medidas de concentraciÓn econÓmica: Índice e e Índice de theil
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MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN ECONÓMICA: Índice E e Índice de Theil. Beatriz Larraz Iribas Prof. Estadística. Universidad de Castilla-La Mancha. Valencia, 28 de noviembre de 2006. Curva de Lorenz. Índices de Concentración. Índice geométrico. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Valencia, 28 de noviembre de 2006Valencia, 28 de noviembre de 2006Universidad de Universidad de
Castilla-La ManchaCastilla-La Mancha
Índice de Theil
Índice de Gini
Medidas de Concentración
Concepto de concentración económica
Índice E
Curva de Lorenz
Índices de Concentración
Índice geométrico
Descomposición del índice de Theil intergrupos e intragrupos
En la distribución de salarios de una empresa se puede estudiar si la masa salarial (o nómina de la empresa) se encuentra concentrada en unos pocos trabajadores o si, por el contrario, está bien repartida entre ellos.
Concepto de Concentración EconómicaConcepto de Concentración Económica
9.000€9.000€
Estos sueldos estarían muy desproporcionados, Estos sueldos estarían muy desproporcionados, muy concentradosmuy concentrados en una sola persona en una sola persona
10 empleados10 empleados el director 8.100 €el director 8.100 €
90 €90 € 8.100 €8.100 €
Concepto de Concentración EconómicaConcepto de Concentración EconómicaMás ejemplos…
Reparto de horas extraordinarias entre la plantilla de una empresa
Grado de concentración de las ausencias laborales
El nivel de desigualdad en el reparto de la masa global de pensiones entre los pensionistas de un país, etc.
En el ámbito financiero: concentración del volumen de negociación diario entre los distintos valores que conforman el IBEX-35,
Reparto del total invertido en fondos de inversión entre las distintas gestoras de patrimonio
Cómo se reparte el capital social de un banco entre los accionistas, etc. Masa Total de la VariableMasa Total de la Variable (MTV)
Los casos extremos serían:Los casos extremos serían:
Medidas de Concentración Medidas de Concentración
Miden el grado de igualdad en el reparto del total de los valores de la variable.
Indican el grado de equidistribución de la variable = grado de CONCENTRACIÓNCONCENTRACIÓN.
Concentración Concentración mínima o mínima o equidistribución:equidistribución: Cuando todos los trabajadores reciben la misma cantidad:
Concentración máxima:Concentración máxima: Cuando de los n trabajadores sólo uno percibe el total de las rentas (de los salarios) y los demás nada:
nxxx 21 MTVx
xxx
n
n
0121
El estudio de la concentración en la distribución de la MTV se puede abordar desde dos puntos de vista:
Medidas de Concentración Medidas de Concentración
mediante la curva de concentración, más conocida como
Curva de LorenzCurva de Lorenz
mediante los denominados
Índices de Índices de concentraciónconcentración
GráficamenteGráficamente AnalíticamenteAnalíticamente
MTV = (7.512,65 · 2) + (8.414,17 · 3) + (15.025,30 · 1) +
+ (24.040,48 · 2) + (39.065,79 · 2) = 181.505,66 €/año.
Salarios Anuales (xSalarios Anuales (xii)) Nº trabajadores Nº trabajadores (n(nii))
7.512,65 2
8.414,17 3
15.025,30 1
24.040,48 2
39.065,79 2
Curva de LorenzCurva de Lorenz
Ordenación de los valores Ordenación de los valores de la variable de menor de la variable de menor
a mayora mayor
Curva de LorenzCurva de Lorenz
xi ni xini Ui pi qi
7.512,65 2 15.025,30 15.025,30 20 8,28
8.414,17 3 25.242,51 40.267,81 50 22,18
15.025,30 1 15.025,30 55.293,11 60 30,46
24.040,48 2 48.080,96 103.374,08 80 56,95
39.065,79 2 78.131,58 181.505,65 100 100
10 181.505,65
Masa parcial acumuladaMasa parcial acumulada
Porcentaje de trabajadores Porcentaje de trabajadores con un salario igual o con un salario igual o
inferior al i-ésimoinferior al i-ésimo
Porcentaje de la masa salarial que se Porcentaje de la masa salarial que se llevan los trabajadores conllevan los trabajadores con
un salario igual o inferior al i-ésimoun salario igual o inferior al i-ésimo
A continuación en unos ejes de coordenadas, se marca en el de abcisas los siguientes valores de pi en porcentajes:
%1001
%8080,0
%6060,0
%5050,0
%2020,0
5432155
432144
32133
2122
111
N
nnnnn
N
Np
N
nnnn
NN
p
N
nnn
N
Np
Nnn
NN
p
Nn
NN
pque indican
los porcentajes de los porcentajes de trabajadores con un trabajadores con un nivel de salario igual nivel de salario igual o inferior al i-ésimo.o inferior al i-ésimo. Por ejemplo, si i = 3 tenemos que p3 es el 60%, lo que significa que el 60% de los trabajadores obtienen un salario anual igual o inferior al tercero en orden ascendente.
