CAPITULO III MTODO DE SIMPLIFICACIN

3.1 LEYES DE DE MORGAN Se trata simplemente de una combinacin de compuertas, de tal modo de encontrar una equivalencia entre ellas, esto viene a consecuencia de que en algunos casos no dispones del integrado que necesitas, pero si de otros que podran producir los mismos resultados que estas buscando. Para interpretar mejor lo que viene, considera a las seales de entrada como variables y al resultado como una funcin entre ellas. El smbolo de negacin (operador NOT) lo representa por "~". .: 1 Ley: El producto lgico negado de varias variables lgicas es igual a la suma lgica de cada una de dichas variables negadas. Si tomamos un ejemplo para 3 variables tendramos: ~ (a.b.c) = ~a + ~b + ~c El primer miembro de esta ecuacin equivale a una compuerta NAND de 3 entradas, representada en el siguiente grfico y con su respectiva tabla de verdad.

El segundo miembro de la ecuacin se lo puede obtener de dos formas:

Fjate que la tabla de verdad es la misma, ya que los resultados obtenidos son iguales. Acabamos de verificar la primera ley. .: 2 Ley: La suma lgica negada de varias variables lgicas es igual al producto de cada una de dichas variables negadas... ~ (a + b + c) = ~a . ~b . ~c El primer miembro de esta ecuacin equivale a una compuerta NOR de 3 entradas y la representamos con su tabla de verdad:

El segundo miembro de la ecuacin se lo puede obtener de diferentes forma, aqu cit solo dos...

Nuevamente... Observa que la tabla de verdad es la misma que para el primer miembro en el grfico anterior. Acabamos as de verificar la segunda ley de De Morgan. Para concluir con estas dos leyes puedes llegar a una gran variedad de conclusiones. Por ejemplo: Para obtener una compuerta AND: Puedes utilizar una compuerta NOR con sus entradas negadas, o sea: a. b = ~ (~a + ~b) Para obtener una compuerta OR: Puedes utilizar una compuerta NAND con sus entradas negadas, es decir...

a + b =~ (~a. ~b) Para obtener una compuerta NAND: Utiliza una compuerta OR con sus dos entradas negadas, como indica la primera ley de De Morgan: ~ (a.b) = ~a + ~b Para obtener una compuerta NOR: Utiliza una compuerta AND con sus entradas negadas, eso dice la 2 ley de De Morgan, as que, habr que obedecer: ~(a + b) = ~a. ~b La compuerta OR-EX: Tiene la particularidad de entregar un nivel alto cuando una y slo una de sus entradas se encuentra en nivel alto. Si bien su funcin se puede representar como sigue: s = a. ~b + ~a. b Te puedes dar cuenta que esta ecuacin te indica las compuertas a utilizar, y terminars en esto:

Para obtener una compuerta NOREX: agregas una compuerta NOT a la salida de la compuerta OR-EX vista anteriormente y ya la tendrs. Recuerda que su funcin es...

Para obtener Inversores (NOT): Puedes hacer uso de compuertas NOR o compuertas NAND, simplemente uniendo sus entradas.

3.2 EL MAPA DE KARNAUGH El mapa de Karnaugh es un mtodo grfico que se utiliza para simplificar una ecuacin lgica para convertir una tabla de verdad a su circuito lgico correspondiente en un proceso simple y ordenado. Aunque un mapa de Karnaugh (que de aqu en adelante se abreviar como mapa K) se puede utilizar para resolver problemas con cualquier

nmero de variables de entrada, su utilidad prctica se limita a seis variables. El siguiente anlisis se limitara a problemas de hasta cuatro entradas, ya que los problemas con cinco y seis entradas son demasiado complicados y se resuelven mejor con un programa de computadora. Formato del mapa de Kamaugh El mapa K, al igual que una tabla de verdad, es un medio para demostrar la relaci6n entre las entradas l6gicas y la salida que se busca. La figura +-11 da tres ejemplos de mapas K para dos, tres y cuatro variables, junto con las tablas de verdad correspondientes. Estos ejemplos ilustran varios puntos importantes: 1. La tabla de verdad da el valor de la salida X para cada combinaci6n de valores de entrada. El mapa K proporciona la misma informaci6n en un formato diferente. Cada caso en la tabla de verdad corresponde a un cuadrado en el mapa. Por ejemplo, en la figura 4-11 (a),

Figura 4-11 Mapas de Karnaugh y tablas de verdad para (a) dos, (b) tres y (c) cuatro variables.

