mejor respuesta induccion

8/17/2019 Mejor Respuesta Induccion

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Mejor respuesta - Elegida por la comunidad

Mira:

La inducción es un método muy util cuando uno quiere probar propiedades que se

cumplen para todos los números NATURALES Esto consta de tres pasos importantes

!amos a describirlos con un e"emplo

#uiero probar que$ para todos los números naturales se cumple que

% &' & ( & ) & & n * n +n&',-(

+', El primer paso es el .AS/ 0AS12/

en el cual tu demuestras que la propiedad se cumple para el numero %

.ara el caso de n*% tenemos

% * +%,+%&',-( entonces se cumple para n*%

+(, El si3uiente paso es 4ormular la 51./TES1S 6E 1N6U221/N$ es decir$ 7amos a

suponer que la propiedad se cumple para un natural n Es decir$ asumamos que

% &' & ( & ) & & n * n +n&',-($ par un natural n

+), 8 en el último paso$ 7amos a probar la propiedad para el caso n&'$ asumiendo la9ipotesis de inducción$ es decir$ asumiendo que ya se cumple para n

.robemos que se cumple para n&'$ 9aciendo la sumatoria 9asta el término n&'$ y

7iendo que el resultado concuerda con el de la propiedad:

% &' & ( & ) & & n & +n&',

* + % &' & ( & ) & & n , & +n&', simplemente asocié con un parentesis todos los

termins 9asta n

.ero$ en la 9ipótesis de inducción asumamos que$ lo que est; dentro del parentesis3rande tena como reusltado

n+n&',-($ entonces esa eando +n&', queda i3ual a

* +n&',+n&(,-(

* +n&',++n&', &', -(


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Si tu 7es este es el resultado de la propiedad

es decir$ esto es n+n&',-($ pero en 7es de n$ est; +n&',$ entonces la proiedad se cumple

para +n&',

8 de estos tres pasos concluimos que la propiedad se cumple para todos los naturales$

pues lo probamos para %$ y tambien probamos que$ si se cumple para al3un natural n$tambien se cumple para el si3uiente +n&', entonces

si se cumple para %$ se cumple para el si3uiente que es '

si se cumple para '$ se tiene para ($

entonces se tiene para +(&', * )

para ?

para @

y asi in4initamente para todos los naturales

asi mas o menos se utili>a el metodo de indución en los Naturales

• 9ace ( aos

• La 1nducción Matem;tica se aseme"a a una 9ilera de 4ic9as de dominó alineadas$

tumbas las primeras y las dem;s se tumban solas

El procedimiento es el si3uiente:

', .ruebas para n*'$ n*($ n*) +los primeros casos,

(, Supones que el problema es cierto para n*B$ un número cualquiera en 4orma

3eneral

), A9ora$ pruebas que el problema es cierto para n*B&'

ListoCC Si es cierto para B y para B&'$ entonces es cierto para todos los Naturales$

porque probaste que era cierto para '$ ( y )

E"emplo: +los números después de la DaD son subndices,

a' * (%%

a' & a( * (=a(a' & a( & a) * )=a)

:

:

a' & a( & a) & & an * n=an

.robar que

an * (%%-+nFn&'G-(,

', resuel7es para los primeros casos:

n * '

a' * (%%HH


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a' * (%%+'F(G-(, * (%% correcto

III

n * (

a' & a( * (=a(

a' * )a(

a( * a'-) * (%%-)HH

(%%-+(F)G-(, * (%%-) correcto

III

(, A9ora suponemos que es cierto para n * B

a' & a( & a) & & aB * B=aB

aB * (%%-+BFB&'G-(,

), .robar para B&'

