MEDICIN DE REAS

10.1 Introduccin

1. Uno de los principales objetivos de un levantamiento topogrfico puede ser la determinacin del rea de una parcela de terreno en la cual se quiere construir una granja pisccola. Puede suceder que, a partir de mapas topogrficos ya existentes, haya que calcular el rea de la cuenca de un futuro embalse (Ver Agua, Volumen 4 de esta Serie).

Nota: En un levantamiento de campo hay que considerar las reas de terrenos como superficies horizontales y no las reas reales de la superficie del terreno. Medimos siempre, por lo tanto, las distancias horizontales.

2. A menudo es necesario saber el rea de una seccin transversal (ver Seccin 9.6) para calcular la cantidad de tierra necesaria.

rea horizontal182.GIF (17886 byte) Corte trasversal del rea182a.GIF (22293 byte)3. Las reas se pueden calcular ya sea directamente haciendo las mediciones en el campo, o indirectamente, a partir de un plano o un mapa. En el primer caso habr que hacer un levantamiento para determinar todas las distancias y ngulos necesarios y as calcular las reas. En el segundo caso se comenzar por dibujar un mapa o un plano y, utilizando la escala adecuada, se determinar el rea en cuestin.

4. Existen varios mtodos sencillos para la medicin de reas. Algunos son mtodos grficos en los que se hace una comparacin entre el plano o el mapa que se necesita medir y un patrn de rea conocida. Tambin existen los mtodos geomtricos en los que se usan frmulas matemticas sencillas para calcular el rea de figuras geomtricas regulares, como tringulos, trapecios* o reas delimitadas por curvas irregulares.

Nota: un trapecio es un polgono de cuatro lados, dos de los cuales son paralelos.

5. Estos sencillos mtodos se describen en detalle en las siguientes secciones. Se resumen tambin en el Cuadro 13.

Tringulo 183.GIF (1779 byte) Trapecio 1 183a.GIF (2136 byte) Trapecio 2 183b.GIF (1752 byte) rea irregular 183c.GIF (2323 byte)

CUADRO 13 Mtodos sencillos de medicin de reas

SeccinMtodoComentarios10.2FranjasMtodo grfico que da valores estimados poco precisos10.3CuadrculasMtodo grfico que da valores estimados de buenos a muy buenos10.4Subdivisin en figuras geomtricas regulares, tringulos, trapeciosMtodo grfico que da valores estimados de buenos a muy buenos10.5Regla trapezoidalMtodo geomtrico que da valores estimados de buenos a muy buenos.Adecuado para reas con permetros curvilneos irregulares

10.2 Cmo utilizar el mtodo de franjas o bandas para medir reas

1. Tome un papel transparente como por ejemplo un papel de calco o un papel milimtrico delgado de un tamao que depender del tamao del rea cuyo mapa se est haciendo.

2. Dibuje una serie de bandas trazando un conjunto de lneas paralelas a intervalos fijos regulares. Defina un ancho W de las bandas que equivalga a un nmero definido de metros. Puede usar para este propsito la escala en que est el mapa o el plano .

185.GIF (4985 byte) Ejemplo

Escala 1 : 2 000; ancho de la banda W = 1 cm = 20 m Escala 1 : 50 000; ancho de la banda W = 1 cm = 500 m

Nota: El estimado del rea de una parcela ser mas preciso cuanto ms pequeo sea el ancho de la banda

3. Poner la hoja de papel transparente sobre el mapa o plano del rea que queremos medir y fijarla con chinchetas o cinta adhesiva transparente.

Escala: 1: 2.000 185a.GIF (12825 byte) 4. Mida la distancia AB en centmetros de cada banda a lo largo de un eje delimitado por el permetro del rea definida en el mapa.

5.Calcule la suma de estas distancias en centmetros y, de acuerdo con la escala que est usando, haga la multiplicacin para hallar la distancia equivalente en el terreno en metros.

186.GIF (10473 byte) Ejemplo

La escala es 1 : 2 000 y 1 cm = 20 m.Suma de las distancias = 16 cm.. Distancia equivalente en el terreno: 16 x 20 m = 320 m .

186a.GIF (6023 byte) 6. Multiplicar la suma de las distancias reales (en metros) por el ancho equivalente de la banda W (en metros) para obtener un estimado aproximativo del rea total en metros cuadrados (abreviado como m2).

