mecanica de los medios continuos unidad 3 (1)

7/26/2019 Mecanica de Los Medios Continuos Unidad 3 (1)

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OBJETIVO GENERAL DEL CURSO

Determinar el estado de esfuerzos, deformaciones y ecuaciones constitutivas de diferentes

tipos de slidos y fluidos para comprender su comportamiento cuando se encuentran

sometidos a un sistema de fuerzas en equilibrio esttico o dinmico.

Introduccin: Estado de esfueros!

Antes que nada se debe tener una definicin certera de lo que es la mecnica de los

medios continuos, es una rama de lafsica(especficamente de la mecnica) que propone

un modelo unificado para slidos deformables, slidos ridosy fluidos. !sicamente los

fluidos se clasifican en lquidosy ases. "l t#rmino medio continuo se usa tanto para

desinar un modelo matemtico, como cualquier porcin de material cuyo comportamiento

se puede describir adecuadamente por ese modelo$.

%omando como punto de partida que los estados de fuerzas estn interadas por

fuerzas lonitudinales, anulares, isotrpicas y distorsinales. & cada una de ellas cuenta

con propiedades caractersticas como son' las propiedades etensivas ( que son las

propiedades cuyo valores depende de la cantidad de sustancias presente, por eemplo la

masa, el peso el volumen y la cantidad de calor por mencionar alunas), las propiedades

intensivas o tambi#n llamadas de punto( que son las propiedades que su valor no depende

de la cantidad de sustancia, como son el peso especifico, la densidad, la presin, la

temperatura, la densidad y peso especifico).

*tro caracterstica muy particulares a la +ora de evaluar loes estados de esfuerzosson las dimensiones de estas propiedades. %ambi#n lo que son las fuerzas y esfuerzos que

act-an en un medio continuo se clasifican en fuerzas de cuerpo y fuerzas de superficie,

as fuerzas de cuerpo estn distribuidas de manera continua en todo el medio.

/ara realizar una evaluacin de los estados de esfuerzos se suelen utilizar varios

teoremas entre ellos el teorema de 0auc+y, en el cual se realizan evaluaciones por medio de

anlisis compleos, por interacin, por anlisis reales, por teoremas en rupo, mediante un

resultado de de la converencia de la series de potencias, con ecuaciones en derivadas

parciales, por el teorema de /icard1indelof (se eval-a un resultado sobre ecuaciones

diferenciales ordinarias) bsicamente son los medios de evaluacin utilizados por el

teorema de 0auc+y.

2obre la tensin de esfuerzos -nicamente tenemos la evaluacin de las tenciones

que act-an al realizar una tensin. "n esta evaluacin se analizan los esfuerzos de

compresin, tensin y combinadas.

Al realizar la evaluacin de los esfuerzos se debe tomar en cuenta su direccin para

de este modo obtener las componentes que conformen cada tensin.
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"UER#AS$ TENSIONES % DE"OR&ACIONES

"ueras e'ternas!

as fuerzas eistentes sobre los cuerpos pueden ser de superficie 1que como su nombre

indica eercen su accin sobre la superficie de los cuerpos, tales como' la presin

+idrosttica, la presin del viento, etc.1, y de volumen 1como la accin de la ravedad, las

fuerzas man#ticas, las fuerzas de inercia de cuerpos animados de movimiento acelerado,

etc.

Alunas fuerzas se distribuyen sobre superficies tan reducidas que reciben el nombre de

fuerzas o caras puntuales 1como las eercidas por las ruedas de los ve+culos ferroviarios y

de carretera1 considerndose por simplificacin aplicadas sobre un punto1.

"n eneral en las estructuras suelen diferenciarse las acciones constantes, que act-an opueden actuar en todo momento o durante laros perodos de tiempo tales como,

3 el propio peso

3 la cara permanente (pavimentos, muros de fac+adas, barandillas, cte.)

3 el peso y el empue del terreno, de las acciones variables que pueden actuar o no y que

son'

3 la sobrecara de uso (personas, ve+culos, presin de un lquido sobre las paredes de un

depsito, cte.)

3 las acciones de viento

3 la sobrecara provocada por la nieve

3 las acciones ssmicas

Determinadas acciones tales como las t#rmicas y los asientos de las cimentaciones no son

fuerzas eternas, pero no obstante provocan, al iual que #stas, tensiones, o fuerzas internas

al obliar a las estructuras a que realicen determinados desplazamientos.

