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Memoria de Actividades 2017 Instituto de Matemáticas


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Preámbulo

Un ano máis presentamos a Memoria de Actividades do Instituto de Matemáticas.

De novo, a produción investigadora realizada polos membros da nosa institución cobre un amplo

espectro: publicacións científicas de alto impacto, organización e participación en eventos de

alto nivel científico, internacionalización da actividade investigadora, liderado de proxectos de

investigación e contratos con empresas, preparación de investigadores e investigadoras en

formación, ...

Estas actividades fan que dende a dirección do IMAT felicitemos novamente a todo o persoal do

Instituto polo bo traballo realizado.

No marco do Plan de Actuación sobre os Institutos Universitarios de Investigación, que está a

levar a cabo a Universidade de Santiago de Compostela, o IMAT continuou avanzando no Plan

de Actuación para o cuatrienio 2017-2020. Dentro deste plan, modificouse o regulamento de

réxime interno, que suporá un cambio significativo no plantexamento das actividades e o

funcionamento do IMAT.

Asemade, no ano 2017 asinouse o Convenio para o Desenvolvemento de Accións Estratéxicas

de I+D+i nos Campus de Santiago e Lugo entre a Universidade de Santiago de Compostela e a

Xunta de Galicia. Convenio no que se recolle o Posicionamento Estratéxico da Área de

Matemáticas para os anos 2017-2019. Este plan de lanzamento da área fixo posible a

convocatoria de bolsas para alumnado de grao e master, así como de contratos de investigación

tanto pre como postdoutorais.

Alberto Cabada Fernández

Maria del Carmen Carollo Limeres

Santiago de Compostela, febreiro de 2018


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Táboa de resumo de actividades:

Tipo de actividad número

Proxectos de investigación 41

Contratos de investigación 11

Redes participadas 20

Profesores visitantes 74

Seminarios 55

Seminarios de divulgación 13

Conferencias en congresos 18

Congresos e xornadas organizados 14

Cursos 12

Outras actividades de divulgación 7

Outras actividades de apoio á investigación 3

Artigos 114

Artigos derivados de congresos 5

Libros 6

Capítulos de libros 2


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1. Grupos de Investigación 7

2. Proxectos de Investigación 12

3. Contratos e Convenios 19

4. Participación en Redes Temáticas 23

5. Visitantes 25

6. Actividades Científicas 32

7. Organización de Cursos 42

8. Actividades de Divulgación 44

9. Publicacións 47

10. Información Institucional 62

Anexo I. Memoria do plan de lanzamento de matemáticas 2017-2019

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Anexo II. Programas dos Cursos 69

Anexo III. Actas do Seminario de Iniciación á Investigación 80


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1. Grupos de investigación (2017)

O Instituto de Matemáticas (IMAT) conta cos seguintes grupos de investigación da Universidade de Santiago de Compostela, considerando como tales os grupos nos que teñen unha participación activa membros do IMAT. Ademais, en todos estes grupos, unha grande parte dos seus investigadores son tamén membros do IMAT.

Álxebra (GI1879)

Investigador principal: José Luis Gómez Pardo

Páxinaweb: http://imaisd.usc.es/grupoficha.asp?idpersoatipogrupo=109382&i=gl&s=-126-191-196-235&v=

Liñas de investigación: categorías; (co)homoloxía; dualidade; aneis e álxebras; teoría de números; álxebra conmutativa; álxebra non conmutativa; xeometría alxebraica; grupos cuánticos.

Ecuacións Diferenciais non Lineares (GI1561)

Investigador principal: Juan José Nieto Roig

Páxina web: http://www.usc.es/ednl

Liñas de investigación: ecuacións diferenciais ordinarias; ecuacións funcionais; ecuacións en diferencias; ecuacións diferenciais en derivadas parciais; bioloxía matemática; bioinformática.

http://imaisd.usc.es/grupoficha.asp?idpersoatipogrupo=109382&i=gl&s=-126-191-196-235&v=



http://www.usc.es/ednl


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Enxeñaría Matemática (GI1563)

Investigador principal: Alfredo Bermúdez de Castro

Páxina web: http://www.usc.es/ingmat

Liñas de investigación: Resolución numérica de ecuacións en derivadas parciais lineais e non lineais. Optimización e control de sistemas distribuídos. Problemas de fronteira libre. Problemas de propagación de ondas. Métodos variacionales en EDPs parabólicas e elípticas. Enxeñaría asistida por ordenador (CAE). Elementos finitos, técnicas

BEM/FEM, volúmenes finitos, métodos de Galerkin discontinuos, métodos de bases reducidas. Modelización matemática e simulación numérica de procesos. Aplicacións en: mecánica de fluídos, mecánica de sólidos, transferencia de calor, combustión, electromagnetismo, interacción fluído estructura, acústica, radioterapia, matemática financiera, hidráulica e oceanografía.

Modelos Matemáticos e Simulación Numérica en Mecánica de Sólidos (GI-1564)

Investigador principal: Juan Manuel Viaño Rey

Páxina web:http://www.usc.es/dmafm/grupo_viano/index.htm

Liñas de investigación: Estructuras finas: modelización e cálculo de estructuras compostas de vigas, placas e láminas elásticas, viscoelásticas ou viscoplásticas. Mecánica do contacto: modelización matemática e simulación numérica de problemas de contacto, rozamento, adhesión e desgaste en elasticidade, viscoelasticidade e viscoplasticidade. Biomecánica: simulación numérica e modelos matemáticos de mandíbula humana e de formación de ósos. Deseño mecánico: volantes de automóbil, ortodoncia.

http://www.usc.es/ingmat

http://www.usc.es/dmafm/grupo_viano/index.htm


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Simulación e control óptimo en medio ambiente e bioinformática (GI-1566)

Investigador principal: Miguel Ernesto Vázquez Méndez

Páxina web: http://imaisd.usc.es/grupoficha.asp?idpersoatipogrupo=75454&i=gl&s=-126-191-196-235&v=

Liñas de investigación: Modelos matemáticos de dispersión de contaminantes en medios marinos (rías,estuarios, etc.). Aplicacións da teoría de control e optimización de sistemas distribuidos a problemas do medio ambiente marino e fluvial. Análise teórica e numérica en ecuacións en derivadas parciais (EDP). Biotecnoloxía e construcción de algoritmos.

Grupo de Investigación en Xeometría Riemanniana (GI-1573)

Investigador principal: Luis María Hervella Torrón

Páxina web: http://imaisd.usc.es/grupoficha.asp?idpersoatipogrupo=75461&i=gl&s=-126-191-196-235&

Liñas de investigación: Xeometría Riemanniana. Xeometría Lorentziana e Relatividade. Curvatura de métricas semi-riemannianas. Hipersuperficies con curvaturas principais constantes Accións isométricas Nilvariedades compactas. Xeometría hermítica e kahleriana. Outras estructuras xeométricas.

Foliacións e Sistemas Dinámicos (GI1574)

Investigador principal: Xosé Masa Vázquez

Páxina web: http://imaisd.usc.es/grupoficha.asp?idpersoatipogrupo=109382&i=gl&s=-126-191-196-235&

http://imaisd.usc.es/grupoficha.asp?idpersoatipogrupo=75454&i=gl&s=-126-191-196-235&v=www.usc.es/astro

http://imaisd.usc.es/grupoficha.asp?idpersoatipogrupo=75454&i=gl&s=-126-191-196-235&v=www.usc.es/astro






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Liñas de investigación: modelos minimais e homotopía racional; análise global en variedades foliadas; teoría xeométrica de foliacións; cohomoloxía e invariantes secundarios en foliacións.

Estruturas Xeométricas Diferenciais e Aplicacións (GI1756)

Investigador principal: Modesto Ramón Salgado Seco


Liñas de investigación: Espazos fibrados de orde superior. Estruturas xeométricas en mecánica clásica e teoría de campos. Estruturas de Cartan. Variedades pseudo-riemannianas homoxéneas. Xeometría de contacto.

Modelos de Optimización, Decisión, Estatística e Aplicacións (GI1914)

Investigador principal: Wenceslao González Manteiga

Páxina web: http://eio.usc.es/pub/gi1914/

Liñas de investigación: inferencia estatística; bioestatística; xeoestatística; técnicas de mostraxe

e remostraxe; series temporais; inferencia non paramétrica; datos categóricos; datos

censurados e/ou truncados; predicción; análise multivariante; técnicas de optimización; teoría

de xogos.

Grupo Interdisciplinar de Bioestatística (GI‐2127)

Investigadora principal: Carmen Cadarso Suárez

Páxina web: http://eio.usc.es/pub/gridecmb/

Liñas de investigación: Bioestatística, Modelos aditivos xeralizados, Modelos de regresión múltiple, Curvas ROC, Análise de Supervivencia



http://eio.usc.es/pub/gi1914

http://eio.usc.es/pub/gridecmb/


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Grupo de Investigación en Matemáticas (GI-2136)

Investigador principal: Eduardo García Río


Liñas de investigación: Xeometría Riemanniana e de Lorentz, curvatura, ecuacións de evolución xeométrica, accións isométricas, subvariedades isoparamétricas, curvaturas principais constantes. Álxebra homolóxica, categorías derivadas, álxebras de Hopf, álxebras de Lie e de Leibniz, dualidade en xeometría alxébrica, estructuras monoidales, homoloxía de espazos singulares, teoría de Galois.




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2. Proxectos de Investigación

Inclúese a continuación a relación de proxectos, nos que teñen unha participación activa

membros do IMAT, vixentes durante o ano 2017.

Título: Axudas para estructuración de unidades de investigación competitivas Entidade financiadora: Xunta de Galicia GPC2015/006 Duración: dende o 01/01/2015 ata o 30/11/2017 Investigadores responsables: Xosé María Masa Vázquez.

Título: Biostatnet: afrontando retos de investigación bioestadística con proyección internacional. Entidade financiadora: Ministerio de Economía, Industria e Competitividade (MINECO). Duración: dende 2015 a 2017. Investigadores responsables: Carmen María Cadarso Suárez.

Título: Computationally-intensive methods for the robust analysis of non-standard data (OC-2014-1-19052). Entidade financiadora: European Union. Call: European Cooperation in the field of Scientific and Technical Research - COST. Duración: dende 2015 a 2019. Investigadores responsables: Erricos Kontoghiorghes. Carmen María Cadarso Suarez as member of the research team.

Título: Consolidación e estruturación 2015 GRC GI-1561 “Ecuacións diferenciais non lineares” EDNL Entidade financiadora: Consellería de Educación e Ordenación Universitaria da Xunta de Galicia. Duración: dende o 01/01/2015 ata o 30/11/2018 Investigador responsable: Juan José Nieto Roig.

Título: Consolidación e estructuración 2015 Foliacións a sistemas dinámicos. Entidade financiadora: Xunta de Galicia, Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria. Consolidación e estructuración 2015 GPC GI-1574. Duración: dende: 01/01/2015 ata: 31/12/2017. Investigadores responsables: Xosé María Masa Vázquez.


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Título: “Consolidación e estruturación de unidades de investigación (grupos competitivos)”. Entidade financiadora: Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria, Xunta de Galicia. Duración: dende o 01-01-2017 ata o 31-12-2020.. Investigadores responsables: Wenceslao González Manteiga.

Título: Consolidación e estruturación 2017. GRC, GI-1563 Enxeñaría matemática (ED431C 2017/60). Entidade financiadora: Xunta de Galicia. Duración: dende: 01/01/2017 ata: 30/11/2020. Investigadores responsables: Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela.

Título: Control óptimo de ecuaciones en derivadas parciales: Aplicaciones medioambientales - MTM2015-65570-P Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade (MTM2015-65570-P) / FEDER, 2016 – 2018, Duración: dende: 01/01/2016 ata: 31/12/2019, Investigador responsable: Lino José Álvarez Vázquez.

Título: Cost Action Mathematics for Industry Network, TD1409. Entidade financiadora: Comisión Europea Duración: dende o 20/11/2014 ata o 04/05/2019 Investigadores responsables: Peregrina Quintela Estévez.

Título: Desarrollo de metodologías matemáticas para evaluación del comportamiento termo-mecánico de las rutas de arrabio y escoria de horno altos (MTM2015-68275-R). Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade. Duración: dende o 01-01/2016 ata o 31/12/2018. Investigadores responsables: Peregrina Quintela Estévez.

Título: Developing crucial Statistical methods for Understanding major complex Dynamic Systems in natural, biomedical and social sciences (StUDyS). P07-06.). Entidade financiadora: Belgian Science Policy. Call: Interuniversity Attraction Poles (IAP) Phase VII. Belgian Science Policy. Duración: dende 2012 a 2017.


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Investigadores responsables: Gijbels Irène (Université Catholique de Louvain, Belgium). Wenceslao González Manteiga, Carmen María Cadarso Suárez, membros do grupo de investigación.

Título: Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade (MTM2013-43014-P) Duración: dende xaneiro de 2014 ata decembro de 2017 Investigador responsable: Juan José Nieto Roig e Alberto Cabada Fernández.

Título: Ecuaciones diferenciales ordinarias y funcionales Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade (MTM2016-75140-P) Duración: dende decembro 2016 ata decembro 2020 Investigadores responsables: Juan José Nieto Roig e Alberto Cabada Fernández.

Título: Espacios singulares, categorías derivadas y teorías bivariantes. MTM2014-59456 Entidade financiadora: Ministerio de Ciencia e Innovación. FEDER Duración: dende 2015 ata 2017 Investigador responsable: Leovigildo Alonso Tarrío e Ana María Jeremías López.

Título: Estructuras superiores en Geometría Diferencial y Teoría de Homotopía Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade (MINECO MTM2016-78647-P) Duración: dende o 01/01/2017 ata o 31/12/2019 Investigadores responsables: Aniceto Murillo e Antonio Viruel (UMA) Otras entidades participantes: Universidad de Málaga e outras.

Título: Estudio de invariantes asociados a estructuras topológicas y diferenciables Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade (MINECO MTM2013-41768-P) Duración: dende o 01/01/2014 ata o 31/12/2016, prorrogado ata 31/12/2017 Investigadores responsables: Aniceto Murillo e Antonio Viruel (UMA) Outras entidades participantes: Universidade de Málaga e outras.

Título: Foliaciones, estratos, algebroides de Lie y Hamiltonianos. Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade. (MTM2014-56950-P). Duración: dende: 01/01/2015 ata: 31/12/2017. Investigadores responsables: Jesús Antonio Álvarez López.


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Título: Genética forense: análisis de polimorfismos multialelicos. Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade, Agencia Estatal de Investigación, RETOS 2016 (2016-PN070) Ref.BIO2016-78525-R. Duración: dende: 30/12/2016 ata: 29/12/2019. Investigadores responsables: María Victoria Lareu Huidobro.

Título: Genómica en acuicultura, identificación del gen maestro determinante del sexo en rodaballo: aplicaciones industriales para la obtención de poblaciones todo hembra Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade RETOS 2014 (2014-PN211) Ref.AGL2014-57065-R, Plan Estatal (2013-2016). Duración: dende: 01/01/2015 ata: 31/12/2017. Investigadores responsables: Ana María Vinas Díaz.

Título: Grupo de referencia competitiva Entidade financiadora: Consellería de Educación e Ordenación Universitaria de la Xunta de Galicia. Duración: dende o 01/01/2015 ata o 31/12/2018 Investigador responsable: Juan José Nieto Roig.

Título: Grupo Interdisciplinar de Bioestadística (Grupo de Referencia Competitiva).. Entidade financiadora: Programa de Consolidación de Unidade de Investigación Competitiva da Autoridad Galega Rexional (Xunta de Galicia). Duración: dende 2017 a 2019. Investigadores responsables: Carmen María Cadarso Suárez.

Título: Homoxeneidade e curvatura de variedades e subvariedades Entidade financiadora: Xunta de Galicia ED431F 2017/03 Duración: dende: 01/01/2017 ata: 30/11/2018, prorrogado ata 30/09/2017 Investigadores responsables: José Carlos Díaz Ramos.

Título: Inferencia en los modelos de regresión aditivos estructurados (STAR) con extensiones a respuestas multivariantes. Entidade financiadora: Ministerio de Economía, Industria e Competitividade (MINECO). Convocatoria: Retos I+D+i. Duración: dende 2015 a 2017. Investigadores responsables: Carmen María Cadarso Suárez.

Título: Matemáticas: El valor de la palabra.


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Entidade financiadora: Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología (FECYT). Convocatoria: “Convocatoria de Ayudas para el Fomento de la Divulgación Científica, Duración: dende o 1 de xaneiro de 2017 ata o 31 de marzo de 2018. Investigadores responsables: María Victoria Otero Espinar.

Título: Métodos numéricos eficientes en dinámica de fluidos e interacción fluido-estructura, aplicaciones a la energía y el medio ambiente (MTM2013-43745-R). Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade. Duración: dende o 01/01/2014 ata o31/12/2017. Investigadores responsables: María Elena Vázquez-Cendón, Jerónimo Rodríguez.

Título: Modelización no paramétrica de dinámicas y dependencias en sistemas complejos (MTM2016-76969-P). Entidade financiadora: Agencia Estatal de Investigación, MINECO. Duración: Dende: 01-01-2017 Fin: 31-12-2020. Investigadores responsables: Wenceslao González Manteiga e Rosa María Crujeiras Casais.

Título: Misiones criticas de emergencias con medios aéreos tripulados y no tripulados en vuelo cooperativo (ENJAMBRE). Entidade financiadora: Centro para el Desarrollo Tecnológico e Industrial (CDTI), convocatoria “Consorcios de Investigación Empresarial Nacional 2014 (CIEN 2014)” Duración: dende 2014 ata 2018. Investigadores responsables: Wenceslao González Manteiga. Outros datos: 5 investigadores. Proxecto gañado polo ITMATI e feito dentro dun consorcio con empresas.

Título: Nuevos Instrumentos Estadísticos y Computacionales aplicados a Investigación de Salud, Deportes y Entorno Entidade financiadora: Programa de Consolidación de Unidade de Investigación Competitiva da Autoridade Galega Rexional (Xunta de Galicia). Duración: dende 2017 a 2018. Investigadores responsables: Carmen María Cadarso Suárez.

Título: Optimización, eficiencia y competitividad en el sector energético (MTM2014-60191-JIN). Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade. Duración: dende o 01-01-2015 ata o 31-12-2017.


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Investigadores responsables: Julio González Díaz.

Título: Optimización y reparto en problemas de decisión multi-agente con aplicaciones en extinción de incendios (MTM2014-53395-C3-2-P). Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade. Duración: dende o 02-06-2015 ata o 02-06-2018.. Investigadores responsables: Balbina Virginia Casas Méndez.

Título: Predictive Cognitive Maintenance Decision Support System (PreCoM). Entidade financiadora: Unión Europea, Horizon 2020.. Duración: dende o 01-11-2017 ata o 31-10-2020. Investigadores responsables: Wenceslao González Manteiga.

Título do proxecto: Rede Xunta IEMath-Galicia. Entidade financiadora: Consellería de Educación e Ordenación Universitaria de la Xunta de Galicia. Referencia: R2016/022 Duración: dende xaneiro 2017 a decembro 2018 Investigador responsable: Juan José Nieto Roig.

Título: Rede Tecnolóxica de Matemática Industrial (Rede TMATI). Entidade financiadora: Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria, Xunta de Galicia. Duración: dende 01/01/2017 ata o 31/12/2018. Investigadores responsables: Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela. Outros datos: participan os grupos de investigación de estadística, investigación operativa e matemática aplicada de Galicia. Outras entidades participantes: UDC, UVigo.

Título: Simetría, curvatura y ecuaciones diferenciales en geometría Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade, Agencia Estatal de Investigación (MTM2016-75897-P) Duración: dende o 30/12/2016 ata o 29/12/2019 Investigadores responsables: José Carlos Díaz Ramos, Eduardo García Río.

Título: Simetría, curvatura y rigidez de estructuras geométricas (prórroga) Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade


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Duración: dende o 01/01/2014 ata o 31/12/2016, prorrogado ata 30/09/2017 Investigadores responsables: José Carlos Díaz Ramos, Eduardo García Río.

Título: Simetría, homoxeneidade e curvatura Entidade financiadora: Xunta de Galicia EM2014/009 Duración: dende 14/05/2014 a 14/05/2017 Investigador responsable: José Carlos Díaz Ramos. Presuposto: 93.000€

Título: Simulación multifísica y optimización de máquinas eléctricas de flujo transversal (2013-PN113), Ref. ENE2013-47867-C2-1-R Entidade financiadora: Ministerio de Economía e Competitividade: MINECO, Plan Estatal (2013-2016) Duración: dende o 01/01/2014 ata o 31/12/2017 Investigadores responsables: Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela, (Dpto. Matemática Aplicada, Universidade de Santiago de Compostela)., Maria Del Pilar Salgado Rodriguez. Entidades participantes: Universidade de Santiago de Compostela e Ikerlan

Título: STAT WARS: El despertar de los datos. FCT-16-11015.. Entidade financiadora: Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología (FECYT). Convocatoria: “Convocatoria de Ayudas para el Fomento de la Divulgación Científica, Tecnológica y de la innovación”. Duración: dende o 01-02-2017 ata o 31-12-2017. Investigadores responsables: Carmen María Cadarso Suárez.

Título: Unidad Mixta de Investigación Repsol-Itmati (UMI) Entidade financiadora: Consellería de Educación e Ordenación Universitaria Duración: dende 2014 ata 2017 Investigador responsable: Julio González Díaz.

Título: Rede de investigación: Tecnoloxías e análise dos datos lingüísticos. Entidade financiadora: Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria. Duración: dende o 01-01-2017 ata o 31-12-2018. Investigadores responsables: Xulio Sousa Fernández (participan membros do grupo). Outros: nesta rede participan membros do grupo Modestya.


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Título: Rede de investigación: Rede Tecnolóxica de Matemática Industrial (Rede ITMATI). Entidade financiadora: Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria. Duración: dende o 01-01-2017 ata o 31-12-2018. Investigadores responsables: Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela.


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3. Contratos e Convenios

Inclúese a continuación a relación de Contratos e Convenios, nos que teñen unha

participación activa membros do IMAT, vixentes durante o ano 2017.

Contrato: 3D multiphysics simulation of electrodes in an electric arc furnace: electromagnetic-thermomechanical analysis. Empresa/entidade: Ferropem Duración: dende o 01/06/2017 ata o 01/04/2018 Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro e Pilar Salgado.

Contrato: Accelerated FE-Simulation of Induction Machines, Part 2 (stator windings fed with sinusoidal voltages) (ITMATI-C45-2017). Empresa/entidade: Robert Bosch GmbH Duración: dende o 01/02/2017 ata o 01/07/2017 Investigadores responsable: Alfredo Bermúdez de Castro.

Contrato: Desarrollo de procedimientos matemáticos y estadísticos para la nueva etapa del estándar CLEAR-TO- WEAR II” (2016-CE085) Empresa/entidade: Inditex, S.A. Investigador responsable: Antonio Mariano Gómez Tato. Duración: dende o 01/03/2016 ata o 31/05/2018 Outros: 5 investigadores

Contrato: Determinación de la capacidad predictora de marcadores para el diagnóstico temprano del cáncer colorrectal. Investigador responsable: Carmen María Cadarso Suárez. Empresa/entidade: Amadix. Duración: 2017 (ano contratación).

Contrato: Electrical Conditions and their Process Interactions in High Temperature Metallurgical Reactors (ElMet) Empresa/entidade: USC & Teknova AS (Noruega) (ITMATI) Duración: dende o 12/10/2015 dende o 31/12/2019 Investigador responsable: Pilar Salgado Rodríguez.


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Contrato: Entorno integral de simulación y microfluídica para predicción de extracción eficiente y segura de energía (EISIMPEX). Empresa/entidade: Ikerlan (ITMATI) Investigador responsable: Francisco J. Pena Brage Duración: dende o 04/01/2016 ata o 04/01/2018

Convenio: Establishment of Computing Centers and Curriculum Development in Mathematical Engineering Master's Programme (ECCUM). Entidade financiadora: Unión Europea dentro del programa [Erasmus+, Key Action: Cooperation for innovation and the exchange of good practices, Action: Capacity Building in Higher Education]. Referencia: 561574-EPP-1-2015-1-ES-EPPKA2-CBHE-JP. Institución coordinadora: Universidade de Santiago de Compostela. Socios académicos participantes: Bukhara Engineering Technological Institute (Uzbekistán), Kostanay State University (Kazajistán), International Information Technologies University (Kazajistán), Politecnico di Torino (Italia), Turin Polytechnic University in Tashkent (Uzbekistán), University of Primorska (Eslovenia) e Urgench State University (Uzbekistán). Investigador responsable: (coordinadores académicos do proyecto) Alberto Cabada Fernández e Óscar López Pouso. Actúa como coordinador xeral do proxecto D. Enrique López Veloso, director do Servizo de Relacións Exteriores da USC. Duración: dende outubro 2015 ata outubro 2018.

Contrato: Investigación en materiales poliméricos mono y multicomponente para la protección térmica y acústica de baja frecuencia en el sector de la automoción. Empresa/entidade: Adhex Tech Tapes S.L. (ITMATI) Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro e Peregrina Quintela Estévez. Duración: dende 20/05/2016 ata o 31/04/2018

Contrato: Estudio de investigación sobre la efectividad de terapias cognitivas basadas en actividades cotidianas, a través de la monitorización no invasiva de los usuarios: Rich Stimulation Daily Living (RISING). Empresa/entidade: ITMATI: Balidea Consulting & Computing.. Duración: dende o 01-12-2016 ata o 30-11-2018.. Investigador responsable: Manuel Febrero Bande.

Contrato: Investigación en nuevos procesos de conformado y tratamientos térmicos másicos y superficiales para la optimización de la forja por extrusión de componentes de transmisión de vehículos industriales (TEINEXT)” (ITMATI-C46-2017). Empresa/entidade: CIE GALFOR S.A.


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Duración: dende o 01/02/2017 ata o 01/11/2018 Investigadores (2): Alfredo Bermúdez de Castro (IP) e Dolores Gómez.

Contrato: Investigación en procesos de electrocalcado libre para a optimización da forxa en quente de palieres de automoción (ELECPAL). (ITMATI-C47-2017). Empresa/entidade: CIE GALFOR S.A. Duración: dende o 01/05/2017 ata o 01/11/2018 Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro.

Contrato: Métodos matemáticos para la optimización integral de la toma de decisiones en la industria: Optimización de plantas de proceso industrial. Empresa/entidade: ITMATI e Repsol. Duración: dende o 20-01-2018 ata o 20-01-2019. Investigador responsable: Julio González Díaz.

Contrato: Modelado del comportamiento del proceso de llenado-vaciado de tanque de almacenamiento de GNL” Fase II. Empresa/entidade: Energylab (ITMATI) Entidades participantes: Departamento de Matemática Aplicada (USC), Instituto Tecnológico de Matemática Industrial (ITMATI). Duración: dende o 04/01/2016 ata o 04/01/2018 Investigador responsable: José L. Ferrín González.

Contrato: Modelización y optimización de redes de transporte de gas (Prórroga 2) Empresa/entidade: Ikerlan (ITMATI) Duración: dende o 01/01/2016 ata o 31/01/2017 Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro, Julio González-Díaz

Contrato: Nuevo horno de vacío. Empresa/entidade: Silicio Ferrosolar (ITMATI) Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro. Duración: dende o 01/07/2016 ata o 01/04/2017

Contrato: Plan piloto para un plan de muestreo de caracterización de materiales propios en recogidas de vidrios. SISMEGA S.L. Empresa/entidade: . Duración: dende o 01-12-2016 ata o 15-01-2017. Ivestigador responsable: César A. Sánchez Sellero.


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Contrato: Sistema de predición estatística de inmisión (SIPEI) 2016-2017 Empresa/entidade: ENDESA GENERACIÓN S.A. Investigador responsable: Wenceslao González Manteiga. Duración: dende o 30/06/2016 ata o 30/06/2017.

Contrato: SIPEI 2017-2018 (continuación del anterior 2016-2017). Empresa/entidade: ENDESA GENERACIÓN S.A. Duración: Wenceslao González Manteiga. Ivestigador responsable: dende o 30-06-2017 ata o 29-06-2018.

Contrato: The Simon Project: Building the insurance Solution Risk Premium (2017-CE183) Empresa/entidade: Associated British Fodds plc (ABF). Investigador responsable: Antonio Mariano Gómez Tato. Duración: dende o 01/07/2017 ata o 31/12/2017

Contrato: Unidad Mixta de Investigación (UMI) ITMATI-REPSOL (ITMATI) Empresa/entidade: Consellería de Educación e Ordenación Universitaria, GAIN, Repsol Investigador responsable: Alfredo Bermúdez de Castro e Julio González. Duración: dende o 10/10/2014 ata o 31/10/2017


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4. Participación en Redes Temáticas

O IMAT participa na rede de Institutos de Matemáticas RedIUM (http://www.redium.es/node/1). Como membro desta rede, o IMAT forma parte da Red Estratégica en Matemáticas (https://rem-wordpress.smorenburg.me/). Un amplo número de membros do IMAT dos distintos grupos de investigación do mesmo participan na Rede Galega IEMath-Galicia. Membros do grupo de investigación en Matemáticas participan nas redes temáticas Red Temática de Cálculo Simbólico, Álgebra Computacional y Aplicaciones EACA (MTM2014- 56142-REDT) (http://www.redeaca.tk), na Rede ACAT “Applied And Computational Algebraic Topology” ( http://www.acat.uni-bremen.de/ ) e na Rede Española de Análise Xeométrico (MTM2016-81938-REDT). Membros do grupo de investigación Estruturas Xeométricas Diferenciais e Aplicacións participan na Rede Temática de Xeometría, Mecánica e Control Network (http://gmcnetwork.org/). Membros do grupo de investigación Foliacións e Sistemas Dinámicos participan na Rede Española de Topoloxía (http://mat.uab.es/~ret). Membros do grupo de investigación en Álxebra e Xeometría participan na Rede Española de gravitación e Cosmoloxía http://www.segre.es/es/presentacion.shtml Membros do Grupo Interdisciplinar de Bioestatística pertencen a Rede Nacional de Bioestatística. Biostatnet: afrontando retos da investigación bioestadística con proxección internacional (http://eio.usc.es/pub/biostatnet/). Este mesmo grupo tamén está na Rede galega, Nuevos Instrumentos Estadísticos y Computacionales aplicados a Investigación de Salud, Deportes y Entorno, así como na Rede Europea Interuniversity Attaction Poles. Os membros del grupo forman parte da rede Tecnoloxías e análise dos datos lingüísticos, Rede Tecandali (http://ilg.usc.es/tecandali/) en colaboración con outros grupos de investigación galegos da USC e da UVigo (GTM, COGRADE, GSI, TALG e GIGRALEX) e o Instituto da Lingua Galega (ILG), http://ilg.usc.es/. Membros do grupo están na rede europea Developing crucial Statistical methods for Understanding major complex Dynamic Systems in natural, biomedical and social sciences. (http://iap-studys.be/) xunto con membros do grupo interdisciplinar de Bioestatística. Asemade, algúns membros deste grupo de investigación son poñentes do consorcio europeo European Research Consortium for Informatics and Mathematics (ERCIM) no campo de datos funcionais (http://www.dcs.bbk.ac.uk/ercim/TrackSFD.html). Membros dos grupos de investigación Enxeñería Matemática, Grupo Interdisciplinar de Bioestatística, Modelos de Optimización, Decisión, Estadística e Aplicacións, Modelos

http://www.redium.es/node/1

https://rem-wordpress.smorenburg.me/

http://www.redeaca.tk/

http://www.acat.uni-bremen.de/

http://gmcnetwork.org/

http://mat.uab.es/~ret

http://www.segre.es/es/presentacion.shtml

http://eio.usc.es/pub/biostatnet/

http://ilg.usc.es/tecandali/

http://ilg.usc.es/

http://iap-studys.be/

http://iap-studys.be/

http://www.dcs.bbk.ac.uk/ercim/TrackSFD.html


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Matemáticos e Simulación Numérica en Mecánica de Sólidos, participan na Rede Tecnolóxica de Matemática Industrial TMATI (http://www.itmati.com/). Os grupos anteriores e o grupo Ecuacións Diferenciais non Lineares participan na Red Española Matemática-Industria math-in (http://www.math-in.net/). Como consecuencia de pertencer a math-in, os membros forman parte da rede europea Stichting European Service Network of Mathematics for Industry and Innovation (EU-Maths-IN), http://www.eu-maths-in.eu/, formada por redes nacionais o multinacionais de grupos de investigación en Matemáticas. Esta rede de redes, patrocinada pola Sociedade Matemática Europea (EMS) e polo Consorcio Europeo de Matemáticas na Industria (ECMI), constitúese co apoio de 6 redes nacionales. Membros do grupo de investigación MODESTYA participan na Rede de investigación: Tecnoloxías e análise dos datos lingüísticos. Asemesmo, membros do grupo pertencen ao Grupo de Análisis de Datos Funcionales da Sociedad Española de Estadística e Investigación Operativa, http://www.seio.es/grupos/FDA/. Tamén membros do grupo pertencen ao Grupo de Teoría de Juegos da Sociedad Española de Estadística e Investigación Operativa, http://juegos.seio.es/Inicio.html.

http://www.itmati.com/

http://www.math-in.net/

http://www.eu-maths-in.eu/

http://www.seio.es/grupos/FDA/

http://juegos.seio.es/Inicio.html


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5. Visitantes

Durante o ano 2017 o IMAT contou cos seguintes profesores visitantes.

Javid Ali Aligarh Muslim University, India Duración: 10 xullo a 29 xullo Iván Area Carracedo Universidade de Vigo, España Duración: 30 marzo Carmen Armero i Cervera Universidad de Valencia, España Duración: xaneiro 2017 Natig Atakishiyev Universidad Nacional Autónoma de México, México Duración: 21 xunio a 8 xullo Liang Bai Taiyuan University of Technology, China. Duración: 1 xaneiro a 22 setembro Tahereh Bashiri Amirkabir University of Technology (Tehran Polytechnic), Iran Duración: 10 xaneiro a 7 abril Bouhartek Bendouma University Tiaret, Alxeria Duración: 11 abril a 11 maio) Adrian W. Bowman School of Mathematics & Statistics, University of Glasgow, Reino Unido Duración: dende o 02-07-2017 ata o 04-07-2017 Emilio Carrizosa Priego Universidad de Sevilla, España Duración: dende: 18-12-2017 ata 23-12-2017 M. Castrillón Universidade Complutense de Madrid, España Duración: 13 - 17 de febreiro de 2017


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Jose Ángel Cid Araújo Universidade de Vigo, España Duración: 22 marzo Jairo Cugliari Universidad de Lyon 2, Francia Duración: 29-06-2017 Amar Debbouche Guelma University, Alxeria Duración: 18 marzo a 1 abril Juan de Dios Luna Universidad de Granada, España Duración: Xaneiro 2017 María Durban Reguero Universidad Carlos III de Madrid, España Duración: Xaneiro e Novembro 2017 Ruud Egging Norwegian University of Science and Technology, Trondheim, Noruega. Duración: dende: 21-12-2017 ata: 23-12-2017 Christel Faes University of Hasselt, Bélxica Duración: xaneiro 2017 Guadalupe Gómez Melis Universidad Politécnica de Cataluny, España Duración: Xaneiro 2018 Juan Carlos González Aguirre Universidad Juarez Autónoma de Tabasco, México Duración: 16 de xaneiro a 29 de xulio de e 201702 de octubre a 21 de decembro de 2017 Laurent Emmanuel Gosse Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR), Italia Duración: 13 al 19 de novembro de 2017 Panagiota Fillipou University College London, Reino Unido Duración: Xaneiro 2017


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Marlène Frigon Université de Montréal, Canadá Duración: 22 maio a 27 maio Peter Gilkey Universidade de Oregon, EE.UU Duración: do 27 ao 31 de marzo, do 8 ao 14 de xulio e do 18 ao 22 de deciembro Taha Goudarzi Amirkabir University of Technology, Irán Duración: 1 a 13 de setembro de 2017 Assia Guezane-Lakoud Badji Mokhtar-Annaba University, Alxeria Duración: 15 maio a 24 maio Marc Hallin Université libre de Bruxelles, Bélxica Duración: 27-04-2017 Amel Heris University of Sidi Bel Abbes, Alxeria Duración: 12 decembro a 19 decembro María Inmaculada Higueras Sanz Universidad Pública de Navarra, España Duración: 24 a28 de abril de 2017 Rochdi Jebari Université de Tunis El Manar, Tunisia Duración: 23 marzo a 4 xullo Ingrid van Keilegom Université Catholique de Louvain, Bélxica Duración: dende 26-04-2017 ata 28-04-2017 Neda Khodabakhshi Amirkabir University of Technology, Irán Duración: 2 xullo a 28 xullo


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Thomas Kneib Georg-August-Universität Göttingen Alemaña Duración: marzo e novembro de 2017 Yuri A. Kordyukov. Ufa Scientific Center, Russian Academy of Science, Institute of Mathematics, Ufa, Rusia Duración: 3 a 9 de setembro de 2017 Nadjet Laledj University of Sidi Bel Abbes, Alxeria Duración: 18 decembro a 19 decembro Jesús López Fidalgo Universidad de Castilla la Mancha, España Duración: Xaneiro 2017 Bibiana López Rodríguez Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín, México Duración: dende o 8 de xaneiro a o 4 de febreiro de 2017 Vasant Matsagar Indian Institute of Technology de Delhi, India Duración: 22 de maio a 21 de xunio de 2017 Giampiero Marra. University College London, Reino Unido Duración: Xaneiro e Xulio 2017 Denisa Mendonça. Universidade de Porto, Portugal Duración: xaneiro e xunio 2017 Erica Minuz Universidade de Aarhus, Dinamarca Duración: dende o 22 ao 26 de maio de 2017 Navid Mojahed Baghbadorani University of Mazandaran, Irán Duración: 19 de decembro de 2017 a 15 de xunio de 2018 Geert Molemberghs University of Hasselt, Bélxica Duración: Xulio 2017. Giselle Monteiro.


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Academy of Sciences of the Czech Republic, República Checa Duración: 16 xaneiro a 20 xaneiro Carlos Moreno González UNED, España Duración: dende o 7 ata o 10 de febreiro de 2017 Seyed Morteza Amini Department of Mathematics, Statistics and Computer Science, University of Tehran, Irán Duración: dende: 15-07-2017 ata 31-07-2017 J. Pérez Muñoz Universidade de Granada, España Duración: 29 de outubro ao 4 de novembro de 2017 Hamid Naderan Tahan Amirkabir University of Technology, Irán Duración: 01 a 13 de setembro de 2017 Michał Niezabitowski Silesian University of Technology, Polonia Duración: 2 novembro a 1 decembro Hiraku Nozawa. Ritsumeikan University, College of Science and Engineering, Kusatsu, Shiga, Xapón Duración: 02 a 12 de marzo de 2017 Vicente Núñez Antón. Universidad del País Vasco, España Duración: Xaneiro 2017. Pedro Oliveira. Universidade de Porto, Portugal Duración: Xaneiro e Xunio 2017 Diego Alonso Orán Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), España Duración: 24 outubro a 25 outubro Justyna Orwat Silesian University of Technology, Polonia Duración: 2 novembro a 1 decembro


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Abdelghani Ouahab Université Djillali Liabes, Alxeria Duración: 4 xullo a 31 xullo Juan Carlos Pardo Fernández Universidade de Vigo, España Duración: 27-04-2017. Tania Pernas Castaño Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), España Duración: 24 outubro a 25 outubro Łukasz Płociniczak Wrocław University of Science and Technology, Polonia Duración: 7 xullo a 14 xullo Pedro Puig Casado. Universidad Autónoma de Barcelona, España Duración: xaneiro 2017. Diogo Rodrigues EPFL (Ecole Politechnique Federale de Lausanne), Francia Duración: dende o 29 a o 31 de marzo de 2017 Vitor Rodrigues Universidade de Coimbra, Portugal Duración: xaneiro 2017 Rodolfo Rodríguez Alonso Universidad de Concepción, Chile Duración: 13 de xaneiro a 11 de febreiro de 2017 Mohsen Shabani Shahid Chamran University of Ahvaz, Irán Duración: 13 de novembro de 2017 a 13 de maio de 2018. Fatemeh Soleyman K.N.T. University of Technology, Iran Duración: 1 xaneiro a 28 febreiro Bruno de Sousa Universidade de Coimbra, Portugal Duración: xaneiro e novembro 2017


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Inés Sousa Universidade do Minho, Portugal Duración: xunio 2017 Laetitia Teixeira Universidade de Porto, Portugal Duración: Xaneiro e Xunio 2017 Stepan Tersian University of Ruse, Bulgaria Duración: 20 maio a 27 maio Eleuterio Francisco Toro Università degli Studi di Trento, Italia Duración: dende o 14 ao 17 de novembro de 2017 Estelita Vaz Universidade de Coimbra, Portugal Duración: Noviembro 2017 Pablo Venegas Tapia Universidad del Bío-Bío, Chile Duración: 12 de xaneiro a 19 de febreiro de 2017 Juan Vidal Puga Universidade de Vigo, España Duración: 21-12-2017. Paweł Walczak Uniwersytet Łódzki, Wydział Matematyki i Informatyki, Łódź, Polonia Duración: 20 a 24 de marzo de 2017 Paul Wiemann Georg-August-Universität Göttingen, Alemaña Duración: Noviembro 2017 Meirong Zhang Tsinghua University, Beijing, China Duración: 28 abril a 5 maio


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6. Actividades científicas

6.1. Seminarios e conferencias

Os seminarios organizados polos departamentos de Análise Matemática, Álxebra,

Estatística e Investigación Operativa, Matemática Aplicada e Xeometría e Topoloxía,

abertos a toda a comunidade universitaria, estruturáronse segundo a súa temática e

difundíronse a través do IMAT.

