metodo de las rigideces1

1

UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

I N D I C E

INTRODUCCIÓN………………………………………………………………...……... 4

OBJETIVO………………………………………………………………………………. 5

CAPITULO I. MÉTODO DE LAS RIGIDECES PARA ARMADURAS PLANAS……….. 6 Sistemas de referencia......................................................................... 8 Identificación de los extremos de las barras…………………………………...... 9 Equilibrio y compatibilidad………………………………………………………...... 9 Determinación de la matriz de rigideces………………………………………..… 11 Ecuación fuerza-desplazamiento para elementos sometidos a fuerza axial........ 13 Acoplamiento de barras…………………………………………………………….. 16 Ejemplos de la determinación de la ecuación fuerza-desplazamiento………….. 18 Rotación del sistema global al sistema local…….…………..…………………… 21 CAPITULO II. EJEMPLOS DE APLICACIÓN…………………………………………. 24 Ejemplo 1……………………………………………………………………………. 26 Ejemplo 2……………………………………………………………………………. 31 Ejemplo 3……………………………………………………………………………. 40 CAPITULO III. PROGRAMACIÓN EN FORTRAN……..…………………………….. 50

Morelia, Mich.

94



Introducción al fortran…..………..……………………………………………….. 51 Estructura de un programa………………………………………………………… 53 Identificadores……………………………………………………………………… 55 Operaciones aritméticas…………………………………………………………… 57 Entrada y salida de datos…………………………………………………………. 59 Relaciones lógicas…………………………………………………………………. 60 Sentencias IF……………………………………………………………………….. 61 Ciclos DO…………………………………………………………………………… 63 Arreglos con memoria dinámica...………………………………………………... 64 Funciones y subrutinas…………………………………………………………….. 66 Funciones y subrutinas externas………………………………………………….. 69 Trabajo con archivos de disco……………………………………………………. 70

CAPITULO IV. PROGRAMA DE CÓMPUTO ELABORADO EN FORTRAN……….. 72 Descripción del programa……………………………………………………….... 73 Diagrama de flujo...………………………………………………………………... 75 Manual de usuario…..……………………………………………………………… 78 Corridas de ejemplo……………………………………………………………….. 85

CONCLUSIONES……………………………….…………………………………….. 93 GLOSARIO……………………………..……………………………………………... 94

Morelia, Mich.

94



BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………… 95

Morelia, Mich.

94



I N T R O D U C C I Ó N

Desde el inicio del tiempo, se han realizado obras de construcción sorprendentes de las cuales hay que encontrar sus desplazamientos o deformaciones hablando estructuralmente, por lo que, la siguiente tesina describe el método de las rigideces o de los desplazamientos, el cual consiste en analizar y calcular los desplazamientos en estructuras grandes. Es importante conocer este método, pues así se podrá saber cuanto se deforma una estructura.

Si una estructura se calculara a mano sería muy laborioso y tedioso, es por eso que para calcular las estructuras de manera mas rápida y practica, se cuenta con programas de computo que se han ido desarrollando con el paso del tiempo, sin dejar a un lado que para poder usar este tipo de programas primero hay que saber resolver los problemas manualmente. En el transcurso de esta tesina se ha tratado de elaborar un manual para poder entender el método de rigideces de manera teórica y practica, el cual a sido apoyado con la elaboración de problemas que se fueron resolviendo de manera manual y también usando un programa hecho en lenguaje fortran, todo esto para poder comprobar y demostrar el resultado de este método. Debe de entenderse que el apoyo de programas computacionales hace que la resolución de problemas estructurales sea mas rápida y sencilla sin importar la cantidad de nodos que pueda tener una estructura y obteniendo el mismo resultado.

También se elaboraron una serie de pasos a seguir para poder hacer o crear el código del programa en fortran, entre ellos esta la descripción del programa, el diagrama de flujo y el manual de usuario, estos pasos sirven para saber usar el archivo ejecutable y así poder resolver los desplazamientos en las estructuras.

Morelia, Mich.

94



O B J E T I V O

El objetivo del presente trabajo es desarrollar un programa que permita

analizar armaduras en el plano por medio del método de las rigideces,

utilizando como lenguaje de programación el Fortran.

El programa desarrollado permitirá hacer el cálculo más ágil, práctico y

sencillo; obteniendo así un resultado más rápido y exacto, esto sin

importar la complejidad de la estructura.

Morelia, Mich.

94



CAPITULO I.

M É T O D O

D E L A S

R I G I D E C E S

Morelia, Mich.

94



MÉTODO DE LAS RIGIDECES“ARMADURAS PLANAS”

El método de las rigideces o de los desplazamientos, es de análisis general para estructuras que se puedan modelar a base de elementos barra, tal como es el caso de vigas, armaduras en el plano, armaduras tridimensionales, marcos planos, retículas y estructuras tridimensionales.

En este caso se analizarán “armaduras planas”.

Se llama rigidez a la fuerza generalizada (fuerza o momento), que produce un desplazamiento unitario, manteniendo nulos el resto de los desplazamientos nodales de una barra.

El método de las rigideces o de los desplazamientos consiste en establecer a través del equilibrio y la compatibilidad, la relación que hay entre las cargas y los desplazamientos que éstas generan en la estructura.

Cuando una estructura se analiza con el método de las rigideces o de los desplazamientos se consideran a los desplazamientos de los nodos como las incógnitas inmediatas.

Se plantean ecuaciones de equilibrio en cada nodo de la estructura en términos de las cargas aplicadas, las propiedades de los elementos que se conectan al nodo y los desplazamientos desconocidos de los nodos.

Se tiene así, un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas que pueden resolverse para obtener los desplazamientos de los nodos. Estos desplazamientos permiten determinar las fuerzas internas de las barras así como las reacciones en los apoyos.

Morelia, Mich.

94



El método de las rigideces puede usarse tanto en estructuras isostáticas como en hiperestáticas.

SISTEMAS DE REFERENCIA

En general tendremos dos sistemas de referencia, uno llamado sistema local (XL, YL), para referirnos a cada barra que forma parte de la estructura; y otro llamado sistema global (XG, YG), éste se utilizará para hablar de todo el sistema estructural.

Es importante señalar que en el sistema local, el eje “X” deberá coincidir con el eje longitudinal de la barra y el eje perpendicular, “Y”, se ubicará en el nodo inicial de la barra.

A continuación se muestra en un esquema los sistemas de referencia local y global:

12

3

local

sistema global

XG

YG

1 1

YL2

XL2

YL

3

XL

3

Morelia, Mich.

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IDENTIFICACIÓN DE LOS EXTREMOS DE LAS BARRAS

Se tiene una barra cualquiera en la cual se indica con el número 1 el extremo donde inicia y con el número 2 el extremo donde termina, como a continuación se muestra:

1 2

extremo extremo

Inicio Terminación

=barra

Equivalencia de NomenclaturaEn una armadura varias barras concurren en un mismo nodo, por lo que sería imposible escribir y leer los números de inicio (núm. 1) y terminación (núm. 2) de cada barra, lo que sería mas recomendable y fácil de reconocer los extremo es indicándolos con una flecha, la cual iniciará en el extremo núm. 1 y el final de la flecha coincidirá con el extremo núm. 2, ver la siguiente figura:

1 2

extremo extremo

Inicio Terminación

=barra

Equivalencia de NomenclaturaEquivalencia de la nomenclatura

EQUILIBRIO Y COMPATIBILIDAD

Para poder aplicar el método de las rigideces o de los desplazamientos, se verificará que toda la estructura deberá cumplir con las condiciones de equilibrio y compatibilidad.

Para demostrar estas condiciones, en una estructura cualquiera se tiene un nodo “n” en el cual se conectan varias barras, a las cuales se aplican fuerzas de carga globales, ver la figura siguiente:

Morelia, Mich.

n

94



Por equilibrio:

Esta condición indica que la suma de las fuerzas en los extremos de las barras que concurren al nodo es igual al vector fuerza de dicho nodo.

Por compatibilidad:

Esta condición indica que los desplazamientos en los extremos de las barras que concurren al nodo deben ser igual al vector desplazamiento de dicho nodo.

Se tiene una barra en el sistema local bidimensional, la cual esta sujeta a fuerzas en sus dos extremos y sin importar la magnitud y el

sentido de dichas fuerzas, las cuales generan desplazamientos y en ambos extremos de la barra.

Acoplando los vectores de cargas y desplazamiento en forma matricial, se puede establecer la relación entre estos vectores a través de una matriz de coeficientes que se define como la matriz de rigideces de la barra como se indica a continuación:

O en forma compacta se puede escribir:

Morelia, Mich.

X

Y

1 2

94



Cualquiera de estas dos expresiones representa la ecuación fuerza-desplazamiento de un elemento barra en el sistema local.

DETERMINACIÓN DE LA MATRÍZ DE RIGIDECES

La rigidez es la magnitud de la fuerza que produce un desplazamiento unitario, estos desplazamientos pueden ser lineales o angulares, los cuales se generan en los dos extremos de cada elemento de la estructura.

En el sistema coordenado bidimensional el vector que representa el desplazamiento en un punto tiene dos componentes lineales, uno horizontal (eje X) y otro vertical (eje Y), ver figura siguiente:

Al igual que el desplazamiento, la fuerza debe entenderse como una fuerza generalizada que en el sistema coordenado tiene dos componentes como se indica en la figura siguiente:

Fx

Fy

X

Y

0

Morelia, Mich.

