Metodos Matematicos 2

Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Orden

Superior.

L. A. Nunez*

Centro de Astrofısica Teorica,Departamento de Fısica, Facultad de Ciencias,

Universidad de Los Andes, Merida 5101, Venezuelay

Centro Nacional de Calculo CientıficoUniversidad de Los Andes (CeCalCULA),Corporacion Parque Tecnologico de Merida,

Merida 5101, Venezuela

Merida, Septiembre 2003. Version α

Indice

1. Mecanica y Electricidad 2

2. Oscilaciones libres no amortiguadas 2

3. Oscilaciones Libres Amortiguadas 3

4. Oscilaciones Forzadas 64.1. Oscilaciones Forzadas no amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.1.1. Amplitud modulada $ 6= ω0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.1.2. Resonancia $ = ω0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2. Oscilaciones Forzadas amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5. Movimiento alrededor de un punto de equilibrio 10

6. Pendulo Simple con desplazamiento finito. 126.0.1. Disgresion Elıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.0.2. ¿ Cuan buena es la aproximacion lineal ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.1. El Pendulo Fısico: Integracion Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24*e-mail: nunez@ula.ve

1

1. Mecanica y Electricidad

Una de las mas famosas ecuaciones diferenciales, lineales, ordinaria con coeficientes constantes es

α u + β u + γ u ≡ αd2u

dt2+ β

du

dt+ γ u = Λ (t)

La cual utiliza para describir sistemas mecanicos y toma la forma

md2x

dt2+ η

dx

dt+ k x = F (t) donde

x ⇒ Desplazamientodxdt ⇒ Velocidadm ⇒ masaη ⇒ Constante de Amortiguamientok ⇒ Constante Elastica

F (t) ⇒ Fuerza Aplicada

y circuitos electricos

Ld2Q

dt2+ R

dQ

dt+

1C

Q = E (t) donde

Q ⇒ Carga ElectricadQdt = I ⇒ Intensidad de Corriente

L ⇒ InductanciaR ⇒ ResistenciaC ⇒ Capacitancia

E (t) ⇒ Fuerza Electromotriz

Analicemos la ecuacion que describe sistemas mecanicos y dejamos la que describe sistemas electricospara un analisis posterior. El primero de los casos a analizar sera el de las oscilaciones libres, vale decirF (t) = 0, lo cual en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales se traduce a ecuaciones diferenciales ho-mogeneas. En contraste, si F (t) 6= 0, es decir, el caso inhomogeneo, estaremos describiendo oscilacionesforzadas.

2. Oscilaciones libres no amortiguadas

Analicemos pues del caso del oscilador armonico libre, i.e.

md2x

dt2+ k x = 0 ⇒ x (t) = C1 cos (ω0t) + C2 sen (ω0t) con ω0 =

√k

m

ω0 se denomina la frecuencia natural de oscilacion y C1 y C2 las constantes de integracion que sedeterminan de las condiciones iniciales. Es claro que

si{

C1 = A cos δC2 = A sen δ

⇒ x (t) = C1 cos (ω0t) + C2 sen (ω0t) ⇔ x (t) = A cos (ω0t + δ)

con R la amplitud y δ en angulo de fase. Obviamente, el perıodo del movimiento sera

T =2π

ω0= 2π

√m

k

2

Ejemplo Como un ejemplo analicemos el caso de un sistema en el cual m = 0,1 Kg. y k = 0,4 N/m

En este caso la frecuencia angular ω0 =√

km = 2 rad/sg. La ecuacion diferencial que describe este

movimiento sera

d2x

dt2+ 4 x = 0 ∧

x (0) = 1; dxdt

∣∣t=0

= 0; ⇒ x (t) = cos(2t)

x (0) = 4; dxdt

∣∣t=0

= 0 ⇒ x (t) = 4 cos (2t)

x (0) = −2; dxdt

∣∣t=0

= 0 ⇒ x (t) = −2 cos (2t)

Figura 1: Oscilador armonico libre. Cambios en la posicion inicial no afectan la frecuencia natural.

d2x

dt2+ 4 x = 0 ∧

x (0) = 0; dxdt

∣∣t=0

= 1; ⇒ x (t) = 12 sen(2t)

x (0) = 0; dxdt

∣∣t=0

= 4; ⇒ x (t) = 2 sen (2t)

x (0) = 0; dxdt

∣∣t=0

= −2 ⇒ x (t) = − sen (2t)

3. Oscilaciones Libres Amortiguadas

Consideremos que en el movimiento actua una fuerza de amortiguacion proporcional a la velocidad,por lo cual el movimiento viene descrito por

md2x

dt2+ η

dx

dt+ k x =

d2x

dt2+ 2µ

dx

dt+ ω2

0 x = 0

3

Figura 2: Oscilador Armonico Libre. Cambios de velocidad incial no afectan la frecuencia natural

la cual constituye una ecuacion diferencial lineal homogenea de segundo orden. Las raıces del polinomiocaracterıstico asociado seran

r =−η ±

√η2 − 4km

2m= − η

2m±

√( η

2m

)2− k

m= −µ±

√µ2 − ω2

0

por lo tanto la solucion sera

x (t) = C1e

(−

(µ+√

µ2−ω20

)t)