Curva de LorenzCurva de Lorenz
Sobre el eje de ordenadas se anotan los valores de qi, también porcentajes:
que indican la parte que del total de la masa salarial les la parte que del total de la masa salarial les corresponde alos trabajadores cuyo salario es igual o corresponde alos trabajadores cuyo salario es igual o inferior al i-ésimoinferior al i-ésimo. Por ejemplo para i = 4 se tiene que q4 es el 56,95%, es decir, de los 181.505,66 €, el 56,95% corresponde a los trabajadores con salario igual o inferior al cuarto en orden ascendente.
%1001
%95,565695,0
%46,303046,0
%18,222218,0
%28,80828,066,505.181
30,025.15
55443322115
443322114
3322113
22112
111
MTVnxnxnxnxnx
q
MTVnxnxnxnx
q
MTVnxnxnx
q
MTVnxnx
q
MTVnx
q
Curva de LorenzCurva de Lorenz
GRÁFICO 1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
pi (%) porcentaje acumulado de trabajadores
qi
(%)
po
rcen
taje
acu
mu
lad
o d
e l
a m
asa
sala
rial
Curva de concentración Recta de Equidistribución Curva de Máxima Concentración
(80 ; 56,95)
(60 ; 30,46)
(50 ; 22,18)
(20 ; 8,28)
D
CBA
Curva de LorenzCurva de Lorenz
Características generales:
Curva de LorenzCurva de Lorenz
Es siempre creciente (porque p y q son acumulados)
En caso de equidistribución pi = qi ., la curva de concentración sería la diagonal, recta que se denomina recta de equidistribución.
Se sitúa siempre por debajo de la diagonal, ya que, al estar ordenados los salarios de menor a mayor, ningún qi. podrá ser mayor que su correspondiente pi
En caso de máxima concentración , la curva de concentración, denominada curva de máxima concentración, vendría dada por ABD donde
p1 = (N-1/N) %; q1 = 0%p2 = 100%; q2 = 100%
GRÁFICO 5
pi (%)
qi (%)
B
pa
O
An
100
100
Área ConcÁrea
Máx Conc
Curva de LorenzCurva de Lorenz
Cuanto mayor sea el área de concentración respecto del área máxima concentración, mayor será la desigualdad en el reparto de la masa total de la variable. Por consiguiente, de manera natural, las medidas de concentración se obtendrán por cociente entre estas dos áreas.
Índices de Concentración Índices de Concentración
Índice Geométrico Índice Geométrico
Índice de Theil relativoÍndice de Theil relativo
Índice E Índice E
Índice de GiniÍndice de Gini
10 AMCAC
Es la medida de concentración más utilizada, propuesta por el que fue Decano de la Facultad de Ciencias Estadísticas, Demográficas y Actuariales de la Universidad de Roma, Corrado Gini.
•Gini, Corrado (1912). "Variabilità e mutabilità" Reimpreso en Memorie di metodologica statistica (Ed. Pizetti E, Salvemini, T). Rome: Libreria Eredi Virgilio Veschi (1955).
•Gini, Corrado (1921). "Measurement of Inequality and Incomes". The Economic Journal 31: 124-126.
Índice de Gini
Su fundamento es el siguiente:Su fundamento es el siguiente:Gini parte de una distribución de frecuencias unitarias de n elementos en cuya curva de concentración pueden establecerse n-1 diferencias entre pi y qi (recuérdese que pn = qn ).
