medidas de tendencia central
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BIOESTADÍSTICA
MEDIDAS DE POSICIÓN O TENDENCIA CENTRAL
Se denominan también PROMEDIOS y son:
Media Aritmética
Mediana
Moda
Se calculan para datos simples y
agrupados
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Técnico en Agronegocios
FORMULAS PARA EL CALCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA
Para datos simples
Para datos agrupados
X = x1 + x2 + x3 + ... + xn = Xi
i=1 N
X = Xi . fi i=1 N
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BIOESTADÍSTICA
CARACTERÍSTICAS DE LA MEDIA ARITMÉTICA
Es un valor comprendido entre el mínimo y el máximo valor de la variable en estudio.Posee la misma unidad de medida que la variable considerada.En su cálculo intervienen todos los valores de la variable estudiada.Esto se presenta como una ventaja ya que permite el tratamiento algebraico de la misma.Otra ventaja es que resulta de fácil cálculo e interpretación. No se la puede calcular cuando los datos están agrupados en una tabla de distribución de frecuencias con intervalos abiertos, (porque de los mismos no se puede obtenerel punto medio). Obviamente esto es una desventaja.Se ve afectada o arrastrada por los valores extremos, lo que la hace poco significativa cuando éstos existen. Por lo tanto no se aconseja su cálculo en éstos casos.
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BIOESTADÍSTICA
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
“La suma de los desvíos de cada valor de la variable con respecto a la media aritmética es siempre igual a cero”. En símbolos: _ ( xi - x ) = 0
“La suma de los cuadrados de los desvíos con respecto a la media aritmética, da un mínimo”. ( xi - x )² = minímo
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BIOESTADÍSTICA
CALCULO DE MEDIA ARITMÉTICA PARA VARIABLE DISCRETA
N° Consultas pediátricas Cant .de días (fi)
Fi Xi*fi
5 5 5 25
6 7 12 42
8 13 25 104
10 3 28 30
12 2 30 24
30 225
Calculemos la media aritmética en la siguiente tabla de distribución de frecuencias
Para la variable número de consultas pediátricas en 30 días
Luego 225/ 30 = 7,5. Significa que el en promedio se realizaron 7,5 consultas en 30 días.
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BIOESTADÍSTICA
CALCULO DE MEDIA ARITMÉTICA PARA VARIABLES CONTINUAS
Intervalos de clases Frecuencia absoluta
Punto Medio
Xi*fi
222 a menos de 257 17 239,5 4071,5
257 a menos de 292 3 274,5 823,5
292 a menos de 327 11 309,5 3404,5
327 a menos de 362 4 344,5 1378,0
362 a 397 15 379,5 5692,5
15369,5
Calculemos la media aritmética en la siguiente tabla de distribución de frecuencias
del peso en kilogramos de 50 animales:
Luego 15369,5/ 50 = 307,39. Significa que el peso promedio en kilogramos del grupo de animales es de 307,39.
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BIOESTADÍSTICAMODO
Intervalos de clases Frecuencia absoluta
222 a menos de 257 17
257 a menos de 292 3
292 a menos de 327 11
327 a menos de 362 4
362 a 397 15
50
El siguiente ejemplo es la distribución de frecuencias del peso en kilogramos de 50 animales:
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BIOESTADÍSTICAMODO O MODA
Es el valor de la variable que se repite la mayor cantidad de veces, o sea, al que le corresponde la máxima frecuencia. En el caso de pocos datos provenientes de una variable discreta, una vez agrupados es posible determinar inmediatamente el valor modal. Bastará con identificar al valor de la variable al que le corresponde la mayor frecuencia. Se ejemplifica con una ejemplo
• a) 2 3 5 7 2 Md = 2 b) 10 14 10 12 10 20 14 45 14 Md= 10 y 14 c) 23 24 25 30 45 54 Sin Md
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BIOESTADÍSTICA
MODO/APara determinar el modo cundo la variable es continua se aplica la siguiente fórmula: En símbolos: Md = Li + d1 . h
d1 + d2
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BIOESTADÍSTICAMODO
Donde: Md = Li + d1 . h d1 + d2
Li = límite inferior del intervalo modal d1 = fi - f(i – 1) , o sea, diferencia entre la frecuencia absoluta del intervalo modal, menos la inmediata anterior. d2 = fi – f(i + 1), o sea, diferencia entre la frecuencia absoluta del intervalo modal, menos la inmediata posterior h = amplitud del intervalo modal Para el ejemplo dado Md= 222 + 17 * 35 17 + 14Md= 241,2 kg.
