EJEMPLO 1 Se desea encontrar la raz de la funcin de 4 y una tolerancia de , conde se tendr la forma equivalente

(que corresponde a un despeje de la funcin original) con un valor inicial de 0.001. Disear la siguiente tabla en una hoja en blanco de un libro en Excel:

Escribir las frmulas de acuerdo a la siguiente tabla:

A partir de esta fila (6) simplemente copiar las frmulas a la siguiente fila y repetir el procesohasta encontrar la solucin aproximada para esta funcin. El resultado final debe ser como se muestra a continuacin:

La raz de es aproximadamente de 3.000423, con un error de 0.001. Para comprobar que el resultado es correcto, se debe graficar la funcin y verificar que aproximadamente en la coordenada (3.000423, 0) exista una raz. GRFICA DE LA FUNCIN

EJEMPLO 2 Encontrar una buena aproximacin a la raz de la siguiente funcin por el mtodo del Punto Fijo:

Como puede verse, se trata de la misma funcin que la del ejemplo 1, pero esta vez la funcin ha sido despejada de una forma diferente, por lo cual se encontrar otra raz (dado que la funcin tiene dos

races, como se puede apreciar en la grfica. Utilizando el mismo procedimiento del ejemplo 1, los resultados en Excel quedarn de esta manera:

GRFICA DE LA FUNCIN

EJEMPLO 3

Encontrar una buena aproximacin a la raz de la siguiente funcin por el mtodo del Punto Fijo:

Los resultados en Excel quedan de esta manera:

GRFICA DE LA FUNCIN

EJEMPLO 4 Utilizar el mtodo del Punto Fijo para f(x)=sin(sqrt(x))-x, siendo g(x)=sin(sqr(x)) con Xo=0.5 y h=10^(4). Para este ejercicio, "h=10^(4)" es la toleranciao el error. Ntese que al hacer las frmulas en Excel se debe usar SENO( ) para sin( ) y RAIZ( ) para sqrt( ). Esto si se usa una versin en espaol de Microsoft Office. Los resultados en la hoja de clculo son los siguientes:

GRFICA DE LA FUNCIN f(x)=sin(sqrt(x))-x

Mtodo de la biseccin

Esta tcnica se basa en el teorema del valor intermedio y parte del supuesto que

y

tienen signos opuestos. Aunque el procedimiento funciona bien para el caso en el que existe ms de una solucin en el intervalo la raz en dicho intervalo. , se considera por simplicidad que es nica

Bsicamente, el mtodo consiste en dividir a la mitad repetidamente los subintervalos de y en cada paso, localizar la mitad que contiene a la solucin, Para empezar, hacemos lo llamamos y . y

y calculamos el punto medio del intervalo

Si y . Si

, entonces

; si no,

tiene el mismo signo que , y tomanos

o y

. Si

tienen el mismo signo, entonces y tienen el mismo signo, entonces

, y tomanos . Esto produce el

y . Luego repetimos este proceso al intervalo mtodo descrito en el algoritmo de la figura 3.

Figura 3: Algoritmo de la biseccin.

Observacin: como en cada iteracin el intervalo es la mitad del intervalo anterior, podemos concluir que en la iteracin la solucin se encuentra en un intervalo de longitud

Error Absoluto

para . Esto nos permite tener una idea de que tan cerca estamos de la solucin real, incluso podemos usar esto para estimar el nmero de iteraciones necesarias para alcanzar una presicin dada. La implementacin de este algoritmo con Excel es muy sencillas, como veremos. Ejemplo Para ilustar la forma en que podemos usar Excel, vamos a aproximar la solucin de la ecuacin

Lo primero es hallar un intervalo en el cual podamos garantizar la existencia de una solucin. Por el teorema de las cotas sabemos que esta ecuacin tiene sus soluciones dentro del intervalo intervalo a . Ahora, podemos usar el teorema del valor intermedio para refinar el El prximo paso es usar Excel.

1. En las celdas A4 y B4 escribimos los valores de y , respectivamente. 2. En la celda C4 escribimos la frmula que calcular los puntos medios del intervalo:

3. En la celda D4 escribimos la frmula que calcular :

4. En la celda E4 escribimos la frmula que calcular :

5. En la celda F4 escribimos la frmula que calcular :

6. En la celda G4 escribimos la frmula que calcular el error

7. En la celda A5 escribimos la frmula que calcular el nuevo extremo :

8. En la celda B5 escribimos la frmula que calcular el nuevo extremo :

Y por ltimo, lo nico que debemos hacer es ir generando las aproximaciones, para esto arrastramos cada columna una a una. El resultado de esto se muestra en la figura 4.

