P tambien lo esta consigomismo; por lo que una matriz de Q con respecto aR serıa

A =

0 α 0 ... 0α β 0 ... 00 0...

... A0

0 0

.

(c) Si denotamosRZ al sistema de referencia de Z formado por P, P2, ..., Pn y el puntounidad hallado con los mismos vectores que hemos usado para construirR, tenemosque, como en 6.8.,

M(RZ ,R) =

1 0 0 ... 00 0 1 ... 0...

......

...0 0 0 ... 1

∈M((n + 1)× n; k).


Esto, junto con las observaciones de la leccion anterior, arrojan como resultado queuna matriz B de Q|Z con respecto a RZ se obtiene de A eliminando la segunda fila y lasegunda columna; esto es,

B =

0 0 ... 00... A0

0

.

Ahora bien, como rg(A) = n + 1, ha de ser rg(A0) = rg(B) = n− 1. Esto finaliza laparte del rango.

Vamos con la signatura proyectiva en el caso (a). Sea L subespacio vectorial verifi-cando π(L) = Z, A una matriz de Q y θ la aplicacion bilineal definida por A en kn+1.Calculemos una base BL de L que diagonalice a θ|L y ampliemosla a B, base de kn+1 talque MB(θ) sea tambien diagonal. Entonces, si usamos BL como base normalizada para unsistema de referenciaRZ de Z y B para un sistema de referenciaR de Pn(k), obtenemosque:

(a) Las matrices de Q y Q|Z respecto deR yRZ , respectivamente, son diagonales.

(b) La matriz de Q|Z respecto deRZ se obtiene de la matriz de Q respecto deR elimi-nando la ultima fila y la ultima columna.

Dado que Q era no degenerada, dependiendo de si el ultimo elemento diagonal tiene ono el mismo signo que la mayorıa de los restantes, se obtiene el resultado. Como veremosdespues podemos encontrar ejemplos de ambas situaciones.

Sin embargo, en el caso que Z sea tangente, podemos recomponer la demostracionde la parte anterior y diagonalizar, por separado, la caja superior y la inferior, ya que lospuntos de Lp(P,R) son conjugados con los de Lp(P2, ..., Pn). Entonces, al diagonalizarla caja superior, que era de la forma

(

0 αα β

)

obtenemos, siguiendo a 5.3.,(

β 00 −α2β

)

,

lo que prueba, de forma similar a como vimos en 5.5., que sp(A) = sp(A0) = sp(B).Esto finaliza la prueba.

Corolario.– Una hipercuadrica no degenerada de Pn(k), con n > 1, no contiene hiper-planos.

Demostracion.– Si Q contuviese un hiperplano Z, Q|Z serıa el propio Z, por lo querg(Q|Z) = 0, como vimos en 8.2. Por el teorema que acabamos de probar, rg(Q) = 2 <n + 1, lo que contradice la hipotesis de no degeneracion.

Las hipercuadricas degeneradas, por el contrario, siempre contienen variedades linea-les de dimension no nula. Mas adelante veremos ejemplos de hipercuadricas que sonunion finita de variedades lineales, pero ahora podemos establecer un resultado general


que nos dice que toda hipercuadrica degenerada es, de hecho, union de variedades lin-eales.

Proposicion.– Sea ahora Q una hipercuadrica degenerada de Pn(k). Entonces

Vp(Q) =⋃

P∈Vp(Q)\S(Q), R∈S(Q)

PR.

Demostracion.– La inclusion directa es obvia. La inversa es un ejercicio sencillo:basta recordar que un punto S ∈ PR verifica que sus coordenadas son una combinacionlineal de las de P y de las de R y que, por ser R ∈ S(Q), es conjugado de todos lospuntos de Pn(k).

Observacion.– En terminos geometricos se dice que Vp(Q) es un cono de vertice S(Q)esto es, que la recta que une un punto del vertice con un punto cualquiera de Vp(Q) estacontenida en Vp(Q), como sucedıa con el cono tangente a una hipercuadrica no degene-rada visto en 8.4.

8.7. Hipercuadricas en el espacio afın.

Pasamos ahora, como de costumbre, a estudiar la version afın de los objetos proyectivos.Consideramos, como en situaciones anteriores, An(k) el espacio afın n–dimensional,sumergido en Pn(k) = An(k) ∪ H∞, donde H∞ : x0 = 0 es el hiperplano del infinito.Tomaremos Ra = {O;B} un sistema de referencia afın en An(k) y R el sistema dereferencia proyectivo que determina.

Dado que una hipercuadrica es, en sentido estricto, una clase de equivalencia de for-mas cuadraticas, no podemos definir, como en el caso de las variedades lineales, unahipercuadrica afın como interseccion de An(k) con una hipercuadrica proyectiva. Peroveremos que, en lo tocante a conjuntos de puntos, es ası.

Sean f y g dos polinomios de segundo grado del anillo k[x1, ..., xn]. Diremos que f yg son equivalentes, f ∼ g, si existe un escalar λ ∈ k \ {0} tal que f = λg. Obviamenteesta relacion es de equivalencia.

Definicion.– Una hipercuadrica afın Q del espacio afın n–dimensional An(k) es la clasede equivalencia de una ecuacion en n variables de grado 2;

f (x1, ..., xn) =∑

i≤j, α+β≤2

aijxαi xβ

j .

A cada elemento de la clase de equivalencia se le denominara una ecuacion de Q.

El conjunto de puntos afines que verifica anulan f (o cualquier polinomio equivalente,como es elemental), se denomina la hipercuadrica–lugar (afın) de Q, notada Va(Q). Estoes,

Va(Q) = {P = (a1, ..., an) | f (a1, ..., an) = 0} .

Observacion.– Como es inmediato de forma analoga a 5.5., fijada una ecuacion f deQ, el conjunto de puntos de Va(Q) se puede rescribir como el conjunto de puntos de


coordenadas P = (x1, ..., xn) tales que

(1 x1 ... xn)

a00 a01/2 ... a0n/2a01/2 a11 ... a1n/2

...... . . . ...

a0n/2 a1n/2 ... ann

1x1...

xn

= 0,

lo que se puede denotar como [P ]A[P ]t, con A simetrica. A se denomina una matriz deQ (respecto deR) y es claro que toda otra matriz de Q difiere de A en el producto por unescalar.

Definicion.– La hipercuadrica proyectiva definida por A en Pn(k) se denomina clausuraproyectiva de Q y se denota por Q.

La restriccion de Q a H∞ se denomina hipercuadrica del infinito de Q, y se denotaQ∞.

Observacion.– Algunas conclusiones obvias son:

(a) Dado que la formula matricial anterior es una caracterizacion de Va(Q), se tieneque Vp(Q) ∩An(k) = Va(Q).

(b) A partir de lo anterior, es obvio que Vp(Q) = Va(Q)∪Vp(Q∞) y estos dos conjuntosson, ademas, disjuntos.

(c) Si f es una ecuacion de Q, entonces una ecuacion de Q se obtiene homogeneizandof , esto es, anadiendo la variable x0 (eventualmente al cuadrado) en los sumandos def que lo necesiten hasta lograr una forma cuadratica. Este proceso es el equivalenteal usado para determinar un sistema de ecuaciones de la clausura proyectiva de unavariedad lineal.

(d) A partir de (c) y de lo visto en la leccion anterior, una ecuacion de Q∞ se hallaeliminando de f todos los terminos que no son de grado 2, y una matriz de Q∞ esla submatriz complementaria del primer elemento diagonal de A. Denotaremos portanto esta submatriz habitualmente como A∞.

Observacion.– En lo tocante a equivalencias, tambien tenemos los conceptos correspon-dientes.

Definicion.– Diremos que dos hipercuadricas afines Q y Q′ son afınmente equivalentessi lo son Q y Q′, mediante un cambio de sistema de referencia proyectivo F que tenga aH∞ como hiperplano doble.

Equivalentemente, Q y Q′ son (afınmente) equivalentes si existe un cambio de sistemade referencia afın (o una afinidad) f que lleve Va(Q) en Va(Q

′).

Observacion.– Como es evidente de 6.8., si R′a = {O′;B′} es otro sistema de referencia

afın, entonces un punto P ∈ Va(Q) si y solo si

(P )R′aM(R′

a,R)AM(R′a,R)t(P )t

R′a,

pero existe, ademas, una traduccion geometrica.

Proposicion.– Sean Q y Q′ dos hipercuadrica afines en An(k). Entonces son equiva-lentes:


(a) Q y Q′ son afınmente equivalentes.

(b) Q y Q′ son equivalentes en Pn(k); y Q∞ y Q′∞ lo son en H∞ ' Pn−1(k).

Demostracion.– La implicacion (a) =⇒ (b) es elemental: si A y A′ son matrices deQ y Q′ respectivamente, y denotamos f el cambio de sistema de referencia que lleva Qen Q′, entonces sabemos que

(

a11 ∗∗ A∞

)

=

(

1 ∗0n×1 MB,B′(

−→f )

)(

a′11 ∗∗ A′

∞

)(

1 01×n

∗ MB,B′(−→f )

)

.

Ası, es obvio que Q y Q′ son equivalentes puesto que ϕ tambien se puede entendercomo un cambio de referencia en Pn(k). Ademas, como

−→f es un isomorfismo, tambien

se puede entender como un cambio de sistema de referencia en H∞, que verifica A∞ =M(−→f )A′

∞M(−→f )t, lo que prueba que Q∞ y Q′

∞ son equivalentes.

La otra implicacion es consecuencia del Teorema de Witt, que no demostraremos aquıpor ser un resultado excesivamente complejo para los objetivos de la asignatura.

8.8. Elementos afines de las hipercuadricas.

Los elementos afines de la hipercuadricas enriquecen enormemente las posibilidadesgeometricas de estos objetos: permiten ademas obtener aplicaciones de conceptos (tantoafines como proyectivos) ya estudiados. Nos vamos a centrar en tres objetos clasicos: loscentros, los hiperplanos diametrales y los hiperplanos asintoticos.

Definicion.– Sea Q una hipercuadrica afın, Q la clausura proyectiva como en la pasadaleccion y Q∞ su restriccion a H∞.

Denominamos hiperplano diametral a todo hiperplano afın de la forma An(k) ∩LQ(P ), con P ∈ H∞.

Los hiperplanos diametrales correspondientes a puntos de Vp(Q∞) se denominanhiperplanos asintoticos. Esto es, son los hiperplanos tangentes en los puntos del infinito.

Definimos la variedad de centros de Q como la interseccion de los hiperplanos diame-trales. Dicho de otro modo, es la variedad lineal afın

C(Q) = An(k) ∩ LQ (H∞) .

Cuando la variedad de centros se reduce a un unico punto O, el cono tangente ctgO(Q)se denomina el cono asintotico de Q.

Ejemplo.– Como ilustracion de estos conceptos, vamos a hallar los elementos correspon-dientes a una hipercuadrica bien conocida: la hiperbola equilatera definida por xy = 1.

En nuestro caso tenemos que Q esta definida por xy = z2 (en este contexto z es lavariable usada para la homogeneizacion) y Q∞ por xy = 0, en la recta proyectiva definidapor H∞ : z = 0. Los hiperplanos diametrales son entonces de la forma

(0 α β)

−1 0 00 0 10 1 0

1xy

= βx + αy = 0,


cuando α, β ∈ R; esto es, son todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas y,de hecho, C(Q) = {(0, 0)}.