a' & a( & a) & & a+B&', * +B&',=a+B&',

Sabes que

a' & a( & a) & & aB * B=aB+paso (,

Entonces sustituyes lo de la derec9a de la i3ualdad arriba

B=aB & a+B&', * +B&',=a+B&',

B=aB & a+B&', * FB=& (B & 'Ga+B&',no te con4undas con los paréntesis$ B&' es

subndice

B=aB & a+B&', * B=a+B&',& (Ba+B&', & a+B&',

B=aB * B=a+B&',& (Ba+B&',

B=aB * FB= & (BGa+B&',

a+B&', * B=aB - FB= & (BG

a+B&', * BaB - FB & (G

Sustituyes aB * (%%-+BFB&'G-(,

a+B&', * B(%%-+BFB&'G-(, - FB & (G

a+B&', * (%%-FFB&'G-(, - FB & (GG

a+B&', * (%%-F FB&'GFB & (G-(, G

ListoCC 2on esto se prueba que si es 7;lido para B$ entonces es 7;lido para B&'$

ya que probaste los primeros casos

HH

Saludos

• Supon3o que 9ablas de inducción matem;tica

', 6emuestras la proposición para i * '

(, Supones cierta para i * n

), 8 demuestra que es cieta para i * n & '

2omo e"emplo :

La sumatoria ' & ( & i & n * n + n&', -(

', para i * i queda :

' * ' &+ '& ', - ( lo cual es cierto (, Supones cierto para i * n


4/26

), lo complicado 7iene eneste punto demostrar para i * n & '

para el paso anterior sumas + n &' , a ambos lados y te queda :

La sumatoria ' & ( & i & n &+ n &' , * n + n&', -( & + n & ' ,

.ara el lado derec9o tienes

n + n & ', -( & + n & ' , * + n &', F n - ( & ' ,

n + n & ', -( & + n & ' , * + n &' ,F + n & ( , - ( G JJ.ero n & ( lo puedes poner como Fn &'G & '

Si cambio m por n & ' es decir 9a3o m * n & '

La e


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Vemos que se cumple para n=1, y ahora suponiendo que se cumple

para n veamos que pasa con n +1:

que vuelve a cumplir la ley prevista, luego debe cumplirse para todos

los valores de n, ya que si se cumple para uno cualquiera debe

cumplirse para el siguiente.

Saludos, Jabato.


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INDUCCIÓN COMPLETATeorema de inducción completa# .rincipio de inducción completaSmbolo de sumatoria# .ropiedades de las sumatorias DII!I"ILIDAD - M#$IMO COM%N DII!O& 6i7isores y múltiplos# .ropiedades#Al3oritmo de Euclides# .ropiedad lineal del M;


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PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA

Sea la función proposicional %(n)& donde n ∈ N# Si ocurre que %(1) eserdadera& y adems %(*) es erdadera& y de aqu se deduce que %(*=1) eserdadera& entonces %(n) es erdadera (7ideo de 1nducción Matem;tica de 8ou

Tube)

2ipótesis%(1) es erdadera∀*!%(*) ⇒ %(*=1)

+esis∀n!%(n) es Eerdadera

>emostración

+eniendo en cuenta el teorema anterior & si %(n) es erdadera para un n,merofinito de naturales de S⊂N# F como por *ipótesis %(1) es erdadera& entonces1∈S& y *∈S ⇒ *=1∈S& entonces N⊂S& lo que significa %(n) es erdadera paratodos los n de N

%or e-emplo!

>emostrar que los n primeros n,meros naturales es (,'+ +nn

%ara ello *acemos!

%ara n81

''(

('

(

,''+'' =⇒=⇒

+=

$sto significa que %(1) es erdadero

%lanteamos una *ipótesis donde n8* (%(*) erdadera)& entonces

(

,'+@?)('

+=+++++

hhh

*ora la tesis para n8*=1

(

,'',+'+,'+?)('

+++=+++++++

hhhh

>emostración

%or *ipótesis& y teniendo en cuenta los * primeros términos tenemos!