Seminario de Ecuacións Diferenciais e Análise Funcional

Amel Heris, University of Sidi Bel Abbes, Algeria.

Fractional Partial Random Differential Equations with infinite delay.

Lorena Saavedra López, Universidade de Santiago de Compostela, España.

Existence of solutions for higher order non-linear boundary value problems.

Lucía López Somoza, Universidade de Santiago de Compostela, España.

Unbounded solutions of initial value problems with ϕ-Laplacian.

Data: 19/12/2017

Sebastián Buedo Fernández, Universidade de Santiago de Compostela, España.

On some Gronwall-Bellman estimates for the solutions of integral inequalities with

delay.

Data: 15/11/2017

Justyna Orwat, Silesian University of Technology, Polonia.

Problem of finding the function describing the measured deformations indicators of

mining area.

Data: 15/11/2017

Michał Niezabitowski, Silesian University of Technology, Polonia.

On the Lyapunov, Perron, Bohl and general exponents.

Data: 15/11/2017

Tania Pernas Castaño, Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), España.

O problema de Muskat non homoxéneo.

Data: 24/10/2017

Diego Alonso Orán, Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), España.

A ecuación cuasi-xeostrófica na esfera.


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Data: 24/10/2017

Abdelghani Ouahab. Université Djillali Liabes, Algeria.

Stochastic Differential Equations and inclusions via Brownian motion.

Data: 11/07/2017

Łukasz Płociniczak. Wrocław University of Science and Technology, Poland.

Some results concerning the time-fractional porous medium equation.

Data: 11/07/2017

Rochdi Jebari. Université de Tunis El Manar, Tunisia.

Existence of infinitely many small and high energy soliton solutions for a class of a

generalized Kadomtsev-Petviashvili equation in bounded domain.

Data: 29/06/2017

Jorge Rodríguez López. Universidade de Santiago de Compostela, Spain.

A new Krasnoselskii type fixed point theorem for discontinuous operators with

applications.

Data: 29/06/2017

Natig Atakishiyev. Universidad Nacional Autonoma de Mexico, Mexico.

On discrete Fourier transform and supersymmetry.

Data: 29/06/2017

Stepan Tersian. University of Ruse, Bulgaria.

Multiplicity of periodic solutions for 2n-th order p-Laplacian differential equations.

Data: 24/05/2017

Marlène Frigon. Université de Montreal, Canada.

Fixed point theorems for maps on cones in Fréchet spaces.

Data: 24/05/2017

Assia Guezane-Lakoud. Badji Mokhtar-Annaba University, Algeria.

Multiplicity of periodic solutions for 2n-th order p-Laplacian differential equations.

Data: 23/05/2017

Meirong Zhang. Tsinghua University, Beijing, China.

Solutions and eigenvalues of measure differential equations.

Data: 03/05/2017


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Jose Ángel Cid Araújo. Universidade de Vigo, Spain.

Uniqueness for ODEs: geometric and analytic insights.

Data: 22/03/2017

Bashiri Tahereh. Amirkabir University of Technology (Tehran Polytechnic), Iran.

Fractional differential calculus and application in population growth.

Data: 22/03/2017

Daniel Cao Labora.Universidade de Santiago de Compostela, Spain.

From fractional calculus to integer calculus.

Data: 22/03/2017

Fateneh Soleyman. K.N.T. University Technology, Iran.

On q-calculus and q-Sturm Liouvilleproblems.

Data: 12/02/2017

Lorena Saavedra López. Universidade de Santiago de Compostela.

Constant sign Green´s function related to two-point boundary value problems.

Data: 12/02/2017

Lucía López Somoza. Universidade de Santiago de Compostela.

Existence of solutions of differential equations with asymptotic conditions

Data: 12/02/2017

Giselle Monteiro. Academy of Sciences of the Czech Republic.

On the distinguishing features of the Kurzweil integral.

Data: 18/01/2017

Seminario de Estatística

Taller de Investigación de Operacións / Operations Research Workshop: Emilio Carrizosa, Universidad de Sevilla. Sparse models and mathematical programming. Some examples Balbina Casas, Universidade de Santiago de Compostela. Integer linear programming and the resource planning problem in extinguishing a forest fire.


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Ruud Egging, NTNU, Trondheim, Noruega (Norway). Uncertainty and market power in international energy markets. Ángel González Rueda, Universidade de Santiago de Compostela. Optimization of gas transmission networks: a two-step sequential linear programming algorithm for NLP and MINLP problems. Juan Vidal, Universidade de Vigo. One-way and two-way cost allocation in hub network problems. Data: 21/12/2017 Seyed Morteza Amini. University of Tehran. Improving genomic prediction of riboflavin production using RNA expression analysis of Bacillus subtilis genome array with sparse partially linear additive noise model Data: 27/07/2017 Adrian W. Bowman. University of Glasgow. Surfaces, shapes and anatomy. Data: 03/07/2017 Juan Carlos Pardo Fernández. Universidade de Vigo, Spain. Robust testing for superiority between two regression curves. Data: 27/04/2017 Ingrid Van Keilegom. Université Catholique de Louvain. Estimation in measurement error problems under minimal conditions on the distribution of the signal and the noise. Data: 27/04/2017 Marc Hallin. Université libre de Bruxelles. Dynamic Principal Components and Optimal Dimension Reduction in Functional Time Series. Data: 27/04/2017

Seminario García Rodeja

David Mosquera Lois, Universidade de Santiago de Compostela, España. Coloquio sobre a característica de Euler-Poincaré. Data: 27/11/2017 Daniel Cao Labora, Universidade de Santiago de Compostela, España. Formulacións e aplicacións psicodélicas do Teorema Fundamental da Álxebra. Data: 20/11/2017


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Seminario de Matemática Aplicada

Marta Piñeiro Peón. Departamento de Matemática Aplicada, Universidade de Santiago de Compostela. Estudo dun problema de control óptimo para unha máquina eléctrica. Data: 19/10/2017 José Antonio Álvarez Dios. Departamento de Matemática Aplicada, Universidade de Santiago de Compostela. Algunas aplicaciones de las matemáticas a la genética forense. Data: 11/05/2017 Francisco Pena. Departamento de Matemática Aplicada, Universidade de Santiago de Compostela. A librería basicmod: utilidades para o Fortran moderno. Data: 20/04/2017 Diogo Filipe Mateus Rodrigues. École polytechnique fédérale de Lausanne, EPFL, Suiza. Incremental model identification of reaction systems. Data: 29/03/2017 Pedro P. Campo, Observatorio astronómico Ramón M. Aller, Universidade de Santiago de Compostela. Utilización do paquete TIDES para estudar as diferenzas entre planeta-planeta e planetasatélite en escenarios de exoplanetas Data: 23/02/2017 Pablo Venegas. DGIMNAP, Departamento de Matemática, Universidad del Bío-Bío, Chile. Optimizing the Kelvin Force in a Moving Target Subdomain. Data: 26/01/2017

Seminario Vidal-Abascal

Joaquín Pérez, Universidad de Granada, España. Una introducción a la teoría de superfícies mínimas. Datas: 30-31/10/2017 e 2-3/11/2017 Luc Vrancken, Katholieke Universiteit Leuven, Bélxica. Affine hypersurfaces with constant sectional curvature. Data: 30/10/2017


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Héctor Barge Yáñez, Universidad Politécnica de Madrid. Forma, atracción y dinámica topológica. Datas: 26/10/2017 Mark Hadley, The University of Warwick, Reino Unido. Quantum theory - the worst scientific theory of all time. Datas: 25/10/2017 Richard Muñiz. Centro de Matemática, Uruguay. Ecuación vi de Painlevé e instantones con simetría SU2. Datas: 19 de outubro de 2017 Homare Tadano. Universidad de Tokio, Japón. Some Compactness Theorems via m-Modified Ricci and m-Bakry-Émery Ricci Curvatures with Negative m Datas: 26 de setembro de 2017 Luis Hernández Lamoneda. Centro de Investigación en Matemáticas, México. Rodando proyectivamente. Datas: 13 de setembro de 2017 Hiroshi Tamaru. Hiroshima University, Xapón. Symmetric spaces, solvmanifolds and cohomogeneity one actions. Datas: 5, 6 e 8 de setembro de 2017 Gabriel Ruiz. Universidad Nacional Autónoma de México, México. Una caracterización de superficies isoparamétricas en curvatura constante vía superficies mínimas. Datas: 18 de maio de 2017 Cecilia Herrera. Universidad Nacional de Córdoba, Argentina. Estructuras paralelas y estructuras Killing Yano en variedades bandera maximales y Grupos de Lie de dimension cuatro. Data: 18/05/2017 Mohammed Hamou Dida. Université de Saïda, Algeria. Ricci solitons in tangent bundles of pseudo-Riemannian manifolds. Data: 13/03/2017 Yasuo Matsushita. Osaka City University Advanced Mathematical Institute, Xapón. Counterexamples to Goldberg Conjecture on neutral 4-manifolds and higher dimensional indefinite metric spaces. Data: 9/03/2017


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Marco Castrillón. Universidad Complutense de Madrid. Teorías gauge en el lenguaje de fibrados. Data: 13 -17/02/2017

Cursos e Conferencias en Congresos

J.A. Álvarez López, USC e Y. Kordyukov, E. Leichtnam. A trace formula for foliated flows. Conferencia plenaria de 50 minutos por invitación. Congreso: The 2nd Pan Pacific International Conference on Topology and Applications (2nd PPICTA). Data e Lugar: Busan, Korea. 13/11/2017 - 17/11/2017. https://sites.google.com/view/2ndppicta/home J.A. Álvarez López, USC e Y. Kordyukov, E. Leichtnam. A trace formula for foliated flows. Invited speaker, 50 minutes lecture. Congreso: The third Japanese-Spanish workshop on Differential Geometry. Data e Lugar: ICMAT, Madrid. 18/09/2017 - 22/09/2017. https://www.icmat.es/congresos/2017/JSDG/index.php J.A. Álvarez López, USC e Y. Kordyukov, E. Leichtnam. A trace formula for foliated flows. Contribution, 25 minutes lecture. Congreso: 32nd Summer Conference on Topology and its Applications. Session Topology + Dynamics and Continuum Theory. Data e Lugar: University of Dayton, Dayton (Ohio, USA). 27/06/2017 - 30/06/2017. https://www.udayton.edu/artssciences/academics/mathematics/events/topology-conference-2017/ J.A. Álvarez López, USC e M. Calaza, C. Franco. Witten's perturbation on strata with general adapted metrics. Invited speaker, 45 minutes lecture. Congreso: SINGSTAR Conference 2017: Index theory and Singular Structures. Data e Lugar: Institut de Mathématiques de Toulouse, Paul Sabatier University, Toulouse (Francia). 29/05/2017 - 02/06/2017. https://indico.math.cnrs.fr/event/1261/overview Bermúdez, Alfredo e Gómez, Dolores e Ruiz-Ferrández, M. Numerical simulation of induction hardening on ferromagnetic parts for the automotive industry.

https://sites.google.com/view/2ndppicta/home

https://www.icmat.es/congresos/2017/JSDG/index.php

https://www.udayton.edu/artssciences/academics/mathematics/events/topology-conference-2017/

https://www.udayton.edu/artssciences/academics/mathematics/events/topology-conference-2017/

https://indico.math.cnrs.fr/event/1261/overview


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Congreso: XXV CONGRESO DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y APLICACIONES / XV CONGRESO DE MATEMÁTICA APLICADA (CEDYA + CMA 2017). Data e Lugar: 26 ao 30 de xunio de 2017, Cartagena, España. Bermúdez, Alfredo e Gómez, Dolores e González, David. Numerical simulation of a thermo-electro-fluid dynamic problem arising from the metallurgical refining of molten metals. Congreso: Coupled problems 2017, organizado por Thematic Conferences of the ECCOMAS. Data e Lugar: 12 a 14 de xunio de 2017, Rodas, Grecia. Bermúdez, Alfredo e Gómez, Dolores e Venegas, Pablo. Mathematical analysis and numerical methods for dynamic Preisach hysteresis model Congreso: XXX Jornada de Matemática de la Zona Sur. Data e Lugar: 26 a 28 de abril de 2017, Conceptción, Chile. Cabada, Alberto. Curso: Monotone Iterative Techniques. Horas impartidas: 18 Data e Lugar: novembro de 2017, Indian Institute of Technology, Patna, Bihar, India. Cabada, Alberto. Xornadas: II Xornadas de terminoloxía matemática. Materiais didácticos de matemáticas en galego. Tipo de participación: Participación en Mesa redonda. Data e Lugar: Santiago de Compostela, Novembro de 2017. Cabada, Alberto. Congreso: Nonlinear Difference and Differential Equations and their Applications, NODDEA'2017. Reflection and phi-Laplacian Equations. Tipo de participación: Invited Speaker. Data e Lugar: Ruse, Bulgaria, Outubro de 2017. Cabada, Alberto. Congreso: 6th International Conference on Mathematics and Informatics Characterization of the Constant Sign of the Green's Functions related to Ordinary and Functional Differential Equations. Tipo de participación: Plenary Speaker. Data e Lugar: Târgu Mures, Rumanía, Setembro de 2017. Cabada, Alberto. Congreso: Recent Trends in Pure and Applied Mathematics- TREPAM 2017. Green's Functions and Spectral Theory for the Hill's Equation. Tipo de participación: Main Speaker.


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Data e Lugar: Alba Iulia, Rumanía, Xullo-Agosto de 2017. Díaz Ramos, José Carlos. Homogeneous submanifolds of complex space forms. Congreso: The third Japanese-Spanish workshop on Differential Geometry. Data e Lugar: 18-22 de setembro, Madrid, España. Díaz Ramos, José Carlos. Isoparametric hypersurfaces in complex space forms. Congreso: Department of Mathematics Seminar. Data e Lugar: 26 de xaneiro, Stuttgart, Alemania. García Río, Eduardo. Quasi-Einstein manifolds. Congreso: Mathematics Days in Sofia. Data e Lugar: 10 a 14 de xulio, Sofia, Bulgaria García Río, Eduardo. Four-dimensional strictly Bach-flat metrics Congreso: Congreso conjunto de la RSME y la SMM. Sesión Especial: Geometría Diferencial. Data e Lugar: 19 a 22 de xunio, Valladolid, España García Río, Eduardo. Variedades quasi-Einstein auto-duales Congreso: Congreso Bienal de la RSME. Sesión Especial: Estructuras geométricas en variedades y aplicaciones. Data e Lugar: 30 de xaneiro ao 3 de febreiro, Zaragoza, España. López Pouso, Oscar Finite Difference Methods for Partial Differential Equations Tipoloxía: curso de 30 horas, profesor invitado. Data e Lugar: 15 a 18 de maio, International Information Technology University, Almaty, Kazajistán.

6.2 Congresos organizados

Inclúese a continuación a relación de congresos onde os membros do IMAT participaron

como organizadores ou colaboraron nos comités científicos organizador.

3ª Reunión Nacional de la Red Biostatnet: Afrontando Retos de Investigación Bioestadística con Proyección Internacional. Santiago de Compostela. 20 e 21 de xaneiro de 2017 http://eio.usc.es/pub/biostatnet/index.php/es/congresos-cursos-y-seminarios/congresos-y-jornadas/308-2016-10-25-17-09-56

http://eio.usc.es/pub/biostatnet/index.php/es/congresos-cursos-y-seminarios/congresos-y-jornadas/308-2016-10-25-17-09-56

http://eio.usc.es/pub/biostatnet/index.php/es/congresos-cursos-y-seminarios/congresos-y-jornadas/308-2016-10-25-17-09-56


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XVII Conferencia de Decanos y Directores de Matemáticas. La Laguna, España. 23 al 25 de febreiro de 2017. Integradores temporais para Ecuacións Diferenciais Ordinarias e Ecuacións Alxebraicas Diferenciais. Santiago de Compostela, Dpto. de Matemática Aplicada, USC, España. 25 a 28 de abril de 2017. http://www.usc.es/dmafm/eventos_organizados/PDF_cursos/2017/anuncio_Inmaculada_Higueras_2017.pdf II Ciclo de Conferencias: Bioestadística para vivir. Santiago de Compostela, Facultade de Matemáticas (USC). 03 de maio de 2017 http://biostatech.com/conferencias-bioestadistica/ XII Foro de Interacción Matemática Industria. Vigo, Universidad de Vigo, España 9 de xunio de 2017. http://www.itmati.com/XII_FORO_MATEMATICA_INDUSTRIA Jornada de Presentación del convenio RAE-RSME, celebrado en el marco de la IV Reunión Conjunta Sociedad Matemática Mexicana y Real Sociedad Matemática Española. Valladolid, España. 19 de xunio de 2017. Fouth International Workshop on Functional and Operatorial Statistics (IWFOS 2017). Coruña, España. Xunio do 2017. http://iwfos2017.udc.es/ Wenceslao González Manteiga foi membro do comité científico do congreso. XXVI International Fall Workshop on Geometry and Physics (IFWGP). Braga, Portugal. 4-7 de setembro de 2017. Curso de Veran da USC Contar a Ciencia. Santiago de Compostela, España. 6 a 8 de setembro de 2017. www.usc.es/export9/sites/webinstitucional/gl/.../veran/2017/23.pdf The third Japanese-Spanish workshop on Differential Geometry. ICMAT, Madrid, España. 18 al 22 de setembro de 2017. https://www.icmat.es/congresos/2017/JSDG/ IV Iberian Modelling Week. Vigo, Universidad de Vigo, España. 16-20 de outubro de 2017. http://www.math-in.net/4imw/ XIII Congreso Galego de Estatística e Investigación de Operación.

http://www.usc.es/dmafm/eventos_organizados/PDF_cursos/2017/anuncio_Inmaculada_Higueras_2017.pdf

http://www.usc.es/dmafm/eventos_organizados/PDF_cursos/2017/anuncio_Inmaculada_Higueras_2017.pdf

http://biostatech.com/conferencias-bioestadistica/

http://www.itmati.com/XII_FORO_MATEMATICA_INDUSTRIA

http://iwfos2017.udc.es/

http://www.usc.es/export9/sites/webinstitucional/gl/.../veran/2017/23.pdf

https://translate.google.es/translate?hl=en&sl=es&u=http://www.usc.es/export9/sites/webinstitucional/gl/servizos/cultura/veran/2017/23.pdf&prev=search

https://translate.google.es/translate?hl=en&sl=es&u=http://www.usc.es/export9/sites/webinstitucional/gl/servizos/cultura/veran/2017/23.pdf&prev=search

https://www.icmat.es/congresos/2017/JSDG/

http://www.math-in.net/4imw/


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Ferrol, España. Outubro do 2017. http://sgapeio2017.udc.es Membros do comité científico do congreso: José Mª Alonso Meijide, Rosa Mª Crujeiras Casais e Wenceslao González Manteiga. Membro do comité organizador: Mª José Ginzo Villamayor. Stat Wars: el despertar de los datos #ediciónGalicia. Santiago de Compostela, Teatro Principal. 17 de novembero 11 de 2017. http://www.icbusc.com/dissemination/stat_wars_galicia Xornada Matemáticas: El valor de la palabra. Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla, IMUS, Sevilla, España. 1 de decembro de 2017. http://www.rsme.es/content/view/2443/1/

7. Organización de Cursos

7.1. School of Advanced Mathematics (SAM-IMAT)

A School of Advanced Mathematics (SAM-IMAT) acolle cursos para graduados/licenciados en tópicos avanzados de matemática pura e aplicada. Estes cursos van dirixidos aos novos investigadores, co obxecto de mellorar a súa formación no comezo da súa carreira académica. Os cursos da SAM-IMAT foron impartidos por membros do IMAT e visitantes do instituto, cunha duración de entre dez e trinta horas. Título: Introducción a la teoría ergódica. Profesora: Matilde Martínez, Insituto de Matemática y Estadística Rafael Laguardia, Universidade de la República, Montevideo, Uruguay. Datas e lugar: 9, 16, 23 e 30 de novembro de 10:15 a 11:15 e de 11:30 a 12:30. A data da última sesión indicarase con posterioridade. Aula 10. Facultade de Matemáticas. Coorganizado co Programa de Doutoramento en Matemáticas. Título: Curso de iniciación a Python e Fenics. Profesor: Pedro Fontán Muíños, Universidade de Santiago de Compostela. Datas e lugar: 23 a 27 de outubro de 10:00 a 12:00 salvo o día 25 de 16:00 a 18:00. Aula Magna e videoconferencia. Facultade de Matemáticas. Coorganizado co Departamento de Matemática Aplicada. Título: El problema de integración en supervariedades.

http://sgapeio2017.udc.es/

http://www.icbusc.com/dissemination/stat_wars_galicia

http://www.rsme.es/content/view/2443/1/


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Profesor: Adolfo Sánchez Valenzuela. Centro de Investigación en Matemáticas, A.C. CIMAT. Datas e lugar: 14 e 15 de xunio de 2017 de 12.00 a 13:30 horas. Aula 8. Facultade de Matemáticas. Título: Programación en Mathematica. Profesor: José Carlos Díaz Ramos. Universidade de Santiago de Compostela. Datas e lugar: luns e xoves a partir do 4 de maio de 16.00 a 18:00 horas. Aula de Informática 4. Facultade de Matemáticas. Título: Variational Methods for Differential Equations. Profesor: Stepan Tersian. University of Ruse, Ruse, Bulgaria. Datas e lugar: 23 e 24 de maio de 16.30 a 19 horas. Aula Seminario de Análise Matemática. Facultade de Matemáticas. Título: Finsler and Randers geometries, and foliations. Profesor: Paweł Walczak. Universidade de Łodz, Polonia. Datas e lugar: 20, 21, 22 e 23 de marzo de 16.00 a 18 horas. Aula 9 da Facultade de Matemáticas. Título: Introducción a los Operadores Lineales. Profesor: Adrián Fernández Tojo. Universidade de Santiago de Compostela. Datas e lugar: do 2 de febreiro ao 6 de abril de 17:00 a 19:00 horas. Aula 10 da Facultade de Matemáticas. Título: Edición profesional de documentos científicos (Latex). Profesor: Adrián Fernández Tojo. Departamento de Estatística, Análise Matemática e Optimización, Universidade de Santiago de Compostela, España. Datas e lugar: 22 a 25 de xaneiro de 17:00 a 19:00. Aula de informática 2. Facultade de Matemáticas.

7.2. Outros Cursos

Título: Una introducción a la teoría de superficies mínimas . Profesor: Joaquín Pérez Muñoz, Universidad de Granada. Datas e lugar: 30 e 31 de outubro, 2 e 3 de novembro de 2017 de 10:30 a 12:00. Aula 5 da Facultade de Matemáticas. Organización: GI-2136-Grupo de investigación en Álxebra e Xeometría. Proxectos: ED431F 2017/03 e MTM2016-75897-P con fondos FEDER (España). Título: Symmetric spaces, solvmanifolds and cohomogeneity one actions. Profesor: Hiroshi Tamaru, Hiroshima University, Xapón. Datas e lugar: 5 a 8 de setembro de 2017 ás 12 horas. Aula 7 da facultade de Matemáticas. Organización: Seminario Vidal Abascal.


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Título: Numerical simulation with Comsol Multiphysics. Profesor: Dolores Gómez Pedreira. Datas e lugar: : Santiago de Compostela, España, a partir do 16 de xaneiro de 2017. 20 horas. Organización/Proxecto: ECCUM Project 561574-EPP-1-2015-1-ES-EPPKA2-CBHE-JP, U.E. Erasmus+ project.

No ANEXO I achéganse os programas dos cursos impartidos.


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8. Actividades de divulgación

8.1. Seminario de Iniciación á Investigación

Na Memoria de Actividaddes do IMAT correspondente ao ano 2017, inclúese unha breve semblanza das orixes do Seminario de Iniciación á Investigación (SII) cuxos principais obxectivos son os seguintes:

O seminario debe ser un foro onde cada participante (normalmente, estudantes de master ou doutorado) poida dar a coñecer o seu traballo e polo tanto, practicar a comunicación do mesmo, esixindo á súa vez unha reflexión profunda dos seus coñecementos.

O seminario debe permitir aos participantes aprender o que outros fan, propiciando a futura colaboración entre os investigadores.

O seminario, mediante a participación da audiencia, debe ser un recurso para un poñente co que captar ideas. Así, a charla non debe versar necesariamente sobre un traballo acabado senón que pode plantexarse un problema sobre o que os asistentes aporten ideas.

As comunicacións incluídas no SII durante o ano 2017 foron as seguintes:

Andrea Meilán Vila Título: Contrastando tendencias espaciales lineales. Data: 13/12/2017 Borja Gandón Villar Título: Una construcción de los cuerpos fintos. Data: 29/11/2017 Érika Diz Pita Título: Reciclando modelos matemáticos. Data: 15/11/2017 Beatriz Álvarez Díaz Título: ¿ E se as bandas de Möbius fosen cilindros? Data: 18/10/2017 Inés Barbeito Cal Título: O bootstrap para a estimación non paramétrica da función de razón de fallo. Data: 04/10/2017


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Alberto Rodríguez Vázquez Título: ¿Por qué as pompas de xabón son redondas? Data: 20/09/2017 Juan Carlos González Aguirre Título: Simulación unidimensional del flujo de aguas someras con fondo movible Data: 03/05/2017 Laura Calaza Díaz Título: Lingüística matemática: a información que se esconde tras as percepcións. Data: 19/04/2017 Cristina Lois Prados Título: Seleccionando ecuaciones diferenciales. Data: 29/03/2017 María Cristina Vilas Taboada Título: Desenredando redes en espacios topológicos. Data: 15/03/2017 Andrés Berridi Puertas Título: Geometría lineal y dualidad en espacios preoyectivos. Data: 01/03/2017 Manuel Cremades Buján Título: Sobre la resolución numérica de ecuaciones diferenciales algebraicas. Data: 15/02/2017 Aida Martínez Amado Título: Resolución numérica del problema de mínimos cuadrados. Data: 1/02/2017

As contribucións ao Seminario de Iniciación á Investigación do ano 2017 recóllense nunha publicación que se achega no ANEXO II.

8.2. Outras actividades de divulgación

Os seguintes actos e xornadas foron organizadas ou impartidas por membros do IMAT:

Xornada de formación SGAPEIO-AGAPEMA 201 https://sgapeio.es/index.php/estatistica-no-ensino/1464-xornada-de-formacion-sgapeio-agapema-2017

https://sgapeio.es/index.php/estatistica-no-ensino/1464-xornada-de-formacion-sgapeio-agapema-2017

https://sgapeio.es/index.php/estatistica-no-ensino/1464-xornada-de-formacion-sgapeio-agapema-2017


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Santiago de Compostela, facultade de Matemáticas, 25 de novembro de 2017. Mª José Ginzo colabora ca Sociedade Galega de Estatística e Investigación de Operacións (SGAPEIO) na organización dos actos. “Matemáticas: habelas hainas, queremos contarchas!” http://www.usc.es/gl/centros/matematicas//CNL/queremoscontarchas.html, Santiago de Compostela, 9 de novembro de 2017. Arís Fanjul Hevia formou parte do comité organizador. Nesta xornada Mª José Ginzo Villamayor impartiu unha charla invitada. “IV Xornada de Usuarios de R en Galicia” https://www.r-users.gal/, Santiago de Compostela, 19 de Outubro do 2017. Mª José Ginzo Villamayor formou parte do comité organizador e científico. VII Fase Nacional de los concursos tipo “Incubadora de Sondaxes e Experimentos” http://www.sgapeio.es Santiago de Compostela, do 03 ao 19 de xunio de 2017. Mª José Ginzo e Balbina Casas colaboran, coa Sociedade Galega de Estatística e Investigación de Operacións (SGAPEIO), na organización dos actos. Xornadas de divulgación da Investigación en Matemáticas http://www.usc.es/export9/sites/webinstitucional/gl/institutos/matematicas/descargas/Horario-Xornadas.pdf Santiago de Compostela, do 14 ao 16 de marzo de 2017. Entidad organizadora: Instituto de Matemáticas da USC 35 anos de colaboración do Observatorio Astronómico R.M.Aller coa AEMET. Los modelos numéricos de predicción del tiempo. "Pasado, presente y futuro" José Antonio García-Moya. Membro da Agencia Estatal de Meteorología (AEMET).

Santiago de Compostela, 2 de marzo ás 11 horas. Aula Magna da Facultade de Matemáticas.

Entidad organizadora: SAM-IMAT, USC

“As matemáticas son aburridas e non sirven para nada....,”

Lugar conferencia 1: IES Nº1 de Ribeira, Ribeira (A Coruña), 2017

Lugar conferencia 2: IES Cernadas de Castro, Lousame (A Coruña), 2017

Lugar conferencia 3: IES Antón Fraguas, Santiago de Compostela (A Coruña), 2017

Lugar conferencia 4: CPR Seminario Menor da Asunción, Santiago de Compostela (A

Coruña), 2017

Poñente: Elena Vázquez Abal.

“As matemáticas son aburridas e non sirven para nada...., - Muller científica = Bicho

raro.”

https://www.r-users.gal/

http://www.sgapeio.es/

http://www.usc.es/export9/sites/webinstitucional/gl/institutos/matematicas/descargas/Horario-Xornadas.pdf

http://www.usc.es/export9/sites/webinstitucional/gl/institutos/matematicas/descargas/Horario-Xornadas.pdf


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Lugar conferencia: Fac. de Matemáticas da USC para o IES Nº1 de Ribeira, Ribeira (A

Coruña), 2017

Poñente: Elena Vázquez Abal.


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9.Publicacións

10.1.Artigos de investigación

Autores: Agarwal R.P., Ahmad B., Nieto J.J. Título: Fractional differential equations with nonlocal (parametric type) anti-periodic boundary conditions. Referencia: Filomat 31 (5), 1207-1214 (2017). Autores: Agarwal P., Nieto J.J., Luo M.-J. Título: Extended Riemann-Liouville type fractional derivative operator with applications. Referencia: Open Mathematics 15 (1), 1667-1681 (2017). Autores: Ahmad B., Nieto J.J., Alsaedi A., Aqlan M.H. Título: A Coupled System of Caputo-Type Sequential Fractional Differential Equations with Coupled (Periodic/Anti-periodic Type) Boundary Conditions. Referencia: Mediterranean Journal of Mathematics 14 (6), 227 (2017). Autores: Aljoudi S., Ahmad B., Nieto J.J., Alsaedi A. Título: On coupled Hadamard type sequential fractional differential equations with variable coefficients and nonlocal integral boundary conditions. Referencia: Filomat 31 (19), 6041-6049 (2017). Autores: Alonso-Meijide, J. M., Álvarez-Mozos, M., Fiestras-Janeiro, M. G. Título: Power indices and minimal winning coalitions for simple games in partition function form. Referencia: Group Decision and Negotiation. 26. pp. 1231–1245. Springer (2017). Autores: Alonso-Meijide, J. M., Álvarez-Mozos, M., Fiestras-Janeiro, M. G., Jiménez-Losada, A. Título: Some structural properties of a lattice of embedded coalitions. Referencia: International Journal of General Systems. 46. pp. 46 (2), 123-143 (2017). Autores: J.A. Álvarez López, R. Barral Lijó. Título: Bounded geometry and leaves. Referencia: Math. Nachr. 290 (2017), 1448-1469. http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/mana.201600223/epdf Autores: A. Álvarez López, M. Calaza Título: Witten’s deformation on strata. Referencia: Asian J. Math. 21 (2017), 47-126. http://dx.doi.org/10.4310/AJM.2017.v21.n1.a2

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/mana.201600223/epdf

http://dx.doi.org/10.4310/AJM.2017.v21.n1.a2


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Autores: Álvarez-Mozos, M., Alonso-Meijide, J. M., Fiestras-Janeiro, M. G. Título: On the externality free Shapley Shubik index. Referencia: Games and Economic Behavior. 105. pp. 148-154 (2017). Autores: L.J. Alvarez-Vázquez, G. Casal, A. Martínez, M.E. Vázquez-Méndez . Título: A novel formulation for designing a monitoring strategy: Application to the design of a river quality monitoring system. Referencia: Environmental Modeling and Assessment (Impact Factor: 1.023, 184 de 229 en “Environmental Sciences”, JCR 2016). Volumen: 22, páxinas: 279-289, data: 2017. Editorial: Springer. Lugar de publicación: Holanda. Autores: L.J. Alvarez-Vázquez, N. García-Chan, A. Martínez, M.E. Vázquez-Méndez. Título: Numerical simulation of air pollution due to traffic flow in urban networks. Referencia: Journal Computational and Applied Mathematics (Impact Factor: 1.357, 63 de 255 en “Mathematics, Applied”, JCR 2016), volumen: 326 páxinas: 44-61 data: 2017 ,editorial: Elsevier, lugar de publicación: Holanda. Autores: Amirfakhrian M., Shakibi K., Rodríguez López R. Título: Fuzzy quasi-interpolation solution for Fredholm fuzzy integral equations of second kind. Referencia: Soft Computing 21 (15), 4323-4333 (2017). Autores: Anguraj A., Kanjanadevi S., Nieto J.J. Título: Mild solutions of Riemann-Liouville fractional differential equations with fractional impulses. Referencia: Nonlinear Analysis: Modelling and Control 22 (6), 753-764 (2017). Autores: Antelo, M; Reyes-Santiás, F; Cadarso-Suárez, C; Rodríguez-Álvarez, MX. Título: Comparing Some Production Functions for Inpatient Health Services in Selected Public Hospitals in Spain. Referencia: Hospital topics. (2017 ) pp. 1 - 9. Autores: Area I., Losada J., Ndaïrou F., Nieto J.J., Tcheutia D.D. Título: Mathematical modeling of 2014 Ebola outbreak. Referencia: Mathematical Methods in the Applied Sciences 40 (17), 6114-6122 (2017). Autores: Arias Castro, E., Rodríguez-Casal, A. Título: . On estimating the perimeter using the alpha-shape. Referencia: Annales de l’Institut Henri Poincaré. 53. pp. 1051-1068 (2017). Autores: M. Arias-Rodil, U. Diéguez-Aranda, M.E. Vázquez-Méndez. Título: A differentiable optimization model for the management of single-species, even-aged stands .


52

Referencia: Canadian Journal of Forest Research (Impact Factor: 1.827, 16 de 64 en “Forestry”, JCR 2016). Volumen: 47 páxinas: 506-514 data: 2017, editorial: canadian science publishing, nrc research press, lugar de publicación: Canada. Autores: Bai L., Nieto J.J. Título: Variational approach to differential equations with not instantaneous impulses. Referencia: Applied Mathematics Letters 73, 44-48 (2017). Autores: Bai L., Nieto J.J., Wang X.Y. Título: Variational approach to non-instantaneous impulsive nonlinear differential equations. Referencia: Journal of Nonlinear Sciences and Applications 10 (5), 2440-2448 (2017). Autores: Barja-Fernández S, Aguilera CM, Martínez-Silva I, Vazquez R, Gil-Campos M, Olza J, Bedoya J, Cadarso-Suárez C, Gil Á, Seoane LM, Leis R. Título: 25-Hydroxyvitamin D levels of children are inversely related to adiposity assessed by body mass index. Referencia: J Physiol Biochem. (2017) doi: 10.1007/s13105-017-0581-1. Autores: Benaissa A., Benchohra M., Nieto J.J. Título: Random functional evolution equations with state-dependent delay. Referencia: Annals of the Academy of Romanian Scientists: Series on Mathematics and its Applications 9 (2), 171-185 (2017). Autores: Benchohra M., Nieto J.J., Ouahab A. Título: Impulsive differential inclusions via variational method. Referencia: Georgian Mathematical Journal 24 (3), 313-323 (2017) Autores: Benchohra M., Nieto J.J., Rezoug N. Título: Second order evolution equations with nonlocal conditions. Referencia: Demonstratio Mathematica 50 (1), 309-319 (2017). Autores: M. Benítez; A. Bermúdez; J. F. Rodríguez-Calo. Título: Adjoint method for parameter identification problems in models of stirred tank chemical reactors. Referencia: Chemical Engineering Research and Design, vol. 123, pp. 214-229, 2017. Autores: Benito, M., García-Portugués, Eduardo, Marron, J. Steven, Peña, D. (2017). Título: Distance-weighted discrimination of face images for gender classification. Referencia:. Stat. 6. pp. 231–240. Wiley. Autores: Berdyshev A.S., Birgebaev A.B., Cabada A. Título: On the smoothness of solutions of the third order nonlinear differential equation. Referencia: Boundary Value Problems 2017 69 (2017).


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Autores: A. Bermúdez, N. Esteban, J.L. Ferrín, J.F. Rodríguez-Calo e M.R. Sillero-Denamiel. Título: Identification problem in plug-flow chemical reactors using the adjoint method. Referencia: Computer & Chemical Engineering, 98, 80- 88, 2017 DOI: 10.1016/ j.compchemeng.2016.11.029 (2017). Autores: A. Bermúdez, L. Dupré, D. Gómez, P. Venegas. Título: Electromagnetic computations with Preisach hysteresis model. Referencia: Finite Elements in Analysis and Design, vol. 126, pp. 65–74, 2017. Autores: Alfredo Bermúdez , Dolores Gómez , Marta Piñeiro, Pilar Salgado , Pablo Venegas. Título: Numerical Simulation of Magnetization and Demagnetization Processes. Referencia: IEEE Transactions on Magnetics, Volume 53, Issue 12, decembro 2017. Autores: A. Bermúdez; J. González-Díaz; F. J. González-Diéguez. Título: Existence of solution to a model for gas transportation networks on non-flat topography. Referencia: Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol. 37, pp. 71-93, 2017. Autores: A. Bermúdez, P. Piñeiro, R. Rodríguez, P. Salgado. Título: Analysis of an ungauged T,Φ-Φ formulation of the eddy current problem with currents and voltage excitations. Referencia: ESAIM – Mathematical Modelling and Numerical Analysis (M2AN), vol. 51, pp. 2487-2509. Autores: Alfredo Bermúdez, Xián López, M Elena Vázquez-Cendón. Título: Finite volume methods for multi-component Euler equations with source terms. Referencia: Computers & Fluids, vol. 156, pp. 113-134, 2017. Autores: Alfredo Bermúdez, Xián López, M Elena Vázquez-Cendón. Título: Treating network junctions in finite volume solution of transient gas flow models. Referencia: Journal of Computational Physics, vol. 344, pp. 187–209, 2017. Autores: J. Berndt, J. C. Díaz-Ramos, M. Vanaei. Título: Cohomogeneity one actions on Minkowski spaces. Referencia: Monatsh. Math. 184 (2017), 185-200. Autores: Borrajo García, M.I., González-Manteiga, W., Martinez Miranda, M.D. Título: Bandwidth selection for kernel density estimation with length-biased data. Referencia: (2017). Journal of Nonparametric Statistics. 29 (3). pp. 636-668.


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Autores: Cabada A., Dimitrijevic S., Tomovic T., Aleksic S. Título: The existence of a positive solution for nonlinear fractional differential equations with integral boundary value conditions. Referencia: Mathematical Methods in the Applied Sciences 40 (6), 1880-1891 (2017). Autores: Cabada A., Dimitrov N.D. Título: Existence of solutions of nonlocal perturbations of Dirichlet discrete nonlinear problems. Referencia: Acta Mathematica Scientia 37 (4), 911-926 (2017). Autores: Cabada A., Enguiça R., López-Somoza L. Título: Positive solutions for second-order boundary-value problems with sign changing Green’s functions. Referencia: Electronic Journal of Differential Equations 2017 245 (2017). Autores: Cabada A., Hamdi Z. Título: Existence results for nonlinear fractional Dirichlet problems on the right side of the first eigenvalue. Referencia: Georgian Mathematical Journal 24 (1), 41-53 (2017). Autores: Cabada A., Kisela T. Título: Existence of positive periodic solutions of some nonlinear fractional differential equations. Referencia: Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 50, 51-67 (2017). Autores: Cabada A., López-Somoza, L., Minhós F. Título: Existence, non-existence and multiplicity results for a third order eigenvalue three-point boundary value problem. Referencia: Journal of Nonlinear Sciences and Applications 10, 5445-5463 (2017). Autores: Cabada A., Saavedra L. Título: Characterization of non-disconjugacy for a one parameter family of nth-order linear differential equations. Referencia: Applied Mathematics Letters 65, 98-105 (2017). Autores: Cabada A., Saavedra L. Título: Characterization of constant sign Green’s function for a two-point boundary-value problem by means of spectral theory. Referencia: Electronic Journal of Differential Equations 2017 146, 1-96 (2017). Autores: Cabada A., Saavedra L. Título: Constant sign solution for a simply supported beam equation. Referencia: Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations 2017 59 (2017).