+ C2e

(−

(µ−√

µ2−ω20

)t)

de donde se deducen los siguientes casos

x (t) = C1 er1t + C2 er2t ⇐ µ2 − ω20 > 0 Sobreamortiguado

x (t) = (C1 + C2 t) eµ t ⇐ µ2 − ω20 = 0 Crıtico

x (t) = e−µ t{

C1 cos[(√

ω20 − µ2

)t]

+ C2 sen[(√

ω20 − µ2

)t]}

⇐ µ2 − ω20 < 0 Subamortiguado

Ejemplo Como un ejemplo analicemos el mismo caso del sistema anterior en el cual m = 0,1 Kg. yk = 0,4 N/m, solo que ahora la constante de amortiguamiento sera η = 0,60, 0,40 y 0,15 En todos los

caso la frecuencia angular ω0 =√

km = 2 rad/sg. y la cantidad subradical

(µ2 − ω2

0

)correspondera a

los tres casos anteriormente mencionados. Las ecuaciones diferenciales que describen este movimiento

4

seran

d2xdt2

+ 6 dxdt + 4 x = 0 ∧

x (0) = 0

dxdt

∣∣t=0

= 4

⇒ x (t) =

(12 + 7

2√

5

)e(√

5−3)t +(

12 − 7

2√

5

)e−(3+

√5)t

d2xdt2

+ 4 dxdt + 4 x = 0 ∧

x (0) = 0

dxdt

∣∣t=0

= 4

⇒ x (t) = (1 + 6t) e−2t

d2xdt2

+ dxdt + 4 x = 0 ∧

x (0) = 0

dxdt

∣∣t=0

= 4

⇒ x (t) = e−

12t[

9√15

sen(√

152 t

)+ cos

(√152 t

)]

Figura 3: Oscilaciones libres amortiguadas y no amortiguadas. Notese que el perıodo es mayor para elcaso subamortiguado

Si en los casos anteriores cambiamos el signo de la velocidad inicial, i.e. dxdt

∣∣t=0

= −4 m/s, tendremosla siguiente representacion grafica.

x (0) = 1; dxdt

∣∣t=0

= −4; ⇒ x (t) =(

12 − 1

2√

5

)e(√

5−3)t +(

12 + 1

2√

5

)e−(3+

√5)t

x (0) = 1; dxdt

∣∣t=0

= −4; ⇒ x (t) = (1 + 2t) e−2t

x (0) = 1; dxdt

∣∣t=0

= −4 ⇒ x (t) = e−12t[−7√15

sen(√

152 t

)+ cos

(√152 t

)]

5

Figura 4: Oscilaciones Libres amortiguadas con cambio de signo en la velocidad inicial

En todos los casos dado que r1, r2 < 0 se tiene que x (t → 0) → 0. El movimiento subamortiguadoes periodico y el perıodo viene descrito por

Tam =2πω0√

1−(

µω0

)2=

T√1−

(µω0

)2si

(µ

ω0

)2

<< 1 ⇒ Tam ≈ T

(1 +

12

(µ

ω0

)2)

el cual siempre sera mayor que el periodo de oscilacion natural del sistema.

4. Oscilaciones Forzadas

Supongamos ahora que existe una fuerza aplicada al sistema tal que

d2x

dt2+ 2µ

dx

dt+ ω2

0 x =F0

mcos ($t)

4.1. Oscilaciones Forzadas no amortiguadas

En este caso µ = 0 y por lo tanto

d2x

dt2+ ω2

0 x =F0

mcos ($t)

4.1.1. Amplitud modulada $ 6= ω0

y tendra como solucion

x (t) = C1 cos (ω0t) + C2 sen (ω0t)︸ ︷︷ ︸homogenea

+F0

m(ω2

0 −$2) cos ($t)

︸ ︷︷ ︸inhomogenea

= A cos (ω0t + δ) +F0

m(ω2

0 −$2) cos ($t)

6

con lo cual es la suma de dos movimientos armonicos con distintas frecuencias y amplitudes. Si elcuerpo parte del reposo, esto es: x (0) = x (0) = 0 entonces

C1 = −F0

m(ω20−$2)

C2 = 0

⇒ x (t) =F0

m(ω2

0 −$2) [cos ($t)− cos (ω0t)]

dado que

cos (ω0t) = cos[{(

ω0 −$

2

)+

(ω0 + $

2

)}t

]

cos (ω0t) = cos(

ω0 −$

2

)cos

(ω0 + $

2

)− sen

(ω0 −$

2

)sen

(ω0 + $

2

)

cos ($t) = cos[{(

ω0 −$

2

)−

(ω0 + $

2

)}t

]

cos ($t) = cos(

ω0 −$

2

)cos

(ω0 + $

2

)+ sen

(ω0 −$

2

)sen

(ω0 + $

2

)

x (t) =2F0

m(ω2

0 −$2)

[sen

(ω0 −$

2t

)]

︸ ︷︷ ︸Envolvente

[sen

(ω0 + $

2t

)]

Ejemplo El mismo sistema anterior en el cual m = 0,1 Kg. y k = 0,4 N/m, cuando parte del reposodesde el origen de coordenadas y existe una fuerza de excitacion F = 0,5 cos (3t) . Por lo tanto laecuacion diferencial que describe el movimiento sera

d2x

dt2+ 4 x = 5 cos (3t)

x (0) = 0

dxdt

∣∣t=0

= 0

=⇒ x (t) = cos(2t)︸ ︷︷ ︸

homogenea

− cos(3t)︸ ︷︷ ︸inhomogenea

≡ 2 sen(

12t

)