(,(,+'+,'+

(,'+ ++=+++ hhhhh

http://www.youtube.com/watch?v=mwYudS5KN1k&eurl=http://www.truveo.com/Inducci%C3%B3n-Matem%C3%A1tica/id/3697227725&feature=player_embeddedhttp://www.youtube.com/watch?v=mwYudS5KN1k&eurl=http://www.truveo.com/Inducci%C3%B3n-Matem%C3%A1tica/id/3697227725&feature=player_embeddedhttp://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#.http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#.http://www.youtube.com/watch?v=mwYudS5KN1k&eurl=http://www.truveo.com/Inducci%C3%B3n-Matem%C3%A1tica/id/3697227725&feature=player_embeddedhttp://www.youtube.com/watch?v=mwYudS5KN1k&eurl=http://www.truveo.com/Inducci%C3%B3n-Matem%C3%A1tica/id/3697227725&feature=player_embeddedhttp://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#.


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F sacando com,n denominador& tenemos!

(

,(,+'+

(

,'+(,'+ ++=

+++ hhhhh

F sacando factor com,n (*=1) queda!

(

,(,+'+

(

,(,+'+ ++=++ hhhh

$sto indica que %(*=1) es erdadera& lo que significa que esta se cumple paratodos los naturales#<

EL SÍMBOLO DE SUMATORIA

$n ms de una oportunidad debemos resumir una suma de términos ya sea

infinita o finita& para ello recurrimos a un smbolo llamado de sumatoria (∑)# %or e-emplo sea!

@?)(' aaaaa ++++ la que la escribimos resumida de la siguiente forma!

∑=

@

'i

ia

>onde G1&5&:&H&J∈I (con-unto de ndices)& i81 se denomina e'tremo inferior& e'tremo superior#<

Sea por e-emplo!

n

n

i

i aaaaa ++++=∑=

)('' & o sea la suma de los términos desde a1 *asta an

ariando de 1 en 1#

*ora& sea por e-emplo!

((((( @?)(' ++++ & el problema es encontrar una e'presión que nos permitae'presar esta fórmula como sumatoria& y aqu obseramos que el que aumentede 1 en 1 es la base de la potencia& o sea que es i 5& lo que significa que la

sumatoria queda!∑

=

@

'

(

i

i

%ara desarrollar la sumatoria *acemos!

L(

'@

(

'?

(

')

(

'(

(

''

(

'%

(

'

(

'L

%

+++++⋅+⋅=∑=i

i

y se resolemos obtenemos el alor de la sumatoria#<

PROPIEDADES DE LA SUMATORIA

1) La sumatoria de la suma es igual a la suma de las sumatorias


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∑ ∑∑= ==

+=+n

i

n

i

ii

n

i

ii baba' ''

,+

>emostración!

>esarrollando la sumatoria se tiene!

,+,+,+,+ (('''

nn

n

i

ii babababa ++++++=+∑=

grupando las AaB y las AbB tenemos

,+,+,+ ('(''

nn

n

i

ii bbbaaaba +++++++=+∑=

F transformando cada uno de los paréntesis en sumatoria queda!

∑ ∑∑ = == +=+n

i

n

i

ii

n

i

ii baba' ''

,+

5) La sumatoria de una constante por término genérico& es igual a laconstante por la sumatoria

∑∑==

=n

i

i

n

i

i ak ak ''

>emostración!

Sea!

n

n

i

i ak ak ak ak ak )(''

++++=∑=

Sacando factor com,n K & queda!

,+ )(''

n

n

i

i aaaak ak ++++=∑=

F transformando el paréntesis en sumatoria& se tiene!

