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Mecanica I
Tema 2
Cinematica del Solido
Manuel Ruiz Delgado
27 de septiembre de 2010
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Indice
Manuel Ruiz - Mecanica I 2 / 61
Orientacion o actitud
Campo de velocidades
Movimiento plano
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Manuel Ruiz - Mecanica I 3 / 61
Orientacion o actitudModelosGrados de libertadGrados de Libertad de un SolidoSistemas de referencia y vectricesVectrices y matrices de componentesConfiguracion del solido rıgidoMatriz de rotacion del solido rıgidoMatriz de giro y cambio de baseGiro respecto a un eje fijoPropiedades de las matrices de giroLas matrices de rotacion son ortogonalesTeorema de EulerMatriz de giro con angulos de EulerAngulos de Euler clasicos / Tait-BryanSistemas de representacion de la actitud
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Modelos
Manuel Ruiz - Mecanica I 4 / 61
Partıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en elmovimiento. Se modela como un punto geometrico.
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Modelos
Manuel Ruiz - Mecanica I 4 / 61
Partıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en elmovimiento. Se modela como un punto geometrico.
Solido rıgido: Conjunto de partıculas finito o infinito cuyas distancias relativas semantienen constantes (y conocidas):
|rij | = Const. ∀ i, j
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Modelos
Manuel Ruiz - Mecanica I 4 / 61
Partıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en elmovimiento. Se modela como un punto geometrico.
Solido rıgido: Conjunto de partıculas finito o infinito cuyas distancias relativas semantienen constantes (y conocidas):
|rij | = Const. ∀ i, j
En cinematica, los puntos no tienen masa; en dinamica sı. En dinamica se usatambien un modelo continuo, ademas del de puntos.
Un sistema de referencia cumple las propiedades anteriores, y en cinematicase considera equivalente a un solido.
Para estudiar el movimiento de un solido, se toma un sistema de referenciarıgidamente unido a el: en este sistema, las coordenadas de los puntos delsolido son siempre constantes.
Los solidos reales sufren deformaciones, pero suelen ser muy pequenas, y enMecanica Clasica se desprecian.
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Grados de libertad
Manuel Ruiz - Mecanica I 5 / 61
Grados de libertad: Numero de parametros independientes necesarios paradescribir la configuracion de un sistema.
b b
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Grados de libertad
Manuel Ruiz - Mecanica I 5 / 61
Grados de libertad: Numero de parametros independientes necesarios paradescribir la configuracion de un sistema.
Para sistemas libres (sin ligaduras):
Particula Solido rıgido Solido deformable
x1
y1
z1
b
xy
z
M
r
O1
ij
k
x1
y1
z1
O
b
xy
zrO1
ij
k
u(x, y, x)
Sin deformar = Solido rıgido
Deformado
GDL: 3 GDL: 6 GDL: ∞(Mov. Plano: 3)
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Grados de Libertad de un Solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 6 / 61
x1y1
z1
b
b
b
b
Un solido puede tener ∞ puntos, pero solo hacen falta 6 parametros paradeterminar su configuracion.
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Grados de Libertad de un Solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 6 / 61
x1y1
z1
bA
b
b
b
Pto Coord GDL Ligaduras
A xA, yA, zA 3 -
Un solido puede tener ∞ puntos, pero solo hacen falta 6 parametros paradeterminar su configuracion.
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Grados de Libertad de un Solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 6 / 61
x1y1
z1
bA
bB
b
b
Pto Coord GDL Ligaduras
A xA, yA, zA 3 -
B xB, yB, zB 2 |rA − rB| = dAB
Un solido puede tener ∞ puntos, pero solo hacen falta 6 parametros paradeterminar su configuracion.
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Grados de Libertad de un Solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 6 / 61
x1y1
z1
bA
bB
bC
b
Pto Coord GDL Ligaduras
A xA, yA, zA 3 -
B xB, yB, zB 2 |rA − rB| = dAB
C xC , yC , zC 1|rA − rC | = dAC|rB − rC | = dBC
Un solido puede tener ∞ puntos, pero solo hacen falta 6 parametros paradeterminar su configuracion.
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Grados de Libertad de un Solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 6 / 61
x1y1
z1
bA
bB
bC
bF
Pto Coord GDL Ligaduras
A xA, yA, zA 3 -
B xB, yB, zB 2 |rA − rB| = dAB
C xC , yC , zC 1|rA − rC | = dAC|rB − rC | = dBC
......
......
F xF , yF , zF 0|rA − rF | = dAF|rB − rF | = dBF|rC − rF | = dCF
Un solido puede tener ∞ puntos, pero solo hacen falta 6 parametros paradeterminar su configuracion.
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Sistemas de referencia y vectrices
Manuel Ruiz - Mecanica I 7 / 61
x
y
z
b
xy
z
M
r
O
Vector posicion de la partıculaM en el sistema de refe-rencia S1 , Oxyz
rM = OM = x i+ y j+ z k
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Sistemas de referencia y vectrices
Manuel Ruiz - Mecanica I 7 / 61
x
y
z
b
xy
z
M
r
O
Vector posicion de la partıculaM en el sistema de refe-rencia S1 , Oxyz
rM = OM = x i+ y j+ z k
Coordenadas cartesianas de la partıcula M en S1
x = rM · i , y = rM · j , z = rM · k
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Sistemas de referencia y vectrices
Manuel Ruiz - Mecanica I 7 / 61
x
y
z
b
xy
z
M
r
O
Vector posicion de la partıculaM en el sistema de refe-rencia S1 , Oxyz
rM = OM = x i+ y j+ z k
Coordenadas cartesianas de la partıcula M en S1
x = rM · i , y = rM · j , z = rM · k
Vectriz R1 del sistema de referencia S1: matriz fila de los vectores unitarios deS1 (¡Matriz cuyas componentes son vectores!)
R1 = ⌊i, j,k⌋
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Sistemas de referencia y vectrices
Manuel Ruiz - Mecanica I 7 / 61
x
y
z
b
xy
z
M
r
O
Vector posicion de la partıculaM en el sistema de refe-rencia S1 , Oxyz
rM = OM = x i+ y j+ z k
Coordenadas cartesianas de la partıcula M en S1
x = rM · i , y = rM · j , z = rM · k
Vectriz R1 del sistema de referencia S1: matriz fila de los vectores unitarios deS1 (¡Matriz cuyas componentes son vectores!)
R1 = ⌊i, j,k⌋
Matriz de componentes XM1
del vector rM en S1: Matriz columna de lascoordenadas cartesianas de M en S1
XM1 = ⌊x, y, z⌋⊤
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Vectrices y matrices de componentes
Manuel Ruiz - Mecanica I 8 / 61
x1
y1
z1
b
A
O
El vectorA es una entidad geometrica del espaciovectorial R3
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Vectrices y matrices de componentes
Manuel Ruiz - Mecanica I 8 / 61
x1
y1
z1
b
A
O
x0
y0
z0
El vectorA es una entidad geometrica del espaciovectorial R3
Se maneja mediante su matriz de componentesen un sistema de referencia determinado
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Vectrices y matrices de componentes
Manuel Ruiz - Mecanica I 8 / 61
x1
y1
z1
b
A
O
x0
y0
z0
El vectorA es una entidad geometrica del espaciovectorial R3
Se maneja mediante su matriz de componentesen un sistema de referencia determinado
Para evitar ambiguedades, se especifica el sistemamediante su vectriz
A = x1 i1 + y1 j1 + z1 k1 = ⌊i1, j1,k1⌋ ·
x1y1z1
= R1 ·X
A1 =
= x0 i0 + y0 j0 + z0 k0 = ⌊i0, j0,k0⌋ ·
x0y0z0
= R0 ·X
A0
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Configuracion del solido rıgido
Manuel Ruiz - Mecanica I 9 / 61
Para especificar la configuracion de un solido:
• Se escoge un punto O del solido (no necesariamente el CDM)
• Se le fija un sistema de referencia S2 , Ox2y2z2
b
b
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Configuracion del solido rıgido
Manuel Ruiz - Mecanica I 9 / 61
Para especificar la configuracion de un solido:
• Se escoge un punto O del solido (no necesariamente el CDM)
• Se le fija un sistema de referencia S2 , Ox2y2z2
Ası, el vector posicion de un punto cualquiera M del solido es:
O1M = O1O+OM =
= x i1 + y j1 + z k1 + ξ i2 + η j2 + ζ k2 =
= R1 ·XO1 +R2 · X
M2
x1y1
z1
x2
y2
z2
O
bM
b
xy
zO1
i1j1
k1
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Configuracion del solido rıgido
Manuel Ruiz - Mecanica I 9 / 61
Para especificar la configuracion de un solido:
• Se escoge un punto O del solido (no necesariamente el CDM)
• Se le fija un sistema de referencia S2 , Ox2y2z2
Ası, el vector posicion de un punto cualquiera M del solido es:
O1M = O1O+OM =
= x i1 + y j1 + z k1 + ξ i2 + η j2 + ζ k2 =
= R1 ·XO1 +R2 · X
M2
Notese queXM
2 = ⌊ξ, η, ζ⌋⊤
es constante porque M es parte del solido rıgido.XO
1y R2 cambian al moverse el solido.
x1y1
z1
x2
y2
z2
O
bM
b
xy
zO1
i1j1
k1
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Matriz de rotacion del solido rıgido
Manuel Ruiz - Mecanica I 10 / 61
Para calcular R1 ·XO1+R2 ·X
M2, hay que conocer R2(R1) o R1(R2) .
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Matriz de rotacion del solido rıgido
Manuel Ruiz - Mecanica I 10 / 61
Para calcular R1 ·XO1+R2 ·X
M2, hay que conocer R2(R1) o R1(R2) .
x1y1
z1
O
x2
y2
z2Los cosenos directores de los versores de R2 son
i2 = (i2 · i1) i1 + (i2 · j1) j1 + (i2 · k1)k1
j2 = (j2 · i1) i1 + (j2 · j1) j1 + (j2 · k1)k1
k2 = (k2 · i1) i1 + (k2 · j1) j1 + (k2 · k1)k1
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Matriz de rotacion del solido rıgido
Manuel Ruiz - Mecanica I 10 / 61
Para calcular R1 ·XO1+R2 ·X
M2, hay que conocer R2(R1) o R1(R2) .
x1y1
z1
O
x2
y2
z2Los cosenos directores de los versores de R2 son
i2 = (i2 · i1) i1 + (i2 · j1) j1 + (i2 · k1)k1
j2 = (j2 · i1) i1 + (j2 · j1) j1 + (j2 · k1)k1
k2 = (k2 · i1) i1 + (k2 · j1) j1 + (k2 · k1)k1
En forma matricial,
⌊i2, j2,k2⌋ = ⌊i1, j1,k1⌋ ·
(i2 · i1) (j2 · i1) (k2 · i1)(i2 · j1) (j2 · j1) (k2 · j1)(i2 · k1) (j2 · k1) (k2 · k1)
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Matriz de rotacion del solido rıgido
Manuel Ruiz - Mecanica I 10 / 61
Para calcular R1 ·XO1+R2 ·X
M2, hay que conocer R2(R1) o R1(R2) .
x1y1
z1
O
x2
y2
z2Los cosenos directores de los versores de R2 son
i2 = (i2 · i1) i1 + (i2 · j1) j1 + (i2 · k1)k1
j2 = (j2 · i1) i1 + (j2 · j1) j1 + (j2 · k1)k1
k2 = (k2 · i1) i1 + (k2 · j1) j1 + (k2 · k1)k1
En forma matricial,
⌊i2, j2,k2⌋ = ⌊i1, j1,k1⌋ ·
(i2 · i1) (j2 · i1) (k2 · i1)(i2 · j1) (j2 · j1) (k2 · j1)(i2 · k1) (j2 · k1) (k2 · k1)
R2 = R1 ·QQQ12
Matriz de rotacion del solido S2 respecto a S1 :
S1QQQ12−−→ S2
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Grados de libertad del solido rıgido libre
Manuel Ruiz - Mecanica I 11 / 61
Posicion de un punto M de S2: O1M = R1 ·(
XO1
+ QQQ12 ·XM2
)
XM2
es constante: identifica de que punto del solido se trata.