Los hiperplanos asintoticos son los correspondientes a los puntos [0 : 1 : 0] y [0 : 0 :1]; esto es, los ejes coordenados.

En cuanto al cono tangente de Q, hemos de calcular en primer lugar la recta polar deO, que es

(1 0 0)

−1 0 00 0 10 1 0

zxy

≡ z = 0,

por lo que el cono tangente de Q es, precisamente, la union de los ejes coordenados.

Observacion.– Para finalizar el tema, justificaremos el nombre de centro para la variedadC(Q).

Proposicion.– En las condiciones anteriores, supongamos que Q es no degenerada y seaZ una recta proyectiva no tangente a Q. Si definimos

F : Z −→ Z

P 7−→ Z ∩ LQ(P )

resulta que F es una homografıa involutiva (o sea, que verifica F ◦ F = IdZ).

Demostracion.– Dado que Z no es tangente a Q, Q|Z es no degenerada y, por tanto,LQ(P ) ∩ (Z) = LQ|Z

(P ), que es un punto. De hecho, fijado un sistema de referencia enZ,RZ , y una matriz A respecto de el de Q|Z , tenemos que se verifica

(P )RZA(F (P ))t

RZ= 0,

y se puede verificar, sin mucho esfuerzo, que

(F (P ))RZ= (P )RZ

A

(

0 −11 0

)

,

por lo que F es una homografıa y, de hecho, su matriz respecto deRZ es

MRZ(F ) = A

(

0 −11 0

)

,

y, por tanto,

MRZ(F ◦ F ) =

[

A

(

0 −11 0

)]

= −|A|I2,

cuya clase matriz coincide con la de IdZ .

Corolario.– Sea O un centro de Q, Y una recta afın que pase por O y que verifiqueY = Va(Q) = {P1, P2}. Entonces O es el punto medio de P1 y P2.

Demostracion.– Aplicamos el lema anterior a los puntos P1, P2 y O. Tenemos que

F (P1) = P1, F (P2) = P2, F (O) = Y∞,

por ser P1 y P2 autoconjugados y O un centro. Esto ademas implica que F (Y∞) = O, porser F involutiva.


Entonces, con respecto al sistema de referencia {P1, P2; O}, la matriz de F es pre-cisamente

(

λ 00 µ

)

,

con λ2 = µ2, al ser F involutiva. Por tanto podemos tomar como representante de la clasematriz

(

1 00 −1

)

,

y entonces (Y∞)RZ= [1 : −1]. Esto equivale, como es sencillo de probar, a que O es el

punto medio de P1 y P2.

8.9. Conicas proyectivas.

Esta clase es breve, porque interesa entrar en detalle en todos los ejemplos: en las lec-ciones posteriores, donde la casuıstica es mas compleja, se pueden ir dejando algunasafirmaciones para el trabajo del alumno.

Observacion.– Estudiemos en primer lugar las conicas de P2(C), que se clasifican porsu rango, rg(Q) = r, atendiendo principalmente a cuestiones tales como su hipercuadricalugar y sus puntos singulares.

r = 0 En este caso la ecuacion reducida es 0 = 0 y, como sabemos, Vp(Q) = P2(C).Obviamente todos los puntos son singulares.

r = 1 En este caso la ecuacion reducida dada en 8 .2. es x20 = 0 y, por tanto, Vp(Q) co-

incide la variedad lineal definida por x0 = 0 y, ademas Vp(Q) = S(Q). Para distinguirlas,Q se denomina una recta doble.

r = 2 En este caso la ecuacion reducida es x20 + x2

1 = 0. Entonces Vp(Q) es la unionde dos rectas P2(C),

Vp(Q) = {x0 + ıx1 = 0} ∪ {x0 − ıx1 = 0},

siendo S(Q) la interseccion de ambas rectas; esto es, el punto [0 : 0 : 1]. Q se denominaun par de rectas (complejas).


1 + x22 = 0. Lo que podemos decir

de Vp(Q) es que no contiene rectas, y sabemos tambien que S(Q) = ∅. Q se denomina laconica (compleja) no degenerada.

Observacion.– Vemos ahora las conicas de P2(R), que se clasifican por su rango rg(Q) =r, y su signatura proyectiva sp(Q) = s. Las posibilidades, recordando que rg(Q)− sp(Q)es un numero par no negativo, se enumeran a continuacion:

r = 0, s = 0 Este caso es analogo a r = 0 en P2(C).

r = 1, s = 1 Este caso tambien es analogo a r = 1 en P2(C).


r = 2, s = 2 En este caso la ecuacion reducida es x20 +x2

1 = 0. Entonces Vp(Q) es unsolo punto, [0 : 0 : 1], que coincide con S(Q). Q se denomina para de rectas complejassecantes en un punto real (ver caso r = 2 en P2(C)).

r = 2, s = 0 Este es el primer caso donde hallamos diferencias entre los planos com-plejo y real. La ecuacion reducida es x2

0 − x21 = 0 y, por tanto, Vp(Q) es claramente la

union de dos rectas

Vp(Q) = {x0 + x1 = 0} ∪ {x0 − x1 = 0},

y de nuevo S(Q) es la interseccion de ambas rectas; esto es, el punto [0 : 0 : 1]. Q sedenomina un par de rectas (reales).

r = 3, s = 3 En este caso la ecuacion reducida es x20+x2

1+x22 = 0, lo que implica que

Vp(Q) no tiene puntos. Q se denomina la conica compleja (o imaginaria) no degenerada.


1−x22 = 0, lo que implica que

Vp(Q) no es vacıo en esta ocasion; aunque podemos asegurar que no contiene rectas. Qse denomina la conica real no degenerada. Para su posterior estudio en A2(R), haremosnotar que una recta corta a Vp(Q) en un punto (si y solo si es tangente), en dos o enninguno.

8.10. Conicas afines.

Observacion.– Como hemos visto en 8.7. para clasificar una conica afın compleja Qnecesitamos el rango de su clausura r1 = rg(Q) y el de su hipercuadrica del infinitor2 = rg(Q∞). Algunas cosas que sabemos son:

(a) En cualquier caso r1 ≥ r2.

(b) Si Q es no degenerada, r1 > r2. De hecho r2 = r1 − 1 si y solo si H∞ no estangente y r2 = r1 − 1 en otro caso.

Entonces las posibles situaciones y los nombres que reciben quedan expresados en elsiguiente cuadro:

r1 = 3 r1 = 2 r1 = 1 r1 = 0Conica afın Par de rectas

r2 = 2 no degenerada afines —– —–(elipse / hiperbola) secantes

Conica afın Par de rectas Rectar2 = 1 no degenerada afines afın —–

(parabola) paralelas dobleRecta

r2 = 0 —– afın ∅ P2(C)

(simple)


Es interesante que los alumnos intenten encontrar ecuaciones sencillas para todas lassituaciones, y que a partir de esas ecuaciones describan las hipercuadricas–lugar corre-spondientes. Para ello es especialmente util la demostracion del teorema visto en 8.6.Vamos a dar matrices que sirven como ejemplo a las situaciones anteriores.

r1 = 3 r1 = 2 r1 = 1 r1 = 0

r2 = 2

11

1

01

1

r2 = 1

0 1 01 0 00 0 1

10

1

00

1

r2 = 0

0 1 01 0 00 0 0

10

0

00

0

Notemos que los casos en los que no aparece una conica no degenerada o un par derectas provienen de situaciones en las que, proyectivamente, sı hay un par de rectas, perouna de ellas (o las dos) son H∞.

Observacion.– En lo tocante a conicas afines reales necesitamos tanto el rango comola signatura proyectiva de su clausura (notados r1 = rg(Q) y s1 = sp(Q)) y de suhipercuadrica del infinito (notados r2 = rg(Q∞) y s2 = sp(Q∞)). Algunas cosas quesabemos son:

(a) En lo referente al rango, rigen las observaciones del caso complejo.

(b) s2 = s1 ± 1, si H∞ no es tangente, y s2 = s1 si lo es.

Entonces las posibles situaciones y los nombres que reciben son:

r1 = 3 r1 = 3 r1 = 2 r1 = 2 r1 = 1 r1 = 0s1 = 3 s1 = 1 s1 = 2 s1 = 0 s1 = 1 s1 = 0

Par de rectasr2 = 2 Elipse Elipse afines —– —– —–s2 = 2 imaginaria real imaginarias

secantesPar de rectas

r2 = 2 —– Hiperbola —– afines —– —–s2 = 0 reales

secantesPar de rectas Par de rectas

r2 = 1 —– Parabola afines afines Recta —–s2 = 1 imaginarias reales afın doble

paralelas paralelas

r2 = 0 —– —– —– Recta ∅ A2(R)

s2 = 0 afın

Presentamos ecuaciones sencillas para todos estos casos, notando rango y signaturaproyectiva en cada caso por (r, s):


(3, 3) (3, 1) (2, 2)

(2, 2)

11

1

−11

1

01

1

(2, 0)

11−1

(1, 1)

0 1 01 0 00 0 1

11

0

(2, 0) (1, 1) (0, 0)

(2, 0)

01−1

(1, 1)

1−1

0

00

1

(0, 0)

0 1 01 0 00 0 0

10

0

00

0

Algunas observaciones geometricas que pueden resultar de ayuda a los alumnos son:

(a) Las conicas reales no degeneradas provienen todas de la misma conica proyec-tiva: la diferencia con respecto a la clasificacion afın se establece en funcion desu intereseccion con H∞. Ası, la elipse se da cuando la interseccion es vacıa, lahiperbola cuando son dos puntos (luego hay dos asıntotas) y la parabola cuandoH∞ es tangente a la conica (y las dos ramas “se encuentran en el infinito”).

(b) Las distintas posibilidades con rectas y pares de rectas se pueden estudiar tomandoecuaciones sencillas, como hemos hecho con las conicas complejas, y pasando a lasecuaciones afines correspondientes. Ası, por ejemplo, la misma conica proyectivapuede dar origen a un par de rectas afines secantes o paralelas (segun su interseccioneste o no en H∞) o a una recta no doble (si en el proyectivo se corresponde con unpar de rectas, siendo una de ellas H∞).

8.11. Cuadricas proyectivas.

Observacion.– La descripcion de las cuadricas complejas, como en el caso de las conicas,se establece en funcion del rango, y atenderemos a los mismos aspectos. Notamos r =rg(Q), como en 8.9.

r = 0 En este caso la ecuacion reducida es 0 = 0, Vp(Q) = P3(C) y todos los puntosson singulares.


r = 1 La ecuacion es ahora x20 = 0 y, por tanto, Vp(Q) coincide la variedad lineal

definida por x0 = 0 y, ademas Vp(Q) = S(Q). Como en el caso bidimensional, Q sedenomina un plano doble para distinguirla de la variedad lineal.