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BIOESTADÍSTICA
MEDIANASe define como el valor de la variable, (en una serie ordenada), que divide al conjunto de datos en dos subconjuntos con igual número de elementos.
En la siguiente muestra de cinco medidas:
14 15 16 19 23 Mediana = 16
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BIOESTADÍSTICAMEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
Serie agrupada, con variable discreta:El procedimiento de cálculo resulta de practicar el análisis anterior para serie simple, pero teniendo en cuenta las ponderaciones que ahora aparecen.Hay que calcular el valor de n/2 y las frecuencias absolutas acumuladas.Luego se relaciona el valor n/2 con las frecuencias absolutas acumuladas para encontrar dos de estos valores entre los que esté comprendido el mismo.Supongamos que ese par de valores sean Fj – 1 y Fj y que satisface que: Fj – 1 < n/2 < Fj
Ejemplo: x i f i F i
7 32 328 40 72 589 12 84
10 10 94 11 22 116
total 116 n/2 = 58 32 < n /2 < 72 Mna = 8
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BIOESTADÍSTICAMEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
Intervalos de clases Frecuencia absoluta
Frec. Abs. Acumulada
222 a menos de 257 17 17257 a menos de 292 3 20292 a menos de 327 11 31327 a menos de 362 4 35362 a 397 15 50 50
El siguiente ejemplo es la distribución de frecuencias del peso en kilogramos de 50 animales:
n/2= 25
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BIOESTADÍSTICAMEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
Mna = Li + n/2 - (F(i-1)) h fi
Donde: Li = límite inferior del intervalo donde cae la mediana n/2 = total de observaciones dividido 2 Fi-1 = frecuencias acumuladas hasta el intervalo inmediato anterior al de la mediana fi = frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra la mediana. Para el ejemplo: Mna= 292 + (25 – 20 ) * 35 11Mna= 307,9 kg.
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BIOESTADÍSTICAMEDIDAS DE ORDEN: CUARTILES
Son también parámetros de posición. Hay tres cuartiles que dividen la distribución en cuatro partes iguales. Por supuesto que el Q2 es la mediana y así se lo designa generalmente.
Qi = Li + i n/4 - F(i-1) h
fi
El subíndice i puede tomar los siguientes valores 1, 2 Y 3
25% 50% 75%
_______________________ Q1 Q2 Q3
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BIOESTADÍSTICAMEDIDAS DE ORDEN: DECILES
Permiten estudiar a la distribución en tramos del 10%. Si tomamos el total de observaciones y lo dividimos por 10, nos ubicaremos en el lugar correspondiente al primer decil, simbolizado por: D1
Di = Li + i n/10 – F(i-1) . h
fi
El subíndice i puede tomar los siguientes valores de 1 a 9
10% 10% 10% 10%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10%
0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
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BIOESTADÍSTICAMEDIDAS DE ORDEN: PERCENTILES
Permiten el estudio, aún más detallado de la distribución, ya que el análisis se hace por tramos del 1%.
Para encontrar la ubicación de los percentiles, hacemos el siguiente cálculo:
P1 n/100 P2 2 n/100 P82 82 n/100
Fácilmente se podrá advertir que el P75 = Q3
Por otra parte: P50 = D5 = Q2 = Mna
Pi = Li + i n/100 – F(i-1) . h
fi
El subíndice i puede tomar los siguientes valores de 1 al 99
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BIOESTADÍSTICARELACIÓN ENTRE LOS PROMEDIOS
Cuando la media aritmética, la mediana y el modo coinciden, la distribución es SIMÉTRICA.
Cuando la distribución se vuelve asimétrica, a la media aritmética la afecta, no solo el hecho de que haya un exceso de frecuencia de un lado, sino también se ve arrastrada, por los valores atípicos, por lo cual se ubica hacia el extremo donde se encuentran éstos valores.
La ASIMETRÍA puede ser positiva, es decir la media artimética se ubicará a la derecha del modo. Será negativa cuando la media aritmética sea menor que el valor del modo.