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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

2017 - II

HELMAN QUESADA MÉNDEZ

DOCENTE

Ejecutivo de primer o segundo nivel en grandes organizaciones públicas y privadas, acredita experticia en diferentes sectores

económicos , posee liderazgo en alta gerencia, planeación estratégica, competitividad, mercadeo nacional e internacional,

Consultoría, Sistemas de gestión de calidad, gerencia de proyectos y TIC´s.

Con gestión en diferentes países de Europa, estados Unidos y América latina en donde lideró el posicionamiento de empresas,

el lanzamiento de productos y marcas.

Docente en pre y posgrados en universidades como la del Valle, Cauca, Autónoma de Occidente, San Buenaventura,

Javeriana, Libre, entre otras.

ESTUDIOS FUNDAMENTALES:

Doctor Business Administratión (AIU), Magister en administración de negocios (ICESI – TULANE), Especialista en Mercadeo –

Negocios Internacionales (ICESI), Economista (UAO), Tecnólogo Ing. Industrial (CCEP).

FORMACION COMPLEMENTARIA:

Formación en Docencia (SENA), Auditoria de calidad y Gestión de la calidad (SENA y CNCF), Cooperación Internacional

(SENA), Cátedra CEINFI, (UAO, CONSULTEX), TIC´s (IBM). Proyectos – Marco Lógico y PMI (UAO), Consultoría (UAO).

PAISES EN DONDE HE ESTUDIADO Y LABORADO:

Colombia, Ecuador, Venezuela, Estados Unidos, Tailandia, España y México.


PERFIL PROFESIONAL

Teléfono: 3206917191

[email protected]

[email protected]

COLCIENCIAS http://scienti.colciencias.gov.co:8081/cvlac/visualizador/generarCurriculoCv.do?cod_

rh=0001491619

2017 - II


DOCENTE

http://scienti.colciencias.gov.co:8081/cvlac/visualizador/generarCurriculoCv.do?cod_rh=0001491619

RECONOCIMIENTO A LOS DERECHOS DE AUTOR.

Aunque la redacción que se encuentra en las diapositivas del presente trabajo es desarrollo propio, quiero advertir que han sido fundamentadas en textos y

paginas WEB que se encuentran citadas en la bibliografía y en cada diapositiva.

Los ejemplos son participaciones directas del docente en las gestiones que ha realizado en ejercicio de su trabajo y docencia.

HELMAN QUESADA MENDEZ.Febrero de 2017 2017 - II



DOCENTE

ESPECIALIZACIÓN EN PROYECTOS

HELMAN QUESADA MÉNDEZ - DOCENTE




DOCENTE

Medidas de Posición: son aquellos valores numéricos que nos permiten o bien dar alguna

medida de tendencia central, dividiendo el recorrido de la variable en dos, o bien

fragmentar la cantidad de datos en partes iguales. Las más usuales son la media, la

mediana, la moda, los cuartiles, quintiles, deciles y percentiles. Pueden ser de dos

tipos: de tendencia central o de tipismo.

Medidas de Dispersión: se llaman medidas de dispersión aquellas que permiten retratar la

distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permiten

identificar la concentración de los datos en un cierto sector del recorrido de la

variable. Se trata de coeficientes para variables cuantitativas. Las más usuales son el

desvío estándar y la varianza.



DOCENTE

La Media: Es la suma de todos los valores observados, dividido por el número

total de observaciones para obtener un promedio.

1) Si se suma la distancia de todos los valores respecto de la media, esa suma da cero.

2) Si se toman una cantidad cualesquiera de conjuntos de valores, cada uno con surespectiva media, la media del conjunto general es igual a la suma de cada una de las unconjunto de valores de una variable a partir de tomar la distancia de las observaciones aun valor cualquiera (pertenezca o no al recorrido de la variable)

3) Es posible hallar la media de La idea de media o promedio (también llamada mediaaritmética) formaliza el concepto intuitivo de punto de equilibrio de las observaciones.Es decir, es el punto medio del recorrido de la variable según la cantidad de valoresobtenidos.

4) Si a un conjunto de observaciones de una variable se le realiza una operaciónmatemática usando un valor constante, entonces la media del nuevo de valores asíobtenidos es igual a la aplicación de la misma operación matemática usando ese valorconstante sobre la media original.



DOCENTE

El cálculo de la Media

Dado un conjunto de observaciones 𝑋1,, 𝑋2, …… , 𝑋𝑛, −1, 𝑋𝑛 la media se representamediante 𝑋 y se obtiene dividiendo la suma de todos los datos por el número de ellos, esdecir:

𝑋 =𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛

𝑁= 𝑖=1𝑁 𝑋1𝑁

La interpretación de la media como centro (o punto de equilibrio) de los datos se apoya enuna propiedad que afirma que la suma de las desviaciones

𝑋1 − 𝑋 + 𝑋2 − 𝑋…+ 𝑋𝑛−1 − 𝑋 + 𝑋𝑛 − 𝑋

de un conjunto de observaciones a su media es igual a cero; es decir, puede probarse que

𝑖=1

𝑁

𝑋𝑖 − 𝑋 = 0



DOCENTE

MEDIA ARITMÉTICA (I)

La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma de todos los datos

y el número de estos.

