MEDIANAS Y BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO.

Estudiantes: Nicolás Monsalve C.

Soraya Sandoval A.

Profesor: Claudio del Pino.

Asignatura: Geometría

Talca, de septiembre de 2017.

ÍNDICE.

1. Introducción. 1

2. Pre-requisitos. 3

1. Conceptos básicos. 3

3. Definiciones y Ejemplos. 3

1. Concepto de triángulo. 3

2. Tipos de triángulos según sus lados. 3

3. Elementos notables de un triángulo. 4

4. Actividad de construcción. 5

4. Propiedades. 7

1. Propiedades de la mediana. 7

2. Teoremas. 8

5. Conclusión. 9

6. Bibliografía. 10

7. Referencias Linkográficas. 11

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INTRODUCCIÓN.

El campo de la geometría nos lleva a un mundo de diversas áreas, las que

cada una con sus particularidades nos permite comprender mucho más el mundo

que nos rodea y las variadas actividades que desarrolla el ser humano.

En el presente informe se presentará una parte de los elementos notables

de un triángulo: Medianas y baricentro, junto con dar a conocer conceptos claves

que son base para el trabajo con dichos elementos. Es por ello, que ponemos en

evidencia el tema propiamente tal, dando a conocer sus definiciones,

propiedades, construcciones y demostraciones que ayudarán a ampliar los

conocimientos en esta incitante rama de la matemática.

Pensando en el quehacer pedagógico y la importancia de la matemática en

la formación de los estudiantes de nuestro país, es que centramos la atención en

el proceso de búsqueda de elementos que permitan llevar al estudiante a

reconocer los contenidos trabajados en el presente como parte importante de sus

procesos enseñanza-aprendizaje.

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PRE-REQUISITOS.

1. CONCEPTOS BÁSICOS. Línea: Es una sucesión continua de puntos.

Segmento: Porción de una línea comprendida entre dos puntos.

Lados de un triángulo: Son los segmentos que forman un triángulo y se

identifican con letras minúsculas.

Vértice: Es la intersección de dos trazos y se identifican con letras

mayúsculas.

Ángulo: Es aquel que se forma por la intersección de dos rayos con un

origen en común.

DEFINICIONES Y EJEMPLOS.

1. CONCEPTO DE TRIÁNGULO.

Un triángulo es definido como un polígono de tres lados, que es

determinado por tres puntos no colineales llamados vértices. En cada vértice se

encuentran tres ángulos interiores.

2. TIPOS DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS. Triángulo equilátero: es aquel que tiene todos sus lados de igual medida.

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Triángulo isósceles: es aquel que solo tiene dos lados de igual medida y

uno diferente.

Triángulo escaleno: es aquel que tiene todos sus lados de diferente medida.

3. ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO.

Mediana o Transversal de gravedad: en un triángulo la mediana corresponde al

segmento de línea recta que une cada vértice con el punto medio de su lado

opuesto.

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4. ACTIVIDADES DE CONSTRUCCIÓN.

Construcción de las medianas de un triángulo usando H1.

Pasos a seguir:

1. Obtener el punto medio de

un triángulo, trazando dos

arcos en cada uno de los

dos vértices A y B con tal

que se crucen a ambos

lados del triángulo.

2. Unir el punto medio del

lado trazando una recta,

con el vértice opuesto a él.

3. Repetir lo pasos anteriores

para los otros dos lados

del triángulo.

De un triángulo ABC, solo se conoce y base AB y la posición del su baricentro

G. Construir dicho triángulo.

 

A B

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G

Construcción un triángulo rectángulo de forma que la altura sobre la hipotenusa

coincida con la mediana.

1, Trazar un segmento

AB y luego dibuja una

semicircunferencia de un

punto al otro.

2. marcar punto medio del

segmento AB y trazar

una perpendicular que

pase por la

semicircunferencia,

obteniendo un punto C.

3. Forma un triángulo

uniendo con

segmentos los

puntos A, B y C.

Quedando

demostrado que la

altura y la mediana

coinciden en un

triángulo rectángulo.

.

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PROPIEDADES.

1. PROPIEDADES DE LA MEDIANA

En cualquier triangulo la medida del Baricentro cumple con esta propiedad:

Las 3 medianas de un triángulo se intersectan en un punto llamado

Baricentro o Gravicentro.

La distancia entre el Baricentro y su vértice corresponde al doble de la

distancia entre el Baricentro y el punto medio del lado opuesto. (Fig. 2)

Dicho de otra forma, la distancia del Baricentro a cada vértice es de 2/3 la

distancia de cada mediana.

El Baricentro siempre está al interior del triángulo.

Cada una de las medianas divide al triangulo en dos triángulos de igual

área.

