Medidas de tendencia Central7.1 Media7.1.1 Media para un conjunto de datos no agrupadosEste parmetro lo usamos con tanta cotidianidad que nos ser muy familiar, aunquetambin aprenderemos algunas propiedades y mostraremos un teoremasumamente importante.Si tenemos el siguiente conjunto de datos y deseamos encontrar un valor que represente a todo el conjunto, seguramente lo primero que vendr a nuestra mente es sumar todos los valores y dividirlos entre el nmero total de datos.13Ejemplo !mero de alumnados en la clase de Educaci"n #$sica.1%, &, ', 1%, &, &, 1%, &, 1%, &Este valor, promedio aritmtico, es conocido como la media y es una de las medidas detendencia central ya que representa un valor con respeto a toda la informaci"n.Ejemplo para el clculo de la media.Sean los siguientes valores las calificaciones de la asignatura de Educaci"n #$sica de estudiantes de primer a(o1% ' ) *.+ * *.+ ' &.+ 1% 1%' ) & 1% *.+ ) &.+ 1% ).+ ') ) & 1% * ' &.+ + ' *.+Sumando los valores de las 3% calificaciones y dividindolas entre los 3% datos obtendremos1,or lo que la media de las calificaciones obtenidas por el grupo considerado es igual a '.,ara datos agrupados la e-presi"n de la media cambia ligeramente, como se muestra acontinuaci"n.7.1.2 Media para un conjunto de datos agrupados..a media para datos agrupados es la siguiente/onde es el total de datos, m es el nmero total de clase y es la frecuencia de datos. .a definici"n es claramente entendida como una e-tensi"n de la definici"n que dimos para datos no agrupados, ya que es l"gico suponer que datos que se repiten con una frecuencia pueden simplificar la suma por supuesto que los $ndices de la segunda suma con respecto a la primera corren con respecto a menor nmero, es decir, con respecto alnmero de agrupamientos m.Ejemplo0oles anotados por el 1uertaro durante la temporada. Sean los siguientes datos 1, 1, 2, 2, 3, 3, +, 2, 3, 2, 3, 3, 1, 2, 1. .a media para dic4os datos es apro-imadamente igual a2.3))),ara la obtenci"n de la media cuando las frecuencias estn sujetas a la elecci"n de clase bajo los mtodos mostrados, se reali5a de igual manera, la nica diferencia e-iste en determinar el valor como el punto medio de cada estatura, veamos el siguiente ejemplo6abla de frecuencias reportadas por un equipo de baloncesto con respecto a la estaturade los jugadores.7.2 Moda137.2.1 Moda para datos agrupados.a moda es la medida que se relaciona con la frecuencia con la que se representa el dato o los datos con mayor incidencia, por lo que se considera la posibilidad de que e-ista ms de un moda para un conjunto de datos. .a notaci"n ms frecuente es la siguiente Moda y esta medida se puede aparecer tanto para datos cualitativos comocuantitativos. Se dice que cuando un conjunto de datos tiene una moda la muestra esunimodal, cuando tiene dos modas bimodal, cuando la muestra contiene mas de un dato repetido se dice que es multimodal y un ltimo caso es cuando ningn dato tiene una frecuencia, en dic4o caso se dice que la muestra es amodal.Ejemplos:21.7 /eterminar la moda del siguiente conjunto de datosa8 1,2,3,3,3,+,),*,*,3,1,&,32.7 .a moda de este conjunto de datos es igual a 3 y se considera unimodalb8 1,2,3,3,3,+,2,1,3,3,2,73,3,),3,33.7 .as modas de este conjunto de datos son 3 y 3 ya que ambas tienen la mas altafrecuencia, por lo que la muestra es binomial.c8 1,2,3,3,+,),*,',&3.7 .a muestra no contiene ningn dato repetido por lo que se considera que la muestraes a modal.0rficamente eso se puede reflejar mediante el anlisis de un 4istograma defrecuencias.7.2.2 Moda para datos agrupados,ara determinar la moda para datos agrupados en clases de igual tama(o su clculo se puede reali5ar de la siguiente forma/onde 9unque la e-presi"n se ve un poco diferente en realidad se trata de una misma