métodos de eliminacion de ecuaciones
TRANSCRIPT
Jesus Quintildeonez
CI 21300174
Escuela de Mecaacutenica Mension Mantenimiento
Universidad Fermiacuten Toro
Unidad II
Meacutetodos de Ecuaciones Lineales
Meacutetodos De Eliminacioacuten Gaussiana
Consiste en convertir a traveacutes de operaciones baacutesicas llamadas operaciones
de rengloacuten un sistema en otro equivalente maacutes sencillo cuya respuesta
pueda leerse de manera directa El meacutetodo de eliminacioacuten Gaussiana es el
mismo para sistemas de ecuaciones 2times2 3times3 4times4 y asiacute sucesivamente
siempre y cuando se respete la relacioacuten de al menos una ecuacioacuten por cada
variable
Antes de ilustrar el meacutetodo con un ejemplo es necesario primeramente
conocer las operaciones baacutesicas de rengloacuten las cuales son presentas a
continuacioacuten
1 Ambos miembros de una ecuacioacuten pueden multiplicarse por una constante
diferente de cero
2 Los muacuteltiplos diferentes de cero de una ecuacioacuten pueden sumarse a otra
ecuacioacuten
3 El orden de las ecuaciones es intercambiable
Una vez conocidas las operaciones que en mi afaacuten por resolver un sistema
de ecuaciones puedo realizar procedo a ilustrar el meacutetodo con un ejemplo
Se simplificaraacute el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera
ecuacioacuten y sumando estaacute a la segunda Entonces
Sumado los resulta
La nueva ecuacioacuten se puede sustituir por cualquiera de las dos Ahora
tenemos
Luego la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera obteniendo
Acto seguido la segunda ecuacioacuten se divide entre -3
Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera
En este momento ya tenemos el valor de x3 ahora simplemente se procede
a hacer la sustitucioacuten hacia atraacutes y automaacuteticamente se van obteniendo los
valores de las otras incoacutegnitas Se obtendraacute
El Meacutetodo Gauss Jordan
El Meacutetodo de eliminacioacuten de Gauss Jordan es un meacutetodo por el cual pueden
resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n nuacutemeros de variables
encontrar matrices y matrices inversas Para resolver sistemas de
ecuaciones lineales aplicando este meacutetodo se debe en primer lugar anotar
los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su
notacioacuten matricial
Descomposicioacuten LU
Su nombre se deriva de las palabras Lower (inferior) y Upper (superior)
Analizando coacutemo una matriz original se descompone en dos matrices
triangulares una superior y otra inferior
La descomposicioacuten LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de
la matriz A proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa
o resolver sistemas de aacutelgebra lineal
Primeramente se debe obtener la matriz L y la matriz U
L es una matriz diagonal inferior con nuacutemeros 1 sobre la diagonal U es una
matriz diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene
que haber nuacutemeros 1
El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U] es decir
obtener la matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U]
Factorizacioacuten de Cholesky
Una matriz A simeacutetrica y positiva definida puede ser factorizada de manera
eficiente por medio de una matriz triangular inferior y una matriz triangular
superior
Para una matriz no singular la descomposicioacuten LU nos lleva a considerar una
descomposicioacuten de tal tipo A = LU dadas las condiciones de A simeacutetrica y
definida positiva no es necesario hacer pivoteo por lo que eacutesta factorizacioacuten
se hace eficientemente y en un nuacutemero de operaciones la mitad
de LU tomando la forma donde L (la cual podemos verla como la
raiacutez cuadrada de A) es una matriz triangular inferior donde los elementos de
la diagonal son positivos
Para resolver un sistema lineal Ax = b con A simeacutetrica definida positiva y
dada su factorizaciograven de Cholesky primero debemos
resolver Ly = b y entonces resolver para lograr x
Una variante de la factorizacioacuten de Cholesky es de la forma