︸ ︷︷ ︸envolvente

sen(

52t

)

4.1.2. Resonancia $ = ω0

En el caso que la frecuencia de la fuerza de excitacion coincida con la frecuencia natural del sistema,se tiene

d2x

dt2+ ω2

0 x = F0 cos (ω0t) =⇒ x (t) = C1 cos (ω0t) + C2 sen (ω0t) +F0

2mω0t

︸ ︷︷ ︸envolvente

sen (ω0t)

Ejemplo El sistema anterior (m = 0,1 Kg. y k = 0,4 N/m), cuando parte del reposo desde el origende coordenadas y existe una fuerza de excitacion F = 0,5 cos (2t) . Por lo tanto la ecuacion diferencialque describe el movimiento sera

d2x

dt2+ 4 x = 5 cos (2t) ∧

x (0) = 0

dxdt

∣∣t=0

= 0

=⇒ x(t) =

5t

4sen (2t)

7

Figura 5: Oscilador armonico forzado. Notese la envolvente de la funcion

4.2. Oscilaciones Forzadas amortiguadas

En este caso µ 6= 0 y por lo tanto

d2x

dt2+ 2µ

dx

dt+ ω2

0 x =F0

mcos ($t)

la cual tendra como solucion

x (t) = C1e

(−

(µ+√

µ2−ω20

)t)

+ C2e

(−

(µ−√

µ2−ω20

)t)

+F0

m

((ω2

0 −$2)cos ($t) + 2µ$ sen ($t)

(ω2

0 −$2)2 + (2µ$)2

)

una vez mas se puede convertir en

x (t) = C1e

(−

(µ+√

µ2−ω20

)t)

+ C2e

(−

(µ−√

µ2−ω20

)t)

︸ ︷︷ ︸solucion homogene ≡regimen transitorio

+F0

m

cos ($t− ζ)√(ω2

0 −$2)2 + (2µ$)2

︸ ︷︷ ︸solucion inhomogenea ≡ regimen estacionario

donde

cos (ζ) =

(ω2

0 −$2)

√(ω2

0 −$2)2 + (2µ$)2

y sen (ζ) =2µ$√(

ω20 −$2

)2 + (2µ$)2

Es claro que el termino homogeneo en todos sus casos (sobreamortiguado, crıtico y subamortiguado)tiende a cero, por ello se considera un termino transitorio, no ası el termino inhomogeneo que permaneceoscilando. En terminos Fısico se pude decir que el termino transitorio representa la disipacion de laenergıa inicial que se le provee al sistema a traves de la posicion y la velocidad inicial de lanzamiento.Esta energıa inicial se expresa a traves de las condiciones iniciales se disipa. Si no existiera disipacion

8

Figura 6: Oscilador armonico forzado con $ = ω20 Notese el fenomeno de resonancia

esta energıa inicial permanecerıa por siempre en el sistema. Finalmente el termino inhomogeneo, atraves de la fuerza de excitacion, impone el movimiento al sistema. Notese ademas que el terminoinhomogeneo nunca se hace infinito, ni siquiera para el caso para el cual tiene un maximo y es aquelen el cual la frecuencia de excitacion coincide con la frecuencia natural del sistema.

Ejemplo En un circuito RLC, cuyos componentes son L = 1 henry, R = 40 ohmios y C = 140000

faradios, se le aplica un tension de V = 24 voltios. Determine el comportamiento de la carga y laintensidad de corriente en el circuito.

La ecuacion diferencial que describe el comportamiento del sistema

Ld2Q (t)

dt2+ R

dQ (t)dt

+1C

Q = E (t) ⇒ d2Q (t)dt2

+ 40dQ (t)

dt+ 40000 Q (t) =

12

Ld2I (t)

dt2+ R

dI (t)dt

+1C

I (t) =dE (t)

dt⇒ d2I (t)

dt2+ 40

dI (t)dt

+ 40000 I (t) = 0

tomando en cuenta las condiciones iniciales tendremos como solucion

Q (0) = 10−4

I (0) = dQdt

∣∣∣t=0

= 10−2

⇒

Q(t) = 18000 + e−20t

[47√

112640000 sin

(√1160t

)+ 7

8000 cos(√

1160t)]

I (t) = dQdt = e−20t

[1

100 cos(√

1160t)− 37

√11

6600 sin(√

1160t)]

Si en vez de un tension constante de 0,5 V. la fuente de tension es sinusoidal de la forma E (t) =

9

Figura 7: Carga en runcion del tiempo en un circuito RLC sometido a un voltage constante. Noteseque el sistema alcanza el regimen estacionario cercano a los 0,3 sg

12 cos (180t) voltios las ecuaciones se transforman en

d2Q

dt2+ 40

dQ

dt+ 40000 Q =

12

cos (180t) con Q (0) = 10−4 ∧ I (0) =dQ

dt

∣∣∣∣t=0

= 10−2

d2I

dt2+ 40

dI

dt+ 40000 I = −90 sin (180t)

con sus correspondientes soluciones a las condiciones iniciales del sistema

Q(t) =1

1000

{e−20t

[293

√11

30140sin

(60√

11t)