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Autores: Cabada A., Saavedra L. Título: Constant sign Green's function for simply supported beam equation. Referencia: Advances in Differential Equations 22 5/6, 403-432 (2017). Autores: Cabada A., Tojo F.A.F. Título: On linear differential equations and systems with reflection. Referencia: Applied Mathematics and Computation 305, 84-102 (2017). Autores: Cabada A., Tojo F.A.F. Título: Green’s Functions for Reducible Functional Differential Equations. Referencia: Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society 40 (3), 1071-1092 (2017). Autores: Cadarso-Suárez A, Dopico-Calvo X, Iglesias-Soler E, Cadarso-Suárez C, Gude-Sampedro F. Título: Health related to quality of life and their relationship with adherence to the mediterranean diet and physical activity at the university in Galicia. Referencia: Nutr. clín. diet. hosp. (2017). Autores: Cadarso-Suárez C, Klein N, Kneib T, Molenberghs G, Rizopoulos D. Título: Joint modeling of longitudinal and time-to-event data and beyond. Referencia: Biom J. 59(6):1101-1103 (2017). doi: 10.1002/bimj.201700180. Editorial. Autores: E. Calviño-Louzao, M. Fernández-López, E. García-Río, R. Vázquez-Lorenzo. Título: Homogeneous Ricci almost solitons. Referencia: Israel J. Math. Volumen: 220 páxinas 531-546 data: 2017, lugar de publicación: Israel. Autores: E. Calviño-Louzao, E. García-Río, I. Gutiérrez-Rodréguez, R. Vázquez-Lorenzo Título: Conformal geometry of non-reductive four-dimensional homogeneous spaces. Referencia: Math. Nachr. Volumen: 290 Páxinas, 1470 -1490, data: 2017, lugar de publicación: Alemania. Autores: Cao Labora D., Rodríguez-López R. Título: From fractional order equations to integer order equations. Referencia: Fractional Calculus and Applied Analysis 20 (6), 1405-1423 (2017). Autores: G. Casal, D. Santamarina, M.E. Vázquez-Méndez. Título: Optimization of horizontal alignment geometry in road design and reconstruction . Referencia: Transportation Research Part C- Emerging Technologies (Impact Factor: 3.805, 5 de 34 en “Transportation Science & Technology”, JCR 2016). Volumen: 74


56

páxinas: 261-274, data: 2017 (doi: 10-1016/j.trc.2016.11.019), editorial: Elsevier. Lugar de publicación: Reino Unido. Autores: Catalán-López, S., Cadarso-Suárez, L., López-Ratón, M., Cadarso-Suárez C. Título: Analysis of Corneal Biomechanics in Asymmetric Keratoconic with a Scheimpflug-Based Tonometer. Referencia: Optometry and Vision Science, 1st revision (2017). Autores: Conde Amboage M., González-Manteiga, W., Sánchez Sellero, C. Título: Predicting trace gas concentrations using quantile regression models. Referencia: Stochastic Environmental Research and Risk Assessment. 31. pp. 1359-1370. Springer. ISSN: 1436-3240 (2017). Autores: Crujeiras, R. Título: An introduction to statistical methods for circular data. Referencia: BEIO. 33. pp. 85-107. ISSN: 2387-1725 (2017). Autores: Cuesta-Albertos, J.A., Febrero-Bande, M., Oviedo, M. Título: The DD^G-classifier in the functional setting. Referencia: TEST. 26. pp. 119-142. Springer (2017). Autores: Debbouche A., Nieto J.J., Torres D.F.M. Título: Optimal Solutions to Relaxation in Multiple Control Problems of Sobolev Type with Nonlocal Nonlinear Fractional Differential Equations. Referencia: Journal of Optimization Theory and Applications 174 (1), 7-31 (2017). Autores: Deiveegan A., Prakash P., Nieto J.J. Título: Optimization method for identifying the source term in an inverse wave equation. Referencia: Electronic Journal of Differential Equations 2017 200 (2017). Autores: J. C. Díaz-Ramos, M. Domínguez-Vázquez, A. Kollross. Título: Polar actions on complex hyperbolic spaces. Referencia: Math. Z. 287 (2017), 1183-1213. Autores: J. C. Díaz-Ramos, M. Domínguez-Vázquez, V. Sanmartín-López. Título: Soparametric hypersurfaces in complex hyperbolic spaces . Referencia: Adv. Math. 314 (2017), 756-805. Autores: J. C. Díaz-Ramos, M. Domínguez-Vázquez, C. Vidal-Castiñeira. Título: Isoparametric submanifolds in two-dimensional complex space forms. Referencia: Ann. Glob. Anal. Geom. (por aparecer). Autores: J. C. Díaz-Ramos, M. Domínguez-Vázquez, C. Vidal-Castiñeira. Título: Strongly 2-Hopf hypersurfaces in complex projective and hyperbolic planes.


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Referencia: Ann. Mat. Pura Appl. 53 (2018), 205-216. Autores: J. C. Díaz-Ramos, M. Domínguez-Vázquez, C. Vidal-Castiñeira. Título: Real hypersurfaces with two principal curvatures in complex projective and hyperbolic planes. Referencia: J. Geom. Anal. 27 (2017), 442-465. Autores: J. C. Díaz-Ramos, S. M. B. Kashani, M. Vanaei. Título: Cohomogeneity one actions on anti de Sitter spacetimes. Referencia: Results Math. 72 (2017), 515-536. Autores: Ding X.-L., Nieto J.J. Título: Analytical solutions for coupling fractional partial differential equations with Dirichlet boundary conditions. Referencia: Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 52, 165-176 (2017). Autores: Ding H.S., Liu M.M., Nieto J.J. Título: Multiple Positive Solutions for Quadratic Integral Equations of Fractional Order. Referencia: Journal of Functions Spaces 2017, 4571067 (2017). Autores: Ding X.-L., Nieto J.J. Título: Numerical Analysis of Fractional Neutral Functional Differential Equations Based on Generalized Volterra-Integral Operators. Referencia: Journal of Computational and Nonlinear Dynamics 12 (3), 031018 (2017). Autores: Duarte E, de Sousa B, Cadarso-Suárez C, Klein N, Kneib T, Rodrigues V. Título: Studying the relationship between a woman's reproductive lifespan and age at menarche using a Bayesian multivariate structured additive distributional regression model. Referencia: Biom J. 59(6):1232-1246 (2017). doi: 10.1002/bimj.201600245. Autores: Duarte E., de Sousa B., Cadarso-Suárez C., Kneib T., Rodrigues V. Título: Exploring risk factors in breast cancer screening program data using structured geoadditive models with high order interaction. Referencia: Spatial Statistics (2017) doi.org/10.1016/j.spasta.2017.07.004. Autores: Abul Farah Md.Hasanuzzaman, Diego Robledo, Antonio Gómez-Tato,Jose A. Alvarez Dios, Peter W.Harrison, Asunción Cao, Sergio Fernández-Boo, Antonio Villalba, Belén G.Pardo, PaulinoMartínez. Título: Transcriptomic profile of Manila clam (Ruditapes philippinarum) haemocytes in response to Perkinsus olseni infection.


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Referencia: AQUACULTURE Vol. 467. páxinas 170-181. 10.1016/j.aquaculture.2016.06.007 Autores: Febrero-Bande, M., Galeano, P., González-Manteiga, W. Título: Functional Principal Component Regression and Functional Partial Least--squares Regression: An Overview and a Comparative Study. Referencia: International Statistical Review. 85(1). pp. 61-83. Wiley. ISSN: 0306-7734 (2017). Autores: Fernández-Antonio, Díaz, J.M., Alonso-Meijide, J. M., Morrondo Pelayo, M.P., Fernández, G. Título: Distribution of Aleutian mink disease virus contamination in the environment of infected mink farms. Referencia: Veterinary Microbiology. 204. pp. 59-63. Elsevier (2017). Autores: F.J. Fernández, L.J. Alvarez-Vázquez, A. Martínez, M.E. Vázquez-Méndez. Título: A 3D optimal control problem related to the urban heat islands. Referencia: Journal of Mathematical Analysis and Applications (Impact Factor: 1.064, 53 de 310 en “Mathematics”, JCR 2016). Lumen: 446 páxinas: 1571-1605, editorial: Elsevier (2017) lugar de publicación: usa Autores: Frigon M., Pouso R.L. Título: Theory and applications of first-order systems of Stieltjes differential equations. Referencia: Advances in Nonlinear Analysis 6 (1), 13-26 (2017). Autores: Fuentes-Santos, I., González-Manteiga, W., Mateu, J. Título: A first-order ratio based nonparametric separability test for spatiotemporal point processes. Referencia: Environmetrics. Early view since 6/11/2017. Autores: Fuentes-Santos, I., González-Manteiga, W., Mateu, J. Título: A nonparametric test for the comparison of first order structures of spatial point processes. Referencia: Spatial Statistics. 22. pp. 240-260. Elsevier (2017). Autores: García-Portugués, Eduardo, Sørensen, M., Mardia, K.V., Hamelryck, T. Título: Langevin diffusions on the torus: estimation and applications. Referencia: (2017) Statistics and Computing. Autores: Golden, M., García-Portugués, Eduardo, Sørensen, M., Mardia, K.V., Hamelryck, T., Hein, J. Título: . A generative angular model of protein structure evolution. Referencia: Molecular Biology and Evolution (2017).. 34. pp. 2085–2100. Oxford University Press.


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Autores: Gómez Melis G.; Cadarso-Suárez C. Título: El modelo de riesgos proporcionales de Cox y sus extensiones. Impacto en Estadística y Biomedicina. Referencia: Gaceta de la RSME, 20 (3). ISSN: 1138-8927 (2017). Autores: González-Díaz, J., Bermúdez de Castro, A., González Diéguez, F. J. Título: Existence of solution to a model for gas transportation networks on non-flat topography. Referencia: Nonlinear Analysis: Real World Applications. 37. pp. 71-93. Elsevier. ISSN: 1468-1218 (2017). Autores: Guler I, Faes C, Cadarso-Suárez C, Teixeira L, Rodrigues A, Mendonça D. Título: Two-stage model for multivariate longitudinal and survival data with application to nephrology research. Referencia: Biom J. 59(6):1204-1220 (2017). doi: 10.1002/bimj.201600244. Autores: Hamani S., Henderson J., Nieto J.J. Título: Boundary value problem for fractional differential equations with nonlocal conditions in Banach spaces. Referencia: Fixed Point Theory 18 (2), 591-600 (2017). Autores: Javidi M., Nieto J.J. Título: Dynamic analysis of a fractional order three–level food chain model. Referencia: Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Series B: Applications and Algorithms 24 (4), 247-267 (2017). Autores: Jleli M., Nieto J.J., Samet B. Título: Lyapunov-type inequalities for a higher order fractional differential equation with fractional integral boundary conditions. Referencia: Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations 2017 16 (2017). Autores: Lan H.-Y., Nieto J.J., Cui Y.-S. Título: Global exponential stability of general A-monotone implicit fuzzy proximal dynamical systems in Banach spaces. Referencia: Soft Computing 21 (11), 3113-3121 (2017). Autores: Luis León-Mateos, Helena Casas, Alicia Abalo, María Vieito, Manuel Abreu, Urbano Anido, Antonio Gómez-Tato, Rafael López, Miguel Abal and Laura Muinelo-Romay. Título: Improving circulating tumor cells enumeration and characterization to predict outcome in first line chemotherapy mCRPC patients.


60

Referencia: ONCOTARGET Vol. 8, número 33, páxinas 54708-54721. 10.18632/oncotarget.18025. Autores: Losada J., Nieto J.J., Pourhadi E. Título: On the attractivity of solutions for a class of multi-term fractional functional differential equations. Referencia: Journal of Computational and Applied Mathematics 312, 2-12 (2017). Autores: Enrique Macías-Virgós, María José Pereira-Sáez, Daniel Tanré. Título: Morse theory and Lusternik-Schnirelmann category of quaternionic grassmannians. Referencia: PROCEEDINGS EDINBURGH MATH. SOCIETY 60, 441--449 (2017). Autores: Enrique Macías-Virgós, John Oprea, Jeff Strom, Daniel Tanré. Título: Height functions on quaternionic Stiefel manifolds . Referencia: JOURNAL OF THE RAMANUJAN MATHEMATICAL SOCIETY 32, No.1, 1--16 (2017). Autores: Elena Martinez-Garcia, Antoine Lesur, Laura Devis, Silvia Cabrera, Xavier Matias-Guiu, Marc Hirschfeld, Jasmin Asberger, Jan van Oostrum, María de los Ángeles Casares de Cal, Antonio Gómez-Tato, Jaume Reventos, Bruno Domon, Eva Colas, Antonio Gil-Moreno. Título: Targeted proteomics identifies proteomic signatures in liquid-biopsies of the endometrium to diagnose endometrial cancer and assist in the prediction of the optimal surgical treatment. Referencia: Clinical Cancer Research, Vol. 23(21), páxinas 6458-6467, data: novembro 2017, lugar de publicación: EE.UU. 10.1158/1078-0432.CCR-17-0474. Autores: A. Martínez, R. Muñoz-Sola, M.E. Vázquez-Méndez, L.J. Alvarez-Vázquez. Título: A local regularity result for Neumann parabolic problems with nonsmooth data. Referencia: Indagationes Mathematicae-New Series (Impact Factor: 0.276, 295 de 310 en “Mathematics”, JCR 2016). Volumen: 28, no. 2, páxinas: 494-515, data: 2017, editorial: Elsevier , lugar de publicación: Holanda. Autores: Masjed-Jamei M., Soleyman F., Area I., Nieto J.J. Título: On (p,q)-classical orthogonal polynomials and their characterization theorems. Referencia: Advances in Difference Equations 2017 186 (2017). Autores: Matabuena Rodríguez M, Diz Dios P, Cadarso-Suárez C, Diniz-Freitas M, Outumuro Rial M, Abeleira Pazos MT, Limeres Posse J. Título: Reassessment of fluctuating dental asymmetry in Down syndrome. Referencia: Sci Rep. 7(1):16679 (2017). doi: 10.1038/s41598-017-16798-0. PubMed PMID: 29192202; PubMed Central PMCID: PMC5709470.


61

Autores: Monsalve-Cobis, Abelardo E., González-Manteiga, W., Stute, W. Título: The statistical impact of inflation on interest rates. Referencia: (2017). Communications in Statistics-Theory and Methods. 46(14). pp. 6754-6763. ISSN: 0361-0926. Autores: M. R. Mosquera Losada, Amador-García, A., Muñoz Ferreiro, N., Santiago-Freijanes, J.J., Ferreiro-Domínguez, Nuria, Romero-Franco, Rosa, A. Rigueiro Rodríguez Título: Sustaintable use of sewage sludge in acid soils within a circular economy perspective. Referencia: (2017). Catena. 149. pp. 341-348. Elsevier. ISSN: 0341-8162. Autores: Nieto J.J., Samet B. Título: Solvability of an implicit fractional integral equation via a measure of noncompactness argument. Referencia: Acta Mathematica Scientia 37 (1), 195-204 (2017). Autores: Nyamoradi N., Rodríguez-López R. Título: Multiplicity of solutions to fractional Hamiltonian systems with impulsive effects. Referencia: Chaos, Solitons and Fractals 102, 254-263 (2017). Autores: Oliveira, M., Crujeiras, R., Rodríguez-Casal, A. Título: . Discussion on Statistical Scale Space Methods. Referencia: (2017). International Statistical Review. 85. pp. 31-32. Wiley. ISSN: 0306-7734. Autores: Ríos-Pena L, Kneib T, Cadarso-Suárez C, Marey-Pérez M. Título: Predicting the occurrence of wildfires with binary structured additive regression models. Referencia: J Environ Manage ( 2017). 187:154-165. doi: 10.1016/j.jenvman. Autores: Diego Robledo; Ana Paula Martin; José Antonio Alvarez-Dios; Belén Gómez Pardo; Carmen Bouza; e Paulino Martínez. Título: First characterization and validation of turbot microRNAs. Referencia: AQUACULTURE Volumen: 472 Número especial: SI Suplemento: S Páxinas: 76-83 Data de publicación: abril 1 2017. Autores: Rodríguez-Álvarez M.X., Roca-Pardiñas J., Cadarso-Suarez C. and Tahoces P.G. Título: Bootstrap-based procedures for inference in nonparametric ROC regression analysis. Referencia: Statistical Methods in Medical Research (2017). 962280217742542. doi: 10.1177/0962280217742542. [Epub ahead of print] PubMed PMID: 29233083.


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Autores: Rodríguez-Bermúdez, R., Miranda, M., Orjales, I., Rey-Crespo, F., Muñoz Ferreiro, N., López-Alonso, M. Título: Holstein-Friesian milk performance in organic farming in North Spain: Comparison with other systems and breeds. Referencia: (2017). Spanish Journal of Agricultural Research. 15(1). Instituto Nacional de Investigación y Tecnología Agraria y Alimentaria (INIA). ISSN: 2171-9292. Autores: El-Shahed M., Nieto J.J., Ahmed A., Abdelstar I. Título: Fractional-order model for biocontrol of the lesser date moth in palm trees and its discretization. Referencia: Advances in Difference Equations 2017 295 (2017). Autores: Singh J., Kumar D., Nieto J.J. Título: Analysis of an El Nino-Southern Oscillation model with a new fractional derivative. Referencia: Chaos, Solitons and Fractals 99, 109-115 (2017). Autores: Soleyman F., Area I., Masjed-Jamei M., Nieto J.J. Título: Representation of (p,q)-Bernstein polynomials in terms of (p,q)-Jacobi polynomials. Referencia: Journal of Inequalities and Applicacions 2017 167 (2017). Autores: C. Spiller, E.F. Toro, M.E. Vázquez-Cendón, C. Contarino. Título: On the exact solution of the Riemann problem for blood flow in human veins, including collapse. Referencia: Applied Mathematics and Computation, vol. 303, pp. 178–189, 2017. Autores: Tapaswini S., Chakraverty S., Nieto J.J. Título: Numerical solution of fuzzy boundary value problems using Galerkin method. Referencia: Sadhana - Academy Proceedings in Engineering Sciences 42 (1), 45-61 (2017). Autores: Thaden H., Maria P. Pata., Cadarso-Suárez C., Kneib T. Título: lntegrating Multivariate Conditionally Autoregressive Spatial Priors into Recursive Bivariate Models for Analysing Environmental Sensitivity of Mussels. Referencia: Spatial Statistics (2017). Autores: Tian Y., Nieto J.J. Título: The Applications of Critical-Point Theory to Discontinuous Fractional-Order Differential Equations. Referencia: Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 60 (4), 1021-1051 (2017).


63

Autores: Tojo F.A.F., Torres P. Título: Green’s functions of partial differential equations with involutions Referencia: Journal of Applied Analysis and Computation 7 (3), 1127-1138 (2017). Autores: Tomás, N. Arias-Bujanda, M. Alonso-Sampedro, M. A. Casares-de-Cal, C. Sánchez- Sellero, D. Suárez-Quintanilla, C. Balsa-Castro. Título: Cytokine-based Predictive Models to Estimate the Probability of Chronic Periodontitis: Development of Diagnostic Nomograms. Referencia: Scientific Reports, Vol.7(1), páxinas11580-1 - 11580-15, setembro 2017, lugar de publicación: Reino Unido. Autores: Yang X.-J., Machado J.A.T., Nieto J.J. Título: A new family of the local fractional PDEs. Referencia: Fundamenta Informaticae 151 1-4, 63-75 (2017). Autores: Zhang L., Nieto J.J., Wang G. Título: Extremal solutions for a nonlinear impulsive differential equations with multi-orders fractional derivatives. Referencia: Journal of Applied Analysis and Computation 7 (3), 814-823 (2017).


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10.2. Artigos derivados de congresos

Autores: L.J. Alvarez-Vázquez, A. Martínez, C. Rodríguez, M.E. Vázquez-Méndez . Título: Preliminary steps in the modelling of heavy metals phytoremediation. Congreso: CMN 2017 Congress on Numerical Methods in Engineering (ISBN: 978-84-947311-0-5) Clave: cl, páxinas: 99-108, data: 2017, editorial: International Center For Numerical Methods In Engineering (Cimne), lugar de publicación: Barcelona. Autores: Santiago Codesido, Adrián Fernández Tojo. Título: Differential systems with reflection and matrix invariants. Congreso: 17th International Conference on Computational and Mathematical Methods in Science and Engineering . Autores: J. C. Díaz-Ramos, M. Domínguez-Vázquez, V. Sanmartín-López. Título: Anti-De Sitter spacetimes and isoparametric hypersurfaces in complex hyperbolic spaces. Referencia: Lorentzian Geometry and Related Topics: GeLoMa 2016, Málaga, Spain, September 20-23 (aparecerá). Autores: Rodríguez Veiga, J.; Ginzo-Villamaior, M.J. e Casas-Méndez, B. Título: Un modelo de programación matemática para la selección y asignación temporal de recursos aéreos destinados a la contención de un incendio forestal. Congreso: XIII Congreso Galego de Estatística e Investigación de Operacións. Publicación: ACTAS XIII Congreso Galego de Estatística e Investigación de Operacións Ferrol do 26 ao 28 de outubro de 2017. ISBN 978-84-697-6999-7 Pág. 281-292. Tipo de participación: Comunicación Oral. Lugar celebración: Ferrol (España), data: 26-10-2017 ao 28-10-2017. Autores: M.E. Vázquez-Méndez, L.J. Alvarez-Vázquez, N. García-Chan, A. Martínez. Título: Vehicular traffic and air pollution in metropolitan areas: A mathematical approach. Congreso: CMN 2017 Congress on Numerical Methods in Engineering (ISBN: 978-84-947311-0-5), clave: cl, páxinas: 135-150, data: 2017, editorial: International Center For Numerical Methods In Engineering (Cimne), lugar de publicación: Barcelona.


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10.3 Capítulos de libros

Variable selection in Functional Additive Regression Models Functional Statistics and Related Fields. pp. 113-122.

Autores: Febrero-Bande, M., González-Manteiga, W., Oviedo, M.

Editor: Springer, Cham. ISSN: 978-3-319 (2017). Goodness of Fit Test for Stochastic Volatility Models pp. 89-104. From Statistics to Mathematical Finance. Autores: González-Manteiga, W., Zubelli, J., Monsalve-Cobis, Abelardo E., Febrero-Bande, M. Editor: Festschrift in Honour of Winfried Stute. Springer( 2017).

10.4 Libros

Autores: Cabada A., Cid J.Á., López-Somoza L.

Título: Maximum Principles for the Hill’s Equation.

Referencia: Editorial: Elsevier, ISBN: 9780128041178, ano: 2017.

Autores: E. Calviño-Louzao, E. García-Río, P. Gilkey, J. H. Park, R. Vázquez-Lorenzo. Título: Aspects of Differential Geometry III. Referencia: Synthesis Lectures on Mathematics and Statistics. Libro completo. Volumen: 18. Páxinas, inicial: 1 final: 159. Data: 2017. Editorial: Morgan & Claypool Publishers (ISBN: 9781627056861). Lugar de publicación: EE.UU. Autores: Coladas Uria, Luis, Fernández Sotelo, María Ángeles . Título: Técnicas de Investigación Social. Referencia: (ISBN: 978-84-697-5686-7). USC. Autores: Ginzo-Villamayor, M.J. Título: IV XORNADA DE USUARIOS R EN GALICIA PROGRAMA E RESUMOS. Editor: Ginzo-Villamayor, MJ. Autores: Mougán Bouzón, H., Rodríguez Ferreiros, R., Cabaleiro Casal, M.J., Ginzo-Villamayor, M.J., Rey Louzán, S. Título: Coñecendo as cooperativas de horta e de flor. Referencia: Consellería de Economía, Emprego e Industria. Xunta de Galicia. Dep. Legal: C-278/2017. Autores: Patricia Barral; Dolores Gómez; Francisco Pena; Peregrina Quintela; Jerónimo Rodríguez; Pilar Salgado; Miguel Vézquez-Méndez. Título: Progress in Industrial mathematics at ECMI 2016. Referencia: Editorial: Springer, 2017. ISBN 978-3-319-63081-6


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10.Información institucional

11.1.Dirección

Director: Alberto Cabada Fernández Secretaria: María del Carmen Carollo Limeres Enderezo: Facultade de Matemáticas. Campus Vida 15782 Santiago de Compostela Teléfono: 881813206 /881813203 Fax: 881813197 Correo electrónico: [email protected]; [email protected]; [email protected]

11.2.Composición da Xunta de Goberno

Juan Viaño Rey (Reitor da Universidade de Santiago de Compostela) María Elena Vázquez Cendón (Decana da Facultade de Matemáticas) Alberto Cabada Fernández (Director do IMAT) María del Carmen Carollo Limeres (Secretaria do IMAT) Eduardo García Río Wenceslao González Manteiga Juan José Nieto Roig

11.3.Composición do Consello Científico

Leovigildo Alonso Tarrío Alberto Cabada Fernández (Presidente) Eduardo García Río Antonio Gómez Tato Wenceslao González Manteiga Manuel Ladra González Juan José Nieto Roig María del Carmen Carollo Limeres (Secretaria) María Victoria Otero Espinar Alberto Rodríguez Casal Miguel Ángel Vilar Rivas

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]


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11.4.Membros do Instituto de Matemáticas (2017)

Dr. Fernando Alcalde Cuesta, C/3. Dr. Jose María Alonso Meijide, C/3. Dr. Leovigildo Alonso Tarrio, C/3. Dr. Jesús Antonio Alvarez López, C/3. Dr. José Antonio Alvarez Dios, C/3. Dr. Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela, C/3. Dr. Agustín Bonome Dopico, C/3. Dr. Alberto Cabada Fernández, C/3. Dra. Carmen María Cadarso Suarez, C/3. Dra. María del Carmen Carollo Limeres, C/3. Dra. María Angeles Casares de Cal, C/3. Dra. Balbina Virginia Casas Méndez, C/3. Dra. Regina Castro Bolaño, C/3. Dr. Luis Coladas Uría, C/3. Dra. Rosa María Crujeiras Casais, C/3. Dr. José Carlos Díaz Ramos, C/3. Dr. Pedro Faraldo Roca, C/3. Dr. Manuel Febreiro Bande, C/3. Dra. Rosa María Fernández Rodríguez, C/3. Dra. María Angeles Fernández Sotelo, C/3. Dr. Fernando Adrián Fernández Tojo, C/3 Dr. José Manuel Fernández Vilaboa, C/3. Dr. Juan Bosco Ferreiro Darriba, C/3. Dr. José Luis Ferrín González, C/3. Dr. Felipe Gago Couso, C/3. Dr. Eduardo García Rio, C/3. Dr. Antonio García Rodicio, C/3. Dna. María José Ginzo Villamaior. Dr. José Luis Gómez Pardo, C/3. Dra. Dolores Gómez Pedreira, C/3. Dr. Antonio Gómez Tato, C/3. Dr. Julio González Díaz, C/3. Dr. Wenceslao González Manteiga, C/3. Dr. Luis María Hervella Torrón, C/3. Dra. Ana María Jeremías López, C/3. Dr. Manuel Eulogio Ladra González, C/3. Dra. María Purificación López López, C/3. Dr. Óscar López Pouso, C/3. Dr. Rodrigo López Pouso, C/3. Dr. Enrique Macías Virgós, C/3. Dr. Xosé María Masa Vázquez, C/2.


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Dra. Pilar Mato Eiroa, C/3. Dra. María del Carmen Muñiz Castiñeira, C/3. Dr. Rafael Muñoz Sola, C/3. Dr. Juan José Nieto Roig, C/3. Dra. M. Victoria Otero Espinar, C/3. Dr. José Antonio Oubiña Galiñanes, C/3. Dra. Beatríz Pateiro López, C/3 Dr. José Manuel Prada Sánchez, C/3. Dra. Peregrina Quintela Estévez, C/3. Dr. Luís Alberto Ramil Novo, C/3 Dr. Alberto Rodríguez Casal, C/3. Dr. Celso Rodríguez Fernández, C/3. Dr. Jerónimo Rodríguez García, C/3. Dra. Nieves Rodríguez González, C/3. Dra. Carmen Rodríguez Iglesias, C/3. Dra. Rosana Rodríguez López, C/3. Dr. Modesto Ramón Salgado Seco, C/3. Dra. María Luisa Seoane Martínez, C/3. Dr. Juan Francisco Torres Lopera, C/5. Dra. Rosa María Trinchet Soria, C/3. Dra. María Jesús Vale Gonsalves, C/3. Dra. María Elena Vázquez Abal, C/3. Dra. María Elena Vázquez Cendón, C/3. Dr. Miguel Ernesto Vázquez Méndez, C/3. Dr. Juan Viaño Rey, C/3. Dr. Miguel Angel Vilar Rivas, C/3.

C/n: Fracción da súa xornada investigadora que dedica ao IMAT.

Colaboradores do IMAT

Dr. Lino J. Álvarez Vázquez (Universidade de Vigo).

Dr. Miguel Brozos Vázquez (Universidade da Coruña).

Dr. Ángel Cid Araújo (Universidade de Vigo).

Dr. Eduardo Liz Marzán (Universidade de Vigo).

Dra. Áurea Martínez Varela (Universidade de Vigo).

Dr. Salvador Naya Fernández (Universidade da Coruña).

Dr. Andrés Prieto Aneiros (Universidade da Coruña).

Dra. Ana Belén Rodríguez Raposo (Universidade da Coruña).


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ANEXO I. MEMORIA DO PLAN DE LANZAMENTO DE MATEMÁTICAS 2017-2019

Memoria Plan de acción de Matemáticas 2017-2019

O Plan de Acción consta de 3 apartados fundamentais:

A. REDISEÑO ORGANIZATIVO COMO ÁREA DE MATEMÁTICAS

B. PROMOCIÓN E DESENVOLVEMENTO DA CARREIRA CIENTÍFICA

C. VINCULACIÓN, VALORIZACIÓN E TRANSFERENCIA

O primeiro apartado subdivídese, á súa vez, en dous:

A 2.1 Apoio á xestión de I+D

A 2.3 Programa de captación de fondos

A 2.1 Apoio á xestión de I+D

Contratouse a D. Alejandro Fraga Fontoira como xestor de I+D do IMAT.

A 2.3 Programa de captación de fondos

Dentro do Programa de captación de fondos, encargáronse dous estudos a dúas

consultoras. O primeiro deles foi realizado pola consultora Zabala, e nel recompílanse

as axudas ofertadas pola Comisión Europea ás que os membros do IMAT poden

concorrer.

O segundo foi encargado á consultora How2Go. O servizo quedou definido como un

estudo de mercado a nivel mundial para identificar, analizar e illar os programas de

financiamento e participación en proxectos cooperativos ou individuais ós que os grupos

de investigación do IMAT poidan optar a nivel internacional; tanto de orixe pública non

comunitaria como privados.

O apartado B está subdividido nos cinco seguintes:


71

B 1.2 Estudio para o seguimento da carreira científica

B 2.1 Programa de contratos Predoutorais

B 2.3 Programa de bolsas Grao e Máster

B 2.6 Programa de contratos Postdoctorais

B 3.1 Formación de mentores

B 1.2 Estudio para o seguimento da carreira científica

Para a realización do primeiro apartado, seguimento da carreira científica, contratouse

á consultora Edesga, que fixo unha enquisa a todos os egresados de Matemáticas, nas

titulacións de grao, mestrado e doutoramento dos últimos dez anos.

B 2.1 Programa de contratos Predoutorais

Concedéronse seis contratos para o curso 2017/18 ós seguintes candidatos, que se

incorporaron nos correspondentes grupos de investigación.

Pérez Barral, Olga Grupo de investigación en Álxebra e Xeometría

López Pérez, Alejandra María Modelos de Optimización, Decisión, Estatística e Aplicacións

Mariño Villar, Rodrigo Grupo de investigación en Álxebra e Xeometría

Mosquera Lois, David Foliacións e Sistemas Dinámicos

Murodov, Sherzod Grupo de investigación en Álxebra e Xeometría

Piccotti, Luca Observatorio Astronómico Ramón María Aller

Dentro do programa de bolsas de Grao e Máster concedéronse 11 bolsas de Máster e 4

de Grao ós seguintes estudantes:

Alonso Pena, María Máster en Técnicas Estatísticas

Álvarez Díaz, Beatriz Máster en Matemáticas

Castro Prado, Fernando Máster en Técnicas Estatísticas

Davila Pena, Laura Máster en Técnicas Estatísticas

Diz Pita, Érika Máster en Matemáticas


72

Fathallah Ezzine, Youssef Máster en Matemática Industrial

Gandón Villar, Borja Máster en Matemáticas

González Rodríguez, Brais Máster en Técnicas Estatísticas

Recarey Fernández, Ricardo Máster en Técnicas Estatísticas

Rodríguez Vázquez, Alberto Máster en Matemáticas

Seijas Vázquez, Alicia Máster en Matemáticas

Bolón Rodríguez, Diego Grao en Matemáticas

García Jaén, Raquel Grao en Matemáticas

Iglesias Pérez, Javier Grao en Matemáticas

Tella Álvarez, Marcos Grao en Matemáticas

Dentro do Programa de contratos Postdoutorais contratouse ós seguintes

investigadores:

Castaño Domínguez, Alberto Grupo de investigación en Álxebra e Xeometría

Karimjanov, Ikboljon Grupo de investigación en Álxebra e Xeometría

Khastan, Alireza Ecuacións Diferenciais Non Lineares

Rodríguez Penas, David Modelos de Optimización, Decisión, Estatística e

Aplicacións

No que se refire ó último apartado desta sección o curso de mentores foi organizado

polo FEUGA. O curso foi impartido por un recoñecido experto no tema: Julio Rodríguez

Díaz. O Sr. Rodríguez é actualmente o Director da Rede de Mentoring de España e Socio

Director de Avanda Consultores.

O derradeiro apartado, D, está adicado á Comunidade de innovación. Para iso,

contactouse con distintas asociacións empresariais e entidades agrupadoras de

empresas de alta implicación en actividades grupais e de exportación como son: a

Confederación de Empresarios de Galicia, Cámaras de Comercio (Santiago, Coruña e

Vigo-Pontevedra-Vilagarcía), o IGAPE, etc.


73

Adicionalmente tamén se contactou coa consultora Adumbro, para que elabore un

manual de imaxe do IMAT, co fin de dar a coñecer ao Instituto como marca de calidade

e ofrecer unha imaxe sólida, moderna e de calidade.


74

ANEXO II. PROGRAMAS DOS CURSOS Título: Introducción a la teoría ergódica. Profesora: Matilde Martínez, Insituto de Matemática y Estadística Rafael Laguardia, Universidade de la República, Montevideo, Uruguay. Datas: 9, 16, 23 e 30 de novembro de 10:15 a 11:15 e 11:30 a 12:30. Aula 10. Programa (en español cómo a proposta do curso): 1. Dinámica medible y topológica.

• Dinámica de los automorfismos de medida.

• Ejemplos y puntos periódicos hiperbólicos.

• Recurrencia y lema de Poincaré.

• Dinámica topológica.

• Recurrencia y lema de Poincaré.

• Prueba de la existencia de medidas invariantes.

• Ergodicidad.

• Existencia de medidas ergódicas.

2. Ejemplo: El shift en el espacio de símbolos.

• El espacio de dos símbolos y su topología.

• Dinámica topológica del shift.

• Medidas de Bernoulli.

• Matrices de transición y subshifts de tipo finito.

• Medidas de Markov.

3. Teoremas erg_odicos

• Teorema ergódico de Birkhoff-Khinchin. Enunciado y corolarios.

• Teorema ergódico maximal.

• Prueba del teorema ergódico de Birkhoff-Khinchin.

• Otras caracterizaciones de la ergodicidad.

• Ergodicidad única.

• Ergodicidad de la rotación irracional.

• Propiedad de mixing. 4. Ejemplo: Automorfismo lineal hiperbólico en el toro.

• El cat map de Arnold.

• Variedades estables e inestables y exponentes de Lyapunov.

• Densidad de puntos periódicos. Transitividad topológica.

• Ergodicidad de la medida de Lebesgue. 5. Entropía métrica y topológica.

• Entropía de particiones.

• Entropía de partición como función de la medida.

• Refinamiento de particiones.

• Entropía de una transformación respecto a una partición.

• Entropía métrica de una transformación.

• Entropía topológica.

• Ejemplos de cálculo de la entropía topológica.

• Prueba del principio variacional de la entropía

Organización: Coorganizado co Programa de Doutoramento en Matemáticas. Bibliografía: Eleonora Catsígeras, Teoría ergódica de los sistemas dinámicos discretos. Edición de la Universidad de la República, Uruguay (2013) y ed. electrónica disponible en www.fing.edu.uy. Y: Ricardo Mañé, Introduçao á teoria ergódica. Projeto Euclides, 14. Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, (1983). Traducción al inglés: Ergodic theory and differentiable dynamics. Traducido del portugués por Silvio Levy. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 8. Springer-Verlag, Berlin (1987).

http://www.fing.edu.uy/


75

Título: Una introducción a la teoría de superficies mínimas. Profesor: Joaquín Pérez Muñoz, Universidad de Granada. Datas: 30 e 31 de outubro, 2 e 3 de novembro de 2017. Horario: de 10:30 a 12:00 Lugar: Aula 5 da Facultade de Matemáticas. Programa: Las superficies mínimas constituyen la idealización matemática de aquellas superficies que minimizan localmente el área con un contorno dado. En su descripción confluyen entre otras áreas la geometría diferencial, el cálculo de variaciones, las EDPs elípticas, el análisis complejo, la teoría de la medida y la física, lo que da idea del potencial de aplicabilidad de las ideas que surgen de esta teoría. En este mini-curso veremos un enfoque actual de la teoría de superficies mínimas, desde los teoremas más clásicos como la solución de Douglas-Radó al problema de Plateau hasta cómo tomar límites de sucesiones de superficies mínimas, pasando por el principio del máximo o, si el tiempo lo permite, la estabilidad. Los requisitos previos del curso comprenden cálculo diferencial en varias variables, geometría de curvas y superficies, análisis complejo de una variable, y fundamentos de geometría Riemanniana. Organización: GI-2136-Grupo de investigación en Álxebra e Xeometría. Proxectos: ED431F 2017/03 e MTM2016-75897-P con FEDER funds (Spain).


76

Título: Curso de iniciación a Phyton y Fenics. Profesor: Pedro Fontán Muiños, Universidade de Santiago de Compostela, España. Datas e lugar: 23 de outubro a 27 de outubro, aula Magna e aula de videoconferencias 5. Facultade de Matemáticas. Programa: 23 de outubro 10-12 Aula Magna: Introdución. Ecuación de Poisson. 24 de outubro 10-12 Aula de videoconferencia 5: Instalación e uso de Docker. Introdución a Python 1. 25 de outubro 16-18 Aula Magna: Introdución a Python 2 (programación orientada á obxectos). Manexo de mallas, fronteiras e subdominios en FEniCS. 26 de outubro 10-12 Aula Magna: Formulacións Mixtas. Problemas non lineares. 27 de outubro 10-12 Aula Magna: Problemas evolutivos. Organización: Departamento de Matemática Aplicada.


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Título: El problema de integración en supervariedades. Profesor: Prof. Adolfo Sánchez Valenzuela, Centro de Investigación en Matemáticas, A.C. México. Datas: 14 e 15 de xunio. Horario: de 12:00 a 13:30. Lugar: Aula 8 da Facultade de Matemáticas. Programa: Se aborda el problema de integración desde un punto de vista muy básico. Se clasifican primero los campos vectoriales en la recta supersimétrica R^1|1 y luego se les busca una inversa izquierda para obtener un análogo del teorema fundamental del cálculo y versión más elemental del teorema de Stokes. Lo que se obtiene es una gama de posibles integrales indefinidas que pueden dar lugar a un teorema de Stokes. El teorema del cambio de variable para estas integrales se aborda desde el punto de vista de la acción del grupo de difeomorfismos de la recta R^1|1 y se hace ver que, el teorema del cambio de variable no es otra cosa más que una afirmación sobre la equivariancia de las integrales con respecto a la acción del grupo de difeomorfismos. También se discute su comportamiento respecto al funtor que olvida la estructura “super” y se queda únicamente con la estructura de variedad diferenciable de la recta real. Al final se plantean algunos problemas abiertos tendientes a generalizar el teorema de Stokes en supervariedades y se discuten algunas maneras de abordar el problema de integración en varias variables pares e impares. La exposición tratará de ser lo más autocontenida posible y no es necesario tener nociones previas de geometría en la categoría “super”. Organización: Departamento de Matemáticas, GI-2136-Grupo de investigación en Álxebra e Xeometría, Instituto de Matemáticas.