∑∑==

=n

i

i

n

i

i ak ak

''

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

DIVISORES Y MÚLTIPLOS

Sean los n,meros enteros AaB y AbB& se dice que AaB diide a AbB s y solosi e'iste otro entero AcB tal que b8a'c# $n smbolos!

cab Z cba Z b Z a ×=∈∃⇔⇒∈∧∈ -Sean

aKb! se lee Aa diide a bB


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*ora& si AaB diide a AbB& entonces se dice AbB es m,ltiplo de AaB& y se

denota•

= ab

PROPIEDADES%ropiedad 1Si un n,mero diide a otro& entonces diide al producto de este por otron,mero& o sea!

aKb ⇒ aKb#n

>emostración

Si aKb ⇒ ∃cb8a#c *ora& multiplicamos ambos miembros por el n,mero AnB&

entonces se tiene!

b#n8a#(c#n) pero c#n es un n,mero entero& lo que significa que b#n8a#c1 ⇒ aKb#n

%ropiedad 5Si un n,mero diide a otro& entonces diide a su opuesto& o sea!

aKb ⇒ aKemostración

+eniendo en cuenta la propiedad 1 se tiene que si aKb ⇒ aKb#(


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$l lgoritmo de $uclides es un procedimiento paso a paso que nospermite determinar el m'imo com,n diisor de los n,meros a y b,denotndose MCD(a,b)# Las siguientes propiedades -ustifican este algoritmo#

%ropiedad 1

Si a, b y r son n,meros enteros tales que a=c.b+r, entoncesMCD(a,b)=MCD(b,r)

>emostración!

%artimos de la suposición de que el MCD(a,b)=p ⇒ b pa p ∧

& y teniendo en

cuenta la de4inición de di7isores& se tiene que s pbt pa Z s Z t -$ =∧=∈∃∈∃

*ora& despe-ando de la *ipótesis el n,mero r, y reempla;ando por lodemostrado anteriormente y operando& se tiene!

,+ c st pc s pt pcbar −=−=−=

$sto significa quer p pc st r ⇒−= ,+

& lo que concluimos quer pb p ∧

⇒MCD(b,r)=p.Luego por propiedad transitia de la igualdad& tenemos que!

MCD(a,b)=MCD(b,r)

%ropiedad 5

Si a y b son dos n,meros enteros no nulos tales que bKa& entonces MCD(a,b)=b

Indudablemente& si bKa ∧ bKb ⇒ MCD(a,b)=b

Masndonos en estas dos propiedades desarrollaremos el lgoritmo de$uclides& y para esto recordaremos la definición de cociente!

Dividendo = divisor x Cociente + Resto.

*ora& sean a∈Z ∧ b∈Z, a≠ 0 ∧ b≠ 0, el algoritmo de la diisión implica lae'istencia de dos n,meros naturales c4 y r 1& tales que podamos *acer elcociente entre a y b!

br r bca ≤≤+= ''% % $

Si r 184& entonces el MCD(a,b)=b, esto -ustificndolo con la .ropiedad (& casocontrario *acemos nueamente la diisión entre b y r 1, obteniendo c 1 y r 2 & yteniendo en cuenta que la .ropiedad ' nos dice que MCD(a,b)=MCD(b,r 1 ),entonces:

'(('' % $ r r r r cb ≤≤+=

http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#DIVISORES_Y_M%C3%9ALTIPLOS_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#Propiedad_2_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#Propiedad_2_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#Propiedad_1_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#DIVISORES_Y_M%C3%9ALTIPLOS_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#Propiedad_2_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#Propiedad_2_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#Propiedad_1_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#Propiedad_1_


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Si r 5 8 4& entonces el MCD(a,b)=c 1& caso contrario seguimos con el mismora;onamiento y llegamos al paso i & donde!

'''( % $ −−−− ≤≤+= iiiiii r r r r cr

*ora& como%(' ≥>>> r r b & es eidente que en un n,mero finito AnB de

pasos conbn ≤

& llegaremos a un resto r n84& es decir que ''( −−− = nnn r cr & esto

implica que (' −− nn r r

& y por la %ropiedad 5 ''(,$+ −−− = nnn r r r MCD & y teniendo en

cuenta la %ropiedad 1& queda!

