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EL MTODO SOBRE LOS TEOREMAS

MECNICOS DE ARQUMEDES

Estoy convencido de que el mtodo mecnico no ser menos til para demostrarlos propios teoremas. Pues algunos de los que primero se me hicieron patentesmecnicamente, recibieron luego demostracin geomtricamente [...] pues es msfcil, despus de haber adquirido por ese mtodo cierto conocimiento de lascuestiones objeto de investigacin, dar luego la demostracin, que investigar sinningn conocimiento previo.Arqumedes. El Mtodo. Prembulo dirigido a Eratstenes.

La imaginacin no acta menos en un gemetra que crea que en un poeta queinventa. [...] De todos los grandes hombres de la antigedad, es acaso Arqumedesel que ms merece figurar al lado de Homero.D'Alembert. Discurso preliminar de la Enciclopedia. Orbis, Barcelona, 1984. p.63.

Arqumedes es el cientfico que ha llegado a la ms alta cima de la abstraccin, y,segn Plutarco, la muerte le acechaba, en uno de sus momentos de xtasis.F.Vera. Arqumedes (en Cientficos griegos). Aguilar, 1970. p.11.

Entre todos los trabajos que se refieren a las disciplinas matemticas, parece queel primer lugar puede ser reivindicado por los descubrimientos de Arqumedes,que confunden a las almas por el milagro de su sutilidad.Torricelli. Opera Geometrica. Florencia, 1644. Proemio.

Introduccin: del mtodo mecnico de Arqumedes al Calculo Integral.La originalidad y el estilo matemticos de Arqumedes.La obra matemtica de Arqumedes.Descubrimiento y demostracin en Arqumedes.Citas memorables sobre Arqumedes.El Mtodo sobre los Teoremas Mecnicos de Arqumedes (MTODO).

La naturaleza del MTODO como tratado matemtico.Las vicisitudes histricas del MTODO y la reconstruccin de Heiberg.El contenido matemtico del MTODO.El Prembulo dirigido a Eratstenes y los Lemas del MTODO.Las Proposiciones del MTODO.

La Cuadratura del segmento parablico.La Cubatura de la esfera.

Anlisis crtico del mtodo mecnico de Arqumedes.El mtodo de exhaucin en Arqumedes. La cuadratura de la espiral.La influencia de Arqumedes en la gnesis del Calculo Integral.

El mtodo mecnico de Arqumedes y los Indivisibles de Cavalieri.El mtodo de exhaucin en Arqumedes y los lmites.

Eplogo: los mtodos de Arqumedes y el Calculo Integral.Bibliografa.

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Introduccin: del Mtodo de Arqumedes al Clculo IntegralArqumedes es reconocido, con sorprendente unanimidad, como el ms importante de losmatemticos de la antigedad, sus principales obras fueron impresas y traducidas al latnpor vez primera entre 1503 y 1588, ejerciendo una decisiva influencia sobre el pensamientode esa poca. El estudioso contemporneo, A.Koyr, llega a afirmar en su obra Estudiosde Historia del Pensamiento Cientfico que se podra resumir el trabajo cientfico del sigloXVI en la admisin y comprensin gradual de la obra de Arqumedes. En la centuriasiguiente Benedetti, Stevin, Galileo, Cavalieri, Kepler, Torricelli y muchos otros reconocernla inmensa deuda con el sobrehumano Arqumedes, cuya obra, prdiga en asombrososresultados y modelo de exposicin rigurosa, constituy un slido punto de partida tanto parala configuracin de la nueva fsica como para la invencin del clculo infinitesimal.Como veremos, con frecuencia, sin soporte en fuentes fidedignas y por tanto sin fundamentohistrico serio, a Arqumedes se le atribuyen desde la ms remota antigedad toda clase deinventos, algunos de ellos comentados y reproducidos por Leonardo, de quien Arqumedessera digno antecesor. Esto quiere decir que la genialidad y la capacidad inventiva deArqumedes tambin en el campo de la Mecnica Aplicada forma parte de la tradicin. Laatribucin, ms o menos impropia, a Arqumedes, de algunos inventos puede provenir delhecho de que desde antiguo el sabio tuvo la gloria de ver adjetivado su nombre en lasfuentes histricas y literarias, de modo que invento arquimdeo o arquimediano tanto podrasignificar un artilugio diseado por el propio Arqumedes como un instrumento realizado conel ingenio, el arte y la sutileza de Arqumedes. A ttulo de ejemplo mencionemos la clebreEsfera de Arqumedes, una especie de planetario que reproduca de modo mecnico elmovimiento de los cuerpos celestes del sistema solar entonces conocido, a saber: el sol, laluna y los cinco planetas, emulando, asimismo, la formacin de los eclipses y la descarga deciertos fenmenos atmosfricos, como el rayo y el trueno. Segn Pappus y Proclo, ladescripcin del ingenio habra sido hecha por Arqumedes en la obra Esferopea, ahoraperdida. Muchos escritores Ovidio, Sexto Emprico, Claudiano, Lactancio, Escoto,Mirabella, Mazuchelli, Favaro, Cardano, ... han hablado de la famosa Esfera deArqumedes. Destaquemos entre todos a Cicern (Tusculanae disputationes, I.63):

Cuando Arqumedes fij en una Esfera los movimientos del sol, de la luna y de loscinco planetas, realiz lo mismo que el Dios de Platn, que en el Timeo construy elmundo de manera que una sola revolucin rigiese movimientos muy distintos,combinando lentitud y celeridad. Y si esto en este mundo no se puede hacer sin Dios,tampoco Arqumedes, ciertamente sin una inteligencia divina habra podido imitar enuna Esfera los mismos movimientos.

[...] Tuvo ms ingenio Arqumedes al imitar las rbitas de la Esfera, que la naturalezaal concebirlas.

Vemos que la Literatura ha embellecido la figura de Arqumedes a quien se describe comoel sagaz ingeniero de la antigedad que pone su ingenio al servicio de la construccin deincrebles mquinas que multiplican hasta lo inverosmil el trabajo de los hombres, algunasde las cuales destinar al servicio de la incansable defensa de su ciudad natal Siracusa antelas embestidas de los ejrcitos romanos.Pero ms all del romanticismo que las narraciones ms o menos fantsticas haimpregnado a la figura de Arqumedes, interesa sobremanera a la Historia de la Ciencia y enparticular a la Historia de la Matemtica, su ingente contribucin al engrandecimiento delpatrimonio matemtico de su poca, en una triple vertiente, la de la propia ampliacinconsiderable de los conocimientos matemticos eucldeos, la consolidacin del impecableprocedimiento demostrativo y lo que desde el punto de vista heurstico es todava msimportante: la aplicacin de una metodologa nueva en el alumbramiento del descubrimientomatemtico.Sin descuidar los dos primeros aspectos, el tratado de Arqumedes que nos proponemosestudiar El mtodo sobre los teoremas mecnicos, cuyo largo ttulo indicaremos por ELMTODO, cubre la tercera cuestin, que desarrollaremos con amplitud, al ver cmo

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Arqumedes aplica la famosa ley que rige la ms sencilla de sus mquinas La Ley de laPalanca y da muestras de una agilidad mental y una ductilidad investigadora que combinael rigor intelectual con la orientacin natural de la intuicin sensorial. Con ello, Arqumedeses capaz de obviar e incluso de desafiar los presupuestos ideolgicos de la Filosofaplatnica de la Matemtica que desdeaba hasta la condena las aplicaciones prcticas dela Matemtica para vincular la investigacin terica de la especulacin abstracta con lasrealizaciones tcnicas, nacidas de la necesidad de resolver problemas concretos,desarrollando una concepcin matemtico-experimental que inaugura una tradicin cientficallamada despus Filosofa Natural y mucho ms tarde Fsica Matemtica, que retomadapor Galileo, establece las bases de la Revolucin cientfica del siglo XVII.Estamos ante una obra que nos despierta una gran inquietud cientfica, e incluso nos incita aespecular con fantasas ucrnicas. EL MTODO slo es conocido por la comunidadcientfica internacional desde 1906, cuando el brillante helenista e historiador cientficoJ.L.Heiberg, lo descubre en novelescas circunstancias. Es, por lo tanto, una obra deArqumedes que no ha ejercido directamente influencia sobre la trayectoria conocida delpensamiento cientfico, pero que, en cierto modo, ha estado presente como una especie devariable oculta, al suscitarse a lo largo de la historia discusiones acerca de la posesin porparte de Arqumedes de algn presunto mtodo de descubrimiento que el sabio habasilenciado. Una vez conocido EL MTODO, la relectura de las otras obras de Arqumedesnos obliga a plantearnos diversas cuestiones epistemolgicas acerca de la relacin entreprocesos de descubrimientoinvencin y mtodos de exposicindemostracin, reflexionesque nos conducirn a interrogarnos acerca de las relaciones entre la dominante escueladeductiva platnico-eucldea y la nebulosa y subordinada escuela inductiva de Demcrito.De aqu a cuestionarse si es posible que EL MTODO haya sido conocido en alguna poca,o a preguntarse cmo hubiera sido la Historia de la Ciencia si se hubiese conocido ELMTODO desde el Renacimiento, slo hay un paso, que algn osado estudioso de laciencia griega se ha atrevido a dar.El pensamiento y la obra de Arqumedes han ejercido siempre una irresistible atraccin, porsu genialidad y originalidad, que hacen de su legado un manantial de savia singular paramuchos caminos de la Ciencia y especialmente de la Matemtica, donde se le considerauno de sus cultivadores ms grandes de todos los tiempos. En su penetrante conciencia delrigor, Arqumedes comparta con los clsicos, en particular los de la escuela eucldea, lapotencia demostrativa, pero en la genialidad de la invencin super con creces a todos suscoetneos y antecesores. Es precisamente de la conjuncin de ambas de dondeArqumedes obtena su instrumental creativo. Al desmarcarse del idealismo matemticoplatnico coetneo, Arqumedes no descarta ningn procedimiento tcnico en su invencin,sino que aprovecha cuanto haban desdeado o proscrito los que le precedieron, lomecnico, lo fsico, lo operativo, y todo lo que le ofrece la realidad, por irregular y corpreaque sea, como elementos de una investigacin objetiva precedente, a la que sigue, bajo unespritu de rigor, la demostracin de todo cuanto en la fase inventiva anterior ha intuido.Arqumedes lleva por tanto una doble actividad como matemtico, la inventiva y lademostrativa, pero en sus grandes tratados clsicos slo da cuenta de la segunda,produciendo una gran admiracin sus magnficos resultados matemticos, pero tambin unagran perplejidad, ante la ocultacin del camino seguido en la investigacin. Slo en unaobra, El Mtodo sobre los teoremas mecnicos, Arqumedes comunica, de forma heurstica,las vas y los procedimientos mecnicos que utilizaba en sus descubrimientos. Debido a quela obra de Arqumedes permaneci ignorada durante siglos, hasta comienzos del siglo XX,muchos matemticos estaban convencidos de una intuicin que gravitaba sobre sucreatividad, segn la cual Arqumedes haba utilizado un mtodo singularmente original ensu investigacin, que habra mantenido en secreto para la posteridad.Tras esta introduccin donde se ha presentado a Arqumedes y al MTODO, vamos adescribir el estilo matemtico de Arqumedes de una excepcional originalidad; haremos unasntesis de su inmensa aportacin matemtica y estudiaremos la cuestin epistemolgica decmo se interpenetran en la Matemtica de Arqumedes el descubrimiento y lademostracin.