ecuaci"n.Ejemplo:6abla de frecuencias reportadas por un equipo de baloncesto con respecto a la estatura de losjugadores.37.3 Mediana137.3.1 Mediana para datos no agrupados.a mediana de un conjunto finito es aquel valor que divide al conjunto en dos partes iguales, de forma que el nmero de valores mayor o igual a la mediana es igual al nmero de valores menoreso igual a estos. Su aplicaci"n se ve limitada ya que solo considrale orden jerrquico de los datos yno alguna propiedad propia de los datos, como es en el caso de la media.9 continuaci"n se muestran los criterios para construir la mediana. Se puede construir lossiguientes criterios .o primero que se requiere es ordenar los datos en de forma ascendente o descendente,cualquiera de los dos criterios conduce al mismo resultado. Sean ordenados los datos en orden ascendente. Si el nmero de valores es impar, la mediana es el valor medio, el cual corresponde al dato. :uando el nmero de valores en el conjunto es par, no e-iste un solo valor ;edio, si no que e-isten dos valores medios, en tal caso, la mediana es el promedio de los valores, es decir, la mediana es numricamente igual.,odemos describir algunas propiedades para la mediana1.7 Es nica.2.7 Es simple.3.7 .os valores e-tremos no tienen efectos importantes sobre la mediana, lo que si ocurre con la media.13Ejemplo:/ados los siguiente datos 1,2,3,3,%,1,3,3,1,1,1,1,2,1,3 para la obtenci"n de la mediana se debern de ordenar. 6omemos el criterio de orden ascendente con lo que tendremos%,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,3,or otro lado el nmero de datos es igual a 1+ datos, siendo el nmero de datos impar se elige el dato que se encuentra a la mitad, una ve5 ordenados los datos, en este caso es 1.47.3.2 La mediana para datos agrupados..a e-tensi"n para el clculo de la mediana en el caso de datos agrupados es reali5ada acontinuaci"n/ondeMd = ;ediana.Li = .imite inferior o frontera o inferior de donde se encuentra la mediana, la forma de calcularlo es a travs de encontrar la posici"n. En ocasiones en el intervalo donde se encuentra la mediana de conoce como intervalo mediano.n= !mero de observaciones o frecuencia total.F acum. = frecuencia acumulada anterior al intervalo medianoF mediana = #recuencia del intervalo mediano.A= 9mplitud del intervalo en el que se encuentra la mediana.0eomtricamente la mediana se encuentra en el valor < que divide al 4istograma en dos partes de reas iguales.13FORMULR!O;edidas de tendencia central,ara datos no 9grupados5,ara datos 9grupados/ondees la medida muestral.- es cada uno de los datos =no agrupados8 o la marca de clase =agrupados8 f es la frecuencia absoluta de cada :lasen es el nmero de datos =tama(o de la muestra8,ara datos agrupados. /ondees la mediana de la muestra.n es el nmero total de los elementos de la distribuci"n# es la suma de todas las frecuencias de clase anteriores a la clase mediana fm es la frecuencia de la clase mediana =que contiene el dato intermedio8> es el anc4o de intervalo de clase..m es el limite inferior del intervalo de clase mediano.,ara datos agrupados /ondees la moda de la muestra.mo es el limite inferior de la clase modal.d1 es la frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la anteriord2 es la frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase siguiente >2 es el anc4o del intervalo de la clase modalME"!"# "E "!#$ER#!%& 1*E-iste otro tipo de medidas que indican la tendencia de los datos a dispersarse respecto al valor central.9lgunas de las medidas de dispersi"n ms usuales sona8 ?ango, amplitud o recorrido =?8 b8 /esviaci"n estndar =S , muestral@ s , poblacional 8. c8 Aarian5a =SB , sB 8 d8 /esviaci"n media =/;8. e8 :oeficiente de Aariaci"n =:. A.8 7.' RangoEs la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.?C < m-. 7