El cálculo de volúmenes de sólidos para los cuales es posible expresar el área de

cualquier sección plana, perpendicular a una recta fija, en términos de la distancia

de la sección plana a un punto fijo de dicha recta.

Existe un método conocido como el principio de Cavalieri para calcular volúmenes

de sólidos. Supongamos que tenemos un cuerpo sólido como el de la figura:

Y denotemos por A(x) el área de su sección transversal medida a una distancia x

de un plano de referencia. De acuerdo con el principio de Cavalieri, el volumen V

del sólido esta dado por:

Donde a y b son las distancias mínima y máxima.

Cuando en los volúmenes de revolución se rotó alrededor del eje   la región plana

limitada por la curva   el eje   las rectas   y   se llegó

a  donde la expresión   se puede interpretar como el

área de la sección transversal del sólido hecha por un plano perpendicular al eje   

a una distancia de   unidades con respecto al origen; esta área de la sección es la

de una circunferencia. Si ahora la sección transversal tiene un área   se puede

utilizar el mismo principio para decir el volumen estará dado por

EJEMPLO

Volumen de una esfera:

Como nos es conocido el volumen de una esfera es 

Ahora demostremos el por que utilizando integrales:

Primero debemos colocar la esfera con su centro en el origen, luego hacemos un

corte con un plano al que llamaremos   este corta la esfera en un círculo de

radio   esto lo obtenemos utilizando el teorema de Pitágoras (ver

figura).

Por tanto el área de la sección transversal es 

Ahora aplicamos la definición de volumen con   y  , resuelta

Metodo De Secciones Conocidas

Aguilar Bermudez Fabian

Paternina Nuñez Luis

Asignatura:

Calculo integral

Universidad de Cartagena

Formación: Ingeniero

Programa:

Ingeniería Química

Cartagena

Noviembre 12 de 2013