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2. TEOREMAS:

En un triángulo isósceles ABC la mediana correspondiente a su base BC es

también:

Mediatriz de su base AB.

Bisectriz del ángulo A.

1- Hipótesis : En todo triángulo isósceles la mediatriz y la mediana de la base

coinciden.

Demostración: Los ángulos ADC y BDC son congruentes (utilizando el criterio de

congruencia LLL) y adyacentes a la vez. Por lo tanto, son ángulos rectos. En

conclusión, el segmento CD es una mediana y mediatriz del lado AB.

2- Hipótesis : En un triángulo isósceles la mediana y la bisectriz del ángulo A

coinciden.

Demostración: La bisectriz del ángulo opuesto a la base, divide a ésta en dos

partes iguales, ya que utilizando el criterio de congruencia LLL, los ángulos ACD y

BCD son congruentes, por lo tanto, la bisectriz que pasa por el segmento CD, el

cual divide al lado AB en dos partes iguales, ya que pasa por su punto medio.

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A

Y esta a su vez, es mediana. Considerando que la mediana es el segmento

que uno el vértice con su lado opuesto pasando por su punto medio.

En un triángulo equilátero coinciden las mediatrices y las bisectrices con las

medianas.

–.–

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CONCLUSIÓN.

Es importante dar cuenta de los hallazgos realizados mediante este trabajo,

por una parte el concepto de medianas y baricentro nos lleva a conocer una forma

nueva de mirar los triángulos, analizar sus construcciones y poder compararlas

con otros elementos notables de éstos.

Tras los ejercicios de construcción de medianas en diversos tipos de

triángulos, se logró reforzar conocimientos y procedimientos claves para lograr

obtener las medianas y baricentro. En la aplicación de actividades como, trazar

segmentos para formar triángulos, arcos para obtener puntos medios y calcular el

baricentro, se fueron acoplando conocimientos previos con aquellos que fueron

adquiridos tras el trabajo efectuado.

Con respecto a las verificaciones de teoremas, se relacionaron otros

elementos notables de los triángulos, como por ejemplo en el triángulo equilátero,

pues en él coincidieron sus tres medianas con sus tres bisectrices y sus tres

mediatrices.

Sin lugar a duda los triángulos nos abren una ventana extensa para analizar

los elementos que en ellos se esconden. De los tipos de triángulos podemos

encontrar propiedades únicas y compartidas que se dan entre medianas y

baricentros, como lo es la distancia entre el baricentro y su vértice que

corresponde al doble de la distancia entre el baricentro y el punto medio del lado

opuesto.

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BIBLIOGRAFÍA

- Breve historia de las matemáticas, Rumbos Pellicer,2011. Ed.Trillas.

- Geometría y trigonometría, Rojas Leiva, Santillana,2008.

- Geometría, Carreño,Cruz, Mc Graw Hill , 2008.

- Geometría básica. Khan Academy .

- Geometría. Un texto clásico Clemens/O'Daffer/Cooney.

- Geometría y su didáctica para maestros. J. D. Godino/F. Ruíz.

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REFERENCIAS LINKOGRÁFICAS.

- Roberprof.com. Ejercicios de medianas. Recuperado el 30 de septiembre de

2017 desde http://www.roberprof.com/2009/08/13/ejerciciomedianas/

- Hernández M. IES. Geogebra. Medianas de un triángulo. Baricentro. Recuperado

el 30 de septiembre de 2017 desde https://www.geogebra.org/m/bnJXYFqa

- Wikipedia. Triángulos. Recuperado el 30 de septiembre de 2017 desde

https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

- (2017). Icarito. Geometria, Matematicas. Recuperado el 02 de octubre de 2017

desde http://www.icarito.cl/2010/03/102-8679-9-3-poligonos.shtml/

- (2017). Universo Formulas. Medianas de un triángulo. Recuperado el 02 de

octubre de 2017 desde

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/mediana-triangulo/

- Matemática10. Ejemplos de Medianas de un triángulo. Recuperado el 02 de

octubre de 2017 desde http://www.matematicas10.net/2015/11/ejemplos-de-

mediana-de-un-triangulo.html

- El blog de Ed. Ejercicios resueltos geometría analítica (IV). Rectas y puntos

notables del triángulo. Recuperado el 03 de octubre de 2017 desde

https://bitacoraed.wordpress.com/2007/05/09/ejercicios-propuestos-geometria-

analitica/

- (2010, julio, 15) Medina M. Miguel A. Gaussianos. Los centros del triángulo:

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2017 desde https://www.gaussianos.com/los-centros-del-triangulo-incentro-

baricentro-circuncentro-y-ortocentro/

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