Ejemplo: las notas de Juan el año pasado fueron:

5, 6, 4, 7, 8, 4, 6

La nota media de Juan es:

Nota media = 7,57

40

7

6487465

que suman 40

Hay 7 datos



DOCENTE

MEDIA ARITMÉTICA (I)

Cálculo de la media aritmética cuando los datos se repiten.

1º. Se multiplican los datos por sus frecuencias absolutas respectivas, y se suman.

2º. El resultado se divide por el total de datos.

Ejemplo. Las notas de un grupo de alumnos fueron:

1,525

129 Media

Datos por frecuencias

Total de datos

Notas Frecuencia

absoluta

Notas x

F. absoluta

3 5 15

5 8 40

6 10 60

7 2 14

Total 25 129



DOCENTE

LA MEDIANA

La mediana, a diferencia de la media no busca el valor central del recorrido de la

variable según la cantidad de observaciones, sino que busca determinar el valor que

tiene aquella observación que divide la cantidad de observaciones en dos mitades

iguales. Por lo tanto es necesario atender a la ordenación de los datos, y debido a ello,

este cálculo depende de la posición relativa de los valores obtenidos. Es necesario,

antes que nada, ordenar los datos de menor a mayor (o viceversa).

𝑚𝑒𝑑 = 𝑋 𝑁+12

𝑚𝑒𝑑 =𝑁

2

En caso de N sea impar



DOCENTE

LA MEDIANA

La mediana de un conjunto de datos es un valor del mismo tal que el número de datosmenores que él es igual al número de datos mayores que él.

Ejemplo: Los pesos, en kilogramos, de 7 jugadores de un equipo de fútbol son: 72, 65, 71,56, 59, 63, 72

1º. Ordenamos los datos: 56, 59, 63, 65, 71, 72, 72

2º. El dato que queda en el centro es 65 La mediana vale 65.

Caso: Si el número de datos fuese par, la mediana es la media aritmética de los dosvalores centrales.

Para el conjunto 56, 57, 59, 63, 65, 71, 72, 72, la mediana es: 642

6563



DOCENTE

LA MODA

La moda, es aquel dato, aquel valor de la variable que más se repite; es decir, aquel

valor de la variable (que puede no ser un único valor) con una frecuencia mayor.



DOCENTE

LA MODA

La moda de un conjunto de datos es el dato que más se repite.

Ejemplo: Una zapatería ha vendido en una semana los zapatos que se reflejan en latabla:

Nº de calzado 38 39 40 41 42 43 44 45

Nº de personas 16 21 30 35 29 18 10 7

El número de zapato más vendido, el dato con mayor frecuencia absoluta, es el 41. Lo compran 35 personas

La moda es 41.



DOCENTE

Cuartil, Quintiles, Deciles, Percentiles

La mediana, como vimos, separa en dos mitades el conjunto ordenado de observaciones.

Podemos a su vez subdividir cada mitad en dos, de tal manera que resulten cuatro partes

iguales. Cada una de esas divisiones se conoce como Cuartil y lo simbolizaremos mediante

la letra Q agregando un subíndice según a cual de los cuatro cuartiles nos estemos

refiriendo. Se llama primer cuartil (Q1) a la mediana de la mitad que contiene los datos

más pequeños. Este cuartil, corresponde al menor valor que supera – o que deja por

debajo de él – a la cuarta parte de los datos. Se llama tercer cuartil (Q3) a la mediana de la

mitad formada por las observaciones más grandes. El tercer cuartil es el menor valor que

supera – o que deja por debajo de él – a las tres cuartas partes de las observaciones. Con

esta terminología, la mediana es el segundo cuartil (Q2) y el cuarto cuartil (Q4) coincide

con el valor que toma el último dato, luego de ordenados.



DOCENTE

Medidas de Dispersión

El desvío estándar

Es posible identificar conjuntos de datos que a pesar de ser muy distintos en términos devalores absolutos, poseen la misma media. Una medida diferencial para identificar esosconjuntos de datos es la concentración o dispersión alrededor de la media.