Índice de Gini
1
1
)(n
iii qp
1
1
n
iip
1
1
1
1)(
n
ii
n
iii
p
qpIG
GRÁFICO 2
p2 -q2
p1 -q1
p3 -q3
pi-1-qi-1
pi-qi
pn-1-qn-1
pn-2-qn-2
p 1 p 2 p 3 p i…. p i-1 pn-2 pn-1 100….
q 1
q 2
q 3
q i-1
q i
qn-2
qn-1
100
...
...
Índice de Gini
1
1
)(N
iii qp
1
1
N
iip
1
1
1
1
)(
N
ii
N
iii
p
qpIG
1
1
1
11 N
ii
N
ii
p
qIG
Índice de Gini10 GiniI
Equidistribución
Máxima Concentración
xi ni xini Ui pi qi
0 1 0 0 1% 0%
1.000 99 99.000 99.000 100% 100%
11)(
1
1
1
11
1
1
1
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
p
q
p
qpIG ?¿
xi ni xini Ui pi qi
0 99 0 0 99% 0%
1.000 1 1.000 1.000 100% 100%
N
1
N
i
nN
L
)...21(1
11
1
11
1 )...21(
propi
nMTV
xM
N
n1
MTV
xn 11
Índice de Gini de la Índice de Gini de la Concentración Concentración
de la rentade la renta
Fuente: Human Development Report, 2006 (ONU)
Para evitar el problema de que el índice de Gini sólo sirve para frecuencias unitarias,
Montero Lorenzo, J.Mª, 2003
“Sobre Concentración Económica: Índice E para colectivos discretos”
Revista Estadística Española, vol 45, nº152, pp.22 a 54
Índice E
Índice Gini
1
1
1
1
100
)(100
N
ii
N
iii
Gini
pN
qpN
I
1
1
)(100 N
iii qp
NAC
1
1
100 N
iip
NAMC
)1(501
1
NpN
ii
Índice E
Índice Gini
)1(5011
)(1
11
1
1
11
1
1
1
N
q
p
q
p
qpIG
N
ii
N
ii
N
ii
N
ii
N
iii
?¿1
1
N
iiq
TABLA DE CONSTRUCCIÓN DEL ÍNDICE ETABLA DE CONSTRUCCIÓN DEL ÍNDICE E
xi n qi Mi
x1 1 (x1/mtv)100 M1= ( )100 [1+2+...+n1]x1 1 (2x1/mtv)100
.
...
.
.
x1 1 (n1x1/mtv)100
x2 1 (n1x1+x2/mtv)100 M2=
n2 ( )100+ ( )100 [1+2+...+n2]x2 1 (n1x1+2x2/mtv)100
.
...
.
.
x2 1 (n1x1+n2x2/mtv)100
x3 1 (n1x1+n2x2+x3 /mtv)100 M3=
n3( )100+( )100[1+2+...+n3]x3 1 (n1x1+n2x2+2x3 /mtv)100
.
...
.
.
x3 1 (n1x1+n2x2+n3x3 /mtv)100
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
xi 1 (n1x1+..+ni-1xi-1 +xi /mtv)100 Mi=
ni ( )100 +( )100 [1+2+...+ni]xi 1 (n1x1+..+ni-1xi-1+2xi /mtv)100
.
...
.
.
xi 1 (n1x1+..+ni-1xi-1 + nixi /mtv)100
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
xn 1 (n1x1+..+nn-1xn-1+xn/mtv)100 Mn=
nn ( )100 + ( )100 [1+2+...+nn] xn 1 (n1x1+..+nn-1xn-1+2xn/mtv)100
.
...
.
.
xn 1 (n1x1+..+nn-1xn-1+(nk-1)xn/mtv)100
xn 1 (n1x1+..+nnxn/mtv)100 = 100
mtvx1
mtvx2
mtvxnxn 2211
mtvx3
mtvxn 11
mtvxnxn ii 1111
mtvxi
mtvxnxn nn 1111
mtvxn
)1(50
1001
)1(501 1
1
1
N
M
N
qIE
n
ii
N
ii
i
n
iiii propiqnM
i
)(1
1
Índice E
100
100...
100...
1
321
1111
1
1 1
3
2
2
1
1
n
ii
n
n
nii
n
nii
n
nii
n
ii
N
ii
M
MMMM
qqqqqn
n
)1(5011 1
N
M
NN
IE
n
ii
donde:- qi-1 el porcentaje de la masa salarial acumulado por
los trabajadores que perciben salarios inferiores al i-ésimo.