Componentes del vector de desplazamientos

Componentes del vector de fuerzas

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Representando en forma matricial a los vectores generalizados de desplazamiento y fuerza en uno de los extremos de la barra, se tiene:

Tomando en cuenta la definición del vector generalizado, la rigidez será la fuerza generalizada que produce un desplazamiento unitario. En la mayoría de los problemas de análisis estructural, es necesario calcular los desplazamientos en más de un nodo.

De acuerdo a la fuerza generalizada se tienen tantos tipos de rigideces como elementos mecánicos, es decir, rigidez axial, rigidez al corte, rigidez a la flexión, etc.

RIGIDEZ AXIAL. Es la fuerza necesaria aplicada en el extremo de una barra para producir en él una deformación longitudinal unitaria.

RIGIDEZ AL CORTE. Es el valor absoluto de la fuerza que se genera en el extremo de una barra cuando se produce entre sus extremos un desplazamiento relativo unitario sin giros.

RIGIDEZ ANGULAR. Es la magnitud del momento que es necesario aplicar en el extremo de una barra para producir en él un giro unitario, manteniendo en cero el resto de los desplazamientos y encontrándose empotrado el extremo opuesto de la barra.

Morelia, Mich.

Fx1 Fx2

L

Fy1 Fy2

L

M1M2

L

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Para este caso se considerará la rigidez axial, ya que se analizarán solamente armaduras planas.

ECUACIÓN FUERZA-DESPLAZAMIENTO PARA ELEMENTOS SOMETIDOS A FUERZA AXIAL

Considere la siguiente barra o elemento:

X (+)

Y (+)

2

barra sometida a fuerza axial

EAFx1Fx2

1

Barra sometida a fuerza axial

Si el extremo derecho (nodo 2) de la barra esta empotrado y se aplica un desplazamiento positivo al nodo 1, se tienen las siguientes relaciones entre la fuerza y el desplazamiento.

CASO I.-

Si ahora el nodo 1 esta empotrado y se aplica un desplazamiento positivo al nodo 2, queda: CASO II.-

Morelia, Mich.

X

Y

2

EAFx1 Fx2

1

X

Y

2

EAFx2

1

Fx1

94



Los extremos 1 y 2 de la barra pueden experimentar simultáneamente desplazamientos arbitrarios (la barra es parte integrante de una estructura), por lo que aplicando el principio de superposición, podemos plantear la siguiente relación matricial:

O bien, matricialmente:

La ecuación anterior resulta ser la ecuación fuerza-desplazamiento para barras sometidas a fuerza axial, por lo que en forma compacta se puede escribir de la siguiente forma:

Donde: = Vector de fuerzas nodales = Matriz de coeficientes de rigidez de la barra = Vector de desplazamientos nodales

NOTA: observe que la matriz de rigideces es cuadrada y simétrica, y los elementos de la diagonal principal son positivos.

Morelia, Mich.

94



De la ecuación mostrada anteriormente en forma de matriz, particionando el vector de cargas, la matriz de rigideces y el vector de desplazamientos y refiriéndolos a los extremos 1 y 2, la ecuación se puede escribir de la siguiente forma:

Donde:

son submatrices:

La ecuación de rigidez desarrollada anteriormente, ha sido escrita en términos de las fuerzas y los desplazamientos de las barras referidas. El método de las rigideces requiere que estas relaciones sean escritas en términos de cantidades referidas a un sistema global común.

Conocidas las submatrices de rigidez de las barras en el sistema global se puede hacer la conexión o acoplamiento de las barras aplicando las condiciones de equilibrio y compatibilidad.

ACOPLAMIENTO DE BARRAS

Considere la siguiente estructura plana con cargas nodales:

Morelia, Mich.

Fuerzas que se generan en el nodo 2, como consecuencia de los desplazamientos unitarios del


Desplazamientos nodales en 1


Fuerzas nodales en 1

Fuerzas nodales en 2

Desplazamientos nodales en 2


YLA

XLA

A B

C D

1 2

3 4 5

YLB

XLB

YLC

XLC

YLD

XLD

XG

YG

94



Por equilibrio en los nodos 3 y 4:

Por compatibilidad:

;

;

;

;

Por otro lado la ecuación fuerza-desplazamiento para una barra en el sistema global, establece que:

Aplicando la ecuación (C) para cada barra y sustituyendo las ecuaciones (C), se obtiene:

1 2

3 4

Por otro lado, sustituyendo las ecuaciones (D) en (A) y (B):

Morelia, Mich.

( C )

( A )

( B )

( D )

( C )

94



Matricialmente se tiene:

O en forma compacta se escribe:

En forma práctica la ecuación fuerza-desplazamiento de un sistema estructural se puede ensamblar observando los extremos de las barras que concurren a un nodo y las barras que interconectan los diferentes nodos; así, los términos de la diagonal principal de la matriz de rigideces se obtienen sumando las submatrices de los extremos de las barras que concurren a un mismo nodo, los términos que se encuentran fuera de la diagonal principal de la matriz de rigideces son las submatrices cruzadas, es decir, las submatrices de rigidez o de las barras que unen dos nodos según corresponda.

Si en una estructura cualquiera, uno de los nodos que intervienen en la formación de la ecuación fuerza-desplazamiento tiene un desplazamiento conocido igual a cero (0), es necesario anular la fila y la columna correspondiente a dicha restricción, ya que los extremos restringidos de las barras no participan en el acoplamiento, como se muestra en el caso anterior.

También es importante cuidar que la estructura por analizar sea estable, pues si no lo es, la matriz de rigideces no tiene inversa.

EJEMPLOS DE LA DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN FUERZA-

DESPLAZAMIENTO

Morelia, Mich.

( E )

( F )

94



EJEMPLO 1:

1 2

3

YLA

XLA

A

B

YLB

XLB

XG

YG

Matriz de rigideces ensamblada de toda la estructura

EJEMPLO 2:

Morelia, Mich.

A B

C D

1 2

3 4

5

XG

YG

6

E

F

94




Morelia, Mich.

94

UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLAS DE HIDALGO


EJEMPLO 3: ARMADURA


Morelia, Mich.

1

2 34

5 6 7 8

A B C

D E F

G H IJK M N

LYG

XG

YG

XG0

94



ROTACIÓN DEL SISTEMA GLOBAL AL SISTEMA LOCAL

Se establecerá una relación entre las fuerzas nodales locales y globales de la barra, y los desplazamientos nodales locales y globales, ya que tanto las fuerzas como los desplazamientos son vectores, desarrollaremos estas relaciones para un vector general y después se aplicará el resultado a los desplazamientos y a las fuerzas.

A través de las condiciones de compatibilidad (C) y las ecuaciones (C), se pueden obtener los elementos mecánicos para todas y cada una de las barras que forman la estructura, estos elementos mecánicos se encuentran en el sistema global, por lo tanto, hay que rotarlos al sistema local.

Esta relación se da a través de una matriz de rotación o transformación ortogonal . Además de emplear esta matriz para obtener una matriz global de rigideces, también la usaremos para expresar fuerzas y desplazamientos locales en términos de fuerzas y desplazamientos globales y viceversa.

Para el caso de armaduras planas, la matriz de rotación o de transformación ortogonal se determina a partir de la siguiente figura:

Sistemas de referencia local y global para armaduras planas

Utilizando senos y cosenos directores para las fuerzas, se tiene:

Morelia, Mich.

XG

YG

yL

xL

F

94



En forma de matriz:

Llamando: ; y escribiéndolo en forma de matriz nos queda:

La matriz de rotación para barras de armaduras planas, resulta:

Por lo que en forma compacta, queda:

(a)

Haciendo la transpuesta de la matriz de rotación , queda:

La ecuación (a) establece que y pre multiplicando por la matriz de rotación transpuesta , queda:

Pero la matriz de rotación por la matriz transpuesta es igual a la identidad, entonces queda:

La ecuación anterior nos permite hacer la rotación del vector de fuerzas del sistema global al sistema local.

Morelia, Mich.

94



Para la aplicación del método de las rigideces, se requiere conocer las submatrices de rigidez de cada barra en el sistema global, lo cual se logra con la siguiente expresión:

Como solo se considera carga axial para armaduras planas, la matriz de rigideces es:

De donde:

;

;

Haciendo la rotación al sistema global de la submatriz , se obtiene:

Resolviendo la multiplicación, queda de la siguiente manera:

Para las otras submatrices queda así,

Morelia, Mich.

94



y

CAPITULO II.

E J E M P L O S

D E

A P L I C A C I Ó

N

Morelia, Mich.

94



Para poder realizar los siguientes ejercicios por el método de las rigideces se tendrá que seguir el siguiente procedimiento:

1. Se analiza la estructura, se toman en cuenta todos los datos como son el grado de libertad, el área de las barras, el modulo de elasticidad, los ángulos, las fuerzas externas, distancias de la armadura y las unidades.

2. Se plantea la ecuación fuerza-desplazamiento tomando en cuenta todos los nodos de la armadura.

3. Se plantea el vector de las fuerzas externas y el vector de desplazamientos de los nodos.

4. Se calculan la longitud de cada barra por medio de la fórmula del teorema de Pitágoras, los senos y cosenos del ángulo y se organiza en una tabla.

5. Se sustituyen los valores en las submatrices de rigidez para cada

barra

6. Ya teniendo todos los valores de las submatrices se sustituyen en la ecuación fuerza-desplazamiento , y se resuelve el sistema calculando los desplazamientos de los nodos.