''(('' ,$+,$+,$+,$+ −−− ===== nnn r r r MCDr r MCDr b MCDba MCD

*ora& para determinar el m'imo com,n diisor por este algoritmo *acemos elsiguiente cuadro!

c1 c5 c: NNNNNNN# cn cn=1a b r 1 r 5 NNNNNNN# r n(a&b)8Kr n(HH1&5H)

2acemos el cociente entre HH1 y 5H

'M

%%N

(%'

(???'

'MN% $N'M(???'


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>e acuerdo a lo que establece el algoritmo& tenemos!

),)$L+,L$N+,N$(?+,(?$??'+ ==== MCD MCD MCD MCD

2aciendo el cuadro e'puesto anteriormente& se tiene!

18 2 1 2441 24 9 6 9 6 !

O>(HH1& 5H) 8 :

%R/%I$>> LI.$L >$L O0IO/ /OT. >IEIS/RSi a y b son dos n,meros enteros no nulos y MCD(a,b)=p& e'isten dos n,merosenteros u y & tales que p=a.u+.b

>emostraciónSupongamos que p=r n!1. %uesto que para todo i & r i


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ECUACIONES DIO"ANTICAS

Wna ecuación de ariable A'B e AyB se llama diofntica si y sólo si,$+ ba MCD yb xa =+

%ropiedades de las ecuaciones diofnticas

%ropiedad 1

Sean a, b y c tres n,meros enteros con MCD(a,b)=" & la ecuación a.# + b.y = c tiene solución entera s y sólo si dKc#

>emostraciónSi la ecuación a.# + b.y = c tiene soluciones enteras& e'isten u∈Z y ∈Z talesque a.u + b. = c # omo MCD(a,b)=", entonces a=p." y b=$." con p, $

n,meros enteros& entonces!c=a.u + b. = p.".u + $.". = (p.u + $.)."

Lo que est en el paréntesis es un n,mero entero& entonces c=%." ⇒ " Kc

%ropiedad 5

Sean a, b y c n,meros enterosX si # 0 ∈Z, y 0 ∈Z es una solución particular de laecuación diofntica a.# + b.y =c, todas las soluciones enteras de esta ecuaciónson de la forma!

nd

b x x O% +=

,n

d

a y y O

% −=& con n∈Z, y "on"e MCD(a,b)="

>emostración

omo '4 e y4 es una solución de a#' = b#y 8c& entonces a#'4 = b#y4 8 c#

*ora *acemos!

−+

+=+ n

d a ybn

d b xa yb xa OO %%

F aplicando la propiedad distributia& se tiene!

nd

ab ybn

d

ab xa yb xa O

O

%% −++=+

F cancelando queda!

%% yb xa yb xa +=+


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Lo que significa quen

d

b x O% +

en

d

a y O% −

es solución de a#' = b#y 8 c#

%ero como ('4& y4) es solución de la ecuación& entonces ' D '4 8 4 e y D y4 8 4&por lo tanto!

%,+,+%%

=−+− y yb x xa

2aciendo un pasa-e de términos se tiene!

,+,+%%

y yb x xa −−=−

Que es lo mismo que!

,+,+ %% y yb x xa −=−

(1)>iidiendo ambos miembros por AdB& queda!

,+,+ %% y yd

b x x

d

a−=−

(5)

omo el O>(a& b)8d ⇒ '$ =

d

b

d

a MDC

ya que d a

y d b

son primos entre s

%or otro lado& y de acuerdo a la igualdad 5&n

d

a y y Z n y y

d

aO-,+ %% =−∈∃⇒−

& loque significa que!

nd

a y y O% −=

(I)

Sustituyendo el alor de AyB en la igualdad 1 se tiene!