Ejemplo

La suma de las distancias equivalentes es 320 m.. El ancho de la banda (1 cm) equivale a 20 m. El rea del terreno: 320 m x 20 m = 6 400 m2 0,64 ha

Nota: 10 000 m2 = 1 hectrea (ha)

7. Repita el procedimiento por lo menos una vez para verificar los clculos.

187.GIF (12470 byte) rea total = 320 m 20 m = 6.400 m2

10.3 Cmo utilizar el mtodo de la cuadrcula para medir reas

1. Tome un papel transparente cuadriculado, o haga usted mismo los cuadritos dibujndolos en un papel de calco. A tal efecto, dibuje una cuadrcula con cuadrados de 2 mm x 2 mm dentro de cuadrados ms grandes de 1 cm x 1 cm para completar un cuadrado grande de 10 cm de lado. Use si lo desea el ejemplo que aparece en esta pgina.

Nota: Si la cuadrcula se hace con cuadraditos mas pequeos, el estimado del rea del terreno ser ms preciso pero el tamao mnimo recomendable es de 1 mm x 1 mm = 1 mm2.

188.GIF (24481 byte) 2. Ponga la cuadrcula transparente sobre el dibujo del rea que se quiere medir y fjela con chinchetas o cinta adhesiva transparente. Si la cuadrcula es ms pequea que el rea en cuestin, comience por el borde del dibujo. Marque claramente el perfil del dibujo y mueva luego la cuadrcula hacia un nuevo sector hasta completar toda el rea.

3. Cuente el nmero de cuadrados grandes incluidos en el rea. Para no equivocarse, haga una marca con el lpiz a medida que los cuenta.

Nota:Cuando est cubriendo la parte central del rea es posible que pueda contar cuadrados ms grandes como, por ejemplo, de 10 x 10 = 100 cuadrados pequeos. Esto le facilitar el trabajo.

189.GIF (4432 byte) 4. Observe los cuadrados que estn en el permetro del dibujo. Si ms de la mitad de uno de esos cuadrados cae dentro del dibujo, cuntelo y mrquelo como si fuera una cuadrado entero. No tome en cuente los dems. La mitad o ms de la mitad de los cuadrados 189a.GIF (9882 byte) 5. Sume los dos totales (puntos 3 y 4) para obtener el nmero total T de cuadrados enteros.

6. Haga de nuevo las sumas para estar seguro del resultado.

7. Calcule la unidad de rea equivalente de su cuadrcula usando la escala de distancias del dibujo.

Ejemplo

Escala 1 : 2 000 1 cm = 20 m o 1 mm = 2 mEl tamao de los cuadrados es de 2 mm x 2 mmLa unidad de rea equivalente de la cuadrcula = 4 m x 4 m = 16 m2 190.GIF (24449 byte) 8. Multiplique la unidad de rea equivalente por el nmero total T de cuadrados enteros para obtener un estimado bastante confiable del rea medida.

Ejemplo

Nmero total de cuadrados contados T = 256Unidad de rea equivalente = 16 m2rea total = 256 x 16 m2 = 4 096 m2 = 4096 m2Nota: cuando se trabaja con planos a gran escala como secciones transversales, se puede mejorar la precisin del estimado del rea modificando el paso 5 de arriba. A tal efecto, observe todos los cuadros que estn en el borde del dibujo y por lo tanto atravesados por la lnea del permetro del rea. A continuacin haga un estimado a ojo del nmero de dcimas partes de un cuadrado entero que vamos a incluir en la cuenta (las dcimas partes son fracciones del cuadrado, expresadas como un decimal, como 0,5 que equivale a 5/9).

Ejemplo

Cuadrado A = 0.5; B = 0.1; C = 0.9. 191.GIF (6372 byte)10.4 Cmo subdividir un rea en figuras geomtricas regulares

1. Cuando hay que medir reas directamente en el campo, divida la parcela de terreno en figuras geomtricas regulares, como tringulos, rectngulos y trapecios. Haga luego todas las mediciones necesarias y calcule las reas mediante las frmulas matemticas correspondientes (vea Anexo 1). Si dispone del plano o el mapa de un rea puede dibujarle estas figuras geomtricas y hallar sus dimensiones usando la escala adecuada.

2. En el primer manual de esta serie, Acuicultura de agua dulce: el agua, Coleccin FAO: Capacitacin (4), Seccin 20, aprendimos a calcular el rea de un estanque usando este mtodo. En los puntos que siguen, aprenderemos su aplicacin en condiciones ms difciles.