78

Título: Variational Methods for Differential Equations. Profesor: Stepan Tersian. University of Ruse, Ruse, Bulgaria. Datas e lugar: 23 e 24 de maio de 16.30 a 19 horas. Aula Seminario de Análise Matemática. Facultade de Matemáticas. Programa: (en inglés como o curso) 1. Historical Notes. Local and Global Extrema of Functionals. 2. Weak Solutions of Boundary Value Problems (BVP) for Differential Equations (DE). Applications of Global Minimizers. 3. Mountain-Pass Theorem and its Applications to BVP for DE. Organización: School of Advanced Mathematics, IMAT.


79

Título: Programación en Mathematica. Profesor: José Carlos Díaz Ramos. Universidade de Santiago de Compostela. Datas e lugar: luns e xoves a partir do 4 de maio de 16.00 a 18:00 horas. Aula de Informática 4. Facultade de Matemáticas. Obxectivo: O obxectivo deste curso é dar algunhas nocións de programación avanzada en Mathematica. Preferiblemente, quen atenda ó curso debería ter instalado no seu ordenador unha versión de Mathematica posterior á 6.0. Programa: 1. Breve introducción á linguaxe Mathematica. 2. Programación en Mathematica, con especial énfase en programación funcional e simbólica. 3. Gráficos, desde o punto de vista programático: non se discutirán tódalas posibles funcións e opcións para pintar, aínda que se fará emprego de capacidades gráficas de baixo nivel. 4. Manipulación dinámica de expresións a nivel básico. Comentaranse de novo aspectos relacionados con boas prácticas de programación, pero non se fará fincapé no deseño de cadros de diálogo.


80

Título: Finsler and Randers geometries, and foliations. Profesor: Paweł Walczak. Universidade de Łodz, Polonia. Datas e lugar: 20, 21, 22 e 23 de marzo de 16.00 a 18 horas. Aula 9 da Facultade de Matemáticas. Programa: (en inglés como o curso) 1. Finsler and Randers geometries as generalizations of Riemannian geometry. 2.Solution to Zermelo navigation problem as an application of Finsler/Randers geometries. 3.Extrinsic geometry of foliations in Riemannian and Finslerian (including Randers) manifolds. 4.Integral formulae for codimension-one foliations of such manifolds. 5.Another new results in Finsler/Randers geometry of foliations. Open problems. Organización: Departamento de Matemáticas, IMAT.


81

Título: Introducción a los Operadores Lineales. Profesor: Adrián Fernández Tojo, Universidade de Santiago de Compostela. Datas: 2 de febreiro, 6 de abril de 2017. Horario: de 17:00 a 19:00. Lugar: Aula 10 da Facultade de Matemáticas. Programa: En este curso se impartirán conocimientos básicos de la teoría de espacios de Banach y espacios de Hilbert para, a continuación, estudiar las propiedades de los operadores li-neales entre espacios de Hilbert más comunes, como por ejemplo los operadores de rango finito, compactos, Fred-holm, Toeplitz, Hilbert-Schmidt y de tipo traza Organización: School of Advanced Mathematics – IMAT. Departamento de Análise Matemática, Estatística e Optimización


82

Título: Edición profesional de documentos científicos (Latex). Profesor: Adrián Fernández Tojo. Departamento de Estatística, Análise Matemática e Optimización, Universidade de Santiago de Compostela, España. Datas e lugar: 22 a 25 de xaneiro de 17:00 a 19:00. Aula de informática 2. Facultade de Matemáticas. Programa: 1. Guía de estilo de LaTeX: Nesta parte repasaremos varias cuestións de estilo á hora de redactar documentos matemáticos en LaTeX. Estas teñen que ver tanto co uso particular dos comandos de LaTeX como con outras cuestións xenéricas. 2. Ferramentas propias de LaTeX: Nesta parte percorreremos diversos paquetes de LaTeX que poidan facilitar moito o traballo á hora de compoñer e revisar documentos. 3. Ferramentas externas de LaTeX: Neste apartado veremos diferentes programas externos ós editores e compiladores de LaTeX que nos permitirán crear e xestionar material documental. Organizado por: School of Advanced Mathematics – IMAT.


83

Título: Numerical simulation with Comsol Multiphysics. Profesor: Dolores Gómez Pedreira. Datas e lugar: : Santiago de Compostela, España, a partir do 16 de xaneiro de 2017. 20 horas. Programa: (en inglés como o curso)

1. Introduction to Comsol Multiphysics®

1.1. What is Comsol Multiphysics®?

1.2. Working environment

1.3. Modeling methodology

2. Modeling single-physics problems: some examples

2.1. Momentum transport examples 2.1.1. Flow between fixed parallel plates

2.1.2. Couette flow

2.1.3. Two immiscible flows

2.1.4. Flow through an annulus

2.2. Energy transport examples 2.2.1. Heat conduction through composite walls

2.2.2. Heat conduction through a double pipe heat exchanger

2.2.3. A transient heat transfer example

2.3. Mass transport examples 2.3.1. Simulation of air flow through ventilation ducts

3. Modeling multi-physics problems

3.1. Heat transfer with free convection 3.2. Fluid flow and diffusion in a

microfluidic H-cell.

3.3. An example of thermal decomposition

Referencias: • R.B. Bird, W.E. Stewart y E.N. Lightfoot, Transport Phenomena, John Wiley & Sons, 2007. • R.W. Pryor, Multiphysics Modeling Using Comsol 4. A first Principles Approach, Mercury Learning and Information LLC, Boston, 2012. • Comsol Multiphysics User’s Guide®. Available www.comsol.com Organización/Proxecto: ECCUM Project 561574-EPP-1-2015-1-ES-EPPKA2-CBHE-JP, U.E. Erasmus+ project.


84

ANEXO III. ACTAS DO SEMINARIO DE INICIACIÓN Á INVESTIGACIÓN

22M.I. Borrajo GarcíaG. Castiñeira VeigaL. López SomozaV. Sanmartín López

017016

EDITORES

As matemáticas do veciñoIniciación á Investigación

Actas do Seminario de

ACTAS DO SEMINARIO

DE

INICIACION A INVESTIGACION

CURSO 2016 – 2017

Editores:Marıa Isabel Borrajo GarcıaGonzalo Castineira VeigaLucıa Lopez SomozaVıctor Sanmartın Lopez

c© 2017 Seminario de Iniciacion a Investigacion.

Instituto de Matematicas da Universidade de Santiago de Compostela

Coordina:

Seminario de Iniciacion a Investigacion (SII)

[email protected]

Edita:

Instituto de Matematicas da Universidade de Santiago de Compostela

Imprime:

Imprenta Universitaria

Pabellon de Servicios s/n

Campus Vuda

15782 Santiago de Compostela

A Coruna

ISSN: 2171-6536

Deposito Legal: C 1291-2017

Preserva tu derecho a pensar, mas vale que corras elriesgo de equicarte que que cometas el error de no pensar.

Hipatia de Alejandrıa (355 – 415).

In mathematics the art of proposing a question mustbe held of higher value than solving it.

George Cantor (1845–1918).

Tout savoir a de science ce qu’il a de matemathiques.

Henri Poincare (1854–1912).

iii

Prefacio

Hai xa uns anos, mais ou menos cando o SII comezaba a sua andaina, un reco-necido matematico dıxome que se non era quen de explicar a unha audiencia nonexperta en que estaba a traballar, e que eu non entendıa o meu traballo. Nos anosen que participei no SII, puiden ver como en moitas ocasions tratabamos de expli-car un tema moi especıfico a unha audiencia con formacion matematica, pero nonespecializada nese tema. Aquela afirmacion, que no momento me pareceu moi esa-xerada, xunto coa experiencia do SII, acompanoume desde enton sempre que quixencomunicar algo. Isto pon de manifesto o que na mina opinion e unha das maioresvirtudes deste seminario: un pode participar como membro da audiencia e aprender,e pode participar como relator, e tamen aprender.

Durante os ultimos doce anos o SII funcionou ininterrompidamente, amosandosecomo unha ferramenta fundamentalmente o servizo dos estudantes da Facultade deMatematicas. No transcurso deste tempo alguns dos principios basicos que se fixaronno seu comezo permaneceron inalterados, mais a evolucion do seminario, que en cadamomento soubo adaptarse as necesidades dos seus participantes, permitiu que estepermanecera vivo e seguira a ser a ferramenta que sempre se pretendeu que fora.Por isto, debemos dar os parabens os distintos comites organizadores que deroncontinuidade e aportaron novas e boas ideas tanto a organizacion do seminariocomo as actas que con el se seguen a publicar. Quizais se poida afirmar que, a dıade hoxe, o seminario supon un sinal de identidade da propia facultade.

Antes de rematar quixera agradecer os actuais editores que me invitaran a escri-bir estas linas, pois aında que actualmente non podo asistir o seminario, interesomeperiodicamente por el e gustame recibir os anuncios de cada unha das charlas. Deboconfesar que sempre que leo os anuncios sinto desexos de asistir a elas.

Por ultimo, so me queda animar a actual e as sucesivas xeracions a continuarcon esta labor, a participar activamente no seminario, sen prexuızos e cunha menteaberta e crıtica, para que siga a ser xerme de ideas como foi ata agora, e esperohonestamente que lles aporte tanto como me aportou a min no seu dıa.

Ferrol, xullo de 2017

Miguel Brozos Vazquez

v

Indice xeral

Introducion 1

Sebastian Buedo Fernandez“Ecuaciones diferenciales con retardo” 3

David Mosquera Lois“Robotica topologica” 9

Andrea Meilan Vila“Spatial regression with complexities” 15

Noemı Esteban Rodrıguez“Existencia y unicidad de solucion en sistemas de reaccion-conveccion-difusion” 21

Marıa Pilar Paez Guillan“Grupos: entre lo finito y lo infinito” 27

Alejandro Saavedra-Nieves“A cooperacion nos problemas de inventario” 33

Ignacio Marquez Albes“Ecuaciones diferenciales con derivadas de Stieltjes” 39

Aida Martınez Amado“Resolucion numerica del problema de mınimos cuadrados” 45

Manuel Cremades Bujan“Sobre la resolucion numerica de ecuaciones diferenciales-algebraicas” 51

Andres Berridi Puertas“Geometrıa y dualidad en espacios proyectivos” 57

Marıa Cristina Vilas Taboada“Desenredando redes en espacios topologicos” 63

vii

Cristina Lois Prados“Seleccionando ecuaciones diferenciales” 69

Laura Calaza Dıaz“Linguıstica matematica: a informacion que se agocha tras as percepcions” 75

Juan Carlos Gonzalez Aguirre“Simulacion unidimensional del flujo de aguas someras con fondo movible” 81

Agradecementos 87

Introducion

E imposible que unha area das matematicas progrese se as achegas que se fannela quedan esquecidas nos caixons dos seus descubridores. A comunicacion entreos investigadores e fundamental, pero tamen o e a interdisciplinaridade, sobre todoentre os que comezan as suas carreiras investigadoras.

Con este espırito nace o Seminario de Iniciacion a Investigacion (SII), unhaentidade encadrada dentro do Instituto de Matematicas. O SII ten por finalidadeque aqueles que se estan a dar os seus primeiros pasos como investigadores tenan aoportunidade de escoitar aos seus companeiros que traballan noutros departamentose de exponer as suas ideas.

As actividades do SII consisten nun conxunto de charlas que tenen lugar durantetodo o curso academico na Facultade de Matematicas da Universidade de Santiagode Compostela. Abertas a todo o mundo, estas reunions, en xeral quincenais, sonun lugar para a discusion, o afloramento de ideas e a vida social na Facultadealen da rutina investigadora ou docente. Nelas, profesores, alumnos e investigadorestenen a oportunidade de conecerse, emprender proxectos comuns e descubrir novosintereses. Ademais, para os ponentes supon unha oportunidade unica de desenvolvercompetencias transversais fundamentais para as suas carreiras como son falar enpublico, a capacidade argumentativa e a adecuacion a audiencia, pois cabe salientarque as charlas estan destinadas a xente que non e especialista no tema do que tratan.

E imprescindible destacar ademais a riqueza da procedencia dos ponentes dosSII. Moi a miudo temos o pracer de poder escoitar a xente chegada doutras faculta-des ou incluso doutras universidades, o cal da idea da capacidade de convocatoria eo alcance transversal das actividades do SII.

O Comite Organizador do SII, encargado de organizar as actividades do SII,facelas publicas e atender as necesidades loxısticas das mesmas, e tamen o respon-sable de elaborar estas actas que reflicten o enorme esforzo que, entre ponentes,oıntes e organizadores, estamos a realizar para que este proxecto sexa posible. Ospropios ponentes foron os encargados de revisar os resumos das charlas, de xeitoque cada quen tivo que corrixir un correspondente a unha area distinta a da suaespecialidade, asegurando ası que estes sexan comprensibles para todos.

Por ultimo engadir que, como non poderıa ser doutra maneira, o curso que venhabera cambios destinados a mellorar as actividades que o SII leva a cabo. Quizaiso mais importante e a renovacion do Comite Organizador, axudando ası a mantervivo o espırito iniciador ao que previamente facıamos alusion.

1

Actas do Seminario de Iniciacion

a Investigacion - ISSN 2171-6536

Ecuaciones diferenciales con retardo

Sebastian Buedo FernandezArea de Analise Matematica

Universidade de Santiago de Compostela

21 de septiembre de 2016

Resumen

En las ecuaciones diferenciales ordinarias, la evolucion del sistema es indepen-diente de su estado en el pasado. Por otra parte, es bien conocido que en algunosprocesos de la naturaleza, como por ejemplo en la dinamica de poblaciones, dichaevolucion sı depende de momentos anteriores, pues aparecen tiempos de gestacion,maduracion, etc. En este contexto, surge la nocion de ecuacion diferencial funcionalcon retardo.

En este texto, se introduciran las nociones basicas de esta teorıa y se enunciaranalgunos resultados basicos, sobre todo de teorıa cualitativa, destacando el paralelis-mo con el caso ordinario en el desarrollo de la materia y algunas diferencias en elcomportamiento de las soluciones. Las demostraciones de los resultados a los que sehara referencia pueden encontrarse en [2] y [5].

Nociones y algunos resultados basicos

Sea r un numero real no negativo. Se denotara mediante C([−r, 0],Rn) o, sim-plemente, C al espacio de las funciones continuas, definidas en el intervalo [−r, 0] ycon imagen en Rn. Es conocido que C es un espacio de Banach real si se le dota dela norma del supremo1, definida como

||φ||C := sup||φ(θ)||∞ : θ ∈ [−r, 0],

para cualquier φ ∈ C. Se denotara por 0 al vector nulo en Rn. Se usara v parareferirse a la funcion de C que es constante y con valor v ∈ Rn.

Si x es una aplicacion continua definida en un intervalo I ⊂ R y con valores enRn y t, t − r ∈ I, se denota por xt a la aplicacion definida en [−r, 0] y con valoresen Rn que viene dada por

xt(θ) = x(t+ θ),

para cualquier θ ∈ [−r, 0]. La funcion xt recoge el comportamiento de la funcion xen el intervalo [t− r, t].

Palabras Clave: ecuacion diferencial; retardo; teorıa cualitativa; ecuacion caracterıstica.1El supremo sera un maximo.

3

4 SII Ecuaciones diferenciales con retardo

Sea Ω ⊂ R×C y f : Ω→ Rn. Si denotamos por x la derivada lateral derecha dex, diremos que

x(t) = f(t, xt) (1)

es una ecuacion diferencial funcional con retardo (EDFR).

Observacion 1. Si se fija r = 0, la expresion (1) se convierte en una ecuaciondiferencial ordinaria (EDO) en Rn. De esta manera, las EDO pueden verse comoun caso particular de las EDFR.

Una ecuacion en la que intervienen k ∈ N estados anteriores del sistema en[t− r, t] se dice que es de retardo discreto. Esta tomarıa la forma

x(t) = f(t, xt) = h(t, x(t− τ1), ... , x(t− τk)),

donde h puede entenderse como una funcion de un conjunto D ⊂ R × (Rn)k enRn y τi ∈ [0, r], i ∈ 1, ... , k. Si se desea tener en cuenta todos los estados en unintervalo de tiempo (retardo distribuido), un ejemplo serıa

x(t) = f(t, xt) =

∫ 0

−rg(t, θ, x(t+ θ))dθ,

para una funcion g : R× R× Rn → Rn que sea integrable.Naturalmente, el siguiente paso es dar la nocion de solucion de una EDFR.

Definicion 1. Una funcion x se dice solucion de la ecuacion (1) en [σ − r, σ +A)para algun σ ∈ R y algun A > 0, donde A puede ser +∞, si cumple las siguientespropiedades:

1. x ∈ C([σ − r, σ +A),Rn),

2. (t, xt) ∈ Ω, para todo t ∈ [σ, σ +A),

3. x satisface (1) en [σ, σ +A).

Para plantear de manera correcta el Problema de Cauchy, deben suministrarseun instante inicial σ ∈ R y los valores de la solucion en [σ−r, σ], pues estos influirande manera directa en el comportamiento de la solucion a partir de σ. Entonces, unacondicion inicial sera un par (σ, φ) ∈ R× C.

Definicion 2. El problema de Cauchy para una EDFR es el siguiente: dada unacondicion inicial (σ, φ) ∈ R × C, encontrar una solucion x : [σ − r, σ + A) → Rnde (1) tal que xσ = φ. Dicha aplicacion x se representara tambien por x(σ, φ, f)para denotar su dependencia con respecto a la condicion inicial y a la funcion f yse conocera como solucion de (1) para la condicion inicial (σ, φ).

Observacion 2. La derivada lateral derecha es empleada por una cuestion de regu-laridad a la izquierda del instante inicial, pues se toman condiciones iniciales confunciones que se suponen unicamente continuas. Bajo continuidad de la funcion f ,se recupera la derivabilidad usual de las soluciones para t > σ.

Sebastian Buedo Fernandez SII 5

Los resultados de existencia y unicidad local son analogos al caso ordinario.

Teorema 1. (Existencia). Sea Ω ⊂ R × C abierto y f : Ω → Rn continua. Si(σ, φ) ∈ Ω, entonces existe una solucion de (1) para la condicion inicial (σ, φ).

Teorema 2. (Unicidad). Sea Ω ⊂ R× C abierto y f : Ω→ Rn continua y lipschit-ziana respecto a la segunda variable en cada compacto de Ω. Si (σ, φ) ∈ Ω, entoncesexiste una unica solucion de (1) para la condicion inicial (σ, φ).

En el caso de retardo discreto, bajo condiciones de existencia de solucion, estapuede obtenerse de forma explıcita en intervalos consecutivos mediante el metodode pasos. Por ejemplo, si solo hay un retardo τ , se calcularıa la solucion en [σ, σ+ τ ]integrando la ecuacion y usando la condicion inicial, a continuacion en [σ+τ, σ+2τ ] apartir del intervalo anterior y ası sucesivamente hasta completar el intervalo maximalde definicion.

De manera analoga al caso ordinario, si la funcion f es continua en un abierto deC y el intervalo maximal de definicion de una solucion x de (1) esta acotado por laderecha, entonces los pares (t, xt) deben abandonar todo compacto en el dominio dela funcion f . Podrıa ocurrir que la solucion oscilase de tal manera que este acotaday no este definida para todo t ≥ σ. Para que abandone todos los conjuntos cerradosy acotados del dominio, debe exigirse, a mayores, que la funcion f sea compacta yde ello se deduce que, si una solucion esta acotada, entonces esta definida para todot ≥ σ.

Resultados sobre teorıa cualitativa

Un hecho destacable es que, asumiendo unicidad, soluciones con condiciones ini-ciales (σ, φ) y (σ, ψ), con φ 6= ψ, pueden cortarse en Rn. Propiedades como estamuestran que la dependencia funcional puede provocar que aparezcan comporta-mientos que no se dan en una EDO. De este modo, es natural pensar en una rein-terpretacion de la nocion de solucion que, en ocasiones, sea mas util para poderentender las propiedades de una EDFR.

Definicion 3. Sea Ω un abierto de R × C. Si (1) tiene solucion unica para cada(σ, φ) ∈ Ω, definida en el intervalo maximal [σ, σ + A(σ,φ)), entonces se define eloperador solucion como

T (t, σ) : Ωσ → Cφ 7→ T (t, σ)(φ) = xt(σ, φ, f),

para cada t ∈ [σ, σ +A(σ,φ)), donde Ωσ := φ ∈ C : (σ, φ) ∈ Ω.

Esta reinterpretacion consiste en ver la solucion como una curva en C. Unarepresentacion aproximada de la solucion de x(t) = x(t − 1) − 3

2 x(t − 1)2 para la

condicion inicial (0, 1) se encuentra en la Figura 1 (se marcan con lınea continuaφ ≡ 1 y T (10, 0)(1)).

Las nociones de equilibrio y estabilidad de soluciones adquieren una gran im-portancia al trabajar en teorıa cualitativa.


Definicion 4. Un elemento φ ∈ C se dice equilibrio de (1) si T (t, σ)(φ) = φ, paratodo t ≥ σ.

Se puede probar, sin excesiva complicacion, que los unicos equilibrios posiblesson las funciones de C que son constantes, hecho que permite identificar puntos deRn o soluciones constantes como equilibrios aun siendo C el espacio de fases.

Los conceptos de estabilidad en el sentido de Liapunov se definen analogamenteal caso ordinario. Para ello, basta con adaptar las definiciones al espacio metrico Ccon la metrica inducida por la norma dada.

A continuacion, se trabajara con EDFR autonomas, es decir, con ecuacionesdel tipo x(t) = f(xt). Una EDFR autonoma lineal toma la forma

x(t) = L(xt), (2)

donde L : C → Rn es una aplicacion lineal y continua. Es sencillo probar que elconjunto de soluciones de (2) es un espacio vectorial real y que la solucion de unaEDFR autonoma lineal esta definida para todo t ≥ σ.

Un metodo para la busqueda de soluciones de (2) es suponer que existen solu-ciones de la forma x(t) = eλt v, v ∈ Cn y calcular los valores λ ∈ C para los que estose cumple. En una EDFR, de manera generica, no tendremos una matriz que repre-sente a L, si bien el teorema de representacion de Riesz asegura una representacionintegral y la ecuacion caracterıstica adquiere la siguiente forma:

det

(λ I −

∫ 0

−reλθ dη(θ)

)= 0, (3)

donde η es una funcion matricial de variacion acotada e I es la matriz identidad deorden n.

Trabajar con la anterior ecuacion resulta complicado. No obstante, se puedeobtener cierta informacion sobre la estabilidad de la solucion nula de (2) a partir delas propiedades de las raıces de dicha ecuacion caracterıstica.

Teorema 3. Supongamos que todas las raıces de la ecuacion caracterıstica (3) tie-nen parte real menor que 0. Entonces el equilibrio 0 de (2) es globalmente asintoti-camente estable.

El siguiente resultado aporta una condicion suficiente para la estabilidad asin-totica del origen (o de cualquier otro equilibrio bajo una traslacion) de un sistemano lineal a partir de su linealizado en dicho punto.

Teorema 4. Sea L : C → Rn un operador lineal y continuo tal que la solucionx = 0 de la EDFR

x(t) = L(xt)

es asintoticamente estable. Sean F,DφF : C → Rn aplicaciones continuas cumplien-do F (0) = DφF (0) = 0. Entonces la solucion x = 0 de la ecuacion perturbada

x(t) = L(xt) + F (xt) (4)

es asintoticamente estable.

Sebastian Buedo Fernandez SII 7

Corolario 1. Si todas las raıces de la ecuacion caracterıstica del linealizado de (4)en un equilibrio tienen parte real negativa, entonces dicho equilibrio es asintotica-mente estable.

Un caso muy simple es el lineal y escalar con un unico retardo:

x(t) = β x(t− r), (5)

donde β ∈ R (vease [5, Capıtulo 2]). La ecuacion caracterıstica es λ − β e−λr = 0.En [1, Capıtulo 13] se proporcionan criterios para conocer propiedades sobre lasraıces de ecuaciones caracterısticas como la anterior. Se supondra que r > 0, pues laestabilidad es conocida si r = 0 (EDO). El siguiente resultado da informacion sobrela estabilidad de la solucion nula en funcion de los dos parametros que intervienen.

Teorema 5. Para (5) se cumple:

Si β > 0, entonces 0 es inestable.

Si −π/2 < β r < 0, entonces 0 es asintoticamente estable.

Si β r = −π/2, entonces aparecen las soluciones periodicas cos(t) y sen(t).

Si β r < −π/2, entonces 0 es inestable.

En la Figura 2, se encuentra una representacion aproximada de la solucion de(5) con β = −2 y r = 1 para la condicion inicial (0, 1) (ultimo caso en el Teorema5). Se puede apreciar el caracter oscilatorio y como se aleja del origen.

Figura 1: Solucion reinterpretada en C. Figura 2: 0 es inestable.

Aplicaciones

Una de las aplicaciones de este tipo de ecuaciones mas visibles en la literaturaes la dinamica de poblaciones. La referencia [3] proporciona numerosos modelosanalizando la dinamica global.


Otras aplicaciones destacadas son los mecanismos de control para procesos in-dustriales o las redes neuronales, puesto que la respuesta que una unidad de trabajopuede dar nunca es instantanea.

Este tipo de ecuaciones tambien aparece en teorıa de numeros. En 1793, Gaussconjeturo que la funcion π, contadora de numeros primos menores o iguales quex ∈ N, se “aproxima” a la curva x

ln(x) cuando x → +∞. Hoy en dıa, esta conjeturaya se conoce como el Teorema del numero primo. En la busqueda de una pruebamas sencilla que la que se conocıa en la decada de 1950, E.M. Wright probo queserıa suficiente asegurar que la solucion nula de

y′(t) = − ln(2) y(t− 1) (1 + y(t))

debe “atraer” a todas las soluciones mayores que −1. Claramente, la ecuacion ante-rior tiene presente el retardo. Wright se cuestiono la estabilidad de la solucion nulasi se sustituye ln(2) por un parametro real a y conjeturo que tendrıa esa propiedadatractora si a ∈ (0, π/2), pero solo consiguio probarlo para a ∈ (0, 3/2] y, por lo tan-to, para a = ln(2). Este problema sobre dinamica global sigue abierto. Mas detallessobre esta resena pueden encontrarse en [4] y sus referencias.

Conclusion

La introduccion del retardo en los modelos de ecuaciones diferenciales generaoscilaciones y puede cambiar la estabilidad de equilibrios y/u orbitas periodicas. Unejemplo de este cambio de dinamica es la tesis del Teorema 5. Estos hechos mues-tran que los modelos de ecuaciones diferenciales empleados para explicar algunosfenomenos deben incluir el retardo para ser mas realistas.

Bibliografıa

[1] Bellman, R. y Cooke, K. L. (1963). Differential-Difference Equations, AcademicPress, New York.

[2] Hale, J. K. y Lunel, S. M. V. (1993). Introduction to Functional DifferentialEquations, Springer-Verlag, New York.

[3] Kuang, Y. (1993). Delay Differential Equations with applications in PopulationDynamics, Academic Press, San Diego.

[4] Liz, E. (2006). Sobre ecuaciones diferenciales con retraso, dinamicade poblaciones y numeros primos, Materials Matematics. Disponible enhttp://www.mat.uab.cat/matmat/PDFv2006/v2006n17.pdf.

[5] Smith, H. (2011). An Introduction to Delay Differential Equations with Appli-cations to the Life Sciences, Springer-Verlag, New York.



Robotica topologica

David Mosquera Lois

Area de Xeometrıa e TopoloxıaUniversidade de Santiago de Compostela

5 de octubre de 2016

Introduccion

Imaginemos un conflicto belico. Serıa deseable que dadas dos localizaciones, en-tonces una nave no tripulada (dron) calculase una ruta para trasladar ayuda huma-nitaria entre ambos emplazamientos y en caso de que alguno de los emplazamientosfuese atacado, el dron modificase su ruta adecuadamente y de forma autonoma. Su-pongamos ahora un conjunto de robots en una fabrica. Desearıamos ser capaces deprogramarlos para que realicen unas tareas de forma coordinada, es decir, sin coli-sionar entre ellos ni entorpecerse unos a otros. En un futuro proximo querrıamos sercapaces de construir carteros automaticos, los cuales puedan realizar un reparto da-das dos localizaciones: un punto de recogida y un punto de entrega. Ademas, serıainteresante que si por algun motivo alguna de las localizaciones variase sensible-mente, entonces la ruta o recorrido del cartero tambien variase sensiblemente. Conmayor grado de generalidad, el problema de planificacion de movimiento de un ro-bot autonomo consiste en proporcionarle unas tareas a realizar para que las ejecutesin intervencion humana. En las siguientes paginas estudiaremos las inestabilidadesque aparecen en los algoritmos planificadores de movimientos implementados en losrobots usando ideas de la topologıa y topologıa algebraica. Ademas veremos que laspeculiaridades en el comportamiento del sistema dependen de las propiedades ho-motopicas y topologicas del espacio de configuracion del robot, el cual definiremos.La teorıa que desarrollaremos a continuacion, ası como las demostraciones de losenunciados, pueden consultarse en [6].

Formalizacion matematica del problema

Definicion 1. Un espacio de configuraciones de un sistema, o simplemente espaciode configuraciones X, es un espacio topologico conexo por caminos.

Ejemplo 1. Un brazo robotico consiste en un conjunto de barras unidas por ar-ticulaciones que les permiten rotar. Si las articulaciones permiten rotacion planaX = S1 × ··· × S1 (Figura 1) y si permiten rotacion espacial X = S2 × ··· × S2.Notese que permitimos auto intersecciones.

Palabras Clave: robotica; topologıa; topologıa algebraica; algoritmos.

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10 SII Robotica topologica

Figura 1: Representacion de brazo articulado plano con tres articulaciones y tresbarras.

Ejemplo 2. (El espacio de configuraciones ”usual”). Sea Y un espacio topologicoy sea X = F (Y, n) el subconjunto del producto cartesiano Y × ··· × Y (n veces)que contiene a las n-tuplas (y1, y2, ... , yn) tales que yi 6= yj si i 6= j. El espacio Xrepresenta el sistema de configuraciones de n objetos moviendose en el espacio Yde tal forma que no se produzcan colisiones. Los casos mas relevantes son: el casoY = Sm (los brazos roboticos en los que no se permiten auto intersecciones), si Yes un grafo (por ejemplo un conjunto de vehıculos desplazandose por carreteras), osi Y = Rm (vemos un caso particular en el ejemplo 3).

Ejemplo 3. Un caso particular del ejemplo 2 es el problema de evasion de aste-roides ([5, Capıtulo 8, Seccion 1.4.1, pag. 364]), en el cual un objeto en dos o tresdimensiones ha de evitar colisionar con otros objetos moviles.

Ejemplo 4. (Espacio proyectivos). Imaginemos una barra rotando sobre su puntomedio en el espacio Rm+1. Entonces el espacio de configuraciones se correspondecon el espacio proyectivo real RPm.

Ejemplo 5. La situacion del cartero mencionada en la introduccion podemos verlacomo un caso particular del ejemplo 2, en la cual representamos una ciudad medianteun grafo donde las calles de la ciudad son las aristas y las casas son los vertices. Yel cartero automatico se desplaza por el espacio de configuraciones, el grafo.

En las condiciones previas el problema de planificacion de movimientos en elespacio de configuraciones X consiste en disenar un algoritmo (estable) que aceptecomo “input” dos estados o configuraciones del sistema (A,B) ∈ X ×X y devuelvaun camino continuo en X que comience en el estado inicial A y termine en laconfiguracion final B.

Definicion 2. Denotamos por PX el espacio de todas las aplicaciones continuasde I = [0, 1] en X con la topologıa compacto-abierto. Nos referiremos a el como elespacio de caminos PX. Denotamos por π : PX → X ×X la aplicacion que asociaa cada camino γ ∈ PX sus puntos inicial y final: π(γ) = (γ(0), γ(1)).

Se tiene que dados dos caminos “parecidos”, sus extremos no pueden variarmucho, es decir, la aplicacion π es continua.

David Mosquera Lois SII 11

Definicion 3. Un algoritmo de planificacion de movimientos es una aplicacioncontinua s : X ×X → PX tal que π s = idX×X .

Por tanto el problema de planificacion de movimientos consiste en encontrar unaseccion continua de π. La continuidad de la seccion se traducira en estabilidad delalgoritmo. Nuestro objetivo en lo que sigue sera determinar bajo que condicionesexistira una seccion continua, es decir, un algoritmo planificador de movimientosestable. El siguiente teorema da una respuesta.

Teorema 1 ([1]). Dado el espacio de configuraciones X, existira una seccion con-tinua global s : X ×X → PX de π si y solo si X es contractil.

Observacion 1. La demostracion del teorema es constructiva.

El teorema 1 nos dice que el problema de planificacion de movimientos estacompletamente resuelto si el espacio de configuraciones es contractil, pues la de-mostracion constructiva nos da un algoritmo estable. Ademas, la necesidad en elteorema nos sugiere pensar que si no podemos construir una seccion continua glo-bal, entonces quizas podamos partir el espacio X × X de forma que sobre cadaabierto del recubrimiento sı podamos definir algoritmos estables. Tal observacionnos conduce de forma natural a la siguiente definicion.

Definicion 4. Dado un espacio de configuraciones X, llamamos abierto de Farber aun conjunto abierto U ⊂ X ×X tal que exista una seccion continua s : U → PX deπ sobre U , es decir, πs = i donde i : U → X×X es la inclusion. Equivalentemente,que el siguiente diagrama sea conmutativo:

PX

U X ×X

πs

i

Definicion 5. Dado un espacio de configuraciones X, definimos la complejidadtopologica de la planificacion de movimientos en X como el menor numero enteropositivo TC(X) = k de abiertos de Farber necesarios para recubrir X × X. Si noexiste ningun entero positivo k en las condiciones expuestas, entonces definimosTC(X) =∞.

Resumiendo, hemos visto que la complejidad topologica nos da una medida dela inestabilidad de algoritmos planificadores de movimientos sobre un determinadoespacio de configuraciones.

Calculo de la complejidad topologica

En vista de la seccion anterior nuestro siguiente objetivo consiste en desarrollartecnicas que nos permitan calcular o acotar la complejidad topologica de espaciosde configuraciones. El siguiente resultado sugiere que las tecnicas de la topologıaalgebraica son idoneas para abordar el calculo de la complejidad.


Teorema 2 ([1]). Sean X e Y espacios con el mismo tipo de homotopıa, entoncesTC(X) = TC(Y ).

En lo que sigue limitaremos nuestro estudio a una clase particular de espacios,los CW-complejos finitos. Los cuales son, informalmente, espacios que se puedenconstruir “pegando” un numero finito de bolas de varias dimensiones. Enunciemosmas precisamente estas ideas.

Definicion 6. Llamaremos n-celda abierta e a un espacio topologico homeomorfo ala bola abierta unitaria Bn y llamaremos n-celda cerrada e a un espacio topologicohomeomorfo a la bola cerrada unitaria Bn.

Definicion 7. Dado un espacio topologico no vacıo X, sean e una n-celda cerradacon n ≥ 1, y ϕ : ∂e→ X una aplicacion continua. Definimos el espacio de adjuncionX∪ϕ e obtenido de Xte al identificar ∂e con ϕ(∂e) y diremos que cualquier espaciohomeomorfo a este se obtiene de X al anadir una n-celda a X mediante ϕ.

Definicion 8. Sea X0 ⊂ X1 ⊂ ··· ⊂ Xn−1 ⊂ Xn una sucesion finita de espaciostopologicos satisfaciendo las dos condiciones siguientes:

1. X0 es un espacio discreto no vacıo.

2. Para cada i ≥ 1, Xi se obtiene a partir de Xi−1 adjuntando una coleccionfinita (que puede ser vacıa) de i-celdas.

Entonces el conjunto X =⋃iXi es un CW-complejo finito.

Ejemplo 6. Partimos de dos puntos. En el primer paso anadimos 1-celdas (inter-valos). En el segundo paso anadimos 2-celdas para obtener un cilindro.

Existen diferentes espacios topologicos que se pueden dotar de estructuras celula-res, como por ejemplo: los grafos o las variedades compactas sin borde. Introducimosuna proposicion que nos hara falta mas adelante y que proporcionara informacionsobre los productos de CW-complejos finitos.

Proposicion 1. Sean X, Y dos CW-complejos finitos. Entonces X×Y admite unaestructura de CW-complejo finito.

La demostracion del resultado es constructiva y muestra que las celdas del nuevoespacio seran los productos de celdas de X con celdas de Y . Es decir, si las celdas deX e Y son ekj y eli respectivamente, donde los superındices indican la dimensiony los subındices indexan cada una de las celdas en esa dimension, entonces las celdasde X × Y seran ekj × eli. Usaremos este hecho en el teorema 3.

David Mosquera Lois SII 13

Figura 2: Ejemplo 7.

Ejemplo 7. Introducimos una ilustracion del resultado anterior para X = S1 (lacircunferencia) e Y = B2 (la bola cerrada de dimension dos). El producto es el torosolido, el cual podemos dotar de una estructura celular dada por la proposicion 1.

Teorema 3 ([6]). Sea X un CW-complejo finito y conexo por caminos. Entonces

TC(X) ≤ l(X ×X)

donde l(X×X) representa el numero de dimensiones en las que X×X tiene celdas.

El resultado nos proporciona cotas superiores para la complejidad. Las cotasinferiores se obtienen usando varias tecnicas, siendo la mas notable la teorıa dela cohomologıa. La cual consiste en asociar objetos algebraicos (grupos, anillos,modulos o algebras) a espacios topologicos de forma que los primeros permitanobtener informacion sobre los segundos. Para un tratamiento mas detallado vease[6].

Aplicaciones

A continuacion presentamos las respuestas a algunos de los problemas planteadosen la introduccion.

Teorema 4 ([2]). Sea X un grafo conexo con un numero finito de ciclos. Se tiene:

Si X es un arbol, entonces TC(X) = 1.

Si X contiene exactamente un ciclo, entonces TC(X) = 2.

Si X contiene mas de un ciclo, entonces TC(X) = 3.

Calcularemos la complejidad topologica del problema de planificacion de mo-vimientos de un brazo robotico con n articulaciones y m grados de libertad demovimiento en cada articulacion.

Teorema 5 ([1]). Sea X = Sm×n)··· ×Sm donde m ≥ 1. Entonces

TC(X) =

n+ 1 si m es impar,

2n+ 1 si m es par.


Observacion 2. Tambien podemos calcular la complejidad topologica de brazosroboticos en los que no permitimos auto intersecciones, que son los que se usan enlas fabricas para evitar que la maquinaria pueda danarse.

Teorema 6 ([6]). Sea X el espacio de configuraciones del brazo robotico con 2n, n ≥1, articulaciones y m ≥ 1 grados de libertad de movimiento en cada articulacion enel que no permitimos auto intersecciones. Entonces

TC(X) =

n+1 si m es impar,

2n +1 si m es par.

Terminamos con una respuesta al problema de planificacion de movimientos dedrones o naves no tripuladas.

Teorema 7 ([6],[3]). No existe ningun algoritmo de planificacion de movimientosestable para un avion, dron o nave espacial.

Referimos al lector interesado a [4] para una exposicion de las consecuencias deeste resultado en varias misiones Apolo de la NASA.

Bibliografıa

[1] Farber, M. (2003). Topological Complexity of Motion Planning, Discrete andComputational Geometry 29, 211–221.

[2] Farber, M. (2008). Invitation to Topological Robotics, European MathematicalSociety.

[3] Farber, M., Tabachnikov, S., y Yuzvinsky, S. (2003). Topological robotics: mo-tion planning in projective spaces, Int. Math. Res. Not. 34, 1853–1870.

[4] Hanson, A. J. (2006). Visualizing Quaternions, Morgan Kaufmann; First edi-tion.

[5] Latombe, Jean Claude (1991). Robot Motion Planning, Springer.

[6] Mosquera, D. (2016). Complejidad topologica en la robotica, Trabajo de fin degrado, Universidad de Santiago de Compostela. Trabajo no publicado.



Spatial regression with complexities

Andrea Meilan VilaArea de Estatıstica e Investigacion Operativa


19th October 2016

Introduction

Trend surface models (see [4] for an exhaustive description), try to relate the ob-servations of a spatial process which varies continuously (geostatistic process) withthe geographic locations in which those observations are taken, using regression mo-dels (usually linear). In these models, two sources of variability can be distinguished(see [3]): a regression function or trend which would gather large-scale variabilityand the error term, which would represent small-scale variability. One of the fun-damental differences of these models with the classical linear regression is that theerrors present a dependence structure, which is usually assumed to be intrinsicallystationary or second-order; when working with Gaussian processes, both stationa-rity conditions are equivalent. That dependence structure is usually unknown, butshould be included in the model, through the covariogram (if the process is second-order stationary) or the variogram (if the process is intrinsically stationary).

Trend surface estimation has only been discussed in the literature in the caseof “simple” statistical processes, under the assumption of normality. However, evenunder this distributional premise, observed samples may present certain complexi-ties, as the presence of outliers. Note that, a spatial outlier is defined as a spatiallyreferenced object whose non-spatial attribute values are significantly different fromthose of other spatially referenced objects in its spatial neighbourhood (see [5]).