1 = 0 y Vp(Q) es la union de dosplanos,

Vp(Q) = {x0 + ıx1 = 0} ∪ {x0 − ıx1 = 0},siendo S(Q) la interseccion de ambos; esto es, la recta x0 = x1 = 0, que es tambienS(Q). Q se denomina un par de planos (complejos).

r = 3 En este caso la ecuacion reducida es x20+x2

1+x22 = 0. Lo que podemos decir de

Vp(Q) es que no contiene planos, pero sı rectas: todas las que pasan por S(Q) = {[0 : 0 :0 : 1]}. En efecto, si Vp(Q) contuviese un plano H , entonces Q|x3=0 serıa una conica nodegenerada que tendrıa que contener a la recta H ∩{x3 = 0}, lo cual es imposible porquelas conicas no degeneradas no contienen rectas. Q se denomina un cono (complejo).

r = 4 En este caso la ecuacion reducida es x20 +x2

1 +x22 +x2

3 = 0. Nuevamente Vp(Q)no contiene planos, pero sı rectas: por ejemplo todas las rectas de la forma

Zλ,µ :

{

λ(x0 + ıx1) = µ(x2 + ıx3)µ(x0 − ıx1) = λ(x2 − ıx3)

para cualquier par [λ : µ] ∈ P1(C). Q se denomina la conica no degenerada (compleja).

Observacion.– Vamos ahora a la descripcion de las cuadricas reales. En caso de quela clase se alargue demasiado, por lo diverso de la casuıstica, recomendamos prestaratencion especial a los casos no degenerados, y dejar los degenerados para que el alumnolos trabaje personalmente: no debe representar un grave problema a estas alturas. Nota-mos como en 8.9. r = rg(Q), s = sp(Q).

r = 0, s = 0 Analogo a r = 0 en P3(C).

r = 1, s = 1 Analogo a r = 1 en P3(C).

r = 2, s = 2 En este caso la ecuacion reducida es x20 + x2

1 = 0. Entonces Vp(Q) esuna recta, x0 = x1 = 0, que coincide con S(Q). Q se denomina par de planos complejossecantes en una recta real (analogo caso r = 2 en P3(C)).

r = 2, s = 0 Ahora la ecuacion reducida es x20 − x2

1 = 0 y, por tanto, Vp(Q) es unionde dos planos

Vp(Q) = {x0 + x1 = 0} ∪ {x0 − x1 = 0},y de nuevo S(Q) es la interseccion de ambos planos; esto es, la recta x0 = x1 = 0. Q sedenomina un par de planos (reales).


1+x22 = 0, lo que implica que

Vp(Q) solo incluye el punto {[0 : 0 : 0 : 1]} = S(Q). Q se denomina un cono complejo(o imaginario) de vertice real.


1 − x22 = 0, lo que implica

que Vp(Q) es, de nuevo, un cono con vertice S(Q) = {[0 : 0 : 0 : 1]}. En este caso, si


consideramos Q|x3=0, obtenemos una conica real no degenerada. Se puede probar que

Vp(Q) =⋃

P∈Vp(Q)∩{x3=0}

SP,

donde S = [0 : 0 : 0 : 1]. Q se denomina un cono real.


1+x22+x2

3 = 0, lo que implicaque Vp(Q) es el conjunto vacıo. Q se denomina la cuadrica compleja (o imaginaria) nodegenerada.


1 + x22 − x2

3 = 0. Lahipercuadrica–lugar Vp(Q) no contiene planos, como sabemos ya, pero tampoco rectas.Para ver esto, supongamos que tenemos una recta Z ⊂ Vp(Q) y un plano H ⊃ Z notangente a Q. Entonces la conica Q|H contiene a Z y es no degenerada, contradiciendo lacasuıstica de 8.9.

Si consideramos ahora un plano H , tangente a Q, tenemos que Q|H tiene rango 2 ysignatura proyectiva 2; esto es, Vp(Q|H) es un punto. Por tanto, Q es una cuadrica depunto elıpticos.


1 − x22 − x2

3 = 0. Lahipercuadrica–lugar Vp(Q) tampoco contiene planos, pero en este caso contiene rectas.De hecho, un hiperplano tangente a Q corta a Vp(Q) en una conica de rango 2 y signaturaproyectiva 0; esto es, en un par de rectas. La cuadrica Q se denomina, por ello, cuadricade punto hiperbolicos.

Las propiedades de este par de rectas que pasan por cada punto de Vp(Q) son intere-santes, de forma que las enumeraremos y probaremos con cierto detalle.

(a) Existen dos familias de rectas Z1(λ, µ) y Z2(λ, µ) contenidas en Vp(Q).

(b) Para cada punto P ∈ Vp(Q) existe una y solo una recta de cada familia pasando porP .

(c) Dos rectas de una misma familia se cruzan y dos rectas de distintas familias secortan.

(d) No existen mas rectas contenidas en Vp(Q).

Para ver (a), (b) y (c) basta tomar una ecuacion particularmente simple, en lugar de lareducida (5.5.): x0x1 − x2x3 = 0. Con esta ecuacion, las familias del enunciado son:

Z1(λ, µ) :

{

λx0 = µx2

µx1 = λx3Z2(λ, µ) :

{

λx0 = µx3

µx1 = λx2

y los enunciados son elementales de comprobar.

Probemos entonces (d) y, para ello, tomemos Z una recta contenida en Vp(Q) y seaP ∈ Z cualquiera entonces existe una recta en cada familia (pongamos Z1 y Z2) tales queP = Z1 ∩ Z2. Entonces

P = Z ∩ Z1 ∩ Z2 =⇒ tgP (Q) = H ⊃ LQ(Z) ∪ LQ(Z1) ∪ LQ(Z2) ⊃ Z ∪ Z1 ∪ Z2,

de donde Vp(Q) ∩H ⊃ Z ∩ Z1 ∩ Z2. Como la interseccion del plano tangente en P conVp(Q) es la union de dos rectas, tiene que ser Z = Z1 o Z = Z2.


8.12. Cuadricas afines.

Finalizamos el tema con la descripcion de las cuadricas afines. Optamos ahora por unamera descripcion; porque los argumentos geometricos son analogos a los ya dados conanterioridad. Ası, la opcion que se aconseja es dar la descripcion completa (eventualmenteen fotocopias) y describir geometricamente los casos no degenerados, donde se puedeilustrar la geometrıa del infinito en toda su belleza.

Observacion.– En el caso complejo, el alumno ya deberıa ser capaz de completar elcuadro de ecuaciones reducidas. Notamos, como en 8.10., r1 = rg(Q), r2 = rg(Q∞), yeliminaremos la ecuacion de r1 = r2 = 0.

r1 = 4 r1 = 3 r1 = 2 r1 = 1

r2 = 3

11

11

01

11

r2 = 2

0 11 0

11

11

10

01

10

r2 = 1

0 11 0

10

11

00

01

00

r2 = 0

0 11 0

00

10

00

Recordemos que, como ya hicimos notar en 8.6. y usamos en 8.10., la presencia deuna caja 2× 2 de la forma

(

0 11 0

)

es equivalente a la de una de la forma(

1−1

)

.

La nomenclatura para estas cuadricas es la siguiente (tambien el alumno debe poderintuir los nombres de, al menos, todos los casos con r1 ≤ 2):


r1 = 4 r1 = 3 r1 = 2 r1 = 1 r1 = 0Cuadrica

afın Conor2 = 3 no degenerada afın de

(elipsoide / vertice O

hiperboloide)

Cuadrica afın Cilindro Par de planosr2 = 2 no degenerada sobre afines

(paraboloide) x2

1+ x2

2+ 1 = 0 secantes

Cilindro Par de planos Planor2 = 1 sobre afines afın

x2

2+ x1 = 0 paralelos doble

Planor2 = 0 afın ∅ P

3(C)(simple)

Observacion.– Aparecen aquı por primera vez los cilindros. En concreto, denominamoscilindro sobre un conjunto S de generatriz una variedad lineal afın Y , al conjunto depuntos

C(S, Y ) = {P | ∃R ∈ S, tal que −→PR ∈ D(Y )},que coincide con la idea intuitiva de cilindro que probablemente tienen los alumnos. Enparticular, cuando C(S, Y ) viene dado por una ecuacion que no depende de una variable(por ejemplo, como arriba, x3), es claramente un cilindro (en el caso que nos ocupa,S = C(S, Y ) ∩ {x3 = 0} e Y : x1 = x2 = 0).

Es muy interesante que los alumnos entiendan que los cilindros aparecen cuando lacuadrica afın procede de un cono proyectivo cuyo vertice esta en el plano del infinito.

Observacion.– Para terminar damos ecuaciones y nombres a las cuadricas afines reales,con las mismas notaciones que usamos en 8.10. Para este caso lo idoneo es, sobre lasilustraciones de las diversas cuadricas, exponer como las distintas intersecciones con elplano del infinito determinan la version afın.


r1 = 4 r1 = 4 r1 = 4 r1 = 3 r1 = 3s1 = 4 s1 = 2 s1 = 0 s1 = 3 s1 = 1

r2 = 3 Elipsoide Elipsoide Cono afıns2 = 3 imaginario real imaginario

r2 = 3 Hiperboloide Hiperboloide Cono afıns2 = 1 elıptico hiperbolico real

r2 = 2 Paraboloide Cilindro afın Cilindros2 = 2 hiperbolico imaginario elıptico

r2 = 2 Paraboloide Cilindros2 = 0 hiperbolico hiperbolico

r2 = 1 Cilindros2 = 1 parabolico

r1 = 2 r1 = 2 r1 = 1 r1 = 0s1 = 2 s1 = 0 s1 = 1 s1 = 0

Par de planosr2 = 2 afines complejoss2 = 2 secantes en

recta realPar de planos

r2 = 2 afiness2 = 0 reales

secantesPar de planos Par de planos

r2 = 1 afines afines Plano afıns2 = 1 complejos reales doble

paralelos paralelos

r2 = 0 Plano afın ∅ A3(R)

s2 = 0 (simple)


(4,4) (4,2) (4,0) (3,3)

(3,3)

11

11

−11

11

01

11

(3,1)

11

1−1

11

−1−1

(2,2)

0 11 0

11

11

10

(2,0)

0 11 0

1−1

(3,1) (2,2) (2,0) (1,1)

(3,1)

01

1−1

(2,2)

−10

11

00

11

(2,0)

10

1−1

00

1−1

(1,1)

0 11 0

10

11

00

1−1

00

01

00

(0,0)

0 11 0

00

10

00


Tema 9: El espacio euclıdeo

9.1. El espacio euclıdeo.

Definicion.– Un espacio euclıdeo es un espacio afın (An(k), (V, ·), +), donde (V, ·) es unespacio vectorial euclıdeo. Como de costumbre diremos simplemente que An(R) es unespacio euclıdeo (n–dimensional).

Definicion.– Dados P,Q en un espacio euclıdeo An(R) definimos la distancia entre P yQ como

d(P,Q) =∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→PQ

∣

∣

∣

∣

∣

∣ .

Observacion.– La distancia definida es una metrica topologica; esto es, verifica las si-guientes propiedades:

(a) d(P,Q) = 0 si y solo si P = Q.

(b) d(P,Q) = d(Q,P ).

(c) d(P,R) ≥ d(P,Q) + d(Q,R).

Todas las pruebas son directas a partir de los resultados de 5.1.. Ası, por ejemplo

d(P,R) =∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→PR

∣

∣

∣

∣

∣

∣ =∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→PQ +

−→QR

∣

∣

∣

∣

∣

∣ ≥∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→PQ

∣

∣

∣

∣

∣

∣+∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→QR

∣

∣

∣

∣

∣

∣ = d(P,Q) + d(Q,R),

y tambien podemos deducir que tendremos igualdad si y solo si P , Q y R estan alineadosy −→PQ · −→PR ≥ 0.