192.GIF (2173 byte) 192a.GIF (2944 byte) 192b.GIF (2036 byte) 192c.GIF (3376 byte)

Medicin de reas por tringulos

3. El clculo del rea de cualquier tringulo es facil de realizar cuando se conocen las dimensiones de:

de los tres lados a, b y cArea = s(s - a) (s - b) (s - c)

donde s = (a + b + c) 2;

EjemploSi a = 35 m; b = 29 m; y c = 45,5 m. Luego s = (35 m + 29 m + 45,5 m) 2 = 54,75 mrea 2 = 54.75 m (54.75m - 35 m) (54.75 m - 29 m)(54.75 m - 45.5 m)= 54.75 m x 19.75 m x 25.75 m x 9.25 m = 257 555 m4

rea = (257 555 m4) = 507 m2

los dos lados (b, c) y el valor del ngulo BAC formado por sus dos ladosArea = (bc sin BAC) 2

se halla el sen BAC del Cuadro 14.

193.GIF (7788 byte)

193a.GIF (3370 byte) Ejemplo

Si b = 29 m; c = 45,5 m; y el ngulo BAC = 50. luego sen BAC = 0,7660 (Cuadro 14) rea = (29 m x 45,5 m x 0,7660) 2 = 1 010,737 2 = 505,3685 m2

194.GIF (4212 byte)194a.GIF (3112 byte)

CUADRO 14

Valores del seno de los ngulos

ngulo(grados)Senongulo(grados)Senongulo(grados)Seno10.0175310.5150610.874620.0349320.5299620.882930.0523330.5446630.891040.0698340.5592640.898850.0872350.5736650.906360.1045360.5878660.913570.1219370.6018670.920580.1392380.6157680.927290.1564390.6293690.9336100.1736400.6428700.9397110.1908410.6561710.9455120.2079420.6691720.9511130.2250430.6820730.9563140.2419440.6947740.9613150.2588450.7071750.9659160.2756460.7193760.9703170.2924470.7314770.9744180.3090480.7431780.9781190.3256490.7547790.9816200.3420500.7660800.9848210.3584510.7771810.9877220.3746520.7880820.9903230.3907530.7986830.9925240.4067540.8090840.9945250.4226550.8192850.9962260.4384560.8290860.9976270.4540570.8387870.9986280.4695580.8480880.9994290.4848590.8572890.9998300.5000600.8660

4. Subdivida la parcela de tierra en tringulos. Para el caso de un rea que tenga cuatro lados se puede hacer de dos maneras:

Una dos ngulos opuestos con una lnea recta BD. Mida la longitud de BD para hallar la longitud de los tres lados de cada uno de los dos tringulos, y calcule sus reas (ver punto 3, arriba). La suma de las reas de los dos tringulos es el rea total.Puede tambin trazar radios desde la estacin central O. Mida los ngulos AOB, BOC, COD y DOA. Mida despus las distancias desde O a cada ngulo del terreno, OA, OB, OC, y OD, y calcule el rea de cada tringulo (ver punto 3, arriba). La suma de las reas de los cuatro tringulos es el rea total. Dos tringulos 196.GIF (2387 byte) 5. Si la parcela de tierra tiene ms de cuatro lados, se puede subdividir en tringulos:

por radiacin desde una estacin central O (ver punto 4, arriba); opor radiacin desde una estacin lateral, como A. Trazados radiales desde la estacin central 196a.GIF (3426 byte) Trazados radiales desde la estacin central196b.GIF (4098 byte) Trazados radiales desde una estacin lateral 196c.GIF (3438 byte)

6. Compruebe los clculos realizados. Si ha hallado el rea usando los dos ngulos opuestos, aplique el primer mtodo. Si ha empleado la radiacin, aplique el segundo.

Vuelva a medir el rea total a partir de los otros dos tringulos ABC y ACD, formados por la lnea recta AC.Puede tambin repetir la medicin de los ngulos y las longitudes desde la misma estacin o desde otra estacin. 197.GIF (7638 byte)

7. Cuando el terreno tiene una forma poligonal, generalmente se subdivide el rea total que se quiere medir en una serie de figuras geomtricas regulares (1-7 en el ejemplo) a partir de una lnea base comn AD. Desde dicha lnea se trazan perpendiculares hasta los vrtices del polgono formando de esta manera los tringulos rectngulos 1, 2, 3 y 7, y los trapecios 2, 5 y 6.

