mecanica de fluidos

[MECANICA DE FLUIDOS II]

FLUJO POTENCIAL.

Muchos problemas de diseño en el área de flujo de fluidos requieren un conocimiento exacto de las distribuciones de velocidad y presión, por ejemplo, el flujo sobre superficies curvas a lo largo de las alas de un aeroplano, a través de los pasos en una bomba, en un compresor, o sobre la cresta de una compuerta. El conocimiento del flujo en dos o tres dimensiones de un fluido incompresible, no viscoso ofrece una visión más amplia de muchas situaciones reales del flujo.En esta práctica se desarrollan los principios del flujo irrotacional de un fluido ideal y se aplican a situaciones elementales. Una vez establecidas las condiciones del flujo, se definen los conceptos de potencial de velocidad y función de corriente. Finalmente se estudian situaciones de flujo en dos dimensiones.

EL FLUJO IDEAL.Para que el fluido se considere ideal debe de cumplirse que éste sea:- Incompresible (ρ = constante).- No viscoso (μ = 0).- Irrotacional.De acuerdo con lo expuesto por Prandtl, sólo dentro de la capa límite existen esfuerzos que no permiten la suposición de fluido no viscoso. Sin embargo, si el flujo de un fluido ideal sobre un cuerpo se origina de un flujo irrotacional, como el caso de una corriente libre uniforme, el Teorema de Kelvin asegura que el flujo se mantendrá irrotacional aún cerca del propio cuerpo. Esto es, el vector vorticidad será cero en cualquier punto del fluido.En situaciones de flujo incompresible, en donde la capa límite es muy delgada, los resultados del “fluido ideal” pueden ser aplicados al caso de un flujo de fluido real, obteniéndose un grado de aproximación excelente.Supóngase una partícula fluida sobre el plano xy (figura 4.1).

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Figura 4.1. Esquema del movimiento de una partícula sobre el plano xy.(C.G. es el centro de gravedad, u es la velocidad en la componente horizontal y v es la velocidad en la componente vertical). Si la partícula de la figura 4.1 se desplaza con una velocidad, u = (u,v) , y estuviera girando se tendría que (considerando el sentido antihorario como positivo, de acuerdo a la figura 4.2):

Figura 4.2. Esquema vectorial de la velocidad de una partícula girando sobre el plano xy.De esta forma, el valor promedio de la velocidad angular sería:

Siendo ωz la componente total de la velocidad angular sobre el eje “Z” (PL XY). Haciendo lo mismo para los otros planos, y aplicando la definición del vector vorticidad:

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Donde ∇ es el operador vectorial, y donde la velocidad tiene

componentes De estaForma se puede ver que rot u = 2ω. Por la condición de irrotacionalidad ( rot u = 0), entonces debe cumplirse que

Es decir, que las 3 componentes de la vorticidad deben ser nulas.Cuando se trata de flujos bidimensionales el problema se restringe a

POTENCIAL DE VELOCIDADES.Se puede observar que, si el flujo es irrotacional (ecuación 4.5), existe una función escalar (Φ) del espacio y del tiempo tal que su derivada en una dirección cualesquiera es la componente de la velocidad del fluido en esa dirección. Matemáticamente, la función escalar, en flujo bidimensional, se define por las ecuaciones:

A la función “Φ” se le llama “velocidad potencial”, y los campos de flujo que son irrotacionales se les llaman flujos potenciales. Un requisito fundamental del flujo irrotacional, es que los flujos potenciales cumplan con la ecuación de Laplace o Laplaciano de la función φ

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Es importante observar que cualquier función “Φ” que satisfaga el Laplaciano es un posible caso de flujo irrotacional.Dado que φ es lineal (aparece a la primera potencia en cada término del Laplaciano), la suma de dos o más soluciones cualesquiera también son solución:

En la bibliografía especializada, a la línea definida por cualquier función φ(x,y) = cte. se le llama “línea equipotencial”. LA FUNCIÓN DE CORRIENTE.Dado que se deben cumplir las condiciones de irrotacional e incompresible, entonces se puede definir una función “ψ” tal que satisfaga la ecuación de continuidad

A cualquier función “ψ” que satisfaga estos requisitos se le llamada “función de corriente”, y dada su definición, esta función es válida para todos los flujos bidimensionales, sean irrotacionales o rotacionales. Para cumplir con la condición de irrotacional, un flujo bidimensional se puede modelar como

Que es una condición necesaria y suficiente.A la línea Ψ(x,y) = cte. se le conoce como línea de corriente y es, en todos sus puntos, tangente al vector velocidad. Las líneas de corriente y las líneas equipotenciales son ortogonales, es decir, se cortan entre sí en ángulos rectos, excepto en los puntos singulares. APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES POTENCIAL Y DE CORRIENTEa) Corriente uniforme.

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Una corriente de velocidad constante (U∞ = cte.) tiene derivadas nulas y, por tanto, satisface la condición de irrotacionalidad y la ecuación de continuidad. Supóngase primero que el flujo es unidireccional en la dirección del eje x; las funciones φ y ψ resultantes son

Integrando, se obtiene

Las constantes de integración C1 y C2 no afectan ni a las velocidades ni a las presiones, por tanto, se pueden ignorar. Estas funciones se han representado en la figura siguiente (figura 4.3) y consisten en una malla de líneas de corrientes rectas, perpendiculares a líneas equipotenciales, también rectas. Es costumbre poner flechas en las líneas de corriente mostrando la dirección del flujo.