7. Teniendo los valores de los desplazamientos, se calculan las fuerzas en los extremos de cada barra en el sistema global con

la formula

Morelia, Mich.

94



8. Se hace el cálculo de las reacciones en cada nodo y la comprobación del equilibrio de toda la estructura.

9. Se calculan las fuerzas en los extremos de cada barra en el sistema local utilizando la formula y se verifica si la barra esta a compresión o tensión.

10. Por ultimo se hace un diagrama de la estructura con los desplazamientos, las reacciones en los nodos y las fuerzas locales de las barras.

EJEMPLO No.1: Calcular los desplazamientos del nodo 3, las reacciones en los apoyos y las fuerzas en las barras de la siguiente armadura.

Área de las barras: Modulo de elasticidad: AA = AB = 5 cm2 EA = EB = 2100 ton/cm2

La ecuación fuerza-desplazamiento F- de la armadura en el sistema global es:

Vector de fuerzas externas: Vector de desplazamientos:

ton 2GL

Morelia, Mich.

YG

XG1 2

3

A B

240 cms

XLB

10 ton

240 cms

XLA

2G

94



Para facilitar el cálculo de las submatrices de rigidez para cada barra, se organizará la información en forma tabular. m m2 m

barra

long.(cm) EA/L (ton/cm)

cos sen cos2

sen2 cos sen

A 339.41 30.936 45 0.7071 0.7071 0.5 0.5 0.5B 339.41 30.936 135 -0.7071 0.7071 0.5 0.5 -0.5

NOTA: La longitud de las barras se calculó por medio de la fórmula del Teorema de Pitágoras

Sustituyendo en las submatrices de rigidez y recordando que y , sólo se determinará para cada

barra.

barra A: ton/cm

;

barra B: ton/cm

;

Sustituyendo en la ecuación fuerza-desplazamiento:

2GL: dos ecuaciones con 2 incógnitas

Morelia, Mich.

94



Matriz de rigidez ensamblada de toda la armadura.

El sistema se resuelve por cualquier método de solución de ecuaciones simultáneas, el resultado es:

cm

Por compatibilidad:

;

;

FUERZAS EN LAS BARRAS. SISTEMA GLOBAL

barra A:

ton

barra B:

Morelia, Mich.

1

33 5

5

5

5

A

YG

XG

1

33 5

5

5

5

94



ton

CÁLCULO DE REACCIONES Y COMPROBACIÓN DEL EQUILIBRIO

nodo 1:

ton

nodo 2: gráficamente:

ton

nodo 3:

ton

FUERZAS EN LAS BARRAS. SISTEMA LOCAL

Sabiendo que la transpuesta es:

barra A:

Morelia, Mich.

2

3

B

5

5

5

5

YG

XG

1

33 5

5

5

5

NOTA: en este nodo no hay fuerzas externas, por lo que los componentes del vector serán las reacciones en el apoyo.

1 2

3

5 ton

5 ton

A B

5 ton

5 ton

10 ton

YG

XG

1

33 5

5

5

5

94



ton

ton

barra B:

ton

ton

EN RESUMEN:

Morelia, Mich.

A

XLA

1

3

7.08 ton

7.08 ton

Tensi

10 ton

5 ton

5 ton

7.08

ton

( T )

7.08 ton ( C )

5 ton

5 ton

7.08 ton

7.08 ton

B

XLB

2

3

cm

Compresi

94



EJEMPLO No.2: analizar la siguiente armadura.

Área de las barras: Modulo de elasticidad: AA = AB = 10 cm2 E = 2100 ton/cm2

AC = AD = AE = 5 cm2

La ecuación fuerza-desplazamiento para la armadura en coordenadas globales es:


Morelia, Mich.

A B

E

C DXG

YG

1

2

3

4

250 cms 250 cms

300 cms

4GLYG

XG

-90

15 ton

94



ton

Las propiedades de las barras se organizan en la siguiente tabla. m m2 m

barra

long. (cm)

EA/L (ton/cm)

cos sen cos2 sen2 cossen

A 390.51 53.78 50.19 0.6402 0.7682 0.4099 0.5901 0.4918B 390.51 53.78 -50.19 0.6402 -0.7682 0.4099 0.5901 -0.4918C 250 42 0 1 0 1 0 0D 250 42 0 1 0 1 0 0E 300 35 -90 0 -1 0 1 0

NOTA: La longitud de las barras A y B se calculó por medio de la fórmula del Teorema de Pitágoras


barra.

barra A:

ton/cm

;

barra B:

ton/cm

;

Morelia, Mich.

94



barra C: ton/cm

;

barra D: ton/cm

;

barra E: ton/cm

;


Donde:

Morelia, Mich.

94



NOTA: se observa que el sistema de ecuaciones resulta ser de 6x6, esto se debe a que al plantear la ecuación fuerza-desplazamiento se consideraron 2 desplazamientos por nodo; sin embargo, el grado de libertad de la armadura es de 4, debido a que los desplazamientos verticales de los nodos 3 y 4 son nulos , por lo que se eliminarán del sistema las ecuaciones (renglón y columna) correspondientes a estas deformaciones .

Por lo que el sistema resulta:


Resolviendo el sistema de 4x4 aplicando cualquier método de solución de ecuaciones simultáneas, se obtiene:

cm

Por compatibilidad:

;

;

;

;

;


Morelia, Mich.

94



barra A:

ton

barra B:

ton

barra C:

Morelia, Mich.

YG

XG

1

33 5

5

5

5

2

B

7.153 ton

8.582 ton

8.582 ton

7.153 ton

4

1

2

A

5.849 ton

7.017 ton

5.849 ton

7.017 ton

YG

XG

1

33 5

5

5

5

94



ton

barra D:

ton

barra E:

ton


nodo 1:

Morelia, Mich.

3

2

E

5.845 ton

5.845 ton

D

1 3

7.174 ton 7.174 ton

C

1 3

7.174 ton 7.174 tonYG

XG

1

33 5

5

5

5

YG

XG

1

33 5

5

5

5

YG

XG

1

33 5

5

5

5

94



ton

nodo 2:

ton

nodo 3:

ton

nodo 4:

ton

Gráficamente se tiene:



Morelia, Mich.

YG

XG

1

33 5

5

5

5

3

A B

E

D1

2

4C

5.845 ton 8.582 ton7.017 ton

13.023 ton

7.5 ton15 ton

13 ton

94



barra A:

ton

ton

barra B:

ton

ton

barra C:

ton

ton

barra D:

ton

ton

barra E:

ton

Morelia, Mich.

1

2

A

9.135 ton

XLA

9.135 ton

2

E

5.845 ton

5.845 ton

XLE

3

D

437.174 ton 7.174 ton

XLD

YG

XG

1

33 5

5

5

5

2

11.172 ton

B

4 11.172 ton

XLB YG

XG

1

33 5

5

5

5

C

317.174 ton 7.174 ton

XLC

YG

XG

1

33 5

5

5

5

YG

XG

1

33 5

5

5

5

YG

XG

1

33 5

5

5

5

Tensión

Compresión

Tensión

Tensión

94



ton

EN RESUMEN:

EJEMPLO No.3: analizar la siguiente armadura.

Área de las barras: Modulo de elasticidad: AA = AB = 12 cm2 E = 2100 ton/cm2

Morelia, Mich.

1

5.845 ton 8.582 ton7.017 ton

13 ton

15 ton

3

4

11.172 ton ( C )9.

135

ton ( T

)

7.174 ton ( T ) 7.174 ton ( T )

5.845 ton ( C )

2

1XG

YG

200 cms

500 cms

2

43

C

A

D

B

F

E

10 ton

5 ton

5GL

YG

XG

1

33 5

5

5

5

Compresión

94



AC =AD =AE =AF = 6 cm2

La ecuación fuerza-desplazamiento para la armadura en coordenadas globales es:


Para facilitar el cálculo de las submatrices de rigidez para cada barra, se organizará la información en forma tabular. m m2 m

barra

long. (cm)

EA/L (ton/cm)

cos sen cos2 sen2 cossen

A 500 50.4 0 1 0 1 0 0B 500 50.4 0 1 0 1 0 0C 200 63 90 0 1 0 1 0D 200 63 90 0 1 0 1 0E 538.516 23.398 21.8 0.9285 0.3714 0.8621 0.1379 0.3448F 538.516 23.398 158.2 -0.9285 0.3714 0.8621 0.1379 -0.3448

NOTA: La longitud de las barras E y F se calculó por medio de la fórmula del Teorema de Pitágoras


barra.

Morelia, Mich.

94



barra A: ton/cm

;

barra B: ton/cm

;

barra C: ton/cm

;

barra D: ton/cm

;

barra E: ton/cm

;

barra F:

ton/cm

;


Morelia, Mich.

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Donde:

NOTA: se observa que el sistema de ecuaciones resulta ser de 6x6, esto se debe a que al plantear la ecuación fuerza-desplazamiento se consideraron 2 desplazamientos por nodo; sin embargo, el grado de libertad de la armadura es de 5, debido a que el desplazamiento horizontal del nodo 1 es nulo , por lo que se eliminarán del sistema las ecuaciones (renglón y columna) correspondientes a estas deformaciones .

Por lo que el sistema resulta: Matriz de

rigideces

ensamblada de toda la estructura

Morelia, Mich.

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Resolviendo el sistema por cualquier método de solución de ecuaciones simultáneas, resulta:

cm

Por compatibilidad ;

;

;

;

;

;


barra A:

ton

Morelia, Mich.