Figura 4: Mtodo de la biseccin:

El mtodo de la biseccin, aunque es conceptualmente claro, tiene inconvenientes importantes. Es muy lento en su convergencia (es decir, tiene que ser muy grande para que sea pequeo, por ejemplo, se requiere de iteraciones para obtener un error absoluto menor a en el ejemplo anterior), adems una buena aproximacin intermedia puede ser descartada inadvertidamente. Sin embargo, el mtodo tiene la importante propiedad de que siempre converge a una solucin, adems de que lo nico que se requiere es que sea continua, es por estas razones que se usa con frecuencia como punto de partida de mtodos ms eficientes. Mtodo de Newton

Este es uno de los mtodos ms eficientes para aproximar las soluciones de la ecuacin . El mtodo de Newton empieza con una aproximacin inicial aproximacin de en corresponde a la interseccin con el eje . La aproximacin en el punto , la siguiente

de la recta tangente a la grfica de la

corresponde a la interseccin con el eje

tangente a la grfica de una sucesin

, y as sucesivamente. Este proceso genera

, definida por

para

.

El algoritmo del mtodo se muestra en la figura 5

Figura 5: Mtodo de Newton

La implementacin de este mtodo, en Excel, es realmente simple. Para esto considere la mismo ecuacin de antes: y con aproximacin inicial tomenos .

1. En la celda A4 escribimos muestra aproximacin inicial, en este caso,

5.2. En la celda A5 escribimos la frmula que calcular las siguientes

aproximaciones

3.4. Por ltimo, para generar las siguientes aproximaciones arrastramos la

celda A5

El resultado de este proceso se muestra en la figura 6. Observe la grfica de la funcin , las rectas tangentes a en dos aproximaciones generadas por estas aproximaciones. y respectivamente y las

Figura 6: Mtodo de la Newton aplicado a

.

Cuando el mtodo de Newton converge se obtienen los resultados con relativa rapidez, ya que para races no repetidas este mtodo converge con orden 2, y el error es proporcional al cuadrado del error anterior, es decir, si el error , el siguiente error es proporcional a y as sucesivamente. Con lo que podramos decir que en cada iteracin aproximadamente se duplica el nmero de dgitos correctos.

Sin embargo, algunas veces el mtodo de Newton no converge, sino que se encicla. Esto puede ocurrir, por ejemplo, si no hay raz real, si la raz es un punto de inflexin o si la aproximacin inicial est muy lejos de la raz buscada y el proceso de aproximacin cae en un ciclo. Estas situaciones se ilustran en la figura 7a, 7b, 7c.

Figura 7a: Oscilaciones para una funcin sin raz real.

Figura 7b: Oscilaciones para una funcin con punto de inflexinl.

Figura 7c: Oscilaciones para una funcin con dos races reales.

En la figura 8 se muestra una situacin en la que no hay convergencia. Se est tratando de aproximar la solucin de la ecuacin polinomial

con una aproximacin inicial de . Obsrvese que en este caso las aproximaciones van creciendo y se alejan cada vez ms de la verdadera solucin . Para este ejemplo lo que sucede es que una de las aproximaciones es solucin de la ecuacin .

Otra de las desventajas potenciales del mtodo de Newton es que requiere de la evaluacin de la primera derivada de . Para la mayora de los problemas de los textos este requisito es trivial, pero ste no es el caso en problemas reales donde, por ejemplo, la funcin podra estar dada en forma tabular.

Figura 8: Situacin donde no hay convergencia, usando Excel.

Con el propsito de evitar esta desventaja, podemos sustituir la derivada por una interpolacin lineal, es decir, podemos usar el hecho de que

Con lo cual la frmula recursiva del mtodo de Newton se reduce a

para

.

Esta pequea variante da origen a un mtodo conocido como el mtodo de la secante, el cual necesita de dos aproximaciones iniciales. En la figura 9 se muestran los resultados obtenidos con este mtodo.

Figura 9: Mtodo de la secante.

Mtodo de punto fijo

Un punto fijo de una funcin , es un nmero tal que encontrar las soluciones de una ecuacin

. El problema de

y el de encontrar los puntos fijos de una

funcin

son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las , podemos definir una funcin con un punto fijo de . En forma inversa, si la funcin tiene un posee un cero en . y genera una . A la

soluciones de una ecuacin muchas formas; por ejemplo,

punto fijo en , entonces la funcin definida por El mtodo de punto fijo inicia con una aproximacin inicial

sucesin de aproximaciones la cual converge a la solucin de la ecuacin

funcin se le conoce como funcin iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesin converge siempre y cuando .

Ejemplo Usando el mtodo de punto fijo vamos a aproximar la solucin de la ecuacin dentro del intervalo Lo primero es buscar una funcin . adecuada

0

Y claramente elegimos como funcin iteradora a

adems observe que

para toda convergente.

, lo cual garantiza que la sucesin que vamos a construir va a ser

La implementacin de este mtodo en Excel es realmente simple, como veremos.

