Universidad de las FuerzasArmadas ESPE

Extension Latacunga

Dinamica

Sistema de 4 Barras en mathcad

Katherine Aroca y Kevin Barrera

4o A Ingenierıa Mecatronica

24 de diciembre de 2013

1. Ejercicio

La excentrica de una maquina de coser esta girando con una velocidad an-gular de 0,5 rad/s y una aceleracion angular de 1 rad/s. Use mathcad paracalcular todos los valores de velocidad y aceleracion de los angulos θ3 y θ4 consus respectivas graficas.

Los valores r1=0,75 m, r2=0.2, r3=0.75 mm y r4=0.3 son valores constantes yel angulo θ2 varia en 360o

De una manera vectorial se puede representar al vector R como:

−→R = −→r2 +−→r3

−→R = −→r1 +−→r4

Igualando ambos valores de R:

−→r2 +−→r3 = −→r1 +−→r4−→r2 +−→r3 −−→r1 −−→r4 = 0

Utilizando la notacion de algebra compleja

r1ejθ1 = r2e

jθ2 + r3ejθ3

Donde ejθ = Cos(θ) + jSen(θ) (formula de Euler)Posicion

r2(Cos(θ2)+jSen(θ2))+r3(Cos(θ3)+jSen(θ3))−r1(Cos(θ1)+jSen(θ1))−r4(Cos(θ4)+jSen(θ4)) = 0

Parte Real: r2Cos(θ2) + r3Cos(θ3)− r1Cos(θ1)− r4Cos(θ4) = 0Parte Imaginaria: r2Sen(θ2) + r3Sen(θ3)− r1Sen(θ1)− r4Sen(θ4) = 0Cambio de variable: a = r2Cos(θ2)−r1Cos(θ1) b = r2Sen(θ2)−r1Sen(θ1)

1 =⇒ a+ r3Cos(θ3)− r4Cos(θ4) = 0

2

2 =⇒ b+ r3Sen(θ3)− r4Sen(θ4) = 0

De 1 y 2 despejamos los valores de θ4

(a+ r3Cos(θ3))2 = (r4Cos(θ4))2

(b+ r3Sen(θ3))2 = (r4Sen(θ4))2

3 =⇒ a2 + 2ar3Cos(θ3) + (r3Cos(θ3))2 = (r4Cos(θ4))2

4 =⇒ b2 + 2br3Sen(θ3) + (r3Sen(θ3))2 = (r4Sen(θ4))2

Sumando las ecuaciones 3 y 4:

a2 + b2 + 2ar3Cos(θ3) + 2br3Sen(θ3) + (r3)2 = (r4)2

aCos(θ3) + bSen(θ3) =(r4)2 − (r3)2 − a2 − b2

2r3

Cambio de variable: c =(r4)2 − (r3)2 − a2 − b2

2r3Usando estas dos expresiones trigonometricas:

Sen(θ) =2tan(

θ

2)

1 + tan2(θ

2)

Cos(θ) =1− tan2(

θ

2)

1 + tan2(θ

2)

a(1− tan2(

θ32

)

1 + tan2(θ32

)

) + b(2tan(

θ32

)

1 + tan2(θ32

)

) = c

a− a.tan2(θ32

) + 2b.tan(θ32

) = c+ c.tan2(θ32

)

(−a− c)tan2(θ32

) + 2b.tan(θ32

) + a− c = 0

Forma general de la ecuacion de 2do grado:

tan(θ32

) =−2b±

√4b2 − 4(−a− c)(a− c)

2(−a− c)

tan(θ32

) =−2b±

√4b2 − 4(−a2 + c2)

2(−a− c)

tan(θ32

) =−b±

√b2 + a2 − c2−a− c

I θ3(θ2) = 2tan−1(−b±

√b2 + a2 − c2−a− c

)

De 1 y 2 despejamos los valores de θ3

(−a+ r4Cos(θ4))2 = (r3Cos(θ3))2

3

(−b+ r4Sen(θ4))2 = (r3Sen(θ3))2

5 =⇒ a2 − 2ar4Cos(θ4) + (r4Cos(θ4))2 = (r3Cos(θ3))2

6 =⇒ b2 − 2br4Sen(θ4) + (r4Sen(θ4))2 = (r3Sen(θ3))2

Sumando las ecuaciones 5 y 6:

a2 + b2 − 2ar4Cos(θ4)− 2br4Sen(θ4) + (r4)2 = (r3)2

aCos(θ4) + bSen(θ4) = − (r3)2 − (r4)2 − a2 − b2

2r4

Cambio de variable: d = − (r3)2 − (r4)2 − a2 − b2

2r4Usando estas dos expresiones trigonometricas:

Sen(θ) =2tan(

θ

2)

1 + tan2(θ

2)

Cos(θ) =1− tan2(

θ

2)

1 + tan2(θ

2)

a(1− tan2(

θ42

)

1 + tan2(θ42

)

) + b(2tan(

θ42

)

1 + tan2(θ42

)

) = d

a− a.tan2(θ42

) + 2b.tan(θ42

) = d+ d.tan2(θ42

)

