mes 1 matemática iv bachillerato · 2019-03-04 · isaías 45:12 toda la creación de dios está...

Mes 1 Matemática – IV Bachillerato

Ministerios Hebrón © Derechos Reservados 2000 1



ÍÍÍnnndddiiiccceee 111

CCCaaapppííítttuuulllooo 111::: NNNúúúmmmeeerrrooosss RRReeeaaallleeesss

Lección 1: Los números reales ......................................................................................................... 3

Lección 2: Elementos de las operaciones ......................................................................................... 4

Lección 3: Propiedad de los números reales .................................................................................... 6

Lección 4: Propiedad de las operaciones ....................................................................................... 10

Lección 5: Jerarquía de las operaciones ........................................................................................ 12

CCCaaapppííítttuuulllooo 222::: NNNúúúmmmeeerrrooosss RRRaaaccciiiooonnnaaallleeesss

Lección 1: Introducción .................................................................................................................. 14

Lección 2: Aproximación o redondeo de números y estimación de resultados ............................ 17

Lección 3: Clasificación y conversiones ......................................................................................... 20

Lección 4: Comparación y relación de orden ................................................................................ 24

Lección 5: Fracciones equivalentes ................................................................................................ 25

Lección 6: Equivalencias más comunes ......................................................................................... 27

Lección 7: Fracciones homogéneas y heterogéneas ..................................................................... 28

Lección 8: Suma o adición de números racionales ....................................................................... 30

Lección 9: Resta o sustracción de números racionales .................................................................. 32

Lección 10: Multiplicación de números racionales ......................................................................... 34

Lección 11: División de números racionales ................................................................................... 36

Lección 12: Potenciación de números racionales ........................................................................... 39

Lección 13: Radicación de números racionales .............................................................................. 42



CCAAPPIITTUULLOO 11::

NNÚÚMMEERROOSS RREEAALLEESS

“Yo hice la tierra, y creé sobre ella al hombre.

Yo, mis manos extendieron los cielos, y a todo su ejército mandé.”

Isaías 45:12

Toda la creación de Dios está ordenada, Él es un Dios de orden. Si consideramos el cielo podremos tener una idea de su orden: la Tierra es sólo un planeta de varios que forman nuestro Sistema Solar, el cual sólo es uno de muchos en la Vía Láctea, nuestra galaxia, que no es más que una pequeña esquina del Universo, el cual funciona en perfecto orden.

Las plantas y animales también fueron creados con orden y el hombre al definir la clasificación taxonómica, lo que hace es reflejar el orden de la Creación de Dios. Los seres vivos se clasifican en reinos; cada uno de los reinos se compone de varios phyla. Cada phyla está integrada por varios subphyla. Cada subphyla abarca varias clases, cada una de ellas se forma con varios órdenes, cada uno de ellos abarca varias familias, las cuales integran a varios géneros y éstos a varias especies.

Dios creó el concepto de número, y las leyes que rigen su Creación con frecuencia pueden ser expresadas en forma numérica; esto significa que a través de las matemáticas podemos entender muchas de dichas leyes, y con ello tener un mejor conocimiento de Dios. Siendo Él quien creó los números, no es difícil entender que éstos forman un conjunto ordenado.

Los números con que hemos trabajado en cursos anteriores se llaman números reales y se clasifican de la siguiente manera:

Los números racionales son los que pueden ser expresados como el cociente de dos números

enteros q

p siempre y cuando q tenga un valor diferente de cero. El conjunto de los números racionales

se representa con la letra R.

Ejemplos:

4, 56, 123, –5, –12, –89, 3650

8

3

5

4

2

1., ., , -, , 2.5, 0, –3.75; en los primeros seis ejemplos el denominador es

1 y es implícito.



Los números racionales se pueden representar como decimales periódicos, es decir, como números que poseen un dígito o grupo de dígitos que se repiten.

Ejemplos:

10

272.7000000... = 2.7

1

44.00000000... = 4.0

9

50.5555555... =0. 5

Cuando la cifra periódica de un decimal es el cero, se le llama decimal terminal o decimal periódico exacto.

Los números irracionales son los que no se pueden representar como el cociente de dos números enteros. Demostraremos esto más adelante.

Ejemplos:

. ,5 , 2

Los números irracionales se pueden representar como decimales no periódicos.

Ejemplos:

2 = 1.4142136... 5 = 2.236068... = 3.1415926535897932384626433832795...

Los números reales pueden representarse sobre una recta numérica. En ella se marca el cero, llamado origen; a la derecha del cero se marcan a intervalos regulares los enteros positivos y a su izquierda los enteros negativos, ambos en orden progresivo a partir del cero. Los números fraccionarios y los irracionales se localizan entre los enteros.

Convencionalmente la recta numérica se representa en forma horizontal, pero no necesariamente tiene que ser así. Podemos representarla también en forma vertical, en cuyo caso los números positivos se representan hacia arriba del cero y los negativos hacia abajo.

Ejemplos:

Ejercicio # 1

Completa las oraciones:

a) Los números reales se clasifican en ____________________ y ____________________.

b) Los números racionales se clasifican en _________________ y ____________________.

c) Los números _________________ se pueden representar como el cociente de dos enteros.

d) Los números _______________ no pueden representarse como el cociente de dos enteros.

e) Los números _____________________ pueden representarse como decimales periódicos.

f) Los números ___________________ pueden representarse como decimales no periódicos.

g) El conjunto de los números ________________ se representa con la letra R.

h) Cuando la cifra periódica de un decimal es el cero, se le llama ________________



Las seis operaciones básicas son: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Estas operaciones se pueden agrupar en tres parejas de operaciones inversas. Es muy importante conocer el nombre de sus respectivos elementos, con el fin de interpretar de una manera adecuada los planteamientos de diversos problemas y representarlos correctamente; de manera especial en forma algebraica.

Ejercicio # 2

1. Anota a la derecha de las siguientes expresiones PERIÓDICO, PERIÓDICO TERMINAL O NO PERIÓDICO

según corresponda.

a) 3.5

b) 4

c) 7

d) 0.3

e) 2.2554

f) 8.88888...

g) 10

h) 1. 6

i) 10

1

j) –3.8

k)

2. Anota a la derecha de cada número a cuál conjunto o conjuntos pertenece.

a) 0.23

b) 1.25

c) –0. 5

d) –12

e) 8.9

f) 5

4

g)

9

8

h) 2

i) 250.



j) 8

12

k) 5

l) 2.5

m) 10

n) –3.75

o) 9

3

p) 9

4

q) 9

5

r) 0. 6

3. Representa en una recta numérica los siguientes números:

a) 0.23

b) 1.25

c) –0. 5

d) –1.2

e) 5. 9

f) –3/4

g) 2

h) –4.5

i) 5

j) 18/4

k)

l) 2/3

4. Anota el nombre de los elementos de las siguientes operaciones:

a) Adición

b) Sustracción

c) Multiplicación

d) División

e) Potenciación

f) Radicación

Los números reales tienen algunas propiedades comunes. Estudiemos algunas de ellas.

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número es la distancia del cero a dicho número. Al considerar la distancia no importa el sentido, por lo que el valor absoluto de un número siempre será positivo. Por ejemplo, hay la misma distancia del 8 al cero que del –8 al cero; en ambos casos hay 8 unidades.

El valor absoluto de un número se representa por medio de dos líneas verticales a uno y otro lado del número.

Ejemplo:

8=8 y –8=8

Podemos observar esta situación en la recta numérica

Por lo tanto: –8=8 8=8 y también 8 = 8

Andresito

Resaltado

Andresito

Resaltado



Podemos generalizar que:

a = a si el valor de a es positivo

a= –a si el valor de a es negativo

el valor absoluto de cero es cero

siendo a cualquier número del conjunto de los números reales.

INVERSO ADITIVO O SIMÉTRICO

El simétrico de un número es aquel número que se encuentra a la misma distancia del cero que él en la recta numérica, pero en sentido contrario. Por lo tanto, el simétrico de un número positivo es negativo, y el simétrico de un número negativo es positivo.

Ejemplo:

El simétrico de 7 es –7

Podemos representar el inverso aditivo de un número encerrando dicho número entre paréntesis y anteponiéndole un signo negativo.

Ejemplos:

El simétrico de 7 es –(7) lo cual es –7 El simétrico de 2

1 es 2

1 lo cual es 2

1

Si sumamos un número con su inverso aditivo la suma será cero.

Ejemplos:

5

4

+ (–5

4

) = 0 – 2.23 + 2.23 = 0 0.87 + (–0.87) = 0

Podemos concluir que:

El simétrico de a es –a.

Por lo tanto:

Si a es positivo su simétrico será negativo y si a es negativo su simétrico será positivo.

INVERSO MULTIPLICATIVO O RECÍPROCO

El inverso multiplicativo de un número es aquel que al multiplicarlo por el número da como producto 1.

Ejemplo:

El inverso multiplicativo de 3

2 es 2

3 y el de –5 es 5

1 considerando que en los enteros el

denominador es 1. Si los multiplicamos tenemos:

1

6

6

2

3

3

2 1

5

5

5

15

(Recordemos que la multiplicación de fracciones es un producto directo: numerador por numerador y denominador por denominador.)

Andresito

Resaltado

Andresito

Resaltado

Andresito

Resaltado

Andresito

Resaltado



En forma general es:

El recíproco de q

p es p

q

PROPIEDAD DE TRICOTOMÍA

La relación de orden entre dos números consiste en compararlos y establecer si uno es igual, menor o mayor que el otro.

La propiedad de tricotomía establece que al comparar dos números sólo será verdadera una de las siguientes relaciones de orden:

a) Que el primer número sea mayor que el segundo. Lo cual se representa como a > b y se lee “a es mayor que b”.

b) Que el primer número sea menor que el segundo. Representado como a < b y se lee “a es menor que b”.

c) Que los dos números sean iguales. Cuya representación es a = b y se lee “a es igual a b”.

Las dos primeras relaciones son desigualdades mientras que la tercera es una igualdad.

Localizar los números en la recta numérica permite establecer con facilidad cuál tipo de relación es verdadera entre dos números. En la recta numérica el número que está más a la derecha vale más, por lo tanto el que está más a la izquierda vale menos. Si dos números ocupan el mismo lugar en la recta numérica son iguales.

