UNIDAD II: MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SESIÓN 9: MÉTODOS ITERATIVOS DE JACOBI Y GAUSS - SEIDEL

Ejercicios Propuestos

Nivel 1

1. Aplique el método de Jacobi para los siguientes sistemas dados. Tome el vector cero como la aproximación inicial y trabaje con una exactitud de cuatro dígitos significativos hasta que dos iteraciones sucesivas coincidan dentro del 0.001 de cada variable. En cada caso, compare su respuesta a la solución exacta obtenida con el empleo de cualquier método directo que usted desee.

a. { 7 x− y=6x−5 y=−4

b. {2x+ y=5x− y=1

c. {4.5 x−0.5 y=1x−3.5 y=−1

d. { 20 x+ y−z=17x−10 y+z=13−x+ y+10 z=18

e. { 3 x+ y=1x+4 y+z=1y+3 z=1

f. { 3x− y=1−x+3 y−z=0− y+3 z−w=1−z+3w=1

En los ejercicios 2 a 6, repita el ejercicio dado utilizando el método de Gauss-seidel. Tome el vector cero como la aproximación inicial y trabaje con una exactitud de cuatro dígitos significativos hasta que dos iteraciones sucesivas coincidan dentro del 0.001 en cada variable. Compare el número de iteraciones requeridas por el método de Jacobi y el de Gauss – Seidel para alcanzar dicha solución aproximada.

2. Ejercicio 1 a.

3. Ejercicio 1 b.

4. Ejercicio 1 c.

5. Ejercicio 1 d.

6. Ejercicio 1 e.

7. Ejercicio 1 f.

ÁLGEBRA LINEAL Y NUMÉRICA

Nivel 2

8. En los siguientes ejercicios, calcule las primeras cuatro iteraciones, usando el vector cero como la aproximación inicial, para mostrar que el método de Gauss- Seidel diverge. Luego demuestre que las ecuaciones pueden ser reacomodadas para dar una matriz de coeficientes diagonal estrictamente dominante, y aplique el método de Gauss- Seidel para conseguir una solución aproximada que sea precisa hasta 0.001.

a. { x−2 y=33x+2 y=1 b. {x−4 y+2 z=22 y+4 z=16 x− y−2 z=1

9. En los siguientes ejercicios, la matriz de coeficientes no es diagonal estrictamente dominante, ni las ecuaciones pueden ser reacomodadas para hacerla así. No obstante tanto el método de Jacobi como el método de Gauss-Seidel convergen de cualquier modo. Pruebe que esto es verdadero con respecto al método de Gauss –Seidel, para lo cual comience con el vector cero como la aproximación inicial y obtenga una solución que sea precisa hasta 0.001.

a. {−4 x+5 y=14x−3 y=−7 b. { 5 x−2 y+3 z=−8x+4 y−4 z=102

−2x−2 y+4 z=−90

10. Continúe realizando iteraciones en el ejercicio 9 a. para obtener una solución que sea precisa hasta 0.001.

11. Continúe realizando iteraciones en el ejercicio 9 b. para obtener una solución que sea precisa hasta 0.001.

Nivel 3

12. Resuelva los ejercicios 22, 26 y 27 de las páginas 130-131 del libro Álgebra Lineal Una Introducción moderna de David Poole, segunda Edición.(512.5 Pool- Biblioteca UPN - Lima)

https://www.youtube.com/watch?v=4o8MTK12OzM --- VALORES PROPIOS DE UNA MATRIZ

ÁLGEBRA LINEAL Y NUMÉRICA