YG

XG

1

33 5

5

5

5

A

3 416.199 ton 16.199 ton

94



barra B:

ton

barra C:

ton

barra D:

ton

barra E:

Morelia, Mich.

D

3.490 ton2

4

3.490 ton

YG

XG

1

33 5

5

5

5

C

6.508 ton

6.508 ton1

3

B

1 213.951 ton 13.951 ton

YG

XG

1

33 5

5

5

5

YG

XG

1

33 5

5

5

5

94



ton

barra F:

ton


nodo 1:

ton

nodo 2:

ton

nodo 3:

ton

Morelia, Mich.

F17.489 ton

7.025 ton2

3

7.025 ton

17.489 ton

E

16.205 ton

6.511 ton

6.511 ton

16.205 ton

1

4YG

XG

1

33 5

5

5

5

YG

XG

1

33 5

5

5

5

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nodo 4:

ton

Gráficamente se tiene:



barra A:

ton

ton

barra B:

ton

ton

barra C:

Morelia, Mich.

1 2

43

C

A

D

B

F

E

10 ton

5 ton

33.688 ton

13.533 ton

30.156 ton 3.536 ton

3.536 ton

C

6.508 ton

1

3

6.508 ton

XLC

A

3 416.199 ton

XLA16.199 ton

B

1 213.951 ton13.951 ton

XLB

YG

XG

1

33 5

5

5

5

YG

XG

1

33 5

5

5

5

YG

XG

1

33 5

5

5

5

YG

XG

1

33 5

5

5

5

Tensión

Compresión

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ton

ton

barra D:

ton

ton

barra E:

ton

ton

barra F:

ton

Morelia, Mich.

E

17.453 ton

4

1XLF

17.453 ton

D

3.490 ton

2

4

3.490 ton

XLD

YG

XG

1

33 5

5

5

5

YG

XG

1

33 5

5

5

5

Tensión

Compresión

Compresión

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ton

EN RESUMEN:

Morelia, Mich.

YG

XG

1

33 5

5

5

5

F

18.835 ton

2

3

18.835 tonXLF

YG

XG

1

33 5

5

5

5

1 2

43

10 ton

5 ton

33.688 ton

13.533 ton

30.156 ton

6.508 ton ( T )

16.199 ton ( T )

13.951ton ( C )

3.490 ton ( C )

17.453 ton ( C )

18.835 ton ( T )

Tensión

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CAPITULO III.

PROGRAMACIÓ

N

EN

F O R T R A N

Morelia, Mich.

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INTRODUCCIÓN AL FORTRAN

FORTRAN fue el primer lenguaje de programación de alto nivel, su nombre proviene del inglés FORmula TRANslator (traducción de formulas), es un lenguaje simple por su facilidad de aprendizaje y por sus capacidades numéricas. Fortran es un lenguaje de programación dominante usado en aplicaciones de ingeniería y matemáticas, por lo que es importante que se tengan las bases para poder leer y modificar un código en fortran.

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROGRAMACIÓNPrograma: Es una serie de instrucciones que se le indican a una computadora para que esta realice una tarea específica, estas instrucciones pueden ser:

Específicas Detalladas Lógicas Secuénciales

Al escribir un programa se sigue una secuencia de líneas de texto con una determinada sintaxis para ser válido.

Los programas pueden realizar las siguientes actividades:

Aceptar datos (lectura) Realizar operaciones aritméticas Almacenar datos Imprimir los datos almacenados

Para que un programa pueda ser “entendido” por una computadora debe estar escrito en un lenguaje de programación.

Morelia, Mich.

94



Las instrucciones de un programa son por medio de un lenguaje de programación, estas son a base de una determinada configuración de información digital binaria, estas son series de unos y ceros espaciadas.

El lenguaje de bajo nivel permite crear programas muy rápidos pero son difíciles de aprender, ya que son escritos específicamente para cada procesador y sin poder ejecutarlo en otra maquina con otra tecnología.

Los lenguajes de alto nivel utilizan términos ingleses pueden ser list, print u open, como comandos que representan una secuencia de instrucciones para el programa, estos comandos se introducen desde el teclado.

Los compiladores traducen un programa íntegro al lenguaje maquina antes de su ejecución, los cuales se ejecutan muy rápido.

Los comentarios son las notas que se escriben en el código del programa para saber que hace el programa o simplemente que instrucción sigue.

Las sentencias sirven para evaluar diferentes expresiones y/o seguir una serie de instrucciones en el código.

Las variables son palabras compuestas que almacenan valores numéricos o de carácter, por medio de las variables se designan los datos que se utilizan en el programa.

Los operadores son símbolos que se usan para realizar una operación algebraica, se clasifican en operadores aritméticos y operadores lógicos.

Los arreglos almacenan un gran número de datos bajo un mismo nombre de una variable. Los arreglos pueden contener números enteros, números de punto flotante o variables de carácter.

Los ciclos se utilizan para repetir una cierta cantidad de veces un conjunto de instrucciones en el programa.

Las subrutinas son programas completos que dependen del programa principal, estos permiten repetir el mismo proceso cuantas veces sea requerido en el programa y así se evita volver a escribir el mismo código.

Morelia, Mich.

94



Los archivos de disco son archivos de texto que guardan la información de un programa, se guardan en una unidad de disco por medio del cual se podrá abrir y leer o escribir datos en el archivo cada vez que sea necesario.

El lenguaje fortran tiene formato libre lo que permite que cada línea pueda tener como máximo 132 caracteres.

Ocasionalmente una sentencia no cabe en una sola línea, en fortran la continuación de una instrucción en la siguiente línea se realiza adicionando el símbolo ampersand ().

Ejemplo: ! la siguiente sentencia esta en dos líneas (comentario) area = 3.14159265358979 ! línea inicial * r * r ! continuación

Un programa realizado en fortran puede tener espacios o no, ya que todos los espacios en blanco son ignorados, pero el usuario tendría problemas para leer y entender el programa.

En fortran se puede especificar más de una instrucción por línea, siempre y cuando se separen cada una de ellas por medio de un punto y coma ( ; ).

Ejemplo: perimetro = 3.1416 * 2 * r ; area = 3.1416 * r * r

ESTRUCTURA DE UN PROGRAMA EN FORTRAN

Un programa de fortran, por lo general consta de un programa principal y posiblemente varios subprogramas (subrutinas).

En un programa se identifican cuatro zonas:

1) En la primera zona se escribe el nombre del programa, esta formada por la sentencia program seguida del nombre del programa sin acentos, sin espacios y puede llevar números pero no al inicio.

Morelia, Mich.

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2) En la segunda zona se definen y declaran todas y cada una de las variables y constantes que se usaran en el programa.

3) En esta tercera zona se define el cuerpo del programa, aquí se definen las formulas a usar y el proceso de los datos para ejecutar el programa.

4) En la cuarta zona se define el final del programa con la sentencia end program la cual es obligatoria y sólo se deberá escribir una sola vez en todo el programa, el cual separa el programa principal de los demás subprogramas.

En seguida se presenta un ejemplo con las cuatro zonas de un programa elaborado en fortran.

PROGRAM area_e_inercia ! ZONA 1: Nombre del programa

IMPLICIT NONE ! REAL(8):: b, h ! ZONA 2: Declaración de variablesREAL(8):: A, I !

WRITE (*,*) 'Este programa calcula el Area y la Inercia de un Rectangulo’ ! !PRINT *, 'dame la base y la altura' ! ZONA 3: Ejecución de instruccionesREAD *, b, h ! ! A = b*h I = b*(h**3)/12 PRINT *, ' Area = ', APRINT *, ' Inercia = ', I

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END PROGRAM ! ZONA 4: Fin del programa

IDENTIFICADORES

Los identificadores son los nombres de los programas, las variables y constantes que se utilizan en el programa. En los identificadores se emplean letras pueden ser mayúsculas o minúsculas, números o también puede haber guiones bajos, pero sin dejar espacios en blancos.

VARIABLESLas variables son palabras compuestas por letras y números, los cuales deberán empezar por una letra, estas variables almacenan valores numéricos o de carácter. Por medio de las variables se designan los datos que se utilizan en el programa.

Una preposición es el valor que se le da a una variable siempre y cuando se escriba el signo =, por ejemplo:

X = 2

Los nombres de variables en Fortran no importan si son nombres largos o cortos, siempre y cuando inicien con una letra y nunca utilizar el punto, por ejemplo:

LONGITUD, PESO, M5, AREA (Nombres válidos) 15ALFA, 2.5M, 8T (Nombres no válidos)

Morelia, Mich.

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TIPOS DE VARIABLESEn la segunda zona, es donde se hace la declaración de las variables que el programa utilizará, las cuales pueden ser de los siguientes tipos:

Lógico: este sólo será verdadero o falso (true / false), se declara con logical por ejemplo:

LOGICAL:: nombre de la variable

Entero: son para almacenar números sin decimales. Se declaran con la orden integer, por ejemplo:

INTEGER:: nombre de la variable

CONVENSIÓN IMPLÍCITA Si un identificador no fue declarado en su tipo y si el nombre empieza con las letras I, J, K, L, M O N, éste es tomado como entero.

Se deberá usar la orden implicit none justo debajo del nombre del programa (segunda línea), esta orden sirve para que el programa reconozca las variables que se hayan definido, independientemente por la letra que empiecen.