- propi el porcentaje de la masa salarial que percibe un
individuo con salario i.
- es la suma de los ni primeros números naturales.
2
)1(1)3()2()1(
1
iiiiii
n
i
nnnnnni
i
Índice E
siempreIEI geom
unitariasseansfrecuencialascuando
Ginigeom IIEI
Índice E
EjemploEjemplo::
Ventas (miles €) Nº empleados
50-100 30
100-200 25
200-500 40
500-1.000 50
1.000-2.000 25
2.000-5.000 30
Calcule el índice E y compruebe que si las Calcule el índice E y compruebe que si las frecuencias no son unitarias no coincide con frecuencias no son unitarias no coincide con el índice de Gini (mal aplicado)el índice de Gini (mal aplicado)
Índice E
xi ni xini Ni Ui pi qi
75 30 2250 30 2250 15 1’125
150 25 3750 55 6000 27’5 3
350 40 14000 95 20000 47’5 10
750 50 37500 145 57500 72’5 28’75
1500 25 37500 170 95000 85 47’5
3500 30 105000 200 200000 100 100
6348,05,247
375,901 GiniI
Índice E
xi ni xini Ni Ui pi qisuma prop i Mi
75 30 2250 30 2250 15 1,125 465 0,0375 17,4375
150 25 3750 55 6000 27,5 3 325 0,075 52,5000
350 40 14000 95 20000 47,5 10 820 0,175 263,5000
750 50 37500 145 57500 72,5 28,75 1275 0,375 978,1250
1500 25 37500 170 95000 85 47,5 325 0,75 962,5000
3500 30 105000 200 200000 100 100 465 1,75 2238,7500
total 200 200000 4512,8125
5565,0)1200(50
8125,451212001200
IE
Índice E
Coeficiente de Theil
Consideremos N trabajadores cuyos salarios son:
x1, x2, .. ,xN
La proporción de masa total de la variable(MTV) que corresponde al individuo i-ésimo será:
MTV
x
xn
xprop i
n
iii
ii
1
Índice de Theil
Entropía
n
iiii
n
i iiiiN proppropn
proppropnpropH
11
)ln(1
ln)(
El mensaje contiene mayor cantidad de información cuanto menor sea la El mensaje contiene mayor cantidad de información cuanto menor sea la probabilidad de ocurrencia del sucesoprobabilidad de ocurrencia del suceso
Es un indicador del grado de desigualdad (desorden) en el reparto de la masa Es un indicador del grado de desigualdad (desorden) en el reparto de la masa total de la variabletotal de la variable
Experimento con 1.000 posibles resultados:Experimento con 1.000 posibles resultados:-todos con la misma probabilidad de ocurrir desorden-todos con la misma probabilidad de ocurrir desorden
-si 2 de ellos acaparan una probabilidad del 90% orden, mando-si 2 de ellos acaparan una probabilidad del 90% orden, mando
Inconveniente:
El valor de equidistribución es
superior al de máxima concentración.
Entropía
n
iiii
n
i iiiiN proppropn
proppropnpropH
11
)ln(1
ln)(
no negativa
En caso de equidistribución vale Ln(N).
En caso de máxima concentración vale 0.
Índice de Theil
Si todos Si todos ganan ganan lo mismo:lo mismo:
Nnx
xprop
xNNxnx
n
iii
i
n
iiii
1
1
1
MáxMáxconcentración:concentración:
1
1,,10
n
i
prop
niprop
Coeficiente de Theil o redundancia:
)(log iN propHNT
NpropH
NpropHN
T iNiNR ln
)(1
ln)(ln
Índice de Theil
En caso de equidistribución vale 0.
En caso de máxima concentración vale Ln(N).