Definicion.– Un sistema de referencia afın R = {O;B} se dice sistema de referenciametrico cuando B es una base ortonormal de (V, ·).

Observacion.– Ası pues, tomando coordenadas respecto de una sistema de referenciametrico (como haremos en lo sucesivo, sin mencion expresa), el producto escalar de dosvectores se puede calcular usando la formula tradicional.

Observacion.– Recordemos que un cambio del sistema de referencia afınR = {O;B} alsistemaR′ = {O′;B′} viene determinado por una matriz de la forma

M(R,R′) =

1 0 ... 0

(O)R′ M(B,B′)

,


y verifica, para todo Q ∈ An(R),

M(R,R′)[Q]tR = [Q]tR′ ,

donde [Q]R (respectivamente [Q]R′) son las coordenadas de Q, como punto proyectivo,respecto del sistema de referencia de Pn(R) inducido por R; esto es, las coordenadas deQ respecto deR precedidas de un 1.

Por tanto, un cambio de sistemas de referencia metricos en An(R) implica un cambiode bases ortonormales de (V, ·). Ası, por 5.7., la matriz M(B,B′) ha de ser ortonormal.

Observacion.– Las otras dos propiedades del modulo que no hemos utilizado son:

(a) La desigualdad de Cauchy–Schwartz, que establece que, para todo par de vectoresu, v ∈ V ,

|u · v| ≤ ||u|| ||v|| =⇒ −1 ≤ u · v||u|| ||v|| ≤ 1.

Por tanto, dados dos vectores de V , con el mismo origen, definimos el angulo queforman como el unico real α ∈ (0, π] verificando

cos(α) =

−→PQ · −→PR

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→PQ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→PR

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Con esta definicion se verifica la formula conocida del producto escalar

−→PQ · −→PR =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→PQ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→PR

∣

∣

∣

∣

∣

∣ cos(α).

(b) El teorema de Pitagoras establece que

u ⊥ v ⇐⇒ ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2,

lo cual, tomando vectores u =−→PQ, v =

−→QR, nos da

d(P,R)2 =∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→PQ +

−→QR

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2=∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→PQ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2+∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→QR

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2= d(P,Q)2 + d(Q,R)2,

si y solo si −→PQ y −→QR son ortogonales. Este es el Teorema de Pitagoras tal y comose suele expresar en este contexto.

Observacion.– El Teorema de Pitagoras permite expresar la ortogonalidad en funcion dela distancia. A nosotros nos permite justificar que nuestra definicion de ortogonalidad co-incide con la nocion intuitiva de perpendicularidad. Para ello daremos una demostracion“clasica” del Teorema de Pitagoras que utiliza dos resultados intuitivos: las formulas delarea del cuadrado y del triangulo.

Para ello, dado un triangulo rectangulo de catetos a y b e hipotenusa c, construimoslas siguientes figuras:

(a) Primero, dibujamos cuadrados de lados a y b que compartan un lado con el triangulopero cuyos interiores sean disjuntos con el de este. A continuacion dibujamos elmenor cuadrado que contiene a ambos; que es un cuadrado de lado a + b que con-tiene tambien al triangulo.


(b) A continuacion dibujamos dentro del cuadrado mayor un cuadrado de lado c a partirde la hipotenusa. Es obvio que este cuadrado se diferencia del cuadrado mayor encuatro triangulos rectangulos cuyos lados tienen longitudes a, b y c.

(c) El area del cuadrado mayor, calculada segun la figura del paso (a) sera

∆ = (a + b)2,

mientras que, usando la figura del paso (b) podemos decir que

∆ = c2 + 4(

1

2ab)

= c2 + 2ab,

de donde, uniendo ambas expresiones, c2 = a2 + b2.

AAAAAAA

a

6

?b¾ -

=⇒

AAAAAAA©©©©©©©

©©©©©©©AAAAAAA

c©©©¼

©©©*

9.2. Distancias (I): Perpendicular comun.

Una vez que hemos definido la distancia entre dos puntos, trataremos en esta leccion dedar una generalizacion (que no siempre podra ser explıcita). Antes una definicion natural.

Definicion.– Sean Y1, Y2 ⊂ An(R) variedades lineales. Diremos que Y1 e Y2 son perpen-diculares (notado Y1 ⊥ Y2) cuando D(Y1) ⊂ D(Y2)

⊥ o D(Y2) ⊂ D(Y1)⊥.

Definicion.– Sea Y1, Y2 ⊂ An(R) variedades lineales. Definimos entonces

d (Y1, Y2) = inf { d(P,Q) | P ∈ Y1, Q ∈ Y2} .

Observacion.– Es un hecho intuitivo que el camino mas corto entre dos variedades para-lelas (dos rectas en A2(R), por ejemplo) viene dada por la distancia entre dos puntos queforman una recta perpendicular a ambas. Demos ahora soporte teorico a este hecho.

Teorema (Perpendicular comun).– Sean Y1, Y2 variedades lineales disjuntas. Existe unavariedad lineal Y verificando lo siguiente:

(a) dim(Y ) ≥ 1.

(b) Y es perpendicular a Y1 y a Y2.

(c) Y ∩ Yi = {Pi}, para i = 1, 2.


(d) Toda variedad Y ′ que verifique las propiedades (a), (b) y (c) (para los mismos P1 yP2) verifica Y ′ ⊂ Y .

(e) d(Y1, Y2) = d(P1, P2).

A una tal variedad Y se la denomina una perpendicular comun a Y1 e Y2.

Demostracion.– Obviamente para que Y verifique (b) es necesario que D(Y ) seaortogonal a D(Y1) y a D(Y2); y para que verifique (d) necesitamos que Y tenga la mayordimension posible. Por tanto, la opcion natural para D(Y ) es

D(Y ) = [D(Y1) + D(Y2)]⊥ = D(Y1)

⊥ ∩D(Y2)⊥,

y ası tenemos que, recordando los resultados relativos a la dimension de los subespaciosortogonales (1.2.)

dim(Y ) = dim(D(Y )) = n− dim [D(Y1) + D(Y2)] .

Ahora, usando el teorema de la dimension para variedades afines

n = dim(An(R)) ≥ dim D(Y1 + Y2) > dim (D(Y1) + D(Y2)) ,

por lo que nuestra definicion de D(Y ) asegura que dim(Y ) ≥ 1.

Para determinar Y necesitamos ahora un punto. Entonces tomemos dos puntos: Q1 ∈Y1, Q2 ∈ Y2; y escribamos −−−→Q1Q2 como

−−−→Q1Q2 = u + v = (u1 + u2) + v, con u ∈ D(Y1) + D(Y2), ui ∈ D(Yi), v ∈ D(Y ),

donde u y v son unicos porque D(Y ) = [D(Y1)+D(Y2)]⊥, pero los ui no lo son, a menos

que D(Y1) ∩D(Y2) = {0}. Tomamos entonces el punto

P1 = Q1 + u1 ∈ Y1,

y definimos Y = P1 + D(Y ).

Tenemos que comprobar que Y verifica las condiciones (c) y (e), ya que las demassurgen inmediatamente de nuestra definicion. Para ver (c), notemos que, si definimos

P2 = Q2 − u2 ∈ Y2,

tenemos que −−→P1P2 = v ∈ D(Y ), por lo que P2 ∈ Y . Ahora bien,

D(Y ∩ Yi) = D(Y ) ∩D(Yi) = {0},

por lo que se tiene que Y ∩ Yi ha de ser un punto, y, en consecuencia, tiene que ser Pi.

Por ultimo hemos de probar que la mınima distancia entre Y1 e Y2 se alcanza precisa-mente en d(P1, P2). Para ello, sea Q1 ∈ Y1, Q2 ∈ Y2 puntos cualesquiera como arriba.Escribimos entonces

d(Q1, Q2)2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−−−→Q1Q2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−−−→Q1P1 +

−−→P1P2 +

−−−→P2Q2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

=∣

∣

∣

∣

∣

∣

−−−→Q1P1 +

−−−→Q2P2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2+∣

∣

∣

∣

∣

∣

−−→P1P2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2,


porque (−−−→Q1P1 +

−−−→Q2P2) ⊥ −−→P1P2 y podemos aplicar el Teorema de Pitagoras. Entonces es

claro que el mınimo se alcanza cuando∣

∣

∣

∣

∣

∣

−−−→Q1P1 +

−−−→Q2P2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2= 0, esto es, cuando Qi = Pi.

Corolario.– Si D(Y1) ∩ D(Y2) = {0} (esto se suele expresar diciendo que Y1 e Y2 secruzan) entonces la perpendicular comun es unica.

Demostracion.– Basta recuperar de la demostracion la unica eleccion que hemos he-cho: la del punto P1, que provenıa de la eleccion de vectores u1 ∈ D(Y1) y u2 ∈ D(Y2)

en la descomposicion de −−−→Q1Q2. Pero, si D(Y1) ∩ D(Y2) = {0}, entonces la sumaD(Y1) + D(Y2) es directa; y por tanto u1 y u2 son unicos.

Corolario.– Dadas dos variedades lineales afines Y1 e Y2, se tiene que

d(Y1, Y2) = 0 ⇐⇒ Y1 ∩ Y2 6= ∅.

Demostracion.– Solo hay que probar, obviamente, la implicacion directa. Pero, sid(Y1, Y2) = 0 y tenemos Y1 ∩ Y2 = ∅, podemos construir una perpendicular comun yhallar puntos Pi ∈ Yi tales que d(Y1, Y2) = d(P1, P2) > 0, en contra de la hipotesis.

9.3. Distancias (II): Hiperplano mediador.

Una vez estudiado un procedimiento general para hallar la distancia entre dos variedades,nos fijamos en los casos mas interesantes geometricamente: los casos de distancia de unpunto a un hiperplano y de distancia entre dos hiperplanos. Posteriormente veremos unprimer ejemplo de lugar geometrico que nos sera de gran utilidad en el proximo tema: elhiperplano mediador de dos puntos.

Definicion.– Sea P ∈ An(R), Y una variedad lineal tal que P /∈ Y . Entonces, si Y ′ es laperpendicular comun a P e Y , el punto Y ∩ Y ′ se denomina el pie de la perpendicular aY trazada desde P o, equivalentemente, la proyeccion ortogonal de P sobre Y .

Proposicion.– Sea P = (α1, ..., αn) ∈ An(R), H un hiperplano de An(R) dado por laecuacion H : a0 + a1x1 + ... + anxn = 0 tal que P /∈ H . Entonces

d(P,H) =|a0 + a1α1 + ... + anαn|

√

a21 + ... + a2

n

.

Demostracion.– Dado que la direccion de H viene determinada por la ecuacion

D(H) : a1x1 + ... + anxn = 0,

por lo que es obvio queD(H)⊥ =

⟨−−−−−−−→(a1, ..., an)

⟩

,

ya que dim(D(H)⊥) = 1. Ası, la perpendicular comun a P y H es precisamente la recta

L = P +⟨−−−−−−−→(a1, ..., an)

⟩

.


Buscamos un punto Q ∈ H∩L para lo cual lo mas simple es tomar un punto arbitrarioen L

P + λ−−−−−−−→(a1, ..., an) = (α1 + λa1, ..., αn + λan) ,

e imponemos que verifique la ecuacion de H . Entonces es inmediato que

λ = −a0 + a1α1 + ... + anαn

a21 + ... + a2

n

.