donde R es una matriz triangular superior en algunas aplicaciones se desea
ver la matriz en esa forma y no de otra
Factorizacioacuten QR
Esta factorizacioacuten es uacutetil para resolver sistemas de ecuaciones
lineales problemas de miacutenimos cuadrados y problemas de eigen valores
Las maneras maacutes comunes de calcular la factorizacioacuten QR son aplicando
bull Las transformaciones de Householder
bull Las rotaciones de Givens
bull El proceso de ortogonalizacioacuten de Gram-Schmidt
Metodo Gauss-Seidel
El Meacutetodo de Gauss-Seidel consiste en hacer iteraciones a partir de un
vector inicial para encontrar los valores de las incoacutegnitas hasta llegar a una
tolerancia deseada la diferencia radica en que cada vez que se desee
encontrar un nuevo valor de una xi ademaacutes de usar los valores anteriores de
las x tambieacuten utiliza valores actuales de las x encontradas antes
(desde x0 hasta xi-1)
La ecuacioacuten es la siguiente
Este proceso de usar valores actuales para hallar un valor de x puede facilitar
la convergencia del mismo
Meacutetodo De Jacobi
Consiste en suponer un valor inicial y luego usar un meacutetodo sistemaacutetico para
obtener una estimacioacuten refinada de la solucioacuten El Meacutetodo de Jacobi es uno
de los meacutetodos iterativos maacutes conocidos
Supoacutengase que se tiene un sistema 3 x 3 Si los elementos de la diagonal no
son todos cero la primera ecuacioacuten se puede resolver para x1 la segunda
para x2 y la tercera parax3 para obtener
En general para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones
con n incoacutegnitas el Meacutetodo de Jacobi para encontrar un valor k de una
variable x es el siguiente
Se simplificaraacute el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera
ecuacioacuten y sumando estaacute a la segunda Entonces
Sumado los resulta
La nueva ecuacioacuten se puede sustituir por cualquiera de las dos Ahora
tenemos
Luego la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera obteniendo
Acto seguido la segunda ecuacioacuten se divide entre -3
Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera
En este momento ya tenemos el valor de x3 ahora simplemente se procede
a hacer la sustitucioacuten hacia atraacutes y automaacuteticamente se van obteniendo los
valores de las otras incoacutegnitas Se obtendraacute
El Meacutetodo Gauss Jordan
El Meacutetodo de eliminacioacuten de Gauss Jordan es un meacutetodo por el cual pueden
resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n nuacutemeros de variables
encontrar matrices y matrices inversas Para resolver sistemas de
ecuaciones lineales aplicando este meacutetodo se debe en primer lugar anotar
los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su
notacioacuten matricial
Descomposicioacuten LU
Su nombre se deriva de las palabras Lower (inferior) y Upper (superior)
Analizando coacutemo una matriz original se descompone en dos matrices
triangulares una superior y otra inferior
La descomposicioacuten LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de
la matriz A proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa
o resolver sistemas de aacutelgebra lineal
Primeramente se debe obtener la matriz L y la matriz U
L es una matriz diagonal inferior con nuacutemeros 1 sobre la diagonal U es una
matriz diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene
que haber nuacutemeros 1
El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U] es decir
obtener la matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U]
Factorizacioacuten de Cholesky
Una matriz A simeacutetrica y positiva definida puede ser factorizada de manera
eficiente por medio de una matriz triangular inferior y una matriz triangular
superior
Para una matriz no singular la descomposicioacuten LU nos lleva a considerar una
descomposicioacuten de tal tipo A = LU dadas las condiciones de A simeacutetrica y
definida positiva no es necesario hacer pivoteo por lo que eacutesta factorizacioacuten
se hace eficientemente y en un nuacutemero de operaciones la mitad
de LU tomando la forma donde L (la cual podemos verla como la