(−a− d)tan2(θ42

) + 2b.tan(θ42

) + a− d = 0

Forma general de la ecuacion de 2do grado:

tan(θ42

) =−2b±

√4b2 − 4(−a− d)(a− d)

2(−a− d)

tan(θ42

) =−2b±

√4b2 − 4(−a2 + d2)

2(−a− d)

tan(θ42

) =−b±

√b2 + a2 − d2−a− d

I θ4(θ2) = 2tan−1(−b±

√b2 + a2 − d2−a− d

)

Escribiendo estas ecuaciones en mathcad se obtienen los siguentes datos ygraficas:

4

5

VelocidadDerivando rejθ se obtiene: jwrejθ

Analizando La velocidad en el punto D:

−→VD = −→w4 ⊗−→r4

VD = jw4r4Cos(θ4)− w4r4Sen(θ4)

Analizando la velocidad relativa:

−→VD =

−−−→VD/A +

−→VA

−→VD = −→w3 ⊗−→r3 +−→w2 ⊗−→r2

VD = jw3 ∗ r3Cos(θ3)− w3 ∗ r3Sen(θ3) + jw2 ∗ r2Cos(θ2)− w2 ∗ r2Sen(θ2)

Igualamos las dos ecuaciones:

jw4r4Cos(θ4)−w4r4Sen(θ4) = jw3∗r3Cos(θ3)−w3∗r3Sen(θ3)+jw2∗r2Cos(θ2)−w2∗r2Sen(θ2)

Parte Real −w4r4Sen(θ4) = −w3 ∗ r3Sen(θ3)− w2 ∗ r2Sen(θ2)Parte Imaginaria w4r4Cos(θ4) = w3 ∗ r3Cos(θ3) + w2 ∗ r2Cos(θ2)

I w4(θ2) =r2 ∗ w2Cos(θ2) + r3 ∗ w3Cos(θ3)

r4Cos(θ4)

−(r2 ∗ w2Cos(θ2) + r3 ∗ w3Cos(θ3)

r4Cos(θ4))r4Sen(θ4) = −w3∗r3Sen(θ3)−w2∗r2Sen(θ2)

w3r3r4Cos(θ3)Sen(θ4)+w2r2r4Cos(θ2)Sen(θ4) = w3r3r4Cos(θ4)Sen(θ3)+w2r2r4Cos(θ4)Sen(θ2)

I w3(θ2) =−w2r2r4Cos(θ2)Sen(θ4) + w2r2r4Cos(θ4)Sen(θ2)

r3r4Cos(θ3)Sen(θ4)− r3r4Cos(θ4)Sen(θ3)

Escribiendo estas ecuaciones en mathcad se obtienen los siguentes datos ygraficas:

6

.

7

AceleracionDerivando jwrejθ se obtiene:jrαejθ − w2rejθ

Analizando la aceleracion en el punto D:

aD = jr4α4ejθ4 − w2

4r4ejθ4

aD = jr4α4Cos(θ4)− r4α4Sen(θ4)− w24r4Cos(θ4)− jw2

4r4Sen(θ4)

Analizando la aceleracion relativa:

−→aD = −−−→aD/A +−→aA

aD = jr3α3Cos(θ3)−r3α3Sen(θ3)−w23r3Cos(θ3)−jw2

3r3Sen(θ3)+jr2α2Cos(θ2)

−r2α2Sen(θ2)− w22r2Cos(θ2)− jw2

2r2Sen(θ2)

Igualando ambas ecuaciones

jr4α4Cos(θ4)−r4α4Sen(θ4)−w24r4Cos(θ4)−jw2

4r4Sen(θ4) = jr3α3Cos(θ3)−r3α3Sen(θ3)−w23r3Cos(θ3)

−jw23r3Sen(θ3) + jr2α2Cos(θ2)− r2α2Sen(θ2)− w2

2r2Cos(θ2)− jw22r2Sen(θ2)

Parte Real −r4α4Sen(θ4)−w24r4Cos(θ4) = −r3α3Sen(θ3)−w2

3r3Cos(θ3)−r2α2Sen(θ2)− w2

2r2Cos(θ2)Parte Imaginaria r4α4Cos(θ4)−w2

4r4Sen(θ4) = r3α3Cos(θ3)−w23r3Sen(θ3)+

r2α2Cos(θ2)− w22r2Sen(θ2)

α4 =r3α3Cos(θ3)− w2

3r3Sen(θ3) + r2α2Cos(θ2)− w22r2Sen(θ2) + w2

4r4Sen(θ4)

r4Cos(θ4)

α3 =−w2

3r3r4Cos(θ3)Cos(θ4)− w22r2r4Cos(θ2)Cos(θ4)− w2

3r3r4Sen(θ4)Sen(θ3)

r3r4Sen(θ3)Cos(θ4)− r3r4Sen(θ4)Cos(θ3)

+−w2

2r2r4Sen(θ2)Sen(θ4) + w24r

24 − α2r2r4Sen(θ2)Sen(θ4) + α2r2r4Cos(θ2)Cos(θ4)

r3r4Sen(θ3)Cos(θ4)− r3r4Sen(θ4)Cos(θ3)

Escribiendo estas ecuaciones en mathcad se obtienen los siguentes datos y gra-ficas:

8

9