MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALLas medidas de tendencia central usadas son tres:

La media XLa mediana MeLa moda Mo

LA MEDIALa media, llamada tambin media aritmtica, es la medida de tendencia central conocida popularmente como promedio.La media se puede calcular sumando todos los valores del conjunto de datos y dividindolos entre la cantidad de datos.

X= Suma de los datos o Cantidad de datos

LA MEDIAEjemplo: si tenemos los siguientes datos no agrupados:2, 2,3,5,4,1,3,4,3,4,2,3. la media ser calculada as:

X =2+2+3+5+4+1+3+4+3+4+2+3 = 36 = 3 12 12

La media para el conjunto de datos es 3

LA MEDIAEjemplo: si tenemos los datos agrupados en una tabla de frecuencias:

LA MEDIALa media se podr calcular realizando una nueva columna, la columna x*f ( multiplicamos cada dato (x) por su respectiva frecuencia (f)).

Suma de todos los valores de la columna x=6570 = 57,1115 . La media para el conjunto es 57,1 n = 115

x*f420320585550880600715105010504006570

LA MEDIAEjemplo ( datos agrupados para una variable continua) La variable continua realiza una agrupacin de los datos en intervalos. Dada la siguiente tabla de frecuencias

LA MEDIALa media se podr calcular realizando dos nuevas columnas . La columna del punto medio del intervalo xi y la columna xi *f ( multiplicamos cada punto medio (x) por su respectiva frecuencia (f)).

Suma de todos los valores de la columna x = 3530 = 50,470 . La media para el conjunto es 50,4 n= 70Donde cada punto medio se obtiene sumando los extremos y dividiendo por 2. As:35 +40 = 75 = 37,5 2 240 +45 = 85 = 42,5 etc, 2 2Entonces calculamos la media

LA MEDIANALa mediana es la medida de tendencia central que se define como aquel valor que tiene, dentro de un conjunto de datos ordenados, antes y despus de l, el mismo nmero de datos . En otras palabras, es el dato que est a la mitad, es el dato que divide en dos partes iguales a un conjunto de datos ordenados.

Por ejemplo, del conjunto de 15 datos (numero impar de datos)3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9

El cinco remarcado en rojo y subrayado es el que est a la mitad del conjunto ordenado, ya que antes de l existen 7 datos y despus de l tambin. As que: Me= 5 En el caso de tener un numero de datos par , se escogen los dos datos centrales los cuales dividen el conjunto en dos partes iguales y se promedian1, 1, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7,8, 9, 9 ,9,9

Por tanto, Me= 5+6 = 5,5 ( suman los dos datos centrales y se divide entre 2) 27 datos7 datos9 datos9 datos

LA MEDIANACalculemos la mediana para un conjunto de datos agrupados en la siguiente tabla de frecuencias

LA MEDIANALa mediana podr calcularse si hacemos una nueva columna. F de frecuencias acumuladasFrecuencias acumuladasLas frecuencias acumuladas se obtienenSumando as:F1 = f1= 12F2= f1+f2 = 12 + 8 = 20F3 = f1+f2+f3 = 12+8+13 = 33F4 = f1+f2+f3+f4 = 12+8+13+11 = 44. . .. . .. . .F9= f1+f2+f3+f4++f8+f9 = 12+8+13+11+ + 11+15+14+5 = 115

F1220334460708196110115

LA MEDIANACuando tengamos la columna F de frecuencias acumuladasEn la mediana debemos considerar la cantidad de datos para encontrar el valor o valores centrales, los cuales dividen el conjunto de datos en dos partes iguales.

La cantidad de datos puede ser: un nmero par o un nmero impar de datos.

Si la cantidad de datos es impar entonces la mediana ser el valor que ocupa exactamente la mitad , esto es el que ocupa la posicinP= n+1 n es el numero de datos 2

Si la cantidad de datos es par entonces la mediana ser el promedio de los dos valores que ocupan exactamente la mitad , esto es los que ocupa n la posicin P= n y P= n+1 2 2Es decir el dato de la mitad y el siguiente.

F1220334460708196110115

LA MEDIANAVolvamos a nuestro ejemplo

La cantidad de datos es un nmero impar.

la mediana ser el valor que ocupa exactamente la mitad , esto es el que ocupa la posicinP= n+1 , n es el numero de datos 2

P= 115 +1 = 116 = 58 2 2

P es la posicin del dato donde se encuentra la mediana, es decir el dato numero 58, El cual se encuentra en la fila donde esta el 60 escrito en rojo en la columna de frecuencia acumulada F. Tenga en cuenta que los datos que tienen valor 55 van desde la posicin 45 hasta la posicin 60.

Luego, Me = 55.Me

F1220334460708196110115

LA MEDIANA Ahora supongamos que en nuestro ejemplo hay un numero par de datos

La cantidad de datos es un nmero par.

la mediana ser n los valor es que ocupan exactamente la mitad , esto es el que ocupa la posicinP= n y P = n+1 es decir, 2 2

P= 70 = 35 y P = 36 2

P es la posicin del dato donde se encuentra la mediana, es decir, ser el promedio de los dos valores que ocupan exactamente la mitad los datos , los de la posicin nmero 35 y 36

El cual se encuentra en la fila donde esta el 35 y el 44 escrito en rojo en la columna de frecuencia acumulada F. Tenga en cuenta que el dato que esta la posicin 35 tienen valor 45 y el dato de la posicin 36 tiene valor 50.

Luego, Me = 45+50 = 95 = 47,5 2 2

F122035446070

LA MODALa moda es la medida de tendencia central que se define como aquel valor que tiene la frecuencia mayor. Por lo tanto, una distribucin de frecuencias puede tener ms de una moda o inclusive, no tener moda cuando todos los datos tienen frecuencia 1.Cuando los datos recolectados han sido organizados en una tabla de frecuencias simples, la moda se obtiene buscando en la columna de frecuencias el o los valores que tengan mayor frecuencia. Es exactamente lo mismo cuando estn organizados por intervalos.La moda se simboliza con sus dos primeras iniciales: Mo

LA MODAMoLa moda esta en este intervalo Mo Mo= 57,5Mo = 55La moda es el punto medio del intervalo modal