The study of spatial outliers was approached by exploratory tools, as MoranScatterplot (see [2]) and through the observation of the variogram cloud (see [3]).The aim of these tools is to identify the possible outliers and to remove them beforeapplying any statistical procedure. However, the performance of these tools is farfrom satisfactory in practice. The effect of the presence of outliers or how to handlethem in trend surface estimation has not been considered in the statistical literature.In this manuscript we detail a new procedure for estimating trend surface modelswhich mitigates the effect of these anomalous observations. The idea would be tocombine the trend surface models estimation using iterative least squares (takinginto account the dependence structure) with the use of pseudo-data coming from aprevious smoothing of the observed sample (see [1]). Some simulations are performedto check the correct performance of the proposed procedure.

Keywords: spatial outliers; smoothing; least squares; spatial regression.

15

16 SII Spatial regression with complexities

A brief background on geostatistics

Spatially dependent data and specifically, geostatistical data appear in a va-riety of applied fields such as geology, hydrology or environmental sciences. Thegenerating mechanism of such data is given by a spatial stochastic process:

Z(s)|s ∈ D, (1)

consisting of collections of random variables indexed in a particular domain D ⊂ Rd(observation region) with a well-defined joint distribution.

Usually, a random process has a deterministic and a random (erratic) part, thatis to say, Z(s) = m(s) + ε(s), where m(·) usually denotes the deterministic (notrandom) part and represents large-scale changes, while ε(·) denotes the randomcomponent and shows the local behaviour or small-scale evolution. The error pro-cess ε(·) is assumed to be zero-mean and second-order stationary. Therefore, m(·)would give the first order structure (mean) and ε(·) explains the second-order part(as its mean is zero, what contributes is the part of covariance). The large-scalespatial structure of the process is represented by the mean function while the small-scale structure is explained by the covariogram C(u) = Cov[Z(s + u), Z(s)] or thevariogram 2γ(u) = Var[Z(s + u)− Z(s)], ∀s, s + u ∈ D.

Dealing with outliers in spatial regression

Consider a random spatial process (1). Assume that the behaviour of the processis described by the following spatial regression model:

Z(s) = X(s)′β + ε(s), s ∈ D, D ⊂ Rd, (2)

where X(·) ∈ Rq denote the spatial regressors that may be geographic coordina-tes and m(·) = X(·)′β is a linear trend component (the superscript ′ denotes thetranspose) and ε(·) denotes the random component.

When the mean function m(·) is taken to be just a polynomial function of thegeographic coordinates (as in the regression model given in (2)), then such modelsare called trend surface models. In this case, the first-order (planar) polynomialtrend surface models will be consider: m(s) = β0 + β1s1 + β2s2, where s = (s1, s2).

For modelling the behaviour of the process, as well as for model-based spatialprediction, it is needed to know the structure of the process, that is, we must have anestimation of the components. Therefore, two sets of parameters must be estimated:β ∈ Rq, from the trend part and θ, from the dependence structure. Usually, θincludes the range, the point variance (sill) and possibly the nugget effect (microscalevariation), see [3].

In trend surface models, the method of iterative least squares is often used toapproximate the model coefficients (see [4]). Nevertheless, this procedure is not veryrobust in the presence of outliers in the response. Now, taking into account the use

Andrea Meilan Vila SII 17

of pseudo-data, we propose a new procedure of trend surface models estimationwhich mitigates the effect of outliers in data.

Consider n locations s1, ... , sn on the region D. The set of random variablescorresponding with those locations will be represented by Z(s1), ... , Z(sn) and theprocess will be described by the spatial regression model Z(si) = X(si)β + ε(si),i = 1, ... , n. We denote Z = (Z(s1), ... , Z(sn))′, m = (m(X(s1)), ... ,m(X(sn)))′.

The estimation procedure consists on four steps: (I) obtain a nonparametricestimator for the vector of observations Z = (Z(s1), ... , Z(sn)), considering Z = m,where m = (m(X(s1)), ... , m(X(sn)))′ (in the geostatistical context, m may bewritten as m = (m(s1), ... , m(sn))′ ); (II) based on the “new response” Z (pseudo-data), obtain an ordinary least squares estimator for β, ignoring the dependencestructure of the errors; (III) estimate the covariance matrix of the errors based onthe residuals from the trend parameter estimator derived in step (II); (IV) based onthe “pseudo-data” Z, weighted least squares estimation of β, taking the dependencestructure of the errors, obtained in (3), into account.

We now explain each of these four steps in detail. First, a vector of pseudo-observations is constructed, Z = (Z(s1), ... , Z(sn))′ = (m(s1), ... , m(sn))′. Herem(si) = T (Fi) (see [1]), where Fi is an estimator of the conditional distributionfunction of Z(si) given the coordinates si and T (·) is a functional which for anydistribution function F is determined by T (F ) =

∫ 10 F

−1(s)J(s)ds, where J(·) is a

given score function satisfying∫ 1

0 J(s)ds = 1.

Then the vector of pseudo-observations Z = (Z(s1), ... , Z(sn))′ will be Z = m,where m = (m(s1), ... , m(sn))′ = (T (F1), ... , T (Fn))′. This will be use as pseudo-response in next steps to mitigate the effect of outliers.

Now, from ordinary least squares using pseudo-data (from the linear regressionof Z over X), βOLSP = arg mınβ(Z − Xβ)′(Z − Xβ) is obtained, ignoring thedependence structure of the errors. Here X denotes X = (X(s1), ... , X(sn))′.

After obtaining the ordinary least squares estimation of β, the estimation of thevariance-covariance matrix of the errors is performed, based on the residuals: ε(si) =Z(si) −X(si)βOLSP , i = 1, ... , n. Given that ε(·) is a zero-mean and second-orderstationary process, so in particular intrinsic stationary (see [3]), the dependencestructure may be described from the variogram function.

Given that errors are not usually observed then the structure of dependenceis estimated from the residuals of the regression (ε(s1), ... , ε(sn)). Non parametricvariogram estimators are not generally valid, since they fail to satisfy the conditionalnegative definiteness property, or it is not easy to prove that this condition holds.However, nonparametric variogram estimators can be used as pilots for fitting avalid parametric model. Suppose that a valid parametric variogram family is givenby 2γθ : 2γ(·) = 2γ(·;θ),θ ∈ Θ. The parameter vector θ can be estimated by

using a weighted least squares approach, θLS . Note that, a great simplification isobtained by assuming isotropy (u = ‖u‖).

Now, since the process ε(·) is second-order stationary, there is a function Cθ(·),the covariogram, such that: Cθ(u) = Cov(ε(s), ε(s +u)) = σ2− γθ(u), which can be


recovered from the variogram, and where σ2 is the variance of the spatial process.A valid estimator of the covariogram Cθ(·) can be obtained by plugging the corres-ponding estimator of the variogram and a suitable estimator σ2 of the variance.

Once the covariogram estimator has been obtained, consider the covariance ma-trix of the process ε(s1), ... , ε(sn). This matrix is denoted by Σ and its entries areΣ(i, j) = Cθ(si − sj), i, j = 1 ... , n. It can be estimated by Σ = (Σ(i, j))ni,j=1, where

Σ(i, j) = CθLS

(si− sj). Finally, weighted least squares estimation of β is performedusing pseudo-data, and taking the dependence structure of the errors into account(contrary to the preliminary estimator βOLSP ):

βIGLSP = arg mınβ

(Z−Xβ)′Σ−1(Z−Xβ). (3)

Simulations

In order to explore the performance of our proposed method, we will carry outa simulation study considering different scenarios for the model (2).

Different comparisons in terms of the estimators of the linear trend componentare made. Consider the estimator of β obtained using ordinary least squares (OLS)from the linear regression of Z over X. Analogous to those realized for the estimationβOLSP , no type of dependence structure will be considered in the computationof this estimator (let us call it βOLS). The second estimator is the one which isusually computed in trend surface model estimation, following an iterative leastsquares procedure, which in the last step, yields a generalized least squares estimatorbased on estimated dependence parameters. This estimator is denoted by βIGLS .We compare the estimators βOLS , βOLSP , βIGLS and βIGLSP .

Data samples with size 121 are generated from an isotropic Gaussian spatialprocess observed at regularly spaced locations s1, ... , sn in the unit square. First-order (planar) polynomial trend surface models are considered. Different values ofthe parameters β0, β1 and β2 are chosen. We have considered that the dependencestructure is modelled from an exponential covariogram, given as C(u) = c0 + ce ifu = 0 and C(u) = ceexp(−u/ae) if u 6= 0 , with different values of its parameters.No nugget effect is considered in the simulation scenarios. To compute the pseudo-data, k = 4 will be used to estimate the conditional distribution. Note that, althoughit is not shown here, if we consider samples with size 400 then the estimates arebetter than if we consider samples with size 121 (in all scenarios).

Scenario 1. Take β0 = 2, β1 = 1 and β2 = 1, and assume that the dependencestructure is modelled from an exponential covariogram with parameters ce = 0.1and ae = 0.1. The observation 120 (located in the top right corner of the square) ismodified in such a way that it would be a spatial outlier.

Table 1 presents mean, median and mean squared error (MSE) from 100 MonteCarlo experiments for the trend estimators based on ordinary least squares (OLS),ordinary least squares using pseudo-data (OLSP), generalized least squares (IGLS)and generalized least squares using pseudo-data (IGLSP). All estimates are better

Andrea Meilan Vila SII 19

when we use OLSP instead of OLS, and the MSE is smaller if we use pseudo-data.If we consider the dependence structure, estimates are better when we use IGLSPinstead of IGLS. Finally, a comparison between OLSP and IGLSP is realized. Again,all estimates are better when we use IGLSP instead of OLSP, and the MSE is smallerif we consider the dependence structure too. As a conclusion, in all comparisonsestimates obtained from IGLSP are better. Note that, although we do not show theestimations of parameters of the variogram in the Table 1, they have been also takeninto account. If we do not consider the pseudo-data, the mean of 100 Monte Carlooutcomes of the variance is 0.0988, while it is 0.0983 if we consider pseudo-data. Asfor the estimation of the range, its estimate is 0.2150, being smaller (0.2131) if weuse pseudo-data. Recall that the theoretical values are ce = 0.1 and ae = 0.1, so inboth cases the estimation of the range is not good.

OLS OLSPβ0 = 2 β1 = 1 β2 = 1 β0 = 2 β1 = 1 β2 = 1

Mean 1.9374 1.0716 1.0865 1.9970 1.0057 1.0113Median 1.9405 1.0807 1.0765 1.9963 0.9965 0.9978MSE 0.0278 0.0439 0.0374 0.0245 0.0398 0.0302

IGLS IGLSPβ0 = 2 β1 = 1 β2 = 1 β0 = 2 β1 = 1 β2 = 1

Mean 1.9439 1.0635 1.0884 2.0032 1.0013 1.0065Median 1.9548 1.0881 1.0895 1.9963 0.9915 0.9984MSE 0.0241 0.0367 0.0365 0.0245 0.0365 0.0278

Table 1: Sample size: 121. Simulation results for a regular Gaussian spatial processwhose trend parameters are β0 = 2, β1 = 1 and β2 = 1. The dependence structureis explained by an exponential covariogram with parameters ce = 0.1 and ae = 0.1.Mean, median and MSE from 100 Monte Carlo experiments are reported for thetrend estimators based on OLS, OLSP, IGLS and IGLSP.

Scenario 2. Now, consider that the dependence structure is modeled again byan exponential covariogram, but the value of the variance is three times larger,ce = 0.3. The values of the parameters of the trend component chosen are the samethat in the above case. The observation 120 is modified to be a spatial outlier.

Table 2 shows mean, median and MSE from 100 Monte Carlo outcomes. Thecorrect performance of the use of pseudo-data may be observed again (if we compareOLS with OLSP and IGLS with IGLSP). Taking into account the dependence struc-ture of the errors, IGLS provides best results than OLS. As for IGLSP, this methodleads to better estimates than OLSP. In all the comparisons, estimates obtainedfrom IGLSP are better. If we do not consider the pseudo-data, the mean of 100Monte Carlo replies of the variance is 0.2820, while it is 0.2806 if we consider them.As for the estimation of the range, its estimate is 0.1156, being smaller (0.1150) ifwe use pseudo-data.


OLS OLSPβ0 = 2 β1 = 1 β2 = 1 β0 = 2 β1 = 1 β2 = 1

Mean 1.9190 1.0960 1.1103 1.9258 1.0169 1.0139Median 1.9271 1.1022 1.1118 1.9371 1.0118 0.9967MSE 0.0230 0.0370 0.0328 0.0225 0.0294 0.0218

IGLS IGLSPβ0 = 2 β1 = 1 β2 = 1 β0 = 2 β1 = 1 β2 = 1

Mean 1.9192 1.0963 1.1113 1.9261 1.0168 1.0139Median 1.9303 1.1042 1.1128 1.9371 1.0126 0.9967MSE 0.0230 0.0370 0.0334 0.0225 0.0293 0.0219

Table 2: Sample size: 121. Simulation results for a regular Gaussian spatial processwhich trend parameters are β0 = 2, β1 = 1 and β2 = 1. The dependence structureis explained by an exponential covariogram with parameters ce = 0.3 and ae = 0.1.Mean, median and MSE from 100 Monte Carlo experiments are reported for thetrend estimators based on OLS, OLSP, IGLS and IGLSP.

Finally, considering a weak dependence structure, and that the values of trendparameters are larger that in the above cases, β0 = 2, β1 = 3 and β2 = 2, the correctperformance of the use of pseudo-data is got too. Taking into account the dependencestructure of the errors, for all estimates IGLSP provides best results than IGLS. Asfor IGLSP, this method leads to better estimates than OLSP for β0, but not for β1

and β2, although results are quite similar. This is because, the dependence structureis weaker and the values of trend parameters are large, therefore the dependencestructure is harder to capture. Moreover, if we do not consider the pseudo-data, themean of 100 Monte Carlo outcomes of the variance is 0.1123, while it is smaller ifwe consider them, 0.1100. As for the estimation of the range, its estimate is 0.1216,being also smaller if we use pseudo-data, 0.1189.

References

[1] Akritas, M. G. (1996). On the use of nonparametric regression techniques forfitting parametric regression models. Biometrics, 52, pp. 1342–1362.

[2] Anselin, L. (1996). The Moran scatterplot as an ESDA tool to assess localinstability in spatial association. Spatial analytical perspectives on GIS, 111,pp. 111-125.

[3] Cressie, N. (1993). Statistics for spatial data. John Wiley & Sons, New York.

[4] Diggle, P., and Ribeiro, P.J. (2007). Model-based geostatistics. Springer, NewYork.

[5] Shekhar, S., Lu, C.T. and Zhang, P. (2003). A unified approach to detectingspatial outliers. GeoInformatica, 7(2), pp. 139–166.



Existencia y unicidad de solucion en sistemas dereaccion-conveccion-difusion

Noemı Esteban Rodrıguez

Area de Matematica AplicadaUniversidade de Santiago de Compostela

2 de noviembre de 2016

Introduccion

El estudio de procesos quımicos esta adquiriendo cada vez mayor interes en laindustria. Concretamente, la simulacion de un proceso para obtener el diseno optimode un reactor a partir de una planta piloto, resulta de especial interes.

En estos problemas, el modelado matematico de los reactores quımicos es laprimera tarea a realizar. Una vez obtenidas las ecuaciones, nos planteamos si nuestromodelo tiene solucion y si esta es unica. Haremos esto para una importante familiade reactores quımicos que son los llamados reactores de flujo en piston (PFRs) otubulares. En ellos, la velocidad del fluido es nula en las paredes del tubo debido ala viscosidad y las ecuaciones obtenidas forman un sistema de conveccion-difusioncon reaccion. La principal dificultad en este estudio se debe a la no linealidad deltermino fuente y al acoplamiento de las ecuaciones.

Reacciones quımicas: nociones basicas

Consideraremos un conjunto de N especies quımicas, S = S1, ... , SN. Estasespecies estaran involucradas en un conjunto de R reacciones:

reactivos︷︸︸︷νr1S1 + ···+ νrNSN →

productos︷︸︸︷λr1S1 + ···+ λrNSN , ∀r = 1, ... , R,

donde los coeficientes νrn y λrn con n = 1, ... , N y r = 1, ... , R se llaman coeficientesestequiometricos; y la matriz, E, construida a partir de estos coeficientes, se dicematriz de estequiometrıa:

Enr = λrn − νrn, n = 1, ... , N y r = 1, ... , R.

Palabras Clave: PFR; conveccion-difusion; modelado matematico; teorıa de semigrupos;existencia local; existencia global.

21

22 SII Existencia y unicidad en sistemas de reaccion-conveccion-difusion

A cada una de estas reacciones, le corresponde una velocidad de reaccion. Nosotrosestamos interesados en un tipo concreto de expresiones para ellas conocidas comola ley de accion de masas (C.M. Guldberg and P. Waage (1864-67)) y que se definede la siguiente manera:

δr(θ, y1, ... , yN ) = kr(θ)

N∏n=1

yνrnn .

El factor kr = kr(θ) se llama constante de tasa de reaccion y es una funcion dela temperatura, θ, a traves de la ley de Arrhenius. Esto es, kr(θ) = kr0 exp(−EarR θ )donde kr0 es una constante, Ear es la energıa de activacion y R es la contanteuniversal de los gases.La expresion de las velocidades de reaccion viene dada ademas por un producto delas concentraciones de las especies quımicas que aparecen en las reacciones, yn, n =1, ..., N , con exponentes dados por los coeficientes estequiometricos de los reactivos.

Modelo matematico

A partir de las ecuaciones generales de termomecanica para mezclas que reaccionan(ecuaciones de la masa de las especies) se deduce el siguiente modelo para los PFRs:

(Pb)

∂y

∂t+ v

∂y

∂z− d ∂

2y

∂z2= f(y) en (0,∞)× Ω,

y(0, z) = y0(z) en Ω,

− d ∂y

∂z(t, 0) + v y(t, 0) = g(t) en (0,∞),

∂y

∂z(t, L) = 0 en (0,∞).

Ω: es el intervalo (0, L), donde L es la longitud del reactor (m).v: velocidad (m/s).y: concentraciones de las especies quımicas (kmol/m3 = mol/l).d: coeficiente de difusion (m2/s).f : termino de reaccion (kmol/(m3s)).

Existencia y unicidad de solucion local

En esta seccion estudiaremos la existencia y unicidad de solucion clasica de (Pb).La teorıa de existencia local para nuestro sistema de EDPs puede verse como unaextension de la teorıa clasica para ecuaciones diferenciales ordinarias y esta basadaen la teorıa de semigrupos [3]. En la demostracion se construye una contraccionestricta y se trabajara con las propiedades de Holder continua y localmente lipschit-ziana del termino de reaccion.

Noemı Esteban Rodrıguez SII 23

Para aplicar esta teorıa, se requieren condiciones de contorno homogeneas. Por lotanto, si hacemos una traslacion de la solucion, el problema (Pb) queda transformadode la siguiente manera:

(Pbh)

∂u

∂t+ v

∂u

∂z− d ∂

2u

∂z2= f(t,u) en (0,∞)× Ω,

u(0, z) = u0(z) en Ω,

− d ∂u

∂z(t, 0) + v u(t, 0) = 0 en (0,∞),

∂u

∂z(t, L) = 0 en (0,∞),

donde u = y − 1v g(t), u0 = y0 − 1

v g(0) y f : [0, T ] × X → X dada por f(t,u) =

f(t,u + 1

v g(t))− 1

v g′(t) es un espacio de Banach que detallaremos mas adelante.

Sin embargo, el teorema de existencia local requiere reescribir el problema (Pbh) co-mo un problema parabolico semilineal donde la no linealidad depende de la incognitau pero no de sus derivadas como sigue:

(Pba)

du

dt= Au + f(t,u), t ≥ 0,

u(0) = u0,

donde A : D(A) → X es el operador lineal definido por Au = d∂2u

∂z2− v

∂u

∂z,

∀u ∈ D(A) con D(A) = u ∈ W 2,p(Ω) ∀p ≥ 1 : Au ∈ X,Bu|∂Ω = 0 y X = C(Ω).

El operador diferencial B esta definido por Bu = b0(z) u + b1(z)∂u

∂z, ∀z ∈ 0, L,

con b0(0) = v, b0(L) = 0 y b1(0) = −d, b1(L) = 1.

A continuacion, describimos las hipotesis requeridas en el teorema para (Pba).

Hipotesis para el operador elıptico A

(A1) El coeficiente de difusion, d, es positivo.

(A2) Si ξ, η ∈ R son linealmente independientes, entonces para cada τ ∈ Ω elpolinomio p(τ) = d(ξ + η τ)2 tiene una unica raız con parte imaginariapositiva.

Hipotesis para el operador diferencial B

(B1) Sea ν el vector normal unitario exterior a ∂Ω. Se tiene, ınfz∈∂Ω

|b1(z) ν(z)| =mın1, d > 0.

(B2) b0, b1 ∈ UC1(Ω) donde UC1(Ω) denota el conjunto de las funciones conti-nuamente diferenciables en Ω con derivadas uniformemente continuas yacotadas y que se pueden extender.


Las siguientes hipotesis se refieren a la funcion f , son las condiciones de Lipschitzy Holder. Para esto, necesitamos definir previamente algunos conceptos y probaralgun resultado previo.

Definicion 1. Una funcion g : [0, T ] × X → X es localmente Lipschitz conrespecto a la variable espacial si existe una constante CLip > 0 tal que:∀K > 0, ‖g(t,x)−g(t,x0)‖ ≤ CLip ‖x−x0‖X , ∀x, x0 ∈ BX(0,K) y para 0 ≤ t ≤ T.

Definicion 2. Una funcion g : [0, T ]×X → X satisface una condicion de Holdercon respecto a la variable temporal si existen constantes CHol > 0 y θ ∈ (0, 1) talesque:

‖g(t,x)− g(s,x)‖ ≤ CHol (t− s)θ para 0 ≤ s < t ≤ T.

Definicion 3. Una funcion g : [0, T ] × X → X es localmente Lipschitz conrespecto a la variable espacial y satisface una condicion de Holder con respectoa la variable temporal si ∀K > 0 existen constantes C > 0 y θ ∈ (0, 1) tales que:

‖g(t,x)−g(s,x0)‖ ≤ C(

(t− s)θ + ‖x− x0‖X), ∀x, x0 ∈ BX(0,K), 0 ≤ s < t ≤ T.

Lema 1. La funcion f , en el problema (Pb), satisfaciendo la ley de accion de masasverifica la Definicion 1.

Demostracion:Sean X = C(Ω) e y1,y2 ∈ C([0, T ]×Ω) tales que ‖y1−y2‖X < m y m > 0. Entonces,

|f(t,y1)− f(t,y2)| = |Eδ(t,y1)− Eδ(t,y2)| ≤ ‖E‖ |δ(t,y1)− δ(t,y2)|.

Definimos la siguiente composicion de funciones:

δϕ : s ∈ [0, 1]ϕ−→ ϕ(s) := sy1 +(1−s) y2 ∈ B(y1,m)

δ−→ δ(t, sy1 +(1−s) y2) ∈ RL.

Notese que δ(t,y1) = δ(t, ϕ(1)) y δ(t,y2) = δ(t, ϕ(0)). Entonces,

‖f(t,y1)− f(t,y2)‖ ≤ ‖E‖‖δ(t, ϕ(1))− δ(t, ϕ(0))‖.

Ahora, aplicando el Teorema del valor medio para integrales definidas y la regla dela cadena, obtenemos la siguiente desigualdad:

‖f(t,y1)− f(t,y2)‖≤ ‖E‖∥∥∥∥∫ 1

0(δ(t) ϕ)′(s) ds

∥∥∥∥= ‖E‖

∥∥∥∥∫ 1

0Dδ(t, sy1 + (1− s) y2)(y1 − y2) ds

∥∥∥∥≤ ‖E‖ sup

0≤s≤1sup

Ω

∣∣Dδ(t, sy1 + (1− s) y2)∣∣ ‖y1 − y2‖X .

Noemı Esteban Rodrıguez SII 25

B(y1,m) es convexa, entonces sy1 + (1 − s) y2 ∈ B(y1,m). Por el Teorema deWeierstrass se deduce que la aplicacion diferencial esta acotada y podemos escribir

‖f(t,y1)− f(t,y2)‖ ≤M ‖y1 − y2‖X .

2

Lema 2. La funcion f , en el problema (Pb), satisfaciendo la ley de accion de masasy la ley de Arrhenius verifica la Definicion 2.

Demostracion:Por brevedad no incluimos la demostracion, pero se seguirıa utilizando el Lema 4 yel Teorema del Valor Medio. 2

Propiedades de f :

Lema 3. Supongamos que g ∈ C2([0, T ]). Entonces, f , en (Pba) verifica la Defini-cion 3.

Demostracion:Por los Lemas 1 y 2 ademas del Teorema del Valor Medio se tiene el resultado. 2

Finalmente, podemos enunciar nuestro teorema de existencia local de solucion yunicidad.

Teorema 1 (Teorema de existencia local). Supongamos que u0 ∈ C(Ω) y satis-face las condiciones de contorno, el operador A satisface (A1) y (A2), B satisface(B1) y (B2); y f satisface la Definicion 3. Entonces:

(i) ∃δ > 0 tal que (Pba) tiene una unica solucion u : [0, δ] × Ω → RN , con ucontinua en [0, δ]× Ω y ∂u

∂t , ∂u∂z y Au son continuos en (0, δ]× Ω.

(ii) u puede extenderse a una solucion maximal u(t, z; u0) : I(u0) × Ω → RN ,I(u0) relativamente abierto en [0, T ].

Demostracion:La demostracion de la existencia local se puede encontrar en [3]. 2

Existencia de solucion global

En esta seccion estudiamos la existencia de solucion global para el problema (Pb).Es necesario demostrar que no se produce blow-up en la solucion cuando t→∞. Esdecir, que cualquier solucion maximal esta acotada (vease por ejemplo [2]). En estecontexto, seran muy importantes las siguientes propiedades de la solucion:

(P) La no-negatividad de la solucion se conserva a lo largo del tiempo.


(M) La masa total de componentes esta acotada a lo largo del tiempo.

La acotacion de la solucion, y por tanto la existencia cuando t → ∞ se sigue delsiguiente resultado:

Lema 4. Supongamos que se verifica la propiedad (P) y que la condicion inicialesta en el espacio L∞(Ω), entonces la solucion permanece en L∞((0, T )×Ω) inde-pendientemente del T > 0 elegido, de hecho T =∞.

Demostracion:Este teorema requiere de algunos resultados previos que por brevedad no incluire-mos, pero se deducen a partir de [1]. 2

Conclusiones

Basandonos en la teorıa de semigrupos hemos sido capaces de probar la existencialocal de solucion e incluso obtener unicidad de la solucion maximal. Sin embargo,para probar la existencia global se requieren propiedades caracterısticas de este tipode sistemas. Finalmente, no se tiene unicidad de la solucion global.

Bibliografıa

[1] Pierre, M. (2010). Global existence in reaction-diffusion systems with control ofmass: a survey, Milan Journal of Mathematics, 78(2), pp. 417–455.

[2] Crouzeix, M. y Mignot, A. (1992). Analyse numerique des equations differen-tielles, Collection Mathematiques appliquees pour la maıtrise. Masson.

[3] Lunardi, A. (1995). Analytic Semigroups and Optimal Regularity in ParabolicProblems, Springer Basel.



Grupos: entre lo finito y lo infinito

Marıa Pilar Paez GuillanArea de Alxebra


16 de noviembre de 2016

Introduccion

El concepto de grupo es muy transversal en matematicas: podemos encontrarlo enla teorıa de cuerpos y en la resolucion de ecuaciones algebraicas (grupos de Galois),en topologıa (grupos de homotopıa y homologıa), en geometrıa diferencial (gruposde Lie), en el estudio de las simetrıas (grupo simetrico)... Ademas, tiene aplicacionesa otros campos de la ciencia; por citar algunas, las representaciones de grupos sonindispensables en mecanica cuantica, y la formalizacion del concepto de simetrıaha contribuido de manera determinante en el estudio de las estructuras cristalinas.Una buena referencia en materia de teorıa general de grupos es [3]; sin embargo, enesta Introduccion nos limitaremos a presentar las nociones estrictamente necesariaspara comprender el resto del trabajo.

Comencemos recordando que se entiende por grupo.

Definicion 1. Llamamos grupo a todo par (G, ·) formado por un conjunto G y unaoperacion interna · que verifica:

1. La operacion · es asociativa.

2. Existe elemento neutro e ∈ G.

3. Para todo elemento g ∈ G, existe el inverso g−1 ∈ G.

Cuando no haya posibilidad de confusion, denotaremos a los grupos sencillamentecomo G.

Es conveniente ilustrar este concepto con ejemplos sencillos, siendo quizas el mas in-mediato (Z,+). Del mismo modo, estaremos interesados en ejemplificar sus distintaspropiedades con grupos concretos que las verifiquen, y recıprocamente, formalizarnuevos conceptos abstrayendo comportamientos de un grupo particular. Ası, en-contramos grupos abelianos como el propio (Z,+), y otros que no lo son como(GL2(R), ·); grupos finitos como (Zn,+), y grupos infinitos como los dos anteriores.

Presentaremos a continuacion una serie de propiedades que cumplen trivialmentetodos los grupos finitos.

Palabras Clave: grupos infinitos; problema de Burnside; Golod-Shafarevich.

27

28 SII Grupos: entre lo finito y lo infinito

Definicion 2. Un grupo G se dice finitamente generado cuando existe un sub-conjunto finito S ⊂ G tal que todo elemento de G se puede expresar como productode elementos de S y de sus inversos. Si S es unitario, el grupo se dice cıclico.

Definicion 3. Dado un grupo G, el orden de un elemento g ∈ G es el menor n > 0tal que gn = e. En caso de que ningun n cumpla la igualdad, se dice que g tieneorden infinito.Un grupo G se dice de torsion cuando todos sus elementos tienen orden finito; masaun, se dice de exponente finito n cuando el orden de sus elementos esta acotadosuperiormente por n.

Definicion 4. Un grupo G se dice residualmente finito cuando para todo elementog ∈ G, g 6= e, existe un homomorfismo fg de G a un grupo finito tal que fg(g) 6= e.

Encontrar ejemplos de grupos infinitos que satisfagan estas propiedades no es unatarea difıcil: (Z,+) es finitamente generado (de hecho, es cıclico);

∏∞n=2 Zn es de

torsion; y∏∞n=1 Z2 es de exponente finito 2. Algo mas complicado es probar que,

por ejemplo, todo grupo libre es residualmente finito.A la vista de los anteriores ejemplos, es razonable preguntarse si podemos encontrarotros que verifiquen a la vez varias de las propiedades, pero la respuesta no estrivial. Por ejemplo, existen clases importantes de grupos, como los abelianos, losnilpotentes o los resolubles, en los que ser finitamente generado y de torsion implicaser finito. La pregunta de si esta implicacion se cumple para todo grupo se conocecomo problema generalizado de Burnside. Planteado en 1902 por el matematicobritanico William Burnside, permanecio abierto durante 60 anos hasta su resolucionen 1964 gracias a los trabajos de Evgeny Golod e Igor Shafarevich.Las dos secciones siguientes se dedicaran a la construccion de un grupo finitamentegenerado y de torsion con infinitos elementos; a continuacion, trataremos las demascondiciones de finitud presentadas.

Desigualdad de Golod-Shafarevich

Una herramienta esencial en la resolucion del problema generalizado de Burnsidefue la desigualdad de Golod-Shafarevich. Aquı presentaremos el caso graduado, ypara ello sera necesario introducir alguna notacion previa.Sean K un cuerpo y U = u1, ... , um un conjunto. Denotamos por K〈U〉 =K〈u1, ... , um〉 el algebra de polinomios en las variables no conmutativas u1, ... , umcon coeficientes en K:

K〈U〉 = ∑finita

cαmα : mα son monomios en U distintos dos a dos y cα ∈ K.

Podemos dotar a K〈U〉 de estructura de algebra graduada a traves del grado de lospolinomios; es decir, K〈U〉 = ⊕∞n=0K〈U〉n, donde K〈U〉n = f ∈ K〈U〉 : deg(f) =n. Los elementos de cada K〈U〉n reciben el nombre de elementos homogeneos degrado n.

Marıa Pilar Paez Guillan SII 29

Sea R un subconjunto de K〈U〉 formado por rn elementos homogeneos de cadagrado n, con n ≥ 1, y sea I el ideal de K〈U〉 que genera. Consideremos el cociente

A =K〈U〉I

=∞⊕n=0

K〈U〉nI ∩K〈U〉n

,

de nuevo algebra graduada, y denotemos an = dimKK〈U〉nI∩K〈U〉n . Condensaremos la

informacion proporcionada por los an y rn en las sumas de Hilbert

HA(t) =

∞∑n=0

an tn, HR(t) =

∞∑n=0

rn tn,

notando que dimKA = HA(1) y |R| = HR(1).

Teorema 1 (Desigualdad de Golod-Shafarevich. Caso graduado). Con las notacio-nes anteriores, se cumple que

(1− |U | t+HR(t)) ·HA(t) ≥ 1, (1)

donde 1 representa la serie constante y ≥ expresa desigualdad componente a com-ponente.

Definicion 5. Un algebra graduada A es Golod-Shafarevich si admite una presen-tacion (U,R) y existe τ ∈ (0, 1) tal que 1−|U |τ +HR(τ) < 0 (en particular, la serieHR(τ) converge).

Informalmente, se puede decir que las algebras Golod-Shafarevich son aquellas quetienen pocas relaciones en comparacion con sus generadores.

Corolario 1. Las algebras de Golod-Shafarevich tienen dimension infinita.

Demostracion. Sea A un algebra de Golod-Shafarevich. Basta ver que la serie HA(τ)diverge, pues HA(τ) ≤ HA(1) = dimKA. En efecto, si HA(τ) convergiera, su sumaserıa positiva. La hipotesis de que A es Golod-Shafarevich implicarıa que el pro-ducto (1 − |U |τ + HR(τ)) · HA(τ) tambien serıa convergente y ademas negativo,contradiciendo (1).

Problema generalizado de Burnside

Para construir un grupo infinito, finitamente generado y de torsion, nos apoyaremosen la construccion previa de una K-algebra A infinito-dimensional, finitamente ge-nerada y con todos los elementos nilpotentes; es decir, para todo a ∈ A existe t ∈ Ntal que at = 0 (que a su vez da respuesta al problema de Kurosh-Levitzky). Nosceniremos al caso en que el cuerpo K es numerable (para el caso general, consultar[1]).


Sea m ≥ 2 un entero, U = u1, ... , um un conjunto, y consideremos K〈U〉+ =⊕∞n=1K〈U〉n (polinomios con termino independiente nulo), conjunto numerable. Es-cribimos K〈U〉+ = f0, f1, ... , y escogemos τ ∈ (1/m, 1). Por ser

∑∞n=0 τ

n conver-gente y 1−mτ < 0, podemos tomar N ∈ N de forma que 1−mτ +

∑∞n=N τ

n < 0.Construiremos una sucesion de naturales de la siguiente manera:

Tomamos N0 = N , y escribimos fN00 como la suma de sus componentes homo-

geneas: fN00 =

∑k0i=0 f0,i. En particular, deg(f0,i) ≥ N0 = N , para i = 0, ... , k0,

por no tener f0 termino independiente.

Tomamos N1 ≥ maxdeg(f0,i) + 1k0i=0, y consideramos f1,ik1i=1 las compo-

nentes homogeneas de fN11 . De nuevo, deg(f1,i) ≥ N1 > deg(f0,l) ≥ N para

i = 0, ... , k1 y l = 0, ... , k0.

En general, tomamos Nj ≥ maxdeg(fj−1,i)+1kj−1

i=0 , y consideramos fj,ikji=1

las componentes homogeneas de fNjj . Se cumplira que deg(fj,i) > deg(fn,ln) ≥

N para i = 0, ... , kj , n < j y ln = 0, ... , kn.

Finalmente, consideremos el conjunto numerable y formado por elementos homo-geneos R = fn,in : n ∈ N, i ≤ in ≤ Kn, I el ideal de K〈U〉 generado por R y el

algebra A = K〈U〉I . Sea A+ la proyeccion de K〈U〉+ en A. Por construccion, A+ sera

m-generada y todo elemento sera nilpotente. Para ver que tiene dimension infinita,basta probar que A la tiene, puesto que dimK

AA+ = dimKK = 1. La construccion

de las fn,inn∈N nos dice que R contiene como mucho un elemento de cada grado,y ninguno de grado menor que N . Por tanto,

1− |U |τ +HR(τ) ≤ 1−mτ +∞∑n=N

τn < 0,

y ası A es Golod-Shafarevich. El Corolario 1 nos permite afirmar que, entonces, Atiene dimension infinita, y por tanto, tambien A+.

Con este resultado, ya estamos en condiciones de construir un grupo que permitadar una respuesta negativa al problema generalizado de Burnside.

Teorema 2 (Golod). Para todo entero m ≥ 2, existe un grupo infinito m-generadoy de torsion.

Demostracion. Sea p un primo. Consideremos el cuerpo finito K = Fp y construya-mos un algebra A+ segun el procedimiento anterior, formando la sucesion Nnn∈Nempleando unicamente potencias de p. Es sencillo comprobar que los elementos

1+u1, ... , 1+um de 1+A+ tienen inverso multiplicativo: (1+ui)·(∑N(ui)

t=0 (−1)tuti) =

(∑N(ui)

t=0 (−1)tuti) ·(1+ui) = 1, donde N(ui) denota el menor elemento de la sucesion

Nnn∈N que hace uN(ui)i = 0.

Consideremos el grupo G generado por 1+u1, ... , 1+um, que por lo anterior estaracontenido en 1 +A+. Claramente, es m-generado. Ademas, dado que N(ui) es una

Marıa Pilar Paez Guillan SII 31

potencia de p para todo i = 1, ... ,m, y que Fp tiene caracterıstica p, se cumple que

(1 + ui)N(ui) = 1 + u

N(ui)i = 1 para todo i = 1, ... ,m; por tanto, G es de torsion.

Por ultimo, comprobaremos que G es infinito. La inclusion ι : G → 1 + A+ induceel homomorfismo de algebras

ι? : Fp[G] −→ A,

1 7−→ 1

1 + ui 7−→ 1 + ui

donde Fp[G] denota el algebra de polinomios con los elementos de G como variablesconmutativas y coeficientes sobre el cuerpo Fp. La subalgebra Im(ι?) contiene a loselementos 1 +ui, con i = 1, ... ,m, y tambien a 1; por tanto, contendra a los ui, y ι?sera sobreyectiva. Dado que A es infinito-dimensional, tambien lo sera Fp[G], y portanto G sera un grupo infinito.

Otras construcciones

Aunque la construccion del Teorema 2 da respuesta al problema generalizado deBurnside, presenta el inconveniente de que no ofrece una construccion explıcitade G en terminos de generadores y relaciones. Este problema puede solventarseempleando una version mas general de la desigualdad de Golod-Shafarevich, paraalgebras filtradas, que puede a su vez ser trasladada al contexto de grupos paradefinir los grupos de Golod-Shafarevich de manera analoga a las algebras de Golod-Shafarevich (ver [1]). Dicha tecnica permite, ademas, construir ejemplos mas fuertes,como grupos infinitos m-generados y de torsion en los que cada subgrupo (m− 1)-generado es finito, para m ≥ 2.De esta manera, hemos encontrado ejemplos de grupos infinitos que cumplen dos delas propiedades de finitud presentadas en la Introduccion: ser finitamente generadosy de torsion. Resulta razonable preguntarse si tambien podemos construir gruposinfinitos, finitamente generados y de exponente finito; mas en general, si dados dosnaturales m,n, el grupo B(m,n), m-generado y de exponente n, es o no infinito(cuestion conocida como el problema acotado de Burnside). Los primeros resulta-dos fueron proporcionados por Novikov y Adyan, mostrando que tales grupos soninfinitos para n impar y suficientemente elevado; mas adelante, se extendieron alcaso par. Son de destacar los contraejemplos de Ol’shanskii, conocidos como “mons-truos de Tarski”: grupos infinitos finitamente generados en los que cada subgrupo notrivial es cıclico de orden p, para un primo p suficientemente elevado. En particular,vemos que todos los elementos tienen orden p; ademas, podemos extraer que todosubgrupo es finito. A pesar de estos avances, el caso general permanece abierto enla actualidad, y no se conoce la respuesta para grupos aparentemente tan sencilloscomo B(2, 5).En cuanto a los grupos residualmente finitos, Ershov y Jaikin-Zapirain emplearonrecientemente las tecnicas de Golod-Shafarevich para construir grupos infinitos, fi-nitamente generados, residualmente finitos y de torsion, en los que todo subgrupo


finitamente generado es finito o bien tiene ındice finito; es lo que podrıamos lla-mar el analogo residualmente finito a los monstruos de Tarski, motivo por el cualhan recibido en alguna ocasion el nombre de “monstruitos de Jaikin”. Sin embargo,esta construccion no se puede extender a grupos que, ademas de ser de torsion,tengan exponente finito: todo grupo finitamente generado, residualmente finito yde exponente finito es finito, resultado que dio respuesta al problema restringido deBurnside y que le valio a Efim Zelmanov para ser galardonado con la Medalla Fieldsen 1994.De este modo, quedan cubiertas todas las propiedades tıpicas de grupos finitos defi-nidas en la Introduccion; no obstante, podrıan presentarse otras como ser localmenteresidualmente finito extendido (LERF) (dado un subgrupo finitamente generado yun elemento no perteneciente a el, existe un grupo de ındice finito que los separa),o algorıtmicamente finito (ningun algoritmo puede producir un conjunto infinito deelementos del grupo disjuntos dos a dos). De nuevo, los grupos de Golod-Shafarevichproporcionan ejemplos de grupos infinitos verificando estas propiedades (como sepuede consultar en [2]), ası como otras construcciones interesantes: por ejemplo, ungrupo infinito y finitamente generado con exactamente tres subgrupos maximales(es un hecho conocido que no existe ningun grupo de esas caracterısticas con solouno o dos subgrupos maximales).