Real: son para números fraccionarios, los cuales pueden escribirse con o sin exponente y se declaran con la orden real, por ejemplo:

REAL:: nombre de la variable

Carácter: estos pueden ser para cadenas de caracteres alfanuméricos, numéricos y símbolos que una computadora puede representar, se declaran con character(n), por ejemplo:

CHARACTER(n):: nombre de la variable

Complejo: son para números complejos enteros o reales separados por una coma y entre paréntesis, la primera parte es real y la segunda imaginaria. Se declaran con complex, por ejemplo:

COMPLEX:: nombre de la variable

Morelia, Mich.

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DECLARACIÓN DE VARIABLESLas declaraciones más comunes en Fortran son las siguientes, en las cuales se declaran los nombres de las variables separadas por comas, cada variable se declara una sola vez en el programa, por ejemplo:

INTEGER:: a, p, VOLTIO, PESO REAL(4):: z, cm, p2 REAL(8):: b, c, k CHARACTER(n):: PERIMETRO, AREA, TON

La siguiente tabla indica el número de bytes que cada variable utiliza.

TIPO BYTES

REAL (4) 4REAL (8) 8INTEGER 4CHARACTER (n)

n

OPERACIONES ARITMÉTICAS

Los operadores son todos los símbolos que se usan para realizar una operación algebraica, en fortran 90 existen una gran cantidad de operadores, los cuales se clasifican en operadores aritméticos y operadores lógicos.

OPERADORES ARITMÉTICOSSon los símbolos conocidos como suma, resta, multiplicación, división, potencia, etc.

Morelia, Mich.

OPERADOR SÍMBOLO

Suma +Resta -Multiplicación *División /Potenciación **

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Las siguientes expresiones algebraicas se escribirán en fortran 90 como se indica:

NIVEL DE PRIORIDADPara evaluar cualquier expresión algebraica en Fortran 90, los operadores siguen un orden de prioridad. Por ejemplo, el operador producto tiene una prioridad mayor que el operador suma e igual que el operador división.

Cuando los operadores tienen la misma prioridad se opera de izquierda a derecha, sólo en potenciación y raíz cuadrada se evalúan de derecha a izquierda.

El nivel de prioridad de los operadores aritméticos es la siguiente:

1. Potenciación y raíz cuadrada ( de derecha a izquierda )2. Multiplicación y división ( de izquierda a derecha )3. Suma y resta ( de izquierda a derecha )

FUNCIONES DE FORTRANLa siguiente tabla muestra los operadores que se usan con frecuencia en Fortran para realizar diferentes cálculos.

Morelia, Mich.

Operación FORTRAN 90Sumar A mas B A + BMultiplicar A con B A * BDividir A entre B A / BA elevado a B A ** BA que multiplica a la suma de B mas C

A * ( B + C )

5 veces A al cubo 5 * A ** 3

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ENTRADA Y SALIDA DE DATOS

SALIDA CON FORMATO LIBRELas ordenes print y write sirven para que el programa imprima. Se usan asteriscos para imprimir con formato libre, de la siguiente manera:

WRITE (*,*) lista de variables PRINT *, lista de variables

Este formato imprime los valores de las variables que se indiquen siempre que se separen con comas, también se imprime cualquier texto que se desee siempre que se ponga entre comillas.

ENTRADA CON FORMATO LIBRELa orden read sirve para introducir datos a través del teclado, también se puede utilizar asteriscos para el formato libre, se puede leer más de una variable siempre que se separen con comas, por ejemplo:

READ (*,*) lista de variables READ *, lista de variables

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FUNCIÓN DESCRIPCIÓN ARGUMENTO

VALOR DE RETORNO

ABS (X) valor absoluto de Xentero o

realigual al argumento

ACOS (X) arco coseno de X (rad) real real

ASIN arco seno de X (rad) real real

ATAN arco tangente de X (rad) real real

COS (X) coseno de X (rad) real real

COSH (X)coseno hiperbólico de X (rad)

real real

EXP (X) función exponencial real real

INT (X) parte entera de X real entero

LOG (X) logaritmo natural de X real real

LOG10 (X) logaritmo en base 10 de X real real

REAL (X) conversión de X al tipo real entero real

SIN (X) seno de X (rad) real real

SQRT (X) raíz cuadrada de X real real

TAN (X) tangente de X (rad) real real

TANH (X)tangente hiperbólico de X (rad)

real real

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SALIDA CON FORMATOLa salida con formato modifica la forma en que por default la maquina muestra los datos de las variables, por ejemplo:

WRITE (num_unidad, ‘(formato)’) lista de variables PRINT formato, lista de variables

Un ejemplo de salida con formato sería el siguiente:

WRITE (*, ‘(A, I3, F6.3)’) ‘el resultado es’, x, y PRINT ‘(A, I3, F6.3)’, ‘el resultado es’, x, y

Se observa que se desea imprimir un mensaje de texto, el valor almacenado en la variable “x” y el valor almacenado en la variable “y”. La letra “A” en el formato se usa para indicar que se imprimirá el mensaje de texto, el I3 indica que se imprimirá un valor numérico entero en un ancho de campo de 3 caracteres (el valor almacenado en la variable “x”) y el F6.3 indica que se imprimirá un número de punto flotante en un ancho de campo de 6 caracteres, del cual 3 son decimales (el valor almacenado en la variable “y”).

RELACIONES LÓGICAS

OPERADORES LÓGICOS SIMPLESLas expresiones lógicas simples que se usan en fortran son las siguientes:

SÍMBOLO SIGNIFICADO

.LT. menor que .GT. mayor que

== .EQ. igual que

.LE.menor o igual que

.GE.mayor o igual que

.NE. diferente a

OPERADORES LÓGICOS COMPUESTOSEn estos operadores sólo existen dos valores, falso o verdadero, y se usan para combinar expresiones lógicas simples de la siguiente forma:

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OPERADOR

EXPRESIÓN

DEFINICIÓN

.NOT. .NOT. a verdadera si a es falsa y es falsa si a es verdadera

.AND. a .AND. bverdadera si a y b son verdaderas, falsa en caso contrario

.OR. a .OR. b verdadera si alguna de a, b o ambas son verdaderas

.EQV. a .EQV. bverdaderas si ambas, a y b son falsos o ambas son verdaderas

.NEQV. a .NEQV. bverdadera si alguna de a o b es verdadera y la otra falsa

Las reglas de operación son las siguientes:

Operador .and.

Operador .AND.1ra.

expresión2da.

expresiónresultad

oTRUE TRUE TRUETRUE FALSE FALSEFALSE TRUE FALSEFALSE FALSE FALSE

Operador .or.

Operador .OR.1ra.

expresión2da.

expresiónresultad

oTRUE TRUE TRUETRUE FALSE TRUEFALSE TRUE TRUEFALSE FALSE FALSE

Operador .not.

Operador .NOT.expresión resultado

TRUE FALSEFALSE TRUE

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SENTENCIAS IF

Existen varios tipos de estas sentencias, las cuales se describen a continuación:

IF SIMPLEEsta sentencia sirve para evaluar una expresión lógica y si es verdadera se ejecuta solo una instrucción, esto se escribe en una sola línea, por ejemplo:

IF (expresión lógica) instrucción

IF COMPUESTOEsta sentencia se usa si más de una instrucción debe ser ejecutada dentro de la sentencia if, por ejemplo:

IF (expresión lógica) THEN Instrucción 1 Instrucción 2 ….. END IF

IF – ELSEEn este caso la expresión es evaluada por la sentencia if, si es verdadera se ejecuta el bloque de instrucciones que la precede, en caso contrario se ejecuta el bloque de instrucciones que le sigue a else, por ejemplo:

IF (expresión lógica) THEN Instrucción 1 Instrucción 2 ….. ELSE Instrucción 3 Instrucción 4 ….. END IF

IF – ELSE IF – ELSE

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Con esta sentencia se ejecuta el bloque de instrucciones de la primera expresión lógica que sea verdadera, en caso contrario ejecuta el bloque que le sigue a else.

IF (expresión lógica) THEN Instrucción 1 Instrucción 2 ….. ELSE IF (expresión lógica) THEN Instrucción 3 Instrucción 4 ….. ELSE IF (expresión lógica) THEN Instrucción 5 Instrucción 6 ….. ELSE Instrucción 7 Instrucción 8 ….. END IF

Se podrán poner todos los if que se requieran o no poner ninguno, la secuencia de las instrucciones es de arriba hacia abajo, las instrucciones se evalúan hasta que se encuentra la verdadera y por último se llega a la sentencia end if.

CICLOS DO

El ciclo do es utilizado para que se repitan una cierta cantidad de veces un conjunto de instrucciones, su forma de sentencia es:

DO sentencia de control Instrucción END DO

CICLO DO CONTADOREn este tipo de ciclo do, la sentencia de control hace una progresión de valores hasta alcanzar un valor determinado, estos incrementos pueden ser negativos y nunca podrá valer cero, ya que se crearía un ciclo infinito. Su forma general del ciclo do-contador es:

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DO k = 1, 5, 1 Instrucción END DO

Esto indica que el ciclo se repetirá 5 veces, valiendo k=1 la primera vez y la segunda valdrá k=2, ya que se incrementará de uno en uno, y hasta que se repitan las 5 veces se salta a la orden end do y el ciclo termina.