Por tanto tenemos

d(P, Y ) = d(P,Q) =∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→PQ

∣

∣

∣

∣

∣

∣ = |λ|∣

∣

∣

∣

∣

∣

−−−−−−−→(a1, ..., an)

∣

∣

∣

∣

∣

∣ =|a0 + a1α1 + ... + anαn|

√

a21 + ... + a2

n

.

Definicion.– Dado un hiperplano H : a0 + a1x1 + ... + anxn = 0, un vector no nulo delsubespacio 〈−−−−−−−→(a1, ..., an)〉 se denominara vector normal a H .

Corolario.– Sean dos hiperplanos H y H ′. Entonces, si H ∩ H ′ = ∅ podemos suponerque vienen dados por ecuaciones

H : α + a1x1 + ... + anxn = 0, H ′ : β + a1x1 + ... + anxn = 0,

y, ademas,

d(H1, H2) =|α− β|

√

a21 + ... + a2

n

.

Demostracion.– Del teorema de la dimension para variedades lineales afines es in-mediato que

H ∩H ′ = ∅ =⇒ D(H) = D(H ′),

por lo que podemos suponer que D(H) y D(H ′) vienen dadas por la misma ecuacion y, enconsecuencia, existen ecuaciones de H y H ′ que solo difieren en el termino independiente.

Ahora bien, si tomamos un punto P = (γ1, ..., γn) ∈ H cualquiera, tenemos que

d(P,H ′) =|β + a1γ1 + ... + anγn|

√

a21 + ... + a2

n

=|β − α|

√

a21 + ... + a2

n

,

ya que α+a1γ1+...+anγn = 0. Por tanto d(P,H ′) no depende de P y es, en consecuencia,d(H,H ′).

El ultimo punto relativo a puntos, hiperplanos y distancias es el hiperplano mediador.

Proposicion.– Sean P,Q ∈ An(R). Entonces el conjunto

MPQ = {R ∈ An(R) | d(P,R) = d(Q,R)}

es un hiperplano, denominado hiperplano mediador de P y Q (cuando n = 2, se denomi-nara mediatriz de P y Q).

Demostracion.– Vamos a dar la construccion explıcita de MPQ. Para ello, notemos

P = (α1, ..., αn), Q = (β1, ..., βn),


y consideramos R el punto medio de P y Q. Es obvio entonces que R ∈MPQ, ya que

R =

(

α1 + β1

2, ...,

αn + βn

2

)

.

Veamos entonces que MPQ = R +⟨−→PQ

⟩⊥. En efecto,

A ∈MPQ ⇐⇒ d(A,P ) = d(A,Q)

⇐⇒∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→AP

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2=∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→AQ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

⇐⇒∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→AR +

−→RP

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2=∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→AR +

−→RQ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

⇐⇒(−→AR +

−→RP

)

·(−→AR +

−→RP

)

=(−→AR +

−→RQ

)

·(−→AR +

−→RQ

)

⇐⇒ −→AR · −→RP =

−→AR · −→RQ

⇐⇒ −→AR · −→RP = −−→AR · −→RP

⇐⇒ −→AR · −→RP = 0

⇐⇒ −→AR ⊥ −→RP = (1/2)

−→QP,

lo que finaliza la prueba.

9.4. Movimientos.

Proseguimos el estudio general del espacio euclıdeo introduciendo los movimientos, queson las afinidades que conservan las propiedades euclıdeas. Al estudio preciso y detalla-do de estas transformaciones dedicaremos las secciones siguientes. Trabajaremos, comoantes, en un espacio euclıdeo (An(R), (V, ·), +).

Definicion.– Un movimiento es una afinidad f : An(R) −→ An(R) que verifica que suisomorfismo vectorial asociado,

−→f , es una isometrıa (endomorfismo ortogonal).

El conjunto de los movimientos se denota Mo(An(R)).

Observacion.– Recordemos que, dada una afinidad f , el isomorfismo vectorial−→f venıa

dado por (7.6.) −→f(−→PQ

)

=−−−−−−→f(P )f(Q),

y, dado un sistema de referencia afınR = {O;B}, MB(−→f ) era precisamente la submatriz

cuadrada de orden n complementaria al elemento (1, 1) de MR(f).

Observacion.– De las propiedades de los endomorfismos ortogonales se siguen inmedia-tamente las siguientes propiedades:

(a) f es un movimiento si y solo si MB(−→f ) es ortonormal, para cualquier base ortogo-

nal B de (V, ·).

(b) f conserva los angulos entre vectores con el mismo origen (9.1.)

(c) f es un movimiento si y solo si es una afinidad que preserva las distancias. Esto es,para cualesquiera P,Q ∈ An(R), d(f(P ), f(Q)) = d(P,Q).


(d) El conjunto de los movimientos es un grupo para la composicion de aplicaciones.

Observacion.– Ası como los automorfismos se corresponden con los cambios de base,las homografıas con los cambios de sistemas de referencia proyectivo y las afinidades conlos cambios de sistemas de referencia afines, los movimientos son la contrapartida de loscambios de sistema de referencia metricos.

Vamos a finalizar el tema viendo algunos ejemplos de movimientos, que despues seranestudiados con mas detalle.

Ejemplo.– Recordemos que una traslacion era una afinidad τ que verificaba −→τ = IdV .Claramente la matriz −→τ sera In en cualquier base, por tanto, las traslaciones sonmovimientos.

Ejemplo.– Con respecto a las otras dilataciones; las homotecias, recordemos que estasse caracterizaban por el hecho de que su isomorfismo vectorial asociado era λIdV , paraalgun λ 6= 0, 1. Nuevamente, la matriz del isomorfismo en cualquier base sera λIn. Ası,una homotecia es un movimiento si y solo si su razon, λ, es −1. Estas homotecias tanparticulares se denominan simetrıas centrales de centro el punto doble de la homotecia.

Ejemplo.– Vamos a introducir un ejemplo nuevo de movimiento: las simetrıas hiper-planares. Para ello, fijamos un hiperplano H , que denominaremos eje de la simetrıa ydefinimos el movimiento como sigue:

σH : An(R) −→ An(R)

P 7−→ σH(P ) = P + 2−→PQ,

donde Q es el pie de la perpendicular a H trazada desde P . En particular, Q es el puntomedio de P y σH(P ).

Para ver que σH es, en efecto, un movimiento, escojamos un vector no nulo u ∈D(H)⊥ (que es, de hecho, base de D(H)⊥) y una base v1, ..., vn−1 de D(H). Si apli-camos Gram–Schmidt, por separado, a ambas bases, y las unimos obtenemos una baseortonormal (1.2.)

B = {w1, ..., wn−1, x}.Finalmente escojemos un punto cualquiera O ∈ H para completar un sistema de referen-cia afınR = {O;B}. Respecto de este sistema de referencia, H : xn = 0.

Escogemos entonces un punto cualquiera (identificamos en adelante coordenadas res-pecto deR y puntos) P = (a1, ..., an). Entonces la perpendicular a H desde P es

L : {x1 = a1, ..., xn−1 = an−1},y, por tanto,

σH(P ) = (a1, ..., an) + 2−−−−−−−−−→(0, ..., 0,−an) = (a1, ...,−an) .

En forma matricial tenemos que

MR(f) =

1 0 ... 0 00 1... . . .0 10 −1

.


Por lo estudiado en el tema 7, σH es una afinidad. Ademas es inmediato que MB(−→f )

es ortonormal, por lo que σH es un movimiento. Ademas, una propiedad inmediata, biende la definicion, bien de la expresion matricial de σH , es que σ2

H = Id, esto es, queσ−1

H = σH . Otra propiedad elemental a deducir es que−−→(σH)|D(H)⊥ = IdD(H)⊥ .

Desde el punto de vista proyectivo, la expresion anterior nos permite deducir que unasimetrıa de eje H induce en Pn(R) una homologıa de eje ϕ(H) y centro, no incidente,[u].

Podemos ampliar el estudio para incluir cualquier tipo de simetrıa (por ejemplo,simetrıas axiales en A3(R)).

Ejemplo.– La aplicacion que, fijado un sistema de referencia, permuta dos o mas va-riables, es evidentemente un movimiento. Es un buen ejercicio que el alumno trate deexpresarlo como producto de (tal vez una) simetrıas.

9.5. El teorema de Cartan–Dieudonne.

Observacion.– El teorema de Cartan–Dieudonne nos permite una primera clasificacion(geometrica) de los movimientos. Este resultado es el mas importante que se vera en estetema; en particular es de los pocos que se pueden aplicar a cualquier dimension.

Lema.– Sea f : An(R) −→ An(R) una aplicacion que preserve distancias. Si f dejan + 1 puntos invariantes Q1, ...., Qn+1 no contenidos en un hiperplano, f = Id.

Demostracion.– En efecto, si existiese un punto P tal que f(P ) 6= P , entonces,

d(P,Qi) = d(f(P ), f(Qi)) = d(f(P ), Qi),

de donde (9.3.) Q1, ..., Qn+1 han de estar en el hiperplano mediador de P y f(P ). Estoes imposible por hipotesis, luego f = Id.

Teorema de Cartan–Dieudonne.– Sea f una aplicacion de An(R) en sı misma quepreserva distancias. Entonces f es un movimiento que es composicion de, a lo sumo,n + 1 simetrıas hiperplanares.

Demostracion.– Supongamos que f no es la identidad, ya que esta es composicion,como sabemos, de dos simetrıas hiperplanares. Denotemos entonces

rf = maximo numero de puntos dobles de f afınmente independientes.

Vamos a construir otra aplicacion que preserve distancias pero con mas puntos doblesafınmente independientes que f . Para ello, tomemos P un punto tal que f(P ) 6= P y seaH el hiperplano mediador de P y f(P ). Definimos entonces g = σH ◦ f .

Primero observemos que si Q es doble para f , entonces

d(P,Q) = d(f(P ), f(Q)) = d(f(P ), Q) =⇒ Q ∈ H,

como vimos antes. Por tanto Q tambien es doble para σH y, en consecuencia para g. Porotra parte, es obvio de la definicion que P es doble para g. Por tanto, como P /∈ H , es


afınmente independiente con cualquier subconjunto de puntos dobles de f . Esto pruebaque rg > rf .

Ademas, por ser σH un movimiento, σH ◦ f preserva distancias. Ası pues, dadauna aplicacion que preserva distancias distinta de la identidad, podemos construir, com-poniendo con una simetrıa hiperplanar, otra con mas puntos dobles afınmente independi-entes.

Ası, aplicamos este proceso reiteradamente, y cuando este numero llegue a n + 1, laaplicacion resultante ha de ser Id, y tendremos

Id = σt ◦ ... ◦ σ1 ◦ f, para t ≤ n + 1 =⇒ f = σ1 ◦ ... ◦ σt,

usando que toda simetrıa es su propia inversa.

Ası, f es afinidad por ser composicion de afinidades y, al preservar distancias, es unmovimiento. Esto finaliza la demostracion.

Corolario.– Un movimiento con un hiperplano de puntos dobles es una simetrıa.

Demostracion.– Basta darse cuenta de que la demostracion solo requiere una com-posicion para llegar a la identidad.

