OBJETIVO GENERAL:

- Desarrollar un programa mediante el cual se pueda obtener el valor de Pi aproximado,

mediante los diferentes métodos de cálculo.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

- Adquirir más destreza en desarrollar programas en Matlab.

- Conocer más a fondo algunas de las funciones principales que tiene Matlab.

- Poner en práctica los conocimientos adquiridos en clase.

INTRODUCCION: Desde los inicios de la humanidad, ha existido el interés por descubrir las relaciones entre diversos aspectos tanto naturales como sociales y científicos, que permitan entender el funcionamiento del Universo Los matemáticos de todos los tiempos no han escapado a esta tendencia, y han centrado su atención en uno de los fenómenos más fascinantes de la matemática: la relación entre el perímetro y el diámetro de la circunferencia (π ) En este documento, se realiza un repaso histórico de esta cantidad, así como de los diversos intentos para calcularlo. También se agregan al final algunas curiosidades al respecto del número. El número π es un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, lo cual fue demostrado por Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También se sabe que es un número trascendente, es decir que no es la de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.

METODOS DEL CÁLCULO DE PI

1. RESUMEN HISTÓRICO

La necesidad de calcular la longitud de una circunferencia conociendo su diámetro fue común en varias civilizaciones antiguas, por lo cual no es de sorprender que desde tiempos antiguos ya existan referencias al valor de π, si bien no se le conocía con ése símbolo ni su valor exacto. 1650 AC: En el Papiro Rhind, el escriba Ahmes calcula el área de un círculo de diámetro 9 usando π = 3,1405.

300 AC: en la Biblia se dan instrucciones para la fabricación de un “mar” que era un cilindro de 30 codos de circunferencia y 10 de diámetro, con lo cual se concluye que π=3 (Primera de Reyes, 7:23) 215 AC: Arquímedes de Siracusa, descubre la tradicional fórmula del área de un círculo, y calculó pi con un valor entre 3,1412 y 3,1428. Un éxito histórico.

El método usado por Arquímedes polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados. 200 AC: El matemático Chino Wang Fang definió el valor de pi entre 3,1410 y 3,1427 que, a pesar de ser muy bueno, no lo fue tanto como el de Arquímedes.

150 AC: Claudio Ptolomeo calculó pi como 377/120 1500 DC: Al Cashir, quien vivió en la antigua Samarcanda, usando un polígono inscrito de 2,832 lados, obtuvo pi coon 17 cifras decimales. 1706: La notación con la letra griega “π” proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμ" (perímetro) de un círculo. Esta notación fue usada por primera por el matemático galés William Jones. 1748: El uso de la letra π fue popularizada por el matemático Leonhard Euler ya que la adoptó en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal». Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen ) o como constante de Arquímedes (OJO: no se debe confundir con el número de Arquímedes).

2. HISTORIA MODERNA

Desde el aparecimiento de las primeras computadoras, en 1946, se dedicaron muchos esfuerzos a los cálculos utilizando mayor cantidad de decimales, lo que se convirtió en una forma de medir la potencia de las máquinas.

2.1. METODOS PRECOMPUTACIONALES PARA CÁLCULO DE π Los métodos basados en series infinitas se aplicaron en una gran gama de estilos. Aunque todos ellos tienen la ventaja de no requerir cálculos complicados, tienen una lenta convergencia, es decir que se necesitan muchos términos para obtener un valor apropiado. 1. METODO DE FRANCOIS VIETA (Siglo XVI)(1593) Este método fue usado en 1609 por Ludolf van Ceulen para calcular el valor de pi con 35 decimales, por lo que a pi se le llamaba “Constante de Ludolf”

2. METODO DE JOHN WALLIS(1655) El matemático inglés John Wallis desarrolló el que ahora se conoce como Producto de Wallis

3. MÉTODO DE ISAAC NEWTON(1655) Aunque Newton también desarrolló una fórmula para el cálculo de PI, él mismo reconoció que no le convencía. La fórmula es la siguiente:

4. MÉTODO DE LEIBNITZ-GREGORY(1671) Aunque en realidad fue descubierto antes, se le llama así por haber sido pulido y publicado por Lebnitz y Gregory por separado. La forma de la serie es:

5. MÉTODO DE EULER: Aunque aparentemente Pi y los números primos no tienen relación, Euler descubrió una curiosa y construyó la siguiente serie que aproxima el valor de PI:

6. MÉTODO DE MONTECARLO

Sea A el área de un círculo, r el radio del círculo: A=πr2. Para el caso unitario r=1, A=π.

Para genera los puntos utilizamos dos sucesiones de números aleatorios Xo y Yo. Si queremos saber si un punto pertenece al cuarto de círculo, establecemos, a partir de la relación pitagórica, la condición de pertenencia: √(Xo2+Yo2)<1. Se verifica que el punto anterior, el punto pertenece al cuarto punto del círculo (y al cuadrado); de lo contrario pertenecerá sólo al cuadrado

3. CÓDIGO DEL PROGRAMA

close all clear all clc fprintf('*************************************************************

\n'); fprintf('\t\t\tESCUELA POLITECNICA NACIONAL\n');

fprintf('\t\t\t\tSIMULACION DE SOFTWARE\n\n'); fprintf('\t\t\t\tMETODOS PARA CALCULAR PI\n\n'); fprintf('-------------------------------------------------------------

