metodos cerrados y abiertos

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ESCUELA: UNITESBA CARRERA: INGENIERIA INDUSTRIAL SEMESTRE: 5 A MATERIA: MATEMATICAS 5 TEMA: METODOS ABIERTOS Y CERRADOS NOMBRE:

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metodos numericos

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ESCUELA:

UNITESBA

CARRERA:

INGENIERIA INDUSTRIAL

SEMESTRE:

5 AMATERIA:

MATEMATICAS 5TEMA: METODOS ABIERTOS Y CERRADOSNOMBRE:

RAUL GUADALUPE ALVARADO SANCHEZ

FECHA: 13 DE FEBRERO DEL 2015METODOS ABIERTOS

3METODOS CERRADOS

9IMPORTANCIA

10BIBLIOGRAFIA

10

METODOS ABIERTOSLos mtodos abiertos se basan en frmulas que requieren nicamente un valor de inicio x que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran la raz. stos, algunas divergen o se alejan de la raz verdadera a medida que se avanza en el clculo. Sin embargo, cuando los mtodos abiertos convergen, en general lo hacen mucho ms rpido que los mtodos cerrados.

A. ITERACIN SIMPLE DE PUNTO FIJO.

Los mtodos abiertos emplean una frmula para predecir la raz. Esta frmula puede desarrollarse como una iteracin simple de punto fijo, al arreglar la ecuacin f(x) = 0 de tal modo que x este del lado izquierdo de la ecuacin:

Esta trasformacin se realiza mediante operaciones algebraicas simplemente sumando x a cada lado de la ecuacin original. Por ejemplo

Se arregla para obtener

Mientras sen x = 0 puede transformarse en la ecuacin (1), sumando a ambos lados para obtener

La utilidad de la ecuacin, es que proporciona una frmula para predecir un nuevo valor de x. de esta manera, dado un valor inicial para la raz xi, la ecuacin (1) se utiliza para para obtener una nueva aproximacin xi+1, expresada por la formula iterativa

Como en otras frmulas iterativas el error aproximado de esta ecuacin se calcula usando el error normalizado.

EJEMPLO1.

Iteracin simple de punto fijo

Planteamiento del problema. Use una iteracin simple de punto fijo para localizar la raz de Solucin. La funcin se puede separar directamente y expresarse en la forma de la ecuacin (2) como

IXIEa(%)Et(%)

00100.0

11.000000100.076.3

20.367879171.835.1

30.69220146.922.1

40.50047338.311.8

5

0.60624417.46.889

60.54539611.23.83

70.5796125.902.20

80.5601153.481.24

90.5711431.930.705

100.5648791.110.399

B. METODO DE NEWTON-RAPHSON.

Tal vez, de las frmulas para localizar races esta sea la ms ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raz es xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto de la curva. Por lo comn, el punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximacin mejorada de la raz.

Que se arregla para obtener

La cual se conoce como frmula de Newton-Raphson [1], [5].EJEMPLO 2.

Planteamiento del problema. Calcule la raz de f(x) = e-x empleando como valor inicial x0 = 0.

Solucin. La primera derivada de la funcin es

Que se sustituye, junto con la funcin original en la ecuacin , para tener

Empezando con un valor inicial x0 = 0, se aplica esta ecuacin interativa para calcular

ixiEt(%)

00100

10.50000000011.8

20.5663110030.147

30.5671431650.0000220

40.567143290< 10-8

As, el mtodo converge rpidamente a la raz verdadera. Observe que el error relativo porcentual verdadero en cada iteracin disminuye mucho ms rpido que con la iteracin simple de punto fijo(compare con el ejemplo 1)

Desventajas del mtodo Newton-Raphson

Aunque en general el mtodo de Newton-Raphson es muy eficiente, hay situaciones donde se comporta de manera deficiente.

Sin embargo, tambin cuando se trata de races simples, se encuentran dificultades como en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 2.

Planteamiento del problema. Determine la raz positiva de f(x) = x10 - 1 usando el mtodo de Newton-Raphson y un valor inicial x = 0.5

Solucin. La formula de Newton-Raphson en este caso es:

que se utiliza para calcular:

Iteracinx

00.5

151.65

246.485

341.8365

437.65285

533.887565

..