+91685

cos(60√

11t)]− 9

274cos (180t) +

19548

sin (180t)

}

I(t) =1

100

{e−20t

[103274

cos(60√

11t)− 2461

√11

3014sin

(60√

11t)]

+81137

sin (180t) +171274

cos (180t)

}

Por analogıa con el caso mecanico procedemos a identificar cantidades

2µ = RL

ω20 = 1

LC

⇒ A =

V0

L

√(1

LC −$2)2 +

(RL$

)2=

12√

$4 − 78400$2 + 1600000000

con ello se puede ver la funcionalidad de la amplitud con la frecuencia excitatriz

5. Movimiento alrededor de un punto de equilibrio

La fuerza elastica F = −k x mas alla de ser el caso mas simple, representa la primera aproximacional movimiento alrededor de un punto de equilibrio estable. Si recordamos que para una fuerza que

10

Figura 8: Intensidad en un circuito RLC sometido a un voltage constante.

derive de un potencial

F = −dV

dx⇒ F = −k x = −d

(12k x2

)

dxmas aun, un punto de equilibrio estable se define aquel en el cual no existen fuerzas externas, vale decir

F |x=x0= 0 ⇒ −dV

dx

∣∣∣∣x=x0

= 0

por lo cual, dado un potencial de una fuerza arbitraria siempre podemos expandirlo en series de Tayloralrededor de un punto de equilibrio x = x0

V (x) = v (x0) + (x− x0)dV

dx

∣∣∣∣x=x0︸ ︷︷ ︸

=0

+12!

(x− x0)2 d2V

dx2

∣∣∣∣x=x0

+13!

(x− x0)3 d3V

dx3

∣∣∣∣x=x0

· · ·

Ası, en general, alrededor de un punto de equilibrio x = x0 la primera aproximacion de una funcionpotencial seraV (x) ≈ 1

2! (x− x0)2 d2V

dx2

∣∣∣x=x0

≈ 12k (x− x0)

2 . Ası, un potencial de la forma

V (x) =16x6 − 2x5 +

354

x4 − 503

x3 + 12x2

Solucion: x5 − 10x4 + 35x3 − 50x2 + 24x Solucion: que genera una fuerza

F = −dV (x)dx

= − (x5 − 10x4 + 35x3 − 50x2 + 24x

)

tendra dos puntos de equilibrio x = 0 y x = 4. En torno a x = 0 se podra aproximar con un potencialparabolico

V (x) =12!

(x− x0)2 d2V (x)

dx2

∣∣∣∣x=x0

= 12x2

11

Figura 9: Carga en funcion del tiempo en un circuito RLC sometido a un voltage sinusoidal V (t) =12 cos (180t) . Notese el regimen transitorio (0 ≤ t . 0,17) y estacionario (t & 0,17) .

tal y como se observa graficamente

6. Pendulo Simple con desplazamiento finito.

El caso tıpico de esta aproximacion lo constituye el pendulo simple: una masa m, empotrada auna varilla, de masa despreciable y de longitud L. La varilla se desplaza un angulo θ de la vertical yse suelta. La Figura (13) muestra el diagrama de cuerpo libre del Pendulo Fısico. Desde la ancestralfısica general, aun en secundaria, era proverbial resolver este problema suponiendo angulos pequenos.En esas tempranas epocas de nuestro conocimiento de Fısica era limitado y mas limitado aun eranuestra capacidad para resolver ecuaciones diferenciales. A este “problema” se le conoce con el pendulofısico. Como siempre, aproximar es un arte y exploremos este arte. Como norma general tendremosque se debe aproximar al final. Pero no siempre. Si suponemos un cuerpo de masa constante, m, lasecuaciones diferenciales que describen el movimiento no pueden ser otras que aquellas que provengande las ecuaciones de Newton

∑externas

−−−−−−−−−−→F (−−→r(t),

−−→v(t), t) =

d−−−−→mv(t)dt

= m−−→a(t) = m (ar ur + aθ uθ) , (1)

Es bueno recordar que hay que expresar la aceleracion en un sistema de coordenadas moviles(ur, uθ). Esto es

ur = cos (θ) ı+sen (θ) =⇒ dur

dt= (− sen (θ) ı+ cos (θ) )

dθ (t)dt

=dθ (t)

dtuθ = θ (t) uθ

uθ = − sen (θ) ı+cos (θ) =⇒ duθ

dt= − (cos (θ) ı+sen (θ) )

dθ (t)dt

= −dθ (t)dt

ur = −θ (t) ur

12

Figura 10: Intensidad de corriente en un circuito RLC sometido a un voltage sinusoidal V (t) =12 cos (180t)

con lo cual

~r (t) = r (t) ur =⇒ ~v (t) =d (r (t) ur)

dt= r (t) ur + r (t) θ (t) uθ

y

~a (t) =d

(r (t) ur + r (t) θ (t) uθ

)

dt=

(r (t)− r (t) θ2 (t)

)ur +

(2r (t) θ (t) + r (t) θ (t)

)uθ

es claro que si r (t) = L = cte =⇒r (t) = ~v (t) = r (t) = ~a (t) = 0

~r (t) = Lur =⇒ ~v (t) =d (Lur)

dt= Lθ (t) uθ

y

~a (t) =d

(Lθ (t) uθ

)

dt=

(−L

(θ (t)

)2)

ur +(Lθ (t)

)uθ

Ası, y para este caso particular, las ecuaciones de Newton quedan como

m ~a = ~T + m ~g =⇒

m ar ≡ −mLθ2 (t) = −T + mg cos (θ)

m aθ = mLθ (t) = −mg sen (θ) .