8. Cuando elija la lnea base acurdese que esta debera:

ser fcilmente accesible a lo largo de toda su longitud;permitir la visin de la mayora de los vrtices del polgono;cubrir la distancia mas larga dentro del rea en cuestin para que de esta manera las perpendiculares sean lo mas cortas posible unir dos vrtices del polgono rea = (base x altura) 2 198.GIF (6011 byte) 9. Calcule el rea de cada tringulo rectngulo mediante la frmula:

rea = (base x altura) 2

10. Calcule el rea de cada trapecio mediante la frmula:

rea = altura x (base 1 + base 2) 2

donde:

La base 1 es paralela a la base 2;La altura es la distancia perpendicular desde la base 1 a la base 2 rea = altura x (base 1 + base 2) 2198a.GIF (6086 byte) 11. Sume todas las reas parciales para hallar el rea total del terreno. Debera hacer un cuadro con todas las dimensiones de los tringulos (con una sola base) y los trapecios (con dos bases), como se muestra en el ejemplo.

Ejemplo

Medir desde el punto A las distancias acumuladas a los puntos H, I, J, K, L, y D a lo largo de la lnea base AD, como sigue:Lnea base (en m)

199b.GIF (2022 byte) 199.GIF (7234 byte) A partir de estas mediciones , definir las distancias parciales para cada seccin AH, HI, IJ, JK, KL y LD como sigue:Lnea base (en m)

199c.GIF (1949 byte)Medir las perpendiculares HG, IB, ... LE desde la lnea base a cada vrtice del polgono:HG = 11,80 m; lB = 5,20 m; ... LE = 9,65 mIntroduzca estos datos en el siguiente cuadro y obtenga las reas parciales de cada lote 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7; la suma es el rea total. 199a.GIF (9705 byte) Parcela NAltura (m)Base (m)(B1+B2) / 2 (m)rea (m2)121 TR5.206.50-3.2516.902 TP7.655.206.205.7043.613 TR6.2017.10-8.5553.014 TR9.654.00-2.0019.305 TP10.509.6514.8012.22128.316 TP13.9514.8011.8013.30185.547 TR11.802.80-1.4016.52Total area 463.191TR = tringulo rectngulo; TP trapecio

Subdivisin de reas de terreno sin lneas de base

12. Cuando la forma del terreno es ms complicada que las que hasta ahora hemos aprendido a medir, habr que usar ms de una lnea base, y subdividir el rea en tringulos y trapecios de varios tipos. Por lo general no ser posible crear tringulos rectngulos con los cuales trabajar y habr que calcular el rea de los trapecios haciendo otras mediciones con las cuales se podr determinar su altura a lo largo de lneas perpendiculares. 200.GIF (13456 byte)

Ejemplo

El permetro de un terreno ABCDEFGHIA por el cual pasa un ro se subdivide en cinco lotes 1-5 que forman tres tringulos (1, 2, 5) y dos trapecios (3 con BE paralela a CD y 4 con EI paralela a FH). Los lmites del terreno forman un polgono cerrado que se ha levantado topogrficamente como sigue.

13. Calcular las reas de los tringulos 1, 2 y 5, usando las longitudes de sus tres lados y las siguientes frmulas:

s = (a + b + c) 2

area = s(s-a)(s-b)(s-c)

Ejemplo

Mida los lados de los tringulos.

Aplique la frmula area = s(s- a)(s- b)(s-c) en la siguiente tabla:

TringuloLongitud (x) de los lados (m)s (m)(s- x) en mrea (m2)abc(s-a)(s-b)(s-c)16508608601185535325325258773.25

28609808401340480360500340258.66

56604203607206030036068305.16

rea total de los tringulos667337.07

201.GIF (13636 byte) 14. Calcular las reas de los trapecios 3 y 4 determinando sus alturas y las longitudes de sus bases, mediante la siguiente frmula:

rea = altura x (base 1 + base 2) 2

Ejemplo

Mida los lados de los tringulos.

Aplique la frmula en la siguiente tabla:

Lote NAltura (m)Base (m)(B1 + B2) / 2 (m)rea (m2)1235609806007904424004460840660750345000rea total de los trapecios787400

15. Aadir el area total de los tringulos (punto 12) al rea total de los trapecios (punto 14) para as obtener el rea total del terreno.

