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Mecˆ anica Quˆ antica I - 2019.2 - Prova 1 1 Mecˆ anica Quˆ antica I - Prova 1 Prof. Marco Polo 11 de setembro de 2019 In´ ıcio: 14:00 - dura¸c˜ ao: 3:00 horas S´ o ser˜ ao consideradas as respostas que forem devidamente justificadas. N˜ ao ´ e permitido o uso de calculadoras. Quest˜ ao 01: Fun¸ c˜ ao de onda Considere que a fun¸c˜ ao de onda de uma dada part´ ıcula de massa m ´ e dada por Ψ(x, t)= Ae -mωx 2 /(2})-iωt/2 , onde A e ω s˜ ao constantes reais positivas. (a) (1,0) Encontre A. (b) (1,0) Qual ´ e a energia potencial V (x) a qual a part´ ıcula est´ a sujeita? Que tipo de sistema f´ ısico apresenta esse potencial? (c) (1,0) Calcule o valor esperado da posi¸c˜ao da part´ ıcula. (d) (1,0) Calcule o valor esperado do momento da part´ ıcula. (e) (1,0) Calcule, ap´os uma medida, a probabilidade de encontrar a part´ ıcula entre x =0e x = p }/(mω). Quest˜ ao 02: Po¸ co de potencial infinito Para o po¸co de potencial infinito com V = 0 entre x =0e x = a, considere que a part´ ıcula de massa m est´ a, em t =0, em uma superposi¸c˜ ao dos dois primeiros estados excitados de energia definida: Ψ(x, 0) = 1 √ 5 [2ψ 2 (x)+ ψ 3 (x)] , onde ψ n (x)´ e um estado quˆ antico estacion´ ario associado ao n-´ esimo n´ ıvel. (a) (1,5) Encontre Ψ(x, t). (b) (1,5) Calcule o valor esperado da energia da part´ ıcula. Qual ´ e a probabilidade de, ao medir a energia da part´ ıcula, o resultado encontrado seja o valor esperado da energia? Quest˜ ao 03: (2,0) Po¸ co de potencial infinito Para o po¸ co de potencial infinito com V = 0 entre x =0e x = a, considere que, no instante t = 0, a fun¸ c˜ao de onda da part´ ıcula ´ e dada por Ψ(x, 0) = r 8 3a sin 2 πx a . Mostre que a fun¸c˜ ao de onda evolui no tempo segundo a equa¸c˜ao Ψ(x, t)= - 16 π r 2 3a ∞ X n=1,3,5,... 1 n(n 2 - 4) sin nπx a e -i(n 2 π 2 }/2ma 2 )t Departamento de F´ ısica de Ji-Paran´ a Universidade Federal de Rondˆ onia

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Page 1: Mec^anica Qu^antica I - Prova 1 Prof. Marco Polo 11 de ... · prom I GABAR 1 ycx.tl Ac i e P f Arc m DX p fu A FÊ Hida 1 Ar ç td 1 P A If e d y µ µ go.e.y.pdydx.ph µ P f Ei e

Mecanica Quantica I - 2019.2 - Prova 1 1

Mecanica Quantica I - Prova 1Prof. Marco Polo

11 de setembro de 2019Inıcio: 14:00 - duracao: 3:00 horas

So serao consideradas as respostas que forem devidamente justificadas.Nao e permitido o uso de calculadoras.

Questao 01: Funcao de onda

Considere que a funcao de onda de uma dada partıcula de massa m e dada por

Ψ(x, t) = Ae−mωx2/(2})−iωt/2,

onde A e ω sao constantes reais positivas.

(a) (1,0) Encontre A.

(b) (1,0) Qual e a energia potencial V (x) a qual a partıcula esta sujeita? Que tipo de sistemafısico apresenta esse potencial?

(c) (1,0) Calcule o valor esperado da posicao da partıcula.

(d) (1,0) Calcule o valor esperado do momento da partıcula.

(e) (1,0) Calcule, apos uma medida, a probabilidade de encontrar a partıcula entre x = 0 ex =

√}/(mω).

Questao 02: Poco de potencial infinito

Para o poco de potencial infinito com V = 0 entre x = 0 e x = a, considere que a partıcula demassa m esta, em t = 0, em uma superposicao dos dois primeiros estados excitados de energiadefinida:

Ψ(x, 0) =1√5

[2ψ2(x) + ψ3(x)] ,

onde ψn(x) e um estado quantico estacionario associado ao n-esimo nıvel.

(a) (1,5) Encontre Ψ(x, t).

(b) (1,5) Calcule o valor esperado da energia da partıcula. Qual e a probabilidade de, aomedir a energia da partıcula, o resultado encontrado seja o valor esperado da energia?

Questao 03: (2,0) Poco de potencial infinito

Para o poco de potencial infinito com V = 0 entre x = 0 e x = a, considere que, no instante

t = 0, a funcao de onda da partıcula e dada por Ψ(x, 0) =

√8

3asin2

(πxa

). Mostre que a

funcao de onda evolui no tempo segundo a equacao

Ψ(x, t) = −16

π

√2

3a

∞∑n=1,3,5,...

1

n(n2 − 4)sin(nπx

a

)e−i(n

2π2}/2ma2)t

Departamento de Fısica de Ji-Parana Universidade Federal de Rondonia

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Mecanica Quantica I - 2019.2 - Prova 1 2

Algumas equacoes:

Poco quadrado infinito com V = 0 entre x = 0 e x = a:

• Solucao geral: Ψ(x, t) =∞∑n=1

cnψn(x)e−iEnt/}

• Estados estacionarios: ψn(x) =

√2

asin(nπx

a

)• Energia dos estados estacionarios: En =

n2π2}2

2ma2

Algumas integrais:

•∫ ∞−∞

e−αx2

dx =

√π

α(α > 0)

•∫ z

0

e−x2

dx =

√π

2erf(z)

•∫ a

0

sin2(πxa

)sin(nπx

a

)dx =

2a

π

cos(nπ)− 1

n(n2 − 4)

•∫x sin(x)dx = sin(x)− x cos(x)

•∫x cos(x)dx = cos(x) + x sin(x)

• erf(1) ≈ 0, 843

• erf(2) ≈ 0, 995

Departamento de Fısica de Ji-Parana Universidade Federal de Rondonia

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