raiacutez cuadrada de A) es una matriz triangular inferior donde los elementos de
la diagonal son positivos
Para resolver un sistema lineal Ax = b con A simeacutetrica definida positiva y
dada su factorizaciograven de Cholesky primero debemos
resolver Ly = b y entonces resolver para lograr x
Una variante de la factorizacioacuten de Cholesky es de la forma
donde R es una matriz triangular superior en algunas aplicaciones se desea
ver la matriz en esa forma y no de otra
Factorizacioacuten QR
Esta factorizacioacuten es uacutetil para resolver sistemas de ecuaciones
lineales problemas de miacutenimos cuadrados y problemas de eigen valores
Las maneras maacutes comunes de calcular la factorizacioacuten QR son aplicando
bull Las transformaciones de Householder
bull Las rotaciones de Givens
bull El proceso de ortogonalizacioacuten de Gram-Schmidt
Metodo Gauss-Seidel
El Meacutetodo de Gauss-Seidel consiste en hacer iteraciones a partir de un
vector inicial para encontrar los valores de las incoacutegnitas hasta llegar a una
tolerancia deseada la diferencia radica en que cada vez que se desee
encontrar un nuevo valor de una xi ademaacutes de usar los valores anteriores de
las x tambieacuten utiliza valores actuales de las x encontradas antes
(desde x0 hasta xi-1)
La ecuacioacuten es la siguiente
Este proceso de usar valores actuales para hallar un valor de x puede facilitar
la convergencia del mismo
Meacutetodo De Jacobi
Consiste en suponer un valor inicial y luego usar un meacutetodo sistemaacutetico para
obtener una estimacioacuten refinada de la solucioacuten El Meacutetodo de Jacobi es uno
de los meacutetodos iterativos maacutes conocidos
Supoacutengase que se tiene un sistema 3 x 3 Si los elementos de la diagonal no
son todos cero la primera ecuacioacuten se puede resolver para x1 la segunda
para x2 y la tercera parax3 para obtener
En general para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones
con n incoacutegnitas el Meacutetodo de Jacobi para encontrar un valor k de una
variable x es el siguiente
En este momento ya tenemos el valor de x3 ahora simplemente se procede
a hacer la sustitucioacuten hacia atraacutes y automaacuteticamente se van obteniendo los
valores de las otras incoacutegnitas Se obtendraacute
El Meacutetodo Gauss Jordan
El Meacutetodo de eliminacioacuten de Gauss Jordan es un meacutetodo por el cual pueden
resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n nuacutemeros de variables
encontrar matrices y matrices inversas Para resolver sistemas de
ecuaciones lineales aplicando este meacutetodo se debe en primer lugar anotar
los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su
notacioacuten matricial
Descomposicioacuten LU
Su nombre se deriva de las palabras Lower (inferior) y Upper (superior)
Analizando coacutemo una matriz original se descompone en dos matrices
triangulares una superior y otra inferior
La descomposicioacuten LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de
la matriz A proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa
o resolver sistemas de aacutelgebra lineal
Primeramente se debe obtener la matriz L y la matriz U
L es una matriz diagonal inferior con nuacutemeros 1 sobre la diagonal U es una
matriz diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene
que haber nuacutemeros 1
El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U] es decir
obtener la matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U]
Factorizacioacuten de Cholesky
Una matriz A simeacutetrica y positiva definida puede ser factorizada de manera
eficiente por medio de una matriz triangular inferior y una matriz triangular
superior
Para una matriz no singular la descomposicioacuten LU nos lleva a considerar una
descomposicioacuten de tal tipo A = LU dadas las condiciones de A simeacutetrica y
definida positiva no es necesario hacer pivoteo por lo que eacutesta factorizacioacuten
se hace eficientemente y en un nuacutemero de operaciones la mitad
de LU tomando la forma donde L (la cual podemos verla como la