+−=− n

d

a y yb x xa O,+ %%%

ancelando queda!

nd

ab x xa O

,+ % =−

>espe-ando& se tiene!

http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#N%C3%9AMEROS_RELATIVAMENTE_PRIMOS_O_PRIMOS_ENTRE_S%C3%8D_http://algebramoderna.iespana.es/Unidad_5/Unidad5.htm?3&weborama=22#N%C3%9AMEROS_RELATIVAMENTE_PRIMOS_O_PRIMOS_ENTRE_S%C3%8D_


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nd a

ab x x O

%

//=−

>espe-ando A'B se tiene!

nd

b x x O% +=

(II)

>e I y II& queda demostrado el teorema#<

$-emplo!>eterminar las soluciones positias de la siguiente ecuación diofntica!

54#' = 4#y 8 H:4

/bseramos que el O>(54& 4)814 y como 14KH:4& entonces se asegura quela ecuación tiene soluciones enteras#<

*ora busquemos una solución particular& y lo *aremos teniendo en cuenta elalgoritmo de $uclides& donde! 4 8 5#54 = 14 ⇒ 14 8 4 D 54#5& por lo tanto!

H:4 8 H:#14 8 H:#(4 D 5#54) 8 H:#4 D U#54

Lo que significa que '4 8


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( ))$'?(%O'%

(%?)$(%O

'%

@%ML ⇒

−+−

( )'$'N('O'%

(%?)$('O

'%

@%ML ⇒

−+−

CONGRUENCIA EN MÓDULO #$%

Los n,meros AaB y AbB son congruentes en módulo AnB si AnB diide a sudiferencia& o sea!

bann Z b Z a −⇔∈∧∈ móduloenscon3ruenteson

%ara denotar que los n,meros AaB y AbB son congruentes en módulo AnB& usamosa ≡ b(n)

%ropiedadLa congruencia en módulo AnB es una relación de equi7alencia

>emostración ntes de todo& definimos la relación!

ban Z Rba −⇔⊂∈ (,$+

%ara demostrar que la congruencia en módulo AnB es una relación deequi7alencia& se debe demostrar que es re4le


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Refle'ia

+odo n,mero diide al cero& por lo tanto!

Raaaann ∈⇒−⇒ ,$+%

Simétrica

>e acuerdo a lo definido se tiene!

Rababnbanban Rba ∈⇒−⇒−−⇒−⇒∈ ,$+P,',++PP,$+

$sto es teniendo en cuenta las propiedades 1& 5 y : de diisores y m,ltiplos

+ransitia

Supongamos que!

Rcacanabbancbnban Rcb Rba ∈⇒−⇒−/+/−⇒−∧−⇒∈∧∈ ,$+PPPP,$+,$+

Lo que queda demostrada que la congruencia en módulo AnB es una relación deequi7alencia#

ECUACIONES CON CONGRUENCIAS EN MÓDULO #$%

Sea la ecuación

,+nbax ≡

>onde a y b son n,meros enteros y AnB es un entero positio# Wsando lacongruencia en módulo AnB se deduce que la ecuación anterior se satisfacecuando e'iste y∈Y tal que!

n ybax =−

Lo que significa que esta ecuación queda!

bn y xa =− $-emplo!

$ncontrar las soluciones de la ecuación ,L+(? ≡ x #

Si ' es una solución entera de la ecuación& entonces e'iste un entero AyB tal

que y x L(( =− & es decir que (L( =− y x & y como el O>(&5) 8 5# F teniendoen cuenta la propiedad ' de las ecuaciones diofnticas& tiene infinitas soluciones&y la .ropiedad ( nos e'plica como calcularas!

+eniendo en cuenta el Al3oritmo de Euclides& decimos que 8 1#H = 5& y


19/26

$l resto de las soluciones tienen la forma!n yn x (' )' −−=−−= con n∈Y


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+RMZ/ %R+I/ .[

• $scribir como sumatoria!• 1) =++++++ '@''NE@)'

• 5) =++++

n

x x x x n)('

• :) =+++++++

M'

'

L?

'

?N

'

)L

'

(@

'

'L

'

N

'

?

'

• H) =+++++ ('ML(LM(%

• ) =++++++ (N'?''M@(

• ) =+++++ E(E(?'EN(LE'

• \) =+−+−

'%%

'

L?