CICLO DO SEMI - INFINITO Este ciclo se ejecuta hasta que haya una instrucción dentro del bloque de sentencias que provoque la parada del ciclo, la orden de parada es exit. El formato de este ciclo es:

DO Instrucción 1 IF (expresión lógica) EXIT Instrucción 2 END DO

Con este ciclo se realiza un número indeterminado de operaciones hasta que se evalúa la expresión lógica por el if, hasta que sea verdadera, el ciclo termina.

CICLO DO WHILEEste ciclo se ejecuta mientras una expresión lógica sea cierta, la instrucción se repite hasta que la condición sea verdadera y cuando se cumpla, el ciclo termina. Su formato es:

DO WHILE (expresión lógica) Instrucción END DO

Se deberá tener cuidado en poner una sentencia end do por cada do que se escriba.

ARREGLOS CON MEMORIA DINÁMICA

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Los arreglos permiten almacenar un gran número de datos bajo un mismo nombre de una variable. Los arreglos pueden contener números enteros, números de punto flotante o variables de carácter y pueden tener una o mas dimensiones.

Por ejemplo, para hacer una matriz de 4 renglones y 2 columnas con números enteros se escribe de la siguiente manera:

INTEGER:: matriz (4,2)

ARREGLOS CON MEMORIA DINÁMICAEl arreglo con memoria dinámica permite utilizar sólo la memoria necesaria en el momento que se requiera y liberar la memoria cuando los datos ya no son necesarios.

El arreglo de las dimensiones es con la sentencia pointer, su formato es:

POINTER:: matriz ( : , : ), matriz1 ( : ), …

Los dos puntos ( : ) indican una dimensión la cual puede ser uno, dos, tres o más.

Los espacios de memoria serán asignados en el programa cuando el arreglo sea usado, mediante la sentencia allocate, el formato es:

ALLOCATE:: ( matriz ( 2 , 2 ), matriz1 ( 5 ), … )

Cuando los arreglos ya no serán utilizados se debe liberar la memoria que ocupan, esto se hace mediante la sentencia deallocate, el formato es:

DEALLOCATE:: ( matriz, matriz1, … )

La asignación y desasignación de memoria se puede realizar tantas veces sea necesario, siempre y cuando haya memoria disponible en cada operación. Una ventaja de los arreglos es que al asignar el espacio de memoria puede emplearse una variable entera (integer) en lugar de un número, es importante y recomendable iniciarlos con ceros, por ejemplo:

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……. INTEGER:: n REAL(8), POINTER:: matriz ( : , : ), matriz2 ( : )

n= nn*gl

ALLOCATE ( matriz ( n, n ), matriz2 ( n ) ) matriz=0; matriz2=0

---- operaciones -----

DEALLOCATE (matriz, matriz2)

END PROGRAM

FUNCIONES Y SUBRUTINAS

El lenguaje Fortran permite crear subprogramas independientes a los programas, estos subprogramas pueden ser funciones o subrutinas. Estos subprogramas son declarados con un nombre de variable, los subprogramas son programas completos que dependen del programa principal.

Los subprogramas permiten repetir el mismo proceso cuantas veces sea requerido en el programa y así se evita volver a escribir el mismo código.

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Las funciones o subrutinas se organizan mediante un programa principal, en donde comienza el proceso. En ese programa se llama a cada subrutina enviándole los datos iniciales para que éste los procese cuando los necesite y devuelve los resultados al programa principal.

Los datos enviados a los subprogramas se llaman argumentos del programa principal, los datos que se reciben en el subprograma se llaman parámetros formales y las variables usadas en los subprogramas se llaman variables temporales, estas variables son destruidas al regresar al programa principal.

La diferencia que hay entre una función y una subrutina es que la función es un bloque de código con un nombre de variable que en el programa principal es una variable más, estas funciones sólo devuelven un resultado; y las subrutinas son programas dentro de programas, estos reciben datos y devuelven resultados, lo que indica que la subrutina puede ser independiente del programa principal.

FUNCIÓN La declaración de una función se hace de la siguiente manera:

FUNCTION nombre_de_función (lista de argumentos) Declaración de los argumentos con el modificador intent (in) Declaración de variables locales Ejecución de las operaciones e instrucciones END FUNCTION

El modificador intent específica como se pasarán los valores de las variables a las funciones y subrutinas, el cual puede ser:

IN. Este valor es solo de ingreso y no se puede modificar. OUT. Este valor es solo de salida, regresa al subprograma. INOUT. Este funciona para entrada y salida.

SUBRUTINASPor medio de las subrutinas se pueden extraer del programa principal bloques de código que se usen con frecuencia en todo el programa, esto

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para reducir el tamaño del código de todo el programa. Su formato es el siguiente:

SUBROUTINE nombre_de_la_subrutina (lista de argumentos) Declaración de los argumentos Declaración de variables locales Ejecución de las operaciones e instrucciones END SUBROUTINE

Para poder llamar una subrutina desde el programa principal o desde otra subrutina se usara la orden call, el formato es:

CALL nombre_de_la_subrutina (lista de argumentos)

Se muestra un ejemplo del uso de las subrutinas:

PROGRAM subrutinas

IMPLICIT NONE REAL(8), POINTER:: A(:,:), B(:,:) INTEGER:: ma, na, mb, nb

CALL dimensiones_matriz (ma, na, 'A')CALL dimensiones_matriz (mb, nb, 'B')

ALLOCATE (A(ma, na), B(mb, nb))CALL elementos_matriz (a, 'A')CALL elementos_matriz (b, 'B')

DEALLOCATE (a, b)

CONTAINS!******************************************************************************** SUBROUTINE dimensiones_matriz (m, n, nom_mat) INTEGER, INTENT(out):: m, n CHARACTER(*), INTENT(in):: nom_mat

WRITE (*,'(2/,12X, A, A, A)') 'de que orden es la matriz [', nom_mat, ']' WRITE (*,'(/, 19X, A,\)') ' Renglones : ' READ *, m WRITE (*,'(/, 19X, A, \)') ' Columnas : '

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READ *, n

END SUBROUTINE!********************************************************************************* SUBROUTINE elementos_matriz (mat, nom_mat) CHARACTER(*),INTENT(in):: nom_mat REAL(8), POINTER:: mat(:,:) INTEGER:: m, n, i, j

m= SIZE (mat, dim=1); n= SIZE (mat, dim=2)

WRITE (*,'(2/,15X, A, A, A)') 'elementos de la matriz [', nom_mat,']' DO i=1, m DO j=1, n

WRITE (*,'(/, 16X, A, A, I1, I1, A, \)') ' valor de ', nom_mat, i, j, ': ' READ *, mat (i, j)

END DO END DO END SUBROUTINE!********************************************************************************END PROGRAM

FUNCIONES Y SUBRUTINAS EXTERNAS

Las funciones y subrutinas externas son las que se encuentran fuera del programa principal, lo que quiere decir que se encuentran fuera de las instrucciones contains y end program.

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Las funciones y subrutinas externas son usadas para compilar programas que contiene varios archivos, y en cada archivo puede haber uno o mas subprogramas, para que todo funcione bien, en la rutina principal se deberá especificar una interface, esto permite controlar el intercambio de datos.

El formato siguiente es de una interface de un programa.

INTERFACE

SUBROUTINE ensamble (nn, gl, nb, na, K) INTEGER, intent (in):: gl, nb, nn, na REAL (8), POINTER:: K(:,:) END SUBROUTINE

SUBROUTINE datos_grals (gl, VEC, archdat, archres) INTEGER, intent (in):: gl REAL (8), POINTER:: VEC(:) CHARACTER (*), intent (in):: archdat, archres END SUBROUTINE

END INTERFACE

Esta interface se deberá escribir al principio de la rutina principal, después de implicit none y antes de la declaración de variables. Siempre que se trabaje con subrutinas externas se deberá escribir la orden implicit none a cada una de ellas.

TRABAJO CON ARCHIVOS DE DISCO

Muchas veces se requiere leer e imprimir datos que se quieren guardar por un tiempo determinado, para eso se usan archivos de texto que quedaran almacenados temporal o permanente en una unidad de disco, por medio de esta unidad se podrá abrir y leer o escribir datos en cada archivo cada vez que sea necesario.

Morelia, Mich.

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Para que un archivo de disco pueda ser usado para entrada y salida de un programa, éste se deberá abrir primero y se hace con la instrucción open. El formato es el siguiente:

OPEN (unit=número de unidad, action= acción a realizar, file= nombre del archivo, iostat= estatus de entrada/salida, position= posición del cursor, status= estado del archivo)

Donde:

UNIT (número de unidad). Es un número entero y será usado como referencia para las instrucciones read o write.

ACTION (acción a realizar). Si se pone “read” solo se podrá leer del archivo y si se pone “write” solo se podrá escribir en el archivo.

FILE (nombre del archivo). Aquí se especifica el nombre del archivo de disco para ser abierto, el nombre puede ser una variable o una cadena de caracteres.

IOSTAT (condición de entrada y salida). Se utiliza una variable de tipo integer (entero) para la apertura del archivo.

POSITION (posición del cursor). Esta orden es para especificar la posición del cursor, en archivos que ya existen la posición es al inicio del archivo con la orden “rewind”, para posicionar el cursor al final del archivo la orden es “append”.

STATUS (estado del archivo). Si el archivo ya existe se usará la orden “old” para ser abierto; “new” si el archivo es nuevo; “replace” si se quiere remplazar por otro archivo.

Se muestran unos ejemplos de la orden open.

OPEN (unit=1, file=archdat, status='old', action='read')

OPEN (unit=2, file=archres, status='replace', action='write')

ENTRADA Y SALIDA DE DATOS EN ARCHIVOS

Morelia, Mich.