raiacutez cuadrada de A) es una matriz triangular inferior donde los elementos de
la diagonal son positivos
Para resolver un sistema lineal Ax = b con A simeacutetrica definida positiva y
dada su factorizaciograven de Cholesky primero debemos
resolver Ly = b y entonces resolver para lograr x
Una variante de la factorizacioacuten de Cholesky es de la forma
donde R es una matriz triangular superior en algunas aplicaciones se desea
ver la matriz en esa forma y no de otra
Factorizacioacuten QR
Esta factorizacioacuten es uacutetil para resolver sistemas de ecuaciones
lineales problemas de miacutenimos cuadrados y problemas de eigen valores
Las maneras maacutes comunes de calcular la factorizacioacuten QR son aplicando
bull Las transformaciones de Householder
bull Las rotaciones de Givens
bull El proceso de ortogonalizacioacuten de Gram-Schmidt
Metodo Gauss-Seidel
El Meacutetodo de Gauss-Seidel consiste en hacer iteraciones a partir de un
vector inicial para encontrar los valores de las incoacutegnitas hasta llegar a una
tolerancia deseada la diferencia radica en que cada vez que se desee
encontrar un nuevo valor de una xi ademaacutes de usar los valores anteriores de
las x tambieacuten utiliza valores actuales de las x encontradas antes
(desde x0 hasta xi-1)
La ecuacioacuten es la siguiente
Este proceso de usar valores actuales para hallar un valor de x puede facilitar
la convergencia del mismo
Meacutetodo De Jacobi
Consiste en suponer un valor inicial y luego usar un meacutetodo sistemaacutetico para
obtener una estimacioacuten refinada de la solucioacuten El Meacutetodo de Jacobi es uno
de los meacutetodos iterativos maacutes conocidos
Supoacutengase que se tiene un sistema 3 x 3 Si los elementos de la diagonal no
son todos cero la primera ecuacioacuten se puede resolver para x1 la segunda
para x2 y la tercera parax3 para obtener
En general para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones
con n incoacutegnitas el Meacutetodo de Jacobi para encontrar un valor k de una
variable x es el siguiente
Su nombre se deriva de las palabras Lower (inferior) y Upper (superior)
Analizando coacutemo una matriz original se descompone en dos matrices
triangulares una superior y otra inferior
La descomposicioacuten LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de
la matriz A proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa
o resolver sistemas de aacutelgebra lineal
Primeramente se debe obtener la matriz L y la matriz U
L es una matriz diagonal inferior con nuacutemeros 1 sobre la diagonal U es una
matriz diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene
que haber nuacutemeros 1
El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U] es decir
obtener la matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U]
Factorizacioacuten de Cholesky
Una matriz A simeacutetrica y positiva definida puede ser factorizada de manera
eficiente por medio de una matriz triangular inferior y una matriz triangular
superior
Para una matriz no singular la descomposicioacuten LU nos lleva a considerar una
descomposicioacuten de tal tipo A = LU dadas las condiciones de A simeacutetrica y
definida positiva no es necesario hacer pivoteo por lo que eacutesta factorizacioacuten
se hace eficientemente y en un nuacutemero de operaciones la mitad
de LU tomando la forma donde L (la cual podemos verla como la
raiacutez cuadrada de A) es una matriz triangular inferior donde los elementos de
la diagonal son positivos
Para resolver un sistema lineal Ax = b con A simeacutetrica definida positiva y
dada su factorizaciograven de Cholesky primero debemos
resolver Ly = b y entonces resolver para lograr x
Una variante de la factorizacioacuten de Cholesky es de la forma
donde R es una matriz triangular superior en algunas aplicaciones se desea
ver la matriz en esa forma y no de otra
Factorizacioacuten QR
Esta factorizacioacuten es uacutetil para resolver sistemas de ecuaciones
lineales problemas de miacutenimos cuadrados y problemas de eigen valores