'

)L

'

'L

'

?

'

•

•

• U) >emostrar por el método de inducción completa

• a) ∑

=

+

−=

n

in

ni

'

'

)

((

)

(

• b) ∑

=

++=

n

i

nnni

'

(

L

,'(,+'+

• c) ∑

=

−=−n

i

nn

ini'

( ,'+L

,+

• d) nn

(

''

(

'

M

'

?

'

(

'−=++++

• e) ''%'%)

' +++ nn

• f) nn +((

• g) ∑

=

−+=n

i

nii'

',C'+C

• *)

∑ ∑= =

=

n

i

n

i

ii'

(

'

)

• i) nn @M) −

• -) ∑

−

= −−

='

' '

'n

i

ni

x

x x

si # ≠ 1

• ]) ∑

=

+−=

n

ini

ni

' (

((

(

•

P) >eterminar el O> usando el algoritmo de $uclides dea) : y HPb) 1P y P:c) 51 y 51U\


21/26

d) 15: y H:e) H\5 y :H

14) %robar que si a& b y m son n,meros enteros positios& O>(m#a&m#b)8m#O>(a& b)

11) %robar que si c8O>(a& b) entonces'$ =

cb

ca MDC

15) Si p y q son dos n,meros primos entre s& demostrar que si pKq#m ⇒ pKm1:) Si O>(a&b&c)& probar que O>(O>(a&b)&c)8O>(a&O>(b&c))1H) Si O>(a& b)81& probar que O>(a=b& a D b)81 ó O>(a=b& a D b)851) 2allar todas las soluciones enteras de las ecuaciones diofnticas!

a) 5#' = :#y 8 \b) 51#' D :#y 8e cuantas formas posibles se pueden tener ^::4 repartidas en billetesde ^14 y ^54?

1\) Si aC4& bC4 y O>(a& b)81& probar que todo 'Ca#b puede escribirse comoa#u = b# 8 '& con u y positios#

1U) Resoler las siguientes ecuaciones!a) ' ≡ 1:(P1)b) ' ≡


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Hola, este es mi primer post. e gustaria ayuda con esto ... soy principiante

en esto del cálculo

!racias "

#ienvenido"""

#ueno esto de la inducci$n matem%tica debes primer probar que se cumple

para los primeros t&rminos, luego a'irmar que se cumple para el termino ()

esimo, esta suposici$n se denomina *Hip$tesis inductiva* y luego para

'inaliar demuestras que se cumple para (+1.

ntonces para n=1, la sumatoria es cero en ambos miembros, para n=- el

resultado es .

Hip$tesis inductiva .

hora demostraremos para n=(+1

/ara ello debes sumar a lo anterior el termino (+1 y llegar a

Suerte, este 0ltimo paso es cuesti$n que tengas claras las nociones

algebraicas.

Saludos


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2ola eudemo te agrade;co por la rspta anteriores q me brindaste

como se seria Sn para los sgtes e'persionesSn85_5=H_5=######n_5Sn81_5=:_5=######n_5Sn85_:=H_:=#####n_:Sn81_:=:_:=#####n_:

%d! *ay un lin] acerce de estas e'presiones en general#saludos

%use algunos signos menos en lugar de signos ms# La suma de los cuadrados es!