La configuracion requiere 12 parametros: 3 (XO1) + 9 (QQQ12)
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Grados de libertad del solido rıgido libre
Manuel Ruiz - Mecanica I 11 / 61
Posicion de un punto M de S2: O1M = R1 ·(
XO1
+ QQQ12 ·XM2
)
XM2
es constante: identifica de que punto del solido se trata.
La configuracion requiere 12 parametros: 3 (XO1) + 9 (QQQ12)
Solo 3 componentes de QQQ12 son independientes. Sus columnas son lasmatrices de componentes de los versores de S2, que cumplen 6 condiciones:
• Ortogonales: i2 · j2 = 0 i2 · k2 = 0 j2 · k2 = 0
• Unitarios: i2 · i2 = 1 j2 · j2 = 1 k2 · k2 = 1
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Grados de libertad del solido rıgido libre
Manuel Ruiz - Mecanica I 11 / 61
Posicion de un punto M de S2: O1M = R1 ·(
XO1
+ QQQ12 ·XM2
)
XM2
es constante: identifica de que punto del solido se trata.
La configuracion requiere 12 parametros: 3 (XO1) + 9 (QQQ12)
Solo 3 componentes de QQQ12 son independientes. Sus columnas son lasmatrices de componentes de los versores de S2, que cumplen 6 condiciones:
• Ortogonales: i2 · j2 = 0 i2 · k2 = 0 j2 · k2 = 0
• Unitarios: i2 · i2 = 1 j2 · j2 = 1 k2 · k2 = 1
Un solido rıgido tiene 6 Grados de Libertad:
• 3 coordenadas de un punto XO1
Traslacion
• 3 de la matriz de rotacion QQQ12 Rotacion
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Matriz de giro y cambio de base
Manuel Ruiz - Mecanica I 12 / 61
QQQ10 determina la orientacion de un sistema de referencia S0(≡ Solido) respecto a otro S1: Puede usarse para cambiarde ejes un vector
A = ⌊i1, j1,k1⌋ ·
x1y1z1
= ⌊i0, j0,k0⌋ ·
x0y0z0
=
= R1 ·XA1 = R0 ·X
A0
x1
y1
z1
b
A
O
x0
y0
z0
![Page 32: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/32.jpg)
Matriz de giro y cambio de base
Manuel Ruiz - Mecanica I 12 / 61
QQQ10 determina la orientacion de un sistema de referencia S0(≡ Solido) respecto a otro S1: Puede usarse para cambiarde ejes un vector
A = ⌊i1, j1,k1⌋ ·
x1y1z1
= ⌊i0, j0,k0⌋ ·
x0y0z0
=
= R1 ·XA1 = R0 ·X
A0
x1
y1
z1
b
A
O
x0
y0
z0
Como R0 = R1 ·QQQ10 R1 = R0 ·QQQ⊤10 ,
![Page 33: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/33.jpg)
Matriz de giro y cambio de base
Manuel Ruiz - Mecanica I 12 / 61
QQQ10 determina la orientacion de un sistema de referencia S0(≡ Solido) respecto a otro S1: Puede usarse para cambiarde ejes un vector
A = ⌊i1, j1,k1⌋ ·
x1y1z1
= ⌊i0, j0,k0⌋ ·
x0y0z0
=
= R1 ·XA1 = R0 ·X
A0
x1
y1
z1
b
A
O
x0
y0
z0
Como R0 = R1 ·QQQ10 R1 = R0 ·QQQ⊤10 ,
R1 ·︷︸︸︷
XA1 = R0 ·X
A0 = R1 ·
︷ ︸︸ ︷
QQQ10 ·XA0 ⇒ XA
1 = QQQ10 ·XA0
![Page 34: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/34.jpg)
Matriz de giro y cambio de base
Manuel Ruiz - Mecanica I 12 / 61
QQQ10 determina la orientacion de un sistema de referencia S0(≡ Solido) respecto a otro S1: Puede usarse para cambiarde ejes un vector
A = ⌊i1, j1,k1⌋ ·
x1y1z1
= ⌊i0, j0,k0⌋ ·
x0y0z0
=
= R1 ·XA1 = R0 ·X
A0
x1
y1
z1
b
A
O
x0
y0
z0
Como R0 = R1 ·QQQ10 R1 = R0 ·QQQ⊤10 ,
R1 ·︷︸︸︷
XA1 = R0 ·X
A0 = R1 ·
︷ ︸︸ ︷
QQQ10 ·XA0 ⇒ XA
1 = QQQ10 ·XA0
R1 ·XA1 = R0 ·QQQ
⊤10 ·X
A1
︸ ︷︷ ︸= R0 · X
A0
︸︷︷︸⇒ XA
0 = QQQ⊤10 ·X
A1
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Giro respecto a un eje fijo
Manuel Ruiz - Mecanica I 13 / 61
x1 y1
z1 ≡ z2
x2
y2
φ
Giro φ alrededor del eje Oz: S1 → S2
i2 = cosφ i1 + sinφ j1 + 0 · k1
j2 = − sinφ i1 + cosφ j1 + 0 · k1
k2 = 0 · i1 + 0 · j1 + 1 · k1
![Page 36: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/36.jpg)
Giro respecto a un eje fijo
Manuel Ruiz - Mecanica I 13 / 61
x1 y1
z1 ≡ z2
x2
y2
φ
Giro φ alrededor del eje Oz: S1 → S2
i2 = cosφ i1 + sinφ j1 + 0 · k1
j2 = − sinφ i1 + cosφ j1 + 0 · k1
k2 = 0 · i1 + 0 · j1 + 1 · k1
R2 = ⌊i2, j2,k2⌋ = ⌊i1, j1,k1⌋ ·
cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 00 0 1
= R1 ·QQQ12
![Page 37: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/37.jpg)
Giro respecto a un eje fijo
Manuel Ruiz - Mecanica I 13 / 61
x1 y1
z1 ≡ z2
x2
y2
φ
Giro φ alrededor del eje Oz: S1 → S2
i2 = cosφ i1 + sinφ j1 + 0 · k1
j2 = − sinφ i1 + cosφ j1 + 0 · k1
k2 = 0 · i1 + 0 · j1 + 1 · k1
R2 = ⌊i2, j2,k2⌋ = ⌊i1, j1,k1⌋ ·
cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 00 0 1
= R1 ·QQQ12
x1
y1
x2
y2
−φ
Giro inverso:
⌊i1, j1,k1⌋ = ⌊i2, j2,k2⌋ ·
cosφ sinφ 0− sinφ cosφ 0
0 0 1
=
= R2 ·QQQ21 = R2 ·QQQ⊤12
![Page 38: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/38.jpg)
Propiedades de las matrices de giro
Manuel Ruiz - Mecanica I 14 / 61
El elemento nulo del grupo de los giros es la matriz unidad:
QQQ11 = UUU =
1 0 00 1 00 0 1
Obvio: R1 = R1 ·UUU
![Page 39: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/39.jpg)
Propiedades de las matrices de giro
Manuel Ruiz - Mecanica I 14 / 61
El elemento nulo del grupo de los giros es la matriz unidad:
QQQ11 = UUU =
1 0 00 1 00 0 1
Obvio: R1 = R1 ·UUU
La composicion de giros se hace con el producto de matrices:
S1 → S2 : R2 = R1 ·QQQ12
S2 → S3 : R3 = R2 ·QQQ23
S1 → S3 : R3 = R1 · QQQ12 ·QQQ23 = R1 · QQQ13
![Page 40: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/40.jpg)
Propiedades de las matrices de giro
Manuel Ruiz - Mecanica I 14 / 61
El elemento nulo del grupo de los giros es la matriz unidad:
QQQ11 = UUU =
1 0 00 1 00 0 1
Obvio: R1 = R1 ·UUU
La composicion de giros se hace con el producto de matrices:
S1 → S2 : R2 = R1 ·QQQ12
S2 → S3 : R3 = R2 ·QQQ23
S1 → S3 : R3 = R1 · QQQ12 ·QQQ23 = R1 · QQQ13
No es conmutativa, pero sı asociativa, como el producto de matrices.
QQQ14 = QQQ12 ·QQQ23 ·QQQ34 =(QQQ12 ·QQQ23︸ ︷︷ ︸
QQQ13
)·QQQ34 = QQQ12 ·
(QQQ23 ·QQQ34︸ ︷︷ ︸
QQQ24
)
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Las matrices de rotacion son ortogonales
Manuel Ruiz - Mecanica I 15 / 61
Giro directo S1QQQ12−−→ S2:
⌊i2, j2,k2⌋ = ⌊i1, j1,k1⌋ ·
(i2 · i1) (j2 · i1) (k2 · i1)(i2 · j1) (j2 · j1) (k2 · j1)(i2 · k1) (j2 · k1) (k2 · k1)
![Page 42: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/42.jpg)
Las matrices de rotacion son ortogonales
Manuel Ruiz - Mecanica I 15 / 61
Giro directo S1QQQ12−−→ S2:
⌊i2, j2,k2⌋ = ⌊i1, j1,k1⌋ ·
(i2 · i1) (j2 · i1) (k2 · i1)(i2 · j1) (j2 · j1) (k2 · j1)(i2 · k1) (j2 · k1) (k2 · k1)
• Las columnas son las componentes de los versores girados en ejes fijos
![Page 43: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/43.jpg)
Las matrices de rotacion son ortogonales
Manuel Ruiz - Mecanica I 15 / 61
Giro directo S1QQQ12−−→ S2:
⌊i2, j2,k2⌋ = ⌊i1, j1,k1⌋ ·
(i2 · i1) (j2 · i1) (k2 · i1)(i2 · j1) (j2 · j1) (k2 · j1)(i2 · k1) (j2 · k1) (k2 · k1)
• Las columnas son las componentes de los versores girados en ejes fijos
• Las filas, las de los versores fijos en ejes girados
![Page 44: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/44.jpg)
Las matrices de rotacion son ortogonales
Manuel Ruiz - Mecanica I 15 / 61
Giro directo S1QQQ12−−→ S2:
⌊i2, j2,k2⌋ = ⌊i1, j1,k1⌋ ·
(i2 · i1) (j2 · i1) (k2 · i1)(i2 · j1) (j2 · j1) (k2 · j1)(i2 · k1) (j2 · k1) (k2 · k1)
• Las columnas son las componentes de los versores girados en ejes fijos
• Las filas, las de los versores fijos en ejes girados
Giro inverso S2QQQ21−−→ S1:
⌊i1, j1,k1⌋ = ⌊i2, j2,k2⌋ ·
(i2 · i1) (i2 · j1) (i2 · k1)(j2 · i1) (j2 · j1) (j2 · k1)(k2 · i1) (k2 · j1) (k2 · k1)
![Page 45: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/45.jpg)
Las matrices de rotacion son ortogonales
Manuel Ruiz - Mecanica I 15 / 61
Giro directo S1QQQ12−−→ S2:
⌊i2, j2,k2⌋ = ⌊i1, j1,k1⌋ ·
(i2 · i1) (j2 · i1) (k2 · i1)(i2 · j1) (j2 · j1) (k2 · j1)(i2 · k1) (j2 · k1) (k2 · k1)
• Las columnas son las componentes de los versores girados en ejes fijos
• Las filas, las de los versores fijos en ejes girados
Giro inverso S2QQQ21−−→ S1: Las filas/columnas estan intercambiadas.
⌊i1, j1,k1⌋ = ⌊i2, j2,k2⌋ ·
(i2 · i1) (i2 · j1) (i2 · k1)(j2 · i1) (j2 · j1) (j2 · k1)(k2 · i1) (k2 · j1) (k2 · k1)
![Page 46: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/46.jpg)
Las matrices de rotacion son ortogonales
Manuel Ruiz - Mecanica I 15 / 61
Giro directo S1QQQ12−−→ S2:
⌊i2, j2,k2⌋ = ⌊i1, j1,k1⌋ ·
(i2 · i1) (j2 · i1) (k2 · i1)(i2 · j1) (j2 · j1) (k2 · j1)(i2 · k1) (j2 · k1) (k2 · k1)
• Las columnas son las componentes de los versores girados en ejes fijos
• Las filas, las de los versores fijos en ejes girados
Giro inverso S2QQQ21−−→ S1: Las filas/columnas estan intercambiadas.