(2)

El caso que todos nos aprendimos de memoria, proviene de la suposicion θ ≈ sen (θ) ¿ 1 queimplica:

m ~a = ~T + m ~g =⇒

mLθ2 (t) = −T + mg

mLθ (t) = −mgθ.

(3)

13

Figura 11: Amplitud como funcion de la frecuencia excitatriz. Notese el maximo de la amplitud cuandoel sistema entra en resonancia, i.e. $ = ω0

con lo cual, ahora, en este curso, sabemos que lo podemos integrar inmediatamente. Si suponemos queparte del reposo: θ (0) = 0 y θ (0) = θ0

Lθ (t) = −gθ (t) =⇒θ (t) = C1 sen(√

g

Lt

)+ C2 cos

(√g

Lt

)=⇒θ (t) = θ0 cos

(√g

Lt

)

y el perıodo puede ser integrado

θ (t) θ (t) = − g

Lθ (t) θ (t) =⇒Etotal ∝ cte = θ (t)2 + 2

g

Lθ (t)2 =⇒θ (t) =

√g

L

(θ20 − θ2

)(4)

que no es otra cosa que la energıa total del sistema. Por lo tanto sabemos que en el instante inicial, sisoltamos la masa desde un angulo θ0, la energıa total es puramente potencial. Es decir

Etotal = Epotencial = mgL (1− cos (θ0)) = 2mgL sen2

(12θ0

)(5)

por otro lado, de la ecuacion (4) podemos obtener el perıodo de oscilacion para el Pendulo Fısicolinealizado:

ω = θ (t) =√

g

L

(θ20 − θ2

)=⇒T =

1√gL

arctan

(θ√

θ20 − θ2

)

Este caso tambien se conoce con el nombre de oscilador armonico simple o pendulo fısico linealizado.Igualmente podemos analizar el caso de general del pendulo amortiguado forzado linealizado. Vale decir,una masa, m,atada a una varilla sin masa de longitud L,y que oscila, inmersa en un fluido que la frena

14

Figura 12: Aproximacion por una parabola en torno a x = 0

el movimiento de la masa con una fuerza, −η ~v (t) y que adicionalmente esta excitada por una fuerzaexterior F (t) = F0 cos ($t) . Recordamos que en este caso la ecuacion en la direccion tangente (uθ), es

mLd2θ (t)

dt2+ η

dθ (t)dt

+ mg θ (t) = F0 cos ($t) =⇒ d2θ (t)dt2

+ 2µdθ (t)

dt+ ω2

0 θ (t) =F0

mLcos ($t)

donde, por costumbre, hemos rebautizado las constantes tales que µ =η

2mLy ω0 =

√g

L.

Por lo tanto, su solucion tendra la forma

θ (t) = C1e

(−

(µ+√

µ2−ω20

)t)

+ C2e

(−

(µ−√

µ2−ω20

)t)

︸ ︷︷ ︸solucion homogene ≡regimen transitorio

+F0

mL

cos ($t− ζ)√(ω2

0 −$2)2 + (2µ$)2

︸ ︷︷ ︸solucion inhomogenea ≡ regimen estacionario

donde

cos (ζ) =

(ω2

0 −$2)

√(ω2

0 −$2)2 + (2µ$)2

y sen (ζ) =2µ$√(

ω20 −$2

)2 + (2µ$)2

Hemos aprendido que dependiendo del valor de los coeficientes de la ecuacion caracterıstica delPendulo Fısico amortiguado libre (F0 = 0) se derivan tres casos posibles:

Subamortiguado: µ2 − ω20 < 0

Sobreamortiguado: µ2 − ω20 > 0

Crıtico µ2 − ω20 = 0

15

Figura 13: Diagrama de Cuerpo Libre, del Pendulo Fısico

En el caso del Pendulo Fısico amortiguado forzado (F0 6= 0) la fısica se hace mucho mas rica ypueden ocurrir fenomenos de resonancia cuando

(ω2

0 −$2)2 + (2µ$)2 → 0.

Es interesante considerar los graficos tanto de la evolucion del sistema en el espacio directo: θ (t)vs t; como la evolucion del sistema en el espacio de fases ω = θ (t) vs θ (t) . Las figuras (16) y (18)muestran la primera de estas evoluciones, es decir, la evolucion del angulo en el espacio directo. Lasfiguras (17) y (19) muestran la evolucion del sistema en el espacio de fases. Es claro de la ecuacion(4), en la cual aparece ω = θ (t) = θ (θ (t)) ,que las curvas en el diagrama de fase tanto para el casolibre (figura (15)) como para los de los casos amortiguados (figuras (17) y (19)) corresponden a curvasde misma energıa. En el caso del Pendulo Fısico linealizado libre, corresponden a curvas de energıaconstante. en los otros casos el sistema va disipando energıa debido al coeficiente de amortiguacion.