La condicin A = 0, B = 0 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado A' B' en el mapa K. Ya que la tabla de verdad muestra X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el cuadrado A'B' en el mapa K. En forma similar, la condicin A = 1, B = 1 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado AB del mapa K, ya que X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el cuadrado AS. Los dems cuadrados se llenan con ceros. Esta misma idea se utiliza en los mapas de tres y cuatro variables que se muestran en la figura. 2. Los cuadrados del mapa K se marcan de modo que los cuadrados horizontalmente adyacentes so1o difieran en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior de la izquierda del mapa de cuatro variables es A'B'C'D' en tanto que el cuadrado que se

encuentra a la derecha es A'B'C'D (solo la variable D es diferente). De la misma manera, los cuadrados verticalmente adyacentes difieren so1o en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior izquierdo es A'B'C'D' en tanto que el que se encuentra a la derecha es A'BC'D' (solo la variable B es diferente). Note que cada cuadrado del rengln superior se considera adyacente al correspondiente cuadrado del rengln inferior .Por ejemplo, el cuadrado A'B'CD del rengln superior es adyacente al cuadrado AB'CD del rengl6n inferior porque so1o difieren en la variable A. Haga de cuenta que la parte superior del mapa se dobla hasta tocar la parte inferior. Asimismo, los cuadrados del extremo izquierdo de la columna son adyacentes a los del extremo derecho de la columna. 3. A fin de que los cuadrados que son adyacentes tanto vertical como horizontalmente difieran en una sola variable, el marcado de arriba hacia abajo debe hacerse en el orden indicado, -A'B', A' B, AB, AB'. Lo anterior tambin es vlido para el marcado de izquierda a derecha: 4. Una vez que el mapa K se ha llenado con ceros y unos, la expresi6n de suma de productos para la salida X se puede obtener operando con OR aquellos que contienen un 1. En el mapa con tres variables de la figura 4-11(b), los cuadrados A'B'C', A'BC', A BC' y ABC contienen un 1, de modo que X = A'B'C' + A'B'C + A'BC' + ABC'. Agrupamiento: La expresin de salida X se puede simplificar adecuadamente combinando los cuadros en el mapa K que contengan 1. El proceso para combinar estos unos se denomina agrupamiento. Agrupamiento de grupos de dos (pares) :La figura 4-12(a) es el mapa K de una tabla de verdad con tres variables. Este mapa contiene un par de unos que son verticalmente adyacentes entre si; el primero representa A'BC' y, el segundo ABC'. Note que en estos dos trminos slo la variable A aparece en forma normal y complementada (B y C' permanecen sin cambio). Estos dos trminos se pueden agrupar (combinar) para dar un resultante que elimine la variable A, ya que sta aparece en forma normal y complementada. Esto se demuestra fcilmente como sigue:

Este mismo principio es vlido para cualquier par de unos vertical u horizontalmente adyacentes. La figura 4-12(b) muestra un ejemplo de dos unos horizontalmente adyacentes. Estos se pueden agrupar y luego eliminar la variable C, ya que aparecen en forma no complementada y complementada para dar una resultante de X = A' B. Otro ejemplo se da en la figura 4-12{c). En un mapa K los cuadrados de los renglones superior e inferior se consideran adyacentes. As, los dos unos en este mapa se pueden repetir para dar una resultante de A'B'C' + AB'C' + B'C'.

La figura 4-12(d) muestra un mapa K que tiene dos pares de unos que se pueden agrupar. Los dos unos en el rengln superior son horizontalmente adyacentes. Los dos unos en el rengln inferior son, asimismo, adyacentes puesto que en un mapa K los cuadrados de las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran adyacentes. Cuando se agrupa el par superior de unos, la variable D se elimina (ya que aparece como D y D') para dar el trmino A'B'C. El agrupamiento del par inferior elimina la variable C para dar el trmino AB'C'. Estos dos trminos se operan con OR a fin de obtener el resultado final para X. Para resumir lo anterior: El agrupamiento de un par de unos adyacentes en un mapa K elimina la variable que aparece en forma complementada y no complementada.

El agrupamiento cudruple de unos elimina las dos variables que aparecen en la forma complementada y no complementada.