⌊i1, j1,k1⌋ = ⌊i2, j2,k2⌋ ·
(i2 · i1) (i2 · j1) (i2 · k1)(j2 · i1) (j2 · j1) (j2 · k1)(k2 · i1) (k2 · j1) (k2 · k1)
La matriz del giro inverso es la traspuesta de la del directo:
QQQ12 = QQQ⊤21 QQQ21 = QQQ⊤
12
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Las matrices de rotacion son ortogonales
Manuel Ruiz - Mecanica I 16 / 61
Se considera el giro identidad S1QQQ11−−→ S1 como composicion de un giro
S1QQQ12−−→ S2 y su inverso S2
QQQ21−−→ S1
QQQ11 = QQQ12 ·QQQ21 = QQQ12 ·QQQ⊤12 = UUU ⇒ QQQ−1
12= QQQ⊤
12
La matriz inversa de una matriz de giro es su traspuesta .
![Page 48: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/48.jpg)
Las matrices de rotacion son ortogonales
Manuel Ruiz - Mecanica I 16 / 61
Se considera el giro identidad S1QQQ11−−→ S1 como composicion de un giro
S1QQQ12−−→ S2 y su inverso S2
QQQ21−−→ S1
QQQ11 = QQQ12 ·QQQ21 = QQQ12 ·QQQ⊤12 = UUU ⇒ QQQ−1
12= QQQ⊤
12
La matriz inversa de una matriz de giro es su traspuesta .
Por esta propiedad QQQ12 es ortogonal. Pertenece a SO(3) (Special
Orthogonal Group) en R3, no conmutativo, con elemento neutro UUU y
elemento inverso [En la notacion de algebra, O + (3,R)].
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Las matrices de rotacion son ortogonales
Manuel Ruiz - Mecanica I 16 / 61
Se considera el giro identidad S1QQQ11−−→ S1 como composicion de un giro
S1QQQ12−−→ S2 y su inverso S2
QQQ21−−→ S1
QQQ11 = QQQ12 ·QQQ21 = QQQ12 ·QQQ⊤12 = UUU ⇒ QQQ−1
12= QQQ⊤
12
La matriz inversa de una matriz de giro es su traspuesta .
Por esta propiedad QQQ12 es ortogonal. Pertenece a SO(3) (Special
Orthogonal Group) en R3, no conmutativo, con elemento neutro UUU y
elemento inverso [En la notacion de algebra, O + (3,R)].
Las matrices con |QQQ| = − 1 ∈ O − (3,R). No son matrices de rotacion,
sino de rotacion + simetrıa .Ej: ademas de girar un coche, lo transforman en coche ingles.
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Propiedades de la matriz de rotacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 17 / 61
Las matrices de rotacion cumplen |QQQ| = 1
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Propiedades de la matriz de rotacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 17 / 61
Las matrices de rotacion cumplen |QQQ| = 1
• Por ser ortogonales, |QQQ ·QQQ⊤| = |UUU| = 1 → |QQQ| = ±1 .
![Page 52: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/52.jpg)
Propiedades de la matriz de rotacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 17 / 61
Las matrices de rotacion cumplen |QQQ| = 1
• Por ser ortogonales, |QQQ ·QQQ⊤| = |UUU| = 1 → |QQQ| = ±1 .
• Las de rotacion ,
|QQQ12| = | [i2 | j2 | k2] | =
∣∣∣∣∣∣
i1
j1
k1
∣∣∣∣∣∣
=
= i2 · (j2 ∧ k2) = i1 · (j1 ∧ k1) = + 1
por ser el volumen de un cubo de lado 1.
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Propiedades de la matriz de rotacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 17 / 61
Las matrices de rotacion cumplen |QQQ| = 1
• Por ser ortogonales, |QQQ ·QQQ⊤| = |UUU| = 1 → |QQQ| = ±1 .
• Las de rotacion ,
|QQQ12| = | [i2 | j2 | k2] | =
∣∣∣∣∣∣
i1
j1
k1
∣∣∣∣∣∣
=
= i2 · (j2 ∧ k2) = i1 · (j1 ∧ k1) = + 1
por ser el volumen de un cubo de lado 1.
|QQQ−UUU| = |QQQ−QQQ ·QQQ⊤| = |QQQ| · |UUU−QQQ⊤| = |UUU−QQQ⊤| =
= |UUU−QQQ| = −|QQQ−UUU| ⇒ |QQQ−UUU| = 0
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Propiedades de la matriz de rotacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 18 / 61
Los autovalores cumplen
• λ1λ2λ3 = |QQQ12| = 1
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Propiedades de la matriz de rotacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 18 / 61
Los autovalores cumplen
• λ1λ2λ3 = |QQQ12| = 1
• QQQ12ui = λiui ; u⊤i QQQ
⊤12QQQ12
︸ ︷︷ ︸
UUU
ui = λiλi u⊤i · ui ⇒ λiλi = 1
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Propiedades de la matriz de rotacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 18 / 61
Los autovalores cumplen
• λ1λ2λ3 = |QQQ12| = 1
• QQQ12ui = λiui ; u⊤i QQQ
⊤12QQQ12
︸ ︷︷ ︸
UUU
ui = λiλi u⊤i · ui ⇒ λiλi = 1
Autovalores posibles:
λ1 = λ2 = λ3 = 1
trivial: QQQ12 = UUU
11
1
QQQ12 ≡ UUU
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Propiedades de la matriz de rotacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 18 / 61
Los autovalores cumplen
• λ1λ2λ3 = |QQQ12| = 1
• QQQ12ui = λiui ; u⊤i QQQ
⊤12QQQ12
︸ ︷︷ ︸
UUU
ui = λiλi u⊤i · ui ⇒ λiλi = 1
Autovalores posibles:
λ1 = λ2 = λ3 = 1
trivial: QQQ12 = UUU
11
1
QQQ12 ≡ UUU
λ1 = 1, λ2 = λ3 = −1
giro de 180o alrededor de u1
-1-1
1
u1
φ = 180o
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Propiedades de la matriz de rotacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 18 / 61
Los autovalores cumplen
• λ1λ2λ3 = |QQQ12| = 1
• QQQ12ui = λiui ; u⊤i QQQ
⊤12QQQ12
︸ ︷︷ ︸
UUU
ui = λiλi u⊤i · ui ⇒ λiλi = 1
Autovalores posibles:
λ1 = λ2 = λ3 = 1
trivial: QQQ12 = UUU
11
1
QQQ12 ≡ UUU
λ1 = 1, λ2 = λ3 = −1
giro de 180o alrededor de u1
-1-1
1
u1
φ = 180o
λ1 = 1, λ1,2 = e±iφ
giro φ alrededor de u1
1
u1
φ φ
e±φ i
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Teorema de Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 19 / 61
El movimiento mas general de un solido rıgido con un punto fijo es un giro deangulo φ alrededor de un eje que pasa por el punto fijo.
![Page 60: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/60.jpg)
Teorema de Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 19 / 61
El movimiento mas general de un solido rıgido con un punto fijo es un giro deangulo φ alrededor de un eje que pasa por el punto fijo.
• Eje: direccion del autovector u1 asociado al autovalor λ1 = 1 de QQQ12
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Teorema de Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 19 / 61
El movimiento mas general de un solido rıgido con un punto fijo es un giro deangulo φ alrededor de un eje que pasa por el punto fijo.
• Eje: direccion del autovector u1 asociado al autovalor λ1 = 1 de QQQ12
• Angulo de giro: exponente φ del par de autovalores complejosconjugados λ2,3 = e±φ i de QQQ12
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Teorema de Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 19 / 61
El movimiento mas general de un solido rıgido con un punto fijo es un giro deangulo φ alrededor de un eje que pasa por el punto fijo.
• Eje: direccion del autovector u1 asociado al autovalor λ1 = 1 de QQQ12
• Angulo de giro: exponente φ del par de autovalores complejosconjugados λ2,3 = e±φ i de QQQ12
Parametrizacion del giro QQQ12 : (9)
• Parametros eje-angulo de Euler: φ, a = u1|u1|
(4)
• Vector principal de rotacion: φ = φa (3)
• Vector de Gibbs: g = tan φ2a (3)
• Cuaternios: q =(
cos φ2, sin φ
2a)
(4)
• Angulos de Euler: ψ, θ, ϕ (3)
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Teorema de Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 19 / 61
El movimiento mas general de un solido rıgido con un punto fijo es un giro deangulo φ alrededor de un eje que pasa por el punto fijo.
• Eje: direccion del autovector u1 asociado al autovalor λ1 = 1 de QQQ12
• Angulo de giro: exponente φ del par de autovalores complejosconjugados λ2,3 = e±φ i de QQQ12
Parametrizacion del giro QQQ12 : (9)
• Parametros eje-angulo de Euler: φ, a = u1|u1|
(4)
• Vector principal de rotacion: φ = φa (3)
• Vector de Gibbs: g = tan φ2a (3)
• Cuaternios: q =(
cos φ2, sin φ
2a)
(4)
• Angulos de Euler: ψ, θ, ϕ (3)
Todas las parametrizaciones mınimas (3) tienen alguna singularidad
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Matriz de giro con angulos de Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 20 / 61
La rotacion del solido rıgido tiene 3 grados de libertad
La matriz de giro tiene 3 parametros independientes
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Matriz de giro con angulos de Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 20 / 61
La rotacion del solido rıgido tiene 3 grados de libertad
La matriz de giro tiene 3 parametros independientes
QQQ se puede formar con 3 giros independientes sucesivos:
1ψ−→ 2
θ−→ 3
φ−→ 4 QQQ14 = QQQ12 ·QQQ23 ·QQQ34
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Matriz de giro con angulos de Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 20 / 61
La rotacion del solido rıgido tiene 3 grados de libertad
La matriz de giro tiene 3 parametros independientes
QQQ se puede formar con 3 giros independientes sucesivos:
1ψ−→ 2
θ−→ 3
φ−→ 4 QQQ14 = QQQ12 ·QQQ23 ·QQQ34
2o y 3er giros alrededor de las nuevas posiciones de los ejes
Se pueden repetir ejes, pero no seguidos (serıa el mismo)
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Matriz de giro con angulos de Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 20 / 61
La rotacion del solido rıgido tiene 3 grados de libertad
La matriz de giro tiene 3 parametros independientes
QQQ se puede formar con 3 giros independientes sucesivos:
1ψ−→ 2
θ−→ 3
φ−→ 4 QQQ14 = QQQ12 ·QQQ23 ·QQQ34
2o y 3er giros alrededor de las nuevas posiciones de los ejes
Se pueden repetir ejes, pero no seguidos (serıa el mismo)
12 combinaciones posibles1. Mas comunes:
zxz Angulos de Euler clasicos Maquinaria, Astronomıa
zyz Mecanica cuantica
zyx Tait-Bryan Mecanica del vuelo
xyz VisualNastran (+), Maple (-)
1cfr. Peter C. Hughes, Spacecraft Attitude Dynamics, p. 20.
