mecanica fluidos 6

MECANICA DE LOS

FLUIDOS

Ing. Alejandro Mayori

6 ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

- Teoría matemática y resultados experimentales han desarrollado soluciones practicas

- Permite realizar experimentos en modelos a escala

- Análisis dimensional y la semejanza hidráulica simplifica las experiencias y el análisis de los resultados obtenidos

6 ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

6.1 Introducción

- Toda ec. que exprese una relación física entre magnitudes debe igualar las magnitudes por los valores numéricos y por las dimensiones

- Todas las relaciones físicas pueden reducirse a una relación entre Fuerza, Longitud y Tiempo o entre Masa, Longitud y Tiempo

6.2 Análisis Dimensional

Aplicaciones :

- Conversión de unidades

- Desarrollo de ecuaciones

- Reducción nro.. variables requeridas experimento

- Establecimiento de los principios para el diseño de modelos

6.2 Análisis Dimensional

- Modelos pueden ser verdaderos o distorsionados

- Modelos verdaderos esta a escala (semejanza geométrica) y satisfacen las restricciones de diseño (semejanza cinemática y dinámica)

- Resultados obtienen modelos son buenos

6.3 Modelos Hidráulicos

- Hay semejanza geométrica entre el modelo y el prototipo cuando las relaciones entre todas las dimensiones correspondientes u homologas son iguales

- Lrel = Lmodelo / Lprototipo Lr = Lm / Lp

- Lrel 2 = Amodelo / Aprototipo = Lmodelo

2 / Lprototipo 2

6.4 Semejanza Geométrica

- Hay semejanza cinemática entre el modelo y el prototipo cuando

- 1 Las trayectorias de las partículas móviles homologas son geométricamente semejantes

- 2 Las relaciones entre velocidades de las partículas homologas son iguales

- Velocidad Vm/Vp = (Lm/Tm )/ (Lp/Tp ) = Lr/Tr

- Aceleracion am/ap = (Lm/Tm 2)/(Lp/Tp

2) = Lr/Tr 2

- Caudal Qm/Qp = (Lm 3/Tm)/(Lp

3/Tp)= Lr 3/Tr

6.5 Semejanza Cinemática

- Hay semejanza dinámica entre el modelo y el prototipo cuando las relaciones entre fuerzas homólogas son iguales

- Las condiciones para la semejanza completa se obtiene del 2 principio de Newton Σ F = m a

- Entre modelo y prototipo se desarrolla la siguiente relación de fuerzas

- ΣFuerzasmodeloΣFuerzasprototipo

= MmamMpap

6.6 Semejanza Dinámica

- Fr =Fuerzam

Fuerzap = Mmam

Mpap =

ρmLm

3

ρpLp

3

Lr

Tr

2 =ρrLr

2 (Lr

Tr ) 2

6.7 Relación entre Fuerzas de Inercia (Ecuación Newtoniana)

- Fr = ρr Lr

2 Vr

2 = ρr

Ar

Vr

2

- Euler = M ap A

= ρL3(L/T2)

p L

2 = ρV2

p

6.8 Relación entre Fuerzas de Inercia a las de Presión (Nro. Euler)

6.9 Relación entre Fuerzas de Inercia a las Viscosas (Nro. Reynolds)

- Reynolds= M at A

= M a

m (𝑑𝑉

𝑑𝑦)A

= ρL2V2

m (𝑉

𝐿)L2

= ρVL

m

- Froud2= M aM 𝑔

= ρL2V2

ρg L3 = V2

g L

6.10 Relación entre Fuerzas de Inercia a las Gravitatorias (Nro. Freud)

6.11 Relación entre Fuerzas de Inercia a las Elásticas (Nro. Cauchy)

- Cauchy = M aE A

= ρL2V2

E L2 = ρV2

E

- A su raíz se le conoce nro. de March

- Weber = M as L

= ρ L2

V2

s L =

ρ L V2

s

6.12 Relación entre Fuerzas de Inercia a las de Tensión Superficial (Nro. Weber)

6.13 Relación de Tiempos

- Las relaciones de tiempos gobernadas por la viscosidad, la gravedad, la tensión superficial o la elasticidad son :

- Tr = Lr

2 /vr

Tr = Lr

/gr

- Tr = Lr

3 rr

/sr

Tr = Lr

/ Er /rr

•EXPERIMENTACIÓN MECÁNICADE FLUIDOS

•ADIMENSIONALES MECÁNICA DE FLUIDOS

•SEMEJANZA DE MODELOS

Ensayos con modelos Leyes de semejanza Semejanza de Froude Semejanza de Reynolds Semejanza de Mach

6.13 Metodología

Las ecuaciones fundamentales de un flujo no

son generalmente suficientes para una solución

completa del problema.