Si dos números son iguales entre sí y un tercer número es igual a uno de ellos, entonces también

será igual al otro. Podemos representar esta idea de la siguiente manera:

Sí... a = b y... b = c entonces... a = c

podemos extender esta propiedad para decir que:

Sí... a < b y... b < c entonces... a < c

y también:

Sí a > b y b > c entonces a > c

La expresión a b significa que a puede ser mayor o igual que b y se lee “a es igual o mayor que b”

La expresión a < b < c significa que a es menor que b y a su vez b es menor que c; es decir, significa que el valor de b está entre el valor de a y el de c.

Representado en la recta numérica:

Como la división entre cero es indefinida, esta forma general no es válida cuando q = 0



Ejercicio #3

1. Obtén el valor absoluto indicado en cada caso.

a) 5 =

b) –7 =

c) 3 =

d) –12 =

e) –4/5 =

f) 0.5 =

g) –1.2 =

h) 7 =

i) –4+5 =

2. Completa la siguiente tabla.

número simétrico recíproco número simétrico recíproco

3 y5

2

–8 2

5x

y

x

y

x

5

3

y

x2

3 –a

2

7

5y

3

4

m

3. Escribe sobre las líneas F para falso o V para verdadero según corresponda.

a) ___ 5.25 < 5.52

b) ___

5

4 > 4.5

c) ___ 7 = 7.0

d) ___

2

3 < –

2

3

e) ___ –4.12 > –1

f) ___ 0 < –

5

4

g) ___ 0 >

2

1

h) ___ –4.25 < 0

i) ___ = 3.14

4. Escribe en forma simbólica las siguientes expresiones utilizando los signos de relación correspondiente.

a) a es menor que b

b) x es mayor que y

c) m puede valer 5 ó más

d) y está entre x y z_________________________________________________________

e) El valor de n puede ser –3 o menos

f) a es mayor que 3.5

g) 2

1es menor que y

h) x es menor o igual que y

i) El valor absoluto de –3 es mayor que m

j) 5

3es menor o igual que el valor absoluto de –x



k) El recíproco de f es igual a

7

2

l) 4

5está entre a y b

m) La medida de un cable puede ser igual o menor que 3.5m

n) El área de un triángulo está entre m y n

o) La utilidad de una empresa fue menor al 5% del capital

Las operaciones con números del conjunto de los números reales cumplen con las siguientes

propiedades:

PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA

ADICIÓN:

El orden de colocación de los sumandos no

altera la suma o total.

5.2 + 3 + (–2.5) = 3 + (–2.5) + 5.2

PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA

MULTIPLICACIÓN

El orden de colocación de los factores no altera

el producto.

3.5 (2.8)(4/5) = (4/5)(2.8)(3.5)

PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA

ADICIÓN:

El orden de agrupación de los sumandos no

altera la suma.

4.2 + 8.5 + 1/2 = 4.2 + (8.5 + 1/2)

= (4.2 + 8.5) + 1/2

PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA

MULTIPLICACIÓN:

El orden de agrupación de los factores no altera

el producto.

9.6 7.1 8.25 = 9.6 (7.1 8.25)

= (9.6 7.1) 8.25

PROPIEDAD DEL ELEMENTO NEUTRO

DE LA ADICIÓN:

Cualquier número sumado a cero es igual al

mismo número.

3.56 + 0 = 3.56

–4.87 + 0 = –4.87


DE LA MULTIPLICACIÓN:

Cualquier número multiplicado por 1 es igual al

mismo número.

4/5 1 = 4/5 2.31 1 = 2.31

Además considerando que una cantidad

dividida entre ella misma es igual a 1

3.5 7/7 = 3.5

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN CON RESPECTO A LA SUMA:

Multiplicar un número por el total de una suma es igual a multiplicar ese número por cada uno de los

sumandos y luego sumar los productos.

3.5(2.1 + 6/7) = (3.52.1) + (3.5 6/7)



PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA DIVISIÓN CON RESPECTO A LA SUMA:

Dividir el total de una adición entre un número es igual a dividir cada uno de los sumandos entre dicho

numero y luego sumar los cocientes.

4.5 + 3.5 + (–5.8) = 4.5 + 3.5 – 5.8

0.25 0.25 0.25 0.25

PROPIEDAD UNIFORME:

La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números racionales es siempre un número

racional a excepción de la división entre cero la cual es indefinida.

r1 + r

2 = r r

1 – r

2 = r r

2 r

2 = r r

1 / r

2 = r excepto r

2 = 0


DE LA RESTA:

Al restar 0 de cualquier número, no se altera el

número dado.

4.56 – 0 = 4.56


DE LA DIVISIÓN:

Al dividir un número entre 1, no se altera el

número dado.

4.26 =4.26

1

Consideraciones importantes.

La resta no cumple la propiedad conmutativa, porque al cambiar el orden del minuendo y el sustraendo se altera la diferencia.

45.25 – 3.75 3.75 – 45.25

41.5 –41.5 La resta no cumple la propiedad asociativa porque al cambiar el orden de agrupación sí se

altera la diferencia.

(3.7 – 2.15) – 7.1 3.7 – (2.15 – 7.1)

–5.55 8.65 La multiplicación de un número por cero dará como producto cero.

4.52 (0) = 0 La división de cero entre cualquier número, excepto cero, dará como cociente cero.

0/5.25 = 0 La división de cualquier número entre cero no está definida.

6.98/0 = indefinida La división no cumple con la propiedad conmutativa, porque al cambiar el orden del

dividendo y el divisor sí se altera el cociente.

9.63 6 6 9.63

1.605 0.623 La división no cumple con la propiedad asociativa, porque al cambiar el orden de los

signos de agrupación sí se altera el resultado.

(45 2.5) 2 45 (2.5 2)

9 36



Ejercicio #4

1. Anota al lado derecho de cada expresión cuál propiedad ha sido utilizada.

a) 4

3

0

4

3

b) 5

2

4

4

5

2

c)

3

2

250532504250

3

2

534250 ......

d) 5

1

9

2

5353

5

1

9

2

..

e) 1570157 ..

f)

9

8

43051

9

8

43051 ....

g) 7

41

7

4

h)

9

4

2

3

5

7

9

4

2

3

5

7

i) 2145

1

2145.

.

j) 162148524524148162 ......

k)

41

183

41

54

41

352

41

18354352

.

.

.

.

.

.

.

...

2. Anota los valores que hacen falta y escribe el nombre de la propiedad utilizada.

a) 5

8– 0 = ________

b) 4.25 (__) = 4.25

c) 3

2+ _____ + 4/5 = 4/5 + 3/8 + _____

d) (2.3 4.5) 5 = 2.3 (____ ____)

e) 9

8+ ____ =

9

8

f) 3

4

5

5= ______

g) 3.5 2.15 8 = 8 ______ ______

h) (4.5 +

6

5) 2.1 = 2.1 (_____) + 2.1 (_____)



El orden de resolución de las operaciones en una expresión que incluye varias, es llamado

jerarquía de operaciones.

La jerarquía de operaciones por convención internacional es:

Si no hay signos de agrupación

Las operaciones de la expresión se resuelven en el siguiente orden:

a) Potencias

b) Multiplicaciones y divisiones

c) Sumas y restas

Si hay signos de agrupación

Se resuelven primero las operaciones agrupadas en el signo más al interior y de ahí hacia el exterior observando con cuidado si fuera de cada signo de agrupación hay un signo positivo o negativo o un factor.

Los signos de agrupación más comunes son:

a) barra b) paréntesis circular c) paréntesis cuadrado o corchete d) llaves

Para expresiones con operaciones en el numerador y en el denominador, se resuelven ambas partes por separado, y al final se efectúa el cociente.

Ejemplos:

3524

687515685354

.

.....

3

2

18

12

18

4

18

8

9

4

2

1

6

4

3

2

135

35100

55322445532542

..

76

10

67

10

9664

25

93243

.

Primero se resuelve la multiplicación; y después se resuelve la suma.

Primero se resuelven las multiplicaciones, luego se suma y se simplifica el resultado

Primero se opera la potencia. Después las multiplicaciones. Por último la suma.

Primero se operan la potencia y la multiplicación (independiente el numerador del denominador). Después se opera la suma. Por último, la división.



9524

95204

4518524

1563524

15153524

15153524

6518253524

.

.

..

..

..

..

...

Ejercicio #5

Simplifica las siguientes expresiones resolviendo las operaciones en el orden que corresponde.

a) 4.5 + 5 9 – 6 =

b) 2.3 5 + 3.2 6 =

c) 4 – 2.4 7 =

d) 8 2.5 + 4.2 5 =

e) 7.6 + 3 9 =

f) 12.5 – 4 3.1 =

g) 3.4 82

+ 3 6 – 18 =

h) 7(–4) + 8.9 =

i) 6.3 + 4.2(3) =

j) 6 + 5(–4) – 3(6.25) =

k) 32

+ 4(12.6)(8) =

l) 5(42

) + 2(3.5) – 15 =

m) 3(2.62

) – 6(7.21) =

n) 5 + 3(4 + 8) =

o) (4.5 + 8.6) + (5.06 – 9.8) =

p) 3(5.4 + 3.2) – 4(2.9 – 9.2) =

q) 3.5 + 46 +7.25+9 =

r) 5.6 – 25–8.6 + 10 =

s) 8 + 3.8 + 4 6 +12.6 + 4.5 =

t) 2.5(12.3+ 5)+9+46––4.5+9=

u) 4(8+ 2.5) + 5 – 6 2– – 3.6 – 8.2 =

v) 2.3 – 3 4 + 2–7 – 5 =

w) 5.3 + 3 5 – 4–2.5 + 25 =

x) (0.5 + 3 5) (2.5 3)

y) 3 5 – 4–2.5 3(5 + 2 5)

z) 6.7–3 3––2.5+6.5 +2(3.25+1.12) =

Se resuelve primero la operación dentro del paréntesis. Se elimina el paréntesis. Se resuelve la operación dentro de los corchetes. Se multiplica el factor por el resultado de los corchetes. Se resuelve la operación dentro de las llaves. Se resuelve la operación entre los últimos valores.