Notese que la disipacion obliga al sistema a evolucionar al punto de equilibrio siguiendo trayectoriasespirales en el espacio de fases. Claramente mas rapidamente en el caso sobreamortiguado que en elsubamortiguado. Tambien sabemos que para el caso crıtico (µ2 − ω2

0 = 0) el tiempo de evolucion delsistema hasta llegar al punto de equilibrio sera menor que en cualquiera de los casos sobreamortiguados.Dejamos al lector la comprobacion de esta ultima afirmacion.

Hemos aprendido que dependiendo del valor de los coeficientes de la ecuacion caracterıstica delPendulo Fısico amortiguado libre (F0 = 0) se derivan tres casos posibles:

Ahora bien, la situacion que nos interesa simular es la del pendulo fısico para los casos en los cualeslos angulos de oscilacion no necesariamente sean pequenos.

Denominaremos pendulo libre al caso en el cual no recurriremos a ninguna aproximacion respectoal angulo de oscilacion. Recordemos que para este caso partimos de la ecuacion (2) en la direcciontangente. Es decir

Lθ (t) = −g sen (θ) =⇒ θ (t) θ (t) = − g

Lsen θ (t) θ (t) =⇒ Etotal ∝ cte =

(θ (t)2

2− g

Lcos θ (t)

)

16

Figura 14: Evolucion θ (t) vs t del Pendulo Fısico libre, para distintos valores de la velocidad inicialV0 = 3, 5,

√40, 7, 8.

Figura 15: Digrama de Fase para el Oscilador Armonico Simple. Notese que el punto de equilibrio esel origen de coordenadas.

17

Figura 16: Evolucion θ (t) vs t del Pendulo Simple, Subamortiguado (g

L= 4;µ = 0, 5) libre,para

distintos valores de la velocidad inicial V0 = 3, 5,√

40, 7, 8.

Figura 17: Evolucion θ (t) vs θ (t) del Pendulo Fısico Subamortiguado libre (g

L= 4;µ = 0, 5) en

el Espacio de Fases para distintos valores de la velocidad inicial V0 = 3, 5,√

40, 7, 8. Notese que ladisipacion lleva irremediablemente al sistema al punto de equilibrio, vale decir al origen de coordenadasdel espacio de fases.

18

Figura 18: Evolucion θ (t) vs t del Pendulo Fısico Sobreamortiguado (g

L= 4;µ = 3, 5) libre,para

distintos valores de la velocidad inicial V0 = 3, 5,√

40, 7, 8.

Figura 19: Fısico Sobreamortiguado libre (g

L= 4;µ = 3, 5) en el Espacio de Fases para distintos valores

de la velocidad inicial V0 = 3, 5,√

40, 7, 8. Notese que la disipacion lleva irremediablemente al sistemaal punto de equilibrio, vale decir al origen de coordenadas del espacio de fases.

19

Figura 20: Diagrama de Fase para el Pendulo Fısico.

Al igual que en la ecuacion en la direccion tangente linealizada (4), nos encontramos con la Energıatotal del sistema. Con lo cual Es facil despejar θ (t) = θ (θ (t)) y construir los diagramas de fases delsistema. Otra vez, las lıneas del diagrama de fase seran lıneas de la misma energıa. Ası podemos graficar

θ (t) = ±√

C +2g

Lcos (θ (t)) (6)

para distintos valores de la constante C = 4, 01; 4, 1; 6; 8; 10; 20 y para el casog

L= 4. La Figura (20)

representa el diagrama de fase para estos casos. Las curvas cerradas (aquellas que tienen los valores deangulos y velocidades acotadas) representan oscilaciones del sistema, mientras que las curvas abiertas(aquellas en las cuales las velocidades estan acotadas pero no ası el valor del angulo) representanque el sistema rota. Notese que el sistema presenta puntos de equilibrio inestable para θ (t) ≈ ±nπcon n = 0, 1, 2. Lo cual era de esperarse por cuanto corresponde al angulo en el cual el sistemavarilla-masa se encuentran verticalmente dispuestos y el peso y la tension son colineales y se anulanmomentaneamente.

Otro enfoque, quiza mas intuitivo para resolver este problema, pudo haber sido el analisis energetico.Para ello sabemos que, por ser un sistema conservativo, la energıa total viene definida por

Etotal =12mL2θ (t)2

︸ ︷︷ ︸Energıa Cinetica

+ mgL (1− cos (θ (t)))︸ ︷︷ ︸Energıa Potencial

≡ 12mL2θ (t)2 + 2mgL sen2

(θ (t)2

)

por consiguiente

θ (t) = ±√

2Etotal

mL2− 4g

Lsen2

(θ (t)2

)≡ ±2

√g

L

[sen2

(θmax

2

)− sen2

(θ (t)2

)](7)

20

donde hemos sustituido Etotal = 2mL sen2(

θmax2

)con θmax el angulo maximo que alcanza el Pendulo

Fısico, por cuanto en ese punto la energıa total es puramente potencial. Notese que ese angulo nonecesariamente es el angulo inicial, debido a que la velocidad incial puede ser distinta de cero.

