mecanica fluidos 5
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MECANICA DE LOS
FLUIDOS
Ing. Alejandro Mayori
5 TRASLACION Y ROTACION DE MASAS LIQUIDAS
- Estudio Fluidos sometidos a movimientos de traslación o rotación con aceleración constante
- Fluidos están en equilibrio relativo
- Las partículas de los fluidos no se mueven
- Fluidos están libres de tensiones cortantes
5 TRASLACION Y ROTACION DE MASAS LIQUIDAS
5.1 Introducción
- La superficie libre del fluido adopta forma plano inclinada
- La pendiente plano se determina por :
5.2 Movimiento Horizontal
tan q = a (aceleracion lineal de recipiente)
g (aceleracion de la gravedad)
Equilibrio en porción de fluido
xxxAla
gVamaFF
21
ax
xxa
gl
PPAla
gAPAP
21
21
xa
gx
P
El signo (-) se debe a que x aumenta en el sentido que P disminuye
Además
xa
gl
hh
l
PP q
tan
2121
g
ax
qtan
- La superficie libre del fluido adopta forma plano plano
- Presión incrementa o disminuye
5.3 Movimiento vertical
p = ℎ (1+
−
a(aceleracion del recipiente)g (aceleracion de la gravedad)
La ecuación básica de la estática de fluidos expresa que: Para un movimiento con una aceleración az
)1()(g
aag
z
Pz
z
gz
P
dzg
adPdz
g
adP
P z
zz)1()1(
0 0
dz aumenta en el sentido que dP disminuye, entonces:
zg
aP
z)1(
EJEMPLO:
Hallar la presión en un líquido contenida en un recipiente que se mueve verticalmente : a) Cuando sube con una aceleración de 4,9 m/s². b) Cuando baja con una aceleración de 4,9 m/s². c) Cuando el depósito cae. d) Cuando el depósito sube con una aceleración igual a la gravedad. e) Cuando el depósito sube con una retardación igual a la gravedad.
+
-
Ejemplo: Un recipiente con agua se mueve con igual
aceleración horizontal y vertical de 4,90 m/s². Hallar la ec de
presiones y la presión en los puntos A, B y C del recipiente.
En la dirección x:
33/500)
8,9
9,4(/1000 mkgmkg
g
a
x
Px
En la dirección y:
33/1500)
8,9
9,41(/1000)1( mkgmkg
g
a
y
P y
dyy
Pdx
x
PdP
dydxdP 1500500
Para un punto en la superficie libre del fluido:
3
10
dx
dydP
Pendiente de las líneas de igual
presión (SUPERFICIES)
Como: dydxdP 1500500
Integrando de Po a P, de 0 a x, y de 0 a y tenemos:
yxPP 15005000
Para un punto en la superficie del
fluido P=0
Entonces para (x,y)=(1,2 m , 0,7 m) la presión es cero P=0 , de la ecuación anterior
se obtiene: 2
00/1650)70,0(1500)20,1(5000 mkgPP
Con este valor de Po, yxmkgP 1500500/16502
Esta ecuación da el valor de la presión en cualquier punto en el interior del fluido
Presión A (0 , 1,20 m). El fluido no alcanza
este punto 0
AP
Presión en el punto B (0 , 0)
2/1650 mkgP
B
Presión en el punto C (1,2 m , 0)
)2,1(/500/165032
mmkgmkgPC
2/1050 mkgP
C
- La superficie libre del fluido adopta forma paraboloide de revolución
- Un plano vertical x origen corta superficie libre según una parábola
- Ecuación de la parábola (vértice en el origen)
5.4 Mov Rotación ( Recipientes Abiertos)
y =w2x2
2g
- Al girar los recipientes aumenta la presión
- Incremento presión entre un punto situado en el eje y otro en el mismo plano horizontal pero a una distancia x es
5.4 Mov Rotación ( Recipientes Cerrados)
p = w2x2
2g
p
= 𝑦 =w2x2
2g
MOVIMIENTO DE ROTACIÓN Recipientes abiertos
Recipientes cerrados Sin presión adicional
Con presión adicional
Coordenadas cilíndricas
dzz
Pd
Pdr
r
PdP
q
q
Para el elemento diferencial
0H
F
0)(
madAdr
r
PPPdA
0)()(2
rdAdr
gdAdr
r
PPPdA w
Entonces: rgr
P 2w
y gz
P
dzz
Pd
Pdr
r
PdP
q
q
Pero 0
q
P
gdzrdrdP w 2
Integrando: Cgzr
P w
2
22
Si r=0, z=zo; P=Po 00gzPC
22
00
2
1)( rzzgPP w
En la superficie libre del fluido P=Po obtiene la
ec de la forma de la superficie y de la forma de
las superficies de igual presión 22
000
2
1)( rzzgPP w
De donde:
g
rzz
2
22
0
w
ECUACIÓN DE UN
PARABOLOIDE DE
REVOLUCIÓN
Las superficies de igual presión son
paraboloides de revolución
Volumen paraboloide de revolución es la mitad
del volumen del cilindro circunscrito a dicho
paraboloide.
a) Eje de giro está fuera del recipiente:
Parte del paraboloide se forma dentro del
recipiente.
b) El recipiente se tapa sin añadir presión:
El paraboloide se considera sobre la tapa
del recipiente tangente a ella
c) El recipiente se tapa
añadiendo presión
adicional: Esta se
considera como una
altura sobre la tapa del
recipiente; sobre dicho
nivel se forma el
paraboloide.
EJEMPLO. Un depósito de forma cilíndrica de
4 m de altura y 2 m de diámetro contiene
aceite hasta 3,2 m de altura. A cuantas rpm
debe girar el recipiente alrededor de su eje
para que el aceite alcance el borde superior?
Volumen paraboloide = Volumen cilindro /2
r
ghh
g
rz
2
2
22
ww
sradm
msm/96,3
1
)8,0)(/81,9(22
w
rpm
s
rad
rev
srad
w
2
6096,3)
60
min1
2
1
)(/96,3( rpm83,37w
EJEMPLO:
Un cilindro de 1,8 m de diámetro y 2,70 m de altura
se llena completamente con glicerina de densidad
1,60 y al taparlo se añade al depósito una presión
de 2,50 kg/cm². El material de que está hecho el
cilindro tiene 13 mm de espesor con un esfuerzo
admisible de trabajo de 850 kg/cm². Determinar a
qué velocidad máxima se puede hacer girar el
recipiente sobres su eje sin que se rompa.
SOLUCIÓN:
El esfuerzo tangencial en un cilindro de radio r, con presión interna P es:
t
Pr
t es el espesor del material de
que está hecho el cilindro
De la figura se puede deducir que la presión será máxima en el borde inferior
externo del cilindro
2
2
/3,1290
)3,1)(/850(.cmkg
cm
cmcmkg
r
tP
La presión que puede soportar el recipiente será:
2222
2
1/50,2/3,12 rg
gcmkghcmkg w
Con la configuración del problema:
Reemplazando los datos del problema:
)8100()/6,1(2
1/5,2)270(/6,1/3,12
223232cmcmgrcmkgcmcmgrcmkg w
rpmsrad 363/38 w
De donde se obtiene
En el caso de las bombas y turbinas la rotación de una masa en un fluido, o en caso que gire el recipiente que lo contiene, se genera un incremento en la presión entre un punto situado en el eje y uno a una distancia X del eje en el mismo plano horizontal; y esta dada por :Y el aumento de la altura de presión será Que es una ecuación parecida a la aplicable a recipientes abiertos en rotación. La velocidad lineal Vy el termino da la altura de velocidad.