¿Quién nos separará del amor de Cristo? ¿Tribulación, o angustia,

o persecución, o hambre, o desnudez, o peligro, o espada... Antes,

en todas estas cosas somos más que vencedores por medio de aquel

que nos amó. Por lo cual estoy seguro de que ni la muerte, ni la vida,

ni ángeles, ni principados, ni potestades, ni lo presente, ni lo por

venir, ni lo alto, ni lo profundo, ni ninguna otra cosa creada nos

podrá separar del amor de Dios, que es en Cristo Jesús Señor

nuestro. Romanos 8:35,37,39



CCAAPPIITTUULLOO 22::

NNÚÚMMEERROOSS RRAACCIIOONNAALLEESS

Los números racionales son aquellos que pueden escribirse como la razón de dos enteros q

p ,

siempre y cuando q no sea cero.

El conjunto de los números racionales está compuesto por los enteros, las fracciones y parte de los decimales.

Ejemplos:

4

7

9

8 , , 3, –12, 2.4, –4. 5

Elementos de una fracción. Los elementos de una fracción son el numerador y el denominador.

Numerador. Nos indica el número de partes tomados en cuenta.

Denominador. Nos indica el número de partes en que se ha dividido cada entero.

q

p

Una fracción se puede expresar también como qp

Elementos de un número decimal. Un número decimal está compuesto por una parte entera y una parte decimal, separadas por el punto decimal.

Lectura y escritura de fracciones. Al leer una fracción indicamos primero el numerador como cantidad (uno, dos, tres, etc.) y después el denominador de acuerdo a la siguiente tabla:

2 se lee medios 3 se lee tercios 4 se lee cuartos 5 se lee quintos

6 se lee sextos 7 se lee séptimos 8 se lee octavos 9 se lee novenos

10 se lee décimos Si el denominador es mayor que diez, al número se le añade “avos”.

Ejemplo:

5

1 se lee “un quinto” 4

7 se lee “siete cuartos” 12

5 se lee “cinco doceavos”

Al escribir una fracción anotamos primero las partes que estamos considerando en el numerador y el número de partes en que ha sido dividido cada entero en el denominador.

NOTA: El entero o total puede ser un conjunto de elementos, por ejemplo, los alumnos de un grupo, la producción diaria de focos en una fábrica, el tiempo necesario para recorrer una distancia, etc.

numerador

denominador



La fracción indicada en esta figura es 3

1.

La fracción indicada aquí es 8

2 o bien

4

1

La fracción en este otro caso es 10

8 ó

5

4

LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS DECIMALES

Para leer un número decimal se mencionan primero los enteros y después la cantidad decimal. Si el número tiene un suborden serán décimos, si tiene dos serán centésimos, y así sucesivamente. Observa el siguiente cuadro:

ÓRDENES SUBÓRDENES

centenas decenas unidades décimos centésimos milésimos diezmilésimos cienmilésimos millonésimos

Ejemplos:

NÚMERO DECIMAL SE LEE

3.8 tres enteros, ocho décimos (ya que tiene sólo una posición decimal)

15.04 quince enteros, cuatro centésimos (ya que tiene dos posiciones decimales)

10.208 diez enteros, doscientos ocho milésimos

0.002 cero enteros dos milésimos o simplemente dos milésimos

4.000 123 cuatro enteros, ciento veintitrés millonésimos

Otra manera de leer un decimal es mencionando la cantidad de enteros, la palabra punto y luego la cantidad decimal sin olvidar indicar si hay ceros.

1.2 se lee uno punto dos

4.002 se lee cuatro punto cero cero dos

0.7 se lee cero punto siete

Al escribir un número decimal, anotamos primero los enteros, luego el punto decimal y por último la parte decimal, abarcando tantas posiciones decimales como el nombre lo indique, una si se trata de décimos, dos si son centésimos, y así sucesivamente.

NÚMERO DECIMAL SE ESCRIBE

Catorce enteros, dos décimos 14.2

Nueve enteros, quince centésimos 9.15

Siete milésimos 0.007

Noventa enteros, doce centésimos 90.12

Tres millonésimos 0.000 003



Ejercicio #1

1. Escribe la fracción indicada en cada caso.

a) De 235 alumnos inscritos en el curso de francés, aprobaron 222 ________________

b) El programa de Matemáticas en 1° básico consta de 150 lecciones, de las cuales 35 corresponden a

álgebra. _______________

c) Dos terceras partes de los alumnos de un colegio integran el coro. _______________

d) En una empresa despidieron uno de cada diez empleados en el último recorte de personal.

__________________

e) De cada 10 turistas que ingresan a México, 4 visitan alguna de sus playas. __________________

f) Una compañía fue comprada por tres hermanos y dos primos, aportando todos cantidades iguales. Si

la utilidad del primer año fue de Q5 238 760, ¿qué parte de ella corresponde a cada uno?

____________

2. Completa la siguiente tabla anotando el número que representa la masa atómica de los siguientes

elementos o bien cómo se lee dicho número.

ELEMENTO SÍMBOLO MASA ATÓMICA

(con letras)

MASA ATÓMICA

(con números)

Hidrógeno H un entero ocho milésimos

Litio Li seis enteros novecientos cuarenta y un milésimo

Sodio Na veintidós enteros noventa y nueve centésimos

Potasio K treinta y nueve enteros noventa y ocho milésimos

Rubidio Rb ochenta y cinco enteros cuatrocientos sesenta y ocho milésimos

Cesio Cs ciento treinta y dos enteros novecientos cinco milésimos

Francio Fr doscientos veintitrés (isótopo más estable)

Berilio Be nueve enteros doce milésimos

Magnesio Mg veinticuatro enteros trescientos cinco milésimos

Calcio Ca cuarenta enteros setenta y ocho milésimos

Estroncio Sr ochenta y siete enteros sesenta y dos centésimos

Bario Ba ciento treinta y siete enteros trescientos veintisiete milésimos

Radio Ra doscientos veintiséis enteros veinticinco milésimos

Boro B 10.811

Aluminio Al 26.982

Galio Ga 69.723

Indio In 114.82

Talio Tl 204.383



Carbono C 12.011

Silicio Si 28.086

Germanio Ge 72.61

Estaño Sn 118.71

Plomo Pb 207.2

Nitrógeno N 14.007

Fósforo P 30.974

Arsénico As 74.992

Antimonio Sb 121.757

Bismuto Bi 208.98

3. Representa gráficamente la fracción indicada en cada caso, considerando que el total de objetos sea 18.

Observa el ejemplo.

a) 9

1

b) 3

2

c) 6

5

d) 6

1

e)

9

7

f) 3

1



Redondear o aproximar una cantidad consiste en acercarla a un orden o suborden tal que nos

facilite operar con ella.

Podemos aproximar o redondear a cualquier orden o suborden.

Apreciemos el proceso en una recta numérica redondeando los números 1.3, 4.5 y 9.1 a enteros.

Podemos concluir que 1.3 1; 4.5 5 y 9.1 9. El símbolo significa “se aproxima a” o “es aproximadamente”

No siempre los decimales se redondean a enteros, todo depende del grado de exactitud que se necesite. Al redondear números decimales podemos seguir los siguientes pasos.

Pasos para aproximar o redondear un número decimal a una posición dada:

a) Marcamos el dígito que está en la posición dada,

b) Luego observamos el dígito que está a su derecha.

Si el dígito que está a su derecha es igual o mayor que 5, aumentamos una unidad al dígito de la posición dada.

Si el dígito que está a su derecha es menor que 5, el dígito de la posición dada queda igual.

c) Los dígitos a la derecha de la posición dada ya no se toman en cuenta.

Ejemplos:

Redondeando a décimos:

24.84 Marcamos el dígito que está en los décimos: 24.84

Miramos el dígito que está a su derecha; como es un 4 (menor que 5), el dígito subrayado queda igual. El número redondeado a décimos es 24.8


Miramos el dígito que está a su derecha; como es un 8 (mayor que 5), el dígito subrayado aumenta una unidad. Ahora será 3. El número redondeado a décimos es 48.3


Miramos el dígito que está a su derecha; como es un 5, aumentamos una unidad al dígito subrayado, por lo tanto ahora será 5. El número redondeado a décimos es 56.5



Redondeando a centésimos:

45.123 55 45.124 89.129 452 89.129 0.999 999 1 Redondeando a enteros:

45.124 55 45 89.52 90 5.999 9 6 La estimación de resultados

Consiste en operar con una o varias cantidades redondeadas y puede realizarse con cualquiera de las operaciones básicas.

Para estimar un resultado, el redondeo se hace hasta un orden o suborden que facilite la operación y a la vez esté acorde con el grado de exactitud que se requiere.

Ejemplos:

Para la instalación de la red eléctrica de una tienda se necesitan dos tramos de cable de cada una de las siguientes medidas: 4.25m, 8.43m, 6.50m, 5.21m y 12.85m; para calcular rápidamente la cantidad de cable que hay que comprar se pueden redondear las cantidades a metros.

La suma con los valores reales es: La suma con los valores redondeados a enteros es:

Observa que la cantidad estimada es aproximada a la cantidad real.

Antes de resolver una operación siempre es útil hacer una estimación del resultado con el fin de tener una idea aproximada del resultado.

La estimación de resultados es muy común cuando vamos de compras y antes de llegar a la caja queremos saber aproximadamente cuánto gastaremos. También se utiliza cuando queremos hacer la repartir una cantidad como el sueldo, y decidimos cuánto será aproximadamente para diezmo y ofrendas, para alimentos, para servicios, etc.

Ejercicio #2

1. Completa la siguiente tabla aproxima hasta donde se indica.

NÚMERO A ENTEROS A DÉCIMOS A CENTÉSIMOS A MILÉSIMOS

a) 23.23554 23

b) 1.55254 1.6

c) 0.00622 0.01

d) 5.032487 5.032

4. 2 5 8. 4 3 6. 5 0 5. 2 1 + 1 2. 8 5

3 7. 2 4 x 2

7 4. 4 8

4 8 7 5 + 1 3

3 7 x 2

7 4



e) 11.0305051

f) 8.457811

g) 12.485754

h) 2.97453

i) 0.84321

j) 1.9999

k) 0.125654

l) 145.599

2. Estima mentalmente el resultado de las siguientes operaciones redondeando las cantidades a enteros.

Observa el ejemplo.

a) 8.5 + 9.6 + 1.25 9 + 10 + 1 20

b) 12.3 + 5.236 + 7.4852

c) 58.5 + 97.3 + 12.45 + 8

d) 105.6 + 12.5 + 18.6

e) 48.125 – 15.78

f) 56.8914 – 25.985

g) 8.4511 (5.4568)

h) 6.521 (8.325)

i) 25

46145

.