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A continuacin, pasamos a estudiar ya propiamente EL MTODO de Arqumedes, suestructura y naturaleza como tratado matemtico, que contiene los procedimientosheursticos de tipo mecnico que Arqumedes utilizaba en sus extraordinariosdescubrimientos y en la preparacin de la demostracin de los resultados matemticos.Sigue el relato de las vicisitudes histricas sufridas por este tratado de Arqumedes y laencomiable labor de arqueologa matemtica realizada por J.L. Heiberg en sureconstruccin. Se describe el contenido de todas las proposiciones del MTODO y seestudia en profundidad las dos primeras proposiciones la Cuadratura del segmentoparablico y la Cubatura de la esfera, que adems de ser las ms sencillas y significativas,desde el punto de vista didctico, para ilustrar el mtodo mecnico de Arqumedes, nos danun modelo de su aplicacin al clculo de reas y de volmenes. Tambin se hace unAnlisis crtico del mtodo mecnico de Arqumedes, en el que, deliberadamente, de formaanacrnica se compara la prctica arquimediana con los procedimientos del Clculo Integral,para poder explicar por qu, con mtodos no ortodoxos del todo, pudo Arqumedes obtenerresultados absolutamente correctos.Con ello entramos en la ltima parte, donde tras describir quiz el ejemplo msrepresentativo de la aplicacin del mtodo demostrativo de exhaucin la Cuadratura de laEspiral estudiamos la trascendente influencia de Arqumedes en la gnesis del ClculoIntegral, a travs de dos analogas manifiestas el mtodo mecnico de descubrimiento ylos Indivisibles del siglo XVII, por una parte, y el mtodo de demostracin por exhaucin ylos lmites de la aritmetizacin del Anlisis del siglo XIX, por otra.A lo largo de la exposicin aparecen comentarios alusivos a las relaciones del MTODO conlas restantes obras de Arqumedes, as como referencias, ms o menos legendarias, aalgunos de sus inventos y a importantes episodios, a caballo entre la mitologa y la realidad,de la vida del ms egregio cientfico del mundo clsico griego, de gran trascendencia en lahistoria poltica y militar de su tiempo.EL MTODO de Arqumedes es una obra fundamental en la moderna Historia de lasCiencias, una pieza bsica y ejemplar porque su lectura conduce a interrogarnos acerca delos resultados y de los procedimientos de investigacin que se utilizaban en una de laspocas ms importantes en la historia de nuestra cultura. El tratado de Arqumedes tiene uninters singular tanto desde el punto de vista del proceso heurstico, como por suinconmensurable valor cientfico y como documento histrico.Con este estudio sobre uno de los tratados ms importantes de la Matemtica griegaqueremos rendir tributo a un pensamiento tico que reza: nuestra recompensa seencuentra en el esfuerzo y no en el resultado que en otro mbito expresara que elcamino es lo ms importante del viaje, incluso ms que la meta, sentencias que aplicadasal descubrimiento cientfico nos indican que el mtodo es al menos tan importante como elresultado, pensamiento que mucho mejor expresado en palabras del eximio cientfico yamigo de Napolen, Laplace (Oeuvres. Mcanique Cleste, Acadmie des Sciences, Pars,1878, vol.3), dira:

El conocimiento del mtodo del hombre de genio no es menos til al progreso de laciencia e incluso a su propia gloria que sus descubrimientos.

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La originalidad y el estilo matemticos de ArqumedesArqumedes es, sin duda, uno de los cientficos ms conocidos en la Historia de la Cultura,ya no slo porque su nombre est asociado al clebre Principio de la Hidrosttica que llevasu nombre, sino tambin por ser uno de los creadores de la Esttica, que es el primerembrin de la Mecnica Racional. En el mbito de la Matemtica se le considera el msilustre de los Matemticos griegos, por haber encontrado y demostrado muchas de lasfrmulas geomtricas que no figuraban en Los Elementos de Euclides, como expresionesequivalentes a la longitud y rea del crculo, superficie y volumen de la esfera, conos ycilindros, as como volmenes de otras cudricas de revolucin.Si Euclides es el gran maestro, Arqumedes es el investigador por antonomasia, que,aunque se atiene al estndar geomtrico eucldeo establecido para la exposicin, a base defijar con antelacin las hiptesis que postula, previo a la demostracin cuidadosamenterigurosa de las proposiciones que enuncia, tiene una actuacin matemtica que enlaza msdirectamente con el genio creador del siglo IV a.C. representado por Eudoxo, ya que elpropsito fundamental de Arqumedes no es de ndole metodolgica, como el caso deEuclides, sino el aporte de nuevos resultados, la magnificacin del acervo matemtico. Poreso sus escritos son verdaderas memorias cientficas originales en las que se da por sabidotodo lo descubierto con anterioridad.Arqumedes era hijo del astrnomo Fidias y por tanto es probable que su primera formacinproviniera de su padre; pero enseguida se traslada de Siracusa donde haba nacido el ao287 a.C. a Alejandra, que por entonces era el ms importante centro de estudios delMediterrneo y el ncleo de la cultura helenstica, con sus dos instituciones, El Museo y LaBiblioteca.Al llegar a Alejandra, Arqumedes debi encontrar un ambiente cientfico polarizado hacialas Matemticas, que habiendo recibido un enorme impulso gracias a la figura de Euclides,quedaron imbuidas del modelo de racionalidad geomtrica fundado por l, y mantenido porsus discpulos, los cuales se lo transmitiran en sus enseanzas a Arqumedes. Arqumedes estuvo algn tiempo en Alejandra completando su formacin. En este perododebi trabar amistad con ciertos cientficos (en particular Conn de Samos, Dositeo dePelusa y Eratstenes de Cirene), a quienes, de regreso a Siracusa, dirigir posteriormentesus tratados. Sorprende que Arqumedes, con su vocacin estudiosa e investigadora, nopermaneciera en Alejandra, donde tena un emporio cientfico institucional a su disposicin.Se puede conjeturar que fue la llamada de Hiern rey de Siracusa con el que Arqumedesestaba emparentado, empeado en favorecer la cultura en su tierra natal, lo que le indujo aregresar a su patria. A este respecto relata Plutarco (Vida de Marcelo, XIV):

[....]. Y le persuadi [el rey Hiern] a que convirtiese alguna parte de aquella cienciade las cosas intelectuales a las sensibles y que, aplicando sus conocimientos a losusos de la vida, hiciese que le entrasen por los ojos a la muchedumbre.

Sin embargo los motivos que impelieron a Arqumedes a abandonar Alejandra pueden serde ndole ms profunda an que el propio patriotismo, enraizados en su propia personalidadcomo cientfico. La ciencia alejandrina estaba muy mediatizada por la influencia ideolgicadel platonismo. Con casi la nica excepcin de la Medicina, la cultura helenstica desarrolluna ciencia sustancialmente terica y abstracta, que, complacida en su idealidad en losmtodos y en los contenidos, permaneci ligada al modelo terico de la Matemtica pura,que rechazaba las aplicaciones prcticas de la ciencia a la realidad corprea y sensible porconsiderarlas objeto de oficios toscos y manuales e impropias de una actividad liberal quedeba dedicarse slo al estudio de la dimensin inteligible de la realidad bajo una Filosofade la actividad cientfica e intelectual que describe Plutarco en Vida de Marcelo, XIV.Bajo esta filosofa del trabajo cientfico, el tcnico, como venda su obra, quedando asrebajada a la categora de mercanca, no era un autntico cientfico. El verdadero cientficoera el que, gracias a la proteccin oficial, basaba su prestigio en el saber terico, nicodigno de una posicin social eminente.

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Es posible que fueran estos presupuestos ideolgicos los que indujeran a Arqumedes aabandonar Alejandra, consciente de que all su espritu cientfico no iba a tener un mbitoadecuado. En efecto, la actividad investigadora de Arqumedes fue profundamente original ydiferente de la ciencia alejandrina, porque, fundiendo los aspectos cientficos con lostcnicos, logr alcanzar una sntesis armnica que, elevndose a las ms altas cotas delrigor, produjo extraordinarios resultados al complementar la investigacin terica con lasaplicaciones prcticas. Arqumedes se enfrent contra todos los prejuicios platnicos y enaras de la realidad no dud en extraer de la Mecnica y de la Geometra del mundo sensibleen el que no hay puntos sin extensin ni lneas sin grosor y en el que todo es material, loselementos y recursos fsicos que, contando, midiendo e incluso pesando y no haciendometafsica, como los platnicos epgonos de Euclides, conducen por abstraccin alconocimiento lgico. As pues, el abismo que el idealismo de Platn haba establecido entrela teora y la prctica fue salvado por Arqumedes con la aplicacin de la tcnica y deinstrumentos geomtricos ms all de la Geometra que permita la regla y el compsplatnicos; por ejemplo al prescindir de los cnones eucldeos e introducir una de las curvasms importantes de la Matemtica como la Espiral llamada de Arqumedes.De ello es buena muestra su magnfica obra El Mtodo sobre los teoremas mecnicos(EL MTODO), donde, de una forma totalmente diferente a los esquemas metodolgicosalejandrinos, con una brillante conjuncin de la Mecnica y la Geometra, Arqumedes revelael camino que segua para descubrir sus resultados matemticos. Arqumedes crea en dosestadios de actividad cientfica, con dos mtodos diferentes que se complementan, elprimero intuitivo donde se descubre y se inventa, el segundo apodctico donde se convalidalo intuido y se demuestra de forma rigurosamente deductiva siguiendo el modelo euclidiano.A pesar de que Arqumedes desarroll su ingente labor investigadora lejos de Alejandra, nopermaneci totalmente aislado. Convencido de la importancia de sus descubrimientos, dejque los doctos de Alejandra mantuviesen inclume el patrimonio eucldeo, pero secomunicaba con ellos. Es posible que Arqumedes viera como una necesidad la aprobacinpor parte de los cientficos del Museo de sus resultados matemticos. Quiz por ellotambin, despus de realizar sus descubrimientos con su original mtodo mecnico, comoobedeciendo a la ciencia oficial, Arqumedes realizaba una impecable demostracinmediante el mtodo de exhaucin. No es probable que Arqumedes hiciera esto por lapersistencia en l de la influencia platnica; antes bien, parece que l mismo, comomanifiesta en el Prembulo del MTODO, senta necesario confirmar sus intuicionesmecnicas con una demostracin rigurosa. As, por una parte, su obra queda perfectamenteengarzada en la rgida tradicin de la Geometra griega; y por otra, sus descubrimientospudieron ser conocidos y ponderados por el resto del mundo cientfico helnico y a travssuyo permanecer para la posteridad.Arqumedes supo partir de la realidad material, como fuente intuitiva del descubrimientomatemtico, y, recprocamente, aplicar las Matemticas a la realidad, pero lo hizo con unfrreo apoyo en las slidas y firmes bases eucldeas, para trascender la tradicin y ampliarde forma considerable los horizontes metodolgicos de la Matemtica de su tiempo yampliar el cumulo de conocimientos sobre todo con la ubrrima fecundidad del mtodomecnico del MTODO, en el que Arqumedes escribe al final del Prembulo:

[...] Estoy convencido de que [EL MTODO] puede representar una contribucin nopoco provechosa a la investigacin matemtica. Pues supongo que algunosestudiosos, contemporneos o futuros, llegarn a encontrar, por el mtodo expuesto,otros teoremas que a m no se me han ocurrido todava.