Notacion.– Como vamos a tener que usar a menudo el conjunto de puntos dobles de unmovimiento f , en adelante notaremos esta variedad lineal afın por Df .

Ejemplo.– Veamos, por ejemplo, como describir una traslacion en producto de simetrıas.De paso esto nos permitira probar que, a veces, no hacen falta tantas simetrıas como cabrıaesperar por la demostracion del teorema. De hecho, partimos de la peor situacion posible,puesto que las traslaciones no tienen puntos dobles.

Fijado un sistema de referencia metrico R = {O;B}, respecto del cual tomaremoscoordenadas sin mencion expresa, la traslacion de vector u =

−−−−−−−→(a1, ..., an) se puede definir

como

τu : An(R) −→ An(R)

P 7−→ P + u

y, por tanto,

MR(τu) =

1 0 ... 0a1 1... . . .

an 1

.

Para seguir la demostracion del teorema, hemos de escoger un punto P , no doble, (osea que cualquiera vale) y hallar H , el hiperplano mediador de P y f(P ). Pero

−−−−→Pf(P ) = u =⇒ u ⊥ D(H).

Ası, P es doble para g = σH ◦ τu, pero, para todo R ∈ P + D(H),

g(R) = g(P ) +−→g (v), con v ∈ D(H)

= P +−→σH ◦ −→τu(v) = P +−→σH(v) = R,


porque, como indicamos en 9.4.,

−→τu = IdV ,−−→(σH)|D(H)⊥ = IdD(H)⊥ .

Por tanto g es un movimiento con un hiperplano, P +D(H), de puntos dobles y es, enconsecuencia, una simetrıa. Esto prueba que toda traslacion es producto de dos simetrıashiperplanas de ejes paralelos.

9.6. Movimientos y algunos conjuntos afines.

Vamos a dar algunas propiedades relativas a movimientos que seran de mucho uso en lasclases de problemas: en particular introduciremos los segmentos y semirrectas, cuyo usosera fundamental a la hora de calcular movimientos que dejan invariantes figuras.

Definicion.– Dados P,Q ∈ An(R) denominamos segmento de extremos P y Q al con-junto

PQ = {P + λ−→PQ | λ ∈ [0, 1]} = {R ∈ PQ | (P Q R) ∈ [0, 1]}.

Lema.– Las condiciones siguientes son equivalentes:

(a) R ∈ PQ.

(b) R ∈ PQ y −→PR · −→RQ ≥ 0.

(c) d(P,Q) = d(P,R) + d(R,Q).

Demostracion.– El resultado se sigue casi inmediatamente de 9.1. y de la definicionanterior, haciendo (a)⇐⇒ (b)⇐⇒ (c).

La unica dificultad puede estar en (b) =⇒ (a). Para ello, tomemos R ∈ PQ y notemosλ = (P Q R). Entonces

−→PR · −→RQ =

(

λ−→PQ

)

·(

(1− λ)−→PQ

)

= λ(1− λ)d2(P,Q),

por lo que esta cantidad es no negativa si y solo si λ ∈ [0, 1].

Proposicion.– Sea f un movimiento. Entonces f(PQ) = f(P )f(Q).

Demostracion.– Es muy sencillo, por doble inclusion. Tomamos R ∈ PQ y, en-tonces,

d(f(P ), f(Q)) = d(P,Q) = d(P,R) + d(R,Q)

= d(f(P ), f(R)) + d(f(R), f(Q)),

y esto es equivalente a que f(R) ∈ f(P )f(Q).

Definicion.– Dados P,Q ∈ An(R) denominamos semirrecta de origen P que pasa por Qal conjunto

LP,Q = {P + λ−→PQ | λ ≥ 0} = {R ∈ PQ | (P Q R) ∈ [0, +∞)}.

Lema.– Las condiciones siguientes son equivalentes:


(a) R ∈ LP,Q.

(b) R ∈ PQ y, bien −→PR · −→RQ ≥ 0, bien −→PQ · −→QR ≥ 0.

(c) d(P,Q) = d(P,R) + d(R,Q) o bien d(P,Q) = d(P,R) + d(R,Q).

Demostracion.– Paralela al caso del segmento.

Corolario.– Dados tres puntos alineados, uno de ellos siempre esta en el segmento cuyosorıgenes son los otros dos.

Proposicion.– Sea f un movimiento. Entonces f(LP,Q) = Lf(P ),f(Q).

Demostracion.– Aunque podemos adaptar la demostracion del caso del segmento,vamos a usar otra para dar una vision mas amplia de las tecnicas que podemos usar tra-bajando con movimientos. Tomamos primero R ∈ LP,Q y, entonces, −→PR = λ

−→PQ, con

λ ≥ 0, de donde

−−−−−−→f(P )f(R) =

−→f(−→PR

)

= λ−→f(−→PQ

)

= λ−−−−−−→f(P )f(Q).

y esto es implica que f(R) ∈ Lf(P ),f(Q).

Para ver la otra inclusion, basta tomar R ∈ Lf(P ),f(Q) y aplicar f−1 que es tambienun movimiento. Entonces, por lo que acabamos de probar, f−1(R) ∈ LP,Q, luego R ∈f (LP,Q), como querıamos probar.

Observacion.– Generalizamos, por ultimo, estos dos conceptos al caso n–dimensional,dando unos primeros ejemplos de conjuntos convexos.

Definicion.– Dados P,Q1, ..., Qr ∈ An(k) tales que {Q1, ..., Qr} son afınmente indepen-dientes y P /∈ Q1 + ... + Qr, se define el cono afın de vertice P y aristas LP,Qi

como elconjunto

C(P ; Q1, ..., Qr) = {R = P + λ1−−→PQ1 + ... + λr

−−→PQr | λ1, ..., λr ≥ 0}.

Cuando r = 2, C(P ; Q1, Q2) se denomina una region angular de vertice P .

Proposicion.– Sea f un movimiento. Entonces f(C(P ; Q1, ..., Qr)) =C(f(P ); f(Q1), ..., f(Qr)).

Demostracion.– Adaptable facilmente de la analoga para semirrectas.

Observacion.– Un conjunto T se dice convexo cuando, para cualesquiera P,Q ∈ T ,PQ ⊂ T . Los segmentos, las semirrectas y los conos afines son ejemplos de conjuntosconvexos. En clase de problemas veremos mas ejemplos (polıgonos y poliedros, porejemplo), y como varıan por la accion de movimientos. En concreto, dos resultados atener en cuenta en esta lınea son los siguientes:

Lema.– Sea T ⊂ An(R). Entonces

S(T ) = {f ∈ Mo(An(R)) | f(T ) = T}

es un grupo para la composicion de aplicaciones, denominado grupo de simetrıas de T .


Si T ′ ⊂ An(R) verifica que existe g ∈ Mo(An(R)) tal que g(T ) = T ′, entonces

{h ∈ Mo(An(R)) | h(T ) = T ′} = {g ◦ f | f ∈ S(T )} = {f ◦ g | f ∈ S(T ′)}.

Demostracion.– El hecho de que S(T ) es un grupo es elemental, ya que la propiedadasociativa se verifica, por ser un subconjunto de Mo(An(R)), Id ∈ S(T ) obviamentey, si f ∈ S(T ), es elemental que f−1 tambien. Por tanto, solo hay que verificar que lacomposicion de movimientos de S(T ) esta en S(T ), lo cual es tambien claro.

La segunda afirmacion es sencilla por (doble) doble inclusion. Por ejemplo, si h(T ) =T ′, entonces g−1 ◦ h(T ) = T , luego existe f ∈ S(T ) tal que g−1 ◦ h = f . Esto pruebaque h = g ◦ f , con f ∈ S(T ). La otra inclusion es aun mas simple.

9.7. Movimientos del plano.

Pasamos a estudiar ahora los movimientos del plano. Usaremos para ello tanto una car-acterıstica algebraica (la forma canonica de Jordan real de

−→f ) como una geometrica (su

variedad de puntos dobles). Sea entonces f ∈ Mo(A2(R)).

De 5.9. sabemos que la matriz de−→f , respecto de una cierta base ortonormal, es

diagonal por cajas, siendo las posibles cajas

(1), (−1),

(

a b−b a

)

, con a2 + b2 = 1, b 6= 0.

Ası pues, existe un sistema de referencia metrico tal que la matriz de f es de una delas siguientes formas:

1 0 0α 1 0β 0 1

,

1 0 0α 1 0β 0 −1

,

1 0 0α −1 0β 0 −1

,

1 0 0α a bβ −b a

,

que denotaremos respectivamente casos (a), (b), (c) y (d).

Caso (a) Separaremos el estudio dependiendo de la variedad de puntos dobles def , que notaremos Df y que tiene por ecuaciones

α + x = xβ + y = y

}

(a.1) Si Df 6= ∅, las ecuaciones anteriores nos dicen que ha de ser α = β = 0 y, enconsecuencia f = Id.

(a.2) Si Df = ∅, como ya hemos visto f = τ−−−→(α, β)

.

Caso (b) Separaremos el estudio nuevamente. Df tiene ahora por ecuaciones

α + x = xβ − y = y

}


(b.1) Si Df 6= ∅ ha de ser α = 0. Entonces los puntos dobles son los de la rectaH : y = β/2, por lo que f = σH , por lo visto en 9.5.

(b.2) Si Df = ∅ entonces notemos que

1 0 0α 1 0β 0 −1

=

1 0 00 1 0β 0 −1

1 0 0α 1 00 0 1

=

1 0 0α 1 00 0 1

1 0 00 1 0β 0 −1

.

Si denominamos u =−−−→(α, 0) y H : y = β/2, lo anterior prueba que f = τu ◦ σH =

σH ◦ τu. Ademas se verifica que u ∈ D(H). Este movimiento se denomina simetrıa condeslizamiento, H se denomina el eje y u el deslizamieto o el vector.

Notese que H es doble para f (no de puntos dobles) y es la unica en estas condiciones.Para ver esto notemos que todas las direcciones son dobles para −→τu , y para −→σH las unicasdirecciones dobles son 〈−−−→(1, 0)〉 y 〈−−−→(0, 1)〉. Por lo tanto toda recta doble ha de ser del tipoy = γ o x = δ.

Pero un punto cualquier de x = δ, pongamos P = (δ, 0) va en f(P ) = (α + δ, β), porlo que f(P ) no esta en la recta y ninguna recta de esa forma puede ser doble. Por otraparte f(0, γ) = (0, β − γ), por lo que y = γ es doble si y solo si β − γ = γ, esto es, siy solo si es H . Otra forma de calcular H es observando que el punto medio de cualquierpunto y su imagen esta en H . Ası pues, escogiendo dos puntos (en general) y hallandosus imagenes podemos hallar H .

Caso (c) La variedad de puntos dobles Df tiene ahora por ecuaciones

α − x = xβ − y = y

}

,

de donde Df = {(α/2, β/2)}, punto que denotaremos P . Como indicamos en 9.4. f es lasimetrıa central de centro P . Por ser un caso particular de homotecia, toda recta pasandopor P es doble. Ademas, para todo Q ∈ A2(R), P es el punto medio de Q y f(Q).