Aplicaciones de la desigualdad de Golod-Shafarevich

Por completitud, indicamos que aunque la construccion de contraejemplos en teorıade grupos es una de las aplicaciones fundamentales de la desigualdad de Golod-Shafarevich, no es la unica ni la que la motivo. En realidad, fue desarrollada paradar respuesta (negativa) al problema de la torre de clases de cuerpos en teorıa denumeros: dada una extension finita K : Q, ¿existe otra extension finita L : K : Q talque su anillo de enteros es dominio de ideales principales?Otra aplicacion importante es al estudio de las 3-variedades hiperbolicas, debido aque sus grupos fundamentales tienen un subgrupo de ındice finito que es Golod-Shafarevich.

Bibliografıa

[1] Ershov, M. (2012). Golod-Shafarevich groups: a survey, Internat. J. AlgebraComput., 22(5), pp. 1230001–68.

[2] Ershov, M. y Jaikin-Zapirain, A. (2013). Groups of positive weighted deficiencyand their applications, J. Reine Angew. Math., 677, pp. 71–134.

[3] Kargapolov, M. I. y Merzljakov, Ju. I. (1979). Fundamentals of the theory ofgroups, Springer-Verlag.



A cooperacion nos problemas de inventario

Alejandro Saavedra-Nieves

Area de Estatıstica e Investigacion OperativaUniversidade de Santiago de Compostela

30 de novembro de 2016

Resumo

A xestion do inventario de bens fısicos e unha parte integral dos sistemas loxısticos,comun a diversos sectores economicos tales como a industria, a agricultura ou ocomercio, e independente do volume de producion. Contextos socio-economicos comoos actuais, nos que as empresas buscan minimizar perdas economicas, favoreceron oestudo de problemas de inventario multi-axente nos ultimos anos. Neles, un grupo deaxentes buscan realizar pedidos en comun para cubrir as suas demandas e minimizaros custos do proceso, que deben ser repartidos.

Neste traballo presentase un novo modelo de inventario que permite estudar a polı-tica optima para un conxunto de axentes con demanda determinista, cun almacenpropio, sen custo polo almacenamento, sen posibilidade de deficit e sobre o que seintroduce unha componente variable no custo pola realizacion dun pedido.

Preliminares

O problema de inventario

O inventario e a cantidade de mercancıa almacenada por unha empresa nun instantede tempo, o que lle supon unha inversion de capital pola compra e mantemento doproduto en stock. Cada empresa debe posuır o nivel de inventario axeitado parasatisfacer as necesidades dos clientes e por iso, compre manexalo de maneira optima.

A teorıa de inventario centrase no deseno e na optimizacion de sistemas de producionpara reducir custos. Na modelizacion destas situacions, consideranse:

Un axente que desexa organizar o seu inventario.

A demanda de produto: o numero de unidades que se retira do inventario parao seu uso nun perıodo de tempo fixado.

O axente satisfai a sua demanda de produto a traves dun proveedor externo.

Palabras Clave: problemas de inventario multi-axente; xogos cooperativos; regras de asig-nacion.

33

34 SII A cooperacion nos problemas de inventario

O obxectivo pasa por determinar a cantidade optima de pedido a solicitar e o mo-mento no que realizalo. O equilibrio entre cantidade e numero de pedidos resultafundamental. Pedir moito ou facelo frecuentemente, aumenta o custo do proceso.

Os problemas de inventario centralizados

Nun problema de inventario centralizado varios axentes que se enfrontan a proble-mas de inventario individuais deciden coordinar os seus pedidos para reducir custos.A determinacion do nivel de inventario optimo pasa por: (I) formular o modelo ma-tematico axeitado que describa a situacion de inventario, (II) identificar a polıticaoptima baixo a cooperacion dun grupo de individuos e (III) repartir os custos xe-rados entre os axentes involucrados usando a teorıa de xogos.

Os xogos de custos

Os xogos de custos constituen unha das clases mais importantes dos xogos coopera-tivos. Nos modelos cooperativos os participantes comportanse dunha determinadamaneira para obter o que consideran como optimo social. Unha vez acadado, re-partense os custos da cooperacion entre os axentes. Ası, a existencia de coalicionsfundamenta esta clase de xogos (ver [3]).

No que segue, N := 1, ..., n denota o conxunto dos xogadores. Unha coalicion eun subconxunto S ⊆ N con s := |S| elementos. A coalicion N e a gran coalicion.

Definicion 1. Un xogo de custos e un par (N, c), onde N e o conxunto de xogadorese c : 2N → R e unha funcion verificando que c(∅) := 0.1

A funcion c e a funcion caracterıstica do xogo de custo. Para cada S ⊆ N , c(S)denota os custos asociados a formacion da devandita coalicion.

Unha das propiedades procuradas nestas situacions e a subaditividade, isto e, quea cooperacion entre xogadores resulte beneficiosa en termos de custos.

Definicion 2. O xogo (N, c) e subaditivo se para cada S, T ⊆ N , con S ∩ T = ∅,se verifica que c(S) + c(T ) ≥ c(S ∪ T ).

A teorıa de xogos pasa pola determinacion de regras e conxuntos de asignacionsdos custos xerados da colaboracion entre todolos axentes. Para este fin, distintosenfoques poden ser considerados.

Ao criterio de estabilidade responden as asignacions no nucleo que e o conxunto derepartos de c(N) verificando eficiencia (*) e racionalidade grupal (**).

Definicion 3. Defınese o nucleo C(c) de (N, c) como o conxunto

C(c) :=

x ∈ RN :

∑i∈N

xi = c(N) (*) e para cada S ⊂ N,∑i∈S

xi ≤ c(S) (**)

.

1A notacion 2N refırese ao conxunto de partes de N , tamen denotado por P(N).

Alejandro Saavedra-Nieves SII 35

Os elementos de C(c) asignan a cada S ⊂ N custos menores ou iguais que os garan-tidos a coalicion por si mesma. Son repartos estables, xa que non deixan insatisfeitosa ningun membro da coalicion.Outro enfoque e o da ecuanimidade nos repartos entre xogadores que cooperan. Ovalor de Shapley e un exemplo de regra definida baixo este criterio.

Definicion 4. O valor de Shapley Φ asigna a cada xogador i ∈ N do xogo (N, c)

Φi(c) :=1

n!

∑σ∈Π(N)

mσi (c),

onde Π(N) e o conxunto de permutacions de N , P σi := j ∈ N : σ(j) < σ(i) emσi (c) := c(P σi ∪ i)− c(P σi ) para cada σ ∈ Π(N).

O valor de Shapley asigna a cada i ∈ N o seu valor esperado se se supon que,acadado un acordo, a cada axente se lle reclama o custo que aporta a coalicion dexogadores que o preceden. Suponse que a orde de chegada e aleatoria e todalas ordesson equiprobables.

Un novo modelo de inventario

En [2] estudan un sistema de inventario multi-axente que permite cubrir as nece-sidades de alimento dun conxunto de granxas no Noroeste de Espana. Cada undeses individuos ten unha demanda determinista e unha capacidade de almacenaxede produto limitada sen custo asociado. Ademais, os deficits non estan permiti-dos. Nese modelo, os axentes situanse nunha ruta rectilınea, polo que os custos detransporte dependen da maxima distancia o proveedor.Neste traballo e introducida unha nova perspectiva sobre o custo pola realizaciondun novo pedido, xa que se consideran duas componentes para o mesmo: unhaparte de custo fixa e outra variable. Estudamos o caso de cooperacion dos axentes narealizacion de novos pedidos conxuntos o considerar que o custo variable ven definidopor unha funcion xeral, non necesariamente aditiva. Como novidade, considerasesobre ela unha condicion de submodularidade na lina da proposta por [1]. Para estemodelo, e obtida a polıtica de inventario optima, ası coma a definicion dunha regrade reparto dos custos optimos.Dacordo co descrito neste modelo de inventario:

1. Hai un conxunto de axentes N que se plantexan formar coalicions de pedido,isto e, grupos de axentes S ⊆ N nos que os seus membros cooperan para arealizacion dun unico pedido o proveedor.

2. A demanda de i ∈ N e di > 0 unidades de produto por unidade de tempo. Ca-da axente dispon dun almacen propio, cunha capacidade de Ki > 0 unidades.Os custos pola sua utilizacion son irrelevantes e o deficit non esta permitido.

3. A realizacion dun pedido ten un custo fixo igual a a > 0 e unha parte variableA(S) ≥ 0 asociada, polo xeral, o transporte do pedido realizado polos axentes


en S ⊆ N . Cando S se forma, o proveedor recibe a + A(S) por un pedido,verificando A(∅) = 0.

4. Fronte o proposto en [2], modelono que todolos axentes estan situa-dos nunha lina recta (ver Figura2), neste modelo considerase queos axentes estan distribuidos baixocalquera tipo de grafo (ver Figura1). Ası, en lugar de tomar A(S) =maxi∈S A(i), o valor de A(S) que-da determinado unha funcion arbi-traria (a suma, A(S) =

∑i∈S A(i);

o maximo, A(S) = maxi∈S A(i);ou A(S) = f

(A(i)i∈S

), entre ou-

tras).

Proveedor

Granxa 1

Granxa 2

...Granxa i− 1

Granxa i

Granxa n− 1

...

Granxa i+ 1

Granxa n

Figura 1: Axentes situados nungrafo arbitrario.

Proveedor Granxa 1 Granxa 2...

Granxa i− 1 Granxa i Granxa i+ 1...

Granxa n− 1 Granxa n

Figura 2: Axentes situados en lina recta.

En adiante, un sistema Economic Order Quantity (EOQ) sen custos polo almacena-mento e con custos xerais de transporte sera denotado por (N, a,A, dii∈N , Kii∈N ).Para este modelo, identifıcase a sua polıtica de inventario optima cando os axentesforman unha coalicion de pedido e proponse unha regra de asignacion dos custosxerados pola colaboracion entre os diferentes axentes.

O xogo de custos asociado

No caso individual, a polıtica optima para un axente i ∈ N e sinxela. O axenterealizara un pedido de tamano Ki cando o stock sexa cero. Polo tanto, a lonxitudedun ciclo (tempo entre dous pedidos consecutivos) e Ki/di e o seu custo asociado:

custo dun ciclo

lonxitude de ciclo=a+A(i)Ki/di

= (a+A(i)) diKi.

Dado que os deficits non estan permitidos, se os axentes S ⊆ N fan pedidos con-xuntos, a sua lonxitude de ciclo e mınj∈SKj/dj cun custo igual a:

custo dun ciclo

lonxitude de ciclo=

a+A(S)

mınj∈SKj/dj=(a+A(S)

)maxj∈S

djKj

.

Determinada a polıtica optima, e posible definir un xogo de custos para cada(N, a,A, dii∈N , Kii∈N ).

Definicion 5. A cada sistema EOQ sen custos por almacenamento e con custosxerais de transporte (N, a,A, dii∈N , Kii∈N ) asociase o xogo de custos (N, c)determinado por:

c(S) :=(a+A(S)

)maxj∈S

djKj

, para cada S ⊆ N.

Alejandro Saavedra-Nieves SII 37

E beneficiosa, en termos economicos, a cooperacion de todolos axentes? O Teorema1 establece condicions baixo as cales os axentes en N tenen garantido un aforroeconomico na realizacion dos pedidos conxuntos.

Teorema 1. Sexa (N, a,A, dii∈N , Kii∈N ) un sistema EOQ sen custos por al-macenamento e con custos xerais de transporte e (N, c) o seu xogo asociado. Estee subaditivo se e so se, para cada par S, T ⊂ N con S ∩ T = ∅, verificando que

maxj∈S

diKi

= maxj∈S∪T

diKi

, se cumpre que

A(S ∪ T )−A(S)

a+A(T )≤

maxj∈T

djKj

maxj∈S∪T

djKj

.Neste contexto, un aspecto importante e o establecemento dun reparto axeitadodos custos pola colaboracion. Concretamente, a busca de condicions que garantana estabilidade desas asignacions resulta interesante (ver Definicion 3). Para este fin,e preciso introducir o concepto de submodularidade.

Definicion 6. Unha funcion f : 2N → R e submodular se, para cada S, T ⊆ N conS ⊂ T , e todo i ∈ N \ T , se verifica f(S ∪ i)− f(S) ≥ f(T ∪ i)− f(T ).

Notese que, para cada S ⊆ N , c(S) = amaxj∈S djKj +A(S) maxj∈S djKj .Denotamos por c1(S) e c2(S) o primeiro e o segundo termo da suma, respectiva-mente. O xogo (N, c1) e un xogo do aeroporto e, polo tanto, C(c1) 6= ∅ (ver [3]).O seguinte resultado garante que, para esta clase de sistemas, e baixo certas condi-cions, o xogo (N, c) ten elementos en C(c).

Teorema 2. Sexa (N, a,A, dii∈N , Kii∈N ) un sistema EOQ sen custos de alma-cenamento e con custos xerais de transporte. Se A e submodular e c2 e subaditivo,C(c) 6= ∅.

Para cada un dos sistemas tratados, defınense os seguintes conxuntos:

M :=i ∈ N : di

Ki≥ dj

Kjpara todo j ∈ N

, este conxunto queda determinado

polos axentes coa maior ratio demanda/capacidade.

Π1(N) :=σ ∈ Π(N) : σ−1(1) ∈M

, e o conxunto das permutacions nas que

o primeiro axente ten a maior ratio demanda/capacidade.

Πn(N) :=σ ∈ Π(N) :

dσ−1(i)

Kσ−1(i)≥

dσ−1(i+1)

Kσ−1(i+1), para todo i ∈ 1, ... , n− 1

,

este e o conxunto de permutacions que invirten a orde das ratio deman-da/capacidade.

Como corolorario do resultado anterior, dado (N, a,A, dii∈N , Kii∈N ), se A esubmodular e c2 e subaditivo, e facil comprobar que

x+mσ(c) : x ∈ C(c1) e σ ∈ Π1(N) ⊂ C(c).

Co anterior, a Definicion 7 presenta a regra R, unha variante do valor de Shapleyque proporciona asignacions en C(c) cando A e submodular e c2 subaditivo.


Definicion 7. Para cada (N, a,A, dii∈N , Kii∈N ) e para cada i ∈ N , defınese

Ri(c) :=1

|Π(N)|∑

σ∈Π(N)

mσi (c1) +

1

|Πn(N)|∑

σ∈Πn(N)

mσi (c2).

O primeiro termo de R e o valor de Shapley dun xogo do aeroporto (para maisdetalles, ver [3]. O segundo e o promedio dos vectores marxinais mσ(c) con σ ∈Πn(N) (polo xeral, este conxunto ten un unico elemento).

Exemplo 1. Sexa (N, a,A, dii∈N , Kii∈N ) un sistema EOQ sen custos de al-macenamento e con custos xerais de transporte tal que:

N = 1, 2, 3 e o conxunto de tres axentes, con(d1K1, d2K2

, d3K3

)= (0.50, 0.48, 0.65).

O custo fixo por cada novo pedido e a = 0.01 euros e os custos variablesmostranse na Taboa 1.

S 1 2 3 1,2 1,3 2,3 N

A(S) 8 9 9 14.5 15 14.5 20

Taboa 1: Funcion de custos variables A.

O xogo de custos asociado a esta situacion reflıctese na Taboa 2. Para dito xogo,obtense R(c) = (3.902, 3.252, 5.853). En virtude do Teorema 2, este reparto e unelemento de C(c).

S 1 2 3 1,2 1,3 2,3 N

c(S) 4.005 4.325 5.857 7.255 9.757 9.432 13.007

Taboa 2: Xogo de custos asociado a situacion de inventario.

Bibliografıa

[1] Cheung, M., Elmachtoub, A. N., Levi, R. e Shmoys, D. B. (2016). The sub-modular joint replenishment problem, Mathematical Programming, 158, pp.207–330.

[2] Fiestras-Janeiro, M. G., Garcıa-Jurado, I., Meca, A. e Mosquera, M. A. (2014).Centralized inventory in a farming community. Journal of Business Economics,84, pp. 983–997.

[3] Gonzalez-Dıaz, J., Garcıa-Jurado I. e Fiestras-Janeiro, M. G. (2010). An intro-ductory course on mathematical game theory, American Mathematical Society,Providence.



Ecuaciones diferenciales con derivadas de Stieltjes

Ignacio Marquez Albes

Area de Analise MatematicaUniversidade de Santiago de Compostela

14 de diciembre de 2016

Integracion y derivacion de Stieltjes

Sean f, g : [a, b]→ R funciones acotadas y P = t0, t1, ..., tn una particion de [a, b].Sean c1, ..., cn tales que ci ∈ [ti−1, ti], i = 1, ...n. La suma de Riemann-Stieltjes def con respecto a g relativa a P y cini=1 es

S(P, f, g) =

n∑i=1

f(ci) ∆gi,

donde ∆gi = g(ti)−g(ti−1), i = 1, 2, ..., n. La integral de Riemann-Stieltjes de la fun-cion f con respecto al integrador g en [a, b], que denoteramos como

∫[a,b] f(t) dg(t),

se define de forma analoga a la de Riemann mediante la aproximacion por este tipode sumas (vease [1]). Notese que cuando el integrador es la funcion identidad, lassumas de Riemann-Stieltjes se reducen a las sumas de Riemann usuales, y por tanto,la integral de Riemann-Stieltjes con este integrador es la integral de Riemann.

Si reflexionamos sobre este ultimo hecho, cabe preguntarse si existe alguna integralque mejore la de Riemann-Stieltjes de forma analoga a como la integral de Lebesguemejora la de Riemann. La respuesta es afirmativa. Esta integral es la de Lebesgue-Stieltjes, que puede definirse como la integral respecto a una medida que viene dadapor la funcion integrador, suponiendo que esta sea una funcion creciente y continuapor la izquierda. En ese caso, la medida µg que define la funcion integrador g esuna medida de Borel (es decir, una medida sobre la mınima σ-algebra que contienea todos los abiertos de la topologıa) que viene dada por

µg([a, b)) = g(b)− g(a).

Ası, la integral de Lebesgue-Stieltjes con respecto al integrador g se define como laintegral con respecto a esta medida, i.e.,

∫[a,b) fdµg, o simplemente

∫[a,b) fdg.

En relacion con el concepto de integracion esta el concepto de derivacion. Paradefinir la derivada de Stieltjes de una funcion x : R → R, trabajaremos con unafuncion g : R→ R creciente y continua por la izquierda, con la intencion de que la

Palabras Clave: integracion; derivacion; EDO; EDO con impulsos; escalas de tiempo.

39

40 SII Ecuaciones diferenciales de Stieltjes

derivada que definamos y la integral de Lebesgue-Stieltjes que define g verifiquen elTeorema Fundamental del Calculo.Para poder definir esta derivada, necesitamos definir los siguientes conjuntos:

Cg = t ∈ R : g es constante en (t− ε, t+ ε) para algun ε > 0,

que es un conjunto de g-medida nula, y

Dg = t ∈ R : g(t+)− g(t) > 0,

que representa el conjunto de saltos de la funcion g, que por ser creciente, es a losumo numerable. Ası, la derivada de Stieltjes de x en un punto t0 ∈ R\Cg se definecomo

x′g(t0) = lımt→t0

x(t)− x(t0)

g(t)− g(t0), si t0 6∈ Dg,

x′g(t0) = lımt→t+0

x(t)− x(t0)

g(t)− g(t0), si t0 ∈ Dg,

siempre que el correspondiente lımite exista. Con esta definicion de derivada severifica el Teorema Fundamental del Calculo:

Teorema 1. Sea x : [a, b]→ R. Son equivalentes:

1. x ∈ ACg([a, b]), i.e., x es una funcion g-absolutamente continua en [a, b] enel sentido de la siguiente definicion: para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal quepara toda familia (an, bn)mn=1 de subintervalos abiertos y disjuntos dos a dosde [a, b]

m∑n=1

(g(bn)− g(an)) < δ =⇒m∑n=1

|x(bn)− x(an)| < ε.

2. x verifica las siguientes propiedades:

(i) existe x′g(t) en g-casi todo punto t ∈ [a, b) (es decir, salvo en un conjuntode medida µg nula);

(ii) x′g ∈ L1g([a, b)), siendo L1

g([a, b)) el conjunto de funciones Lebesgue-Stieltjesintegrables con respecto a µg;

(iii) para cada t ∈ [a, b], se cumple que

x(t) = x(a) +

∫[a,t)

x′g(s) dµg.

Ecuaciones diferenciales con derivadas de Stieltjes

Una vez definida la derivabilidad en el sentido de Stieltjes, surgen los problemas deecuaciones diferenciales con este tipo de derivadas, o incluso, los problemas de valorinicial,

x′g(t) = f(t, x(t)) en g-c.t.p. t ∈ [a, b], x(a) = x0,

Ignacio Marquez Albes SII 41

donde se puede asumir sin perdida de generalidad que a 6∈ Dg. El concepto de solu-cion con el que trabajaremos para este problema es el de solucion de Caratheodory,esto es, una funcion g-absolutamente continua verificando la condicion inicial y queverifica la igualdad en g-c.t.p. t ∈ [a, b].Para f de ciertas caracterısticas, se puede garantizar la existencia de solucion (apartir de metodos de punto fijo, sub y sobresoluciones, etc), y en ocasiones, es posibleencontrar una solucion explıcita, como es el caso del siguiente teorema consecuenciadirecta de [3, Prop. 6.7].

Teorema 2. Sea c ∈ L1g([a, b)) tal que c(t)(g(t+) − g(t)) > −1 para todo t ∈

[a, b) ∩Dg y ∑t∈[a,b)∩Dg

| log(1 + c(t)(g(t+)− g(t)))| <∞.

Si f(t, x) = x · c(t), la solucion al problema de valor inicial es ec(t, a) = x0 ·exp

∫[a,t) c(s)dg, donde

c(t) =

c(t) si t ∈ [a, b] \Dg,

log(1+c(t)(g(t+)−g(t)))g(t+)−g(t) si t ∈ [a, b) ∩Dg.

El interes de este tipo de ecuaciones es muy amplio. Es evidente que estas ecuacionesgeneralizan las EDOs, pero las ecuaciones diferenciales de Stieltjes engloban tambienotros dos tipos de ecuaciones muy interesantes: las ecuaciones en escalas de tiempoy las ecuaciones diferenciales con una cantidad numerable de impulsos (vease [4]).Por un lado, dada una escala de tiempo T, esto es, un subconjunto cerrado no vacıode R, una ecuacion en escalas de tiempo es de la forma

x∆(t) = f(t, x(t)), t ∈ T,

donde x∆ denota la ∆-derivada (vease [2]). En ese caso, siguiendo las ideas de [5]definimos

g(t) =

a si t 6 a,

ınfs ∈ T : s > t si t ∈ (a, b],

b si t > b.

Ası, una solucion del problema en escalas de tiempo define una solucion del problema

y′g(t) = f(t, y(t)) en g-c.t.p. t ∈ [a, b),

y recıprocamente, una solucion de este problema define una solucion del problemaen escalas de tiempo.Por otro lado, dado J = tk : k ∈ N un subconjunto numerable de [a, b) tal quetk < tk+1 para todo k ∈ N, una EDO con una cantidad numerable de impulsos esde la forma

x′(t) = f(t, x(t)) en c.t.p. t ∈ [a, b] \ J,x(t+) = x(t) + It(x(t)) si t ∈ J,


donde It : J → R es la funcion que representa los impulsos del problema. Definiendola funcion g : R→ R como

g(t) = t+∑

k∈N: tk<t

2−k, ∀ t ∈ R,

se puede ver que una solucion del problema x′g(t) = f(t, x(t)), para todo t ∈ J, yg-c.t.p. t ∈ [a, b] \ J, donde

f(t, x) =

f(t, x) si t 6∈ J,2kItk(x) si t ∈ J, t = tk,

define una solucion de la EDO con impulsos, y viceversa.

Ası, las ecuaciones diferenciales de Stieltjes permiten modelar eventos en los que seproduzcan cambios muy bruscos (impulsos) derivando con respecto a una funcionque presente saltos en los momentos de impulso; o en los que existan periodos enlos que no se produzca ningun cambio (escalas de tiempo) usando un derivador quesea constante fuera de la escala de tiempo.

Un ejemplo: modelo de una poblacion de gusanos de seda

Los modelos poblacionales mas comunes (maltusiano, logıstico, etc) asumen que lareproduccion ocurre de forma tan frecuente en el intervalo de tiempo consideradoque afecta de forma continua al tamano de la poblacion. Sin embargo, esto norepresenta adecuadamente algunas poblaciones en las que la reproduccion ocurreen un unico instante, que mas tarde da lugar al nacimiento de los individuos deforma abrupta, lo que puede ser modelizado con impulsos. Ademas, algunas deestas especies presentan tambien periodo de hibernacion o de crisalida, en el que latasa de mortalidad es tan baja que se puede suponer nula, lo cual se puede expresaren terminos de escalas de tiempo.

Un ejemplo de poblacion en la que esto ocurre, es la de gusanos de seda. Los gusanosde seda entran en una etapa de crisalida en la que se transforman de gusano amariposa. Las mariposas, tras aparearse y depositar los huevos, fallecen, dejando lapoblacion a 0, lo que sugiere la utilizacion de impulsos en este punto. Despues, hastael momento de eclosion la poblacion permanece estancada, ya que no hay individuos,dando lugar una vez mas a escalas de tiempo. Finalmente, como los huevos se handepositado en tiempos similares, eclosionan en tiempos similares, y esto da lugar aun nuevo impulso.

Ası, si tomamos la variable t de forma que una unidad de tiempo sean 15 dıas, sepuede resumir el comportamiento de los gusanos de seda en la Tabla 1.

Ignacio Marquez Albes SII 43

Fase Intervalos de tiempo

Gusanos (5k, 5k + 2], k = 0, 1, 2, ...

Crisalida (5k + 2, 5k + 3], k = 0, 1, 2, ...

Mariposa (5k + 3, 5k + 4], k = 0, 1, 2, ...

Huevos (5k + 4, 5k + 5], k = 0, 1, 2, ...

Tabla 1: Fases del gusano de seda.

Un posible derivador para el modelo podrıa ser la funcion

g(t) =

12

√4t− t2, si 0 6 t 6 2,

1, si 2 < t 6 3,

2−√

6t− t2 − 8, si 3 < t 6 4,

3, si 4 < t 6 5,

4 + g(t− 5), si t > 5;

ya que es constante en los intervalos de crisalida y huevos, y tiene discontinuidadesde salto en la deposicion de huevos y en el momento de eclosion. Un posible modelopoblacional podrıa venir dado por la ecuacion

x′g(t) = f(t, x(t), x), t > 0 (t 6∈ Cg), x(0) = x0 > 0,

donde f : [0,∞) \ Cg × R× L1loc(R) −→ R esta definida como

f(t, x, ϕ) =

−c x, si t ∈ (5k, 5k + 4), k = 0, 1, 2, ...,

−x, si t = 5k + 4, k = 0, 1, 2, ...,

λ

∫ t−1

t−5ϕ(s)ds, si t = 5(k + 1), k = 0, 1, 2, ...,

donde c denota la tasa de mortalidad y λ es un factor de proporcionalidad que midecuantos huevos eclosionan en terminos de la poblacion media. Esta ecuacion repre-senta bien los aspectos fundamentales de la poblacion, ya que entre los momentosde eclosion la poblacion decrece ya que no hay reproduccion, y ademas, durante lafase de crisalida y huevos la poblacion no evoluciona. Notese que este aspecto noaparece explıcitamente en el modelo ya que esos intervalos de tiempo pertenecen aCg y por lo tanto, son de medida nula.En este caso, teniendo en cuenta que en el primer intervalo es una ecuacion lineal,es posible obtener la solucion x de forma explıcita,

x(t) =

x0 e

−cg(t), si 0 6 t 6 4,(λ

∫ 5k−1

5(k−1)x(s)ds

)e−c[g(t)−g(5k

+)], si 5k < t 6 5k + 4, k = 1, 2, 3, ...,

0, en otro caso.


Como se puede ver en la Figura 1, la solucion presenta los aspectos fundamentalesde la poblacion: decrecimiento entre eclosiones de huevos, fallecimiento y nacimientode individuos de forma abrupta en los momentos de deposicion de huevos y eclosion,poblacion constante durante la fase de crisalida, etc.

Figura 1: Solucion para x0 = 8, c = 1 y λ = 1.1.

Bibliografıa

[1] Apostol, T. (1996). Analisis Matematico. Editorial Reverte, Barcelona.

[2] Bohner, M. y Peterson A. (2001). Dynamic equations on time scales: An intro-duction with applications. Springer Science & Business Media, Boston.

[3] Frigon, M. y Lopez Pouso, R. (2016). Theory and applications of first-ordersystems of Stieltjes differential equations. Advances in Nonlinear Analysis 6(1), 13-36.

[4] Lopez Pouso, R. y Rodrıguez, A. (2014/15). A new unification of continuous,discrete, and impulsive calculus through Stieltjes derivatives. Real AnalysisExchange, 40, no. 2, 1-35.

[5] Slavık, A. (2012). Dynamic equations on time scales and generalized ordinarydifferential equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 385,534-550.



Resolucion numerica del problema de mınimoscuadrados

Aida Martınez AmadoArea de Matematica Aplicada


1 de febrero de 2017

El problema de mınimos cuadrados lineal

El estudio de muchos problemas de ingenierıa y ciencias experimentales lleva al plan-teamiento de sistemas sobredeterminados. Por ejemplo, supongamos que se quiereajustar un modelo matematico lineal a unos datos; con el fin de reducir los errores, amenudo se hace un mayor numero de mediciones que de incognitas, y los parametrosdel modelo se relacionan con los datos a traves de un sistema sobredeterminado, quese escribe en notacion matricial de la siguiente manera.

Sea A ∈Mm×n(R), b ∈ Rm con m > n, hallar x ∈ Rn tal que:

Ax = b. (1)

Realizando la discusion de existencia de solucion vıa el Teorema de Rouche-Frobenius:

1. Si rango(A) = rango(A|b), el sistema es compatible, y se diferencian dos casos:

rango(A) = n, el sistema tiene una unica solucion.

rango(A) = p < n, el sistema tiene infinitas soluciones.

2. Si rango(A) 6= rango(A|b), el sistema es incompatible.

Si el sistema es incompatible no puede ser resuelto exactamente, y hay varias formasposibles de definir la mejor solucion. Puesto que una solucion clasica satisface larelacion: rx = Ax− b = O, se da la siguiente definicion.

Definicion 1. La solucion del sistema (1) en el sentido de mınimos cua-drados es el vector, o vectores, x ∈ Rn que minimiza la norma dos del residuorx = b−Ax, es decir,

‖Ax− b‖2 = mınx∈Rn


‖rx‖2. (2)

La solucion en el sentido de mınimos es unica si n = rango(A) 6= rango(A|b), encaso contrario habra infinitas soluciones en el sentido de mınimos cuadrados.

Palabras Clave: sistema sobredeterminado; (no) lineal; rango; factorizacion QR; Gauss-Newton; Levenverg-Marquardt.

45

46 SII El problema de mınimos cuadrados

Una condicion suficiente para la existencia de solucion para el problema de mınimoscuadrados lineal viene dada por el siguiente resultado.

Teorema 1. Sean A ∈Mm×n(R) y b ∈ Rm. Si x ∈ Rn satisface

AT rx = AT (Ax− b) = O, (3)

entonces para cualquier vector y ∈ Rn se tiene ‖rx‖2 = ‖Ax − b‖2 ≤ ‖Ay − b‖2 =‖ry‖2, es decir, x es una solucion del problema de mınimos cuadrados.

El sistema (3) se denomina sistema de las ecuaciones normales, ademas estesistema tiene siempre solucion. A mayores para la unicidad de solucion se necesita:

Teorema 2. Si rango(A) = n, la matriz de coeficientes del sistema de las ecuacionesnormales (3) es inversible y por tanto tiene solucion unica, x = (ATA)−1AT b.

Aunque las ecuaciones normales constituyen un procedimiento simple conceptual-mente y muy eficaz para analizar la existencia y unicidad de solucion del problemalineal de mınimos cuadrados, no son el mejor metodo para calcularla numericamenteya que resulta costoso y el sistema resultante podrıa ser singular en aritmetica deprecision finita.

Ejemplo 1. [1] Sean:

A =

1 1 1ε 0 00 ε 00 0 ε

y ATA =

(1+ε2 1 1

1 1+ε2 11 1 1+ε2

),

con ATA la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones normales. Si toma-mos ε2 inferior a la precision de la maquina, se tiene que rango(A) = 3, pero loselementos de la diagonal de ATA son 1 + ε2 ' 1.Otros metodos empleados para la resolucion de estos problemas son los metodosbasados en transformaciones ortogonales:

Teorema 3 (Factorizacion QR). Dada una matriz A ∈ Mm×n(R) con m > n,existen una matriz ortogonal Q ∈Mm×m(R) y una matriz triangular superior R ∈Mm×n(R), con rango(A) = rango(R) tales que A = QR.

Gracias a la invarianza de la norma dos por transformaciones ortogonales, el pro-blema de minimizacion (2) se transforma en:

mınx∈Rn


‖Rx−QT b‖2. (4)

La resolucion numerica se realiza de la siguiente forma:

Ax = b⇐⇒ QRx = b⇐⇒y = QT b,Rx = y.

Aida Martınez Amado SII 47

Ademas, comparando formalmente el metodo de las ecuaciones normales con elmetodo de la factorizacion QR, se tiene que si rango(A) = n ≤ m, entonces ATAes inversible, ademas las n primeras filas de R constituyen una matriz inversible y

Cond2(R11)∗ = Cond2(ATA)1/2.

Supongamos ahora que la matriz A es rangodefectiva, es decir, rango(A) = p <n < m, tras realizar transformaciones ortogonales y eventualmente pivoteo porcolumnas de la matriz (A|b), se obtiene:

r11 ... r1p r1(p+1) ... r1n b1...

. . ....

.... . .

......

0 ... rpp rp(p+1) ... rpn bp0 ... 0 0 ... 0 b(p+1)...

......

......

0 ... 0 0 ... 0 bm

=

(R11 R12 b1

0 0 b2

).

El problema de minimizacion se reduce a resolver R11x1+R12x2 = b1, y en este caso,si ‖b2‖2 = ‖(bp+1, bp+2, ... , bm)‖2 = 0 el sistema sera compatible e indeterminado,en caso contrario sera incompatible.La resolucion numerica se realiza de la siguiente forma:

Ax = b⇐⇒ AP TPx = b⇐⇒ QRPx = b⇐⇒

z = QT b,Ry = z,x = P T y.

Como el rango de la matriz A es defectivo, hay infinitas soluciones y es interesantecalcular la solucion de norma mınima. Para ello se realiza la factorizacion QR de lamatriz A con estrategia de pivoteo por columnas, AP T = QR y a continuacion unafactorizacion QR de la matriz RT :

RT =

(RT11 ORT12 O

)= QR = Q

(R11 OO O

)∈Mn×m.

La resolucion numerica en este caso, es:

AP TPx = QRPx = QRT QTPx = b⇐⇒

u = QT b,

RT v = u con v(p+ 1) = ... = v(n) = 0,

z = Qv,x = P T z.

∗Se define Cond2(A) como el producto ‖A‖2 · ‖A−1‖2 siendo ‖ · ‖2 la norma 2.


El problema de mınimos cuadrados con restricciones

A menudo en la resolucion del problema de mınimos cuadrados se imponen una seriede condiciones que tiene que verificar la solucion. En esta seccion consideraremosrestricciones lineales de igualdad.

Definicion 2. Dadas las matrices A ∈ Mm×n y B ∈ Mp×n y los vectores b ∈Rm y d ∈ Rp, con m > n y p ≤ n, se define el problema de mınimos cua-drados con restricciones lineales como:

Encontrar x ∈ Rn tal que

‖Ax− b‖2 = mınx∈S‖Ax− b‖2, S = x ∈ Rn : Bx− d = O.

Teorema 4 (Existencia y unicidad de solucion). El problema de mınimos cuadradoscon restricciones lineales tiene una unica solucion si, y solamente si, el rango(B) =p y Ker(A)

⋂Ker(B) = O.

Se presentara a continuacion el metodo de eliminacion directa, descrito en [1],para la resolucion de este tipo de problemas.

Supongamos rango(B) = r ≤ p, realizando una factorizacion QR de B, se tiene:

BP TB = QBRB ⇒ BP TBPB = QB

(R11 R12

O O

)PB,

y el sistema de restricciones queda(R11 R12

O O

)x = d,

con x = PBx =(x1 x2

)Ty d = QTBd =

(d1 d2

)T, de donde se puede despejar

x1 de la siguiente forma:

(R11|R12) x = d1 ⇐⇒ x1 = R−111

(d1 −R12x2

). (5)

Por ultimo se realiza una factorizacion QR, tambien con estrategia de pivote de lamatriz A, el sistema original se reescribe

Ax− b = AP TBPBx− b =(A1|A2

)( x1

x2

)− b

y el problema de minimizacion se transforma en

mınx2∈Rn−r

‖Ax2 − b‖2, con A = A2 − A1R−111 R12 y b = b− A1R

−111 d1.

Una vez se calculado x2, se obtiene x1 con (5) y se calcula x deshaciendo la permu-tacion.

Aida Martınez Amado SII 49

El problema de mınimos cuadrados no lineal

En esta seccion se estudia la resolucion del problema de mınimos cuadrados no linealy se describen los metodos de Gauss-Newton y de Levenberg-Marquardt basadosen la aproximacion de primer orden. Los procedimientos de resolucion tendran queser iterativos, y en cada iteracion sera necesaria la resolucion de un problema demınimos cuadrados lineal.

Definicion 3. Sean F : Rn −→ Rm definida como F (x1, ... , xn) = (fi(x1, ... , xn))mi=1

con fi ∈ C2(R) funciones no lineales de x ∈ Rn y g : Rn −→ R

g(x1, ... , xn) =1

2

m∑i=1

(fi(x))2 =1

2‖F (x)‖22.

Se define el problema de mınimos cuadrados no lineal:

hallar x ∈ Rn tal que g(x) = mınx∈Rn

g(x) =1

2mınx∈Rn

‖rx‖22. (6)

El analisis de existencia y unicidad de solucion del problema de mınimos cuadradosno lineal es muy complejo y solo bajo hipotesis muy restrictivas puede ser comple-tado. Se consideraran funciones fi ∈ C2(R) cualesquiera y solo indicaremos, parala funcion g, las condiciones necesarias y suficientes de existencia de mınimo localclasicas del calculo diferencial.Para establecer si se trata efectivamente de un mınimo es suficiente que la matrizhessiana Hg(x) sea definida positiva ∀x ∈ Rn.

Si ∇F (x) es de rango maximo ⇒ ∇F (x)T∇F (x) es definida positiva y siademas ‖F (x)‖22 = ‖rx‖22 = 0, se tendrıa un mınimo local.

Si ∇F (x) es de rango maximo y el residuo es suficientemente pequeno, como

Hfi(x) son continuas, ∇F (x)T∇F (x)+m∑i=1

fi(x)Hfi(x) podrıa ser una matriz

definida positiva, por lo que podrıa haber un mınimo local.

Si ∇F (x) es de rango maximo y ademas ‖F (x)‖22 = ‖rx‖22 6= 0, se reescribe

Hg(x) = ∇F (x)T∇F (x) +m∑i=1

fiHfi(x)

= ∇F (x)T

[I + γ(∇F (x)†)T

(m∑i=1

fi(x)

γHfi(x)

)∇F (x)†

]∇F (x),

con ∇F (x)† la matriz pseudoinversa∗ de ∇F (x) y γ = ‖rx‖2. Sean µ1 ≤ µ2 ≤... ≤ µn los autovalores de la matriz

(∇F (x)†)T

(m∑i=1

fi(x)

γHfi(x)

)∇F (x)†;

∗ La matriz pseudoinversa de A se define a partir de una descomposicion en valores singularesy se presenta en [5].


si 1+µ1γ > 0 entonces se tendrıa un mınimo local y si 1+µnγ < 0 se tendrıaun maximo local. En otro caso los puntos crıticos de g serıan puntos desilla.