Estas palabras nos recuerdan la frase antolgica con la que termina el clebre ensayogeomtrico que acompaa al El Discurso del Mtodo, La Geometra de Descartes:[...] Y yo espero que nuestros descendientes me estarn agradecidos no slo por las cosasque aqu he explicado, sino tambin por aquellas que he omitido voluntariamente a fin dedejarles el placer de descubrirlas. (G.AT,VI, 485)

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ARQUMEDES, UN SABIO DE LEYENDAPor fortuna, Arqumedes es uno los pocospersonajes matemticos griegos de quien nos hallegado noticias de su vida, ya que han glosadosu figura los historiadores y escritores mseximios de la antigedad Tito Livio, Plutarco,Polibio y Cicern, entre otros. Tal vez seanstas las fuentes ms fiables, pero hay otrasmuchas Valerio Mximo, Silio Itlico, GiorgioValla, Eutocio, Zonaras, Tzetzes que han vistoestimulada su fantasa por las asombrosasinvenciones tcnicas, que parecan subvertir laspropias leyes de la naturaleza, que la tradicinha atribuido a Arqumedes.A pesar de las mltiples fuentes, lo nico quepodemos afirmar con certeza es queArqumedes muri en el ao 212 a.C. en la cadade Siracusa en manos del cnsul romano,Marcelo, durante la segunda guerra pnica, trasun prolongado cerco de tres aos, en el queArqumedes habra participado brillantementecomo defensor, ingeniando espectacularesartilugios militares, que causando el terror alenemigo, prolongaran de forma considerable lade otro modo inminente toma de la ciudad.Para sus conciudadanos, Arqumedes fue unpersonaje clebre, curioso y famoso por susmritos cientficos, por sus excentricidades, porlos originales inventos que le atribuyeron y porsu vinculacin con la familia real, que siemprele tuvo en una gran estima, como manifiesta lafrase de Hiern II:

Mostradme un hombre que haga crecer dosespigas de trigo donde hoy slo crece una, yle conceder ms honores que al propioArqumedes.

La vida de Arqumedes se ha reconstruidosobre la base de fragmentos de diversos autores,sobre todo de los historiadores de las guerraspnicas. Su figura histrica fue embellecidahasta la hagiografa o deformada por laimaginacin popular y por la tradicinlegendaria ulterior, que la revestira conancdotas muchas de ellas inverosmiles quellegaban a impregnar al personaje de unaaureola casi sobrenaturalAs por ejemplo Silio Itlico escribe sobreArqumedes en el poema dedicado a la segundaguerra pnica (Punica, pp.341342):

Haba, pues, en Siracusa, un hombre que,sin estar favorecido por una gran fortuna, seelev por su genio por encima de la esfera dela humanidad y de la gloria inmortal de esaciudad. Todos los secretos del universo leeran conocidos. Saba cuando los oscurosrayos del sol naciente presagiaban latempestad, si la tierra estaba fija osuspendida por su eje, por qu el marextendido sobre el globo se mantenaencadenado a su superficie, cules eran lascausas de la agitacin de las olas y de lasdiferentes fases de la luna, qu ley segua elocano en el flujo y reflujo de las mareas.Fama tena de haber contado las arenas dela tierra; l, que supo poner a flote unagalera con el esfuerzo de una sola mujer; l,que hizo subir rocas amontonadas en contrade la pendiente del terreno.

1. Arqumedes pintado por Ribera en 1630. Museodel Prado (Madrid)

2. Sello de correo espaol de 24/3/1963 quereproduce el cuadro de Ribera sobre Arqumedes.

Ribera representa a Arqumedes de una forma untanto irreverente exhibiendo una socarrona sonrisa, loque ha inducido a algunos crticos a aducir que talvez el personaje sera ms bien Demcrito

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EL GENIO DE ARQUMEDES SEGN PLUTARCO

Es sobre todo Plutarco, en sus Vidas Paralelas, quien con ms detalle relata la genialidad terica yprctica, as como ciertos episodios de la vida de Arqumedes, en su Vida de Marcelo, en relacin con laintervencin del cientfico en la defensa de Siracusa.Sobre el carcter especulativo en la invencin as como riguroso y claro en la demostracin, Plutarcoplatoniza a Arqumedes escribiendo (Marcelo, XVII):

En cuanto a Arqumedes , fue tanto su juicio, tan grande su ingenio y tal su riqueza en teoremas, quesobre aquellos objetos que le haban dado el nombre y gloria de una inteligencia sobrehumana, nopermiti dejar nada escrito; y es que tena por innoble y ministerial toda ocupacin en la mecnica ytodo arte aplicado a nuestros usos, y pona nicamente su deseo de sobresalir en aquellas cosas quellevan consigo lo bello y excelente, sin mezcla de nada servil, diversas y separadas de los dems, peroque hacen que se entable contienda entre la demostracin y la materia; de parte de la una, por logrande y lo bello, y de parte de la otra, por la exactitud y por el maravilloso poder; pues es imposibleencontrar en toda la Geometra cuestiones ms difciles y ms importantes explicadas con trminosms sencillos ni ms comprensibles; lo cual unos creen debe atribuirse a la sublimidad de su ingenio,y otros, a un excesivo trabajo, [...].

Sobre ciertas actitudes excntricas de Arqumedes a las que le llevaran su actividad creativa, contina eltestimonio de Plutarco (Marcelo, XVII):

Halagado y entretenido de continuo por una sirena domstica y familiar, se olvidaba del alimento yno cuidaba de su persona y llevado por la fuerza a ungirse y baarse, formaba figuras geomtricas enel mismo hogar, y despus de ungido tiraba lneas con el dedo, estando verdaderamente fuera de s, ycomo posedo de las musas, por el sumo placer que en estas ocupaciones hallaba.

A pesar de estas manifestaciones de Plutarco, muchos de los trabajos de Arqumedes estn vinculados ala experiencia, de modo que muchas de sus investigaciones y descubrimientos resultan de la necesidadde resolver problemas prcticos. De hecho a Arqumedes se le conoce como el fsico e ingeniero msfamoso de la antigedad por la cantidad de mquinas que se le atribuyen. A ttulo de ejemplomencionemos el tornillo hidrulico de la imagen del sello, llamado tambin cclea, una ingeniosamquina construida por Arqumedes a la que Galileo calific como maravillosa y milagrosa, quepermite elevar el agua de forma rpida venciendo la resistencia gravitatoria. Fue utilizada para extraeragua de los ros para convertir en frtiles tierras yermas, as como para desaguar las tierras ms bajas,donde se originaban pestes por el estancamiento de las aguas. En el Renacimiento, Leonardo vuelve aestudiar y reproducir el instrumento de Arqumedes, quien resulta ser un digno antecesor de aqul.En su Naturalis Historia, Plinio el Viejo, que en su juventud haba sido administrador de las minas delnoroeste de Espaa, relata cmo se soltaba agua a presin desde la cima de las montaas aurferas de lasMdulas, en el Bierzo leons, para proceder despus al lavado de las arenas. Se utilizara el tornillo deArqumedes para elevar el agua a las alturas? De esta forma se recogan veinte mil libras anuales de oro,que surtan a todo el imperio romano.

1. Busto de Arqumedes. Museo Nacional deNpoles. Es uno de los iconos ms conocidosde Arqumedes.

2. Sello de correo italiano de 2/5/1983 quereproduce el mismo busto junto a un tornillohidrulico ideado por Arqumedes.

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EL FRAUDE DE LA CORONA DEL REY HIERN DE SIRACUSAY LOS PRINCIPIOS DE ARQUMEDES DE LA HIDROSTTICA

La ancdota ms conocida de Arqumedes es la de la corona de oro del rey Hiern, simplemente mencionadapor Plutarco, pero extensamente relatada por Vitrubio, para quien la forma de descubrir el fraude cometidocontra el rey, constituye la ms sutil y genial de las intuiciones de Arqumedes. Vitrubio en su De Architectura,IX, Pref,910, refiere el episodio en estos trminos:

Arqumedes realiz un gran nmero de admirables descubrimientos, pero de entre todos, el que voy aexponer manifiesta una sutileza increble. Reinando Hiern en Siracusa, debido a los xitos logrados en susempresas, se propuso ofrecer en un cierto templo una corona de oro a los dioses inmortales. Acord con unartesano la confeccin de la obra mediante una buena suma de dinero y la entrega de la cantidad de oro enpeso. El artesano cumpli los plazos de entrega, encontrando el rey la corona perfectamente realizada. Perohabiendo encontrado indicios de que el artesano haba sustituido parte del oro por plata, el rey, indignadoante el presunto engao, pero no teniendo medios para demostrar el fraude del artesano, encarg aArqumedes que aplicara su inteligencia a dilucidar el asunto. Preocupado Arqumedes por el tema, yhabiendo entrado un da por azar en una casa de baos, advirti que cuanto ms se sumerga en el aguamayor cantidad de ella sala de la tina. Esta observacin le dio la luz para resolver la cuestin; de modo queloco de alegra por el descubrimiento, salt fuera de la baera, y tal como estaba, totalmente desnudo corrihacia su casa clamando: Eureka, Eureka!

Vitrubio contina el relato explicando que Arqumedes introdujo sucesivamente pesos iguales de plata y oro enun vaso lleno de agua y comprob los volmenes de agua desalojados en los dos casos; pes la corona, lasumergi en agua y midi el lquido desalojado. De este modo, mediante un sencillo clculo, pudo determinar lacantidad de oro y plata que se haba utilizado. De su experiencia Arqumedes concluy que era evidente elfraude que haba cometido el orfebre, poniendo una parte de plata en la corona.El sabio de Siracusa introduce el llamado Principio de Arqumedes de la Hidrosttica en su obra Sobre losCuerpos Flotantes :Todo cuerpo sumergido en un lquido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso dellquido desalojado. Con los desarrollos matemticos introducidos en este tratado, Arqumedes contribuy deforma poderosa al ulterior desarrollo de la arquitectura naval.

1. Grabado tardomedieval en madera que reproduce elepisodio del fraude de la corona del rey Hiern deSiracusa. Museo Municipal de Trieste.

2. Portada de la obra crtica de Mazzuchelli sobreArqumedes publicada en Brescia, en 1737. BibliotecaMunicipal de Mantua.

Este tratado, de un gran valor histrico e iconogrfico, intentaordenar las mltiples informaciones, muchas de ellaslegendarias sobre los episodios ms o menos inverosmilesde la vida de Arqumedes, en relacin con su brillanteactividad cientfica y tcnica. La propia portada ilustra laescena urbana del Eureka de un Arqumedes pletrico dealegra ante la intuicin del descubrimiento hidrosttico.

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La obra matemtica de ArqumedesArqumedes afrontaba y resolva problemas que iban ms all de la Geometra tradicional, ylo haca sin el rigor suntuoso de sus colegas alejandrinos, aplicando a las cuestionesgeomtricas razonamientos anlogos a los empleados en las cuestiones mecnicas. En loscontenidos trascendi de forma considerable Los Elementos de Euclides. As, por ejemplo,consigui obtener la primera cuadratura de la parbola, comunicando a los cientficos deAlejandra el procedimiento mecnico del que se sirvi para descubrir el resultado, as comola demostracin rigurosa, en su tratado Sobre la Cuadratura de la Parbola, en cuyoprembulo dirigido a Dositeo, Arqumedes escribe:

[...] Pero ninguno de mis predecesores, que yo sepa, ha buscado la cuadratura delsegmento comprendido por una recta y una seccin de cono rectngulo, problemacuya solucin he encontrado [...].

Efectivamente, tras la cuadratura de las lnulas de Hipcrates, la cuadratura de la parbolaes el primer ejemplo histrico de la obtencin de un rea limitada por curvas.Anlogamente Arqumedes tiene conciencia de la originalidad e importancia de losresultados sobre la esfera, el cilindro y el cono, en donde no slo considera los volmenesde estas figuras, sino que va ms all del Libro XII de Los Elementos de Euclides, alestudiar tambin las superficies, llegando a obtener la cuadratura de la esfera. En elprembulo de su obra Sobre la Esfera y el Cilindro, Arqumedes dice:

[...] Aunque estas propiedades eran inherentes a las figuras a que acabo de referirme[la esfera y el cilindro], no haban sido conocidas por quienes me han precedido en elestudio de la Geometra [...].