La ecuacion (7) es claramente integrable por separacion de variables y conduce a encontrar laexpresion para el perıodo:

t =12

√L

g

∫ θ(t)

θ0

dθ√g

L

[sen2

(θmax

2

)− sen2

(θ2

)] con − π ≤ θ (t) ≤ π y θ0 = θ (0)

La integral anterior, puede ser transformada en otra que aparece en las tablas integrales, si hacemos

sen β =sen( θ

2)sen

(θmax

2

) , con lo cual

t =

√L

g

∫ ζ(t)

ζ(0)

dβ√1− sen2

(θmax

2

)sen2 β

donde

sen β =sen

(θ2

)

sen(

θmax2

)

ζ (t) = arcsin

sen

(θ(t)2

)

sen(

θmax2

)

(8)

Es claro que el recorrido entre ζ (0) = 0 =⇒ θ = 0 a θ = θmax =⇒ ζ (t) =π

2representa un cuarto

del perıdo, por consiguiente el perıodo total del Pendulo Fısico sera:

T = 4

√L

g

∫ π

20

dβ√1− sen2

(θmax

2

)sen2 β

6.0.1. Disgresion Elıptica

En este punto haremos una disgresion respecto a las integrales elıpticas, su clasificacion y algunasde sus propiedades. En general encontraran en la bibliografıa que las integrales elıpticas se dividen en

Integrales Elıpticas de Primera Especie

F (ϕ\α) =∫ ϕ

0

dβ√1− sen2 α sen2 β

⇐⇒ F (x|m) =∫ x

0

dt√(1− t2) (1−mt2)

con 0 ≤ m ≤ 1

las cuales, para el caso particular ϕ =π

2o x = 1, se puede reacomodar como una Integral Elıptica

de Primera Especie Completa

K (m) =∫ π

20

dβ√1−m sen2 β

≡∫ 1

0

dt√(1− t2) (1−mt2)

con 0 ≤ m ≤ 1 (9)

21

Integrales Elıpticas de Segunda Especie

E (ϕ\α) =∫ ϕ

0

√1− sen2 α sen2 βdβ ⇐⇒ E (x|m) =

∫ x

0

√(1−mt2

)

(1− t2)dt con 0 ≤ m ≤ 1

y si ϕ =π

2o x = 1, entonces se obtiene una Integral Elıptica de Segunda Especie Completa

E (m) =∫ π

20

√1−m sen2 βdβ ≡

∫ 1

0

√(1−mt2

)

(1− t2)dt con 0 ≤ m ≤ 1

Adicionalmente, y tambien sin perder generalidad, dado que 0 ≤ m ≤ 1, el denominador de laintegral elıptica K (m) de la ecuacion (9) y equivalentemente de la ecuacion (8) puede ser expandidoen series de potencias. Con lo cual

1√1−m sen2 β

= 1 +12

sen2 βm +(

38

sen4 β2

)m2 +

(516

sen6 β3

)m3 +

(35128

sen8 β4

)m4 + · · ·

1√1−m sen2 β

=12π

[1 +

[(12

)sen2 β

]m +

[(1 · 32 · 4

)sen4 β

]m2+

+[(

1 · 3 · 52 · 4 · 6

)sen6 β

]m3 + O

(m4

)]

1√1−m sen2 β

=∞∑

n=0

(2n− 1)!!(2n)!!

mn sen2n β

y siendo una serie uniformemente convergente puede ser integrada termino a termino como

K (m) =∫ π

20

dβ√1−m sen2 β

=∫ π

20

dβ∞∑

n=0

(2n− 1)!!(2n)!!

mn sen2n β =∞∑

n=0

(2n− 1)!!(2n)!!

mn

∫ π

20

sen2n β dβ

K (m) =∞∑

n=0

(2n− 1)!!(2n)!!

mn

[(2n− 1)!!

(2n)!!· π

2

]=

π

2

∞∑

n=0

[(2n− 1)!!

(2n)!!

]2

mn

Del mismo modo se obtiene para las integrales elıpticas completas de segunda especie que

E (m) =∫ π

20

√1−m sen2 βdβ =

π

2

[1−

∞∑

n=1

[(2n− 1)!!

(2n)!!

]2 mn

2n− 1

]

Finalmente podemos mencionar la relacion de “recurrencia” de Legendre para las Integrales Elıpticascompletas. Ella es

E (m) K (1−m) + E (1−m) K (m)−K (m)K (1−m) =π

2

22

Las integrales elıpticas de primera y segunda especie, incompletas y completa deben resolverse numeri-camente y tradicionalmente estan tabuladas en algunas tablas integrales 1. En nuestros dıas tambienpueden ser resueltas numericamente utilizando comandos de manipuladores simbolicos2.

6.0.2. ¿ Cuan buena es la aproximacion lineal ?

Utilizando la expansion en serie de la Integral Elıptica completa de primera especie (8) del pendulofısico, tendremos que se cumple

T = 4

√L

g

∫ π

20

dβ√1− sen2

(θmax

2

)sen2 β

= 4

√L

gF

(π

2\ sen2

(θmax

2

))=⇒

T = 2π

√L

g

∞∑

n=0

[(2n− 1)!!

(2n)!!

]2 (sen

(θmax

2

))2n

mas aun, dado que sen(

θmax2

)= 1

2θmax − 148θ3

max + 13840θ5

max + O(θ7max

)y que T0 =

2π

ω0= 2π

√Lg

tendremos

T = 2π

√L

g

∞∑

n=0

[(2n− 1)!!