En Mecánica de fluidos que pueden intervenir

hasta 9 magnitudes físicas. Parece imposible

la experimentación. Afortunadamente, en un

problema concreto, no influirán más de 6;

pero todavía es excesivo.

Mediante el análisis dimensional podemos formar

agrupaciones adimensionales y trabajar con ellas

en lugar de con las magnitudes físicas reales. Con

ello se reduce el número de variables a (n - m):

n = número de magnitudes físicas que intervienen

m = número de magnitudes básicas que intervienen

Cuantas menos agrupaciones resulten, menos

experiencias hay que hacer: una agrupación

requeriría una experiencia; dos agrupaciones

varias experiencias (10 por ejemplo) para

construir una curva, y tres nos llevaría a varias

(10 curvas y/o 100 experiencias, por ejemplo).

Una ventaja adicional que nos proporciona la

teoría dimensional es la de predecir los resultados

de un proyecto, en base a los obtenidos ensayando

con un modelo a escala. José Agüera Soriano 2011

Para establecer los posibles adimensionales,

supongamos que intervienen a la vez todas

las posibles fuerzas sobre el flujo: de presión,

de gravedad, de fricción, de elasticidad y de

tensión superficial.

Expresemos la resultante (Σ F), o fuerza de

inercia (Fi),que provoca la aceleración del flujo, en función de la velocidad u:

- ΣF = F = ma = ρL3

L

T2 = ρL2 u2

Fuerza de presión (p):

Fuerza elástica (K):

Fuerza tensión superficial (s)

Fuerza de gravedad (g):

Fuerza viscosa (μ):

Fp = l2 p

Fg = l3ρ g

Fr = l2 t = l u μ

Fs = l s

FK = l2 K

Sumando las cinco fuerzas e igualándolas a la de inercia:

l2 p + l3𝜌 g + l u μ + l2 K + l s = 𝜌 l2

u2

expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:

Si hubiera dos longitudes características, lo que ocurre con

frecuencia, resultarían 9 magnitudes físicas en lugar de 8.

Dividamos la primera ecuación por la fuerza de inercia:

en la que intervienen 5 variables (adimensionales), en lugar

de las 8 (dimensionales).

f (l, p, ρ, g, u, μ, K, s) = 0

- Φ (𝑝

𝜌u2 , lg

u2,

𝜇

𝜌𝑙u ,

𝐾

𝜌u2 , s

𝜌lu2) = 0

- Φ (𝑝

𝜌u2 , lg

u2,

𝜇

𝜌𝑙u , 𝐾

𝜌u2 , s

𝜌l u2) = 0

Número de Reynolds Re = 𝜌𝑙u

𝜇

Número de Mach Ma = 𝑢

𝐾/𝜌 =

𝑢

𝑎

Número de Weber We = 𝑢

s/𝜌𝑙

Coeficiente de person Cp =𝑝

𝜌u2

Número de Froude Fr = 𝑢

𝑙𝑔

- Φ (𝑝/𝜌

u2/2 ,

𝑢

𝑙𝑔, 𝜌𝑙u

𝜇,

𝑢

𝐾/𝜌,

𝑢

s/𝜌𝑙) = 0

- Φ (𝑝/𝜌

u2/2 ,

𝑢

𝑙𝑔, 𝜌𝑙u

𝜇,

𝑢

𝐾/𝜌,

𝑢

s/𝜌𝑙) = 0

(𝑝/𝜌

u2/2 ) = f (Fr, Re, Ma, We)

Si hubiera dos longitudes características en el problema, l

y l', el cociente l/l', ó l'/l, sería otra variable adimensional:

(𝑝/𝜌

u2/2 ) = f (Fr, Re, Ma, We, l/l’)

En cada caso se eliminarán aquellos adimensionales

cuya intervención sea nula o poco importante

No es necesario ensayar con el mismo fluido

que utilice el prototipo. El agua y el aire son

los fluidos que generalmente se utilizan.

Los modelos se hacen de materiales diversos

madera, escayola, metales, hormigón, plástico etc.

6.14 Ensayos con Modelos

Los ensayos de canalizaciones, puertos, presas, aliviaderos, etc., se hacen en los laboratorios de hidráulica. Los ensayos de modelos de aviones, y en general de cuerpos sumergidos, se hacen en túneles de viento y en túneles de agua. Los ensayos de barcos se hacen en los llamados canales hidrodinámicos

Leyes de semejanza

Existe semejanza cinematica en dos corrientes fluidas cuando las lineas de flujo de una lo sean respecto a las homologas de a otra. Para ello es necesario

Rep = Rem; Frp = Frm; Map = Mam; Wep = Wem

b) Semejanza dinámica. Las fuerzas en puntos homólogos

Deben ser semejantes

a) Semejanza geométrica

- λ = Lp / Lm ; λ2 = Lp

2 / Lm2 ;

λ3 = Lp3 / Lm

3

a) Cuando el flujo presenta una superficie libre la fuerza predominante es la de gravedad: semejanza de Froude, Frp = Frm b) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico la fuerza predominante es la de viscosidad: semejanza de Reynolds,

Rep = Rem c) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo supersónico la fuerza predominante es la compresibilidad: semejanza de Mach,

Map = Mam d) En láminas de líquido muy delgadas prima la tensión superficial: semejanza de Weber,

Wep = Wem

Frp = Frm

Semejanza de Froude

y si gp=gm, como es lo habitual:

Por ejemplo, si λ = 25, up /um=5.