94



Cuando el archivo ya esta abierto, se podrán leer y escribir datos en el archivo por medio de las órdenes read o write, como se muestra enseguida:

READ (número de unidad, formato) lista de variables WRITE (número de unidad, formato) lista de variables

---------- OPEN (unit=1, file=archdat, status='old', action='read') READ (1,*) nn, nb

WRITE (2,'(2X, A, I3, \)') ' Núm. Nodos.......... ', nn WRITE (2,'(/, 2X, A, I3, \)') ' Núm. Barras.......... ', nb -----------

CIERRE DE ARCHIVOSUna vez que hayan sido usados los archivos se deberán cerrar, por lo que se recomienda hacerlo a través de la orden close de la siguiente manera:

CLOSE (unit=número de unidad, status=forma de cierre)

Donde:

UNIT (número de unidad). Unidad del archivo a cerrar.

STATUS (forma de cierre). Con la orden “delete” el archivo se borrará y con la orden “keep” el archivo queda permanente al cerrarse.

Por ejemplo:

CLOSE (unit=1, status= ' delete ' )

CLOSE (unit=2, status= ' keep ' )

Morelia, Mich.

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CAPITULO IV.

P R O G R A M A D E

C Ó M P U T O

E L A B O R A D O E N

F O R T R A N

Morelia, Mich.

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D E S C R I P C I Ó

N

D E L

P R O G R A M A

Morelia, Mich.

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Para poder elaborar un programa en lenguaje fortran se deberán seguir un conjunto de instrucciones o pasos para poder resolver un problema o ejecutar una tarea, estos pasos sirven para poder elaborar el código del programa.

A continuación se muestra un ejemplo de los pasos a seguir para crear el programa.

INICIO

ENTRADA DE DATOS

nn = número de nodos nb = número de barras na = número de apoyos np = número de propiedad nc = número de nodos cargados

coord. = coordenadas de cada nodo (X, Y) prop. = propiedades (A, E) incid. = incidencias de las barras (ni, nf, np) apoyo = restricciones de apoyos (dx, dy) F = vector de cargas (si nc>0)

PROCESO

1. Se ingresan todos los datos2. Se hace el ensamble de la matriz de rigideces (se calculan

los elementos de la matriz de rigideces para cada barra)3. Se hace la eliminación de renglones y columnas, y la solución

del sistema con Gauss-Jordán4. Se calculan las fuerzas globales de cada barra (se hace la

rotación del sistema global al sistema local)5. Se imprimen los datos ingresados y los resultados obtenidos.

FIN

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D I A G R A M A

D E

F L U J O

Morelia, Mich.

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El diagrama de flujo es una representación grafica de la descripción del programa.Se llaman diagramas de flujo porque en ellos se utilizan una serie de símbolos con significados especiales, los cuales se conectan por medio de flechas para indicar la secuencia de los pasos a seguir para la solución.

A continuación se muestran los símbolos utilizados en el diagrama de flujo:

TERMINAL Indica el inicio y el fin del diagrama de flujo

DEFINICIÓN DE VARIABLES

PROCESO

FLECHA O FLUJO

DESICIÓN

ENTRADA

SALIDA

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Se definen todas y cada una de las variables que serán utilizadas en todo el programa.

Se define cualquier tipo de operación que pueda originar cambio de valor, operaciones aritméticas, formato o posición de la información almacenada en memoria, etc.

Indica la secuencia en que se van ejecutando las acciones al pasar de un bloque a otro.

Indica operaciones lógicas o de comparación de datos, normalmente dos y en función del resultado de la misma determina cual de los distintos caminos alternativos del programa se debe seguir; normalmente tiene dos respuestas de salidas “si o no”.

Indica la asignación de un valor de una variable tomando este valor desde un dispositivo de entrada.

Indica que el resultado será presentado, ya sea por pantalla o impreso.

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Aki va el diagrama de flujo de autocad

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M A N U A L

D E

U S U A R I O

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MANUAL DE USUARIO PARA LA EJECUTACIÓN DEL PROGRAMA “RIGIDECES” PARA ARMADURAS PLANAS

El archivo ejecutable del programa se llama “rigideces.exe”, denominado así por que se basa en el método de las rigideces.

Los datos de la estructura por analizar se deberán proporcionar en un archivo de datos con la extensión .txt, por ejemplo, para este caso de armaduras planas se llamará “armaduras.txt”, así mismo, se deberá incluir otro archivo donde se presenten los resultados, el cual llevará el nombre de “resultados.txt”, o cualquier otro nombre pero siempre con la extensión “.txt”, estos dos archivos se deberán incluir en la misma carpeta en la cual se encuentre el programa. El archivo de datos “armaduras.txt” tendrá el siguiente formato y deberá contener los siguientes datos:

DATOS GENERALESPrimera sección.-

nn nb na np nc

donde: nn = número de nodos de la estructura nb = número de barras na = número de apoyos np = número de propiedades existentes nc = número de nodos cargados

COORDENADAS DE LOS NUDOS (empezando de izquierda a derecha)Segunda sección.- nn coord. X coord. Y

donde: nn = número de nodo de la estructura coord. X = coordenada en el eje de las X coord. Y = coordenada en el eje de las Y

Morelia, Mich.

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PROPIEDADES GEOMETRICAS DE LAS BARRAS (empezando de izquierda a derecha). Tercera sección.-

np A E

donde: np = número de propiedad A = área de la sección transversal de la barra E = módulo de elasticidad del material

NOTA: las unidades que se recomiendan utilizar son Kg/cm2 y Ton/cm2

DATOS DE LAS BARRAS (empezando de izquierda a derecha)Cuarta sección.-

nb ni nf np

donde: nb = número de barra ni = nodo inicial nf = nodo final np = número de propiedad

RESTRICCIONES DE LOS APOYOS (empezando de izquierda a derecha)Quinta sección.-

nn dx dy

donde: nn = número del nodo donde esta el apoyo dx = desplazamiento en X (0= libre; 1= restringido)

dy = desplazamiento en Y (0= libre; 1= restringido)

Para decir que el apoyo está “restringido” se recomienda 1, y para decir que esta “libre” valor cero.

Morelia, Mich.

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CONDICIONES DE CARGA (empezando de izquierda a derecha)Sexta sección.-

a) Cargas puntuales nodales, las cargas se consideran positivas en las direcciones positivas de los ejes X-Y globales.

nn Fx Fy

donde: nn = número de nodo que está cargado. Fx = fuerza en dirección X Fy = fuerza en dirección Y

Para la condición de carga el signo es positivo cuando las cargas están aplicadas en el sentido positivo de los ejes locales de cada barra.

Una vez que se introducen todos los datos correctos se guardan en el archivo de datos llamado “armaduras.txt”.

A continuación se muestra un ejemplo del archivo de datos de la siguiente armadura.

Área de las barras: Modulo de elasticidad: AA = AD = 10 cm2 E = 2x106 Kg/cm2

AB =AC =AE = 5 cm2

Morelia, Mich.

A D

C

EXG

YG

1

2

4

300 cms 300 cms

250 cms

3

B

8000 kg

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El archivo de datos tendrá el siguiente formato:

1ra.sección 4 5 2 2 1 2da.sección 1 0 0 2 300 250 3 300 0 4 600 0 3ra.sección 1 10 2000000 2 5 2000000 4ta.sección 1 1 2 1 2 1 3 2

3 3 2 2 4 4 2 1 5 3 4 2

5ta.sección 1 1 1 4 0 1 6ta.sección 2 -4000 -6928.20

Para la ejecución del programa de rigideces se proseguirá de la siguiente forma:

PASO 1. Se tendrá cuidado y congruencia con las unidades.

PASO 2. Se introducen los datos de la armadura en el archivo de datos “armaduras.txt”

PASO 3. Se ejecuta “rigideces.exe”, hecho esto nos pedirá el nombre del archivo de datos que será “armaduras.txt”.

PASO 4. Nos pedirá el nombre del archivo de resultados que será “resultados.txt”, o cualquier otro nombre.

PASO 5. Una vez introducidos los nombres de los archivos, nos mandará un mensaje que dice que la ejecución del programa se ha realizado correctamente.

PASO 6. Para ver los resultados se abrirá el archivo “resultados.txt”, o el nombre que se haya dado.

Morelia, Mich.

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El archivo de resultados tendrá el siguiente formato:

Archivo de Datos: ARMADURAS.TXT Tipo de Estructura: " ARMADURAS PLANAS "

Núm. Nodos............ 4 Núm. Barras............ 5 Núm. Apoyos........... 2 Propiedades............ 2 Nodos Cargados...... 1

************************************************************* " COORDENADAS DE LOS NODOS " Nodo coord.X coord.Y 1 .000 .000 2 300.000 250.000 3 300.000 .000 4 600.000 .000

************************************************************* " PROPIEDADES DE LAS BARRAS " Barra Nodo Nodo Area Mod.Elast. inicial final 1 1 2 10.000 2000000.00 2 1 3 5.000 2000000.00 3 3 2 5.000 2000000.00 4 4 2 10.000 2000000.00 5 3 4 5.000 2000000.00

************************************************************* " APOYOS EN LOS NODOS " Nodo Restriccion X Restriccion Y 1. 1.00000 1.00000 4. .000000 1.00000

************************************************************* " CARGAS EN LOS NODOS " Nodo X Y 2 -4000.0000 -6928.2000*************************************************************

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" DESPLAZAMIENTOS EN LOS NODOS " Nodo X Y 1 .000000 .000000 2 -.001463 -.242688 3 .064708 -.242688 4 .129415 .000000

************************************************************* " FUERZAS ACTUANTES EN LAS BARRAS " BARRA CARGA TIPO 1 8014.5137 COMPRESION 2 2156.9200 TENSION 3 .0000 TENSION 4 2807.6806 COMPRESION 5 2156.9200 TENSION

*************************************************************

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C O R R I D A S

D E

E J E M P L O S

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A continuación se muestran los archivos de datos y de resultados de los ejercicios anteriores los cuales se calcularon con el programa de cómputo.