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Matriz de giro con angulos de Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 21 / 61
R1
ψ−→ R2
θ−→ R3
φ−→ R4
Precesion: Giro ψ alrededor de k1 ≡ k2
Nutacion: Giro θ alrededor de i2 ≡ i3 (Eje de nodos)
Rotacion propia: Giro φ alrededor del eje k3 ≡ k4
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Matriz de giro con angulos de Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 21 / 61
R1
ψ−→ R2
θ−→ R3
φ−→ R4
Precesion: Giro ψ alrededor de k1 ≡ k2
Nutacion: Giro θ alrededor de i2 ≡ i3 (Eje de nodos)
Rotacion propia: Giro φ alrededor del eje k3 ≡ k4
x1
y1
z1 ≡ z2
x2
y2
ψPrecesion
R2 = R1 ·
cosψ − sinψ 0sinψ cosψ 00 0 1
= R1 ·QQQ12
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Matriz de giro con angulos de Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 22 / 61
x2 ≡ x3
y2
z2
θ
Eje de Nodos
y3
z3
Nutacion
R3 = R2 ·
1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
= R2 ·QQQ23
![Page 71: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/71.jpg)
Matriz de giro con angulos de Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 22 / 61
x2 ≡ x3
y2
z2
θ
Eje de Nodos
y3
z3
Nutacion
R3 = R2 ·
1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
= R2 ·QQQ23
x3
y3
z3 ≡ z4
x4
y4
φ
Rotacion propia
R4 = R3 ·
cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 00 0 1
= R3 ·QQQ34
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Matriz de giro con angulos de Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 23 / 61
z1
x4
y4
z4 ≡ z3
φ
θ
E. N.
ψ
Para hallar la matriz del giro global, aplicamos la compo-sicion de giros sucesivos,
R4 =︷︸︸︷
R3 ·QQQ34 =︷ ︸︸ ︷
R2︸︷︷︸
·QQQ23 ·QQQ34 =
= R1 ·QQQ12︸ ︷︷ ︸
·QQQ23 ·QQQ34 = R1 ·QQQ14
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Matriz de giro con angulos de Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 23 / 61
z1
x4
y4
z4 ≡ z3
φ
θ
E. N.
ψ
Para hallar la matriz del giro global, aplicamos la compo-sicion de giros sucesivos,
R4 =︷︸︸︷
R3 ·QQQ34 =︷ ︸︸ ︷
R2︸︷︷︸
·QQQ23 ·QQQ34 =
= R1 ·QQQ12︸ ︷︷ ︸
·QQQ23 ·QQQ34 = R1 ·QQQ14
Calculando el producto de las tres, se obtiene QQQ14 :
cosψ cosφ− sinψ sinφ cos θ − cosψ sinφ− sinψ cosφ cos θ sinψ sin θsinψ cosφ+ cosψ sinφ cos θ − sinψ sinφ+ cosψ cosφ cos θ − cosψ sin θ
sin θ sinφ sin θ cosφ cos θ
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Angulos de Euler clasicos / Tait-Bryan
Manuel Ruiz - Mecanica I 24 / 61
x1
y1
z1 ≡ z2
x2
y2
ψ
Precesion
x2 ≡ x3
y2
z2
θ
y3
z3
Nutacion
x3
y3
z3 ≡ z4
x4
y4
φ
Rotacion propia
Eulerclasico
s
x1 y1
z1 ≡ z2
x2y2
ψ
Yaw
x2
z2
θ
x3
y2 ≡ y3
z3
Pitch
x3 ≡ x4
y3
z3z4
y4
φ
Roll
Nota: los anglosajones suelen intercambiar la ψ y la φ.
Tait-B
ryan
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Sistemas de representacion de la actitud
Manuel Ruiz - Mecanica I 25 / 61
Sistema Pros Contras Aplicaciones
φ, θ, ψ Mınimo Singular en θ = 0 Docencia, M. Orbital
Intuitivo Muchos sin/cos Pre/Postprocesado
Maquinas Composicion difıcil Maquinas, Robots
g Mınimo ∞ para π Analıtico
No sin/cos No intuitivo
Composicion facil
q Regular 1 redundante Sistemas de control
No sin/cos No intuitivo de actitud
Composicion facil (ACS) a bordo
Normalizable (↑)
φ, a Intuitivo 1 redundante Rotaciones
Singular en 0 sobre eje
Algunos sin/cos fijo
Composicion difıcil
QQQ Regular 6 redundantes Analıtico
No sin/cos Cambio de ejes
Normalizable (↓) Multibody
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Manuel Ruiz - Mecanica I 26 / 61
Campo de velocidadesVelocidad de un punto del solidoTensor velocidad angularPropiedades del tensor velocidad angularCampo de velocidades del solidoPropiedades del campo de velocidades del solidoPropiedades del campo de velocidades: AxoidesAxoides: ejemplosDeterminacion de la velocidad angularAceleracion de un punto de un solidoAceleracion angular de un solidoEstructura del campo de aceleracionesResumen de propiedades cinematicas
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Velocidad de un punto del solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 27 / 61
Vector velocidad del punto M del solido S2 respecto alsistema S1: la misma definicion que para un punto, peroahora el vector posicion es:
O1O+OM = R1 ·(XO
1 +QQQ12 ·XM2
)
x1y1
z1
x2
y2
z2
O
b M
b
xy
zO1
i1j1
k1
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Velocidad de un punto del solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 27 / 61
Vector velocidad del punto M del solido S2 respecto alsistema S1: la misma definicion que para un punto, peroahora el vector posicion es:
O1O+OM = R1 ·(XO
1 +QQQ12 ·XM2
)
x1y1
z1
x2
y2
z2
O
b M
b
xy
zO1
i1j1
k1
y su derivada (con R1 constante) es:
vM21 = R1 ·(
XO1 + QQQ12 · X
M2
)
= vM21∣∣trans
+ vM21∣∣rot
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Velocidad de un punto del solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 27 / 61
Vector velocidad del punto M del solido S2 respecto alsistema S1: la misma definicion que para un punto, peroahora el vector posicion es:
O1O+OM = R1 ·(XO
1 +QQQ12 ·XM2
)
x1y1
z1
x2
y2
z2
O
b M
b
xy
zO1
i1j1
k1
y su derivada (con R1 constante) es:
vM21 = R1 ·(
XO1 + QQQ12 · X
M2
)
= vM21∣∣trans
+ vM21∣∣rot
Para entender la relacion entre OM y su derivada debido a la rotacion, hay queproyectarlos en los mismos ejes, fijos o solido:
˙OM = R1 · QQQ12 ·XM2 = R1 · QQQ12 ·
XM2
︷ ︸︸ ︷
QQQ⊤12 ·X
M1 =
R1︷ ︸︸ ︷
R2 ·QQQ⊤12 · QQQ12 ·X
M2
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Tensor velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 28 / 61
En ejes solido, la velocidad de M debida a la rotacion es
vM21∣∣rot
= R2 ·QQQ⊤12QQQ12 ·X
M2 = R2 ·ΩΩΩ21
∣∣2·XM
2
donde ΩΩΩ21 es el tensor velocidad angular de S2 respecto a S1, expresado porsu matriz de componentes en S2.
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Tensor velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 28 / 61
En ejes solido, la velocidad de M debida a la rotacion es
vM21∣∣rot
= R2 ·QQQ⊤12QQQ12 ·X
M2 = R2 ·ΩΩΩ21
∣∣2·XM
2
donde ΩΩΩ21 es el tensor velocidad angular de S2 respecto a S1, expresado porsu matriz de componentes en S2.
En ejes fijos, el tensor se expresa
vM21∣∣rot
= R1 · QQQ12QQQ⊤12 ·X
M1 = R1 ·ΩΩΩ21
∣∣1·XM
1
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Tensor velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 28 / 61
En ejes solido, la velocidad de M debida a la rotacion es
vM21∣∣rot
= R2 ·QQQ⊤12QQQ12 ·X
M2 = R2 ·ΩΩΩ21
∣∣2·XM
2
donde ΩΩΩ21 es el tensor velocidad angular de S2 respecto a S1, expresado porsu matriz de componentes en S2.
En ejes fijos, el tensor se expresa
vM21∣∣rot
= R1 · QQQ12QQQ⊤12 ·X
M1 = R1 ·ΩΩΩ21
∣∣1·XM
1
Los dos estan relacionados por las ecuaciones de cambio de ejes,
ΩΩΩ21
∣∣1= UUU · QQQ12 ·QQQ
⊤12 = QQQ12 ·QQQ
⊤12 · QQQ12 ·QQQ
⊤12 = QQQ12 ·ΩΩΩ21
∣∣2·QQQ⊤
12
que es el 1er criterio de tensorialidad ⇒ ΩΩΩ21 es un tensor.
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Tensor velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 28 / 61
En ejes solido, la velocidad de M debida a la rotacion es
vM21∣∣rot
= R2 ·QQQ⊤12QQQ12 ·X
M2 = R2 ·ΩΩΩ21
∣∣2·XM
2
donde ΩΩΩ21 es el tensor velocidad angular de S2 respecto a S1, expresado porsu matriz de componentes en S2.
En ejes fijos, el tensor se expresa
vM21∣∣rot
= R1 · QQQ12QQQ⊤12 ·X
M1 = R1 ·ΩΩΩ21
∣∣1·XM
1
Los dos estan relacionados por las ecuaciones de cambio de ejes,
ΩΩΩ21
∣∣1= UUU · QQQ12 ·QQQ
⊤12 = QQQ12 ·QQQ
⊤12 · QQQ12 ·QQQ
⊤12 = QQQ12 ·ΩΩΩ21
∣∣2·QQQ⊤
12
que es el 1er criterio de tensorialidad ⇒ ΩΩΩ21 es un tensor.
Aplicacion lineal: vM21
∣∣rot
= ΩΩΩ21 ·OM o OMΩΩΩ21−−→ vM
21
∣∣rot
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Propiedades del tensor velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 29 / 61
El tensor velocidad angular es antisimetrico:
QQQ⊤12QQQ12 = UUU QQQ⊤
12QQQ12 +QQQ⊤12QQQ12 =
(
QQQ⊤12QQQ12
)⊤+QQQ⊤
12QQQ12 = 000
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Propiedades del tensor velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 29 / 61
El tensor velocidad angular es antisimetrico:
QQQ⊤12QQQ12 = UUU QQQ⊤
12QQQ12 +QQQ⊤12QQQ12 =
(
QQQ⊤12QQQ12
)⊤+QQQ⊤
12QQQ12 = 000
Un tensor antisimetrico tiene un Vector axial asociado ω21 (pseudovector):
Ω21 =
0 −ωz ωyωz 0 −ωx−ωy ωx 0
⇔ ω21 =
ωxωyωz
Ri ·Ω21
∣∣i·XM
i ⇔ ω21 ∧OM
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Propiedades del tensor velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 29 / 61
El tensor velocidad angular es antisimetrico:
QQQ⊤12QQQ12 = UUU QQQ⊤
12QQQ12 +QQQ⊤12QQQ12 =
(
QQQ⊤12QQQ12
)⊤+QQQ⊤
12QQQ12 = 000
Un tensor antisimetrico tiene un Vector axial asociado ω21 (pseudovector):
Ω21 =
0 −ωz ωyωz 0 −ωx−ωy ωx 0
⇔ ω21 =
ωxωyωz
Ri ·Ω21
∣∣i·XM
i ⇔ ω21 ∧OM
Vector Polar / Axial: el comportamiento ante simetrıas cambia con laorientacion de los ejes (a derechas/a izquierdas)
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Campo de velocidades del solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 30 / 61
Vector velocidad del punto (arbitrario) M del solidoS2 respecto al sistema S1:
vM21 = R1 ·(
XO1 +ΩΩΩ21
∣∣1·XM
1
)
=
= R2 ·(
QQQ⊤12 · X
O1 +ΩΩΩ21
∣∣2·XM
2
)
=
= vO21 + ω21 ∧OMx1
y1
z1
x2
y2
z2
O
b M
b
xy
zO1
i1j1
k1
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Campo de velocidades del solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 30 / 61
Vector velocidad del punto (arbitrario) M del solidoS2 respecto al sistema S1:
vM21 = R1 ·(
XO1 +ΩΩΩ21
∣∣1·XM
1
)
=
= R2 ·(
QQQ⊤12 · X
O1 +ΩΩΩ21
∣∣2·XM
2
)
=
= vO21 + ω21 ∧OMx1
y1
z1
x2
y2
z2
O
b M
b
xy
zO1
i1j1
k1
Vale para cualquier par de puntos: O y M son arbitrarios,
vB21 = vO21 + ω21 ∧OB = vO21
+ ω21 ∧ (OA +AB) = →
Campo de velocidades: → vB21 = vA21 + ω21 ∧AB
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Campo de velocidades del solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 30 / 61
Vector velocidad del punto (arbitrario) M del solidoS2 respecto al sistema S1:
vM21 = R1 ·(
XO1 +ΩΩΩ21
∣∣1·XM
1
)
=
= R2 ·(
QQQ⊤12 · X
O1 +ΩΩΩ21
∣∣2·XM
2
)
=
= vO21 + ω21 ∧OMx1
y1
z1
x2
y2
z2
O
b M
b
xy
zO1
i1j1
k1
Vale para cualquier par de puntos: O y M son arbitrarios,
vB21 = vO21 + ω21 ∧OB = vO21
+ ω21 ∧ (OA +AB) = →
Campo de velocidades: → vB21 = vA21 + ω21 ∧AB
6 GDL → 6 parametros determinan el estado cinematico de todos lospuntos del solido: XO
1(3) y ΩΩΩ21 / ω21 (3)
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Propiedades del campo de velocidades del solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 31 / 61
Es lineal en las coordenadas: ω21 ∧OM / ΩΩΩ21
∣∣2·XM
2
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Propiedades del campo de velocidades del solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 31 / 61
Es lineal en las coordenadas: ω21 ∧OM / ΩΩΩ21
∣∣2·XM
2
Si ω21 = 0 , todos los puntos del solido tienen la misma velocidad(traslacion pura o traslacion paralela)
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Propiedades del campo de velocidades del solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 31 / 61
B
A
Es lineal en las coordenadas: ω21 ∧OM / ΩΩΩ21
∣∣2·XM
2
Si ω21 = 0 , todos los puntos del solido tienen la misma velocidad(traslacion pura o traslacion paralela)
Equiproyectividad: vB21
·AB = vA21
·AB
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Propiedades del campo de velocidades del solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 31 / 61
B
A
Es lineal en las coordenadas: ω21 ∧OM / ΩΩΩ21
∣∣2·XM
2
Si ω21 = 0 , todos los puntos del solido tienen la misma velocidad(traslacion pura o traslacion paralela)
Equiproyectividad: vB21
·AB = vA21
·AB
• Por la definicion de solido, la distancia entre puntos es constante:
(rB− rA
)·(rB− rA
)= Cte. →
(rB− rA
)·(rB− rA
)= 0
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Propiedades del campo de velocidades del solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 31 / 61
B
A
Es lineal en las coordenadas: ω21 ∧OM / ΩΩΩ21
∣∣2·XM
2
Si ω21 = 0 , todos los puntos del solido tienen la misma velocidad(traslacion pura o traslacion paralela)
Equiproyectividad: vB21
·AB = vA21
·AB
• Por la definicion de solido, la distancia entre puntos es constante:
(rB− rA
)·(rB− rA
)= Cte. →
(rB− rA
)·(rB− rA
)= 0
• Implıcito en la expresion del campo de velocidades,
vB21 ·AB =(vA21 +:⊥
ω21 ∧AB)·AB = vA21 ·AB
porque se obtiene girando un sistema de referencia, que cumple lacondicion de solido. Los puntos no pueden alejarse ni acercarse, sologirar (si no, se deformarıa).