En Sobre el Equilibrio de los Planos Arqumedes estudia las leyes del equilibrio de lapalanca. Esta obra de Matemtica aplicada, construida con el rigor habitual, nos permiteasegurar que desde un principio Arqumedes se inhibi de los escrpulos del idealismo y elpurismo platnicos, que censuraba toda aplicacin prctica de la Matemtica. Arqumedes,al contrario, quiebra los esquemas ideolgicos vigentes del euclidianismo platnico que liganla ciencia exacta con la reflexin abstracta y trasciende los lmites de la teora pura alvincular estrechamente la investigacin terica con sus aplicaciones prcticas.Asimismo, en su tratado Sobre la Medida del Crculo, Arqumedes va mucho ms all de laGeometra de Euclides, ya que no slo trata el rea del crculo que Euclides en laProposicin XII.2 de Los Elementos haba establecido con base en Eudoxo que eraproporcional al cuadrado del dimetro, sino que al considerar la circunferencia obtiene unvalor aproximado del nmero .Tambin en Sobre las Espirales Arqumedes inventa, construye y estudia una nueva curva,la espiral, que todava lleva su nombre, resolviendo entre otros el problema de cuadrar laporcin limitada por las espiras de la curva.Finalmente en Sobre Conoides y Esferoides, Arqumedes estudia slidos de revolucin, delos que nadie se haba ocupado con anterioridad.Los escritos de Arqumedes son densas memorias cientficas en las que se asumen, sinmencionarlos explcitamente, todos los resultados matemticos concebidos anteriormente.Todos los escritos de Arqumedes son originales y tienen la estructura eucldea de empezarpostulando las hiptesis, a las que siguen las proposiciones impecablemente demostradas,con una ocultacin salvo precisamente en EL MTODO, que parece deliberada, delproceso inventivo.

LAS PRINCIPALES OBRAS DE ARQUMEDES CON SUS RESULTADOS MATEMTICOS MS IMPORTANTES

Exceptuando ciertas obras menores (El Stomachion, El Libro de los Lemas y ElProblema de los bueyes), en los restantes tratados Arqumedes demuestraimportantes resultados sobre la determinacin de reas, volmenes y centros degravedad, que actualmente se obtienen con el Clculo Integral.

La secuencia lgica y cronolgica de los escritos de Arqumedes no es fcil deestablecer. Enumeraremos y describiremos muy sucintamente las obrasreferentes a los temas mencionados segn el orden propuesto por J.L.Heiberg.

1. Sobre la Esfera y el Cilindro: resultados sobre la esfera, el cono y el cilindro,en particular la legendaria propiedad de la razn de 2 a 3 entre la esfera y elcilindro circunscrito, tanto en superficie total como en volumen.

2. Sobre la Medida del Crculo: resultados sobre la equivalencia entre el crculoy el tringulo de base la circunferencia del crculo y altura el radio (es decir,reduccin de la cuadratura del crculo a la rectificacin de la circunferencia),y clculo aproximado de la razn entre la circunferencia y el dimetro (valoraproximado del nmero ).

3. Sobre Conoides y Esferoides: resultados sobre la razn entre segmentos deelipsoides, paraboloides e hiperboloides de revolucin y los conos de igualbase y eje.

4. Sobre las Espirales: resultados sobre el rea encerrada por las espiras de LaEspiral de Arqumedes y rectificacin de un arco de la circunferenciamediante esta curva.

5. Sobre el Equilibrio de los Planos: resultados sobre el centro de gravedad defiguras poligonales, del segmento de parbola y del trapecio parablico.Aunque es un tratado de Esttica, formalmente sigue la lnea eucldea condefiniciones, postulados y demostraciones en los que adems de conceptosgeomtricos se utilizan el peso y el centro de gravedad de figuras. En esteescrito Arqumedes formula la famosa Ley de la palanca.

6. Sobre la Cuadratura de la Parbola: resultados sobre la cuadratura de unsegmento de parbola, primero mediante recursos de esttica extrados deSobre el Equilibrio de los Planos y despus mediante consideracionesgeomtricas.

7. Sobre los Cuerpos Flotantes: resultados sobre la posicin de equilibrio de unsegmento de paraboloide de revolucin parcialmente sumergido en unfluido. En este tratado, elaborado tambin a la manera eucldea, aparece elfamoso Principio de Arqumedes de la Hidrosttica.

8. El Mtodo sobre los teoremas mecnicos donde Arqumedes pone demanifiesto el procedimiento heurstico seguido en el descubrimiento deresultados.226

227

Archimedis Opera Omnia, Basilea, 1544. Ejemplar de la Universidad de Valladolid. Estaedicin forma parte de la edicin princeps de las Obras de ArqumedesHasta el hallazgo de J.L.Heiberg del palimpsesto de Jerusaln en 1906, la fuente primigeniade las Obras de Arqumedes era un manuscrito de Constantinopla del siglo IX que lleg aEuropa Occidental a travs de la corte normanda de Palermo, y que fue traducida al latnpor Guillermo de Moerbeke en 1269 la traduccin manuscrita forma parte de la Coleccinvaticana, y por Jacobo de Cremona en 1450, siendo sta ltima revisada por Regiomontano.

LAS OBRAS DE ARQUMEDES

228

ALGUNAS PGINAS DE OBRAS DE ARQUMEDES ENARQUMEDES OPERA OMNIA ( BASILEA, 1544).

1. Pgina de Sobre la Medida del Crculo.2. Pgina de Sobre las Espirales.3. Pgina de Sobre el Equilibrio de los Planos.4. Pgina de Sobre la Cuadratura de la Parbola.

229

Descubrimiento y demostracin en ArqumedesArqumedes demuestra los resultados matemticos relacionados anteriormente mediante elmtodo de exhaucin ideado por Eudoxo, el ms importante matemtico de la Academiaplatnica. El mtodo de exhaucin confiere un rigor lgico impecable al argumentomatemtico, pero tiene ciertas servidumbres. En primer lugar suele resultar bastanteengorroso el establecimiento de las desigualdades bsicas que se necesitan para iniciar unadoble reduccin al absurdo, lo que hace onerosa la lectura de las obras de Arqumedes,pero lo ms grave es que este mtodo obliga a conocer previamente el resultado ademostrar, es decir carece de valor heurstico, no sirve para encontrar nuevas verdades sinoslo para demostrar aquellas de las cuales ya se tiene un conocimiento previo. El mtodo deexhaucin es pues un mtodo de demostracin y no de descubrimiento, precisando sercomplementado a priori con otro mtodo, ya sea analtico o mecnico, para descubrir losresultados.Siendo esto as, surge de forma natural la pregunta acerca de cmo conoca y obtenaArqumedes los magnficos resultados que luego demostraba con un rigor absoluto, porqueen ninguna de las obras citadas en el apartado anterior Arqumedes sugiere lo ms mnimoal respecto. Cabe decir que en los casos sencillos, Arqumedes puede haber llegadointuitivamente a los resultados por va inductiva. Por ejemplo, relacionando un polgono conel cuadrado construido sobre el dimetro de su crculo circunscrito, sabiendo que las reasde dos polgonos regulares de igual nmero de lados estn en razn como los cuadradoscorrespondientes aludidos (Euclides, XII.1), razonando inductivamente resulta plausible quela misma razn se mantenga para los propios crculos (Euclides, XII.2). As se aventuraraun resultado ya conocido por Hipcrates de Quos, que el mtodo de exhaucin aplicadopor Eudoxo confirmara plenamente a posteriori.Pero el alcance de la intuicin tiene sus lmites: Cmo se puede intuir que la superficie de la esfera es cuatro veces un crculo

mximo? Cmo se puede inducir que el rea de la primera vuelta de la espiral es un tercio del

primer crculo? Cmo se puede augurar que el rea de un segmento parablico es cuatro tercios del

rea del tringulo inscrito de la misma base y altura sobre el eje? Cmo se puede vaticinar que el volumen del segmento de paraboloide de revolucin

es tres medios el del cono de igual base y altura?Ante estos sorprendentes descubrimientos, no es extrao que muchos matemticoscreyeran que Arqumedes dispona de un mtodo milagroso que aplicaba en susinvestigaciones.Cuando en el Renacimiento y siglos posteriores tiene lugar la recuperacin, reconstruccin ydivulgacin del legado clsico griego y en particular se difunde un entusiasta inters por lasobras de Arqumedes, todos los estudiosos, impresionados por estos trabajos, se formulanlas anteriores preguntas, sintetizadas en la formulacin de la siguiente: Cmo haba alcanzado Arqumedes sus impresionantes resultados sobre cuadraturas ycubaturas, que luego demostraba rigurosamente mediante el mtodo de exhaucin?Como bien seal Galileo, en la prctica de la investigacin cientfica y en particular en lainvestigacin matemtica siempre existe un dualismo metdico, dos momentos distintos yconsecutivos en el proceder, la fase de la invencin, intuitiva, no rigurosa y cargada dehiptesis, sugerencias, analogas, argumentos plausibles y razonamientos informales, es elars inveniendi o va del descubrimiento; y la fase apodctica, donde se impone el rigor, elars disserendi o va de la demostracin. De ambas vas que son complementarias en lainvestigacin cientfica, dnde est en Arqumedes el primer camino?Ignorada por todos la forma en que Arqumedes haba alcanzado sus descubrimientos,muchos matemticos albergaron la sospecha de que Arqumedes dispona de un mtodo

230

que deliberadamente haba mantenido en secreto, una va de descubrimiento que no surgeante el lector de sus obras y que parece haber ocultado voluntariamente. As por ejemploTorricelli manifiesta:

Los gemetras antiguos empleaban en sus demostraciones un mtodo diferente alseguido en la fase inventiva y procedan as, entre otras razones, para ocultar elsecreto del arte.

Tambin Wallis, que tuvo a su cuidado una edicin de las Obras de Arqumedes, publicadaen Oxford en 1676, escriba:

Al parecer Arqumedes ocult adrede las huellas de su investigacin, como si hubierasepultado para la posteridad el secreto de su mtodo de investigacin.

Asimismo, Barrow, que se encarg tambin de una edicin en latn de las Obras deArqumedes, que se public en Londres en 1675, se manifestaba en estos trminos:

Al no poder imaginar qu ingenio mortal pueda llegar a tanto mediante la virtud delrazonamiento, estoy seguro que Arqumedes se vio ayudado por el lgebra, a la queconoca en secreto y que ocultaba de forma estudiada.

Efectivamente Arqumedes posea un mtodo de investigacin, que plasm en su obra ELMTODO, en la que mediante procedimientos reconocidos por l mismo como no rigurosos,descubra sus famosos teoremas matemticos. Pero fueron, como veremos, los avatareshistricos y no su voluntad, quien lo dej oculto para la posteridad. En palabras de E. Rufini(en Il Metodo d'Archimede e le origine dell'analisi infinitesimale nell'antichit, Feltrinelli, 1926,p.91):

[....] La obra escasamente estudiada y quiz poco comprendida por los propiosgriegos, cay fatalmente en un completo olvido.