Inconveniente:
El valor máximo depende del nº
total de observaciones
Índice de Theil relativo o redundancia relativa:
10 RT
Coeficiente de Theil o redundancia:
)(log iN propHNT
Índice de Theil
máxT = Ln(N)
Inconveniente: El valor máximo depende del nº total de observaciones
xi ni xini propi Ln(1/propi)
0 1.999.999 0 0
1 1 1 1 0
2.000.000 1
xi ni xini propi Ln(1/propi)
0 1 0 0
1 1 1 1 0
2 1
Índice Theil= Ln(2)
Índice Theil= Ln(2.000.000)
xi ni
0 1.000.000
1 1.000.000T = Ln(2)
Ejemplo:Ejemplo: Dada la siguiente distribución de salarios semanales (€), determine el coeficiente de Theil
xi ni
80 10
150 20
200 15
240 5
xini propi
800 0,01
3000 0,019
3000 0,025
1200 0,03
8000
log(1/propi) nipropilog(1/propi)
4,605 0,4605
3,963 1,5059
3,688 1,3830
3,506 0,5259
3,8753
Índice de TheilNo requiere la ordenación No requiere la ordenación
de los valores de la de los valores de la variable de menor variable de menor
a mayora mayor
8753,31
ln)(1
n
i iiiiN prop
propnpropH
8753,31
ln)(1
n
i iiiiN prop
propnpropH
0367,08753,39120,3)(ln iN propHNT
0093,0912023,3
0367,0ln
)(ln N
propHNT iN
R
912023,350ln
Descomposición del índice de Theil intergrupos (entre grupos) e intragrupos (dentro de cada
grupo)
1º Descomposición de la Entropía intergrupos e intragrupos
G
ggN
1
NNN
N
N
G
21
2
1
mujeresnº
varonesnº
2
NNNN
N
N
N
G
321
3
2
1
esAlicantetrabajadornº
esValenciatrabajadornº
Castellón estrabajadornº
3
G
g gi ii
G
g iii prop
propprop
proppropH11
1ln
1ln)(
gg
g
igg
gi gg
g
ig
ig
gi ggii
g
ig
ig
gi g
g
ig
ig
gi ii
propprop
propprop
Hprop
propprop
proppropprop
propprop
propprop
proppropprop
propprop
propproppropprop
propprop
propprop
1ln)(
1ln
1ln
1ln
1ln
1ln
1ln
1ln
Entropía de los elementos del grupo g respecto del total de elementos de dicho grupo
G
g gi ii
G
g iii prop
propprop
proppropH11
1ln
1ln)(
G
g
G
g gg
g
igg
G
g iii
propprop
prop
propHprop
propproppropH
1 1
1
1ln)(
1ln)(
Entropía intergrupos Entropía intergrupos Suma de las entropías Suma de las entropías
intragrupos intragrupos ponderadas por sus ponderadas por sus
proporcionesproporciones
2º Descomposición del Índice de Theil intergrupos e intragrupos
G
g iii prop
propNpropHNT1
1lnln)(ln
G
g g
iggg
G
g
G
g gggg
G
g
G
g gg
g
igg
propprop
HNprop
proppropNpropN
propprop
propprop
HpropN
1
1 1
1 1
)(ln
1lnlnln
1ln)(ln
G
g g
iggg
G
g g
gg prop
propHNprop
N
Nprop
prop11
)(lnln
NNprop
NN
prop
prop
NN
g
g
gg
g
g 1
2º Descomposición del Índice de Theil intergrupos e intragrupos
G
g g
iggg
G
g g
gg prop
propHNprop
N
Nprop
propT11
)(lnln
Suma de los índices de Suma de los índices de Theil intragrupos Theil intragrupos
ponderados por sus ponderados por sus proporcionesproporciones
Expresión Expresión relacionada con la relacionada con la
Entropía intergrupos Entropía intergrupos
N
Nprop
N
Nprop
prop gg
G
g g
gg
0ln1
2º Descomposición del Índice de Theil intergrupos e intragrupos
G
g g
iggg
G
g g
gg prop
propHNprop
N
Nprop
propT11
)(lnln
Expresión relacionada Expresión relacionada con la Entropía con la Entropía
intergruposintergrupos
No es exactamente el No es exactamente el índice de Theil intergruposíndice de Theil intergrupos
G
g gg prop
propG1
1lnlnSólo coincidirían en el caso de Sólo coincidirían en el caso de
que todos los grupos tuvieran que todos los grupos tuvieran el mismo número de el mismo número de