Tensiones

"n el plano s1s de la fiura y para el elemento diferencial de superficie 4d!5

correspondiente al punto 6 act-a una tensin 4p5, que se representa por un vector y cuya

direccin puede formar con la normal al elemento 4d!5 sobre el que act-a un nulo


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cualquiera si es este nulo se podr descomponer el vector 4p5 en dos direcciones, fiura

7.A.8a, una normal a 4d!5 y otra en su plano, cuyas componentes son'

2i a un cuerpo elstico tal como el de la (fiura1a), al que se aplica un sistema de caras

eternas, se le +acen pasar por un punto * tres planos ortoonales dos a dos, sobre cada

uno de estos planos y para este punto * se presentar una tensin normal 4)5 y otra

tanencial 415 esta -ltima se descompondr en las dos direcciones paralelas a los ees

principales del plano sobre el que act-a. 0on el fin de definir las tensiones que inciden

sobre cada plano se aplica el criterio siuiente' 0ada tensin 4)5 o 415 se acompa9a de dos

subndices, el primero corresponde a la letra del ee normal al plano considerado y el

seundo a la letra del ee paralelo a la componente de que se trate (fiura1b) As 41z 5 es la

tensin tanencial que actuando sobre un plano normal al ee z resulta paralela al ee .


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0omo tensiones positivas se elien

aquellas que se orientan en el

sentido creciente de los ees, si las

caras sobre las que act-an miran

tambi#n el sentido creciente, o si se

orientan en el sentido decreciente

de los ees mirando las caras

correspondientes el sentido

decreciente de los mismos. 2on

neativas las tensiones diriidas en

sentido contrario. /or consiuiente

todas las tensiones representadas en

la (fiura1b) resultan positivas.

Defor(aciones

a deformacin es, en sentido

eneralizado, el cambio eom#trico que eperimenta un cuerpo no rido bao la accin de

las fuerzas eternas y de volumen o de inercia que a #l se aplican.

Al deformarse un cuerpo, las partculas cambian de posicin. As, al aplicar las caras /7,

/8 ... /i al cuerpo de la (fiura 8) un semento /: se deforma pasando a la posicin /;:;.

"l recorrido que eperimenta el punto / viene dado por las funciones

(,y,z).

/or otro lado el semento /: vara tras

la deformacin su lonitud de 4dl5 a 4dl

5 y adems, si asociasemos a la

deformacin otro semento tal como el

4/?@ normal a /:, se observara la

variacin anular de 6B a 6B 1 . "sta

variacin anular es muy peque9a 1se

pueden sustituir las tanentes por los

nulos1 y recibe el nombre de

distorsin.

2i nos referimos un paraleleppedo elemental en las deformaciones. 2ucede entonces que el

paraleleppedo /AC0D"!: tras la deformacin del cuerpo pasa a la posicin / A C 0 D "


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! :, se-n se aprecia en la fiura, indicndose las deformaciones por los recorridos 1u, v y

1 que eperimentan los diferentes v#rtices.

os lados del paraleleppedo modifican sus lonitudes iniciales 1 d, dy, y dz 1 de manera

que proyectadas sobre los tres ees

primitivos alcanzan los valores siuientes'(E F ) d, (E Fy ) dy, y(E Fz) dz. De la

misma manera los nulos rectos que

forman las caras del paraleleppedo antes

de la deformacin varan tras ella

alcanzando los valores' 6B 1

y , 6B 1 yz y 6B 1 z

.

"n la terminoloa +abitual se denominan

alaramientos unitarios a' , yy z y

distorsiones a' y ,yz y z.

as componentes del vector //; se-n las direcciones de los ees coordenados se

denominan'u, v, y . "n la mecnica de los medios continuos se supone que estas

componentes son funcionesdel punto y continuas 1admiten al menos primera y seunda

derivada1 "s decir'u G u (, y, z) G (, y, z) G (, y, z).

as tensiones normales 4 ) 5 dan luar a alaramientos mientras que las tensiones

tanenciales 45 provocan distorsiones 4 5. "l conunto de las variaciones lineales y

anulares delos diversos paraleleppedos elementales en que pueden suponerse

descompuestos los cuerpos, es lacausa de los recorridos finales, lineales y anulares de los

mismos.


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Teore(a de Cauc)*

2i f y son funciones continuas en Ha, bI y derivables en (a, b), eiste un punto

c

"l valor del primer miembro es constante'

a interpretacin eom#trica del teorema de 0auc+y nos dice que eisten dos

puntos (c, f(c)) y (c, (c)) de las curvas f() y (), tales que la pendiente de la


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tanente a la curva f() en el primer punto es J veces la pendiente de la tanente a la

curva () en el seundo punto.Al teorema de 0auc+y tambi#n se le suele denominar teore(a de+ ,a+or (edio

-enera+iado.

E.e(/+os

Analizar si el teore(a de Cauc)* es aplicable en el intervalo HE, KI a lasfunciones'

f() G 8 L 8 F M y () G M L >8 F 86 L N.

"n caso afirmativo, aplicarlo.as funciones f() y () son continuas en HE, KI y derivables en (E, K) por ser

polinmicas, adems se cumple que (E) O (K).

/or lo tanto se verifica el teore(a de Cauc)*'

Analizar si el el teore(a de Cauc)*es aplicable a las funciones f() G sen y

() G cos en el intervalo H6, P


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