.

j) 8.4552

k) 3.8452

l) 111

3. Estima mentalmente el resultado de las siguientes operaciones redondeando las cantidades a centenas.

a) 458.5 + 129.6 + 281.25

b) 129.3 + 485.236 + 799.4852

c) 258.5 + 197.3 + 812.45 + 8

d) 105.6 + 412.5 + 980.6

e) 548.125 – 115.78

f) 756.8914 – 225.985

g) 888.4511 (335.4568)

h) 645.521 (858.325)

i) 2425

461845

.

.

CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES Y DE NÚMEROS DECIMALES

Fracción propia. Es aquella que representa una cantidad menor que un entero. En una fracción propia el numerador siempre es menor que el denominador.

f.p. < 1 n < d

2

1

, 10

8

, 5

4

, 12

3

Ejemplos:



Fracción impropia. Es aquella que representa una cantidad igual o mayor que un entero. En una fracción impropia el numerador puede ser igual o mayor que el numerador.

f.i. 1 n d

Ejemplos: 3

4,

5

8,

7

7,

4

25

Decimal periódico exacto, finito o terminal. Es el que posee como cifra periódica al cero.

Ejemplos: 4.500000, 8.750000, 0.40000 y 156.3500000

Por regla general los ceros no se anotan. Las cantidades quedan como: 4.5, 8.75, 0.4 y 156.35

Decimal periódico infinito. Es aquel que tiene en la parte decimal un dígito (diferente de cero) o un grupo de dígitos que se repiten. En los decimales periódicos se acostumbra escribir una sola vez el dígito o grupo de dígitos que se repiten (llamados periódicos) y se anota sobre ellos una línea horizontal conocida como línea de periodicidad.

Ejemplos:

Al dividir 2 entre 3 el cociente es 0.66666 e infinitas cifras seis más; la manera más común de escribirlo es 60.

Al hacer la división de 5 entre 7 obtenemos como cociente 0.714 285 714 285 714. Observemos que las primeras seis cifras decimales se repiten (si tuviéramos más cifras anotadas veríamos que se repiten de nuevo). Este decimal puede escribirse 7142850.

CONVERSIONES

Una fracción impropia puede expresarse como un número mixto y viceversa.

Conversión de una fracción impropia a número mixto

Se divide el numerador entre el denominador sin obtener decimales. El cociente corresponde a los enteros y el residuo a la fracción sobrante. Con frecuencia este proceso puede realizarse mentalmente.

Ejemplos:

5

43

5

19

3

5 1 9 4

7

51

7

12

4

15

4

21

8

34

8

35

Conversión de un número mixto a fracción impropia

Se multiplica el entero por el denominador y se suma el numerador para obtener el numerador de la fracción impropia. El denominador de la fracción impropia es el mismo que el de la fracción del número mixto.

Ejemplos:

9

38

9

24 4 (9) = 36; 36 + 2 = 38

5

17

5

23

2

15

2

17

7

87

7

312

Una fracción puede expresarse como decimal y viceversa.

Conversión de una fracción a decimal

Se divide el numerador entre el denominador. El número decimal que obtengamos puede ser de diferente tipo:



Es un decimal periódico finito. La línea de periodicidad abarca un dígito.

Ejemplos:

80

5

4.

60

3

2.

714285708571471428571420

7

5..

Conversión de un decimal finito a una fracción

Se anotan los dígitos del número sin anotar el punto decimal como denominador. El denominador está determinado por la posición de la última cifra decimal, llamada cifra significativa. Al convertir un decimal en fracción, lo primero que obtenemos es una fracción decimal, es decir, una fracción cuyo denominador es una potencia de 10. Siempre que sea posible es importante simplificar la fracción obtenida.

5

11

10

2222 .

dos enteros dos décimos, el denominador es 10

20

9

100

45450 .

cuarenta y cinco centésimos, el denominador es 100

250

1

500

2

1000

40040 .

cuatro milésimos, el denominador es 1000

Conversión de un decimal infinito a una fracción

Se iguala el valor a x.

Se multiplican ambos miembros de la igualdad por 10 o por un múltiplo de 10 dependiendo del número de cifras periódicas.

Se le resta la igualación a x.

Se despeja la x.

Convirtamos a fracción el número 3. 3

x = 3. 3 Igualamos el valor a x.

10x = 33.3

–x –3.3 Restamos la igualación a x (x = 3. 3 ).

9x = 30

x = 9

30 =

3

10 Despejamos la x y simplificamos la fracción obtenida.

3.3 = 3

10

Convirtamos el número 0. 285 714

x = 0. 285 714 Igualamos el valor a x.

1 000 000x = 714285.000000

1 000 000x = 714285.000000

–x –0.714285 999 999x = 714284.285715 Despejamos la x y simplificamos la fracción obtenida.

x = 714284 999 999

x = 7

5

Es un decimal periódico infinito. La línea de periodicidad abarca un dígito.

Como solamente tenemos una cifra periódica, multiplicamos ambos miembros por 10.

Es un decimal periódico infinito. La línea de periodicidad abarca siete dígitos.

Como tenemos 6 cifras periódicas, multiplicamos ambos miembros de la igualdad por 1 000 000.

Restamos la igualación a x ( x = 0. 285 714 ).

= 0.714285



Ejercicio #3

1. Anota a la derecha de cada número su clasificación correcta eligiendo de entre las siguientes:

a) 5

2

b) 3.5

c) 4. 6

d) 4

32

e) 5

8

f) 5.67

g) 2

1

h) 9

2

i) 7.645

j) 5. 5

k) 3

9

2

l) 7

8

m) 4.6

n) 2

16

o) 10

7

p) 4. 3

q) 3

4

r) 6. 6

s) 8

5

3

t) 11

6

2. Convierte a números mixtos.

a) 7

24=

b) 5

18=

c) 4

25=

d) 9

32=

e) 12

54=

f) 15

36=

g) 7

17=

h) 8

43=

i) 20

76=

j) 9

16

k) 10

45=

l) 8

36=

m) 4

29=

n) 15

35=

o) 8

46=

p) 12

50=

q) 3

4=

r) 18

39=

s) 36

54=

t) 13

28=

3. Convierte a fracciones impropias.

a) 3

5

4=

b) 5

2

1=

c) 4

8

3=

d) 1

9

2=

e) 4

5

3=

f) 7

9

8=

g) 6

5

2=

h) 7

7

4=

i) 10

2

1=

j) 1

10

3=

k) 4

2

1=

l) 6

9

2=

FRACCIÓN PROPIA FRACCIÓN IMPROPIA NÚMERO MIXTO

DECIMAL PERIÓDICO FINITO DECIMAL PERIÓDICO INFINITO



m) 5

8

3=

n) 4

6

5=

o) 3

15

2=

p) 4

12

1=

q) 3

13

12=

r) 8

7

3=

s) 6

15

4=

t) 3

25

12=

4. Convierte a número decimal.

a) 7

24=

b) 5

18=

c) 4

25=

d) 9

32=

e) 12

54=

f) 15

3=

g) 7

8=

h) 8

4=

i) 20

76=

j) 9

16=

k) 5

4=

l) 8

3=

m) 4

29=

n) 15

35=

o) 8

46=

p) 2

5=

q) 3

4=

r) 18

9=

s) 10

54=

t) 6

45=

5. Convierte a fracción.

a) 0.1=

b) 0.2=

c) 0.3=

d) 0.4=

e) 0.5=

f) 0.6=

g) 0.7=

h) 0.8=

i) 0.9=

j) 0.25=

k) 0. 3 =

l) 0. 6 =

m) 0.75=

n) 1.4=

o) 2.25=

p) 7.7 =

q) 3.75=

r) 8.5=

s) 4.2=

t) 12.75=

Comparar números con diferente cantidad de enteros es tan sencillo como comparar enteros. Para comparar números con la misma cantidad de enteros el trabajo se facilita si ambos están expresados en el mismo tipo de representación, es decir, si todos son fracciones o todos son decimales.

La comparación de fracciones se realiza convirtiendo ambas fracciones en decimales, o bien mediante el producto cruzado. Si se trata de un número mixto, primero se debe convertir en fracción.

La comparación de decimales, se puede completar con ceros para tener el mismo número de cifras decimales en ambos números y después se compara con más facilidad.

Los símbolos utilizados para establecer una relación de orden son los convencionales que ya conocemos:

> “mayor que” < “menor que” = “igual a”

Ejemplo:

23.5 < 36.458 8.12 > 6.45 9.1547 < 9.2 9.1547< 9.2000



3

2

5

4

1012

6

8

5

6

4036

6

3

8

4

2424

0.8 > 0.666

1.2 6

7

10

12

72

6

7

70

o bien 1.1 6 < 1.20

Ejercicio #4

1. Anota el signo de relación que corresponda entre los siguientes números.

a) 2.58 ___ 4.11

b) 3.5 ___ 3.5000

c) 5.7 ___ 5.9

d) 3.4 ___ 3.399

e) 5

4 ___ 3.2

f) 3

1 ___ 0.3

g) 7

4___

3

2

h) 7

5___

8

5

i) 3.6 ___

6

3

j) 5.2 ___ 5.1999

k) 3.07 ___ 3.70

l) 7

4___

6

4

m) 7

5___

8

5

n) 4.5 ___

5

4

o) 8

3 ___ 0.38

p) 4

5 ___ 1.25

q) 9

70___ .77

r) 1.35 ___ 1.3521

s) 9

7 ___ 0.7

t) ___ 3.14

2. Ordena en forma ascendente los siguientes números.

a) 4.6 2.5

4

3

2

1 0.3

3

1 0.4

b) 5

2 3.8 2.5

4

9

5

7 1.7 1.5

3. Ordena en forma descendente los siguientes números.

a) 0.25

4

3 1.25

5

2

6

1

3

2 0.8

b)

9

4 0.5

5

3

3

2

8

5 0.8

9

8



Fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma cantidad, aunque su escritura sea diferente.