elementoselementos
G
g
G
g gg
gg
G
g g
gg prop
propG
G
propprop
NNprop
prop1 11
1lnln
1lnln
Supóngase que se dispone del Supóngase que se dispone del número total de contratos número total de contratos
temporales en G comunidades temporales en G comunidades autónomasautónomas
El índice de Theil de la distribución El índice de Theil de la distribución de contratos temporales entre las G de contratos temporales entre las G
comunidades autónomas seríacomunidades autónomas sería
G
g ggG prop
propGT1
1lnln
Supóngase ahora que se conoce la Supóngase ahora que se conoce la misma información sobre contratos misma información sobre contratos
temporales pero desagregada a temporales pero desagregada a escala provincial (N provincias)escala provincial (N provincias)
El índice de Theil de la distribución El índice de Theil de la distribución de contratos temporales entre las N de contratos temporales entre las N
provincias seríaprovincias sería
G
g ii prop
propNT1
1lnln
G
g
G
g gg
g
iggg
G
g ggiN G
NN
proppropprop
HNpropprop
propGpropHN1 11
lnlnln1
lnln)(ln
Índice de Theil Índice de Theil entre las G entre las G
comunidades comunidades autónomasautónomas
Concentración Concentración intragrupos intragrupos
globalglobal
ResiduoResiduo
Ejemplo:Ejemplo: En la siguiente tabla se muestran los datos relativos al número de contratos registrados en las oficinas del INEM en el mes de marzo de 2006 en las tres comunidades autónomas con mayor volumend e contratación en dicho mes. Determine el coeficiente de Theil y realice su descomposición intragrupos e intergrupos
Nºcontratos
Nºcontratos
AndalucAndalucíaía
370.153370.153 CataluñaCataluña 246.860246.860
Almería 26.283 Barcelona 189.126
Granada 37.729 Tarragona 24.559
Málaga 63.673 Lleida 12.001
Cádiz 46.611 Girona 21.174
Huelva 39.194 Com. Com. ValencianaValenciana
154.962154.962
Sevilla 87.897 Valencia 86.063
Córdoba 41.987 Castellón 18.123
Jaén 26.779 Alicante 50776
xi ni xi ni propi ln propi
ni propi ln propi
Almería 26.283 1 26.283 0,03404644 -3,38002982 -0,11507798
Granada 37.729 1 37.729 0,04887334 -3,01852314 -0,14752532
Málaga 63.673 1 63.673 0,08248065 -249519156 -0,20580502
Cádiz 46.611 1 46.611 0,0603789 -2,8071156 -0,16949055
Huelva 39.194 1 39.194 0,05077107 -2,98042849 -0,15131956
Sevilla 87.897 1 87.897 0,1138599 -2,17278649 -0,24739326
Córdoba 41.987 1 41.987 0,05438907 -2,91159212 -0,15835878
Jaén 26.779 1 26.779 0,03468895 -3,36133417 -0,11660114
Barcelona 189.126 1 189.126 0,2449898 -1,40653871 -0,34458763
Tarragona 24.559 1 24.559 0,03181321 -3,44787378 -0,10968792
Lleida 12.001 1 12.001 0,01554584 -4,16396219 -0,06473229
Girona 21.174 1 21.174 0,02742835 -3,59617815 -0,09863723
Valencia 86.063 1 86.063 0,11148418 -2,19387258 -0,24458209
Castellón 18.123 1 18.123 0,02347615 -3,75177032 -0,08807712
Alicante 50.776 1 50.776 0,06577415 -2,72152836 -0,17900622
15 771.975 -2,44088211
SoluciónSolución
440882,2ln)(1
n
iiiiiN proppropnpropH
267168,0440882,215ln)(ln iN propHNT
1,009865,0
708050,2267168,0
ln
N
TTR
Por Por provinciprovinciasas
xi
n
i xi ni propi ln propi
ni propi ln propi
Andalucía370.15
3 1370.15
30,4794883
3-
0,73503573 -0,35244105
Cataluña246.86
0 1246.86
00,3197771
9-
1,14013079 -0,36458783
Comun. Valenciana
154.962 1
154.962
0,20073448
-1,60577224 -0,32233386
3771.97
5 -1,03936273 039363,1ln1