\n'); fprintf('\t\t\t\tRealizado por: \n'); fprintf('\t\t\t\t\t\tRENATO BECERRA J \n'); fprintf('\t\t\t\t\t\tGRUPO: GR 7 \n'); fprintf('\t\t\t\t\t\tCARRERA: INGENIERÍA ELÉCTRICA\n'); fprintf('*************************************************************

\n'); salir = 's'; while strcmp (salir,'s') || strcmp (salir,'S') disp ('-------------------------Menú-----------------------------'); disp ('..........................................................'); disp ('1. Método de MONTECARLO'); disp ('2. Método de WALLIS'); disp ('3. Método de FRANCOIS VIETI'); disp ('4. Método de NEWTON'); disp ('5. Método de GREGORY'); disp ('6. Método 1 DE EULER'); disp ('7. Método 2 DE EULER'); disp ('8. Método 3 DE EULER'); disp ('9. Salir'); disp ('----------------------------------------------------------'); op = input ('Escoja una opción: ');

switch op case 1 fprintf('\t\t\t\tMETODO DE MONTECARLO\n'); nrand = input('Cuantas veces quieres lanzar el dardo?: '); ninside = 0; for n=1:nrand xrand = rand; %genera puntos en x aleatorios entre 0 y 1 yrand = rand; %genera puntos en y aleatorios entre 0 y 1 rrand = xrand^2+yrand^2; % encuentra la distancia al

origen if(rrand < 1) ninside = ninside +1; end end piaprox = 4*ninside/nrand; %divide mi área de dardos aproximada dentro del circulo para %mis dardos totales lanzados fprintf('\nAproximación de pi= %f\n',piaprox ) case 2 fprintf('\t\t\t\tMETODO DE WALLIS\n'); N = input('Ingrese el número de iteraciones '); Pi = 2; for i=1:N if (mod(i,2)==0)%Compara si el nummero es par U = i;%Si es par al numerador D = i+1;%Si es impar al denumerador else %Caso contrario al reves U = i+1; D = i; end; Pi = Pi * (U/D); %itera hasta el valor próximo a Pi end Pi case 3 fprintf('\t\t\t\tMETODO DE FRANCOIS VIETI\n');

N = input('Ingrese el número de iteraciones '); m = 1/2; Pi = 1; for i=1:N k = sqrt(m); %saco la raíz cuadrada de m for j=1:i-1 k = sqrt(k * m + m);%Vuelvo a sacar la raíz del

resultado anterior end Pi = Pi * k;% itero end Pi = 2/Pi case 4 fprintf('\t\t\t\tMETODO DE NEWTON\n'); N = input('Ingrese el número de iteraciones '); Pi = 1/2; for i=1:N k = 2*i + 1; U = 1; D = 1; for j=1:2*i if (mod(j,2)==0) D = j * D; else U = j * U; end; end Pi = Pi + ( (U/D) * (1/((k)*(2.^k))) ); end Pi = 6*Pi case 5 fprintf('\t\t\t\tMETODO DE GREGORY\n'); N = input('Ingrese el número de iteraciones '); Pi = 0; for i=1:N k = (i*2)-1; if (mod(i,2)==0)%Compara si el número es par Pi = Pi - (1/k);% Si es par resta a la división else Pi = Pi + (1/k);% Si es impar suma a la división end; end Pi = 4*Pi case 6 fprintf('\t\t\t\tMETODO 1 DE EULER\n'); N = input('Ingrese el número de iteraciones '); Pi = 0; for i=1:N Pi = Pi + (1/(i*i));%Itera end Pi = sqrt(6*Pi) case 7 fprintf('\t\t\t\tMETODO 2 DE EULER\n'); N = input('Ingrese el número de iteraciones '); Pi = 0; for i=1:N k = (i*2)-1; if (mod(i,2)==0) Pi = Pi - (1/(k^3)); else Pi = Pi + (1/(k^3));

end; end Pi = (32*Pi).^(1/3) case 8 fprintf('\t\t\t\tMETODO 3 DE EULER\n'); N = input('Ingrese el número de iteraciones '); Pi = 0; for i=1:N Pi = Pi + (1/(i.^4)); end Pi = (90*Pi).^(1/4); Pi

otherwise disp('HASTA LA PROXIMA') break

end disp ('-----------------------------------'); fprintf('CONTINUAR = "S" o "s"\n'); disp(' SALIR = Presione cualquier tecla'); disp ('-----------------------------------'); salir=input('\nDesea continuar? ','s');

pause(1) clc end

CONCLUSIONES

Existen muchos métodos de cálculo de pi, y muchos matemáticos han dedicado sus esfuerzos a

encontrarle decimales. Los métodos más habituales consisten en la suma de series, como los

ya mencionados en el presente trabajo, existen muchos más pero hemos dado importancia a

los más sobresalientes y que han influido para el resto de cálculos.

La idea del cálculo de Pi está en encontrar el valor más aproximado, cada uno de los métodos

tiene una aproximación a su valor “real”, el valor dependerá del número de iteraciones que

realicemos, mientras mayor sea el número de iteraciones, mas cercano será al valor “real ”de

Pi.

En el presente trabajo se han realizado algunos métodos para el cálculo de Pi, los mismos que

están basados en series matemáticas.

BIBLIOGRAFÍA

http://neoparaiso.com/logo/valor-de-pi.html

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/javas/calcula_pi.htm

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/javas/cal_pimon.htm

http://documentation.ofset.org/drgeo/es/drgenius_94.html

http://www.matematicas.profes.net/archivo2.asp?id_contenido=37976

http://aitoreus.blogspot.com/2008/12/clculo-de-pi-en-fortran.html