Caso (d) Las ecuaciones de Df son

α + ax + by = xβ − bx + ay = y

}

,

que es un sistema de Cramer ya que∣

∣

∣

∣

∣

a− 1 b−b a− 1

∣

∣

∣

∣

∣

= (a− 1)2 + b2 = 2a− 2 6= 0, ya que b 6= 0, a 6= 1.

De donde Df = {P}. Este tipo de movimientos se denomina un giro de centro Py angulo α. El problema de la determinacion de angulos orientados es complejo en elplano (no digamos en el espacio) y, voluntariamente, no hemos entrado en el (aunqueesta propuesto como tema para un trabajo). Por ello, simplemente daremos angulos no


orientados. Con algo de trabajo (alrededor de una hora si se justifica, unos tres minutos sino) el docente puede definir el seno de angulos en el plano y ası determinar con precisionel angulo de un giro.

En nuestro caso nos conformaremos con probar que, para todo Q ∈ A2(R), el angulono orientado ω formado por −→PQ y

−−−−→Pf(Q) es independiente de Q. En efecto;

−→PQ · −−−−→Pf(Q) =

−→PQ · −−−−−−→f(P )f(Q)

= (a1 a2)

[(

a b−b a

)(

a1

a2

)]

= a∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→PQ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2,

por lo que

cos(ω) =a∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→PQ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→PQ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−−−−→Pf(Q)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= a,

dado que d(P,Q) = d(P, f(Q)), al ser P doble. Ası hemos probado lo que buscabamos.

Observacion.– Para hallar las rectas dobles de los movimientos podemos optar por con-siderarlas hiperplanos dobles de una homografıa o por calcular directamente las direc-ciones dobles de f (que son los puntos dobles en el infinito de [f ]) y, a partir de ahı,buscar rectas dobles. En cualquier caso, son un buen ejercicio para las clases de proble-mas.

Resumimos entonces lo estudiado en esta leccion en el siguiente cuadro. Usamosla denominacion clasica elementos de un movimiento para designar aquellos objetosgeometricos que lo caracterizan.


Tipo de Autovalores Puntos Elementos delmovimiento de −→f dobles movimiento

Identidad 1,1 A2(R) —

Traslacion 1,1 ∅ u =−−−−→Pf(P )

de vector u ∀P ∈ A2(R)

Simetrıa 1,-1 H H = Df

de eje H

Simetrıa con H es la unicadeslizamiento 1,-1 ∅ recta doble

(eje H , vector u) u =−−−−→Pf(P ),∀P ∈ H

Simetrıa central -1,-1 P P = Df

de centro P

Giro de centro P α, α ∈ C P Centro Py angulo ω cos(ω) = <(α)

9.8. Movimientos del espacio (I).

Comenzamos en esta leccion el repaso a la casuıstica de movimientos en A3(R), quenos llevara mas tiempo, por ser mas larga, aunque no mas complicada. Tomamos f ∈Mo(A3(R)).

Por los mismos resultados de 5.9. usados anteriormente, sabemos que las posibles ma-trices de f , respecto de un cierto sistema de referencia metrico con una base real ortonor-mal, son

1 0 0 0α 1 0 0β 0 1 0γ 0 0 1

,

1 0 0 0α 1 0 0β 0 1 0γ 0 0 −1

,

1 0 0 0α 1 0 0β 0 −1 0γ 0 0 −1

,

1 0 0 0α −1 0 0β 0 −1 0γ 0 0 −1

,

1 0 0 0α 1 0 0β 0 a bγ 0 −b a

,

1 0 0 0α −1 0 0β 0 a bγ 0 −b a

.


Nos ocuparemos en esta leccion de los casos (a), (b) y (d); y dejaremos para la si-guiente los restantes: (c), (e) y (f).

Caso (a) No existen grandes diferencias entre este estudio y el del caso plano. Enefecto,

Df :

α + x = xβ + y = yγ + z = z

por lo que Df 6= ∅ si y solo si α = β = γ = 0, esto es, si y solo si f = Id. En otro caso,f es la traslacion de vector

−−−−−→(α, β, γ).

Caso (b) Este caso tambien es paralelo al del caso plano. Ahora

Df :

α + x = xβ + y = yγ − z = z

(b.1) Si Df 6= ∅, entonces α = β = 0 y Df : z = γ/2, por lo que f es la simetrıahiperplanar de eje Df .

(b.2) Si Df = ∅, entonces, como en el caso plano

1 0 0 0α 1 0 0β 0 1 0γ 0 0 −1

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0γ 0 0 −1

1 0 0 0α 1 0 0β 0 1 00 0 0 1

=

1 0 0 0α 1 0 0β 0 1 00 0 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0γ 0 0 −1

,

por lo que, si denotamos H : z = γ/2, u =−−−−−→(α, β, 0) (notemos que u ∈ D(H)), obten-

emos que f = σH ◦ τu = τu ◦ σH .

Los elementos geometricos no son tan sencillos de hallar: u =−−−−→Pf(P ) para cualquier

P ∈ H pero H no es el unico plano doble. La forma mas rapida (y nos sirve de repaso)probablemente sea calcular directamente los planos dobles. Para ello vamos a consid-erar la homografıa inducida [f ] y considerar [f ]∗, cuya matriz, respecto del sistema dereferencia inducido es

A = M ([f ]∗) =

1 0 0 0α 1 0 0β 0 1 0γ 0 0 −1

t

.

Ahora calculemos sus puntos dobles como homografıa (7.3.): tenemos dos autoval-ores: 1 (ν = 3) y −1 (ν = 1). La variedad Z∗

1 tiene por ecuaciones

(I4 − A)t

x∗0...

x∗3

= 04×1 =⇒{

αx∗1 + βx∗

2 = 0x∗

3 = 0


por lo que Z∗1 esta generado por [1 : 0 : 0 : 0] y [0 : −β : α : 0]. Ası pues, Z∗

1 es una rectade planos dobles: concretamente los que tienen ecuaciones

λx0 + µ(−βx1 + αx2) = 0, (λ, µ) ∈ R2 \ {(0, 0)};

esto es, pasando al afın (y renombrando los parametros), todos los de la forma

Hλ : βx− αy = λ.

Por lo que respecta a Z∗−1 tenemos

(−I4 − A)t

x∗0...

x∗3

= 04×1 =⇒{

γx∗0 − 2x∗

3 = 0x∗

1 = x∗2 = 0

por lo que Z∗−1 es el punto [γ : 0 : 0 : −2], que se corresponde con el plano proyectivo

γx0 − 2x3 = 0 que es precisamente la clausura proyectiva de H .

Por tanto, H se caracteriza por ser el plano cuya clausura es el unico plano dobleasociado al autovalor −1 de [f ]∗. Alternativamente,

P = (x0, y0, z0) =⇒ f(P ) = (x0 + α, y0 + β,−z0 + γ) =⇒ P +1

2

−−−−→Pf(P ) ∈ H.

Caso (d) Este caso, como en el plano, se denomina una simetrıa central de centroP . El centro queda determinado por ser el unico punto doble de f :

Df :

α − x = xβ − y = yγ − z = z

=⇒ P =

(

α

2,β

2,γ

2

)

.

Como en el caso plano, P es el punto medio de Q y f(Q), para cualquier Q ∈ A3(R)y toda variedad pasando por P es doble, por ser f una homotecia.

9.9. Movimientos del espacio (II).

Continuamos con la descripcion de los movimientos de A3(R). Para no repetir en exceso,seremos ahora mas someros y dejaremos mas detalles analogos al alumno.

Caso (c) La variedad Df es no vacıa si y solo si α = 0.

(c.1) Si hay punto dobles, entonces

Df : {y = β/2, z = γ/2},

esto es, es una recta de puntos dobles. Ası, dado un punto P = (x0, y0, z0), tenemos quef(P ) = (α + x0, β − y0, γ − z0), de donde deducimos:

(a) El punto medio de P y f(P ) esta en Df .


(b) El vector−−−−→Pf(P ) es ortogonal a D(Df ) = 〈−−−−→(1, 0, 0)〉.

Por tanto, dado un punto P , f se comporta, en el plano P + Df como una simetrıa deeje Df . Por tanto, f se denomina una simetrıa axial de eje Df .

(c.2) En este caso tenemos la descomposicion

1 0 0 0α 1 0 0β 0 −1 0γ 0 0 −1

=

1 0 0 00 1 0 0β 0 −1 0γ 0 0 −1

1 0 0 0α 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

1 0 0 0α 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 0 0 00 1 0 0β 0 −1 0γ 0 0 −1

,

por lo que f es composicion (conmutativa) de una simetrıa axial y una traslacion devector paralelo al eje de simetrıa. Como cabe esperar, f se denomina simetrıa axial condeslizamiento.

Como de costumbre, para hallar el eje podemos usar dos puntos cualesquiera y susimagenes; calculando los puntos medios. Una vez hecho esto, el vector de traslacion es−−−−→Pf(P ) para cualquier P en el eje de simetrıa.

Caso (e) Dividimos el estudio como de costumbre, dependiendo de si f tiene o nopuntos dobles.

(e.1) La existencia de puntos dobles implica que α = 0 y, ademas, que

Df :

{

(a− 1)y − bz = −βby + (a− 1)z = −γ

por lo que tenemos una recta de puntos dobles. Si tomamos P = (x0, y0, z0), entonces

H = P + D(Df )⊥ : x = x0,

y, si tomamos RH ={

H ∩Df ;−−−−→(0, 1, 0),

−−−−→(0, 0, 1)

}

tenemos un sistema de referenciametrico en H que verifica (ejercicio sencillo)

MRH

(

f|H)

=

1 0 00 a b0 −b a

.

En consecuencia, restringido a H , f se comporta como un giro de centro H ∩ Df yangulo ω tal que cos(ω) = a. Por este motivo f se denomina precisamente un giro de ejeDf y angulo ω tal que cos(ω) = a.

(e.2) En este caso podemos descomponer

1 0 0 0α 1 0 0β 0 a bγ 0 −b a

=

1 0 0 00 1 0 0β 0 a bγ 0 −b a

1 0 0 0α 1 0 00 0 1 00 0 0 1


=

1 0 0 0α 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 0 0 00 1 0 0β 0 a bγ 0 −a b

,

por lo que f es composicion de un giro de eje L y una traslacion de vector u, paralelo aleje del giro, que ademas conmutan. f se denomina giro con deslizamiento o movimientohelicoidal.

En esta ocasion, para calcular el eje notemos que D(L) es el conjunto de autovec-tores de

−→f asociados al autovalor 1. Ası pues, hallada D(L), tomamos P = (x, y, z)

e imponemos que−−−−→Pf(P ) ∈ D(L). De esta condicion hallamos L. Posteriormente,

u =−−−−→Pf(P ), para cualquier p ∈ L.

Caso (f) La variedad de puntos dobles Df es en este caso la solucion (unica) delsistema

Df :

2x = α(a− 1)y − bz = −β

by + (a− 1)z = −γ

y f admite la siguiente descomposicion

1 0 0 0α −1 0 0β 0 a bγ 0 −b a

=

1 0 0 00 1 0 0β 0 a bγ 0 −b a

1 0 0 0α −1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

1 0 0 0α −1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 0 0 00 1 0 0β 0 a bγ 0 −a b

,

Por tanto f se descompone en una simetrıa de eje H y un giro de eje L que verifican:

(a) H ⊥ L.

(b) H ∩ L = Df .