A continuacion se presentaran dos metodos de resolucion:

Metodo de Gauss-Newton, se elige la direccion de busqueda del nuevopunto, dk, como la solucion del problema de mınimos cuadrados:

mınd∈Rn

1

2‖F (xk) +∇F (xk)d‖2,

y se toma xk+1 = xk + dk.

Proposicion 1. Si ∇F (x) es de rango maximo se tiene que:

1. Si dkT∇g(xk) < 0 entonces dk es una direccion de descenso.

2. Si ∇g(xk) = O entonces xk es un punto crıtico.

Metodo de Levenberg-Marquardt, se elige la direccion de busqueda delnuevo punto, dk, como la solucion del problema de mınimos cuadrados:

mındk∈Rn

∥∥∥∥( ∇F (xk)√λk I

)dk +

(F (xk)O

)∥∥∥∥2

.

En este caso, siguiendo [3], se escoje λk =

10‖rx‖2, 10 ≤ ‖rx‖2‖rx‖2, 1 ≤ ‖rx‖2 < 1010−2‖rx‖2, ‖rx‖2 < 1

y

se toma xk+1 = xk + dk.

Si λk es grande, dk estara proxima a la direccion opuesta al gradiente.

Si λk es pequeno, dk sera parecida a la direccion de descenso dada por elmetodo de Gauss-Newton.

Bibliografıa

[1] A. Bjorck. Least squares methods. In P. G. Ciarlet and J. L. Lions, editors,Handbook of Numerical Analysis. Volume I, pages 496–649. North-Holland.

[2] P. G. Ciarlet. Introduction a l’analyse numerique matricielle et a l’optimisation.Masson, 1982.

[3] W. Gander, M. J. Gander y F. Kwok. Scientific Computing. Springer, 2014.

[4] G. H. Golub y C. F. Van Loan. Matrix Computations. Mason, 1989.

[5] D. R. Kincaid y E. W. Cheney. Numerical analysis. Brooks-Cole, 1991.

[6] J. J. More. The Levenberg-Marquardt algorithm: implementation and theory.In G. A. Watson, editor, Numerical Analysis, Dundee 1977, pages 105–116.Springer-Verlag.



Sobre la resolucion numerica de ecuacionesdiferenciales-algebraicas

Manuel Cremades Bujan

Area de Matematica AplicadaInstituto Tecnologico de Matematica Industrial

15 de febrero de 2017

Introduccion

El objetivo de este trabajo es estudiar la resolucion numerica de sistemas de la forma

Mdx

dt(t) = f(t,x),

donde la matriz M que multiplica al vector de derivadas podrıa ser singular, encuyo caso nos encontrarıamos ante un sistema de ecuaciones diferenciales-algebraicas(DAEs). Este es un caso particular de sistemas implıcitos de la forma

F(t,x,x′) = 0, (1)

donde si la matriz jacobiana∂F

∂x′(t,x,x′),

fuese invertible, podrıamos extraer un sistema explıcito de ecuaciones diferencialesordinarias (ODEs) en virtud del teorema de la funcion implıcita.

Clasificacion de ecuaciones diferenciales-algebraicas

Las ecuaciones diferenciales algebraicas se clasifican en base al concepto de ındicepara el cual existen multiples definiciones. En este trabajo solo vamos a considerarel ındice de diferenciacion, por brevedad y ser este el mas sencillo.

Definicion 1. Se define el ındice de diferenciacion como el menor numero de vecesque debemos derivar con respecto al tiempo el Sistema (1) para extraer un sistemaexplıcito de ecuaciones diferenciales ordinarias.

En la practica se suele disponer de una estructura mas rica que

F(t,x,x′) = 0

y que nos permite construir metodos numericos mas eficientes y estudiar con masdetalle su comportamiento (orden, convergencia, analisis asintotico...).

Palabras Clave: ODEs; DAEs; sistemas linealmente implıcitos; metodos Runge-Kutta.

51

52 SII Resolucion numerica de ecuaciones diferenciales-algebraicas

Por un lado, a la hora de modelar algunos sistemas fısicos se mezclan ecuacioneselıpticas y parabolicas, como en el caso de la ecuacion de calor en su formulacionmixta

p∂ϕ

∂t− div(q(ϕ) u) = f en Ω× (0, T ],

u−∇ϕ = 0 en Ω× (0, T ],

ϕ = 0 en Γ× (0, T ],

o las famosas ecuaciones de Navier-Stokes, lo que dota de cierta estructura a larelacion entre variables diferenciales y algebraicas. Por otra parte, la discretizacionen espacio por el metodo de los elementos finitos de sistemas de ecuaciones enderivadas parciales produce sistemas linealmente implıcitos de la forma

Mdx

dt(t) = f(t,x), x(0) = x0, (2)

con f : R × Rd → Rd y M ∈ Md×d una matriz posiblemente singular, que seranestudiados mas adelante basandonos en las formas de Hessenberg introducidas acontinuacion.

Formas de Hessenberg

Por simplificar la notacion y los calculos vamos a considerar sistemas autonomos, sibien todo se traslada de forma directa a sistemas no autonomos.

Proposicion 1. El sistema semi-explıcito (forma de Hessenberg),

dy

dt(t) = g(y, z),

0 = h(y, z),(3)

es de ındice de diferenciacion 1 siempre y cuando

∂h

∂z(y, z)

tenga inversa acotada en un entorno de la solucion.

Demostracion:Derivando la segunda ecuacion con respecto al tiempo y aplicando la regla de lacadena:

0 =∂h

∂y(y, z)

dy

dt(t) +

∂h

∂z(y, z)

dz

dt(t).

Empleando la primera ecuacion llegamos al sistema

dy

dt(t) = g(y, z),

dz

dt(t) =

∂h

∂z

−1

(y, z)∂h

∂y(y, z) g(y, z).

de ecuaciones diferenciales ordinarias que esta bien definido debido a la hipotesis. 2

Manuel Cremades Bujan SII 53

Ejemplo 1. Consideramos la ecuacion de calor (en su formulacion mixta)

p∂ϕ

∂t− div(q(ϕ)u) = f en Ω× (0, T ]

u−∇ϕ = 0 en Ω× (0, T ]

ϕ = 0 en Γ× (0, T ]

Formulacion variacional: Encontrar (ϕ,u) ∈ L2(0, T ;Q)× L2(0, T ;V )1 tal que∫Ωp∂ϕ

∂tψ dΩ−

∫Ωq(ϕ)u · ∇ψ dΩ−

∫Ωfψ dΩ = 0, ∀ψ ∈ Q = H1

0 (Ω)∫Ω

u · v dΩ−∫

Ω∇ϕ · v dΩ = 0, ∀v ∈ V = (L2(Ω))d

Consideramos (tras discretizar el dominio Ω en sımplices Ω = ∪Ej=0Kj) los espaciosde dimension finita

Qh = qh ∈ C0(Ω) : qh|Kj ∈ P1, 0 ≤ j ≤ E ⊂ Q

(denotando por Pk al espacio de polinomios de Lagrange de orden k ≥ 0) y

Vh = vh ∈ (L2(Ω))d : vh|Kj ∈ P0, 0 ≤ j ≤ E ⊂ V.

Empleando sus respectivas bases φiNi=1 y ξidNi=1, contruimos las aproximaciones

ϕ(t,x) =N∑i=1

ϕi(t)φi(x), u(t,x) =dN∑i=1

ui(t)ξi(x).

Introduciendo dichas aproximaciones en la formulacion variacional, obtenemos:N∑i=1

dϕidt

∫Ωpφiφj dΩ +

dN∑i=1

ui

∫Ωq(ϕ)ξi · ∇φj dΩ−

∫Ωfφj dΩ = 0, j = 1, ... , N

dN∑i=1

ui

∫Ωξi · ξj dΩ−

N∑i=1

ϕi

∫Ω∇φi · ξj dΩ = 0, j = 1, ... , N

En notacion matricial se llega al sistema de ecuaciones diferenciales-algebraicas

Mdϕ

dt+K(ϕ)u− f = 0, Nu− Lϕ = 0

que tiene ındice de diferenciacion 1, como se puede comprobar derivando la segundaecuacion con respecto al tiempo y aplicando la segunda.

Proposicion 2. El sistema semi-explıcito (forma de Hessenberg),

dy

dt(t) = g(y, z), 0 = h(y), (4)

es de ındice de diferenciacion 2 siempre y cuando

∂h

∂y(y)

∂g

∂z(y, z)

tenga inversa acotada en un entorno de la solucion.

1L2(0, T ;V ) := v : (0, T )→ V :∫ T0||v(t)||2V dt < +∞ siendo V un espacio de Hilbert.


Demostracion:Derivando la segunda ecuacion con respecto al tiempo:

0 =∂h

∂y(y)

dy

dt(t).

Empleando la primera ecuacion llegamos al sistema

dy

dt(t) = g(y, z), 0 =

∂h

∂y(y) g(y, z),

de ındice de diferenciacion 1 debido a la hipotesis, de donde se deduce que el sistemaoriginal es de ındice de diferenciacion 2. 2

Ejemplo 2. Procediendo de forma analoga al ejemplo anterior para el sistema

∂u

∂t− ν∆u +∇p = f en Ω× (0, T ],

div(u) = 0 en Ω× (0, T ],

conocido como sistema de Stokes transitorio, se llega al sistema de ecuacionesdiferenciales-algebraicas

Mdu

dt+Au−B p = f , BTu = 0,

de ındice de diferenciacion 2.

Compatibilidad de las condiciones iniciales

Para tener solucion unica en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias, se planteael problema de valor inicial

dx

dt(t) = f(x(t)), x(0) = x0,

donde x0 ∈ Rd es lo que se conoce como condicion inicial. Para un sistema deecuaciones diferenciales ordinarias podemos tomar cualquier condicion inicial, sinembargo, en presencia de ecuaciones algebraicas se tiene que:

Una condicion inicial (y0, z0) para el Sistema (3) debe verificar la restriccionalgebraica visible

0 = h(y0, z0).

Una condicion inicial (y0, z0) para el Sistema (4) debe verificar la restriccionalgebraica visible y la restriccion algebraica oculta

0 = h(y0), 0 =∂h

∂y(y0) g(y0, z0),

que procede de derivar una vez dicho sistema.

Las restricciones algebraicas ocultas complican enormemente la resolucion numericade ecuaciones diferenciales-algebraicas de ındice superior.

Manuel Cremades Bujan SII 55

Metodos Runge-Kutta

Para el problema de valor inicial

dx

dt(t) = f(t,x),

x(0) = x0,

con f : R × Rd → Rd, la solucion numerica obtenida por un metodo Runge-Kuttade s etapas viene dada por

xn+1 = xn +s∑i=1

bi ki,

donde xn es una aproximacion de x(tn). Es necesario primero el calculo de las etapas

ki = hn f(tn + ci hn, xn +

s∑j=1

aij kj

), i = 1, ... , s,

que, en general, conforman un sistema no lineal de s× d ecuaciones acopladas. Losmetodos se suelen dar en forma de tabla de Butcher

c1 a11 ··· a1s...

.... . .

...cs as1 ... ass

b1 ... bs

=c A

bT.

Veamos como se le aplican este tipo de metodos a los sistemas de ecuacionesdiferenciales-algebraicas que hemos estudiado previamente.

Aplicacion a sistemas en forma de Hessenberg

Proposicion 3. Un paso de tiempo de un metodo Runge-Kutta aplicado al Sistema(3) viene dado por

ki = hn g(tn + ci hn, yn +

s∑j=1

aij kj , zn +s∑j=1

aij lj

),

0 = hn h(tn + ci hn, yn +

s∑j=1

aij kj , zn +s∑j=1

aij lj

),

yn+1 = yn +s∑i=1

bi ki,

zn+1 = zn +s∑i=1

bi li.

(5)

El metodo esta bien definido siempre que la matriz de coeficientes de dicho metodosea regular.


Demostracion:Se le aplica un metodo Runge-Kutta de forma estandar al problema de perturbacionsingular

dy

dt(t) = g(t,y, z),

εdz

dt(t) = h(t,y, z),

para luego obtener un conjunto de ecuaciones independiente de ε << 1 si la matrizdel metodo es regular. Fijando ε = 0 se concluye. 2

Aplicacion a sistemas linealmente implıcitos

Proposicion 4. Un paso de tiempo de un metodo Runge-Kutta aplicado al Sistema(2) viene dado por

M ki = hn f(tn + ci hn, xn +

s∑j=1

aij kj

), i = 1, ... , s,

xn+1 = xn +s∑j=1

bj kj .

(6)

Demostracion:Empleando la factorizacion (vease [1] para mas detalles, presentamos solo la idea)

M = S

(I 00 0

)T,

se transforma el sistema linealmente implıcito en forma de Hessenberg y se deduceque el diagrama

M dxdt (t) = f(t,x)

dydt (t) = g(t,y, z)

0 = h(t,y, z)

xn yn, zn

Metodo (6) Metodo (5)

T

S−1

es conmutativo, justificando entonces el Metodo (6).2

Se ha deducido un metodo que permite resolver sistemas linealmente implıcitos conmatriz posiblemente singular, que era el objetivo del trabajo.

Bibliografıa

[1] Hairer, E. y Wanner, G. (2010). Solving Ordinary Differential Equations II,Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer.



Geometrıa y dualidad en espacios proyectivos

Andres Berridi PuertasArea de Alxebra

1 de marzo de 2017

Resumen

En este documento se mostrara una introduccion a la geometrıa lineal en los espaciosproyectivos. Para ello, primero definiremos el espacio proyectivo n-dimensional ysus variedades lineales, ademas del encaje del espacio afın y sus ecuaciones en elespacio proyectivo. Esto nos permitira dar una primera definicion de dualidad que seaplicara a los teoremas clasicos de Desargues y Pappus. A continuacion, se definiranlas colineaciones y las correlaciones como aplicaciones entre espacios proyectivos,y se daran los casos particulares de las proyectividades y las polaridades. Una vezhecho esto, se enunciara el Teorema Fundamental de la Geometrıa Proyectiva.

Espacio proyectivo

Definicion 1. Sea K un cuerpo, sea V un K-espacio vectorial de dimension finitay sea ∼ la relacion de equivalencia sobre V definida de la forma

v ∼ w ⇔ ∃λ 6= 0 tal que v = λw.

Se denomina espacio proyectivo sobre V a la terna (P(V ), V, π), donde

P(V ) =V − 0∼

,

y π : V → P(V ) es la proyeccion al cociente. El espacio proyectivo de dimension nse denotara como Pn, P(V ) o Pn(K).

Definicion 2. Se define dimension proyectiva o simplemente dimension de un es-pacio proyectivo P(V ) como dimP(V ) = dimK V − 1.

Se definiran las variedades lineales proyectivas de un espacio proyectivo P(V ) comolos cocientes de los subespacios de V . Ademas, se tiene que la siguiente

Proposicion 1. Sea P(V ) un espacio proyectivo. Entonces se cumple lo siguiente:

1. π−1(P(W )) = W − 0, para todo W subespacio de V .

Palabras Clave: geometrıa; lineal; dualidad; espacio; proyectivo.

57

58 SII Geometrıa y dualidad en espacios proyectivos

2. Sean las variedades lineales proyectivas L1 = P(V1) y L2 = P(V2), entoncesL1 ⊂ L2 ⇔ V1 ⊂ V2.

3. Si L1 ⊂ L2, entonces dimL1 ≤ dimL2 y se da la igualdad si y solamente siL1 = L2.

4. L1 ∩ L2 = P(V1 ∩ V2).

5. Si se define L1 + L2 := P(V1 + V2), L1 + L2 es la menor variedad linealproyectiva de P(V ) que contiene a L1 y a L2.

Proposicion 2 (Identidad de Grassmann). Sea Pn un espacio proyectivo. DadasL1, L2 dos variedades lineales proyectivas de Pn, se cumple la siguiente igualdad:

dim(L1) + dim(L2) = dim(L1 + L2) + dim(L1 ∩ L2)

Definiremos ahora las referencias que nos permitiran trabajar con coordenadas enPn.

Definicion 3. Sean P0, P1, ... , Pm ∈ Pn. Se dice que son proyectivamente indepen-dientes si dim(P0 + P1 + ···+ Pm) = m.

Proposicion 3. Los puntos P0, ... , Pm ∈ P(V ) son proyectivamente independientessi y solamente si sus representantes son linealmente independientes.

Definicion 4. Diremos que un conjunto ordenado ∆ = P0, ... , Pn;U es una re-ferencia proyectiva de Pn si y solamente si se cumplen las condiciones:

1. P0, ... , Pn son proyectivamente independientes,

2. U /∈ P0 + ···+ Pi−1 + Pi+1 + ···+ Pn, para todo i ∈ 0, ... , n.

Llamaremos a Pi, i ∈ 0, ... , n, vertices de la referencia y a U punto unidad.

Definicion 5. Dada ∆ = P0, ... , Pn;U una referencia proyectiva de P(V ), llama-remos base asociada a ∆ a cualquier base e0, ... , en de V que cumpla:

1. Pi = [ei], para todo i ∈ 0, ... , n,

2. U = [e0 + e1 + ···+ en].

Proposicion 4 (Lema 2.1.2, pag. 35 [1]). Supongamos que e0, ... , en es una baseasociada a la referencia proyectiva ∆. Cualquier base v0, ... , vn esta asociada a∆ si y solamente si existe un escalar λ ∈ K − 0 tal que vi = λei para todoi ∈ 0, ... , n.

Definicion 6. Sea ∆ una referencia proyectiva de Pn y sea e0, ... , en una baseasociada. Diremos que (x0 : x1 : ··· : xn)∆ son coordenadas homogeneas de un puntoP ∈ Pn si y solamente si P = [

∑ni=0 xiei].

Andres Berridi Puertas SII 59

Estas coordenadas son unicas salvo escalar, pero fijando una de las coordenadascomo 1, las otras n coordenadas quedan fijas. Esta es la idea del encaje del espacioafın en el proyectivo, que consiste en transladar los puntos de coordenadas afines(x1, ... , xn) a las coordenadas homogeneas (1 : x1 : ··· : xn). Este encaje permite se-parar el espacio proyectivo en dos conjuntos disjuntos: el espacio afın y el hiperplanox0 = 0, que llamaremos hiperplano del infinito.Falta trasladar los polinomios afines a proyectivos. No se puede hacer directamenteporque en el espacio proyectivo no hay coordenadas unicas, por lo que no se puedeevaluar un punto en un polinomio.

Definicion 7. Se llama polinomio homogeneo de grado d en K[x0, ... , xn] a unpolinomio f ∈ K[x0, ... , xn] cuyos sumandos no nulos son de grado d.

Proposicion 5. Sea f ∈ K[x0, ... , xn] un polinomio de grado d. Entonces f eshomogeneo ⇔ f(λx0, ..., λxn) = λdf(x0, ..., xn).

Como los polinomios homogeneos permiten sacar fuera del polinomio los escalares,podemos hablar de ceros de un polinomio homogeneo en el espacio proyectivo.

Definicion 8. Sea f ∈ K[x1, ... , xn]. Llamaremos su completado proyectivo u ho-mogeneizado respecto de x0 al polinomio f ∈ K[x0, ... , xn] que se calcula de la forma

f(x0, ... , xn) = xdeg f0 f

(x1

x0, ... ,

xnx0

).

Definicion 9. Sea f ∈ K[x0, ... , xn] un polinomio homogeneo. Llamaremos polino-mio deshomogeneizado respecto de x0 de f al polinomio

f(1, x1, ... , xn) ∈ K[x1, ... , xn].

Esto nos permite definir un hiperplano en P(V ) con una ecuacion. Como los po-linomios que definen hiperplanos vectoriales en V son homogeneos, un hiperplanoproyectivo hereda las ecuaciones de su antecedente vectorial. De la misma maneraque ocurre en algebra lineal, la interseccion de hiperplanos proyectivos se puede ex-presar como un sistema de ecuaciones. Usaremos esto para dar el primer conceptode dualidad.

Definicion 10. Sea V un espacio vectorial de dimension finita sobre K y sea Wun subespacio del mismo. Llamaremos subespacio ortogonal a W y lo denotaremosa W ∗ al espacio W ∗ = u ∈ V : u(w) = 0 ∀w ∈ W, donde V denota el espaciodual de V .

Definicion 11. Llamaremos espacio proyectivo dual a P(V ) al espacio proyectivoP(V ).

Se puede ver el espacio proyectivo dual como el espacio proyectivo que tiene comopuntos los hiperplanos de P(V ). De hecho, se puede pasar de uno al otro usandola llamada correlacion canonica, que lleva un punto del espacio proyectivo a suhiperplano ortogonal y un punto del espacio dual al hiperplano que define. Estacorrelacion canonica es la base del principio de dualidad.


Definicion 12. Una configuracion geometrica C de un espacio proyectivo Pn es unenunciado expresado en terminos de sumas de variedades lineales, intersecciones,relaciones de incidencia (de pertenencia o contenido) y dimensiones.

Definicion 13. Sea C una configuracion geometrica de Pn. Se define su configu-racion geometrica dual y se denota por COP a la obtenida intercambiando intersec-ciones por sumas, invirtiendo los contenidos y sustituyendo variedades lineales dedimension d por variedades lineales de dimension n− d− 1.

Teorema 1 (Principio de dualidad). Si P : H ⇒ T es una proposicion geome-trica que es cierta para cualquier espacio proyectivo de dimension n sobre el cuerpoK entonces la proposicion

POP : HOP ⇒ T OP

es cierta para cualquier espacio proyectivo de dimension n sobre K.

Este resultado nos permite tener un teorema geometrico nuevo por cada teoremageometrico que probemos. Aplicaremos esto a los teoremas de Desargues y Pappus.

Teorema 2 (Teorema de Desargues). Sean A1A2A3 y A′1A′2A′3 triangulos del plano

proyectivo P2 tales que L1 = A1 + A′1, L2 = A2 + A′2 y L3 = A3 + A′3 son rectasdistintas y tales que existe O ∈ P2 tal que O = L1 ∩ L2 ∩ L3, entonces los puntos

M1 = (A2 +A3) ∩ (A′2 +A′3),

M2 = (A1 +A3) ∩ (A′1 +A′3),

M3 = (A1 +A2) ∩ (A′1 +A′2),

estan alineados.

El dual del Teorema de Desargues es su recıproco.

Proposicion 6 (Dual del Teorema de Desargues). Sean R1, R2, R3 los lados de untriangulo del plano proyectivo y R′1, R

′2, R

′3 los lados de otro tales que R1∩R′1, R2∩R′2

y R3 ∩R′3 son puntos distintos y alineados. Entonces

L1 = (R2 ∩R3) + (R′2 ∩R′3),

L2 = (R1 ∩R3) + (R′1 ∩R′3),

L3 = (R2 ∩R1) + (R′2 ∩R′1),

son rectas concurrentes, es decir, se cortan en el mismo punto.

Teorema 3 (Teorema de Pappus). Sean L,L′ rectas distintas del plano proyectivo.Sean A,B,C ∈ L y A′, B′, C ′ ∈ L′ seis puntos distintos y distintos del punto O =L ∩ L′. Entonces los puntos

Q = (A+B′) ∩ (A′ +B),

R = (A+ C ′) ∩ (A′ + C),

S = (C +B′) ∩ (C ′ +B),

estan alienados.

Andres Berridi Puertas SII 61

Proposicion 7 (Dual del teorema de Pappus). Sean A,B dos puntos distintos delplano proyectivo. Sean L1, L2, L3 rectas que pasan por A y L′1, L

′2, L

′3 rectas que

pasan por B, las seis distintas y distintas de A+B. Entonces las rectas

L′′1 = (L2 ∩ L′3) + (L′2 ∩ L3),

L′′2 = (L1 ∩ L′3) + (L′1 ∩ L3),

L′′3 = (L2 ∩ L′1) + (L′2 ∩ L1),

son concurrentes.

Colineaciones y correlaciones

Las estructuras que hemos estado definiendo hasta ahora son las variedades linealesde un espacio proyectivo Pn, que denotaremos como Pn.

Definicion 14. Sean V y V ′ espacios vectoriales de dimension finita sobre K y K ′

respectivamente, y sea σ : P(V )→ P(V ′) una aplicacion biyectiva.

(i) Diremos que σ es una colineacion si conserva las inclusiones.

(ii) Diremos que σ es una correlacion si invierte las inclusiones.

Definicion 15. Una aplicacion φ : P(V ) → P(V ′) se dice proyectividad si existeuna aplicacion K-lineal biyectiva f : V → V ′ tal que φ = P(f).

Las proyectividades inducen colineaciones en Pn, que se suelen llamar colineacioneslineales.

Proposicion 8. En las condiciones anteriores.

(i) La imagen de una referencia por una proyectividad es una referencia.

(ii) Una proyectividad queda determinada por la imagen de una referencia.

De una manera mas general, ahora definiremos las colineaciones semilineales, defi-nidas por isomorfismos semilineales.

Definicion 16. Sean K y K ′ cuerpos y sean V y V ′ espacios vectoriales sobre Ky K ′ respectivamente. Una aplicacion semilineal es un par (f, µ) formado por unaaplicacion f : V → V ′ y un morfismo de cuerpos µ : K → K ′ verificando:

(i) f(u+ v) = f(u) + f(v), para todo u, v ∈ V ,

(ii) f(λu) = µ(λ)f(u), para todo λ ∈ K, ∀u ∈ V.

En adelante, cuando no haya posibilidad de confusion, denotaremos por fµ a laaplicacion f .


Teorema 4 (Teorema fundamental de la geometrıa proyectiva, pag. 104 [2]). SeanV, V ′ espacios vectoriales sobre K y K ′, respectivamente, de dimension n ≥ 3.Entonces, si σ : P(V )→ P(V ′) es una colineacion, existe un isomorfismo semilinealfµ : V → V ′ tal que σ = P(fµ).

Al igual que las aplicaciones lineales, existen matrices asociadas a una aplicacionsemilineal, lo cual permite hablar de las matrices asociadas a una colineacion cuandose trabaja en espacios proyectivos de dimension mayor o igual a 2.

En correlaciones va a ocurrir lo mismo. Como componer una correlacion σ con lacorrelacion canonica da lugar a una colineacion, se pueden definir matrices asociadasa una correlacion. Esto nos permite distinguir un tipo especial de correlaciones.

Definicion 17. Llamaremos polaridad a las correlaciones lineales σ con matricesasociadas simetricas.

Proposicion 9. Las polaridades son autoinversas.

Definicion 18. Sea σ : Pn → Pn una polaridad. Sea P ∈ Pn un punto y H unhiperplano. Si H = σP , diremos que H es la polar de P y que P es el polo de H.

Definicion 19. Sean P, P ′ ∈ Pn y σ : Pn → Pn una polaridad. Si P ∈ σP ′ diremosque P y P ′ son puntos conjugados respecto de σ y que σP y σP ′ son hiperplanosconjugados respecto de σ. Si P = P ′, diremos que P es un punto autoconjugado.

Proposicion 10 (Condicion de conjugacion de dos puntos). Sean P,Q ∈ Pn, ∆una referencia de Pn y σ : Pn → Pn una polaridad. Entonces P y Q son puntosconjugados respecto de σ si y solamente si

n∑i=0

n∑j=0

mijpiqj = 0,

con P = (p0 : ··· : pn)∆, Q = (q0 : ··· : qn)∆ y M∆∆ = (mij) es la matriz de lapolaridad.

Bibliografıa

[1] Casas-Alvero, Eduardo (2014). Analytic projective geometry. EMS Textbooksin Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zurich.

[2] Santalo, Luis A. (1977). Geometrıa Proyectiva. Tercera edicion. Editorial Uni-versitaria de Buenos Aires.



Desenredando redes en espacios topologicos

Marıa Cristina Vilas TaboadaArea de Xeometrıa e Topoloxıa


15 de marzo de 2017

Introduccion

La busqueda de una buena nocion de convergencia fue una de las tareas basicasen los comienzos de la topologıa general y, en principio, convergencia significabaconvergencia de sucesiones. Pero, ¿un espacio topologico general queda completa-mente determinado por sus sucesiones convergentes? La respuesta es negativa. En1906, Frechet fue uno de los primeros en preguntarse como caracterizar la clasede los espacios que sı pueden ser completamente determinados por sus sucesionesconvergentes. Sin embargo, pronto se pusieron de manifiesto las limitaciones deeste enfoque y se replanteo el problema original en el sentido de averiguar que es-pacios topologicos se pueden caracterizar mediante la convergencia secuencial. Larespuesta, proporcionada por Franklin, en 1965 y 1967, la constituyen los espaciossecuenciales. No obstante, ademas de ser esta clase de espacios bastante limitada,existen serios obstaculos a la hora de describir la topologıa en dichos terminos. Enconclusion, si se pretende obtener una teorıa general de convergencia con buenaspropiedades, es necesario generalizar la propia nocion de sucesion.

Paralelamente al proceso anterior, en 1915, ante las carencias de la convergenciasecuencial reflejadas en la teorıa de la integracion, Moore y Smith desarrollaron unateorıa de “sucesiones generalizadas” bajo el nombre de convergencia Moore-Smith.Posteriormente, en 1937, Birkhoff utilizo tales sucesiones para retomar la idea defundamentar la topologıa en el concepto de convergencia, aunque habrıa que esperarhasta 1950 para que Kelley, quien introdujo la denominacion de red, formulase unaaxiomatica adecuada, que se concreto en las denominadas clases de convergencia.

La referencia clasica en teorıa de redes es el libro de Kelley [1]. Sin embargo, lanotacion y definiciones se han tomado del texto de Willard [2] que, por tanto, debeconsiderarse como la referencia por defecto.

Conjuntos dirigidos y redes

El concepto de conjunto dirigido, que se presenta a continuacion, se obtuvo ana-lizando que propiedades del conjunto ordenado N se utilizan en el estudio de laconvergencia de sucesiones.

Palabras Clave: convergencia; redes; ultrarredes; lımites iterados; clases de convergencia.

63

64 SII Desenredando redes en espacios topologicos

Definicion 1. Sea Λ un conjunto no vacıo y ≤ una relacion binaria en Λ. Se diceque (Λ,≤) es un conjunto dirigido si se satisfacen las siguientes condiciones:

1. ∀λ ∈ Λ se tiene λ ≤ λ.

2. Dados λ1,λ2,λ3 ∈ Λ, si λ1 ≤ λ2 y λ2 ≤ λ3 entonces λ1 ≤ λ3.

3. ∀λ1, λ2 ∈ Λ, ∃λ3 ∈ Λ tal que λ1 ≤ λ3 y λ2 ≤ λ3.

La relacion ≤ se denomina direccion sobre Λ y se dice tambien que dirige Λ.

Ejemplo 1. Dados dos conjuntos dirigidos (Λ,≤) y ( Γ,), es posible dotar deuna direccion al conjunto producto Λ × Γ mediante la llamada relacion producto(λ1, γ1) (λ2, γ2) ⇔ λ1 ≤ λ2 y γ1 γ2. Lo mismo sucede para cualquier cantidadde factores.

La restriccion de una direccion a un subconjunto puede no ser una direccion eneste. Por ello se presentan los siguientes conceptos, garantizando que cualquier sub-conjunto cofinal es dirigido con la relacion inducida.

Definicion 2. Si (Λ,≤) es un conjunto dirigido y Υ ⊂ Λ se dice que:

Υ es cofinal en (Λ,≤) si ∀λ ∈ Λ ∃ υ ∈ Υ tal que λ ≤ υ.

Υ es residual en (Λ,≤) si ∃λ ∈ Λ tal que λ ≤ υ ⇒ υ ∈ Υ.

Se introducen a continuacion las redes con el objeto de superar las limitaciones delas sucesiones.

Definicion 3. Se denomina red en un conjunto no vacıo X a cualquier aplicacionP : (Λ,≤) −→ X donde (Λ,≤) es un conjunto dirigido.

Con frecuencia se utilizara una notacion similar a la de sucesiones. Ası, el puntoP (λ) se denotara por xλ y la red P con dominio Λ por xλλ∈Λ.

Definicion 4. Sea xλλ∈Λ una red en X y A ⊂ X. Se dice que la red:

Frecuenta A si ∀λ1 ∈ Λ, ∃λ2 ∈ Λ | λ1 ≤ λ2 y xλ2 ∈ A.

Finaliza en A si ∃λ1 ∈ Λ tal que, si λ2 ∈ Λ y λ1 ≤ λ2, entonces, xλ2 ∈ A.

Subred

El concepto de subred probablemente sea el mas controvertido de la teorıa. Dehecho, los intentos de caracterizar la topologıa mediante redes no tuvieron exitohasta que se dispuso de una definicion adecuada de subred.Se presenta, a continuacion, la definicion de subred propuesta por Willard [2], con-siderada por Kelley [1] como caso particular. En la literatura se pueden encontrarmas definiciones, casi tantas como autores, la mayorıa mas generales que esta y queno son equivalentes entre sı.

Marıa Cristina Vilas Taboada SII 65

Definicion 5. Se dira que una red Q : (Υ,) −→ X es una subred de una redP : (Λ,≤) −→ X cuando Q = P ϕ, siendo ϕ : Υ −→ Λ una aplicacion que verifica:

1. Dados υ1, υ2 ∈ Υ, si υ1 υ2 entonces ϕ(υ1) ≤ ϕ(υ2).

2. ∀λ ∈ Λ ∃ υ ∈ Υ | λ ≤ ϕ(υ).

Cuando la red P se denota por xλλ∈Λ la subred Q = xϕ(υ)υ∈Υ tambien se sueledenotar por xλυυ∈Υ.

Ultrarredes

Una clase importante de redes son las llamadas redes universales o ultrarredes.

Definicion 6. Una red xλλ∈Λ en un conjunto no vacıo X es una ultrarred si,para cada A ⊂ X, la red esta finalmente en A o finalmente en X\A.

Esto equivale a decir que una red es una ultrarred si el hecho de frecuentar cualquiersubconjunto implica y, por lo tanto, equivale a, finalizar en el mismo.

Ejemplo 2. Si una red finaliza en un conjunto unitario, en cuyo caso se dice quees residualmente constante, entonces es una ultrarred que se denomina ultrarredtrivial.

En particular, son ultrarredes triviales las redes constantes y, como se ve a conti-nuacion, las ultrarredes en conjuntos finitos y las que son sucesiones.

Proposicion 1. Toda ultrarred en un conjunto finito X es residualmente constante.

Proposicion 2. Una sucesion es una ultrarred si, y solo si, es estacionaria.

El resultado mas importante sobre ultrarredes es el siguiente teorema que permiteafirmar la existencia de ultrarredes no triviales.

Teorema 1. Toda red tiene una subred que es una ultrarred.

Observacion 1. Aunque existen ultrarredes no triviales, el hecho de que en lademostracion del teorema anterior se utilice el axioma de eleccion -vıa el Lema deZorn- provoca que no existan ejemplos explıcitos de las mismas. Se dice por ello quelas ultrarredes no triviales son intangibles.

Redes convergentes

La presencia de una topologıa hace posible la definicion de la nocion basica deconvergencia de redes, generalizacion natural de la correspondiente para sucesiones.

Definicion 7. Para una red P = xλλ∈Λ en un espacio topologico X y un puntox ∈ X se dira que:


x es un punto de aglomeracion de P , si P frecuenta todo entorno de x.

P converge a x o x es un punto lımite de P , si P finaliza en todo entornode x.

Es suficiente comprobar las anteriores condiciones para los entornos de alguna baselocal en x, por ejemplo, para los entornos abiertos. Evidentemente, todo punto lımitees de aglomeracion. Ademas, los dos conceptos coinciden para ultrarredes.Veamos, a continuacion, algunas propiedades de la convergencia.

Proposicion 3. Para una red P en un espacio topologico X y un punto x ∈ X, severifican:

1. Si P converge a x, toda subred de P converge a x.

2. Si x es de aglomeracion de alguna subred de P , es de aglomeracion de P .

En particular, los puntos lımite de las subredes de una red son puntos de aglome-racion de esta. Ademas, tambien se verifica el recıproco:

Teorema 2. Un punto x ∈ X es de aglomeracion de una red xλλ∈Λ en el espacioX si, y solo si, existe una subred de xλλ∈Λ que converge a x.

Lımites iterados

Para exponer la siguiente propiedad, denominada teorema del lımite iterado, co-mencemos considerando un ejemplo simple:

Ejemplo 3. En el plano euclıdeo R2 tomamos, para cada m ∈ N, la sucesion(1/m, 1/n)n∈N que converge a (1/m, 0). Podemos englobar estas sucesiones enuna red (1/m, 1/n)(m,n)∈N×N definida en el producto N × N ordenado lexicogra-ficamente, esto es, (m,n) (m′, n′) si, y solo si, o bien m < m′ o bien m = m′

y n ≤ n′. Dado que la sucesion de los lımites (1/m, 0)m∈N converge a (0, 0), re-sulta natural preguntarse si la red anterior converge tambien a (0, 0). La respuestaes negativa, como se puede comprobar tomando una bola abierta centrada en (0, 0)de radio ≤ 1. Sin embargo, dicha red tiene subredes convergentes a (0, 0), inclusosubredes que son sucesiones, como la diagonal (1/m, 1/m)m∈N.

Consideremos ahora el caso general. En un espacio topologico X tenemos una redxλλ∈Λ : (Λ,≤)→ X convergente a un punto x ∈ X y supongamos que, para cadaλ ∈ Λ, existe una red xλµµ∈Υλ : (Υλ,≤λ) → X convergente a xλ. Podemos dotaral conjunto

Γ = (λ, µ) ∈ Λ×⋃λ∈Λ

Υλ | µ ∈ Υλ

de la relacion lexicografica

(λ, µ) (λ′, µ′)⇔

λ ≤ λ′ y λ 6= λ′

o

λ = λ′ y µ ≤λ µ′

Marıa Cristina Vilas Taboada SII 67

y definir la aplicacion P : Γ→ X por P (λ, µ) = xλµ. Si Γ fuese un conjunto dirigidotendrıamos ası una red P en X y podrıamos preguntarnos por la existencia dealguna subred convergente a x.

Sin embargo, a pesar de lo afirmado por Willard [2], la relacion no tiene porque ser una direccion en Γ. Por consecuente, replanteamos el problema del siguientemodo: encontrar un conjunto dirigido (Ω,) y una aplicacion ψ : Ω→ Γ tal que lared obtenida por la composicion P ψ : Ω→ Γ→ X sea convergente a cualquier xen las circunstancias expuestas y, ademas, sea una subred de P en el caso de quesea una direccion en Γ.

La solucion, aportada por Kelley [1], consiste en definir (Ω,) como el conjuntodirigido producto Λ ×

∏λ∈Λ Υλ, y la aplicacion ψ como ψ(λ, f) = (λ, f(λ)). Tal

solucion verifica la ultima condicion pedida y la parte de la convergencia la pruebael teorema del lımite iterado.

Teorema 3 (Lımite iterado). Sean (Λ,≤) un conjunto dirigido, (Υλ,≤λ) un conjun-to dirigido para cada λ ∈ Λ, Ω = Λ×

∏λ∈Λ Υλ con la direccion producto y, para

cada λ ∈ Λ, xλµµ∈Υλ una red en un espacio topologico X convergente a un puntoxλ ∈ X. Si la red xλλ∈Λ converge a un punto x ∈ X entonces, la red, denominadadiagonal, xλf(λ)(λ,f)∈Ω converge a x.

Clases de convergencia

Se comprueba, a continuacion, la posibilidad de definir una topologıa en un conjuntodiciendo cuales son las redes convergentes y a que puntos convergen.

Definicion 8. Una clase de convergencia en un conjunto X es una coleccion depares C = (P, x) | P es una red en X y x ∈ X que satisface las siguientescondiciones:

1. Si P es constante al punto x entonces (P, x) ∈ C.

2. Si (P, x) ∈ C entonces, para toda subred Q de P , (Q, x) ∈ C.

3. Si, para toda subred Q : Λ −→ X de una red P , existe un conjunto dirigido Γ yuna aplicacion cofinal ϕ : Γ −→ Λ tal que (Q ϕ, x) ∈ C, entonces, (P, x) ∈ C.

4. Si una red P : (Λ,≤) −→ X verifica (P, x) ∈ C y, para cada λ ∈ Λ, existeuna red Qλ : (Υλ,≤λ) −→ X tal que (Qλ, P (λ)) ∈ C, entonces la red diagonalR : Λ×

∏λ∈Λ Υλ −→ X, R(λ, f) = Qλ(f(λ)), verifica (R, x) ∈ C.

Observacion 2. La condicion 3 aparece usualmente en la literatura en una versionligeramente mas debil. Tal version es adecuada si se utilizan definiciones mas gene-rales de subred, como puede verse en Kelley [1]. Sin embargo, con la definicion desubred que estamos utilizando, y a pesar de lo afirmado por Willard [2], no pareceser suficiente para demostrar el principal resultado que se pretende obtener.


Procedemos, finalmente, a establecer el resultado buscado haciendo uso de las clasesde convergencia. El modo en que una clase de convergencia determina una topologıaconsiste en la construccion de un operador de clausura de Kuratowski que, comobien es sabido, define una topologıa por sus cerrados.