Sn81_5=:_5=######n_5 8n (n=1)(n=15):

```````````````````Sigo

/bsera como partiendo de la suma de los cuadrados de los n primeros n,meros naturales *asta n!

Sn81_5=:_5=H_5=###=n_5 8 n (n=1)(n=15):

%odemos obtener la suma de los cuadrados de los n primeros n,meros pares *asta n (n par)

Sn85_5=H_5=_5=###=n_5 8H(1_5=5_5=:_5=###=(n5)_5

H# n5 (n5=1)(n5=15):88 n (n=5)(n=1)

Que ocurre si queremos *allar la suma de los cuadrados de los imparesSn81_5=:_5=_5=###=n_5 (n impar)Simplemente *allamos la suma de los cuadrados de todos los naturales *asta n y le restamos la suma de los pares*asta (n


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Pregunta resuelta

Ver otra »

¿obtener sucesion de sumas parciales y suma de la serie 1/{(2n-1)(2n+1)}

la serie!(sumatoria de 1 a in"nito) 1/{(2n-1)(2n+1)} es con#ergente$

a$ %btener la sucesion de sumas parciales$

b$obtenga la suma de la serie

1/{(2n-1)(2n+1)}& 1/2' 1/(2n-1) - 1/(2n+1)

a1& 1/2' 1/1 - 1/*

a2& 1/2' 1/* - 1/

$$$$a(n-1)& 1/2' 1/(2n-*) - 1(2n-1)

an& 1/2'1/(2n-1)-1/(2n+1)

&&, n & a1+a2+$$$+an & 1/2' 1/1 - 1/(2n+1) & n/(2n+1)

&lim.{n--,in} n& 1/2

0(2n+1)(n+1)/ & a la suma de uadrados

0ecesito aber como se llego a de la ormula n(2n+1)(n+1)/ a

132+232+*32+432+32& y si sustuimos en n por tambien es ¿

cual es la ra5on de ser de esa ormula se saca con deri#adas

No se como se lle3o ori3inalmente a esa 4ormula pero te puedo decir como lle3ar a ella

http://es.answers.yahoo.com/question/nextQuestion;_ylt=AmJbDJKfXedJLxxgjQpuDXqy_At.;_ylv=3?qid=20081201023836AAcaHjO&cid=396545161&state=resolvedhttp://es.answers.yahoo.com/question/nextQuestion;_ylt=AmJbDJKfXedJLxxgjQpuDXqy_At.;_ylv=3?qid=20081201023836AAcaHjO&cid=396545161&state=resolved


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+i&',Q) * iQ) & )iQ( & )i & '

Sum +i&',Q) * sum iQ) & ) sum iQ( & ) sum i & sum ' Todas las sumas son de ' a n

sum +i&',Q) H sum iQ) * +n&',Q) H '

sum ' cuando i 7aria de ' a n es n

Asi que te queda:

Sum +i&',Q) H sum iQ) * ) sum iQ( & ) sum i & sum '

+n&',Q) H ' * ) sum iQ( & ) sum i & n

La suma de los n primeros naturales es n+n&',-(

+n&',Q) H ' * ) sum iQ( & ) n+n&',-( & n

nQ) & )nQ( & )n & ' H ' * ) sum iQ( & ) n+n&',-( & n

5acemos denominador comun (

(nQ) & nQ( & n * sum iQ( & ) n+n&', & (n

6e a9i podes despe"ar la suma de los cuadrados

sum iQ( * (nQ) & )nQ( & n

sum iQ( * n+n&',+(n&',-

Ana

http:boo(s.google.com.ecboo(s2id=134umcls5678pg=91)

/18lpg=91)/18dq=5a+sumatoria+de+-n

;-#i8source=bl8ots=#?@@v4m8sig=noegA3?rAm#BnC4q?tD19

ElnF8hl=es8ei=5o-iSuGV7e5tge6FI3>8sa=K8oi=boo(@result8c

t=result8resnum=1?Lv=onepage8q=8'='alse

http://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=falsehttp://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=falsehttp://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=falsehttp://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=falsehttp://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=falsehttp://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=falsehttp://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=falsehttp://books.google.com.ec/books?id=1DFumclsLWEC&pg=RA1-PA13&lpg=RA1-PA13&dq=La+sumatoria+de+2n%2Bi&source=bl&ots=BO9w0__vFm&sig=noegI3D0rImBNnZFq0tT1R43lnY&hl=es&ei=Lo2iSuKVC8eLtgeW3Yj7Dw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=&f=false


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mejor respuesta induccion

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