Para verificar si dos fracciones son equivalentes podemos convertirlas a número decimal, o utilizar el método de productos cruzados. Si los productos obtenidos son iguales, significa que las fracciones son equivalentes. Al obtener los productos se anotan arriba de los numeradores para facilitar la comparación.

4

1

8

2

88

4 (2) = 8 y 8 (1) = 8

La obtención de fracciones equivalentes se realiza multiplicando el numerador y el denominador de una fracción por un mismo factor. A este proceso se le conoce como amplificación de fracciones.

Ejemplos:

8

6

2

2

4

3

x

x Ahora comprobemos por producto cruzado:

8

6

4

3

2424

Otra manera de obtener fracciones equivalentes es a través de la simplificación o reducción,

procedimiento en el cual se dividen tanto el numerador como el denominador de la fracción entre un mismo divisor.

En la simplificación de fracciones es muy útil recordar los criterios de divisibilidad.

Criterios de divisibilidad de uso más frecuente

a) Criterio de divisibilidad entre 2. Un número es divisible entre dos si el dígito que ocupa el lugar de las unidades es par, es decir si es 0, 2, 4, 6 u 8. Si un número es divisible entre 2, se dice que tiene mitad.

12; 500 y 4 888 son divisibles entre dos. Es decir, tienen mitad. 13; 897, 123 y 147 no son divisibles entre dos, es decir, no tienen mitad.

b) Criterio de divisibilidad entre 3. Un número es divisible entre tres si la suma de sus cifras reducida a un dígito es 3, 6 ó 9. Si un número es divisible entre 3, se dice que tiene tercera.

135, 453, 309 y 2 451 son divisibles entre tres. Es decir, tienen tercera. 14, 952, 358 y 1 234 no son divisibles entre tres, es decir, no tienen tercera.

Observa que en el número 2 451 la suma de sus cifras es 12, pero como la regla dice “la suma de sus cifras reducida a un dígito” y en el 12 hay dos, volvemos a sumar 1 + 2 =3 y entonces podemos ver que la regla se cumple.

c) Criterio de divisibilidad entre 5. Un número es divisible entre cinco si el dígito que ocupa el lugar de las unidades es 0 ó 5. Si divisible entre 5, se dice que tiene quinta.

120, 905, 940 y 2 685 son divisibles entre cinco. Es decir, tienen quinta. 16, 956, 458 y 2 321 no son divisibles entre cinco, es decir, no tienen quinta.

Los productos cruzados son iguales por lo tanto las fracciones son equivalentes.



d) Criterio de divisibilidad entre 10. Un número es divisible entre diez si el dígito que ocupa el lugar de las unidades es cero.

120, 650, 980 y 5 630 son divisibles entre diez. Es decir, tienen décima. 54, 897, 874 y 4 458 no son divisibles entre diez, es decir, no tienen décima.

Ejemplos de simplificación utilizando los criterios:

3

2

9

6

18

12

36

24

360

240

décima mitad mitad tercera

Una fracción que se puede simplificar se llama fracción reducible; tal es el caso de las primeras

cuatro fracciones de los ejemplos.

Una fracción que no se puede simplificar se llama fracción irreducible. 3

2

9

6

18

12

36

24

360

240 es una fracción

irreducible.

Cuando simplificamos una fracción hasta llegar a una fracción irreducible, se dice que hemos reducido a la mínima expresión.

Ejercicio #5

1. Comprueba si los siguientes valores son equivalentes y anota FALSO o VERDADERO según corresponda.

a) 10

2

5

4

b) 8

4

4

3

c) 9

6

6

4

d) 3

7

3

12

e) 8

14

4

31

f) 7

5

6

4

g) 10

7

5

3

h) 8

12

2

11

i) 5

32

5

23

j) 3

11

9

12

k) 4

7

7

4

l) 4

3

8

6

m) 7

21

9

7

n) 10

2

5

4

o) 6

9

3

11

p) 5

22

5

12

q) 6

3

7

4

r) 8

5

5

8

s) 6

10

9

15

t) 8

12

6

9

2. Reduce las siguientes fracciones a su mínima expresión.

a) 8

4

b) 18

3

c) 6

4

d) 15

9

e) 20

15

f) 36

18

g) 15

48

h) 36

15

i) 48

72

j) 75

50

k) 125

75

l) 20

45

m) 84

70

n) 84

48

o) 100

12

p) 80

4

q) 700

500

r) 360

450

s) 1000

720

t) 3600

2400

.



3. Completa la siguiente tabla anotando una X si el número es divisible y un O si no lo es.

Existen algunas equivalencias entre fracciones y números decimales que son de uso muy común y es importante memorizarlas. Las principales son:

2

1= 0.5

3

1

= 0.3 3

2

= 0.6

4

1

= 0.25 4

2

= 2

1 = 0.5

4

3

= 0.75

5

1 = 0.2

5

2

= 0.4 5

3

= 0.6 5

4

= 0.8

6

1

= 0.1 6 6

2

= 3

1

= 0.3 6

3 =

2

1 = 0.5

6

4

= 3

2

= 0.6

6

5 = 0.8 3

7

1 = 0. 857 142

8

1= 0.125

8

2= 0.25

8

3= 0.375

8

4=

2

1 = 0.5

8

5 = 0.625

8

6 =

4

3 = 0.75

8

7 = 0.875

9

1

= 0. 1 9

2

= 0. 2 9

3 = 0. 3

9

4 = 0. 4 Observa el patrón.

10

1

= 0.1 10

2

= 0.2 10

3= 0.3

10

4 = 0.4 Observa el patrón.

número

divisibilidad entre

2 3 5 10

a) 8

b) 6

c) 10

d) 12

e) 15

f) 18

g) 20

h) 22

i) 24

número

divisibilidad entre

2 3 5 10

a) 28

b) 30

c) 36

d) 40

e) 48

f) 50

g) 75

h) 80

i) 100



Ejercicio #6

1. Anota el decimal que equivale a cada una de las siguientes fracciones.

a) 2

1 = _________

b) 3

2 = _________

c) 4

3 = _________

d) 5

4 = _________

e) 8

1 = _________

f) 4

1 = _________

g) 6

3 = _________

h) 6

2 = _________

i) 8

4 = _________

j) 5

1 = _________

k) 10

4= _________

l) 3

1 = _________

m) 5

2 = _________

n) 6

1 = _________

o) 7

1 = _________

p) 5

3 = _________

q) 9

2 = _________

r) 6

4 = _________

s) 5

1 = _________

t) 9

3 = _________

u) 6

5 = _________

2. Anota la fracción irreducible que equivale a los siguientes números decimales.

a) 0.25 =

b) 0.2 =

c) 0. 6 =

d) 0.4 =

e) 0. 7 =

f) 0.3 =

g) 0.5 =

h) 0. 3 =

i) 0. 2 =

j) 0.75 =

k) 0.1 6 =

l) 0.125 =

m) 0.8 =

n) 0. 857 142 =

o) 0.6 =

Fracciones homogéneas son aquellas que poseen el mismo denominador (llamado denominador común

Fracciones heterogéneas son las que poseen denominadores diferentes..

Son fracciones homogéneas ,,

3

12

3

7

3

11

3

4y

Son fracciones heterogéneas ,,

8

12

10

1

7

9

5

2y



Métodos para convertir fracciones heterogéneas en fracciones homogéneas

a) Producto cruzado para obtención de los nuevos numeradores y producto de los dos denominadores para obtener el nuevo denominador.

48

64

48

30

6

8

8

5

6430

yy 60

54

60

50

10

9

6

5

5450

yy

b) Mínimo común múltiplo de los denominadores para la obtención del nuevo denominador. Para obtener los nuevos numeradores dividimos el nuevo denominador entre el original, y el cociente lo multiplicamos por el numerador original.

Ejemplos:

20

12

20

25

10

6

4

5

25

yy

Utilizando el método del m.c.m. nos dimos cuenta que el nuevo denominador es 20.

Para obtener los dos numeradores equivalentes dividimos 20 : 4 = 5 y multiplicamos 5 (5) = 25; después dividimos 20 : 10 = 2 y multiplicamos 2 (6) = 12

Ejercicio #7

1. Anota a la derecha de las siguientes parejas de fracciones si son homogéneas o heterogéneas.

a) 2

3

6

4,

b) 14

9

7

5,

c) 4

1

8

2,

d) 2

3

4

5,

e) 10

7

4

3,

f) 10

8

5

3,

g) 8

3

4

7,

h) 3

2

9

5,

i) 5

3

6

8,

j) 4

2

7

3,

k) 9

5

8

5,

l) 3

4

3

6,

m) 4

3

3

4,

n) 3

4

8

5,

o) 7

5

7

3,

p) 5

8

5

4,

q) 4

8

3

6,

r) 2

1

3

4,

s) 8

2

8

7,

t) 8

2,

6

5

u) 10

9

10

7,

v) 5

3

4

8,

w) 5

2

9

7,

x) 3

9

4

3,

y) 6

1

6

5,

z) 8

3

4

2,

aa) 5

2

3

4,

4 10 2 2 5 2

1 5 5

1 20

Al obtener el denominador común es útil tomar en cuenta lo siguiente:

a) Observemos los denominadores de las fracciones, identifiquemos el mayor y verifiquemos si

es divisible entre el resto; si es así, ese será el denominador común

6

14

6

5

3

7

6

5

21

y y

b) Si el denominador mayor no es divisible entre el resto, utiliza el procedimiento del m.c.m.

para obtener el denominador común.



2. Convierte las fracciones heterogéneas del punto 1 en fracciones homogéneas por el método de productos

cruzados.

3. Convierte las fracciones heterogéneas del punto 1 en fracciones homogéneas por el método del m.c.m.

4. Compara tus resultados en ambos métodos y anota tu conclusión.

Suma de números decimales

Debemos alinear los sumandos verticalmente, y acomodarlos de tal forma que los puntos decimales queden en línea (punto colineal). El punto queda en la misma línea en el resultado. Si en la adición está incluido un entero, éste debe ser anotado a la izquierda del punto en el lugar de los enteros.