Relación de velocidades

𝑢𝑝

𝑙p𝑔p

=𝑢𝑚

𝑙m𝑔m

𝑢𝑝

𝑢𝑚

= λ 𝑔𝑝

𝑔m

𝑢𝑝

𝑢𝑚

= λ

Relación de caudales (Q = S u)

Relación de fuerzas (F = γ l

3)

𝑄𝑝

𝑄𝑚

=𝑆

𝑝

𝑆𝑚

𝑢

𝑝

𝑢𝑚

𝑄𝑝

𝑄𝑚

= λ5/2

𝐹𝑝

𝐹𝑚

=γ𝑝

γ𝑚

λ3

y si γ p = γ m, como es lo habitual:

𝐹𝑝

𝐹𝑚

= λ3

Por ejemplo, si λ = 25, Fp /Fm = 15625.

Relación de potencias (P = F u)

y si γ p = γ m,

𝑃𝑝

𝑃𝑚

=𝐹

𝑝

𝐹𝑚

𝑢

𝑝

𝑢𝑚

= λ3 λ1/2

Por ejemplo, si λ = 25, Pp /Pm = 78125.

Semejanza de Reynolds 𝑅𝑒𝑝

= 𝑅𝑒𝑚

Relación de velocidades.

𝑙𝑝

𝑢

𝑝

ν𝑝

= 𝑙

𝑚 𝑢

𝑚

ν𝑚

Por ejemplo, si λ = 25, up / um = 1/25

Con la semejanza de Froude, había que ensayar con una velocidad 5 veces menor, y con la Reynolds con una velocidad 25 veces mayor. Por lo que no es posible que se cumplan ambos a la vez, salvo que la escala sea la unidad

𝑢

𝑝

𝑢𝑚

= ν

𝑝 𝑙

𝑚

ν𝑚

𝑙𝑝

𝑢

𝑝

𝑢𝑚

= ν

𝑝

ν𝑚

1

λ

ṁ𝑝

ṁ𝑚

= ρ

𝑝 𝑠

𝑝𝑢

𝑝

ρ𝑚

𝑠

𝑚𝑢

𝑚

= ρ

𝑝

ρ𝑚

λ2 ν𝑝

ν

𝑚

1

λ=

ρ𝑝

ρ

𝑚

ν𝑝

ν

𝑚

λ

Relación de caudales ṁ = ρ Q = ρ S u

ṁ𝑝

ṁ𝑚

= μ

𝑝

μ𝑚

λ

F𝑝

F𝑚

= l

𝑝 𝑢

𝑝𝜇

𝑝

l𝑚

𝑢

𝑚𝜇

𝑚

= λ𝜈

𝑝

𝜈𝑚

1

λρ

𝑝

ρ𝑚

Relación de fuerzas (F = l u 𝝁)

F𝑝

F𝑚

= (𝜈𝑝 𝜈

𝑚

)2 ρ𝑝 ρ

𝑚

Si se tratara del mismo fluido y en el mismo

estado, Fp = Fm: el mayor esfuerzo

cortante en el modelo contrarresta su

menor superficie de rozamiento

Relación de Match

Ma p = Ma m

Relación de Velocidades

𝑢𝑝

𝐾𝑝/𝜌

𝑝

= 𝑢

𝑚

𝐾𝑚

/𝜌𝑚

𝑢𝑝

𝑢𝑚

= 𝑎

𝑚

𝑎𝑚

Relación de Fuerzas (F = K S )

ṁ𝑝

ṁ𝑚

= ρ

𝑝 𝑠

𝑝𝑢

𝑝

ρ𝑚

𝑠

𝑚𝑢

𝑚

= ρ

𝑝

ρ𝑚

λ2 𝑎𝑝

𝑎

𝑚

Relación de Caudales (ṁ = ρ Q = ρ S u )

F𝑝

F𝑚

= 𝐾

𝑝 𝑆

𝑝

𝐾𝑚

𝑆

𝑚

= 𝐾

𝑝

𝐾𝑚

λ2

y como 𝑎 = 𝐾/𝜌

F𝑝

F𝑚

= 𝜌

𝑝

𝜌𝑚

(𝑎

𝑝

𝑎𝑚

)2 λ2

José Agüera Soriano 2011 17

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