(2n)!!

]2 (12θmax − 1

48θ3max +

13840

θ5max + O

(θ7max

))2n

=⇒

T ≈ T0

(1 +

116

θ2max +

113072

θ4max

)

y si realizamos un estimado de las correcciones al problema lineal que conlleva esta expansion veremosque aun para angulos θmax =

π

4las correcciones son del orden de un pırrico 4%, con lo cual la

aproximacion lineal resulta bien razonable. Para angulos θmax & 1 las correcciones comienzan a sersignificativas y todo este esfuerzo de integracion empieza a tener sentido. La siguiente tabla da unaidea mas clara de este cambio en el perıodo del penulo y los errores relativos porcentuales respecto

al perıodo del pendulo fısico linealizado T0 =2π

ω0,cuando se consideran distintos valores del angulo

maximo, θmax

T0 =2π

ω0= 2,83845 θmax =

π

12θmax =

π

6θmax =

π

4θmax =

π

3θmax =

π

2θmax =

2π

3T 2,85066 2,88786 2,95191 3,04617 3,35034 3,89685

ε = 100|T − T0|

T0,42821 1,71109 3,84368 6,81916 15,2786 37,1283

1Abramowitz, M. y Stegun I.A (1964) Handbook of Mathematical Functions Dover, New York2En el caso de MAPLEV se puede proceder directamente evaluando numericamente la integral (8) a traves del comando

evalf(int(...)) o mediante la funcion de biblioteca EllipticF(z,k) donde z= β es al argumento del seno y k= sen(

θ02

)el parametro (consulte la ayuda de MAPLE para mas detalles).

23

6.1. El Pendulo Fısico: Integracion Numerica

Tal y como indicamos en la primera seccion de este proyecto, procedemos a convertir una ecuacionde segundo orden en un sistema de ecuaciones diferenciales de dos ecuaciones diferenciales de primerorden. Ası, del mismo modo que en la ecuacion (??) podremos escribir:

θ (t) = −ω0 sen (θ) =⇒

dθ(t)dt

= ϕ(t)dϕ(t)

dt= −ω0 sen (θ(t))

con lo cual podemos adimencionalizar de dos varias formas, dependiendo de las condiciones iniciales

del movimiento. Si adicionalmente hemos adimencionalizado con t =t

tfinalpor lo que 0 ≤ t ≤ 1 y

1tfinal

d (·)dt

=d (·)dt

y, adcionalmente: ϕ =ϕ

ϕ0, con ϕ0 =

dθ(t)dt

∣∣∣∣t=0

6= 0. De este modo el sistema queda

escrito

dθ(t)dt

= ϕ(t) =⇒ d θ(t)dt

= ϕ0 tfinal ϕ(t) =⇒ d θ(t)dt

= Λ ϕ(t)

dϕ(t)dt

= −ω0 sen (θ(t)) =⇒ d ϕ(t)dt

= −ω20tfinal

ϕ0sen

(θ(t)

)=⇒ d ϕ(t)

dt= −Γ sen

(θ(t)

)

Notese que las cantidades ϕ(t), θ(t), t, Γ y Λ son adminensionales. Acto seguido procedemos a inte-grar numericamente el sistema de ecuaciones3.

La figura (21) ilustra la evoluciıon del angulo θ (t) vs t, con 0 ≤ t ≤ 10 del Pendulo Fısico, para

distintos valores de la velocidad angular inicial:dθ(t)dt

= θ(t) = ϕ(t) = 3,5, 3,9, 4, 4,1, 4,5. Mientras que

la figura (22) (y tambien la figura (20)) representan la evolucion del sistema en el espacio de fases.

θ (t) vsdθ(t)dt

= ϕ(t). Las curvas cerradas en esta grafica corresponden a las curvas oscilantes de la

figura (21). Dado que el sistema parte de θ0 = θ (t = 0) y seleccionamos el nivel de energıa potencialigual a cero allı, cada una de estas curvas representan un valor de la energıa cinetica inicial. El caso

Ec =12mL2θ2

0 = mg2L corresponde a la separatrız, vale decir, la orbita que separa las curvas cerradasde las abierta. Es claro que en este caso le movil “subira” y alcanzara un equilibrio inestable en laposicion vertical. En la figura (21) este caso viene ilustrado por la curva que se convierte en horizontal0, 25 ≤ t ≤ 0, 5, luego a partir de t ≈ 0, 5, la inexactitud del calculo numerico genera pertubaciones queen teorıa no debieran existir.

Ec =12mL2θ2

0 = mg2L

3En MAPLEV podemos integra el sistema de dos maneras distintas. La primera haciendo uso del coman-do dsolve({sysED,CI}, numeric, vars, options) donde sysED es el sistema de ecuaciones diferenciales, CI

sus condiciones iniciales. Si necesitaramos un analisis grafico es mucho mas util el paquete DEtools.

24

Figura 21: Integracion numerica (θ(t)

vs t, con 0 ≤ t ≤ 10) del Pendulo Fısico, para distintos valores

de la velocidad angular inicial:dθ(t)dt

= ϕ(t) = 3,5, 3,9, 4, 4,1, 4,5.

Figura 22: Digrama de Fase para el Pendulo Fısico

25