Ejemplo

rea total de los tringulos = 667337 m2 rea total de los trapecios = 787400 m2 rea total del terreno = 1454 737 m2 or 145.47 ha

202.GIF (21807 byte) 16. Otra manera, ms fcil, de hacer estos clculos es medir en el plano la altura de cada tringulo midiendo la perpendicular trazada desde un vrtice hasta el lado opuesto (llamado base). Luego, se calcula el rea de cada tringulo con la frmula:

rea = (altura x base) 2

Introduzca los datos en un solo cuadro, tal como se explic en el punto 11, arriba.

Ejemplo

Medir en el plano las alturas BJ, BK, y LG en los tringulos 1, 2 y 3 respectivamente..

Introducir los datos en la siguiente tabla:

Parcela NAltura (m)Base (m)(B1 + B2) / 2 (m)rea (m2)121

600

860

-

430

258000

2

810

840

-

420

340200

3

560

980

600

790

2400

4

460

840

660

750

345000

5

206

660

-

330

67980

Superficie total del terreno1453580

El rea total de la parcela de terreno es 145, 36 ha, ligeramente diferente al estimado que se hizo antes (ver punto 15). Esto se debe a errores de escala cuando se hicieron las mediciones en el plano que, en este caso, son suficientemente pequeos (0,11 ha 0,07 por ciento) como para ser aceptados.

203.GIF (18267 byte)

10.5 Como medir reas cuyos lmites son curvos

1. En el Volumen 4 de esta Serie, Acuicultura de agua dulce: el agua (ver Seccin 20, pag. 22) aprendimos a calcular el rea de un estanque que tiene un lado curvo. Se puede emplear un procedimiento similar para calcular el rea de una parcela de terreno que tenga un lado en forma de curva regular tratando de compensar el grado de cobertura en cada una de las reas.

204.GIF (5095 byte) 2. Si una parte de la parcela de terreno est limitada por una curva irregular, como una carretera o un ro, se puede hallar el rea aplicando la regla trapezoidal que se explica en esta seccin. 204a.GIF (6328 byte)3. Trace una lnea recta AB que una los lados de la parcela de terreno pasando lo ms cerca posible de la parte curva de su permetro. Para determinar el rea irregular ABCDA, haga lo siguiente:

4. Mida la distancia AB y subdivdala en un nmero de intervalos regulares, cada uno, por ejemplo, de 22,5 m. Marque con jalones en AB cada uno de los intervalos

Nota: Cuanto mas cortos sean los intervalos, ms preciso ser el estimado del rea.

205a.GIF (10227 byte) 205.GIF (6402 byte)

5. Trace una perpendicular desde cada uno de los intervalos marcados (ver Seccin 33) uniendo AB al perfil de la curva. Mida cada una de estas perpendiculares.

6. Calcule el rea ABCDA usando la frmula:

rea = intervalo x (ho + hn + 2hi) 2

206.GIF (4833 byte) donde:

ho es la longitud de la primera perpendicular AD; hn es la longitud del la ltima perpendicular, BC; yhi es la suma de las longitudes de todas las perpendiculares intermedias.

206a.GIF (3867 byte) Ejemplo

Intervalo = 112.5 m 5 = 22.5 m ho = 20 m and hn = 10 m hi = 27 m + 6 m + 14 m + 32 m = 79 m rea ABCDA = 22.5 m x (20 m + 10 m + 158 m) 2 = (22.5 m x 188 m) 2 = 2115 m2

Nota: recuerde que debe tambin calcular el rea de AXYBA y sumarla al rea de ABCDA para tener el rea total DAXYBCD.

206b.GIF (11845 byte) 7. Los clculos se pueden simplificar si se logra trazar la lnea AB de manera que toque los dos extremos del lado curvado. En este caso, h0, y hn son ambos iguales a cero, y la frmula se convierte en:

rea = intervalo x hi

donde hi es la suma de las longitudes de todas las perpendiculares intermedias.

207.GIF (8282 byte) Ejemplo

Intervalo = 158 m 6 = 26.3 m hi = 25 m + 27 m + 2 m + 23 m + 24 m = 101 m rea= 26.3 m x 101 m = 2 656.3 m2

Nota: recuerde que debe tambin calcular el rea de AXYBA y sumarla al rea de la parte curva para tener as el rea total

207a.GIF (7829 byte)