*Centro de Masa

La conservación del momento total nos da un método para analizar un "sistema de partículas". Un sistema tal puede ser virtualmente cualquier cosa (un volumen de gas, agua en un recipiente o una pelota de béisbol). Otro concepto importante nos permite el análisis del movimiento general de un sistema de partículas. Comprende la representación del sistema entero, como una partícula sencilla cuyo concepto se iniciará aquí.

Si no hay alguna fuerza externa que actúe sobre una partícula, su cantidad de movimiento lineal es constante. En una forma similar, si no hay alguna fuerza que actúe sobre un sistema de partículas, la cantidad de movimiento lineal del sistema también es constante. Esta similitud significa que un sistema de partículas se puede representar por una sola partícula equivalente. Objetos móviles taIes como pelotas, automóviles y demás, se pueden considerar en la práctica como sistemas de partículas y se pueden representar efectivamente por partículas simples equivalentes cuando se analiza su movimiento. Tal representación se hace por del concepto de centro de masa (CM).

El Centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o de un sistema.

Aun si el objeto esta en rotación, el centro de masa se mueve como si fuera partícula. Algunas veces el centro de masa se describe como si estuviera en el punto de equilibrio de un objeto sólido. Por ejemplo, si usted equilibra un metro sobre su dedo, el centro de masa de la varilla de madera está localizada directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar concentrada ahí

La segunda ley de Newton se aplica a un sistema cuando se usa el centro de masa F=MACM.

Importancia Para la Ingenieria

El centro de masa casi siempre se refiere a cuerpos que constan de 2 dimensiones o, es decir son figuras que tienen características de ser finas o que no tienen profundidad, entonces el CM, nos sirve para, para determinar en esos cuerpos el punto donde se concentra toda la masa , y esto nos ayuda a determinar el punto en el que si aplicamos una fuerza no nos dará torque alguno.

*CENTROIDE

El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de garvedad o el centro de masa del cuerpo. Se consideran tres casos especificos.

VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son:

X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv

" dv " dv " dv

AREA. De manera semejante, el centroide para el area para el area superficial de un boleto, como una planca o un casco puede encontrase subdividiendo el area en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de aerea en torno a los ejes de coordenadas a saber.

X = " x dA Y = " y dA Z = " z dA

" dvA " dA " dA

LINEA. Si la geomentria del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una linea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente:

X = " x dL Y = " y dL Z = " z dL

" dL " dL " dL

-DEFINICIÓN PARA LOS MOMENTOS DE INERCIA PARA LAS AREAS

El momento de inercia de una area se origina cuando es necesario calcular el momento de una carga distibuida que varia linealmentedesde el eje de momento. Un ejemplo característico de esta clase de carga lo tenemos en la carga de presion debida a un liquido sobre la superficie de una placa sumergida.

-MOMENTO DE INERCIA

Consideremos el area A, que se muestra en la figura situada en el plano x - y. Por definición los momentos de inercia del area plana diferencial dA en torno al eje x y al eje y son dlx = y2 dA y dly = x2 dA, respectivamente. Para el area total los momentos de inercia se determina por integración es decir,

Tambien podemos formular el segundo momento del area diferencial dA en torno al polo O o el eje Z, a esto no referimos como el Momento Polar de Inercia, dJo = r2 dA. Aquí r es la distancia perpendicular del polo (eje z) al elemento dA. Para el area total, el momento polar de inercia es:

Importancia del Centroide en la Ingenieria

El centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actuan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas

*Areas Planas Compuestas

El area de una figura compuesta es aquella que se constituye de dos o mas figuras. Toda la parte de adentro de nuestra anterior figura es a lo que se le conoce como area y para obtener el area de la figura tenemos que calcular el area del cuadrado y despues el del rectangulo, para asi podersumar las areas y obtener el de la figura completa.

Importancia de Areas Planas Compuestas

Es importante en el mundo de la ingeniería debido a que piezas, edificios, instrumentos ralizados están formados por figuras geométricas y calculando sus centros de gravedad al tener figuras compuestas se puede calcular mejor la magnitud y obtener un mejor resultado.

*El Momento de Inercia

Es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Teorema de Steiner o Teorema de los Ejes Paralelos

El teorema de Steiner establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje

paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto

al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la

distancia entre los dos ejes:

donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de

masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro

de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).

La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de

coordenadas relativa al centro de masas C   inmediata:

Donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en

torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de

masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende

del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.

*Radio de giro

Describe la forma en la cual el área transversal o una distribución de masa se distribuye

alrededor de su eje centroidal. Concretamente es el valor medio cuadrático de distancia de los

puntos de la sección o la distribución de masa respecto a un eje que pasa por el centro de la

misma.

El radio de giro de un área con respecto a un eje particular es igual a la raíz cuadrada del

cociente del segundo momento de área dividido por el área:

Donde ig es el radio de giro, Ieje es el segundo momento de área o momento de inercia de la

sección y A es el área de la sección transversal. Es una medida del alejamiento promedio de

la sección resistente del centro de gravedad, dadas dos secciones de la misma área la de

menor radio de giro presentará menor rigidez torsional y también un peor comportamiento

frente a pandeo.

El radio de giro para diversas secciones transversales es:

-Seccion Cuadrada de Lado:

-Seccion Circular de Radio:

*Círculo de Mohr 

Es una técnica usada en ingeniería y geofísicapara representar gráficamente un tensor

simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los

mismos a las características de una circunferencia. También es posible el cálculo del esfuerzo

cortantemáximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

Circunferencia de Mohr para esfuerzos

-Caso bidimensional

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima

y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos

ángulos que forman 90º

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa latensión normal   y

el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial   para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

Centro del círculo de Mohr:

Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones máxima y mínima vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

-Caso tridimensional

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

Jose Jesus Chavez

20.942.665