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Propiedades del campo de velocidades
Manuel Ruiz - Mecanica I 32 / 61
Bidimensional: Igual velocidad en rectas ‖ ω
AC = AB+ λω21
vC21 = vA21 + ω21 ∧AC =
= vA21 + ω21 ∧(AB+:
‖λω21
)= vB21
bC
vA
ω ∧AC
bB
vA
ω ∧ABb
A
ω
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Propiedades del campo de velocidades
Manuel Ruiz - Mecanica I 32 / 61
Bidimensional: Igual velocidad en rectas ‖ ω
AC = AB+ λω21
vC21 = vA21 + ω21 ∧AC =
= vA21 + ω21 ∧(AB+:
‖λω21
)= vB21
bC
vA
ω ∧AC
bB
vA
ω ∧ABb
A
ω
Descomposicion en velocidades ‖ y ⊥ a ω
vA = vA·ωω2 ω
︸ ︷︷ ︸
‖
+ω∧
(vA∧ω
)
ω2
︸ ︷︷ ︸
⊥
del desarrollo del producto triple:
ω ∧(vA∧ ω
)= ω2 vA −
(vA· ω
)ω
ω
vAvA‖
vA⊥vA∧ ω
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Propiedades del campo de velocidades
Manuel Ruiz - Mecanica I 33 / 61
Velocidad de mınimo deslizamiento: la componente paralela a ω es la mismapara todos los puntos (equiproyectividad segun ω ):
vD = vA‖ = vB‖ ∀A,B ∈ S2
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Propiedades del campo de velocidades
Manuel Ruiz - Mecanica I 33 / 61
Velocidad de mınimo deslizamiento: la componente paralela a ω es la mismapara todos los puntos (equiproyectividad segun ω ):
vD = vA‖ = vB‖ ∀A,B ∈ S2
• Es constante para todo el solido
vB21 · ω21 =(vA21 +
⊥
(((((ω21 ∧AB
)· ω21 = vD · ω21 ∀A,B ∈ S2
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Propiedades del campo de velocidades
Manuel Ruiz - Mecanica I 33 / 61
Velocidad de mınimo deslizamiento: la componente paralela a ω es la mismapara todos los puntos (equiproyectividad segun ω ):
vD = vA‖ = vB‖ ∀A,B ∈ S2
• Es constante para todo el solido
vB21 · ω21 =(vA21 +
⊥
(((((ω21 ∧AB
)· ω21 = vD · ω21 ∀A,B ∈ S2
• Si es nula, el movimiento es una rotacion pura
• Basta dar el escalar vD , porque su direccion es conocida
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Propiedades del campo de velocidades
Manuel Ruiz - Mecanica I 33 / 61
Velocidad de mınimo deslizamiento: la componente paralela a ω es la mismapara todos los puntos (equiproyectividad segun ω ):
vD = vA‖ = vB‖ ∀A,B ∈ S2
• Es constante para todo el solido
vB21 · ω21 =(vA21 +
⊥
(((((ω21 ∧AB
)· ω21 = vD · ω21 ∀A,B ∈ S2
• Si es nula, el movimiento es una rotacion pura
• Basta dar el escalar vD , porque su direccion es conocida
• Es la velocidad mınima en modulo de todo el campo de velocidades
∣∣vA
∣∣2 =
∣∣vA‖
∣∣2
︸ ︷︷ ︸
Cte.
+∣∣vA⊥
∣∣2
︸ ︷︷ ︸
≥0
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Propiedades del campo de velocidades
Manuel Ruiz - Mecanica I 34 / 61
Eje instantaneo de rotacion y mınimo deslizamiento: Hay una recta del solidoen que v⊥ se anula, vH = vH‖ = vD ⇒ H ∈ E.I.R.
b
![Page 102: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/102.jpg)
Propiedades del campo de velocidades
Manuel Ruiz - Mecanica I 34 / 61
Eje instantaneo de rotacion y mınimo deslizamiento: Hay una recta del solidoen que v⊥ se anula, vH = vH‖ = vD ⇒ H ∈ E.I.R. A partir de A,buscamos un punto H del E.I.R. tal que AH ⊥ ω
vH = vA + ω ∧AH = λω → ω ∧(vA + ω ∧AH
)= 0 =
= ω ∧ vA +(
ω ·AH
⊥
)ω − ω2AH →
b
ω
vA
vA‖
A
vA⊥
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Propiedades del campo de velocidades
Manuel Ruiz - Mecanica I 34 / 61
Eje instantaneo de rotacion y mınimo deslizamiento: Hay una recta del solidoen que v⊥ se anula, vH = vH‖ = vD ⇒ H ∈ E.I.R. A partir de A,buscamos un punto H del E.I.R. tal que AH ⊥ ω
vH = vA + ω ∧AH = λω → ω ∧(vA + ω ∧AH
)= 0 =
= ω ∧ vA +(
ω ·AH
⊥
)ω − ω2AH → AH =
ω ∧ vA
ω2
bH
E.I.R. y M.D.
vA‖
b
ω
vA
vA‖
A
vA⊥
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Propiedades del campo de velocidades
Manuel Ruiz - Mecanica I 34 / 61
Eje instantaneo de rotacion y mınimo deslizamiento: Hay una recta del solidoen que v⊥ se anula, vH = vH‖ = vD ⇒ H ∈ E.I.R. A partir de A,buscamos un punto H del E.I.R. tal que AH ⊥ ω
vH = vA + ω ∧AH = λω → ω ∧(vA + ω ∧AH
)= 0 =
= ω ∧ vA +(
ω ·AH
⊥
)ω − ω2AH → AH =
ω ∧ vA
ω2
rE.I.R. = rA +ω ∧ vA
ω2+ λω
bH
E.I.R. y M.D.
vA‖
b
ω
vA
vA‖
A
vA⊥
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Propiedades del campo de velocidades
Manuel Ruiz - Mecanica I 34 / 61
Eje instantaneo de rotacion y mınimo deslizamiento: Hay una recta del solidoen que v⊥ se anula, vH = vH‖ = vD ⇒ H ∈ E.I.R. A partir de A,buscamos un punto H del E.I.R. tal que AH ⊥ ω
vH = vA + ω ∧AH = λω → ω ∧(vA + ω ∧AH
)= 0 =
= ω ∧ vA +(
ω ·AH
⊥
)ω − ω2AH → AH =
ω ∧ vA
ω2
rE.I.R. = rA +ω ∧ vA
ω2+ λω
bH
E.I.R. y M.D.
vA‖
b
ω
vA
vA‖
A
vA⊥
Todos los puntos del E.I.R. y MınimoDeslizamiento tienen la misma veloci-dad, vD, que es la velocidad mınima delcampo de velocidades.
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Propiedades del campo de velocidades
Manuel Ruiz - Mecanica I 35 / 61
Movimiento helicoidal equivalente: se toma un punto H del E.I.R. paradescribir el campo de velocidades.
vA = vH︸︷︷︸
‖
+ ω ∧HA︸ ︷︷ ︸
⊥
= Deslizamiento + Rotacion pura
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Propiedades del campo de velocidades
Manuel Ruiz - Mecanica I 35 / 61
Movimiento helicoidal equivalente: se toma un punto H del E.I.R. paradescribir el campo de velocidades.
vA = vH︸︷︷︸
‖
+ ω ∧HA︸ ︷︷ ︸
⊥
= Deslizamiento + Rotacion pura
Teorema de Chasles: el movimiento mas general de un solido en cada instantees una rotacion pura alrededor de une eje mas un deslizamiento (traslacion)paralelo a ese eje (que puede variar con el tiempo).
E.I.R.
H
ω ∧HA
ω
vD
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Propiedades del campo de velocidades
Manuel Ruiz - Mecanica I 36 / 61
Todos los puntos del E.I.R. tienen la misma velocidad, vD, que es lavelocidad mınima del campo de velocidades
Un punto de velocidad nula pertenece al E.I.R. (vD = 0)
Si varios puntos tienen la misma velocidad en una direccion dada, esa es ladireccion del E.I.R. (siempre que no esten en una recta paralela a ω, en laque todos los puntos tienen la misma velocidad)
E.I.R.
H
ω ∧HA
ω
vD
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Propiedades del campo de velocidades: Axoides
Manuel Ruiz - Mecanica I 37 / 61
x1 y1
z1
b Ab
H
ω
b
b
Axoide Fija: Lugar geometrico de las posiciones sucesivas delE.I.R. en ejes fijos.
rAF (t, λ) = O1A∣∣1+
ω(t) ∧ vA(t)
ω(t)2
∣∣∣∣1
+ λω(t)∣∣1
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Propiedades del campo de velocidades: Axoides
Manuel Ruiz - Mecanica I 37 / 61
x1 y1
z1
b Ab
H
ω
x2 y2
z2
bA
bH
ω
Axoide Fija: Lugar geometrico de las posiciones sucesivas delE.I.R. en ejes fijos.
rAF (t, λ) = O1A∣∣1+
ω(t) ∧ vA(t)
ω(t)2
∣∣∣∣1
+ λω(t)∣∣1
Axoide Movil: Lugar geometrico de las posiciones sucesivasdel E.I.R. en ejes solido.
rAM (t, λ) = OA∣∣2+
ω(t) ∧ vA(t)
ω(t)2
∣∣∣∣2
+ λω(t)∣∣2
![Page 111: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/111.jpg)
Propiedades del campo de velocidades: Axoides
Manuel Ruiz - Mecanica I 37 / 61
x1 y1
z1
b Ab
H
ω
x2 y2
z2
bA
bH
ω
Axoide Fija: Lugar geometrico de las posiciones sucesivas delE.I.R. en ejes fijos.
rAF (t, λ) = O1A∣∣1+
ω(t) ∧ vA(t)
ω(t)2
∣∣∣∣1
+ λω(t)∣∣1
Axoide Movil: Lugar geometrico de las posiciones sucesivasdel E.I.R. en ejes solido.
rAM (t, λ) = OA∣∣2+
ω(t) ∧ vA(t)
ω(t)2
∣∣∣∣2
+ λω(t)∣∣2
Son superficies regladas con dos parametros: λ (generatriz) yt (directriz)
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Axoides: ejemplos
Manuel Ruiz - Mecanica I 38 / 61
E.I.R.