..

..

1.0000000

De esta forma, despus de la primera prediccin deficiente, la tcnica converge a la raz verdadera, 1, pero muy lentamente.

EJEMPLO 3 EXCEL.

C. METODO DE LA SECANTE

Un problema potencial de la implementacin del mtodo de Newton-Raphson es la evaluacin de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios ni para otras muchas funciones, existen algunas funciones cuyas derivadas en ocasiones resultan muy difciles de calcular. En dichos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida hacia atrs, como se muestra en la figura. Este mtodo a diferencia de algunos mtodos cerrados como el de biseccin y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de dos puntos al principio, y despus el mismo mtodo se va retroalimentando. Lo que hace bsicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuacin que se tiene originalmente, y va revisando la interseccin de esas rectas con el eje de las X para ver si es la ra que se busca.

Esta aproximacin se sustituye en la siguiente ecuacin:

para obtener la siguiente ecuacin iterativa:

Esta ecuacin es la frmula para el mtodo de la secante. Obsrvese que el mtodo requiere de dos valores iniciales de x. Sin embargo, debido a que no se necesita que f(x) cambie de signo entre los valores dados, este mtodo no se clasifica como un mtodo cerrado.METODOS CERRADOSMTODO DE BISECCIN

El mtodo de biseccin tambin se denomina mtodo de biparticin del intervalo porque la estrategia es bisectar o separar a la mitad el intervalo de xa y xb y luego retener el semi intervalo cuyos extremos siguen acotando la raz.

Este se clasifica como un mtodo de acotamiento. Es aplicable a ecuaciones de la forma f(x) = 0 cuando es posible encontrar dos valores limitantes xa y xb tales que la funcin f(x) cambia de signo una vez para valores x en el intervalo ( ) xa x xb. Por consiguiente, los valores limitantes acotan la raz.

El requisito de que la funcin cambie de signo slo una vez constituye una manera de determinar cul semi intervalo retener.

Este mtodo se basa en encontrar una raz de (x)=0 empezando con dos valores que encierran o ponen entre corchetes a la raz. Nos damos cuenta que una funcin est entre corchetes cuando cambia de signo en sus puntos extremos. La funcin tiene que ser continua. Se concibe como un mtodo de bsqueda binaria en donde se va buscando la raz en subintervalos de intervalos.MTODO DE LA FALSA POSICIN

El mtodo de la falsa posicin se puede entender como un intento por mejorar las caractersticas de convergencia del mtodo de biseccin. Se comienza con valores limitantes xa y xb tales que f(x) cambia de signo slo una vez en el intervalo de xa a xb.

Por interpolacin lineal se encuentra una raz aproximada entre xa a xb que sirve como valor intermedio xintermedio. El nuevo intervalo que contiene la raz comprende ahora de xa a xintermedio o de xintermedio a xb. El razonamiento para f( x).

IMPORTANCIA DEL TEMA EN INGENIERIA INDUSTRIALEs importante porque estos mtodos nos ayudaran a resolver problemas que no tienen una solucin exacta, pero que con estos procedimientos nos acercaremos a una solucin ms acorde con la realidad; minimizando el margen de error.

Adems nos facilitaran el desarrollo de mltiples operaciones y pasos que nos llevara mucho tiempo en realizarlas y que en la actualidad es muy importante el ahorro de tiempo y dar una respuesta rpida y confiable para ganar nuevos proyectos, negocios y poder atraer nuevos clientes, dndoles seguridad y satisfaccin tanto a clientes como accionistas.

Tambin es importante para desarrollarnos como trabajadores porque entre ms conocimientos tengamos somos ms competitivos y capaces de realizar cualquier actividad relacionada con nuestro ramo.

BIBLIOGRAFA

Facultad de Ingeniera de Minas, Geologa y Civil

Departamento acadmico de ingeniera de minas y civil

METODOS

NUMERICOS

Solucin_de_Ecuaciones_No_Lineales

Ingeniera Civil

ING._CRISTIAN_CASTRO_P.