Teorema 4. Sea C una clase de convergencia en un conjunto no vacıo X. Paracada A ⊂ X, sea Ac = x ∈ X | (P, x) ∈ C para alguna red P en A. Entonces, c

es un operador de clausura en X y (P, x) ∈ C si, y solo si, P converge a x con latopologıa generada por c.

Esta caracterizacion de la topologıa permite utilizar las redes para expresar cualquierconcepto o resultado en espacios topologicos.

Proposicion 4. Sean un espacio topologico X, un subconjunto A ⊂ X y un puntox ∈ X. Entonces, x ∈ A si, y solo si, existe una red en A que converge a x.

Al igual que sucede con las sucesiones, una red puede converger a mas de un punto.No obstante, en espacios Hausdorff, toda sucesion convergente tiene un unico lımite,y esto tambien sucede con las redes. Pero, mientras que para sucesiones tambienpuede haber unicidad del lımite en espacios que no son Hausdorff, la convergen-cia de redes, por el contrario, permite obtener una caracterizacion de los espaciosHausdorff.

Teorema 5. Un espacio topologico X es Hausdorff si, y solo si, toda red convergenteen X converge a un unico punto.

Es conocido que, para espacios topologicos, la continuidad no equivale a la con-tinuidad secuencial, ası como tampoco la compacidad equivale a la compacidadsecuencial. Sin embargo, las redes permiten las siguientes caracterizaciones.

Teorema 6. Una aplicacion f : X −→ Y entre espacios topologicos, f es continuasi, y solo si, siempre que una red P en X converge a algun x ∈ X, se verifica quef P converge a f(x) en Y .

Teorema 7. Un espacio topologico X es compacto si, y solo si, toda red en X tieneuna subred convergente.

Bibliografıa

[1] Kelley, J. L. (1975). Topologıa general. Eudeba, Buenos Aires.

[2] Willard, S. (1970). General Topology. Addison-Wesley, Reading.



Seleccionando ecuaciones diferenciales

Cristina Lois PradosArea de Analise Matematica


29 de marzo de 2017

Motivacion

La evolucion de multitud de fenomenos reales puede ser estudiada desde un puntode vista matematico mediante sistemas de ecuaciones diferenciales. Para ello, seestablece una relacion entre las variables que queremos estudiar y sus derivadas, esdecir, x′ = f(t, x). Nos encontramos ante modelos deterministas, ya que la evolucionviene dada de manera unica. Sin embargo, estos modelos deterministas no recogentodos los factores que afectan al fenomeno de estudio. Esto se puede observar porejemplo en el estudio de poblaciones donde no tener conocimiento exacto del medioambiente futuro podrıa dar lugar a incertidumbre en la evolucion.Para dar solucion a este problema, podemos trabajar con aplicaciones multivaluadasy establecer relaciones de la forma x′ ∈ F (t, x), que reciben el nombre de inclu-siones diferenciales. El objetivo perseguido es probar, haciendo uso de teoremas deseleccion, la existencia de solucion del problema de valor inicial asociado a una in-clusion diferencial, donde la aplicacion multivaluada F es suficientemente regular.Una buena referencia para esta teorıa es [1].

Repaso de la teorıa de ecuaciones diferenciales

Dado que vamos a seleccionar ecuaciones diferenciales, nos interesa repasar algunosconceptos y resultados de esta teorıa.

Definicion 1. Sean D ⊂ Rn+1 abierto y f : D ⊂ Rn+1 −→ Rn. Llamaremosecuacion diferencial ordinaria de primer orden en forma normal a la relacion

x′(t) = f(t, x(t)). (1)

Definicion 2. Sea I ⊂ R un intervalo arbitrario. Diremos que x : I ⊂ R −→ Rn,dada por x(t) = (x1(t), ... , xn(t)) para todo t ∈ I, es solucion de (1) en el intervaloI, si se cumple:

x es derivable en I;

(t, x(t)) ∈ D, para todo t ∈ I;

Palabras Clave: inclusion diferencial; aplicacion multivaluada; seleccion continua.

69

70 SII Seleccionando ecuaciones diferenciales

x′(t) = f(t, x(t)), para todo t ∈ I.

Teorema 1 (Peano). Sean A ⊂ R, Ω ⊂ Rn abiertos y f : A × Ω ⊂ Rn+1 −→ Rncontinua, dada por f(t, x) = (f1(t, x), ... , fn(t, x)) para todo (t, x) ∈ A× Ω.En estas condiciones, existe solucion para el problema de valor inicial

x′(t) = f(t, x(t)),

x(t0) = x0,

siendo (t0, x0) un punto del abierto A× Ω.

Definicion 3. Sean x : I ⊂ R −→ Rn e y : J ⊂ R −→ Rn soluciones del problemade valor inicial.

Diremos que y es prolongacion de x si I ⊂ J y x(t) = y(t) ∀t ∈ I.

Si ademas I 6= J , diremos que y es prolongacion propia.

Diremos que y es una solucion maximal si no admite ninguna prolongacionpropia. A su intervalo de definicion lo llamaremos intervalo maximal de exis-tencia.

Teorema 2. Sean A ⊂ R, Ω ⊂ Rn abiertos y f : A×Ω ⊂ Rn+1 −→ Rn continua. Seax una solucion para el problema de valor inicial asociado a f en algun intervalo.En estas condiciones, existe y una prolongacion de x a un intervalo maximal deexistencia (α, ω). Ademas, se cumplen las dos siguientes condiciones:

α = −∞ o lımt→α+

y(t) ∈ ∂Ω;

ω = +∞ o lımt→ω−

y(t) ∈ ∂Ω;

donde ∂Ω denota la frontera del conjunto Ω. Si Ω no es acotado, puede ocurrir queα o ω sean finitos y la solucion sea no acotada.

Concepto de inclusion diferencial y solucion

Definamos con precision el problema al que queremos dar solucion. Empecemosgeneralizando el concepto de funcion, hablando de aplicaciones multivaluadas.

Definicion 4. Dada F : X −→ Y , diremos que F es una aplicacion multivaluadasi para cada x ∈ X, F (x) es un subconjunto de Y.

Notacion 1. A partir de este momento las aplicaciones multivaluadas las denota-remos con letras mayusculas y las univaluadas con minusculas.

Ejemplo 1. Sea F : R −→ R, dada por

x 7−→ F (x) =

0, x = 0,

[−1, 1], x 6= 0,

y representada graficamente en la Figura 1.

Cristina Lois Prados SII 71

Figura 1: Ejemplo aplicacion multivaluada.

Generalizamos ahora el concepto de ecuacion diferencial ordinaria y solucion.

Definicion 5. Sean D ⊂ Rn+1 abierto y F : D ⊂ Rn+1 −→ Rn una aplicacionmultivaluada. Llamaremos inclusion diferencial a la relacion

x′(t) ∈ F (t, x(t)). (2)

Definicion 6. Diremos que x : I ⊂ R −→ Rn, dada por x(t) = (x1(t), ... , xn(t))para todo t ∈ I, es solucion de (2) en el intervalo I, si cumple:

x es una funcion derivable en I;

(t, x(t)) ∈ D, para todo t ∈ I;

x′(t) ∈ F (t, x(t)), para todo t ∈ I.

Observacion 1. La solucion de la inclusion diferencial es una aplicacion univalua-da.

Seleccion de ecuaciones diferenciales

Para poder utilizar los Teoremas de Seleccion es necesario pedir cierta regularidada las aplicaciones multivaluadas. Seguimos en la lınea de generalizar lo ya conocido.

Observacion 2. Cuando trabajamos con funciones f : X −→ Y definidas entreespacios metricos, la continuidad de f en un punto x ∈ X se caracteriza por lassiguientes condiciones equivalentes:

Para cada ε > 0, existe δx,ε > 0 tal que si d (x, x) < δx,ε entonces

d (f(x), f(x)) < ε.

Dada xnn∈N sucesion de elementos de X tal que xnn∈N → x cuandon→∞, entonces la sucesion f(xn)n∈N → f(x) cuando n→∞.

Teniendo en mente la caracterizacion de la continuidad de tipo ε, δ definimos elconcepto de aplicacion multivaluada superiormente semicontinua.


Definicion 7. Sean X, Y espacios topologicos, F : X −→ Y una aplicacion mul-tivaluada y x0 ∈ X. Diremos que F es superiormente semicontinua en x0 si paracada entorno abierto de F (x0) en Y , N ≡ N (F (x0)), existe un entorno de x0 en X,M≡M(x0), tal que F (M) ⊂ N (ver Figura 2). Diremos que F es superiormentesemicontinua si lo es en todo x0 ∈ X.

Figura 2: Ilustracion semicontinuidad superior.

Teniendo en mente la caracterizacion de la continuidad por sucesiones definimos elconcepto de aplicacion multivaluada inferiormente semicontinua.

Definicion 8. Sean X, Y espacios metricos, F : X −→ Y una aplicacion mul-tivaluada y x0 ∈ X. Diremos que F es inferiormente semicontinua en x0 si, dadaxnn∈N −→ x0 cuando n −→∞, para cada y0 ∈ F (x0) existe una sucesion ynn∈Nde elementos de Y tal que yn ∈ F (xn) para todo n ∈ N e ynn∈N −→ y0 cuandon −→ ∞ (ver Figura 3). Decimos que F es inferiormente semicontinua si lo es entodo x0 ∈ X.

Figura 3: Ilustracion semicontinuidad inferior por sucesiones.

Es interesante dar una caracterizacion de este concepto por entornos. Se prueba quetodas las definiciones son equivalentes cuando X e Y son espacios metricos.

Cristina Lois Prados SII 73

Definicion 9. Sean X, Y espacios topologicos. Se dice que F : X −→ Y es infe-riormente semicontinua en x0 ∈ X si, para cada y0 ∈ F (x0) y cada entorno N (y0)de y0, existe un entorno M(x0) de x0 tal que:

∀ x ∈M(x0) , F (x) ∩N (y0) 6= ∅.

Definicion 10. Sean X, Y espacios topologicos y F : X −→ Y una aplicacion mul-tivaluada. Diremos que F es continua si es inferior y superiormente semicontinua.

Veamos ahora a que nos referimos cuando hablamos de seleccion.

Definicion 11. Dada una familia de conjuntos Fβ : β ∈ B, una seleccion es unaaplicacion univaluada f : B −→ Fβ : β ∈ B, β 7−→ f(β) ∈ Fβ.

Dada F : X 7−→ Y aplicacion multivaluada, buscaremos una seleccion de la familiaF (x) : x ∈ X. Enunciaremos ahora resultados que garanticen la existencia deseleccion continua.

Teorema 3 (de la Mejor Aproximacion). Sean X un espacio de Hilbert (dotadodel producto escalar 〈· , ·〉, cuya norma asociada denotaremos por ‖·‖) y K ⊂ X unsubconjunto cerrado, convexo y no vacıo.Dado x ∈ X, existe un unico elemento πK(x) ∈ K tal que

||x− πK(x)|| = d(x,K) := ınf||x− y|| : y ∈ K.

Como se alcanza el ınfimo, tenemos que

||x− πK(x)|| = mın||x− y|| : y ∈ K.

Teorema 4 (Seleccion de Michael). Sea X un espacio metrico e Y un espacio deBanach. Sea F : X −→ Y inferiormente semicontinua, cuyos valores son subconjun-tos no vacıos, cerrados y convexos de Y. Entonces, existe f : X −→ Y seleccioncontinua de F.

Teorema 5 (Seleccion minimal). Sean X un espacio metrico, Y un espacio deHilbert y F : X −→ Y una aplicacion multivaluada continua, cuyos valores son sub-conjuntos no vacıos, cerrados y convexos de Y . Entonces la aplicacion f : X −→ Y ,dada por x 7−→ f(x) := πF (x)(0), es una seleccion continua de F .

Observacion 3. En el Teorema de Seleccion Minimal las hipotesis son mas res-trictivas, pero a mayores sabemos cual es la seleccion. Es el Teorema de la MejorAproximacion el que nos garantiza que la aplicacion univaluada esta bien definiday es seleccion.


Existencia de solucion de inclusiones diferenciales

Definicion 12 (Problema de valor inicial). Sean A ⊂ R, Ω ⊂ Rn abiertos y F :A× Ω ⊂ Rn+1 −→ Rn una aplicacion multivaluada. El problema de valor inicial

x′(t) ∈ F (t, x(t)),

x(t0) = x0,

consiste en: dado (t0, x0) ∈ A × Ω, encontrar una solucion x de la inclusion dife-rencial que satisfaga la condicion x(t0) = x0.

Veamos un teorema de existencia haciendo uso del Teorema de Seleccion Minimal.Existe un resultado similar haciendo uso del Teorema de Seleccion de Michael.

Teorema 6. Sean A ⊂ R, Ω ⊂ Rn abiertos y F : A × Ω ⊂ Rn+1 −→ Rn unaaplicacion multivaluada continua con valores cerrados, convexos y no vacıos. Paracada (t0, x0) ∈ A × Ω, existen I = (a, b), a < t0 < b y x : I −→ Rn, x ∈ C1(I),solucion al problema de valor inicial. Ademas esta solucion verifica las dos siguientescondiciones:

a = −∞ o lımt→a+

x(t) ∈ ∂Ω;

b = +∞ o lımt→b−

x(t) ∈ ∂Ω.

Si Ω no es acotado, puede ocurrir que a o b sean finitos y la solucion sea no acotada.

Demostracion:¿Podemos aplicar el Teorema de Seleccion Minimal a F?

A× Ω ⊂ Rn+1 es espacio metrico con la metrica relativa;

Rn es espacio de Hilbert;

F es continua con valores cerrados, convexos y no vacıos.

Efectivamente, se cumplen las hipotesis del Teorema de Seleccion Minimal y po-demos garantizar la existencia de al menos una aplicacion univaluada continuaf : A × Ω ⊂ Rn+1 −→ Rn, tal que f(t, x) = πF (t,x)(0) ∈ F (t, x), ∀(t, x) ∈ A×Ω.Por la teorıa de ecuaciones diferenciales, sabemos que, fijado (t0, x0) ∈ A× Ω, existesolucion al problema de valor inicial asociado a f , que sera solucion del problemade valor inicial asociado a F . Ademas, usando el Teorema 2, tenemos probado queesta solucion del problema de valor inicial se puede prolongar a una solucion quecumpla las condiciones mencionadas. 2

Observacion 4. En la demostracion previa hemos probado la existencia de soluciondel problema de valor inicial asociado a la seleccion f . El hecho de que tal seleccionsea continua pero no necesariamente localmente lipschitziana, justifica la elecciondel Teorema 2 como resultado de existencia de solucion de EDOs.

Bibliografıa

[1] Aubin, J. P. y Cellina, A. (1984). Differential inclusions: set-valued maps andviability theory, Springer-Verlag.



Linguıstica matematica: a informacion que se agochatras as percepcions

Laura Calaza DıazArea de Estatıstica e Investigacion Operativa


19 de abril de 2017

Resumo

Se escoitasemos a alguen falar en galego, seriamos quen de reconecer de onde pro-ven a sua fala? Poderiamos reconecer mellor aquela procedente dalgunhas zonasconcretas? Que factores nos poderıan axudar a identificala? Un dos principais ob-xectivos da dialectoloxıa perceptiva e conecer que factores influen na identificaciondas diferentes variedades dialectais (dialectos) dunha lingua por parte dos falantesda mesma.

O caracter espacial asociado a este tipo de datos require a introducion de metodosestatısticos que permitan cuantificar a percepcion xeografica dos diferentes dialectos.Este traballo aborda este problema introducindo unha posible medida de distanciaentre conxuntos. Esta distancia permite que a informacion xeoreferenciada poida serincorporada a modelos de regresion que consideren diferentes fontes de variabilidade.

Deseno do estudo

A motivacion deste traballo xorde tras unha investigacion que se esta a levar a cabono eido da dialectoloxıa perceptiva en Galicia. Para realizar este estudo desenouseunha enquisa especıfica, ası como unha aplicacion informatica que favoreceu a re-compilacion da informacion. Este apartado esta desenvolto con mais detalle en [3]pero, brevemente, poderiamos resumilo da seguinte maneira:

Seleccionaronse seis audicions de diferentes localizacions representativas dasareas linguısticas establecidas tradicionalmente. Ademais, elaborouse unhagrella con 45 cuadrıculas e en cada unha delas seleccionaronse un total de4 informantes (nados nesa zona), 2 homes e 2 mulleres en distintos rangos deidade, entre 20-35 e entre 50-65 anos (Figura 1 esq.).

Recolleronse variables sociodemograficas sobre os enquisados (sexo, idade, ni-vel de estudos, lugar de nacemento e lugar de enquisa).

Palabras Clave: distancia de Baddeley; modelos mixtos; linguıstica.

75

76 SII Linguıstica matematica: a informacion que se agocha tras as percepcions

Os xuızos emitidos (rexions sinaladas no mapa) polos informantes traducensee almacenanse automaticamente desde a aplicacion como polıgonos xeorefe-renciados (Figura 1 der.).

Figura 1: A esquerda, representacion da seleccion da mostra (cırculos) e dos lugaresdas audicions (cadrados). A dereita, mostra dunha rexion xeografica asignada aunha audicion por un dos enquisados.

Metodoloxıa

A analise de datos espaciais esta sendo de gran interese nas ultimas decadas debidoao avance nos sistemas de informacion xeografica (SIX). Son diversas as metodolo-xıas que se desenvolveron neste ambito en relacion aos diferentes focos de interesede estudo. En particular, o proposito desta investigacion centrase en estudar comoincorporar a relacion entre a localizacion espacial dos conxuntos aos modelos deregresion. Tal e como menciona [6] existen diversos tipos de relacions espaciais quese poderıan considerar:

Relacions direccionais, que describen a orde no espazo; por exemplo, ao nortede ou ao sur de.

Relacions topoloxicas, que describen a vecinanza e incidencia; por exemplo,son disxuntos ou son adxacentes.

Relacions comparativas, que describen a inclusion; por exemplo, esta en.

Relacions de distancia, tales como lonxe de ou cerca de.

Relacions difusas, tales como ao lado de ou a continuacion.

Un dos principais obstaculos para o avance da disciplina dos SIX e a falla dun sis-tema de relacions espaciais completo que dea reposta a todas as necesidades que

Laura Calaza Dıaz SII 77

se exponen en [2]. En particular, neste traballo consideraronse dous dos tipos derelacions mencionadas. Nun primeiro apartado presentase unha medida que permi-tira definir a relacion de distancia entre conxuntos para logo, pasar a describir osmodelos de regresion axustados nos que se incorporara dita medida, ademais dunhanova variable que tera en conta a relacion direccional entre os conxuntos.

Distancia de Baddeley

Para medir a relacion espacial entre patrons que se observan nunha mesma rexionpodemos considerar diferentes alternativas. Na nosa proposta consideramos os ma-pas como imaxes, podendo identificar as localizacions por pıxeles. Ası, calquerarexion pode ser representada como unha composicion de pixels e, por tanto, repre-sentada como unha imaxe. Enton, para establecer as diferenzas entre localizacionse rexions utilızase unha metrica para medir distancias entre duas imaxes, ver [1].Denotese por X a venta de observacion (mapa de Galicia), e sexan A,B ⊆ X (duaslocalizacions ou rexions). Logo a distancia de Baddeley, ∆b, defınese como

∆b(A,B) =

[1

n(X)

∑x∈X|d∗(x,A)− d∗(x,B)|p

]1/p

,

onde n(X) denota o numero de pixels na venta de observacion X e d∗(x,A) =mınd(x,A), c = mınınf[d(x, a), a ∈ A], c, con d(x, x′) a metrica que define adistancia entre dous puntos x, x′ ∈ X e os parametros c e p reflicten un balanceentre o erro de clasificacion e o erro de localizacion respectivamente. A medida quec tende a 0, o valor de 1

c∆b(A,B) converxe cara a proporcion de pıxeles diferentesentre A e B. O ındice p controla o peso relativo dos erros de diferentes magnitudes.Para realizar estas analisis fixouse p = 2 e c = ∞, para considerar ∆b como o errocuadratico medio.

Compre mencionar que esta distancia foi utilizada fronte a outras alternativas co-mo a distancia ao centroide ou a distancia de Hausdorff. Poren, considerouse que adistancia de Baddeley resultaba mais adecuada dado que se utiliza para medir a dis-crepancia entre as rexions seleccionadas polos enquisados e os lugares das audicions.Poderiamos dicir que nesta, a localizacion e a estrutura das rexions esta mais pre-sente posto que, en contraposicion coas restantes consideradas, ten en conta todosos pıxeles que definen as rexions para promediar esa medida.

Modelos mixtos

Os modelos de regresion vannos permitir describir a relacion entre os xuızos emitidospara cada audicion (variable dependente) e outras variables incluıdas no deseno docuestionario (variables explicativas) que recollen certas caracterısticas persoais dosinformantes. Con todo, e esencial ter en conta a estrutura dos datos cando se axustaun modelo de regresion. Deste xeito, a relacion que existe entre as respostas dadaspolo mesmo informante debese ter en conta. Con esta perspectiva, os modelos lineais


mixtos, ver [4], constituen un instrumento adecuado para modelar esta dependenciatendo en conta a estrutura xerarquica dos datos. Os efectos, e dicir, a influenciadas variables explicativas sobre a resposta son proporcionados polos parametrosdo modelo. Nestes modelos, a variable dependente modelase como unha funcionde efectos fixos, efectos aleatorios e un erro. Ası, podemos plantexar dous modelosiniciais,

un tendo en conta a variabilidade por informante (relacion entre respostas dunmesmo informante),

Yij = β0 + βXij + ui + εij ,ui ∈ N(0, σ2

u), εij ∈ N(0, σ2), independentes entre si,(1)

outro capturando a variabilidade por audicion (recollendo efectos propios decada audicion),

Yij = β0 + (β + bj)Xij + vj + εij ,vj ∈ N(0, σ2

v), εij ∈ N(0, σ2), independentes entre si,(2)

onde Y denota a variable reposta, X os efectos fixos, β o vector de parametros deefectos fixos, u o vector de interceptos aleatorios relacionados cos informantes, vo vector de interceptos aleatorios asociados as audicions, b o vector de pendentesaleatorias asociadas as audicions, i o ındice para denotar aos informantes (i =1, ... , 180) e j o ındice para denotar as audicions (j = 1, ... , 6).Neste estudo, estableceronse os seguintes criterios para a seleccion e o axuste dosmodelos. Por un lado, a estimacion dos parametros realizouse polo metodo de maxi-ma verosimilitude restrinxida; por outra parte, o criterio de seleccion de variables domodelo basease nunha eliminacion progresiva (comunmente conecido como backwardstepwise) segundo a significacion estatıstica das mesmas.

Resultados

Axuste do modelo (1): Considerouse como variable resposta a distancia, ∆b, en-

Figura 2: Componente direccional.

tre os xuızos e as localizacions das audicionscorrespondentes e, como variables explicati-vas, a distancia do lugar de nacemento ao lu-gar da audicion (distab), ası como unha com-ponente direccional [5] que se describe a conti-nuacion. Dada a direccion de distab determı-nase o angulo, α, que forma esta con respectoa horizontal (Figura 2). Isto permite observara importancia, ou mellor dito, a relacion direc-cional do lugar de nacemento nas respostas, edicir, nos xuızos emitidos sobre as audicions.O modelo axustado resultante e:

Laura Calaza Dıaz SII 79

Yij = 45696 + ui + 0.09 distabij − 0.05 distabij ∗ cos(αij).

Se focalizamos a nosa atencion nos coeficientes asociados aos efectos fixos temosque o coeficiente asociado a distab e positivo, o que significa que a medida que olugar de nacemento se afasta do lugar da audicion custa mais idenficala. Poren, ocoeficiente asociado a interaccion entre distab e o coseno do angulo α e negativo,o que significa que no primeiro e no cuarto cuadrante temos unha disminucion navariable resposta (mellor reconecemento dos dialectos), mentres que no segundo eno terceiro cuadrante traducese nun aumento da resposta (peor reconecemento dosdialectos). Estes resultados poden interpretarse como a mobilidade (en sentido ho-rizontal) dos galegos, do interior cara a costa oeste, ou ben, como unha evidencia deque as variedades dialectais occidentais son mais reconecibles. Notese que neste casoui e o parametro que nos proporciona a variabilidade no intercepto por informante.

Axuste do modelo (2): Neste caso, ao considerar como efecto aleatorio (pendentee intercepto) por audicion, o axuste do modelo e diferente. Ası, aında que a variableresposta segue sendo a mesma, as variables explicativas consideradas finalmenteforon o nivel de estudos e distab. Dado que o nivel de estudos e unha variable tipofactor, o noso modelo vai vir axustado por diferentes interceptos segundo o nivelque tome esta (primarios, secundarios ou universitarios). Desta forma, o modeloaxustado e o seguinte:

Primarios Yij = 48602 + vj + (0.09 + bj)distabij ,

Secundarios Yij = 48602− 1743 + vj + (0.09 + bj)distabij ,

Universitarios Yij = 48602− 3863 + vj + (0.09 + bj)distabij .

Observase que, considerando distab fixa, a medida que aumenta o nivel de estudosdiminue a resposta (reconecense mellor os dialectos) e, de novo, a medida que o lugarde nacemento esta mais afastado do lugar de audicion fai que aumente a resposta(reconecense peor as variedades). Para interpretar a forma na que os interceptosaleatorios, vj , e as pendentes aleatorias, bj , flexibilizan o modelo basta con ver aFigura 3. Nela representase o modelo asociado a cada unha das seis audicions porseparado (en bloques) e, dentro de cada unha delas, o asociado a cada un dos niveisda variable nivel de estudos. A vista dos resultados podemos ver que a audicion co-rrespondente a Bueu e a mellor reconecida a nivel global (menor intercepto e menorpendente), mentras que a audicion de Moeche e a peor reconecida (maior intercep-to) independentemente do lugar de nacemento (pendente pouco pronunciada). Nasrestantes audicions (Xinzo, A Fonsagrada, O Barco e Mazaricos) observase nota-blemente a importancia do lugar de nacemento a hora de reconecer as variedadesdialectais.


Xinzo A Fonsagrada Bueu Moeche O Barco Mazaricos

0 50000 100000 150000 200000 0 50000 100000 150000 200000 0 50000 100000 150000 200000 0 50000 100000 150000 200000 0 50000 100000 150000 200000 0 50000 100000 150000 200000

0

30000

60000

90000

distab

Y

estudos

PRIMARIOS

SECUNDARIOS

UNIVERSITARIOS

Figura 3: Modelo mixto axustado considerando o intercepto aleatorio e a pendentealeatoria por audicion.

Bibliografıa

[1] Baddeley, A. J. (1992). An error metric for binary images, en Robust ComputerVision, W. Fostner and S. Ruwiedel (Eds.), pp. 59–78, Wichmann, Bonn

[2] Boyle, A. R., Dangermond, J., Marble, D. F., Simonett, D. S., Smith, L. K. eTomlinson, R. F. (1983). Final report of a conference on the review and synt-hesis of problems and directions for large scale geographic information systemdevelopment, National Aeronautics and Space Administration, Contract NAS2-11246 (report available from ESRI, Redlands, CA).

[3] Calaza Dıaz, L., Suarez Quintas, S., Crujeiras, R. M., Rodrıguez Casal, A.,Sousa, X. e Rıos Viqueira, J. R. (2015). A method for proccesing perceptualdialectology data, en ACTAS XII Congreso Galego de Estatıstica e Investigacionde Operacions, Lugo, pp. 282–291.

[4] Gelman, A. e Hill, J. (2006). Data analysis using regression and multile-vel/hierarchical models. Cambridge University Press, New York.

[5] Pewsey, A., Neuhauser, M. e Ruxton G. D. (2013). Circular statistics in R.Oxford University Press, Oxford.

[6] Pullar, D. V. e Egenhofer, M. J. (1988). Toward formal definitions of topolo-gical relations among spatial objects, in Proceedings of the Third InternationalSymposium on Spatial Data Handling, Sydney, pp. 225–241.



Simulacion unidimensional del flujo de aguas somerascon fondo movible

Juan Carlos Gonzalez Aguirre

Area de Matematica AplicadaUniversidad Juarez Autonoma de Tabasco, Mexico

3 de mayo de 2017

Introduccion

La estimacion eficiente de las dimensiones de las inundaciones (profundidad y avancedel agua) juegan un papel muy importante en el establecimiento de las estrategiasde proteccion civil. Es por esto que la resolucion numerica de la dinamica de lasinundaciones y la dispersion de sedimentos son un tema relevante actualmente.

Modelo matematico

El estudio del transporte de sedimentos se lleva acabo mediante la resolucion nu-merica del sistema hiperbolico en derivadas parciales con termino fuente (1), el cualesta conformado por las ecuaciones de la conservacion de la masa para la mezclade agua con sedimento, la conservacion del momento para la mezcla de agua consedimento y la conservacion de la masa para el sedimento [2]. Por otra parte, lamanera en la que evoluciona la elevacion del fondo, de acuerdo al flujo, es dada porla ecuacion de la conservacion del fondo (2). Las ecuaciones se definen como sigue:

∂W

∂t(x, t) +

∂F(W)

∂x(x, t) = S(x, t,W), (1)

∂z

∂t(x, t) =

1

1− p(D(x, t)− E(x, t)) , (2)

donde,

W(x, t) := (w1, w2, w3)t es el vector de variables conservativas las cuales sedefinen como:

• w1 = h(x, t) (m) es la profundidad del agua,• w2 = h(x, t)u(x, t) (m/s2) es la descarga unitaria del flujo,• w3 = h(x, t)c(x, t) (kg/m2) es la carga del sedimento en suspension.

Las variables fısicas h(x, t) (m), u(x, t) (m/s) y c(x, t) (kg/m3) representanla profundidad del agua, la velocidad del flujo y la concentracion volumetricadel sedimento, respectivamente.

Palabras Clave: simulacion numerica; aguas someras; volumenes finitos; fondo movible.

81

82 SII Aguas someras con fondo movible

El vector F(W(x, t)) que representa el flujo fısico toma la forma

F(W(x, t)) =

w2

w22

w1

+1

2gw2

1

w2w3

w1

.

El termino fuente S(x, t,W) se puede escribir como la suma de las variacionespor fondo S1(x, t,W) mas las perdidas por friccion S2(x, t,W) y los cambiosdebido a los procesos de erosion y deposicion S3(x, t,W), es decir,

S(x, t,W) = S1(x, t,W) + S2(x, t,W) + S3(x, t,W),

donde

S1(x, t,W) =

0

−gw1

∂z

∂x

0

, S2(x, t,W) =

0

−gw1Sf

0

y

S3(x, t,W) =

E −D1− p

−(ρs − ρw)gw2

1

2ρ

∂

∂x

(w3

w1

)− ρ0 − ρ

ρ

E −D1− p

w2

w1

E −D

.

En estas expresiones z(x, t) (m) es la elevacion del fondo, g (m/s2) es la ace-leracion gravitacional, S

f(x, t) es el termino de friccion, E(x, t) (m/s) es la

erosion, D(x, t) (m/s) es la deposicion, p es la porosidad del sedimento, ρs(kg/m3) es la densidad del sedimento, ρw (kg/m3) es la densidad del agua,ρ(x, t) (kg/m3) es la densidad de la mezcla de agua con sedimento y ρ0 (kg/m3)es la densidad del fondo saturado.

Formulaciones empıricas para completar el modelo

Para completar el modelo matematico, la densidad de la mezcla de agua con sedi-mento ρ, la densidad del fondo saturado ρ0 y el termino de friccion1 S

fse calculan

utilizando las siguientes expresiones:

ρ(x, t) = ρw(1−c(x, t))+ρsc(x, t), ρ0 = ρwp+ρs(1−p) y Sf(x, t) =

η2u(x, t)|u(x, t)|h(x, t)

43

.

1El calculo del termino de friccion se hace utilizando el numero adimensional de Manning η.

Juan Carlos Gonzalez Aguirre SII 83

El calculo de la erosion y la deposicion se realiza mediante las siguientes formula-ciones:

Erosion:

E(x, t) =

ϕ(θ(x, t)− θc)u(x, t)h(x, t)−1d−0.2, si θ(x, t) ≥ θc ,

0, en otro caso,

donde ϕ es un valor constante adimensional, θ(x, t) es el parametro adimen-sional de Shields o de movilidad, θc es el valor adimensional crıtico de Shieldsy d (mm) es el diametro de la partıcula. Las formulas para el calculo de ϕ yθ(x, t) se pueden consultar en [2].

Deposicion:

D(x, t) = ω0α c(x, t)(1− α c(x, t))m,

donde α = mın 2, (1− p)/c(x, t) es el coeficiente de no adaptacion de lacarga en suspension, ω0 (m/s) es la velocidad de caıda de una partıcula conel agua en calma [2, 5].

Resolucion numerica

Para obtener una aproximacion numerica del transporte de sedimentos, el sistemahiperbolico de ecuaciones en derivadas parciales se resuelve mediante un esquemade volumenes finitos. La ecuacion diferencial ordinaria inducida por la evolucion dela elevacion de fondo se resuelve usando la informacion obtenida de dicho esquema.Para poder llevar a cabo esto es necesario tener una version discreta del problema,para lo cual se introducen los siguientes elementos.

Discretizacion espacial

El intervalo (0,L) se discretiza utilizando una malla de volumenes finitos, tal y comose puede ver en la Figura 1. El i-esimo volumen finito se denota por

Ci =(xi− 1

2, xi− 1

2

)=

(xi −

xi − xi−1

2, xi +

xi+1 − xi2

), i = 1, ... , N − 1.

x0 xN

x0+ 12

C0

-C

N

xN− 1

2

xi−1 xi xi+1xi− 1

2xi+ 1

2

Ci -

Figura 1: Malla de volumenes finitos: volumenes finitos interiores Ci y volumenesfinitos frontera C0 y CN .


Para obtener una solucion aproximada W(x, tn+1) de la solucion exacta W(x, t), laderivada temporal en (1) se aproxima utilizando el esquema explıcito de Euler y elresultado obtenido se integra sobre una celda Ci, con lo que se tiene que

1

∆t(W(xi, tn+1)−W(xi, tn)) +

1

∆x

(F(W(xi+ 1

2, tn))− F(W(xi− 1

2, tn))

)=

1

∆x

∫Ci

S(x, tn,W(x, tn))dx. (3)

Flujo numerico

La solucion aproximada sobre cada volumen finito es constante y se denotara porWi(t). De la ecuacion (3) se puede ver que para conocer la aproximacion Wi(tn+1) apartir de la aproximacion Wi(tn) es necesario calcular el flujo fısico en las fronterasde las celdas, pero en estos puntos el valor de la solucion no esta bien definido. Porello, es necesario introducir una funcion Φ, llamada flujo numerico, que permitaaproximar el flujo fısico en las fronteras de las celdas, es decir,

F(W(xi+ 12, t)) = Fi+ 1

2≈ Φ(Wi(t),Wi+1(t)), i = 1, ... , N − 1.

En la literatura se pueden encontrar muchas funciones para calcular la aproximaciondel flujo fısico en la frontera de la celda (ver [3]). En particular, en este trabajo seha elegido el Q–esquema de van Leer, en el cual, el flujo numerico se calcula como:

Φ(U,V) =1

2(F(U) + F(V))− 1

2|Q (U,V)| (V −U),

con

Q(U,V) =∂F

∂W

(U + V

2

)y donde la matriz |Q(U,V)| se obtiene de la siguiente forma:

|Q(U,V)| = K(U,V)|Λ(U,V)|K−1(U,V),

siendo K(U,V) la matriz formada por los vectores propios de la matriz jacobianadel flujo fısico y |Λ| es la matriz diagonal formada por los valores absolutos de losvalores propios de la matriz jacobiana del flujo fısico.

Discretizacion del termino fuente

Sea Sni = Sn1,i + Sn2,i + Sn3,i una aproximacion para1

∆x

∫Ci

S(x, tn,W(x, tn))dx.

Primero se detalla la discretizacion de S1. Siguiendo lo hecho en [1] y extendien-do las ideas allı presentes, podemos aproximar el termino fuente que contiene lasvariaciones por fondo, tal que

Sn1,i := Ψl (xi−1, xi, tn,W(xi−1, tn),W(xi, tn))

+ Ψr (xi, xi+1, tn,W(xi, tn),W(xi+1, tn)) ,

Juan Carlos Gonzalez Aguirre SII 85

donde

Ψl(x, y, t,U,V) =1

2[I + |A(U,V)|A−1(U,V)]S1(x, y, t,U,V)

y

Ψr(y, z, t,V,W) =1

2[I− |A(V,W)|A−1(V,W)]S1(y, z, t,V,W).

El termino S1(x, y, t,U,V) es una aproximacion de la fuente fısica S1, la cual estadada por

S1(x, y, t,U,V) := S1

(x+ y

2, t,

U + V

2

).

La derivada del fondo, presente en este termino fuente, se aproxima empleando unesquema de diferencias finitas hacia adelante.La aproximacion del termino fuente S2, el cual contiene la pendiente de friccion,se calcula utilizando una discretizacion centrada en espacio. La discretizacion entiempo puede ser explıcita o semi-implıcita,

Sn2,i =

0

−gη2wn

2,i|wn

2,i|

(wn1,i

)7/3

0

︸︷︷︸

Explıcita

, Sn2,i =

0

−gη2wn+1

2,i|wn

2,i|

(wn1,i

)7/3

0

.

︸︷︷︸Semi−implıcita

Finalmente el termino fuente que contiene los procesos de erosion y deposicion,S3, se aproxima evaluando de manera puntual en el nodo i al tiempo tn cada unode los elementos que lo conforman. La derivada de la concentracion volumetricadel sedimento se aproxima utilizando un esquema de diferencias finitas centrado desegundo orden, por lo tanto se obtiene que

Sn3,i =

Eni −Dni

1− p

−(ρs − ρw)g(wn

1,i)2

2ρni

wn3,i+1

wn1,i+1

−wn

3,i−1

wn1,i−1

2∆x− ρ0 − ρni

ρni

Eni −Dni

1− pwn2,iwn1,i

Eni −Dni

.

Teniendo completamente descrita la discretizacion del flujo numerico y del termi-no fuente, el esquema numerico para resolver el sistema hiperbolico en derivadasparciales (1) se escribe como

Wn+1i −Wn

i

∆t+

1

∆x

(Φ(Wn

i ,Wni+1)−Φ(Wn

i−1,Wni ))

= Sn1,i + Sn2,i + Sn3,i.


Evolucion morfologica

La actualizacion de la elevacion del fondo se obtiene utilizando el esquema explıcitode Euler para resolver la ecuacion (2), quedando ası definida como:

zn+1i = zni + ∆t

Dni − Eni1− p

.

Resultados numericos

En este apartado, se muestran los resultados numericos obtenidos al reproducir lascondiciones de roturas de presa experimentales a pequena escala. Los detalles dedichos experimentos ası como los valores de los diferentes parametros fısicos puedenser encontrados en [5].

Figura 2: Comparacion entre los resultados numericos y los datos experimentales.Las simulaciones son hechas con mallas M1 de 300 nodos y M2 de 600 nodos.

Bibliografıa

[1] Bermudez, A. y Vazquez-Cendon, M. E. (1994). Upwind methods for hyperbolicconservation laws with source term, Computers Fluids, 20(8), pp. 1049–1071.

[2] Cao, Z., Pender, G., Wallis, S. y Carling, P. (2004). Computational dam-breakhydraulics over mobile sediment bed, Journal of Hydraulic Engineering, 130(7),pp. 689–703.

[3] LeVeque, R. J. (2004). Finite-Volume methods for hyperbolic problems, Cam-bridge University Press.

[4] Liu, X., Infante Sedano, J. A. y Mohammadian, A. (2015). A robust coupled 2-Dmodel for rapidly varying flows over erodible bed using central-upwind methodwith wetting and drying, Canadian Journal of Civil Engineering, 42(8), pp.530–543.

[5] Wu, W. y Wang, S. S. (2007). One-dimensional modeling of dam-break flowover movable beds, Journal of Hydraulic Research, 133(1), pp. 48–58.

Agradecementos

Os editores destas actas queremos agradecer a colaboracion de todos aqueles quefixeron e fan posible a existencia do SII: en primeiro lugar ao persoal do Instituto deMatematicas, especialmente a Alberto Cabada, Marıa del Carmen Carollo e ManuelPorto. Estendemos este agradecemento aos anteriores organizadores do SII polo seuesforzo e consellos. Como non poderıa ser doutro xeito, non podemos esquecernosdos ponentes deste curso: Sebastian Buedo, David Mosquera, Andrea Meilan, NoemıEsteban, Pilar Paez, Alejandro Saavedra, Ignacio Marquez, Aida Martınez, ManuelCremades, Andres Berridi, Cristina Vilas, Cristina Lois, Laura Calaza e Juan CarlosGonzalez, sen os que nada disto serıa posible. Finalmente, agradecemos a elabora-cion do prefacio destas actas a Miguel Brozos Vazquez, quen fai mais de dez anoscomezou este proxecto xunto cos seus companeiros do primeiro comite organizador.

Santiago de Compostela, xullo de 2017.

O Comite Editorial.

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memoria de actividades 2017 instituto de matemáticas · título: ecuaciones diferenciales...

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