4 1. 4 1 3 9. 1 5 7 + 8. 4 8 9 + 8 5.

4 9. 8 8 9 2 2 4. 1 5 7

Suma de fracciones

Los sumandos deben ser fracciones homogéneas; si no lo son, debemos hacer las conversiones necesarias. Al obtener el resultado debemos procurar, siempre que sea posible, simplificar y convertir a número mixto.

12

51

12

17

12

8

12

9

6

4

4

3

23

Si en una suma de fracciones tenemos números mixtos, debemos sumar primero los enteros, después las fracciones, y por último los unimos observando si hay más enteros en la parte fraccionaria y simplificando nuestro resultado siempre que sea posible.

12

5

6

12

17

5

12

8

12

9

5

6

4

3

4

3

2

23

Al sumar números es importante que todos tengan una misma representación, ya sea decimal o

fraccionaria; en caso contrario, debemos hacer la conversión más conveniente. En el siguiente caso convertiremos las fracciones en decimales.

6725475062254

4

3

5

32 .....

Si al convertir fracciones a decimales notamos que al menos uno de los decimales es periódico infinito, es mejor convertir los decimales a fracciones con el fin de que el resultado sea más exacto. Esto es aplicable en todas las operaciones donde haya números en diferente representación (fracciones y decimales).

2

16073

2

1

3

273 ...

En este caso es mejor convertir los números decimales en fracciones: 10

3773 .

Entonces la operación queda: 15

13

4

15

73

30

146

30

15

30

20

30

111

2

1

3

2

10

37

2

1

3

2

73

15103

.

En esta fracción hay un entero más.



Ejercicio #8

1. Resuelve las siguientes operaciones. En el caso de las fracciones simplifica tus resultados a su mínima

expresión, y si es posible conviértelos en números mixtos.

a) 12.55 + 45.2 + 158 =

b) 84 + 5.8545 + 5.554 =

c) 0.2664 + 0.2 + 89 =

d) 4.1255 +0.8+ 52.54 + 8 =

e) 45.21 +211.874+42.545 =

f) 98.3+487+2.6545 + 9 =

g) 545.6 + 873 + 45.578 =

h) 7845 + 87564 + 57.23 =

i) 578.1235+8754+892.54=

j) 9775.54+8786 + 587 + 2.3 =

k) 6545.546+4554+5748.45=

l) 2

3

6

4

m) 14

8

7

5

n) 4

1

8

2

o) 2

33

p) 10

8

4

35

q) 10

63

5

32

r) 8

3

2

4

1

4

s) 3

2

4

9

5

1

t) 4

2

7

3

u) 9

5

8

5

v) 3

4

3

6

w) 4

3

3

2

x) 3

2

8

4

y) 7

5

7

3

z) 5

8

5

4

aa) 4

3

3

14

bb) 2

12

3

15

cc) 8

2

8

7

dd) 8

23

6

42

ee) 10

95

10

73

ff) 5

2

9

7

gg) 3

7

5

4

3

hh) 251

4

1

6

5

.

ii) 84

8

3

4

2.

jj) 5

2

13

3

2

2 .

kk) 40

4

3

3

8

5

1 .

ll) 5423

6

5

4 ..

mm) 152

2

3

5

8

.

2. Resuelve los siguientes problemas.

a) Una sección de tubería se construyó con varias piezas cuyas longitudes eran m2

1, m

4

3, m

8

3 y m

4

12 .

¿Cual es la longitud de la sección?

b) ¿Cual es el perímetro de una mesa rectangular que mide m5

4 de largo y de ancho?

c) ¿Cuál es el perímetro de un terreno de forma irregular cuyos lados miden 34.54m, 46.57m, 78.69m y

23.75m?



Resta de números decimales

Al igual que en la adición, debemos alinear los elementos verticalmente y acomodarlos de tal forma que los puntos decimales queden en línea (punto colineal). A continuación debemos agregar ceros al número decimal que lo necesite de tal manera que los dos números tengan la misma cantidad de cifras decimales. Si la sustracción incluye un número entero, debe ser acomodado a la izquierda del punto, en el lugar de los enteros. El punto en el resultado queda en la misma línea.

45.8 – 7.145 37 – 4.984 4 5. 8 0 0 3 7. 0 0 0 – 7. 1 4 5 – 4. 9 8 4

3 8. 6 5 5 3 2. 0 1 6

Resta de fracciones.

Las fracciones deben ser homogéneas y debemos procurar, siempre que sea posible, simplificar el resultado obtenido y pasarlo a número mixto.

12

1

12

8

12

9

6

4

4

3

23

Cuando en una resta hay números mixtos, lo más conveniente es convertirlos primero en fracciones impropias, y después restar de la manera convencional.

12

71

12

19

12

3251

6

16

4

17

6

42

4

14

Al igual que en la adición, en la sustracción de números racionales es importante que todos los números tengan la misma representación, ya sea decimal o fraccionaria; si no es así, debemos hacer la conversión más conveniente. En el siguiente caso convertimos la fracción en decimal.

926053

5

353 ....

Si al convertir fracciones a decimales nos damos cuenta que al menos uno de los decimales es periódico infinito, es mejor convertir los decimales a fracciones con el fin de que el resultado sea más exacto.

25141251

9

13...

En este caso es mejor convertir el decimal a fracción: 4

5

20

25

100

125251 .

La operación queda 36

7

36

45

36

52

4

5

9

13251

9

13 .

Ejercicio #9


expresión, y si es posible conviértelos en números mixtos.

a) 155.2 – 1.58 =

b) 84.8 – 5.554 =

c) 0.2664 – 0.2 =

d) 425.5 – 52.54 =

e) 452 – 42.545 =

f) 98.5 + 9.123 =

g) 54.6 – 45.578 =

h) 75 – 57.23 =

i) 578 – 92.54 =



j) 75.54 – 2.3 =

k) 0.54 – 0.4589 =

l)

3

1

6

5

m)

14

9

7

5

n)

4

1

8

6

o)

8

5

2

3

p)

4

2

7

9

q)

9

5

8

5

r)

3

4

3

6

s)

4

3

3

5

t) 10

8

4

35

u) 10

6

5

32

v) 8

32

4

14

w) 3

22

9

55

x) 3

2

8

7

y) 7

5

7

13

z) 5

8

5

14

aa) 4

3

3

24

bb) 2

1

2

3

1

4

cc) 8

5

8

7

dd) 8

2

3

6

4

8

ee) 10

9

5

10

7

7

ff) 5

2

9

7

gg) 3

7

4

3

4

hh) 251

3

5

.

ii) 84

4

2

6 .

jj) 13

5

2

3 .

kk) 40

8

5

1 .

ll) 5

4

54.

mm) 2

1

1152.


a) Es necesario instalar una sección de tubería de 10m. Si se cuenta con varias piezas cuyas longitudes

son m2

1, m

4

3, m

8

3 y m

4

12 , ¿qué longitud faltaría por cubrir?

b) En un distrito electoral la tercera parte de las personas votó por el candidato A y una quinta parte de

abstuvo de votar. Si el resto votó por el candidato B, ¿cuál de los dos candidatos ganó?

c) En una empresa la cuarta parte de los empleados pertenece al área administrativa, dos quintas partes

son obreros, y los demás se dedican a las ventas. ¿Qué parte de los empleados no pertenece al área

administrativa? ¿Qué parte de los empleados no trabaja en ventas? ¿Qué parte de los empleados no

son obreros?

d) ¿Cuál es el largo de una mesa rectangular que mide 5

4m de ancho y su perímetro es de

5

13 m?



La multiplicación de números decimales se lleva a cabo como si los factores fueran enteros. Después de operar contamos cuantas cifras decimales hay en los factores y ese número de cifras decimales dejamos en el producto.

2 5. 3 6 2 cifras decimales 0. 0 0 8 7 4 cifras decimales x 4 7 x 2. 9 1 cifra decimal

1 7 7 5 2 7 8 3 1 0 1 4 4 1 7 4

1 1 9 1. 9 2 2 cifras decimales 0. 0 2 5 2 3 5 cifras decimales

Si en una multiplicación de decimales tenemos tres o más factores, debemos multiplicar el primer factor por el segundo; después multiplicar el producto obtenido por el tercer factor, y así sucesivamente. Como solamente podemos multiplicar dos factores a la vez se dice que la multiplicación es una operación binaria.

4.5 (2.3) (4) = 10.35 (4) = 41.4

La multiplicación de fracciones

Se realiza multiplicando los numeradores de los factores para obtener el numerador del producto, y los denominadores de los factores para obtener el denominador del producto. Si la multiplicación incluye un número mixto, es necesario convertirlo en fracción impropia antes de operar. Si hay un entero, es importante recordar que su denominador es 1.

15

13

1

15

28

3

7

5

4

4

3

15

4

63

1

7

4

9

7

4

1

2

Si en una multiplicación de fracciones tenemos tres o más factores, los podemos multiplicar de manera directa. Multiplicamos el primer numerador por el segundo, el producto obtenido por el tercero, el producto obtenido por el cuarto, y así sucesivamente. Lo mismo hacemos en los denominadores.

75

56

5

7

3

2

5

4

El concepto de cancelación de factores en la multiplicación de fracciones está basado en el hecho de que al dividir un número entre él mismo el resultado es 1.

Cuando tenemos una operación como 5

54 )( el resultado es 4

La razón es que esta expresión se puede representar también como:

5

5

4 ; y como 1

5

5

, la

operación equivale a 4(1), lo cual es igual a 4 (1 es el neutro multiplicativo de la multiplicación).

Podemos hacer el procedimiento de cancelación de una manera directa:

1 1 1 1 1

6

7

76

)(

4

3

43

)(

3

53

95

)(

)(

4

16

4

16

54

5

7

76

)(

)(

El 1 arriba de la línea significa que la división de los números que ésta toca es igual a uno.



Basándonos en ello, en una multiplicación de fracciones podemos hacer lo siguiente:

1

15

14

3

7

4

2

5

4 o simplemente eliminamos:

20

11

20

21

2

7

5

2

4

3

También se pueden simplificar los factores siempre y cuando se realice la misma simplificación en

el numerador y en el denominador (saquemos mitad a un factor del denominador y del numerador, o tercera, cuarta, o cualquier reducción).