Axoide Móvil
Axoide Fija
Punto decontacto:
v=0
Rodadura sin deslizamientoni pivotamiento
ω
![Page 113: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/113.jpg)
Axoides: ejemplos
Manuel Ruiz - Mecanica I 39 / 61
E.I.R.
Axoide Móvil
Axoide Fija
Punto decontacto:
v=0
Punto fijo:v=0
ω
Rodadura sindeslizamiento conpunto del eje fijo
![Page 114: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/114.jpg)
Determinacion de la velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 40 / 61
Derivando la matriz de giro, QQQ(t) → QQQ⊤· QQQ = ΩΩΩ
![Page 115: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/115.jpg)
Determinacion de la velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 40 / 61
Derivando la matriz de giro, QQQ(t) → QQQ⊤· QQQ = ΩΩΩ
Derivando los versores i2, j2, k2 → i2, j2, k2
![Page 116: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/116.jpg)
Determinacion de la velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 40 / 61
Derivando la matriz de giro, QQQ(t) → QQQ⊤· QQQ = ΩΩΩ
Derivando los versores i2, j2, k2 → i2, j2, k2
Campo de velocidades: i2 = ω ∧ i2 j2 = ω ∧ j2 k2 = ω ∧ k2
![Page 117: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/117.jpg)
Determinacion de la velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 40 / 61
Derivando la matriz de giro, QQQ(t) → QQQ⊤· QQQ = ΩΩΩ
Derivando los versores i2, j2, k2 → i2, j2, k2
Campo de velocidades: i2 = ω ∧ i2 j2 = ω ∧ j2 k2 = ω ∧ k2
i2 ∧ i2 = i2 ∧ (ω ∧ i2) = 1 · ω − (ω · i2) i2j2 ∧ j2 = j2 ∧ (ω ∧ j2) = 1 · ω − (ω · j2) j2k2 ∧ k2 = k2 ∧ (ω ∧ k2) = 1 · ω − (ω · k2)k2
![Page 118: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/118.jpg)
Determinacion de la velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 40 / 61
Derivando la matriz de giro, QQQ(t) → QQQ⊤· QQQ = ΩΩΩ
Derivando los versores i2, j2, k2 → i2, j2, k2
Campo de velocidades: i2 = ω ∧ i2 j2 = ω ∧ j2 k2 = ω ∧ k2
i2 ∧ i2 = i2 ∧ (ω ∧ i2) = 1 · ω − (ω · i2) i2j2 ∧ j2 = j2 ∧ (ω ∧ j2) = 1 · ω − (ω · j2) j2k2 ∧ k2 = k2 ∧ (ω ∧ k2) = 1 · ω − (ω · k2)k2
i2 ∧ i2 + j2 ∧ j2 + k2 ∧ k2 = 3 · ω − ω = 2 · ω
ω =1
2
(
i2 ∧ i2 + j2 ∧ j2 + k2 ∧ k2
)
![Page 119: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/119.jpg)
Determinacion de la velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 40 / 61
Derivando la matriz de giro, QQQ(t) → QQQ⊤· QQQ = ΩΩΩ
Derivando los versores i2, j2, k2 → i2, j2, k2
Campo de velocidades: i2 = ω ∧ i2 j2 = ω ∧ j2 k2 = ω ∧ k2
i2 ∧ i2 = i2 ∧ (ω ∧ i2) = 1 · ω − (ω · i2) i2j2 ∧ j2 = j2 ∧ (ω ∧ j2) = 1 · ω − (ω · j2) j2k2 ∧ k2 = k2 ∧ (ω ∧ k2) = 1 · ω − (ω · k2)k2
i2 ∧ i2 + j2 ∧ j2 + k2 ∧ k2 = 3 · ω − ω = 2 · ω
ω =1
2
(
i2 ∧ i2 + j2 ∧ j2 + k2 ∧ k2
)
Muy similar al anterior: QQQ⊤· QQQ =
i2
j2
k2
·[
i2 j2 k2
]= ΩΩΩ
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Determinacion de la velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 41 / 61
Derivando dos vectores independientes de S2, a(t), b(t) → a, b
a = ω ∧ a
b = ω ∧ b
ω 6 Ecuaciones, 3 independientes
![Page 121: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/121.jpg)
Determinacion de la velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 41 / 61
Derivando dos vectores independientes de S2, a(t), b(t) → a, b
a = ω ∧ a
b = ω ∧ b
ω 6 Ecuaciones, 3 independientes
Explıcitamente,
c = a ∧ b ω = α a+ β b+ γ c
a = ω ∧ a = β c+ γ c ∧ a b = ω ∧ b = α c+ γ c ∧ b
c · a = −β c2 c · b = α c2 b · a = γ b · (c ∧ a) = γ c2 = −a · b
ω =1
c2
[
(c · b)a− (c · a)b+ (b · a)c]
![Page 122: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/122.jpg)
Determinacion de la velocidad angular
Manuel Ruiz - Mecanica I 41 / 61
Derivando dos vectores independientes de S2, a(t), b(t) → a, b
a = ω ∧ a
b = ω ∧ b
ω 6 Ecuaciones, 3 independientes
Explıcitamente,
c = a ∧ b ω = α a+ β b+ γ c
a = ω ∧ a = β c+ γ c ∧ a b = ω ∧ b = α c+ γ c ∧ b
c · a = −β c2 c · b = α c2 b · a = γ b · (c ∧ a) = γ c2 = −a · b
ω =1
c2
[
(c · b)a− (c · a)b+ (b · a)c]
Tambien,
ω =b ∧ a
a · b
(
a · b 6= 0)
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Aceleracion de un punto de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 42 / 61
Se deriva el campo de velocidades,
vB21 = vA21 + ω21 ∧AB
vB21 = vA21 + ω21 ∧AB+ ω21 ∧ AB
![Page 124: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/124.jpg)
Aceleracion de un punto de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 42 / 61
Se deriva el campo de velocidades,
vB21 = vA21 + ω21 ∧AB
vB21 = vA21 + ω21 ∧AB+ ω21 ∧ AB
Se llega al campo de aceleraciones del solido:
γB21 = γA21 +α21 ∧AB+ ω21 ∧ (ω21 ∧AB)
![Page 125: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/125.jpg)
Aceleracion de un punto de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 42 / 61
Se deriva el campo de velocidades,
vB21 = vA21 + ω21 ∧AB
vB21 = vA21 + ω21 ∧AB+ ω21 ∧ AB
Se llega al campo de aceleraciones del solido:
γB21 = γA21 +α21 ∧AB+ ω21 ∧ (ω21 ∧AB)
α21 = ω21 es el vector aceleracion angular del solido S2 respecto a S1.
![Page 126: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/126.jpg)
Aceleracion de un punto de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 42 / 61
ω
A
B
γc
ω ∧ AB
Se deriva el campo de velocidades,
vB21 = vA21 + ω21 ∧AB
vB21 = vA21 + ω21 ∧AB+ ω21 ∧ AB
Se llega al campo de aceleraciones del solido:
γB21 = γA21 +α21 ∧AB+ ω21 ∧ (ω21 ∧AB)
α21 = ω21 es el vector aceleracion angular del solido S2 respecto a S1.
El termino ω21 ∧ (ω21 ∧AB) esta dirigido hacia el eje paralelo a ω21 quepasa por A ; es una aceleracion centrıpeta.
![Page 127: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/127.jpg)
Aceleracion de un punto de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 42 / 61
ω
A
B
γc
ω ∧ AB
Se deriva el campo de velocidades,
vB21 = vA21 + ω21 ∧AB
vB21 = vA21 + ω21 ∧AB+ ω21 ∧ AB
Se llega al campo de aceleraciones del solido:
γB21 = γA21 +α21 ∧AB+ ω21 ∧ (ω21 ∧AB)
α21 = ω21 es el vector aceleracion angular del solido S2 respecto a S1.
El termino ω21 ∧ (ω21 ∧AB) esta dirigido hacia el eje paralelo a ω21 quepasa por A ; es una aceleracion centrıpeta.
Los dos primeros terminos dan una estructura similar a la del campo develocidades (eje ‖ α ); el tercero (eje ‖ ω ) rompe la estructura porque no esrotacional sino centrıpeta, y los vectores ω y α tienen en generaldirecciones distintas.
![Page 128: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/128.jpg)
Aceleracion de un punto de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 43 / 61
Tambien se puede obtener matricialmente,
vM21 = R1
(
XO1 +ΩΩΩ21
∣∣1XM
1
)
= R1
(
XO1 +ΩΩΩ21
∣∣1QQQ12 X
M2
)
γM21 = R1
(
XO1 + ΩΩΩ21
∣∣1QQQ12X
M2 +ΩΩΩ21
∣∣1QQQ12X
M2
)
=
= R1
(
XO1
+ ΩΩΩ21
∣∣1XM
1+ ΩΩΩ21
∣∣1ΩΩΩ21
∣∣1XM
1
)
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Aceleracion de un punto de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 43 / 61
Tambien se puede obtener matricialmente,
vM21 = R1
(
XO1 +ΩΩΩ21
∣∣1XM
1
)
= R1
(
XO1 +ΩΩΩ21
∣∣1QQQ12 X
M2
)
γM21 = R1
(
XO1 + ΩΩΩ21
∣∣1QQQ12X
M2 +ΩΩΩ21
∣∣1QQQ12X
M2
)
=
= R1
(
XO1
+ ΩΩΩ21
∣∣1XM
1+ ΩΩΩ21
∣∣1ΩΩΩ21
∣∣1XM
1
)
En ejes solido, sabiendo que ΩΩΩ21
∣∣1= QQQ12 ΩΩΩ21
∣∣2QQQ⊤
12,
γM21 = R2
(
QQQ⊤12XO
1+ ΩΩΩ21
∣∣2XM
2+ ΩΩΩ21
∣∣2ΩΩΩ21
∣∣2XM
2
)
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Aceleracion de un punto de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 43 / 61
Tambien se puede obtener matricialmente,
vM21 = R1
(
XO1 +ΩΩΩ21
∣∣1XM
1
)
= R1
(
XO1 +ΩΩΩ21
∣∣1QQQ12 X
M2
)
γM21 = R1
(
XO1 + ΩΩΩ21
∣∣1QQQ12X
M2 +ΩΩΩ21
∣∣1QQQ12X
M2
)
=
= R1
(
XO1
+ ΩΩΩ21
∣∣1XM
1+ ΩΩΩ21
∣∣1ΩΩΩ21
∣∣1XM
1
)
En ejes solido, sabiendo que ΩΩΩ21
∣∣1= QQQ12 ΩΩΩ21
∣∣2QQQ⊤
12,
γM21 = R2
(
QQQ⊤12XO
1+ ΩΩΩ21
∣∣2XM
2+ ΩΩΩ21
∣∣2ΩΩΩ21
∣∣2XM
2
)
ΩΩΩ21 es el tensor aceleracion angular del solido S2 respecto a S1.
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Aceleracion de un punto de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 43 / 61
Tambien se puede obtener matricialmente,
vM21 = R1
(
XO1 +ΩΩΩ21
∣∣1XM
1
)
= R1
(
XO1 +ΩΩΩ21
∣∣1QQQ12 X
M2
)
γM21 = R1
(
XO1 + ΩΩΩ21
∣∣1QQQ12X
M2 +ΩΩΩ21
∣∣1QQQ12X
M2
)
=
= R1
(
XO1
+ ΩΩΩ21
∣∣1XM
1+ ΩΩΩ21
∣∣1ΩΩΩ21
∣∣1XM
1
)
En ejes solido, sabiendo que ΩΩΩ21
∣∣1= QQQ12 ΩΩΩ21
∣∣2QQQ⊤
12,
γM21 = R2
(
QQQ⊤12XO
1+ ΩΩΩ21
∣∣2XM
2+ ΩΩΩ21
∣∣2ΩΩΩ21
∣∣2XM
2
)
ΩΩΩ21 es el tensor aceleracion angular del solido S2 respecto a S1.