1. Cuadro titulado Arqumedes delpintor italiano Domenico Fetti(1589-1624). Gemldegalerie AlteMeister (Dresde, Alemania).

2. Sello de correo de la antiguaAlemania Oriental de 13/11/1973ede 24/3/1963 que reproduce elcuadro sobre Arqumedes deD.Fetti

1. Copo

2. Esexso

3. MsiemicoFa

4. Porep

5. Enpumi

6. Alrase

7. Hafilo

8. Laopcoel Or

9. AranHi

10. ArprXVMi

11. ArseCi

12. SoreCi

13. LadeprtcArpage

14. LacuAp

15. la unenCITAS MEMORABLES SOBRE ARQUMEDESnsidero que hubo en aquel siciliano [Arqumedes] ms inteligencia que la que parece que hayadido producir la naturaleza humana. Cicern. De Republica, I,14.

imposible encontrar en toda la Geometra cuestiones ms difciles y ms importantesplicadas con trminos ms sencillos ni ms comprensibles que los teoremas de la inteligenciabrehumana de Arqumedes. Plutarco. Vidas paralelas. Marcelo, XVII.

arcelo, lleno de admiracin por ese genio extraordinario, dio orden de conservarle la vida,ndo para l de tanta gloria la conservacin de Arqumedes como la toma de Siracusa [...] Peroentras Arqumedes con la vista y la atencin fijos en el suelo trazaba figuras, un soldado, lert la cabeza; y la sangre de Arqumedes se confundi con la labor de su ciencia. Valerio Mximo.cta et dicta memorabilia, VIII, 7,7.

dramos obtener demostraciones perfectas de los libros de Arqumedes, a nosotros no nosele la espinosa lectura de ellos. J.Kepler. Nova stereometria doliorum vinariorum. Praga, 1615.

tre todos los trabajos que se refieren a las disciplinas matemticas, parece que el primer lugarede ser reivindicado por los descubrimientos de Arqumedes, que confunden a las almas por ellagro de su sutilidad. E.Torricelli. Opera geometrica. Florencia, 1644. Proemio. no poder imaginar qu ingenio mortal pueda llegar a tanto mediante la virtud delzonamiento, estoy seguro que Arqumedes se vio ayudado por el lgebra, a la que conoca encreto y que ocultaba de forma estudiada. I.Barrow. Archimedis Opera. Londres, 1675.ba ms imaginacin en la cabeza de Arqumedes que en la de Homero. Voltaire. Diccionariosfico.

imaginacin no acta menos en un gemetra que crea que en un poeta que inventa, aunqueeran de manera diferente sobre su objeto: el primero lo desnuda y analiza, el segundo lompone y embellece. [...]. De todos los grandes hombres de la antigedad, es acaso Arqumedesque ms merece figurar al lado de Homero. D'Alembert. Discurso preliminar de la Enciclopedia.bis, Barcelona, 1984. p.63

qumedes abri nuevas vas en la Geometra e hizo tan gran nmero de descubrimientos, que latigedad le ha concedido de comn acuerdo el primer lugar entre los gemetras. J.F.Montucla.stoire des Mathmatiques. Blanchard. Pars, 1968. Tomo I, Libro IV, Cap.V, p.223.

qumedes anticipa nuestro Clculo Integral, tanto en el tiempo como en la seguridad de losocedimientos y en la genialidad de los artificios no superados por los precursores del sigloII. E.Rufini. Il Metodo d'Archimede e le origine dell'analisi infinitesimale nell'antichit. Feltrinelli.

ln, 1926. p.187.

qumedes es, acaso, el hombre de ciencia que ha llegado a la ms alta cima de la abstraccin, y,gn Plutarco, la muerte le acechaba, en uno de sus momentos de xtasis. F.Vera. Arquimedes (enentficos griegos. Aguilar, 1970. p.11).

n la maduracin y la asimilacin de la obra de Arqumedes las que sirven de base a lavolucin cientfica que se realizar en el siglo XVII. A.Koir. Estudios de Historia del Pensamientoentfico. Siglo XXI. Madrid, 1971. p.44.

carta a Eratstenes sobre el Mtodo, no hallada hasta 1906, es la clave de los principalesscubrimientos de Arqumedes. Gracias a ella podemos representarnos de forma aproximada eloceso de pensamiento del sabio.[...]. Arqumedes no aplica, en general, las Matemticas a lanica, sino que, muy al contrario, la tcnica es la inspiradora de sus trabajos tericos.[...].qumedes logra completar su anlisis intuitivo con una sntesis rigurosa. Da airosamente eseso difcil, hecho en el cual se encierra una prueba de la magnitud de su genio. R.Taton. Historianeral de las Ciencias. Orbis. Barcelona, 1988. Vol.2. Libro II, Cap.II.2. pp.355, 356, 357.

s matemticas griegas perduran ms incluso que la Literatura griega. Arqumedes ser recordadoando Esquilo haya sido olvidado, porque las lenguas mueren y las matemticas no. G.Hardy.ologa de un matemtico. Nivola. Madrid, 1999. p.82.

revisin de las investigaciones de Arqumedes por Leonardo fue la oportunidad para actualizar mtodo geomtricomecnico de investigacin que transformara radicalmente la forma detender el conocimiento cientfico. C.Pedreti. Leonardo, Arte y Ciencia. Susaeta. Madrid, 2003. p.137.231

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El Mtodo sobre los Teoremas MecnicosLa naturaleza del MTODO como tratado matemticoMuchas de las obras de Arqumedes estn precedidas por ciertos prembulos dirigidos avarios de sus amigos matemticos alejandrinos. Esto parece revelar que Arqumedes tenala costumbre de enviar a Alejandra los enunciados de los teoremas que encontraba,pidiendo a los matemticos que los demostraran. Como seguramente la peticin deArqumedes no deba ser satisfecha, l mismo enviaba ms tarde los resultados de susinvestigaciones, redactados y demostrados impecablemente, eliminando pasos intermediosy alusiones a los teoremas en que se basaba. Al no mencionar el proceso heurstico seguidoen el descubrimiento, muchos de los teoremas resultaban realmente sorprendentes.EL MTODO es una obra singular de Arqumedes, porque en ella se decide a revelar a lacomunidad matemtica alejandrina, en carta dirigida a Eratstenes, la va de investigacinde cuestiones matemticas por medio de la mecnica, un mtodo que Arqumedes utilizabaen sus descubrimientos y que haba omitido en todos los restantes escritos cientficos. Lacombinacin de Geometra y Esttica que Arqumedes haba hecho en Sobre el Equilibrio delos Planos y en Sobre los Cuerpos Flotantes para establecer rigurosamente ciertaspropiedades relacionadas con el equilibrio de ciertos cuerpos geomtricos, la realiza denuevo en EL MTODO para descubrir e investigar resultados, que, obtenidos de formamecnico-geomtrica, demostrar de forma rigurosa en sus tratados cientficos.Los brillantes resultados de Arqumedes ponderados por todas las generaciones dematemticos a partir del Renacimiento, pueden crear unas falsas expectativas acerca delcontenido real de la obra, al confiar en que Arqumedes nos revele en ella una va secreta ysegura del descubrimiento matemtico, la piedra filosofal del xito geomtrico. Ms vale noesperar nada de esto. EL MTODO de Arqumedes es un magnfico informe cientfico sobreun mtodo de investigacin y de argumentacin plausible en Geometra, ilustrado conalgunos ejemplos, unos conocidos y otros nuevos, donde Arqumedes da muestras de unapericia y de una imaginacin terica inefables, as como de una intuicin que se mueve conun increble instintivo olfato matemtico. Pero la lectura del MTODO no pone al lectorfrente al proceso psicolgico revelador de la actividad creadora de Arqumedes, es decir, lacomunicacin de Arqumedes a Eratstenes no es una confidencia psicolgica que pongade manifiesto la psicognesis del pensamiento arquimediano. En realidad EL MTODO esuna memoria cientfica muy elaborada, bastante singular por su carcter metodolgicodentro del conjunto de los grandes tratados de la Geometra griega, pero es fcil tomarlo porun escrito ms de Arqumedes, estructurado con el mismo rigor. Claro est que el propioArqumedes lo desmiente cuando manifiesta a Eratstenes en el prembulo del MTODO:

[...] He credo oportuno exponerte por escrito y desarrollar en este mismo libro lasparticularidades de un mtodo, por medio del cual te ser posible iniciar lainvestigacin de ciertas cuestiones matemticas por medio de la mecnica. Estoyconvencido, adems, de que dicho mtodo no ser menos til para demostrar lospropios teoremas. Pues algunos de los que primero se me hicieron patentesmecnicamente, recibieron luego demostracin geomtricamente, habida cuenta deque la investigacin hecha por este mtodo no comporta demostracin; [...].

Es decir, EL MTODO, al utilizar consideraciones mecnicas, desarrolla sugerencias quedescubren resultados por analoga que ilustran el arte de la invencin con unaargumentacin cientfica informal que establece una pauta de discurso matemtico dirigida amostrar el carcter plausible de unas conclusiones que sern enseguida convalidadas en laforma demostrativa vigente, es decir, mediante el mtodo de exhaucin. Pero no slo esto,porque la propia confirmacin del resultado mediante rigurosa demostracin se ve tambinfavorecida por la forma de descubrirlo, pues como seala tambin Arqumedes:

[....] pues es ms fcil, despus de haber adquirido por ese mtodo ciertoconocimiento de las cuestiones objeto de investigacin, dar luego la demostracin, queinvestigar sin ningn conocimiento previo.

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Las vicisitudes histricas del Mtodo y la reconstruccin de HeibergAntes de su recuperacin en 1906, no se tenan ms que informaciones bastante vagassobre EL MTODO de Arqumedes. Suidas, un escritor que vivi en el siglo X, alude a laobra, sosteniendo que Teodosio de Trpoli, autor de un tratado sobre la esfera Las Esfricas,haba escrito un comentario al respecto. Tambin Hern, en el siglo I a.C., haba hablado deella haciendo alusin a tres proposiciones en su Mtrica, pero tambin este escrito seperdi, y no fue redescubierto, segn Heath, hasta 1896 por H.Schne de Constantinopla(aunque un fragmento de la Mtrica haba sido anteriormente recuperado en 1894 porP.Tannery). Por todo ello sobre el real contenido de la obra de Arqumedes circularon lasms variadas hiptesis, hasta que, como vamos a ver, la perspicacia del historiador de laciencia dans J.L.Heiberg, Profesor de la Universidad de Copenhague, editor de las obrasde Arqumedes y Apolonio y uno de los helenistas ms competentes de Europa, cerr conxito el asunto.Schne haba visto atrada su atencin por una cita efectuada en 1899 por el palegrafogriego Papadopoulos Kerameus (autor de un voluminoso catlogo de los manuscritos delPatriarcado griego de Jerusaln), de un palimpsesto conservado en la coleccin demanuscritos de la biblioteca del monasterio de Saint-Savas en Palestina, donde se aludan ala presencia de algunas conocidas obras de Arqumedes. Estas citas llegaron a los odos deJ.L.Heiberg, quien, confirmando que se trataba de pasajes conocidos de Arqumedes,sospech que podra contener otros trabajos de Arqumedes. El intento de obtener elpalimpsesto por va diplomtica no dio resultado, lo que incit a J.L.Heiberg, en el verano de1906, a trasladarse a Constantinopla, a donde, mientras tanto, haba sido trasladado elmanuscrito. J.L.Heiberg relatar poco ms tarde que Nikolaos Tsoukaladakis, el bibliotecariodel priorato del Phanar (el metochion del claustro del Santo Sepulcro de Jerusaln), tuvo laamabilidad de facilitarle el acceso al manuscrito para estudiar el preciado documento eintentar transcribirlo. En el examen J.L.Heiberg advirti que el palimpsesto, aunque muymutilado, era el ms completo de cuantos manuscritos se dispona sobre las obras deArqumedes y adems aparecan en l textos nuevos que exigan para su estudio muchoms tiempo del disponible, por lo que sin hacer ms estudios de momento, fotografi elmanuscrito para estudiarlo con tranquilidad.El excepcional documento contena:A. Partes considerables de algunos tratados de Arqumedes ya conocidos en su totalidad

(Sobre la Esfera y el Cilindro, Sobre la Medida del Crculo, Sobre las Espirales y Sobre elEquilibrio de los Planos).

