MÉTODO VARIACIÓN DE PARÁMETROS

RESOLUCIÓN DE UNA EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR : MÉTODO VARIACIÓN DE PARÁMETROS

Recordemos que el método de variación de parámetros se aplica para resolver EDO lineales no homogéneas, los coeficientes de la EDO pueden ser constantes ovariables, no hay restricción para la función 𝑔(𝑥)

𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ . . . . . + 𝑎2(𝑥)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)

como ya se dijo la solución general de una EDO no homogénea es igual a la suma deLa solución homogénea 𝑦ℎ y una solución particular 𝑦𝑝

𝑦𝐺 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝

INTRODUCCION

Procederemos a realizar un ejemplo con este método

RESOLUCIÓN DE UNA EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR : MÉTODO VARIACIÓN DE PARÁMETROS

EJEMPLO:

Resolver la siguiente EDO no homogénea:

2𝑦𝑖𝑖 + 4𝑦𝑖 = 𝑒4𝑥

SOLUCIÓN

Primero se debe calcular la solución de la EDO homogénea

2𝑦𝑖𝑖 + 4𝑦𝑖 =0

Como es una ecuación de segundo orden se sabe que la solución homogénea𝑦ℎ es igual a la combinación lineal de 2 funciones linealmente independientes

𝑦ℎ = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2

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2 𝑒𝑘𝑥 𝑖𝑖 + 4 𝑒𝑘𝑥 𝑖 =0

Como los coeficientes de la EDO son constantes la solución homogénea 𝑦ℎes igual a 𝒆𝒌𝒙

2𝑘2𝑒𝑘𝑥 + 4𝑒𝑘𝑥 = 0

2𝑦𝑖𝑖 + 4𝑦𝑖 =0

Sustituimos 𝑦ℎ en la EDO homogénea 2𝑦𝑖𝑖 + 4𝑦𝑖 =0

2𝑘2 + 4 𝑒𝑘𝑥 = 0

Simplificamos la expresión

Obteniendo una ecuación de segundo grado para k

2𝑘2 + 4 = 0

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los valores de 𝑘 son :

𝑘1 = 0 𝑘2 = −2

Por lo tanto la solución homogénea 𝑦ℎ es igual a la combinación lineal de las Funciones𝑦1 = 𝑒0𝑥 = 1, 𝑦2 = 𝑒−2𝑥

𝑦ℎ = 𝑐1 + 𝑐2𝑒−2𝑥

La solución homogénea también se puede expresar como un conjunto cuyos elementos son las funciones 𝑦1 = 𝑒0𝑥 = 1, 𝑦2 = 𝑒−2𝑥

𝑦ℎ = 1, 𝑒−2𝑥

𝑘 𝑘 + 2 = 0

Al resolver la ecuación de segundo grado

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Conocida la solución homogénea podemos plantear la solución particular 𝑦𝑝 la

cual es igual al producto punto de la solución homogénea 𝑦ℎ y una función 𝑢 𝑥

𝑦𝑝 = 𝑦ℎ 𝑢 𝑥

En nuestro ejemplo la función 𝑢 𝑥 debe ser igual a la combinación de dos funciones 𝑢1 𝑥 ,𝑢2 𝑥 , porque la solución homogénea es la combinación lineal de dos funciones

O como un par ordenado cuyas coordenadas son las funciones 𝑦1 = 𝑒0𝑥 = 1,𝑦2 = 𝑒−2𝑥

𝑦ℎ = 1, 𝑒−2𝑥

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𝑦𝑝 = 1 , 𝑒−2𝑥 𝑢1, 𝑢2

Por lo tanto la solución particular del ejemplo es igual a:

Ahora debemos escribir el sistema de ecuaciones que resume las condicionesque debe cumplir 𝑦𝑝 para ser solución de la EDO

Recordemos que el sistema de ecuaciones para una EDO no homogéneade orden n

𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ . . . . . + 𝑎2(𝑥)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)

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Es igual a:

𝑦1𝑦1

𝑖

𝑦1𝑖𝑖

⋯

𝑦𝑛𝑦𝑛

𝑖

𝑦𝑛𝑖𝑖

.⋮.

⋱.⋮.

𝑦1𝑛−1 ⋯ 𝑦𝑛

𝑛−1

𝑢1𝑖

𝑢2𝑖

.

.

.𝑢𝑛

𝑖

=

00..

𝑔 𝑥

𝑎𝑛 𝑥

La matriz de los coeficientes es el Wronskiano de las funciones de la solución Homogénea 𝑦ℎ

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1 𝑒−2𝑥

0 −2𝑒−𝑥𝑢1

𝑖

𝑢2𝑖=

01

2𝑒4𝑥

Por lo tanto el sistema de ecuaciones escrito en forma matricial para nuestroejemplo es igual a:

𝑑𝑢1𝑑𝑥

+ 𝑒−2𝑥𝑑𝑢2𝑑𝑥

= 0 ecuación 1

−2𝑒−2𝑥𝑑𝑢2𝑑𝑥

=𝑒4𝑥

2𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2

Tenemos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas y dos ecuaciones

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Para resolver el sistema de ecuaciones

𝑑𝑢1𝑑𝑥

+ 𝑒−2𝑥𝑑𝑢2𝑑𝑥

= 0

−2𝑒−2𝑥𝑑𝑢2𝑑𝑥

=𝑒4𝑥

2

Aplicaremos el método de Kramer

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𝑑𝑢1𝑑𝑥

=

0 𝑒−2𝑥

𝑒4𝑥

2−2𝑒−2𝑥

1 𝑒−2𝑥

0 −2𝑒−2𝑥

=−𝑒−2𝑥

𝑒4𝑥

2−2𝑒−2𝑥

= −𝑒4𝑥

4

𝑑 𝑢1 = −𝑒4𝑥

4𝑑𝑥

𝑢1 𝑥 = −𝑒4𝑥

16

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𝑑𝑢2𝑑𝑥

=

1 0

0𝑒4𝑥

21 𝑒−2𝑥

0 −2𝑒−2𝑥

=

𝑒4𝑥

2−2𝑒−2𝑥

= −𝑒6𝑥

4

𝑑 𝑢2 = −𝑒6𝑥

4𝑑𝑥

𝑢2 = −𝑒6𝑥

24

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Como

𝑦𝑝 = 1 , 𝑒−2𝑥 −𝑒4𝑥

16 , −𝑒6𝑥

24

𝑦𝑝 = −𝑒4𝑥

16−𝑒4𝑥

24= −

5

48𝑒4𝑥

La solución particular es igual a:

𝑢1 𝑥 = −𝑒4𝑥

16𝑢2 𝑥 = −

𝑒6𝑥

24y

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Por lo tanto la solución general de la EDO

2𝑦𝑖𝑖 + 4𝑦𝑖 = 𝑒4𝑥

Es igual a:

𝑦𝐺 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒−2𝑥−

5

48𝑒4𝑥

Corina Villarroel RobalinoDOCENTE