Una manera de evitar que los distintos signos se compensen es elevarlas al cuadrado, demanera que todas las desviaciones sean positivas. La raíz cuadrada del promedio de estascantidades recibe el nombre de desvío estándar, o desviación típica y es representada porla siguiente fórmula:

A mayor valor del coeficiente del desvío estándar, mayor dispersión de los datos conrespecto a su media. Es un valor que representa los promedios de todas las diferenciasindividuales de las observaciones respecto a un punto de referencia común, que es lamedia aritmética. Se entiende entonces que cuando este valor es más pequeño, lasdiferencias de los valores respecto a la media, es decir, los desvíos, son menores y, por lotanto, el grupo de observaciones es más “homogéneo” que si el valor de la desviaciónestándar fuera más grande. O sea que a menor dispersión mayor homogeneidad y a

mayor dispersión, menor homogeneidad. 𝑠 = 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖−𝑥

2

𝑁



DOCENTE

Medidas de Dispersión

La Varianza

El cuadrado de la desviación estándar recibe el nombre de varianza y se representa por

La suma de los cuadrados de los desvíos de la totalidad de las observaciones, respecto

de la media aritmética de la distribución, es menor que la suma de los cuadrados de los

desvíos respecto de cualquier otro valor que no sea la media aritmética.

Si observamos, veremos que la varianza no es más que el desvío estándar al cuadrado.

Precisamente la manera de simbolizarla es.

Por lo mismo, el desvío estándar puede definirse como la raíz cuadrada de la varianza



DOCENTE

8 cms.

Aquí tenemos 9 rectángulos cuya altura es de 8 centímetros (y todos tienen la misma base).

¿Existe alguna variación respecto de su altura entre estos rectángulos?

¿Cuál es el promedio de la altura de estos rectángulos?

8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8

9=

72

9= 8



DOCENTEEl quinto rectángulo y el octavo rectángulo en un acto de rebeldía cambiaron sualtura. El quinto rectángulo, ahora de color rojo, mide 10 centímetros, y el octavorectángulo, de color azul, mide 6 centímetros?

¿Cuál es el nuevo promedio de estos 9 rectángulos?

8 + 8 + 8 + 8 + 10 + 8 + 8 + 6 + 8

9=

72

9= 8

... ¡el mismo promedio! Pero... ¿ha habido variación?

8 cms.

10 cms

6 cms



DOCENTEEl rectángulo rojo tiene +2 centímetros sobre el promedio, y el rectángulo azul tiene –2 centímetros bajo el promedio. Los otros rectángulos tienen cero diferencia respecto del promedio.

8 cms.

10 cms

6 cms

Si sumamos estas diferencias de la altura respecto del promedio, tenemos

0 + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 – 2 + 0 = 0

Este valor nos parece indicar que ¡no ha habido variabilidad! Y sin embargo, ante nuestros ojos, sabemos que hay variación.



DOCENTE

8 cms.

10 cms

6 cms

Una forma de eliminar los signos menos de aquellas diferencias que sean negativas, esto es de aquellos mediciones que estén bajo el promedio, es elevar al cuadrado todas las diferencias, y luego sumar...

02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 = 8

Y este resultado repartirlo entre todos los rectángulos, es decir lo dividimos por el número de rectángulos que es 9

02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 =

9 9

8= 0,89



DOCENTE

8 cms.

10 cms

6 cms

Se dice entonces que la varianza fue de 0,89

Observemos que las unidades involucradas en el cálculo de la varianza están al cuadrado. En rigor la varianza es de 0,89 centímetros cuadrados. De manera que se define

La raíz cuadrada de la varianza se llama desviación estándar

0,89 = 0,943



DOCENTE

8 cms.

10 cms

6 cms

Que la desviación estándar haya sido de 0,943 significa que en promedio la altura de losrectángulos variaron (ya sea aumentando, ya sea disminuyendo) en 0,943 centímetros.

Es claro que esta situación es “en promedio”, puesto que sabemos que los causantes dela variación fueron los rectángulos quinto y octavo. Esta variación hace repartir la “culpa”a todos los demás rectángulos que se “portaron bien”.

La desviación estándar mide la dispersión de los datos respecto del promedio



DOCENTE

8 cms.

10 cms

6 cms4 cms

8 cms. 8 cms. 8 cms.7 cms.

8 cms.

¿Cuál es la varianza y la desviación estándar de las alturas de los rectángulos?

En primer lugar debemos calcular el promedio

8 + 4 + 8 + 8 + 10 + 8 + 7 + 6 + 8

9= 7,44

Luego debemos calcular la varianza



DOCENTE

8 cms.

10 cms

6 cms4 cms


8 cms.

Promedio

7,44

0,56-3,44

0,56 0,56 2,56 0,56 -0,44 -1,44

0,56

0,562 + (-3,44)2 + 0,562 + 0,562 + 2,562 + 0,562 + (-0,44)2 + (-1,44)2 + 0,562

9

22,2224

9=

= 2,469Este es el valor de la varianza



DOCENTE

10 cms

8 cms.

6 cms4 cms


8 cms.

Promedio

7,44

Si la varianza fue de 2,469, entonces la desviación estándar es de...

Lo que significa que, en promedio, los rectángulos se desviaron más o menos (más arriba o más abajo) en 1,57 centímetros.

2,469 = 1,57

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