B. La mayor parte del texto griego del tratado Sobre los Cuerpos Flotantes del que no sedispona ms que de una traduccin latina medieval realizada a travs del rabe.

C. El prefacio y dos proposiciones de un tratado completamente indito, el Stomachion, unaespecie de puzzle geomtrico recreativo.

D. El texto igualmente indito del tratado El mtodo sobre los teoremas mecnicos.No aparece en cambio ninguna huella de los tratados Sobre Conoides y Esferoides y Sobrela Cuadratura de la Parbola.J.L.Heiberg se propuso utilizar todos estos materiales para la nueva edicin de susArchimedis Opera Omnia, que tena en preparacin, pero en atencin a la impaciencia delos estudiosos public en la revista Hermes (vol.XLII, Berln, 1907), utilizando las notas y lasfotografas que haba tomado, el texto griego del MTODO, junto con una reproduccin enfacsmil de uno de los folios del palimpsesto, acompaando notas y comentarios sobre lasvicisitudes en torno a la obtencin del palimpsesto, as como en torno a las caractersticas yestado en que se encontraba el documento, con el ttulo: Eine neue Archimedeshandschrift(Un nuevo manuscrito de Arqumedes).De acuerdo con la descripcin de J.L.Heiberg, el palimpsesto consta de 185 hojas, de lascuales 177 son de pergamino y las ltimas de la 178 a la 185 son de papel del siglo XVI. Aprimera vista sobresale una escritura superior, que debe ser de los siglos XII-XIII (XIII-XIVsegn Kerameus), que se trata de un devocionario con oficios litrgicos o eucologio, escrito

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sobre textos que reproducen algunos fragmentos de obras de Arqumedes, en una tintamarrn claro. Es decir, el amanuense que escribi el eucologio aprovech un materialanterior, pero por fortuna no rasp la escritura original, sino que antes de escribir encima selimit a lavarla. J.L.Heiberg, proveyndose de una potente lupa consigui leer las 177 hojasde pergamino, de las que 29 (los folios 7-13, 23-26, 51-54, 73-80, 83-86, 151-152) habansido completamente lavadas, no conservando huella alguna de la escritura original, 14tienen otro tipo de letra y en algunas haba palabras ilegibles. Contina J.L.Heiberg diciendoque los escritos tienen letra bonita y minscula del siglo X, a dos columnas de 24,4 cms. dealtura por 6,8 cms. de anchura y alrededor de 35 lneas por columna; las letras iniciales decada fragmento son grandes y retiradas saliendo del borde; los titulares son maysculas; laescritura no es regular en general y contiene muchas abreviaturas y expresionestaquigrficas, de modo que el amanuense domina un sistema de abreviaturas y otrotaquigrfico, utilizando ambos de forma caprichosa. Falta con frecuencia la iota suscrita,aunque los acentos y espritus constan en general; no as los signos de puntuacin quesuelen faltar. En el documento aparecen figuras geomtricas con letras, pero son dibujadasa la ligera, nunca completadas y slo esbozadas. El folio 41r es el ms claro, por ello es elnico que reproduce J.L.Heiberg en facsmil. El amanuense del escrito superior hacambiado el orden de los folios, ponindolos en una sucesin arbitraria; ha separado lashojas de folio pequeo del manuscrito originario y las ha plegado en dos para pasar de folioa cuartilla, perdiendo lneas y cambiando la direccin de las mismas.Conociendo todos estos detalles es justo ponderar el mrito poco comn de la publicacinde J.L.Heiberg. El sabio dans ha tenido que descifrar con la lupa, letra por letra, un textomuy poco legible, reconstruir figuras semiborradas y restablecer el orden profundamentevariado de las hojas. Adems, J.L.Heiberg ha tenido que rectificar en concisas notas un grannmero de errores manifiestos introducidos por el copista, as como indicar sumariamenteen qu orden de ideas se pueden colmar las pequeas y grandes lagunas que aparecen enel texto. A este respecto comenta J.L.Heiberg que el modo de pensar de Arqumedes esttan claro que es posible rellenar las lagunas con seguridad casi absoluta y adems unopuede, a travs de presunciones, completar demostraciones matemticas que se habanperdido.La publicacin de J.L.Heiberg comienza con una introduccin erudita y acaba con uncomentario, donde resalta el elevado inters cientfico, heurstico e histrico del nuevotratado, El mtodo sobre los teoremas mecnicos, pondera su importancia como obrametodolgica, la sita cronolgicamente en la obra y en el pensamiento de Arqumedes yaporta conclusiones muy interesantes de carcter histrico sobre la manera de trabajar deArqumedes y sus predecesores.C.B.Boyer en su Historia de la Matemtica (Alianza Editorial, Madrid, 1986, p.186) terminasu captulo sobre Arqumedes describiendo enfticamente una realidad histrica paradjica,con estas significativas palabras:

En cierto sentido el palimpsesto que contena el Mtodo es un fiel smbolo de lacontribucin de la Edad Media a la historia de la Matemtica. La fervientepreocupacin por los asuntos religiosos estuvo a punto de borrar de la faz de la tierrauna de las obras ms importantes del matemtico ms grande de la antigedad; y, sinembargo, a fin de cuentas fue la erudicin medieval la que, en parte de una manerainvoluntaria, la conserv, as como muchas otras cosas que de otra forma se habranperdido casi con toda seguridad.

La exhumacin de la obra perdida de Arqumedes El mtodo sobre los teoremas mecnicos,fruto de la labor investigadora de J.L.Heiberg y comentadora de otros historiadores de laciencia (H.G.Zeuthen, T.Reinach, E.Rufini, P.Ver Eecke, F.Vera, J.Babini, ...,) esprobablemente el suceso y el descubrimiento ms importante de los ltimos tiempos para elconocimiento de la Historia de la Geometra griega en general y del genio de Arqumedes enparticular.

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El gran helenista e historiador de la MatemticaJ.L Heiberg exhum, en circunstancias casinovelescas, en 1906, de un palimpsesto medievalconservado en la biblioteca del Priorato delPhanar del Patriarcado griego del Santo Sepulcrode Jerusaln, en Constantinopla, la obra deArqumedes EL MTODO, reproduciendo en elartculo Eine neue Archimedeshandschrift (en larevista Hermes, vol.XLII, Berln, 1907) el folio 41r.El documento era un eucologio de los siglos XIIal XIV con textos litrgicos escritos en unmanuscrito que contena fragmentos de Obras deArqumedes. Por fortuna, el amanuense no raspla escritura original sino que se limit a lavarlaescribiendo despus encima. Tras una titnicalabor de arqueologa matemtica, J.L.Heibergconsigui transcribir, letra a letra, el contenidodel texto arquimediano, situado en la escriturainferior, reconstruir figuras semiborradas yrestablecer el orden secuencial de las hojas quehaba sido muy alterado. El contenido delpalimpsesto que fue utilizado por J.L.Heibergpara la edicin de sus Archimedis Opera Omnia,de 1910-1913, es considerado por los historiadoresde la Matemtica Zeuthen, Reinach, E.Rufini,Ver Eecke, Vera y Babini como el descubrimientoms importante de los tiempos modernos para elconocimiento de la Historia de la Geometragriega.

LA RECONSTRUCCIN DEL MTODO DE ARQUMEDES POR HEIBERG

1. Imagen venerable de Johan Ludving Heiberg (1854-1928).2. Pgina 41r del palimpsesto encontrado por Heiberg con la obra El Mtodo sobre los teoremas

mecnicos, donde Arqumedes describe la va heurstica de sus magnficos descubrimientosmatemticos.

Priorato del Phanar del Patriarcado griego delSanto Sepulcro de Jerusaln, en Constantinipla.

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El contenido matemtico del MtodoEL MTODO de Arqumedes consta de tres partes: El Prembulo dirigido a Eratstenes,ciertas asunciones previas o Lemas y los resultados propiamente dichos, recogidos en 16proposiciones.Arqumedes, en el Prembulo, dedica el tratado a su amigo alejandrino Eratstenes, a quiendesvela su mtodo mecnico como fuente de sus principales descubrimientos. Arqumedesalude a la resolucin de numerosos problemas y menciona el que resolver en primer lugarla cuadratura del segmento de parbola y sobre todo los dos problemas que en realidadson el objetivo fundamental de la comunicacin de Arqumedes a Eratstenes: la cubaturade la ua cilndrica slido obtenido seccionando un cilindro circular recto por un plano quepasa por un dimetro de la base y la tangente paralela a la base opuesta y de la bvedacilndrica -volumen comn a dos cilindros inscritos en un cubo que se cortanortogonalmente, resultados cuyos enunciados haba enviado con anterioridad para suestudio. Arqumedes abunda sobre el carcter metodolgico que tiene el tratado comofuente heurstica de sus investigaciones y pondera su valor a pesar de sus limitacionesdemostrativas.A continuacin del prembulo, Arqumedes enuncia once lemas o asunciones previas, quedescriben (salvo la ltima) propiedades de los centros de gravedad de diversas figurasplanas y slidas, algunas de los cuales figuran en la obra Sobre el Equilibrio de los Planos,aunque otras, referentes a centros de gravedad de slidos, no figuran en ninguno de losescritos que nos han llegado de Arqumedes, lo que avala la conjetura de que deban quizaparecer en los tratados Sobre la Palanca o Sobre los Centros de Gravedad, ambosperdidos. Estos lemas son constantemente utilizados por Arqumedes, a veces sin mencinexplcita, en el curso de las proposiciones del MTODO.Los resultados que Arqumedes obtiene en EL MTODO y que desarrolla en forma deproposiciones son los siguientes :I.- Determinacin por el mtodo mecnico de la cuadratura del segmento parablico,

obteniendo que el rea del mismo es cuatro tercios del tringulo de igual base y altura.II.- Determinacin por el mtodo mecnico de la equivalencia de la esfera con el cudruple

del cono (resp. con los dos tercios del cilindro) de base el crculo mximo de la esfera yde altura el radio (resp. el dimetro), de donde felizmente intuye que la superficie de laesfera equivale a cuatro de sus crculos mximos, ya que, como todo crculo equivale altringulo cuya base es igual a la circunferencia y la altura es igual al radio, se debesuponer que toda esfera equivale a un cono cuya base es equivalente a la superficie dela esfera y cuya altura es igual al radio.

III.- Determinacin por el mtodo mecnico de anlogas equivalencias que en la ProposicinII, entre un elipsoide de revolucin, un cono y un cilindro.

IV.- Determinacin por el mtodo mecnico de la equivalencia entre un segmento deparaboloide de revolucin, de base perpendicular al eje, y los tres medios del cono deigual base y eje que el segmento.

V.- Determinacin por el mtodo mecnico del centro de gravedad de un segmento deparaboloide de revolucin.

VI.- Determinacin por el mtodo mecnico del centro de gravedad de un hemisferio.VII.- Determinacin por el mtodo mecnico de la razn entre un segmento esfrico y el

cono de igual base y altura.VIII.- Determinacin por el mtodo mecnico de la razn entre un segmento de elipsoide de

revolucin y el cono de igual base y altura.IX.- Determinacin por el mtodo mecnico del centro de gravedad de un segmento

esfrico.X.- Determinacin por el mtodo mecnico del centro de gravedad de un segmento de

elipsoide de revolucin.