Analogo a la forma vectorial,
γM21 = γO21
+ ω21 ∧OM + ω21 ∧ (ω21 ∧OM)
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Aceleracion angular de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 44 / 61
La Aceleracion angular es la derivada de la velocidad angular:
Ω∣∣1=
.(
QQQ12QQQ⊤12
)
= QQQ12QQQ⊤12 + QQQ12QQQ
⊤12
Ω∣∣2=
.(
QQQ⊤12QQQ12
)
= QQQ⊤12QQQ12 +QQQ⊤
12QQQ12
![Page 133: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/133.jpg)
Aceleracion angular de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 44 / 61
La Aceleracion angular es la derivada de la velocidad angular:
Ω∣∣1=
.(
QQQ12QQQ⊤12
)
= QQQ12QQQ⊤12 + QQQ12QQQ
⊤12
Ω∣∣2=
.(
QQQ⊤12QQQ12
)
= QQQ⊤12QQQ12 +QQQ⊤
12QQQ12
Es antisimetrica:
Ω+Ω⊤ = 000 ⇒ Ω+ Ω⊤ = 000 ,
![Page 134: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/134.jpg)
Aceleracion angular de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 44 / 61
La Aceleracion angular es la derivada de la velocidad angular:
Ω∣∣1=
.(
QQQ12QQQ⊤12
)
= QQQ12QQQ⊤12 + QQQ12QQQ
⊤12
Ω∣∣2=
.(
QQQ⊤12QQQ12
)
= QQQ⊤12QQQ12 +QQQ⊤
12QQQ12
Es antisimetrica:
Ω+Ω⊤ = 000 ⇒ Ω+ Ω⊤ = 000 ,
tiene un vector axial asociado:
Ri · Ω21
∣∣i·XM
i ⇔ ω21 ∧OM ,
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Aceleracion angular de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 44 / 61
La Aceleracion angular es la derivada de la velocidad angular:
Ω∣∣1=
.(
QQQ12QQQ⊤12
)
= QQQ12QQQ⊤12 + QQQ12QQQ
⊤12
Ω∣∣2=
.(
QQQ⊤12QQQ12
)
= QQQ⊤12QQQ12 +QQQ⊤
12QQQ12
Es antisimetrica:
Ω+Ω⊤ = 000 ⇒ Ω+ Ω⊤ = 000 ,
tiene un vector axial asociado:
Ri · Ω21
∣∣i·XM
i ⇔ ω21 ∧OM ,
y es tambien un tensor:Ω∣∣1= QQQ12Ω
∣∣2QQQ⊤
12
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Estructura del campo de aceleraciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 45 / 61
ω
α
γ Α
Constante
Centrípeta
Aceleraciónangular
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Resumen de propiedades cinematicas
Manuel Ruiz - Mecanica I 46 / 61
Punto Solido
Vector velocidad Campo de velocidades
Velocidad angular
Vector aceleracion Campo de aceleraciones
Aceleracion angular
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Manuel Ruiz - Mecanica I 47 / 61
Movimiento planoMovimiento PlanoSimplificacionesBase y RuletaBase y Ruleta ruedan sin deslizarPropiedades de 3 planosPropiedades de 3 y 4 planosAplicaciones: MecanismosTraslacion circular y rotacionCampo de aceleraciones planoEstructura del campo de aceleracionesCentro de aceleraciones
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Movimiento Plano
Manuel Ruiz - Mecanica I 48 / 61
Definicion: Todos los puntos del solido movil S0 tienen velocidades paralelas aun plano fijo π1 .
![Page 140: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/140.jpg)
Movimiento Plano
Manuel Ruiz - Mecanica I 48 / 61
Definicion: Todos los puntos del solido movil S0 tienen velocidades paralelas aun plano fijo π1 .
Si u ⊥ π1 ⇒ u · vM01 = 0 ∀M ∈ S0
![Page 141: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/141.jpg)
Movimiento Plano
Manuel Ruiz - Mecanica I 48 / 61
Definicion: Todos los puntos del solido movil S0 tienen velocidades paralelas aun plano fijo π1 .
Si u ⊥ π1 ⇒ u · vM01 = 0 ∀M ∈ S0
C.V.: vM01 = vD + ω01 ∧HM
donde:
H ∈ E.I.R.vD : Vel. min. desl.
ω01vD
E.I.R.
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Movimiento Plano
Manuel Ruiz - Mecanica I 48 / 61
Definicion: Todos los puntos del solido movil S0 tienen velocidades paralelas aun plano fijo π1 .
Si u ⊥ π1 ⇒ u · vM01 = 0 ∀M ∈ S0
C.V.: vM01 = vD + ω01 ∧HM
donde:
H ∈ E.I.R.vD : Vel. min. desl.
ω01vD
E.I.R.
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Movimiento Plano
Manuel Ruiz - Mecanica I 48 / 61
Definicion: Todos los puntos del solido movil S0 tienen velocidades paralelas aun plano fijo π1 .
Si u ⊥ π1 ⇒ u · vM01 = 0 ∀M ∈ S0
C.V.: vM01 = vD + ω01 ∧HM
donde:
H ∈ E.I.R.vD : Vel. min. desl.
ω01vD
E.I.R.Hay dos posibilidades:
![Page 144: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/144.jpg)
Movimiento Plano
Manuel Ruiz - Mecanica I 48 / 61
Definicion: Todos los puntos del solido movil S0 tienen velocidades paralelas aun plano fijo π1 .
Si u ⊥ π1 ⇒ u · vM01 = 0 ∀M ∈ S0
C.V.: vM01 = vD + ω01 ∧HM
donde:
H ∈ E.I.R.vD : Vel. min. desl.
ω01vD
E.I.R.Hay dos posibilidades:
ω01 = 0 : vM01 = vO01 ⊥ u Traslacion (trivial)
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Movimiento Plano
Manuel Ruiz - Mecanica I 48 / 61
Definicion: Todos los puntos del solido movil S0 tienen velocidades paralelas aun plano fijo π1 .
Si u ⊥ π1 ⇒ u · vM01 = 0 ∀M ∈ S0
C.V.: vM01 = vD + ω01 ∧HM
donde:
H ∈ E.I.R.vD : Vel. min. desl.
ω01vD
E.I.R.Hay dos posibilidades:
ω01 = 0 : vM01 = vO01 ⊥ u Traslacion (trivial)
ω01 6= 0 :
vD = 0
ω01 ‖ u
Giro alrededor de un eje fijo ‖u
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Simplificaciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 49 / 61
Campo bidimensional de velocidades y de aceleraciones:
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Simplificaciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 49 / 61
Campo bidimensional de velocidades y de aceleraciones:
Plano movil π0 y fijo π1 , en vez de solidos
Corte del E.I.R. con los planos: I, Centro Ins-tantaneo de Rotacion, o C.I.R.
vD = 0 No hay deslizamiento
vM01
= ω01 ∧ IM
O1
1
0
ω01
EIR
I
O
M
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Simplificaciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 49 / 61
Campo bidimensional de velocidades y de aceleraciones:
Plano movil π0 y fijo π1 , en vez de solidos
Corte del E.I.R. con los planos: I, Centro Ins-tantaneo de Rotacion, o C.I.R.
vD = 0 No hay deslizamiento
vM01
= ω01 ∧ IM
Con las direcciones de las velocidades de dospuntos se determina directamente el C.I.R.
Los modulos no son independientes por laequiproyectividad
O1
1
0
ω01
EIR
I
O
M
I
A B
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Base y Ruleta
Manuel Ruiz - Mecanica I 50 / 61
A.F.
Base
A.M.
Ruleta
E.I.R.
C.I.R.
Si ω01 ‖ u, las axoides son cilindros normales a π1.
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Base y Ruleta
Manuel Ruiz - Mecanica I 50 / 61
A.F.
Base
A.M.
Ruleta
E.I.R.
C.I.R.
Si ω01 ‖ u, las axoides son cilindros normales a π1.
Si trabajamos en el plano, solo necesitamos los cortesde las axoides con sus respectivos planos: polares fija( Base ) y movil (Ruleta)
![Page 151: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/151.jpg)
Base y Ruleta
Manuel Ruiz - Mecanica I 50 / 61
A.F.
Base
A.M.
Ruleta
E.I.R.
C.I.R.
Si ω01 ‖ u, las axoides son cilindros normales a π1.
Si trabajamos en el plano, solo necesitamos los cortesde las axoides con sus respectivos planos: polares fija( Base ) y movil (Ruleta)
Base: Lugar geometrico de las sucesivas posiciones delC.I.R. sobre el plano fijo
![Page 152: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/152.jpg)
Base y Ruleta
Manuel Ruiz - Mecanica I 50 / 61
A.F.
Base
A.M.
Ruleta
E.I.R.
C.I.R.
Si ω01 ‖ u, las axoides son cilindros normales a π1.
Si trabajamos en el plano, solo necesitamos los cortesde las axoides con sus respectivos planos: polares fija( Base ) y movil (Ruleta)
Base: Lugar geometrico de las sucesivas posiciones delC.I.R. sobre el plano fijo
Ruleta: Lugar geometrico de las sucesivas posiciones delC.I.R. sobre el plano movil
![Page 153: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/153.jpg)
Base y Ruleta
Manuel Ruiz - Mecanica I 50 / 61
A.F.
Base
A.M.
Ruleta
E.I.R.
C.I.R.
Si ω01 ‖ u, las axoides son cilindros normales a π1.
Si trabajamos en el plano, solo necesitamos los cortesde las axoides con sus respectivos planos: polares fija( Base ) y movil (Ruleta)
Base: Lugar geometrico de las sucesivas posiciones delC.I.R. sobre el plano fijo
Ruleta: Lugar geometrico de las sucesivas posiciones delC.I.R. sobre el plano movil
Construccion: hojas de papel y alfiler sobre el C.I.R.
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Base y Ruleta ruedan sin deslizar
Manuel Ruiz - Mecanica I 51 / 61
π1
Baseπ0
Ruleta
I
vI
El C.I.R. I, como punto independiente (seguidor del C.I.R. o solido S2), recorre laBase sobre π1 y la Ruleta sobre π0
![Page 155: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/155.jpg)
Base y Ruleta ruedan sin deslizar
Manuel Ruiz - Mecanica I 51 / 61
π1
Baseπ0
Ruleta
I
vI
El C.I.R. I, como punto independiente (seguidor del C.I.R. o solido S2), recorre laBase sobre π1 y la Ruleta sobre π0
vI21
= vI20
+ vI01
tg(C1) tg(C0) CIR
︸ ︷︷ ︸
tg(C1) ≡ tg(C0)
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Base y Ruleta ruedan sin deslizar
Manuel Ruiz - Mecanica I 51 / 61
π1
Baseπ0
Ruleta
I
vI
El C.I.R. I, como punto independiente (seguidor del C.I.R. o solido S2), recorre laBase sobre π1 y la Ruleta sobre π0
vI21
= vI20
+ vI01
tg(C1) tg(C0) CIR
︸ ︷︷ ︸
tg(C1) ≡ tg(C0)
Velocidad de sucesion del C.I.R.:
vI21 = vI20 = vI
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Base y Ruleta ruedan sin deslizar
Manuel Ruiz - Mecanica I 51 / 61
π1
Baseπ0
Ruleta
I
vI
El C.I.R. I, como punto independiente (seguidor del C.I.R. o solido S2), recorre laBase sobre π1 y la Ruleta sobre π0
vI21
= vI20
+ vI01
tg(C1) tg(C0) CIR
︸ ︷︷ ︸
tg(C1) ≡ tg(C0)
Velocidad de sucesion del C.I.R.:
vI21 = vI20 = vI
ds1dt
t1 =ds0dt
t0 ⇒
t1 ≡ t0 → Son tangentes en I
s1 = s0 + Cte. → No desliza
⇒ La Ruleta rueda sin deslizar sobre la Base
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Propiedades de 3 planos
Manuel Ruiz - Mecanica I 52 / 61
Tres planos paralelos π1, π0 y π2 se mueven—Hay 6 movimientos distintos:2/1, 2/0, 0/1 y sus inversos.
