Resolución de problemas Resolución de problemas mediante el método de Gaussmediante el método de Gauss

La suma de las edades de tres hermanas es 20 años. Hace dos años la edad de la mayor era el cuádruple de la diferencia de las otras dos; dentro de 6 años la edad de la menor será la diferencia de la mayor y la mitad de la menor. Se pide:

a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar la edad actual de cada hermana.

b) Resolver el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.

Llamaremos:

X : Edad actual de la hermana mayor

Y: Edad actual de la hermana mediana

Z: Edad actual de la hermana menor

Pondremos nombre a nuestras incógnitas:

Como la suma de las tres edades es 20:

X + Y + Z = 20

Hace 2 años (la diferencia de edades es constante ):

X- 2 = 4 ( Y- Z ) Dentro de 6 años

Z+ 6 = X+ 6 - 1/2 (Y+6)

Estableceremos las relaciones que hay Estableceremos las relaciones que hay entre las incógnitas mediante entre las incógnitas mediante

ecuaciones:ecuaciones:

X+Y+ Z =20

X- 2 = 4(Y-Z)

Z+6 =X+ 6- 1/2(Y+6)=X+6-Y/2-3

Plantearemos el sistema dePlantearemos el sistema de ecuaciones: ecuaciones:

X+Y+ Z =20

X- 4Y+4Z =2

Z+6 =X+6-Y/2-3

Realizaremos las operaciones Realizaremos las operaciones algebraicas elementales:algebraicas elementales:

X+Y+ Z =20

X- 4Y-4Z =4

2X-Y -2Z = 6

El sistema queda: El sistema queda:

X + Y+ Z = 20

X - 4Y+ 4Z = 2

2X - Y - 2Z = 6

X+Y+ Z =20

X- 4Y+4Z-(X+Y+Z) =2-20

2X-Y -2Z -2(X+Y+Z)= 6-2·20

Restamos a la segunda ecuación la Restamos a la segunda ecuación la primera y a la tercera la primera primera y a la tercera la primera

multiplicada por dos:multiplicada por dos:

X + Y+ Z =20

- 5Y + 3Z = -18

-3Y - 4 Z = -34

Realizamos las operaciones Realizamos las operaciones elementales y queda así: elementales y queda así:

X + Y+ Z =20

- 5Y + 3Z = -18

-8Y - Z = -52

Para utilizar coeficientes más sencillosPara utilizar coeficientes más sencillossumamos a la última ecuaciónsumamos a la última ecuación

la segunda y queda así: la segunda y queda así:

X + Y+ Z =20

- 5Y + 3Z = -18

-29Y = -174

Multiplicamos a la tercera ecuación por Multiplicamos a la tercera ecuación por tres y le sumamos la segundatres y le sumamos la segunda

obteniendo: obteniendo:

X + Y+ Z =20

- 5Y + 3Z = -18

-29Y = -174

Y=-174/-29=6 Y=6

Despejamos la Y Despejamos la Y en la tercera ecuación : en la tercera ecuación :

X + Y+ Z =20

- 5Y + 3Z = -18

-29Y = -174

Z = (-18 +6·5)/3=6 Z= 4

Con ese valor de Y despejamosCon ese valor de Y despejamos Z en la segunda ecuación : Z en la segunda ecuación :

X + Y+ Z =20

- 5Y + 3Z = -18

-29Y = -174

X = 20- 6- 4 = 10 X= 10

Con los valores de Z y de Y Con los valores de Z y de Y encontrados despejamos X encontrados despejamos X

en la primera ecuación : en la primera ecuación :

Por tanto las edades Por tanto las edades de las tres hermanas son:de las tres hermanas son:

Edad de la mayor = X = 10 años

Edad de la mediana = Y = 6 años

Edad de la menor = Z = 4 años