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XI.- Determinacin por el mtodo mecnico del volumen y centro de gravedad de unsegmento de hiperboloide de revolucin.

XII-XIII.- Determinacin por el mtodo mecnico de la equivalencia de la ua cilndrica y lasexta parte de todo el prisma circunscrito al cilindro.

XIV.- Determinacin mecnico-geomtrica del volumen de la ua cilndrica.XV.- Determinacin geomtrica (por el mtodo de exhaucin) del volumen de la ua

cilndrica.XVI.- Determinacin mecnica de la equivalencia de la bveda cilndrica y los dos tercios del

cubo correspondiente.Las cinco ltimas proposiciones (XII-XVI, relativas a la ua cilndrica y a la bveda cilndrica)con las que finaliza la carta de Arqumedes a Eratstenes son en realidad el objeto esencialde la misma. Como dice en el prembulo, Arqumedes se propone remitir la demostracin dedos teoremas, cuyos enunciados sin demostracin haba enviado anteriormente, peroindicando el mtodo mediante el cual los haba encontrado, mtodo que dice que noimplicaba una verdadera demostracin dando luego la demostracin rigurosa por medio delmtodo de exhaucin. Es decir, mientras que en las primeras once proposiciones delMTODO Arqumedes muestra simplemente el mtodo de descubrimiento, en las ltimasrealiza todo el ciclo de la investigacin cientfica desde descubrir los resultados hastademostrarlos de forma geomtrica por exhaucin .

Portada de la definitiva edicinde J.L.Heiberg de las Obras deArqumedes, Archimedes OperaOmnia (Leipzig, 1910-1913),que incluye El Mtodo sobrelos teoremas mecnicos.

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El Prembulo y los Lemas del Mtodo dirigido a EratstenesArqumedes saluda a Eratstenes:

.......................................

Reconociendo tu celo y tu dominio de la filosofa, tan digno de mencin, adems de que sabes apreciar lainvestigacin de cuestiones matemticas a medida que se van presentando, he credo oportuno exponertepor escrito y desarrollar en este mismo libro las particularidades de un mtodo, por medio del cual te serposible iniciar la investigacin de ciertas cuestiones matemticas por medio de la mecnica. Estoyconvencido, adems, de que dicho mtodo no ser menos til para demostrar los propios teoremas. Puesalgunos de los que primero se me hicieron patentes mecnicamente, recibieron luego demostracingeomtricamente, habida cuenta de que la investigacin hecha por este mtodo no comporta demostracin;pues es ms fcil, despus de haber adquirido por ese mtodo cierto conocimiento de las cuestiones objeto deinvestigacin, dar luego la demostracin, que investigar sin ningn conocimiento previo. Por esta razn,asimismo en el caso de los teoremas referentes al cono y a la pirmide, cuya demostracin fue Eudoxo elprimero en encontrar, a saber: que el cono es la tercera parte del cilindro y la pirmide es la tercera parte delprisma, con la misma base e igual altura, conviene atribuir un mrito no pequeo a Demcrito, el primeroque formul este enunciado sin demostracin acerca de dicha figura. Como quiera que el descubrimientodel teorema que ahora doy a conocer, ha tenido lugar de modo semejante al de los anteriores, he queridoexponer por escrito y divulgar este mtodo, para que no den en pensar algunos que hablaba por hablar alhaberme referido a l anteriormente y, al mismo tiempo, porque estoy convencido de que puede representaruna contribucin no poco provechosa a la investigacin matemtica. Pues supongo que algunos estudiosos,contemporneos o futuros, llegarn a encontrar, por el mtodo expuesto, otros teoremas que a m no se mehan ocurrido todava.

As pues, expongo en primer lugar el resultado que tambin fue el primero en manifestarse por vamecnica, a saber: que todo segmento de una seccin de cono rectngulo es cuatro tercios del tringulo quetiene la misma base e igual altura, y seguidamente uno por uno los resultados obtenidos con el mismomtodo. [...]

Sigue a este prembulo el enunciado los siguientes lemas:1. Si de una magnitud se quita otra magnitud, y un mismo punto es el centro de gravedad de la magnitud

entera y de la que se ha quitado, el mismo punto es centro de gravedad tambin de la magnitudrestante.

2. Si de una magnitud se quita otra magnitud, y la magnitud entera y la que se ha quitado no tienen elmismo centro de gravedad, el centro de gravedad de la magnitud restante se encuentra sobre laprolongacin de la recta que une los centros de gravedad de la magnitud entera y la magnitud quitada,situado a una distancia cuya razn con la recta que une dichos centros de gravedad es la misma que ladel peso de la magnitud quitada con el de la magnitud restante.

3. Si los centros de gravedad de tantas magnitudes como se quiera se encuentran sobre una misma recta,el centro de gravedad de la magnitud compuesta de las magnitudes consideradas estar tambin sobre lamisma recta.

4. El centro de gravedad de una recta cualquiera es su punto medio.5. El centro de gravedad de un tringulo cualquiera es el punto en que se cortan las rectas que unen los

ngulos del tringulo con los puntos medios de los lados.6. El centro de gravedad de un paralelogramo cualquiera es el punto en el cual convergen las diagonales.7. El centro de gravedad de un crculo es el mismo centro del crculo.8. El centro de gravedad de un cilindro cualquiera es el punto medio del eje.9. El centro de gravedad de un prisma cualquiera es el punto medio del eje.

10. El centro de gravedad de un cono cualquiera est sobre el eje, en un punto que lo divide de tal maneraque la parte hacia el vrtice es el triple de la restante.

A continuacin Arqumedes estudia las 16 proposiciones que hemos mencionadoanteriormente, de las cuales trataremos las dos primeras la cuadratura del segmentoparablico y la cubatura de la esfera que, adems, son las ms significativas.

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Las Proposiciones del MtodoLa Cuadratura del segmento parablico

PROPOSICION I 1

Sea ABC un segmento comprendido entre la recta AC y la seccin ABC de un cono rectngulo2;divdase AC por la mitad en D y trcese la recta DBE paralela al dimetro3, y uniendo B con A y Bcon C, trcense las rectas AB y BC.

Digo que el segmento ABC es cuatro tercios del tringulo ABC.

Trcense por los puntos A y C la recta AZ paralela a DBE y la CZ tangente a la seccin en elpunto C; prolnguese CB hasta K y sea KT igual a CK. Considrese CT como una palanca,siendo K su punto medio, y sea MQ una recta paralela a ED.

Puesto que CBA es una parbola y que CZ es tangente a ella, y CD es una ordenada4, EB esigual a BD, como se demuestra en los Elementos 5 6. Por lo mismo y puesto que ZA y MQ son

1 En su tratado Sobre la Cuadratura de la Parbola Arqumedes haba dado ya una primera

demostracin mecnica de la cuadratura de la parbola (proposiciones 1-17), ms larga que lapresente, basada en los postulados de la Esttica y previa a la geomtrica por exhaucin(proposiciones 18-24) que desarrolla posteriormente en el mismo tratado. Arqumedes distinguesegn que el dimetro sea perpendicular o no a la base del segmento (proposiciones 14 y 15), peroen ambos casos la solucin es la misma.

2 Arqumedes utiliza la perfrasis seccin de cono rectngulo para referirse a una parbola.3 Aqu Arqumedes entiende por dimetro el eje de la parbola4 CD es la cuerda paralela a la tangente en el vrtice del segmento parablico.5 Arqumedes no se refiere aqu a Los Elementos de Euclides sino a alguno de los tratados

elementales sobre las secciones cnicas, ahora perdidos, debidos tambin a Euclides o quiz aAristeo (vase LORIA,G.: Histoire des Sciences Mathmatiques dans l'antiquit hellnique.Gauthiers-Villars. Pars, 1929. Cap.III), y que son reseados por Pappus en el Tesoro del Anlisisdel Libro VII de la Coleccin Matemtica.La proposicin utilizada por Arqumedes que viene a decir que la subtangente relativa a un puntode la parbola es doble de la abscisa de este punto, es tambin formulada sin demostracin(aunque expresada en otros trminos) como Proposicin 2 en Sobre la Cuadratura de la Parbola.Apolonio dara ms tarde una demostracin de este resultado en la Proposicin 2 del Libro II de LasCnicas.

6 En nuestro lenguaje este resultado es consecuencia de la expresin analtica de la tangente a laparbola en un punto. En efecto, dada la parbola Y = 2pX, la tangente en el punto C decoordenadas (x,y) es Yy = p(X+x), siendo p=y/2x, de donde al hacer la interseccin con el eje X(Y=O), resulta: X = -x, es decir: E=(-x,o) y por tanto EB=BD.

N

Q

M

A

B

C

H

D

O

EK

T

X

ZU

240

paralelas a la recta ED, son iguales MN y NQ, as como ZK y KA 7. Y puesto que la raznentre CA y AQ es igual que la razn entre MQ y QO, lo cual se expone en un lema 8, y larazn entre CA y AQ es igual a la razn entre CK y KN 9, sucede que siendo tambin CTigual que KT, la razn entre TK y KN ser igual a la razn entre MQ y QO. Ahora bien,puesto que el punto N es el centro de gravedad de la recta MQ, por ser MN igual que NQ 10,si tomamos la recta UH igual a QO de manera que su centro de gravedad sea el punto T, demodo que sea UT igual que TH, la recta UTH estar en equilibrio con la recta MQ, quepermanece en su sitio, por estar TN dividida por el punto K en partes que estn en razninversa a los pesos UH y MQ, siendo la razn entre TK y KN igual a la razn entre MQ yHU 11, y por lo tanto K es el centro de gravedad del conjunto de ambos pesos 12.Anlogamente si en el tringulo ZAC se trazan tantas paralelas como se quiera a ED, stas,permaneciendo en su lugar, estarn en equilibrio con los segmentos determinados sobre ellaspor la seccin y trasladados al punto T, de manera que el centro de gravedad de unas y otrosser K.

Ahora bien, las rectas trazadas en el tringulo CZA componen el propio tringulo y lossegmentos rectilneos obtenidos en la seccin del mismo modo que OQ componen elsegmento ABC; por lo tanto el tringulo ZAC, permaneciendo en su lugar, estar enequilibrio, respecto del punto K, con el segmento de la seccin trasladado hasta tener sucentro de gravedad en T, de manera que el centro de gravedad del conjunto de ambos ser elpunto K.

Divdase ahora CK por el punto X de manera que sea CK sea el triple de KX; por tanto elpunto X ser el centro de gravedad del tringulo AZC, como est demostrado en el libroSobre el Equilibrio 13. Y puesto que el tringulo ZAC, permaneciendo en su lugar, est en

7 De la semejanza de los tringulos MNC y EBC, as como QNC y DBC, resulta (Euclides, VI.4) : EB/MN = BC/CN = BD/NQ, y de aqu: MN/NQ = EB/BD ,

de donde al ser EB=BD, se deduce que MN=NQ. Anlogamente se razona que ZK=KA.

8 Arqumedes se refiere aqu a la Proposicin 5 de Sobre la Cuadratura de la Parbola. Lademostracin en lenguaje actual sera la siguiente:

Sean BD=x, C=(x,y).

Sean asimismo: LB=x, QD=y, es decir O=(x,y).

Sea tambin ML=x, como LB=QD=y, se tendr M=(x,y).

Ahora, de la ecuacin de la tangente a la parbola en el punto C, al ser M un punto de estatangente, resulta: yy = (y/2x)(x+x).De aqu obtenemos, despejando, una expresin para ML=x = (xy + 2yx)/y, que aadida a LQ=BD,nos dar MQ. En efecto: MQ = ML+LQ = x+x = 2x(y+y)/y.