![Page 159: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/159.jpg)
Propiedades de 3 planos
Manuel Ruiz - Mecanica I 52 / 61
Tres planos paralelos π1, π0 y π2 se mueven—Hay 6 movimientos distintos:2/1, 2/0, 0/1 y sus inversos.
Iij = Iji
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Propiedades de 3 planos
Manuel Ruiz - Mecanica I 52 / 61
Tres planos paralelos π1, π0 y π2 se mueven—Hay 6 movimientos distintos:2/1, 2/0, 0/1 y sus inversos.
Iij = Iji Por movimientos inversos, vMij = −vMji ;
cuando M es el C.I.R. de uno: vIij = 0 = −vIji.
![Page 161: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/161.jpg)
Propiedades de 3 planos
Manuel Ruiz - Mecanica I 52 / 61
Tres planos paralelos π1, π0 y π2 se mueven—Hay 6 movimientos distintos:2/1, 2/0, 0/1 y sus inversos.
Iij = Iji Por movimientos inversos, vMij = −vMji ;
cuando M es el C.I.R. de uno: vIij = 0 = −vIji.
I21, I20 e I01 estan alineados
![Page 162: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/162.jpg)
Propiedades de 3 planos
Manuel Ruiz - Mecanica I 52 / 61
Tres planos paralelos π1, π0 y π2 se mueven—Hay 6 movimientos distintos:2/1, 2/0, 0/1 y sus inversos.
Iij = Iji Por movimientos inversos, vMij = −vMji ;
cuando M es el C.I.R. de uno: vIij = 0 = −vIji.
I21, I20 e I01 estan alineados
• M arbitrario: vM20
+ vM01
= vM21;
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Propiedades de 3 planos
Manuel Ruiz - Mecanica I 52 / 61
bMI01 I20
Tres planos paralelos π1, π0 y π2 se mueven—Hay 6 movimientos distintos:2/1, 2/0, 0/1 y sus inversos.
Iij = Iji Por movimientos inversos, vMij = −vMji ;
cuando M es el C.I.R. de uno: vIij = 0 = −vIji.
I21, I20 e I01 estan alineados
• M arbitrario: vM20
+ vM01
= vM21;
• Si M ∈ I20I01,
vM20 , vM01 ⊥ I20I01
![Page 164: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/164.jpg)
Propiedades de 3 planos
Manuel Ruiz - Mecanica I 52 / 61
bMI01 I20
b
Tres planos paralelos π1, π0 y π2 se mueven—Hay 6 movimientos distintos:2/1, 2/0, 0/1 y sus inversos.
Iij = Iji Por movimientos inversos, vMij = −vMji ;
cuando M es el C.I.R. de uno: vIij = 0 = −vIji.
I21, I20 e I01 estan alineados
• M arbitrario: vM20
+ vM01
= vM21;
• Si M ∈ I20I01,
vM20 , vM01 ⊥ I20I01 ⇒ vM21 ⊥ I20I01
![Page 165: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/165.jpg)
Propiedades de 3 planos
Manuel Ruiz - Mecanica I 52 / 61
bMI01 I20
b
I21
Tres planos paralelos π1, π0 y π2 se mueven—Hay 6 movimientos distintos:2/1, 2/0, 0/1 y sus inversos.
Iij = Iji Por movimientos inversos, vMij = −vMji ;
cuando M es el C.I.R. de uno: vIij = 0 = −vIji.
I21, I20 e I01 estan alineados Teorema de Kennedy
• M arbitrario: vM20
+ vM01
= vM21;
• Si M ∈ I20I01,
vM20 , vM01 ⊥ I20I01 ⇒ vM21 ⊥ I20I01 ⇒ I21 ∈ I20I01
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Propiedades de 3 y 4 planos
Manuel Ruiz - Mecanica I 53 / 61
Los CIR de cuatro planos estan en los vertices de un cuadrilatero completo
Con un cuarto plano π3, hay 12 movimientos distintos: I01, I02, I03, I12, I13 e I23mas los seis inversos. Se pueden formar cuatro composiciones de movimientoscuyos C.I.R. estan alineados de 3 en 3 (cuadrilatero completo):
2/0 + 0/1 = 2/1 I20, I01, I21
3/0 + 0/1 = 3/1 I30, I01, I31
3/2 + 2/1 = 3/1 I32, I21, I31
3/2 + 2/0 = 3/0 I32, I20, I30I01 I31
I20
I32
I30
I21
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Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 54 / 61
Mecanismo de 4 barras
10
2 3
I01 I31
I20 I32
I30
I21
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Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 54 / 61
Mecanismo de 4 barras
10
2 3
I01 I31
I20 I32
I30
I21
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Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 54 / 61
Mecanismo de 4 barras
10
2 3
I01 I31
I20 I32
I30
I21
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Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 54 / 61
Mecanismo de 4 barras
10
2 3
I01 I31
I20 I32
I30
I21
![Page 171: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/171.jpg)
Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 54 / 61
Mecanismo de 4 barras
10
2 3
I01 I31
I20 I32
I30
I21
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Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 55 / 61
Mecanismo de 4 barras
10
2 3
I01 I31
I20=A
I32=B
I30
I21
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Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 55 / 61
Mecanismo de 4 barras
10
2 3
I01 I31
I20=A
I32=B
I30
I21
![Page 174: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/174.jpg)
Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 55 / 61
Mecanismo de 4 barras
10
2 3
I01 I31
I20=A
I32=B
I30
I21
![Page 175: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/175.jpg)
Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 55 / 61
Mecanismo de 4 barras
10
2 3
I01 I31
I20=A
I32=B
I30
I21
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Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 55 / 61
Mecanismo de 4 barras
10
2 3
I01 I31
I20=A
I32=B
I30
I21
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Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 55 / 61
Mecanismo de 4 barras
10
2 3
I01 I31
I20=A
I32=B
I30
I21vB21
= vA21
+ ω21 ∧AB
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Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 55 / 61
Mecanismo de 4 barras
10
2 3
I01 I31
I20=A
I32=B
I30
I21vB21
= vA21
+ ω21 ∧AB
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Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 56 / 61
Corredera
I01
I31
I20
I20
I32
I30
I21
1
0
23
![Page 180: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/180.jpg)
Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 56 / 61
Corredera
I01
I31
I20
I20
I32
I30
I21
1
0
23
![Page 181: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/181.jpg)
Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 56 / 61
Corredera
I01
I31
I20
I20
I32
I30
I21
1
0
23
![Page 182: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/182.jpg)
Aplicaciones: Mecanismos
Manuel Ruiz - Mecanica I 56 / 61
Corredera
I01
I31
I20
I20
I32
I30
I21
1
0
23
![Page 183: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/183.jpg)
Traslacion circular y rotacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 57 / 61
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Traslacion circular y rotacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 57 / 61
![Page 185: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/185.jpg)
Traslacion circular y rotacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 57 / 61
![Page 186: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/186.jpg)
Traslacion circular y rotacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 57 / 61
![Page 187: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/187.jpg)
Campo de aceleraciones plano
Manuel Ruiz - Mecanica I 58 / 61
Los tres campos vectoriales son ahora planos: ω01 ‖ ω01
γM01 = γA01
+ ω01 ∧ AM + ω01 ∧(ω01 ∧AM
)
ω
α
γ Α
Constante
Centrípeta
Aceleraciónangular
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Estructura del campo de aceleraciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 59 / 61
γM01 = γA01
+ ω01 ∧ AM + ω01 ∧(ω01 ∧AM
)=
= γA01
+ ω01 ∧ AM − ω201AM
︸ ︷︷ ︸
γA01
ω01 ∧
AM
−ω
201AM
M
A
β
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Estructura del campo de aceleraciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 59 / 61
γM01 = γA01
+ ω01 ∧ AM + ω01 ∧(ω01 ∧AM
)=
= γA01
+ ω01 ∧ AM − ω201AM
︸ ︷︷ ︸
Terminos en ω y ω2 proporcionales a la distancia AM :
tanβ =ω01
ω201
γA01
ω01 ∧
AM
−ω
201AM
M
A
β
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Estructura del campo de aceleraciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 59 / 61
γM01 = γA01
+ ω01 ∧ AM + ω01 ∧(ω01 ∧AM
)=
= γA01
+ ω01 ∧ AM − ω201AM
︸ ︷︷ ︸
Terminos en ω y ω2 proporcionales a la distancia AM :
tanβ =ω01
ω201
β Constante para todo el campo de aceleraciones en cadainstante, pero varıa con el tiempo.
γA01
ω01 ∧
AM
−ω
201AM
M
A
β
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Estructura del campo de aceleraciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 60 / 61
A
γA01
ω01 AM
M
−ω2
01AM
β
![Page 192: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/192.jpg)
Estructura del campo de aceleraciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 60 / 61
A
γA01
ω01 AM
M
−ω2
01AM
β
![Page 193: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/193.jpg)
Estructura del campo de aceleraciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 60 / 61
A
γA01
ω01 AM
M
−ω2
01AM
β
A
![Page 194: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/194.jpg)
Estructura del campo de aceleraciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 60 / 61
A
γA01
ω01 AM
M
−ω2
01AM
β
A A
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Estructura del campo de aceleraciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 60 / 61
A
γA01
ω01 AM
M
−ω2
01AM
β
A A
![Page 196: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/196.jpg)
Estructura del campo de aceleraciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 60 / 61
A
γA01
ω01 AM
M
−ω2
01AM
β
A A
H
γH01 = 0 ⇒ H Centro de aceleraciones
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Estructura del campo de aceleraciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 60 / 61
A
γA01
ω01 AM
M
−ω2
01AM
β
A A
H
γH01 = 0 ⇒ H Centro de aceleraciones
Por ser paralelos ω01 y ω01 , hay una estructura similar a la del campo develocidades. En el movimiento general no existe.
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Centro de aceleraciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 61 / 61
El centro de aceleraciones H se puede determinar analıticamente:
γH01 = γA01 + ω01 ∧ AH − ω2
01AH = 0
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Centro de aceleraciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 61 / 61
El centro de aceleraciones H se puede determinar analıticamente:
γH01 = γA01 + ω01 ∧ AH − ω2
01AH = 0
Multiplicando vectorialmente por ω:
ω01 ∧ γA01 − ω2
01AH − ω2
01
(ω01 ∧ AH
)= 0
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Centro de aceleraciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 61 / 61
El centro de aceleraciones H se puede determinar analıticamente:
γH01 = γA01 + ω01 ∧ AH − ω2
01AH = 0
Multiplicando vectorialmente por ω:
ω01 ∧ γA01 − ω2
01AH − ω2
01
(ω01 ∧ AH
)= 0
y sustituyendo ω01 ∧ AH de la primera expresion,
ω01 ∧ γA01 − ω2
01AH − ω2
01
(ω2
01AH − γA01)= 0
![Page 201: Mec´anica I Tema 2 Cinem´atica del S´olido · Modelos Manuel Ruiz - Mec´anica I 4 / 61 Part´ıcula o Punto: Un cuerpo cuyas dimensiones u orientacion no influyen en el movimiento](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042606/5f99ed338c91c8106c34300d/html5/thumbnails/201.jpg)
Centro de aceleraciones
Manuel Ruiz - Mecanica I 61 / 61
El centro de aceleraciones H se puede determinar analıticamente:
γH01 = γA01 + ω01 ∧ AH − ω2
01AH = 0
Multiplicando vectorialmente por ω:
ω01 ∧ γA01 − ω2
01AH − ω2
01
(ω01 ∧ AH
)= 0
y sustituyendo ω01 ∧ AH de la primera expresion,
ω01 ∧ γA01 − ω2
01AH − ω2
01
(ω2
01AH − γA01)= 0
Por tanto,
AH =ω01 ∧ γA
01+ ω2
01γA01
ω201
+ ω401