EJERCICIO 1.-

Área de las barras: Modulo de elasticidad: AA = AB = 5 cm2 EA = EB = 2100 ton/cm2

Archivo de datos “armaduras.txt”

3 2 2 1 1 1 0 0 2 480 0 3 240 240 1 5 2100 1 1 3 1 2 2 3 1 1 1 1 2 1 1 3 10 0

Archivo de resultados “resultados.txt”

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YG

XG1 2

3

A B

240 cms

XLB

10 ton

240 cms

XLA

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Num. Nodos .......... 3 Num. Barras .......... 2 Num. Apoyos ......... 2 Propiedades .......... 1 Nodos Cargados .... 1************************************************************* " COORDENADAS DE LOS NODOS " Nodo coord.X coord.Y 1 .000 .000 2 480.000 .000 3 240.000 240.000************************************************************* " PROPIEDADES DE LAS BARRAS " Barra Nodo Nodo Area Mod.Elast. inicial final 1 1 3 5.000 2100.00 2 2 3 5.000 2100.00************************************************************* " APOYOS EN LOS NODOS " Nodo Restriccion X Restriccion Y 1. 1.00000 1.00000 2. 1.00000 1.00000 ************************************************************* " CARGAS EN LOS NODOS " Nodo X Y 3 10.0000 .0000*************************************************************" DESPLAZAMIENTOS DE LOS NODOS " Nodo X Y 1 .000000 .000000 2 .000000 .000000 3 .323249 .000000*************************************************************" FUERZAS ACTUANTES EN LAS BARRAS " BARRA CARGA TIPO 1 7.0711 TENSION 2 7.0711 COMPRESION *************************************************************

EJERCICIO 2.- 15 ton

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Área de las barras: Modulo de elasticidad:

AA = AB = 10 cm2 E = 2100 ton/cm2

AC = AD = AE = 5 cm2

Archivo de datos “armaduras.txt”

4 5 3 2 1 1 0 0 2 250 300 3 250 0 4 500 0 1 10 2100 2 5 2100 1 1 2 1 2 2 4 1 3 1 3 2 4 3 4 2 5 2 3 2 1 1 1 3 0 1 4 0 1 2 13 -7.5



Morelia, Mich.

A B

E

C DXG

YG

1

2

3

4

250 cms 250 cms

300 cms

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Num. Nodos .......... 4 Num. Barras .......... 5 Num. Apoyos ......... 3 Propiedades .......... 2 Nodos Cargados .... 1***************************************************************** " COORDENADAS DE LOS NODOS " Nodo coord.X coord.Y 1 .000 .000 2 250.000 300.000 3 250.000 .000 4 500.000 .000***************************************************************** " PROPIEDADES DE LAS BARRAS " Barra Nodo Nodo Area Mod.Elast. inicial final 1 1 2 10.000 2100.00 2 2 4 10.000 2100.00 3 1 3 5.000 2100.00 4 3 4 5.000 2100.00 5 2 3 5.000 2100.00***************************************************************** " APOYOS EN LOS NODOS " Nodo Restriccion X Restriccion Y 1. 1.00000 1.00000 3. .00000 1.00000 4. .00000 1.00000 ***************************************************************** " CARGAS EN LOS NODOS " Nodo X Y 2 13.0000 -7.50000***************************************************************** " DESPLAZAMIENTOS DE LOS NODOS " Nodo X Y 1 .000000 .000000 2 .465785 -.167937 3 .170855 .000000 4 .341710 .000000*****************************************************************

" FUERZAS ACTUANTES EN LAS BARRAS " BARRA CARGA TIPO 1 9.0975 TENSION 2 11.2091 COMPRESION 3 7.1759 TENSION 4 7.1759 TENSION 5 5.8778 COMPRESION

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******************************************************************

EJERCICIO 3.-

Área de las barras: Modulo de elasticidad:

AA = AB = 12 cm2 E = 2100 ton/cm2

AC =AD =AE =AF = 6 cm2

Archivo de datos “armaduras.txt” 4 6 2 2 2 1 0 0 2 500 0 3 0 200 4 500 200 1 12 2100 2 6 2100 1 3 4 1 2 1 2 1 3 1 3 2 4 2 4 2 5 1 4 2 6 2 3 2 1 1 0 3 1 1 2 3.536 -3.536 4 0 -10



Num. Nodos .......... 4 Num. Barras .......... 6 Num. Apoyos ......... 2 Propiedades .......... 2

Morelia, Mich.

1XG

YG

200 cms

500 cms

2

43

C

A

D

B

F

E

10 ton

5 ton

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Nodos Cargados .... 2******************************************************************* " COORDENADAS DE LOS NODOS " Nodo coord.X coord.Y 1 .000 .000 2 500.000 .000 3 .000 200.000 4 500.000 200.000******************************************************************* " PROPIEDADES DE LAS BARRAS " Barra Nodo Nodo Area Mod.Elast. inicial final 1 3 4 12.000 2100.00 2 1 2 12.000 2100.00 3 1 3 6.000 2100.00 4 2 4 6.000 2100.00 5 1 4 6.000 2100.00 6 2 3 6.000 2100.00******************************************************************* " APOYOS EN LOS NODOS " Nodo Restriccion X Restriccion Y 1. 1.00000 .00000 3. 1.00000 1.00000 ******************************************************************* " CARGAS EN LOS NODOS " Nodo X Y 2 3.5360 -3.5360 4 .0000 -10.0000******************************************************************* " DESPLAZAMIENTOS DE LOS NODOS " Nodo X Y 1 .000000 -.103343 2 -.278323 -2.872702 3 .000000 .000000 4 .322947 -2.928089*******************************************************************

" FUERZAS ACTUANTES EN LAS BARRAS " BARRA CARGA TIPO 1 16.2765 TENSION 2 14.0275 COMPRESION 3 6.5106 TENSION 4 3.4894 COMPRESION 5 17.5303 COMPRESION 6 18.9165 TENSION *******************************************************************

Morelia, Mich.

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C O N C L U S I O N E S

Al realizar esta tesina me di cuenta de lo importante que es saber usar

el método de las rigideces ya que es un apoyo muy importante para el

Morelia, Mich.

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análisis de cualquier tipo de estructura, ya sea en dos o tres

dimensiones, y así poder calcular las deformaciones o desplazamientos

en sus nodos y las fuerzas en los extremos de sus barras.

Con este método se realiza el análisis de estructuras sin importar si es

grande o chica (edificios, casas, etc.). Sin embargo, si la estructura tiene

una gran cantidad de nodos, el cálculo de ésta resulta ser muy

laborioso, tardado y con el riesgo de poderse equivocar en un sólo

cálculo, obteniendo así un resultado incorrecto por lo que se tendría que

volver a realizar todo el procedimiento; esto implica tiempo,

concentración y dedicación.

Resulta de mucha utilidad dominar un lenguaje de programación, tal

como Fortran, pues esto permite programar el método de las rigideces,

logrando así realizar el análisis estructural de una manera más ágil y

sencilla.

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G L O S A R I O

RIGIDEZ AXIAL. Es la fuerza necesaria aplicada en el extremo de una barra para producir en él una deformación longitudinal unitaria.

DESPLAZAMIENTOS. Son deformaciones en las estructuras producidas por fuerzas externas, los desplazamientos pueden ser horizontal, vertical y giros, mismos que dependerán de las condiciones de apoyo.

GL = Grados de libertad nodal

XL, YL = Ejes de referencia sistema local de cada barra

XG, YG = Ejes de referencia sistema global de toda la estructura

A = área total de cada barra

E = Módulo de elasticidad

= Vector de fuerzas nodales

= Matriz de coeficientes de rigidez de la barra

= Vector de desplazamientos nodales

= Submatriz de rigidez de cada barra

= Matriz de rotación o transformación ortogonal

= Transpuesta de la matriz de rotación

ALGORITMO. Es un conjunto finito de instrucciones o pasos a seguir que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema.

DIAGRAMA DE FLUJO. Es la representación grafica del algoritmo, en el cual se utilizan símbolos con significados especiales, los cuales se conectan por medio de flechas para indicar la secuencia de los pasos a seguir para la solución.

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B I B L I O G R A F Í A

McCormac, J. C., y Nelson, J. K., “Análisis de Estructuras”, Método clásico y matricial, 2ª. Edición, Alfaomega grupo editor S. A. de C.V., México DF., 2002.

Álvarez, J. S., “Método de las rigideces para armaduras planas”, apuntes, Morelia Mich., 2004-2005.

Rojas R. R., “Método de las rigideces para armaduras planas”, apuntes, Morelia Mich., 2006-2007.

Sánchez, I. A., “Programación en fortran”, apuntes, Morelia Mich., 2006-2007.

Morelia, Mich.

metodo de las rigideces1

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