ln)(11
G
iiii
G
i iiigG proppropn
proppropnpropH
0592492,0039363,13ln
1lnln
1
G
g ggG prop
propGT
Por Comunidades Por Comunidades AutónomasAutónomas
0003210,2ln)(8
1
i
iiiAndAnd proppropnpropH
0791205,00003210,28ln
1lnln
8
1
i iigAnd prop
propNT
Coeficientes IntragruposCoeficientes Intragrupos
Andalucía
n
i xi ni propi ln propi
ni propi ln propi
Almería26.28
3 1 26.2830,0710057
7-
2,64499409 -0,18780985
Granada37.72
9 1 37.7290,1019281
2 -2,2834874 -0,23275158
Málaga63.67
3 1 63.6730,1720180
6-
1,76015582 -0,30277859
Cádiz46.61
1 1 46.611 0,1259236-
2,07207987 -0,26092377
Huelva39.19
4 1 39.1940,1058859
4-
2,24539276 -0,23775553
Sevilla87.89
7 1 87.8970,2374612
7-
1,43775076 -0,34141012
Córdoba41.98
7 1 41.9870,1134314
7-
2,17655639 -0,24689
Jaén26.77
9 1 26.7790,0723457
6-
2,62629844 -0,19000156
370.153 -2,00032099
7913549,0ln)(4
1
i
iiiCatCat proppropnpropH
5949394,07913549,04ln
1lnln
4
1
i iigCat prop
propNT
Coeficientes IntragruposCoeficientes Intragrupos
Cataluña xi
n
i xini propi ln propi
ni*propi*ln propi
Barcelona
189.126 1
189.126
0,76612655
-0,26640791 -0,20410218
Tarragona 24.559 1 24.559
0,09948554
-2,30774299 -0,22958705
Lleida 12.001 1 12.001 0,0486146-
3,02383139 -0,14700235
Girona 21.174 1 21.1740,0857733
1-
2,45604736 -0,21066332
246.860 -0,7913549
943194,0ln)(3
1..
i
iiiValCValC proppropnpropH
1554182,0943194,03ln
1lnln
3
1.
i iigValC prop
propNT
Coeficientes IntragruposCoeficientes Intragrupos
Comun. Valenciana xi
n
i xini propi ln propi
ni*propi*ln propi
Valencia86.06
3 1 86.0630,5553813
2
-0,5881003
4 -0,32661994
Castellón18.12
3 1 18.1230,1169512
5
-2,1459980
8 -0,25097716
Alicante50.77
6 1 50.7760,3276674
3
-1,1157561
2 -0,36559694
154.962 -0,943194045
G
g
G
g gg
g
igggG G
NN
propprop
propHNpropTT
1 1
lnlnln
267168,0
)(15ln
iN propHT
0592492,01
ln3ln3
1
g ggG prop
propT
051464718,025938326,0
007785,0
propg Tg propg*Tg
0.47948833
0.0791
0.037937383
0.31977719
0.5949
0.190248072
0.20073448
0.1554 0.0311978
0.25938326
Descomposición del índice de Theil
T0,26716
8Porcentaje respecto del total
Intergrupos
0,007785
2,91%
Intragrupos
0,259383
97,08%
0,079120
0,594939
0,155418
AndT
CatT
ValCT .
INCOME DISTRIBUTIONS OF WHITE FAMILIES AND NONWHITE FAMILIES IN THE UNITED STATES, 1963
income interval ($) white(%) nonwhite(%) midpoint of the interval
<1000 3.2 9.2 500
1000-1500 2.6 8.3 1250
1500-2000 3.2 8 1750
2000-2500 3.6 9.6 2250
2500-3000 3.3 8 2750
3000-3500 4.3 7.4 3250
3500-4000 3.9 6.1 3750
4000-5000 8.8 10.9 4500
5000-6000 11.3 8.7 5500
6000-7000 10.5 7.3 6500
7000-8000 9.6 4.7 7500
8000-9000 8.2 4.4 8500
9000-10000 6 1.7 9500
10000-12000 8.9 2.5 11000
12000-15000 6.7 1.6 13500
15000-25000 4.8 1.4 20000
>25000 1.1 0.2 37500
total number of families 42663000 4773000
Ejemplo:Ejemplo:
1gT2gT
Descomposición del índice de Theil
T0,23311
0Porcentaje respecto del
total
Intergrupos
0,009907
4,25%
Intragrupos
0,223203
95,75%
0,219345
0,282506
blancarazafamT .
razasotrasfamT .
Lo que permite concluir que prácticamente la totalidad de la desigualdad existente en la distribución de las rentas de las familias de Estados Unidos en el año 1963 procede de la desigualdad entre las familias, sea cual sea su raza
Valencia, 28 de noviembre de 2006Valencia, 28 de noviembre de 2006Universidad de Universidad de
Castilla-La ManchaCastilla-La Mancha