Los otros segmentos de la proporcin CA/AQ = MQ/QO, se obtienen fcilmente:

QO = BD-LO = xx, CA = AD+DC = 2y, AQ = ADQD = yy.

De la definicin de la parbola y al aplicar las propiedades de las proporciones, al ser los puntos C y

O de la parbola, se tiene: = = 2 2 2 2y y ' y y '

x x ' x x '

A partir de los resultados obtenidos, podemos comprobar definitivamente la validez de la proporcin.

En efecto : + + = = = = = = 2 2 2MQ 2x(y y ') 2x(y y ') (y y ') 2x(y y ' ) 2x y 1 2y CA

QO y(x x ') y(x x ') (y y ') y(x x ')(y y ') y x y y ' y y ' AQ .

9 De la semejanza de los tringulos ACK y QCN.10 Segn el lema 4.11 Sobre el Equilibrio de los Planos, I.6.12 Lema 3.13 Sobre el Equilibrio de los Planos, I.14 y lema 5.

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equilibrio, respecto del punto K, con el segmento BAC, trasladado con centro de gravedad enT, y que X es el centro de gravedad del tringulo ZAC, se verifica, por consiguiente, que larazn del tringulo AZC al segmento ABC colocado alrededor del centro T es igual a larazn de TK a XK. Ahora bien, siendo TK triple de KX, el tringulo ZAC ser triple delsegmento ABC. Adems, el tringulo ZAC es cudruple del tringulo ABC, ya que ZK esigual que KA y AD es igual que DC, luego el segmento ABC equivale a cuatro tercios deltringulo ABC 14.

En realidad, la proposicin no queda demostrada por lo que hemos dicho ahora, pero dauna cierta idea de que la conclusin es verdadera. Por lo cual, nosotros, viendo que laconclusin no est demostrada, pero sospechando que es verdadera, daremos lademostracin geomtrica, que encontramos y publicamos anteriormente 15 16.

14 Aqu Arqumedes aplica que tringulos de la misma base y altura tienen igual rea, as como la

semejanza de los tringulos ACK, DCB : AK/BD = AC/DC = 2,

de donde resulta: AK = 2BD, AKAC = 2ACBD.

Ahora se tiene: ZAC = 2KAC = AKAC = 2BDAC = 4ABC.15 En el texto de J.L.Heiberg este ltimo prrafo aparece al comienzo de la proposicin siguiente.

Debido a su significado, como colofn de la proposicin sobre la cuadratura de la parbola, y deacuerdo con la mayor parte de los autores, parece ms razonable ubicarlo aqu.

16 Arqumedes se refiere a la demostracin puramente geomtrica de la cuadratura del segmentoparablico ya publicada en la segunda parte del libro Sobre la Cuadratura de la Parbola. Aunqueaqu anuncia la reproduccin de esta demostracin, seguramente al final del tratado, sta no haaparecido en el palimpsesto de Jerusaln.

la aplicacin del mtodo mecnico de Arqumedes al clculo de la cuadratura de un segmentoparablico en Archimedis Opera Omnia de J.L. Heiberg.

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LA LEY DE LA PALANCA DE ARQUMEDESUna ancdota muy conocida de Arqumedes tiene que ver con la famosa Ley de la Palanca queArqumedes aplica en su mtodo mecnico del MTODO para encontrar las cuadraturas ycubaturas. Segn Pappus de Alejandra, Arqumedes habra pronunciado la clebre frase, tanarrogante como retrica y absurda: Dadme un punto de apoyo y levantar el mundo, en conexincon el problema de mover un peso dado, mediante una fuerza dada. Poco antes de narrar losasedios de Siracusa por Marcelo, Plutarco describe as las palabras de Arqumedes (Marcelo, XIV):

Arqumedes escribi a Hiern que con una potencia dada, se puede mover un peso igualmentedado; y jugando, como suele decirse con la fuerza de la demostracin, le asegur que si le dieranotra tierra, movera sta despus de pasar a aqulla. Maravillado Hiern, y pidindole queverificara con obras este problema e hiciese ostensible cmo se mova una gran mole con unapotencia pequea, compr un gran transporte de tres velas, que fue sacado a tierra con muchotrabajo y a fuerza de gran nmero de brazos; le carg de gente y del resto que sola echrsele, ysentados lejos de l, sin esfuerzo alguno y con slo mover con la mano el cabo de una mquinade gran fuerza atractiva, lo llev as derecho y sin detencin, como si corriese por el mar.Pasmse el rey, y convencido del poder del arte, encarg a Arqumedes que le construyese todaespecie de mquinas de sitio, bien fuese para defender o para atacar.

Grabados alusivos a la famosa frase presuntamente pronunciada por Arqumedes:Dadme un puntode apoyo y levantar el mundo.1. Ilustracin de la Estancia de la Matemtica en la Galera de los Uffizi de Florencia, pintada por

G. Parigi hacia 1600.2. Ilustracin de Mechanics Magazine. Londres, 1824.

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ARQUMEDES Y LA DEFENSA DE SIRACUSA

Grabados sobre la utilizacin de Arqumedes de los espejos ustorios en la defensa de Siracusa.Siracusa era en tiempos de Arqumedes una fortaleza magnficamente fortificada, que ya en el pasado le habapermitido resistir los asedios de atenienses y cartagineses. Los romanos que haban sido humillados por loscartagineses de Anbal en Trebia (218 a.C.), Trasimeno (217) y sobre todo en Cannas (216) envan un ejrcito y unaflota contra Siracusa que, al mando del cnsul Marcelo, iniciarn un largo asedio. Y es aqu donde interviene, conlas oportunas concesiones a la fantasa pica, el increble despliegue de la ingeniera militar diseada porArqumedes: construcciones a base de palancas, poleas, catapultas, ruedas dentadas, sogas, garfios, etc., quelanzando ingentes cantidades de piedras de enorme tamao, sometiendo al enemigo a un bombardeopermanente de miles de flechas y elevando en el aire los barcos romanos, cual objetos ingrvidos ydestruyndolos como quien de cascanueces se sirviese, o dejndoles caer contra las rocas o hundindoles en elmar, converta el asedio de Siracusa en un espectculo dantesco para los asaltantes romanos, segn describePlutarco (Marcelo XVXVIII) con todo lujo de detalles.Segn la narracin pico-cientfica de Plutarco, Arqumedes tuvo en jaque al poderoso ejrcito romano, siendo elartfice y el alma de la defensa de Siracusa, ya que la ciudad se vala exclusivamente de sus ingenios, tanto paradefenderse como para atacar. Los romanos llegaron a creer que luchaban contra dioses invisibles o gigantes decien manos. Marcelo, considerando ya vanos todos los intentos de ataque directo durante cerca de ocho meses,suspende la accin armada y se acoge al tiempo que puedan soportar los siracusanos el bloqueo por tierra y pormar, como nico aliado. De esta forma Arqumedes mantuvo invicta a su ciudad en el campo y en el mar.

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Grabado del siglo XVII sobre la utilizacin de Arqumedes de los espejos ustorios en la defensa deSiracusa, durante la segunda guerra pnica.La leyenda tambin atribuye a Arqumedes los terrorficos espejos ustorios, que reflejando los rayossolares sobre las velas de los barcos romanos enemigos que asediaban Siracusa, les hacia arder. Elfundamento de estos incendiarios artefactos pticos estribara en las leyes minimales de la reflexinde los rayos luminosos (los rayos de luz siempre buscan el camino ms corto) y en las propiedadesgeomtricas de las cnicas en las que se basaran la forma de los espejos.Las propiedades ustorias de la parbola se basan en su naturaleza geomtrica. Todos los rayos queemanen del foco de la parbola formarn un haz de rayos paralelos despus de reflejarse en ella.Recprocamente todos los rayos procedentes de una gran distancia, como los rayos del sol, puedenconsiderarse paralelos, por tanto la parbola los har reflejarse a todos ellos y los concentrar en unslo punto, el foco de la parbola. De este modo, un espejo parablico tendra una terrible propiedaddestructiva: concentrar en el foco todos los rayos provenientes del sol; cualquier objeto situado en elfoco, acabar rpidamente incinerado.Las alusiones a los espejos ustorios de Arqumedes no tienen una gran fiabilidad. Los testimoniossobre el evento defensivo son de poca muy posterior y adems las referencias contienen frases deltipo se cree .... Los estudios de la investigacin histrica tienden casi con unanimidad a negar elepisodio de la intervencin de los espejos ustorios de Arqumedes en la defensa de Siracusa. Unargumento decisivo es que no es citado por los historiadores ms fiables en la narracin de laconquista de Siracusa: Plutarco, Tito Livio y Polibio; mientras que no escatiman imaginacin yexageracin hiperblica en la descripcin del sorprendente despliegue de otros artilugios utilizadospor Arqumedes para desbaratar la accin militar de los soldados de Marcelo.Se han intentado dar explicaciones a la atribucin que la tradicin ha hecho sobre Arqumedes de losespejos ustorios. Quiz la ms plausible sea la que resulta de la conjuncin de dos informaciones,segn las cuales, por una parte, Arqumedes se habra ocupado como afirma Apuleyo de espejosustorios, y por otra, algunas de las naves romanas que sitiaban Siracusa, habran sido incendiadas,segn asegura Silio Itlico. La combinacin de ambas afirmaciones habran acuado para laposteridad, sin fundamento histrico, la utilizacin por Arqumedes de espejos ustorios comomaquinaria blica en la defensa de Siracusa.Ya en el Renacimiento y poco ms tarde, importantes cientficos se ocuparon del tema de los espejosustorios. Dignos de mencin son los estudios de Leonardo y Galileo, as como los de Kepler yDescartes. De las investigaciones de los primeros no parece deducirse la hazaa ptica deArqumedes y las de los segundos resueltamente la desmienten. Tambin parecen desmentirlo losestudios posteriores de A. Kircher, profesor Colegio Romano, en su obra Ars Magna Lucis et Umbraede 1646, as como las investigaciones experimentales de Buffon en su Histoire Naturelle de 1774 y uncomentario de Peyrard, apndice de su traduccin de 1807 de las obras de Arqumedes.

LOS ESPEJOS USTORIOS DE ARQUMEDES

LA PICA MUERTE DE ARQUMEDESLa muerte historiadorTzetzes, CicMientras dconversacioa la ciudad estratega, eArtemisa, pque no estaSiracusa fuSe sabe quante la preimpedir, yaafligi a Mde haber dasoldado ejeVeamos el r

[...] LArquen elPresel no soldaespadpara le pallevabque mque dsinticomodistin

Una versinMargemese gconsela atsaqueal promanoen esArqu

Otras narraasesinado psoldado quearena, en nArqumedemanifestar versin simmientras lal volverse mquinas.la orden deLa capacidinhibi la aque sea la Arqumedetener hacia del mundo 245

de Arqumedes ha sido descrita en diversas narraciones por parte de numerososes y literatos (Plutarco, Valerio Mximo, Tito Livio, Silio Itlico, Giorgio Valla, Zonars,ern, etc.) siempre rodeada de una atmsfera novelesca pica.uraba el cerco romano sobre Siracusa, Marcelo conquist gran parte de Sicilia. Lasnes entre sitiadores y sitiados para la liberacin de un rehn, permiti a Marcelo acercarsey observar que sus formidables defensas tenan un punto dbil. Marcelo que era un sagazsper un momento propicio, cuando los siracusanos celebraban las fiestas en honor derdigas en ebriedad y disipacin, para penetrar en las defensas de la ciudad. Los sitiados,ban en condiciones de organizar la resistencia, se dieron a la fuga, y as en el 212 a.C.

e conquistada, perdiendo su secular y gloriosa independencia.e Marcelo, mientras e