Las maneras maacutes comunes de calcular la factorizacioacuten QR son aplicando
bull Las transformaciones de Householder
bull Las rotaciones de Givens
bull El proceso de ortogonalizacioacuten de Gram-Schmidt
Metodo Gauss-Seidel
El Meacutetodo de Gauss-Seidel consiste en hacer iteraciones a partir de un
vector inicial para encontrar los valores de las incoacutegnitas hasta llegar a una
tolerancia deseada la diferencia radica en que cada vez que se desee
encontrar un nuevo valor de una xi ademaacutes de usar los valores anteriores de
las x tambieacuten utiliza valores actuales de las x encontradas antes
(desde x0 hasta xi-1)
La ecuacioacuten es la siguiente
Este proceso de usar valores actuales para hallar un valor de x puede facilitar
la convergencia del mismo
Meacutetodo De Jacobi
Consiste en suponer un valor inicial y luego usar un meacutetodo sistemaacutetico para
obtener una estimacioacuten refinada de la solucioacuten El Meacutetodo de Jacobi es uno
de los meacutetodos iterativos maacutes conocidos
Supoacutengase que se tiene un sistema 3 x 3 Si los elementos de la diagonal no
son todos cero la primera ecuacioacuten se puede resolver para x1 la segunda
para x2 y la tercera parax3 para obtener
En general para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones
con n incoacutegnitas el Meacutetodo de Jacobi para encontrar un valor k de una
variable x es el siguiente
Para resolver un sistema lineal Ax = b con A simeacutetrica definida positiva y
dada su factorizaciograven de Cholesky primero debemos
resolver Ly = b y entonces resolver para lograr x
Una variante de la factorizacioacuten de Cholesky es de la forma
donde R es una matriz triangular superior en algunas aplicaciones se desea
ver la matriz en esa forma y no de otra
Factorizacioacuten QR
Esta factorizacioacuten es uacutetil para resolver sistemas de ecuaciones
lineales problemas de miacutenimos cuadrados y problemas de eigen valores
Las maneras maacutes comunes de calcular la factorizacioacuten QR son aplicando
bull Las transformaciones de Householder
bull Las rotaciones de Givens
bull El proceso de ortogonalizacioacuten de Gram-Schmidt
Metodo Gauss-Seidel
El Meacutetodo de Gauss-Seidel consiste en hacer iteraciones a partir de un
vector inicial para encontrar los valores de las incoacutegnitas hasta llegar a una
tolerancia deseada la diferencia radica en que cada vez que se desee
encontrar un nuevo valor de una xi ademaacutes de usar los valores anteriores de
las x tambieacuten utiliza valores actuales de las x encontradas antes
(desde x0 hasta xi-1)
La ecuacioacuten es la siguiente
Este proceso de usar valores actuales para hallar un valor de x puede facilitar
la convergencia del mismo
Meacutetodo De Jacobi
Consiste en suponer un valor inicial y luego usar un meacutetodo sistemaacutetico para
obtener una estimacioacuten refinada de la solucioacuten El Meacutetodo de Jacobi es uno
de los meacutetodos iterativos maacutes conocidos
Supoacutengase que se tiene un sistema 3 x 3 Si los elementos de la diagonal no
son todos cero la primera ecuacioacuten se puede resolver para x1 la segunda
para x2 y la tercera parax3 para obtener
En general para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones
con n incoacutegnitas el Meacutetodo de Jacobi para encontrar un valor k de una
variable x es el siguiente
Este proceso de usar valores actuales para hallar un valor de x puede facilitar
la convergencia del mismo
Meacutetodo De Jacobi
Consiste en suponer un valor inicial y luego usar un meacutetodo sistemaacutetico para
obtener una estimacioacuten refinada de la solucioacuten El Meacutetodo de Jacobi es uno
de los meacutetodos iterativos maacutes conocidos
Supoacutengase que se tiene un sistema 3 x 3 Si los elementos de la diagonal no
son todos cero la primera ecuacioacuten se puede resolver para x1 la segunda
para x2 y la tercera parax3 para obtener
En general para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones
con n incoacutegnitas el Meacutetodo de Jacobi para encontrar un valor k de una
variable x es el siguiente