Agrupamiento de grupos de cuatro (cudruples) Un mapa K puede contener Un grupo de cuatro unos que sean adyacentes entre s. Este grupo se denomina cudruple. La figura 4-13 muestra varios ejemplos de cudruples. En la parte (a) los cuatro unos son verticalmente adyacentes y en la parte (b) son horizontalmente adyacentes. El mapa K de la figura 4 - 13(c) contiene cuatro unos en un cuadrado y se consideran adyacentes entre s. Los cuatro unos en la figura 4-13(d) tambin son adyacentes igual que los de la figura 4 - 13(e) ya que, como mencionamos anteriormente. Los renglones superior e inferior y las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran adyacentes entre s. Cuando se repite un cudruple, el trmino resultante contiene slo las variables que no cambian de forma para todos los cuadrados del cudruple. Por ejemplo, en la figura 4 13(a) los cuatro cuadrados que contienen un uno son A'B'C, A'BC, ABC y AB'C. El anlisis de estos trminos revela que solamente la variable C permanece sin alterarse (A y B aparecen en forma complementada y no complementada). De este modo, la expresin resultante para X es simplemente X = C. Esto se puede demostrar de la siguiente manera:

Para poner otro ejemplo, consideramos las figura 4 - 13(d), donde los cuatro cuadrados que contienen unos son ABC'D', A'B'C'D', ABCD', y AB'CD'. El anlisis de estos

trminos indica que slo las variables A y D' permanecen sin cambios, as que la expresin simplificada para X es X = AD Esto se puede probar de la misma manera anteriormente utilizada. El lector debe verificar cada uno de los otros casos de la figura 4 -13 para comprobar que sean las expresiones indicadas para X. Para resumir: Agrupamiento de grupos en ocho (octetos) Un grupo de ocho unos que son adyacentes entre s se denomina octeto. En la figura 4-14 se dan varios ejemplos de octetos. Cuando

Porque solo una de ellas permanece inalterada. Por ejemplo, el anlisis de los ocho cuadrados agrupados en la figura 14 -14(a) muestra que so1o la variable B est en la misma forma para los ocho cuadrados; las otras variables aparecen en forma complementada y no complementada. As, para este mapa, X = B. El lector puede verificar los resultados de los otros ejemplos en la figura 4 - 14. Para resumir: El agrupamiento de un octeto de unos elimina las tres variables que aparecen en forma complementada y no complementada.

3.3 MTODO DE QUINE-MC CLUSKEY MTODO DE QUINE MCCLUSKEY Tambin llamado mtodo tabular, se utiliza para reducir ecuaciones booleanas. El mtodo se divide en dos partes: encontrar los implicantes primos y obtener las ecuaciones a partir de la tabla de implicantes primos. ENCONTRAR IMPLICANTES PRIMOS 1. Se toman los mintrminos de la tabla de verdad, y se convierten a su equivalente en binario. m(0,1,2,4,5,7,8,9,10,12,13, 15)

2. Se colocan en la Columna I, los mintrminos ordenados de menor a mayor nmero de unos.

3. Se comparan los mintrminos que slo tienen una diferencia en sus bits, formando la siguiente columna. En esta columna se escriben los mintrminos comparados y el nuevo trmino, donde se marcar con un guin ( _ ) esa diferencia. Cada trmino que pase a la siguiente columna deber marcarse ( )

4. El paso 3 se repetir hasta que ya no sea posible formar nuevas columnas:

5. Si en alguna de las columnas se repiten elementos, se toma solamente uno para formar la siguiente columna.

TABLA DE IMPLICANTES PRIMOS 1. Se dibuja una tabla, en las columnas se acomodan los mintrminos. 2. Acomodar en los renglones los trminos de la ltima columna y de las columnas anteriores que no fueron marcados. 3. Se coloca una X en donde cruzan los trminos con los mintrminos.

4. Se agrupan verticalmente las X 5. Las X que quedan solas son las que marcan cul trmino pasar a ser parte de la ecuacin final. Esta X eliminar a las que se encuentran en su mismo rengln y se deben marcar los mintrminos involucrados.

6. Si al final quedan mintrminos sin marcar, se tomar un trmino que los involucre, tomando el mismo criterio que en mapas de Karnaugh: agrupar el mayor nmero de mintrminos en el menor nmero de grupos posibles. 7. Los guiones representan a las variables que se eliminan, los 1 a las variables y los 0 a las variables negadas, formando cada una de las partes de la ecuacin final.