Ejemplos:

5

11

5

6

2

3

5

4

1

2

21

8

9

4

7

6

3

2

Aquí sacamos tercera a ambos factores

Es muy importante tener en cuenta que sólo podemos cancelar factores en fracciones, no en números mixtos.

Algunas veces es posible hacer varias simplificaciones en una misma expresión, la sugerencia es iniciar buscando mitad entre los factores, después tercera y así sucesivamente, por ejemplo:

1

11

3

5

1

5

2

4

3

6

4

Si tenemos números en diferente representación hacemos la conversión más conveniente, y el resultado lo podemos expresar en forma de fracción o de decimal. En el siguiente caso convertimos el número decimal en fracción.

8751

8

71

8

15

40

75

4

3

10

25

4

352 ..

Ejercicio #10


expresión; y si es posible, conviértelos en números mixtos.

a) 155.2 (1.58) =

b) 84.8 (5.5) =

c) 0.2664 (0.8) =

d) 425.5 (0.54) =

e) 452 (42.4) =

f) 98.5 (9) =

g) 54.6 (4.78) =

h) 7500 (57.23) =

i) 5.78 (9.2) =

j) 70.04 (2.3) =

k) 0.54 (0.45) =

l) 3

1

6

5

m) 2

9

7

5

n) 4

1

8

3

o) 8

7

2

3

p) 4

3

7

9

q) 9

4

8

5

r) 3

4

5

6

s) 4

3

3

8

t) 10

8

4

32

u) 3

2

5

32

v) 8

32

4

1

w) 3

2

9

5

x) 3

2

2

1

8

7

y) 4

5

3

2

7

3

z) 5

8

5

4

aa) 4

3

3

24

Primero cancelamos los factores 4; después sacamos mitad al 6 y al 2; por último sacamos tercera a los dos factores 3.

En esta operación sacamos mitad a un factor del numerador y a un factor del denominador.



bb) 2

12

3

14

cc) 3

5

8

2

dd) 8

23

6

18

ee) 10

1

10

27

ff) 5

2

9

7

gg) 3

4

4

24

hh) 252

3

5.

ii) 80

4

2.

jj) 83

5

23 .

kk) 40

6

31 .

ll) 5

454.

mm) 2

11255.


a) Es necesario instalar una sección de tubería de 165 pies. Si se cuenta con 11 piezas de 122

1pies de

longitud, ¿serán suficientes para realizar la instalación?

b) En una fábrica de pantalones, 12

1 parte de la producción se vende a una cadena de supermercados. Si

durante el mes de abril se produjeron 3,000 pantalones, ¿cuántos de ellos fueron vendidos a la

cadena de supermercados?

c) Se dice que al salir de la agencia un automóvil se deprecia la doceava parte de su valor. Si el precio de

un auto es de Q234 809.00, ¿a cuánto asciende su depreciación?

d) Se desea instalar piso de cerámica en una sala de conferencias de forma rectangular que mide 12.25m

de ancho y 22.50m de largo, si es necesario comprar una décima parte más de cerámica que el área a

cubrir, ¿cuántos metros cuadrados de cerámica deben comprarse? Si el metro cuadrado de cerámica

cuesta Q235.00, ¿cuánto se gastará en ella?

e) Una llave tiene una fuga de agua de 2.35 litros/minuto. ¿Cuál será la pérdida de agua en un día?

f) ¿Cuál es el área de los terrenos cuyas medidas son las siguientes?

a)

L=25.234km

b)

b=18.154m

a = 38.5

En la división de números decimales pueden presentarse varios casos, aunque todos obedecen a una misma premisa: el divisor siempre debe ser un número entero. Si no lo es, debemos convertirlo en entero multiplicándolo tanto a él como al dividendo, por la potencia de 10 que corresponda.

División de un decimal entre un entero

Este es el caso más sencillo; lo único que debemos hacer es “subir” el punto decimal del dividendo al cociente en la misma posición, y después operar como en el caso de los números naturales.

a) 86.85 7 b) 40.56 12 c) 2.5 32



1 2. 4 0 7 3. 3 8 0. 0 7 8

7 8 6. 8 5 1 2 4 0. 5 6 3 2 2. 5 0 1 6 4 5 2 6 0 2 8 9 6 4 0 5 0 0 1

Observemos que para continuar la primera y la tercera de las multiplicaciones fue necesario agregar ceros en el dividendo.

División de un entero entre un decimal

En este caso eliminamos el punto decimal del divisor, y agregamos al dividendo tantos ceros como cifras decimales tenía el divisor. Lo que estamos haciendo es multiplicar tanto al dividendo como al divisor por la misma potencia de 10, lo cual implica mover el punto decimal a la derecha.

Ejemplo:

Dividiremos hasta obtener centésimos, salvo que la división se cierre antes:

a) 843 4.2 b) 258 0.18 d) 33 0.006

2 0 0. 7 1 1 4 3 3. 3 5 5 0 0

4 2 8 4 3 0. 0 1 8 2 5 8 0 0. 0 0 0 6 3 3 0 0 0 0 3 0 0 7 8 3 0 6 0 6 0 0 0 0 1 8 6 0 60

División de un decimal entre un decimal

En estas divisiones eliminamos el punto decimal del divisor, y corremos el punto decimal en el dividendo tantas posiciones como cifras decimales tenía el divisor, en caso de que queden espacios vacíos, agregamos ceros.

Ejemplo:

Dividiremos hasta obtener centésimos, salvo que la división se cierre antes:

a) 45.18 3.5 b) 5.67 0.25 c) 9.2 0.07 d) 5.8 0.003

1 3. 1 0 8 2 2. 6 8 1 3 1. 4 2 1 9 3 3. 3

3 5 4 5 8. 8 0 2 5 5 6 7. 0 0 7 9 2 0. 0 0 0 3 5 8 0 0.

1 0 8 6 7 2 2 2 8 3 8 1 7 0 1 0 1 0 3 0 0 2 0 0 3 0 1 0 2 0 0 2 0 1 0 6 1

Formas de dividir fracciones

Producto doble cruzado

Se multiplica el numerador del dividendo por el denominador del divisor, y obtenemos el numerador del cociente. Después de multiplica el denominador del dividendo por el numerador del divisor y obtenemos el denominador del cociente.

6

55

6

35

7

1

6

5

40

27

9

5

8

3

Redondeando a centésimos: 13.11



Inversión del divisor

Se invierte el divisor y se multiplica directamente, numerador por numerador para obtener el numerador del cociente y denominador por denominador para obtener el denominador del cociente.

6

6

36

2

9

9

2

3

4

3

4

15

4

5

2

2

3

5

2

3

2

Invertimos el divisor y multiplicamos directamente.

Producto de extremos y medios en una división vertical

El numerador del cociente es igual al producto de los extremos mientras que el denominador del cociente corresponde al producto de los medios.

Ejemplo:

Al dividir números mixtos o fracciones y decimales, primero debemos convertirlos a una misma

forma de representación. En el siguiente caso convertimos a fracciones.

Ejemplo:

2

13

2

7

6

21

3

2

3

7

3

2

3

12

4

38

4

35

5

2

2

7

5

253 .

2

7

10

3553 .

Ejercicio #11


expresión y si es posible conviértelos en números mixtos.

a) 155.2 8 =

b) 84.8 15 =

c) 0.2664 0.8 =

d) 425.5 0.12 =

e) 452 2.4 =

f) 985 0.9 =

g) 54.6 4.7 =

h) 7500 2.5 =

i) 5.78 5.2 =

j) 70.04 0.003 =

k) 0.54 0.004) =

l) 3

1

6

5

m) 2

9

7

5

n) 4

1

8

3

o) 8

7

2

3

p) 4

3

7

9

q) 9

4

8

5

r) 3

4

5

6

s) 4

3

3

8

t) 10

8

4

32

u) 3

2

5

32

v) 8

32

4

1

w) 3

2

9

5

x) 3

2

8

7

y) 4

5

7

3

z) 5

8

5

4

9

63

10

5

7

2

21

20

4

3

7

5



aa) 4

3

3

24

bb) 2

12

3

14

cc) 3

5

8

2

dd) 8

23

6

18

ee) 10

1

10

27

ff) 5

2

9

7

gg) 3

4

4

24

hh) 252

3

5.

ii) 80

4

2.

jj) 83

5

23 .

kk) 40

6

31 .

ll) 5

454.

mm) 2

11255.


a) Es necesario instalar una sección de tubería de 185pies. Si se cuenta con piezas de 1221

pies de

longitud, ¿cuántas serán necesarias?

b) En una agencia cierto automóvil cuesta Q234 809.00, si se pagó una cuarta parte de enganche y el

resto en 12 mensualidades iguales, ¿de cuánto será cada mensualidad?

c) Una alberca mide 50m de largo, 24m de ancho y 2.5m de profundidad. ¿Cuál es su volumen en m3

?

¿Cuál es su volumen en litros considerando que un metro cúbico equivale a 1,000 litros? ¿En cuánto

tiempo se llenará la alberca si se vacían en ella 45.8 litros/minuto?

d) ¿Cuál es la medida de los lados de los terrenos cuyos perímetros son las siguientes.

a) b)

p=25.264km

p = 78.84m

La potenciación es una multiplicación abreviada de factores iguales.

Resolver una potenciación consiste en multiplicar la base por ella misma el número de veces que indique el exponente.

En el caso de los decimales, la potenciación se realiza exactamente igual que en los enteros, sólo teniendo cuidado de la ubicación del punto en la potencia.

Ejemplo:

2.52 = 2.5 (2.5) = 6.25 3.23 = 3.2(3.2)(3.2) = 32.768

2. 5 3. 2 1 0. 2 4

2. 5 3. 2 3. 2 1 2 5 6 4 2 0 4 8 5 0 9 6 3 0 7 2 6. 2 5 1 0. 2 4 3 2. 7 6 8



En la potenciación de fracciones se eleva al exponente indicado, de una manera independiente, tanto el numerador como el denominador.