El movimiento se denomina simetrıa rotacional, y sus elementos son:

(1) El eje de simetrıa H: es un plano doble que pasa por Df y su direccion es base delsubespacio asociado a los autovalores complejos de

−→f .

(2) El eje de giro L: pasa por Df y es perpendicular a H (equivalentemenete su di-reccion esta asociada al autovalor −1).

(3) El angulo de giro ω: dado por cos(ω) = a.

Resumimos como en 9.7. lo estudiado en esta leccion y en la anterior en un cuadro.No incluimos la descripcion de los elementos de cada movimiento, por estar ya incluidaen el desarrollo de las lecciones.


Tipo de Autovalores Puntos Elementos delmovimiento de −→f dobles movimiento

Identidad 1,1,1 A2(R) —

Traslacion 1,1,1 ∅ u, vector de traslacion

Simetrıa 1,1,-1 H H , eje de simetrıahiperplanar

Simetrıa con 1,1,-1 ∅ H , eje de simetrıadeslizamiento u, vector de traslacion

Simetrıa central -1,-1,-1 P P , centro de simetrıa

Simetrıa axial 1,-1,-1 L L, eje de simetrıa

Simetrıa axial 1,-1,-1 ∅ L, eje de simetrıacon deslizamiento u, vector de traslacion

Giro α, α ∈ C L L, eje de giroω, angulo de giro

Movimiento α, α ∈ C ∅ L, ω; eje y angulo de girohelicoidal u, vector de traslacion

Simetrıa α, α ∈ C P L, ω; eje y angulo de girorotacional H , eje de simetrıa

9.10. Ecuaciones reducidas de hipercuadricas.

En esta leccion estudiaremos un ejemplo de aplicacion de los movimientos para facilitarproblemas: en concreto nos ayudara a encontrar la expresion de las algunas conicas,estudiadas en el tema 8 como lugares geometricos.

Notamos, como habitualmente, una hipercuadrica como una ecuacion

Q :∑

i≤j; i+j≤2

aijXiXj = 0,


y todas las proporcionales. Entonces una matriz de Q es (cambiamos la notacion usualpara mayor comodidad)

M(Q) =

a00 a01/2 ... a0n/2a01/2

... M(Q)00

a0n/2

.

El resultado tecnico esencial es el siguiente.

Lema.– Sea Q una hipercuadrica afın de An(R). Entonces existe un movimiento f deAn(R) tal que las ecuaciones de f(Q) verifican:

(a) La submatriz complementaria del elemento (1, 1) (o sea, M(Q)00) es diagonal.

(b) Si aii 6= 0, entonces a0i = ai0 = 0.

(c) Si existe ai0 6= 0, entonces a00 = 0.

Demostracion.– Primero lograremos (a). Para ello recordemos que, si f1 es unaafinidad, una matriz de f1(Q) viene dada por

M(f1(Q)) = M(f1)tM(Q)M(f1),

donde hemos fijado un sistema de referencia metrico que usaremos en todo lo que sigue.Pero notemos que, si

M(f1) =

1 α1 ... αn

0... M

(−→f1

)

0

, M(Q) =

a00 a01/2 ... a0n/2a01/2

... M(Q)00

a0n/2

,

entonces es directo que

M(f1(Q)) =

∗ ∗ ... ∗∗... M

(−→f1

)tM(Q)11M

(−→f1

)

∗

.

Dado que M(Q)00 es simetrica, sabemos por 5.9. que existe una matriz ortogonal B

tal que BtM(Q)00B es diagonal; de forma que tomaremos M(−→f1) = B. De esta forma

podemos asegurar que

M (f1(Q)) =

β00 β01/2 ... β0n/2β01/2 β11

... . . .β0n/2 βnn

.

Denotemos a partir de ahora f1(Q) = Q′ por comodidad. El procedimiento que sigueya aparecıa en la literatura clasica con el nombre de reduccion de cuadrados; y fue la


piedra angular usada por los matematicos medievales (y antes por indios y arabes) para laresolucion de ecuaciones de segundo y cuarto grado.

Fijemos τi entonces una traslacion de vector ui =−−−−−−−−−−−−−→(0, ..., 0, λi, 0, ..., 0). Entonces

M (τi(Q′)) =

∗ β01/2 ... β0i/2 + λiβii ... β0n/2β01/2 β11

... . . .β0i/2 + λiβii βii

... . . .β0n/2 βnn

.

Por tanto, si realizamos las traslaciones τi que verifiquen:

βii 6= 0, λi =−β01

2βii

la hipercuadrica imagen de Q′ por todas las traslaciones verifica las condiciones (a) y (b)del resultado. Dejamos como ejercicio hallar el movimiento adecuado para conseguir (c),si se verifica la condicion.

Corolario.– Sea Q una hipercuadrica no degenerada de A2(R). Entonces existe unmovimiento f tal que la ecuacion de f(Q) tiene como matriz una de las siguientes:

1a

b

,

0 b 0b 0 00 0 a

.

Corolario.– Sea Q una hipercuadrica no degenerada de A3(R). Entonces existe unmovimiento f tal que la ecuacion de f(Q) tiene como matriz una de las siguientes:

1a

bc

,

0 b 0 0b 0 0 00 0 a 00 0 0 c

.

Demostracion.– La prueba de ambos corolarios es inmediata y analoga, ası que hare-mos, por ejemplo, la del caso tridimensional. Por ser Q no degenerada, el rango deM(Q)00 es 2 o 3. Ademas el lema asegura que podemos lograr que sea diagonal. Todoslos demas casos posibles se logran permutando variables, que son movimientos de formainmediata.

Observacion.– Por extension de la terminologıa proyectiva, llamaremos a las ecuacionesanteriores ecuaciones (metricas) reducidas.

9.11. Conicas como lugares geometricos: Elementoseuclıdeos.

Vamos a finalizar la parte de movimientos con una leccion que no es, en sentido estricto,relativa a movimientos: nos dedicaremos a completar la leccion pasada, expresando las


conicas no degeneradas como lugares geometricos. Esta es, probablemente, la forma deintroducir las conicas a la que los alumnos estaran acostumbrados de Bachillerato.

Observacion.– Comencemos por las conicas y, para ello, usaremos el corolario al re-specto de la leccion anterior. Tenemos dos posibles casos de ecuaciones simples:

Caso I La matriz de la ecuacion reducida a considerar es

1a

b

,

y, de acuerdo con la clasificacion afın dada en 8.10., hay diversas posibilidades.

(I.a) Si a, b > 0, Q es una elipse imaginaria y no tiene puntos; de forma que nopodemos describirla como lugar geometrico.

(I.b) Si a < 0, b > 0, Q es una hiperbola; y la forma clasica de describir la conica es

1 + ax2 + by2 =⇒ 1 =x

α2− y

β2, con α =

1√−a, β =

1√b.

Veamos como describir Q como lugar geometrico con detalle (los demas ejemplos noseran tan precisos). Fijemos dos puntos simetricos en el eje de abscisas, F1 = (d, 0), F2 =(−d, 0), con d > 0; y una cantidad positiva que denotaremos, por comodidad, 2e. En-tonces el conjunto de puntos

{R = (x, y) ∈ A2(R) tal que |d(R,F1)− d(R,F2)| = 2e},

es, precisamente (ejercicio sencillo de eliminacion de raıces), el conjunto de puntos R =(x, y) que verifican la ecuacion

e4 − d2e2 + (d2 − e2)x2 − e2y2 = 0⇐⇒ 1 +−1

e2x2 +

1

d2 − e2y2.

Ası, haciendo, en nuestra ecuacion

α = e, β =√

d2 − e2.

tenemos descrita nuestra conica como lugar geometrico. Notemos que es necesario qued > e en nuestro planteamiento del lugar geometrico (lo cual se corresponde con nuestraidea intuitiva de hiperbola).

Los elementos euclıdeos de la hiperbola son entonces:

(a) Los focos, F1 y F2.

(b) Los ejes, que son F1F2 (eje real) y la mediatriz de F1F2 (eje imaginario).

(c) Los vertices, que son los puntos de la hiperbola sobre los ejes. En este caso, solohay puntos en la recta F1F2, y son V1 = (e, 0) y V2 = (−e, 0).


(I.c) Si a, b < 0, Q es una elipse; que queda descrita usualmente como

1 + ax2 + by2 =⇒ 1 =x

α2+

y

β2, con α =

1√−a, β =

1√−b

.

Veamos como describir Q como lugar geometrico. Fijemos de nuevo dos puntossimetricos en el eje de abscisas, F1 = (d, 0), F2 = (−d, 0), con d > 0; y una canti-dad positiva que volveremos a llamar 2e. Entonces consideremos el conjunto de puntos

{R = (x, y) ∈ A2(R) tal que d(R,F1) + d(R,F2) = 2e},

donde, si hay puntos, se verifica

2d = d(F1, F2) ≤ d(F1, R) + d(R,F2) = 2e,

por lo que impondremos d < e. La ecuacion del lugar geometrico queda (no casualmente,desde luego),

1 +−1

e2x2 +

−1

e2 − d2y2.

Ası, haciendo, en la ecuacion de la elipse

α = e, β =√

e2 − d2.

tenemos descrita la conica como lugar geometrico.

Los elementos euclıdeos de la elipse son entonces:

(a) Los focos, F1 y F2.

(b) Los ejes, como en la hiperbola.

(b) Los vertices, que son los puntos de la elipse sobre los ejes. En este caso hay puntostanto en F1F2 como en la mediatriz del segmento F1F2, y son

V1 = (e, 0), V2 = (−e, 0), V3 =(

0,√

e2 − d2)

, V4 =(

0,−√

e2 − d2)

.

Caso II La matriz de la ecuacion reducida a considerar es

0 b 0b 0 00 0 a

,

y, de acuerdo con la clasificacion afın dada en 8.10., Q es una parabola, descritaclasicamente como

ay2 + 2bx = 0 =⇒ y2 + αx = 0, con α =2b

a.

Para describirla como lugar geometrico, escogeremos el punto P = (c, 0) y la rectaD : x = −c, y consideraremos el lugar geometrico

{R = (x, y) ∈ A2(R) tal que d(R,P ) = d(R,D)},


cuya ecuacion resulta

|x + c|1

=√

(x− c)2 + y2 ⇐⇒ y2 − 4cx = 0,

lo que, haciendo α = −4c, nos permite describir la parabola como lugar geometrico.

Los elementos euclıdeos de la parabola son entonces:

(a) El foco P y la directriz D.

(b) El eje, que es la perpendicular a D por P .

(c) El vertice, corte del eje y la parabola, que en este caso es V = (0, 0).

Observacion.– Esta es una clase idonea para recalcar que las tres conicas afines son lamisma vistas en el proyectivo; y que es el tipo de corte con la recta del infinito L∞ la quedetermina como se ve en el plano afın. Podemos aprovechar para llamar la atencion sobrelos parecidos (mas que sospechosos) entre los ejes de las conicas de uno y otro tipo, laexistencia de vertices en el infinito, y cualquier otro parecer que refresque la memoria.

-

6

s s

F2 F1

-¾ -¾d e

ELIPSE

L∞

-

6

s s

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

F2 F1

-¾ -¾d e

HIPERBOLA

L∞

-

6

s@

@@

@@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

F

D

-¾c

PARABOLA

L∞

metodos· matematicos· de la f· sica...

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