1. En la celda A5 escribimos nuestra aproximacin inicial, en este caso 2. 2. En la celda A6 escribimos la frmula que calcular las aproximaciones:

3. Por ltimo arrastramos la celda A6 para generar las restantes aproximaciones.

En la figura 10 se muestran los resultados generados por este mtodo.

Figura 10: Iteracin de punto fijo.

Una desventaja potencial del mtodo de punto fijo es que la eleccin de la funcin iteradora no siempre es fcil. En esta pequea nota no hemos pretendido ser exhaustivos en la teora ligada a los mtodos numricos expuestos, pues para esto existen muchos libros de anlisis numrico que podran consultarse ([Acton, 1990],[Akai, 1999],[Burden, 1996],, [Nieves, 1998]), la idea ha sido introducir de una forma bsica el uso de Excel para la aproximacin de soluciones de ecuaciones. La implementacin de los mtodos expuestos pueden ser mejorados con la ayuda de macros, tema que esperamos tratar en algn momento. Por lo pronto ha sido todo y hasta la prxima entrega.

Laboratorio con Excel

La hoja electrnica Excel proporciona un ambiente suficientemente poderoso para desarrollar muchos algoritmos de mtodos numricos, con la ventaja de que es muy probable que el usuario de Microsoft Windows lo tenga instalado en su computadora personal o en su oficina, a diferencia de otros ambientes de programacin, de clculo y visualizacin grfica. Sin embargo al tratar de evaluar frmulas definidas por el usuario un poco extensas o complejas, es muy incmodo hacerlo directamente en las celdas de la hoja con las funciones bsicas que vienen incluidas en el Excel. Por ejemplo, para evaluar una funcin como la celda A1, habra que darle la instruccin: en el valor que se encuentra en

=+SENO(A1)+(A1*2^(5*A1)+1)/(1+LN(A1)) El problema de esta frmula no radica slo en su extensin al momento de escribirla, sino tambin en que no se presta para su reutilizacin en otros clculos. Tampoco es adecuada para hacerle variaciones

con el fin de evaluar otras funciones. Una forma alternativa que facilita mucho el trabajo es programando un mdulo o funcin especfica que evale esta frmula. En primer lugar, abrimos un archivo Excel, que se llame por ejemplo ecuaciones.xls. Ahora ingresamos al men y en la opcin Herramientas seleccionamos Macros. Luego se elige Editor de Visual Basic.

En el men Insertar, seleccionamos Mdulo y escribimos el siguiente cdigo:

Function g(x) g = Sin(x) + (x * 2 ^ (5 * x) + 1) / (1 + Log(x)) End Function

Note que la funcin

se escribe diferente en Excel que en el macro hecho con Visual Basic.

Una vez que se ha definido este macro, podemos ahora evaluar en cualquier nmero que se encuentre en su dominio y en particular en el valor que se encuentre en una celda de Excel, por ejemplo, si un valor se encuentra en la celda A1, se puede evaluar como +g(A1). Tambin se puede

evaluar en un valor especfico, por ejemplo +g(0.3335). Otro uso muy importante de las funciones definidas por el usuario se realiza dentro de otras funciones tambin definidas por el usuario. Por ejemplo, se le puede agregar al mismo mdulo definido previamente una funcin , que al momento de evaluar en valores concretos de , invoca a la funcin

para realizar parte de los clculos:Function g(x) g = Sin(x) + (x * 2 ^ (5 * x) + 1) / (1 + Log(x)) End Function Function h(w) h = 3 * w ^ 2 - g(w) End Function

Algoritmo de biseccin Vamos a ilustrar la forma en que se puede implementar en Excel el algoritmo de biseccin con la funcin en el intervalo . en dicho intervalo. Al ser una funcin

En la figura que sigue se ilustra la grfica de

continua en , el algoritmo de biseccin es aplicable ya que extremos del intervalo.

tiene signo opuesto en los

Iniciamos entonces la definicin de la funcin

Function f(x) f = Exp(2*x) + x -3 End Function

Al comienzo, nuestra hoja electrnica puede lucir as: A B C 1a m b D f(a) E f(m) F f(b) G

2-2 -0.5 1 -4.981684361 -3.13212 5.38906 1.50000 3 4 5 donde las celdas A2 y C2 contienen los valores y del intervalo con que arranca el mtodo. La celda B2 contiene el punto medio del intervalo, por lo que el valor que le damos a esta celda es +(A2+C2)/2.

Este valor

servir como aproximacin de una raiz de la ecuacin

. Debido .

a sto, la distancia entre la solucin exacta y la aproximacin es menor o igual que As, en la celda G2 se ha calculado el error de aproximacin siguiendo la frmula +(C2-A2)/2.

En las celdas D2, E2 y F2 se encuentran, respectivamente, los valores , y , calculados como +f(A2), +f(B2) y +f(C2). El momento clave del algoritmo de biseccin ocurre en el siguiente paso, al decidir el nuevo intervalo de decisin: En la celda A3: +SI(D2*E2