Ejemplo:

25

16

5

4

5

4

2

22

27

8

3

2

3

2

3

33

16

9

1

16

25

32

50

64

100

8

10

8

10

2

22

Al resolver potenciaciones debe observarse cuáles valores están siendo afectados por el exponente,

ya que no es lo mismo 3

42

que 2

3

4 ni que 23

4 .

Veamos sus resultados para compararlos.

3

1

5

3

16

3

42

9

4

3

4

2

9

7 1

9

16

2

3

4

Nota: Es muy importante recordar que las potencias obtenidas al elevar números naturales al cuadrado se llaman números cuadráticos, mientras que las potencias obtenidas de elevarlos al cubo se llaman números

cúbicos.

Ejercicio #12


expresión y si es posible conviértelos en números mixtos.

a) 1552

=

b) 842

=

c) 0.83

=

d) 25.52

=

e) 2.43

=

f) 0.92

=

g) 4.72

=

h) 2.53

=

i) 5.22

=

j) 0.0073

=

k) 0.0034

=

l) 2

5

4

=

m) 2

7

8

=

n) 3

5

3

=

o) 2

15

14

=

Simplificamos

Recordemos…

Todo número elevado al exponente cero es igual a 1, siempre y cuando la base no sea cero.

30

= 1 a0

= 1 200

= 1

Todo número elevado al exponente 1 (el cual no es necesario anotar), es igual a sí mismo.

2.51

= 2.5 a1

= a 15.121

= 15.12 6.2 = 6.2

Todo número elevado al exponente dos se lee comúnmente al cuadrado.

4.92

se lee cuatro enteros nueve décimos al cuadrado

23

2 se lee dos tercios al cuadrado

Todo número elevado al exponente tres se lee comúnmente al cubo.

7.53

se lee siete enteros cinco décimos al cubo

32

1se lee un medio al cubo

En general leemos la potenciación de la siguiente manera:

32

tres a la segunda potencia (o tres al cuadrado),

33

tres a la tercera potencia (o tres al cubo),

34

tres a la cuarta potencia,

35

tres a la quinta potencia,

y así sucesivamente.



p) 2

9

8

=

q) 2

10

6

=

r)

3

8

6

=

s) 5

3

2

=

t)

2

13

12

=

u)

2

5

14

=

v)

3

4

10

=

w)

2

11

9

=

x)

4

5

3

=

y) 2

9

14

=

z) 2

6

7

=

aa) 8

2

1

=

bb) 2

30

25

=

cc) 2

5

4

=

dd) 2

16

4

=

ee) 4

8

2

=

ff) 4

52

=

gg) 2

4

3=

hh) 3

2

4

7=

ii) 4

3

2

3=

jj) 2

7

5 =

kk) 5

6

2

1=

2. Resuelve el siguiente problema.

a) Un depósito de agua de forma cúbica mide 2.5m en cada arista. ¿Cuál es su volumen en m3

? ¿Cuál es su

volumen en litros, considerando que un metro cúbico equivale a 1,000 litros?

L = 2.5m

3. Completa con los valores correctos y memoriza los números cuadráticos y cúbicos resultantes.

12

= 1 112

= 13

= 22

= 122

= 144

23

= 32

= 132

= 33

= 42

=

142

= 43

= 52

= 152

= 53

= 125

62

= 202

= 103

= 72

= 302

=

203

= 82

= 402

= 303

= 92

=

502

= 503

= 102

= 1002

= 1003

=

La radicación es la operación inversa a la potenciación.

Cuando el índice es dos, le llamamos raíz cuadrada, si es tres le llamamos raíz cúbica. Cuando no hay un índice anotado, se sobreentiende que es una raíz cuadrada.

Obtener la raíz cuadrada de 4, 9, 16 y 25 es bastante sencillo ya que estos son números cuadráticos y por ello tienen raíz cuadrada exacta. Lo mismo sucede si queremos obtener la raíz cúbica de 1, 8 y 27 ya que estos tres números son cúbicos. Puedes verificar esta información en la tabla que completaste de números cuadrados y cúbicos.

321543243 33 27 8 1 25 16 9



RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO DECIMAL

La radicación de números decimales es similar a la de los números naturales. Recordemos el procedimiento con un número natural y después apliquémoslo a un decimal.

Obtengamos la raíz cuadrada del número 987:

987 1. Separamos el número en clases de dos cifras iniciando por la derecha. En este caso, como hay tres

dígitos, el 9 quedará solo.

879,

2. Buscamos un número cuyo cuadrado se acerque al valor de la primera clase del lado izquierdo. En

este caso, es el número 3, cuyo cuadrado es 9 (3 3 = 9).

Anotamos el número (3) en la línea de respuesta y restamos su cuadrado a la primera clase (9).

0

9

3

-

,879

3. Bajamos la siguiente clase (87) y la acomodamos a la derecha del resultado de la resta (0).

87 0

9 -

3 ,879

4. Duplicamos el resultado parcial (que en este caso es el 3). Ponemos su duplo (3 2 = 6) debajo de él.

687 0

9 -

3 ,879

5. Buscamos un número que multiplicado por el duplo (6) nos dé un producto cercano al número que se formó cuando bajamos la siguiente clase (87), pero sin considerar el último dígito de la derecha (consideramos sólo el 8). En este caso es el 1 porque 6 x 1 = 6, no puede ser 2 porque 6 x 2 = 12 y nos pasamos de 8.

*Escribimos el número que encontramos (1) a un lado del resultado parcial (3) y también a un lado del duplo (6)

Multiplicamos el número que encontramos (1) por el valor que se formó en la segunda línea (61). El producto se lo restamos al residuo (87).

Cuando el producto de la multiplicación es mayor que el residuo, podemos disminuir una unidad al número encontrado, y completamos de nuevo este paso a partir del

asterisco.

La raíz cuadrada de 987 es 31 y tenemos un residuo de 26.

Practica el procedimiento en tu cuaderno obteniendo la raíz cuadrada de 789, 1945 y 5448. Comprueba tus resultados con una calculadora.

Apliquemos el procedimiento a los decimales:

Obtengamos la raíz cuadrada del número 1882.35 351882.

1. Primero separamos el número en clases de dos cifras partiendo del punto decimal en ambos sentidos. (Si alguna vez tenemos una clase decimal de una sola cifra, por ejemplo en 38.9, debemos

agregarle un cero para formar la pareja, en este caso sería 38.90). 358218 .,

26

-

6 87 0

9 -

3 87,9

61

1

1



2. Buscamos un número cuyo cuadrado se acerque al valor de la primera clase del lado izquierdo (18). En este caso es el número 4, cuyo cuadrado es 16

Anotamos el número encontrado (4) en la línea de respuesta y restamos su cuadrado a la primera

clase (18).

2

16

4

-

35.82,18

3. Bajamos la siguiente clase y la acomodamos a la derecha del resultado de la resta.

822

16 -

4 ., 358218

4. Duplicamos el resultado parcial (4) y ponemos su duplo (4 2 = 8) debajo de él.

8 82 2

16 -

4 ., 358218

5. Buscamos un número que multiplicado por el duplo (8) nos de un producto cercano al número que se formó cuando bajamos la siguiente clase (282), pero sin considerar el último dígito de la derecha (consideramos sólo el 28).

*Escribimos el número encontrado (3) a un lado del resultado parcial (4) y a un lado

de su duplo (8), porque 3 8 = 24.

Multiplicamos el número que encontramos (3) por el valor que se formó en la

segunda línea (83), o sea 3 83 = 249. El producto se lo restamos al residuo (282).

Cuando el producto de la multiplicación es mayor que el residuo, podemos disminuir una unidad al número encontrado, y completamos de nuevo este paso a partir del

asterisco.

6. Luego nos toca trabajar con la clase de los decimales. Lo primero que debemos hacer es poner el

8635 33

249 -

83 282

16 -

43. ., 358218

7. A continuación buscamos un número que multiplicado por el último duplo (86) nos dé un producto cercano al número que se formó cuando bajamos la siguiente clase (3335), pero sin considerar el ultimo dígito de la derecha (consideramos sólo el 333).

*Anotamos el número encontrado (3) en la línea de respuesta después del punto, y a la derecha del último duplo (86).

Ahora multiplicamos el número encontrado por el valor que se formó en la tercera línea (3 x 863 = 2589), y restamos el producto al residuo (3335).

Cuando el producto de la multiplicación es mayor que el residuo, podemos disminuir una unidad al número encontrado, y completamos de nuevo este paso a partir del asterisco.

La raíz cuadrada de 1882.35 es 43.3 y tenemos un residuo de 7.46 (observa la posición del punto en el radicando).

Si quisiéramos continuar hasta centésimos agregamos dos ceros (una clase) a la derecha del 746 y repetimos el proceso del número 6 en adelante. Salvo que ya no debemos poner otro punto decimal.

33

49 2

3

3

-

8 82 2

16 -

4 ., 358218

-

-

-

. .,

746

2589

3

3

863335

492

83822

16

43358218

punto decimal en la línea de respuesta, a la derecha del 43.

Bajamos la primera clase decimal (35) a la derecha del resultado de la resta (33)

Ahora duplicamos el resultado parcial (43) anotando su duplo (43 2 = 86) abajo del duplo anterior (83).



Ejercicio #13

1. Resuelve las siguientes operaciones. En el caso de las fracciones simplifica tus resultados a su mínima expresión; y si es posible conviértelos en números mixtos.

a) 144 =

b) 169 =

c) 100 =

d) 64 =

e) 121 =

f) 4 =

g) 49 =

h) 36 =

i) 38 =

j) 364 =

k) 31000 =

l) 2500 =

m) 900 =

n) 3156 =

o) 1900 =

p) 7143 =

q) 1245=

r) 8945 =

s) 5796 =

t) 786. =

u) 4522. =

v) 1295. =

w) 16

25=

x) 100

81=

y) 4

1=

z) 196

49=

aa) 64

100=

bb) 36

9=

cc) 16

225=

dd) 100

25=

ee) 3

16=

ff) 25

5=

gg) 8

100=

hh) 196

12=

2. Obtén la medida del lado en cada uno de los siguientes cuadrados conociendo su área.

L L L L

A = 225m2

A = 4900m2

A = 1600m2

A = 400m2

3. El volumen de un aljibe de forma cúbica es 42.875m3

. ¿Cuál es la medida de L?

L

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