Figura 4.3. Esquema de un flujo potencial. Corriente libre. a) Corriente horizontal. b) Inclinación con un ángulo α.

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Se puede generalizar la corriente uniforme de tal forma que forme un ángulo α con el eje x, como en la figura 4.3b. De esta forma se tiene que

Integrando, para la corriente uniforme a un ángulo α se tiene

Lo que es útil para problemas de perfiles con ángulos de ataque.b) Fuentes o sumideros.Supóngase ahora un tubo delgado situado en el eje z, que estuviese perforado y emitiese transversalmente un caudal uniforme a lo largo de su longitud. Mirando a lo largo del eje z, se vería un flujo radial como se muestra esquemáticamente en la figura 4.4. En flujo estacionario, la cantidad de fluido que atraviesa una superficie cilíndrica, de radio r cualquiera y longitud b, es constante:

Donde,

m es una constante y se le conoce como “intensidad” de la fuente o del sumidero. Si m es positivo se tiene una línea de fuente bidimensional, y si m es negativo un sumidero bidimensional.Obviamente las líneas de corriente (Ψ) de las fuentes apuntan hacia fuera como en la figura 4.4, con una velocidad tangencial (vθ) cero. En el caso de que la intensidad “m” fuera negativa, las líneas de corriente apuntarían hacia adentro.

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Figura 4.4. Esquema de un flujo producido por una fuente. a) líneas de corriente. b) líneas equipotenciales.

Por simplicidad, se obtener Ψ y Φ en coordenadas polares

Integrando, se obtienen las funciones de corriente y potencial para las fuentes (+m), o los sumideros (-m)

Éstas se han representado esquemáticamente en la figura 4.4. Su forma en cartesianas sería:

Es posible comprobar, por simple sustitución, que Ψ y Φ satisfacen la ecuación de Laplace en cualquier sistema de coordenadas.c) DobleteUn doblete se define como el resultado de la suma de una fuente y un sumidero de igual intensidad, cuando se aproximan el uno al otro, de

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tal forma que el producto de sus intensidades y la distancia entre ellos es la constante 2πλ. A λ se le llama intensidad del doblete.

Si una fuente se encuentra en (a, 0) y un sumidero de igual intensidad se encuentra en (-a, 0), el potencial de velocidad para ambos, en algún punto P, es:

Con r1 y r2 las distancias desde la fuente y el sumidero respecto al punto P. Por tanto 2πμ es la intensidad del sumidero y de la fuente. Para poder tomar el límite a medida que se aproxima a cero para 2am=λ es necesario alterar la forma de la expresión para Φ. Los términos r1 y r2 pueden ser expresados en coordenadas polares (r,θ) según la ley de cosenos. Después de manipular las ecuaciones, y tomando el límite cuando a se aproxima a cero, se llega a

La ecuación (Ec.4.11a) representa al potencial de velocidad para un doblete bidimensional en el origen con el eje en la dirección “+ x”. Para obtener la función de corriente, se emplean las relaciones en coordenadas cilíndricas, con lo que:

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Las ecuaciones en coordenadas cartesianas son:

Las líneas de corriente constante son círculos tangentes al eje x y pasan por el origen; las líneas de equipotenciales son círculos que pasan por el origen tangentes al eje y. En el origen, la velocidad es infinita y por tanto se le considera un punto singular.

d) Cuerpo semiinfinito de RankineCuando a una corriente uniforme se le añade una fuente o un sumidero, se obtiene uno de los flujos más interesantes. Si la corriente incidente tiene velocidad U∞ en la dirección del eje x, y la fuente está situada en el origen, la función de corriente del conjunto es, en coordenadas polares.

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Para representar las líneas de corriente se le puede dar a esta función diversos valores constantes y dibujar las líneas correspondientes, o utilizar el método gráfico hallando la intersección de las líneas horizontales de la corriente uniforme con las líneas radiales de la fuente. Un cuerpo semiinfinito, aproximadamente elíptico, separa a la corriente uniforme de la fuente. La forma de la parte superior del cuerpo está dada por la línea:

De donde se puede dibujar r en función de θ. No es realmente una elipse.La forma de la parte inferior es Ψ = - π m.Las dos partes coinciden en un punto de remanso (V = 0) en x = -a = -m/U∞, donde también cruza la línea Ψ = 0. Se debe recordar que las líneas de corriente pueden cruzarse en los puntos de remanso.Las componentes cartesianas de la velocidad son

Haciendo u = v = 0, se determina la posición del punto de remanso: θ = 180º y r = m/U∞ ó (x, y) = (∞ − m/U, 0). La velocidad resultante en cualquier punto está dada por

Donde se ha sustituido m = U∞a. Hay un gradiente de presión favorable desde el punto de remanso hasta s ≈ 3 a(θ = 63º), donde Us, máx= 1.26 U∞, a partir de aquí hay un gradiente adverso suave ya que Us → U∞ cuando s→∞. Se puede aplicar la teoría de la capa

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límite al flujo de la figura 4.7.(b) para ver cuándo se desprende la corriente. Con el método de Thwaites, no se predice separación.Por tanto, se puede concluir que la figura 4.7.(a) representa un flujo muy realista y útil, simulando la parte frontal de un cuerpo cilíndrico inmerso en una corriente.Cuando x→∞, las líneas de corriente que representan al cuerpo de la figura 4.7.(a) tienden a las líneas rectas y = ± πa; esto es, lejos aguas abajo de la fuente, el semicuerpo tiene un espesor uniforme de valor 2πa.Las líneas de corriente se han representado en la figura 4.7c, y son la imagen exacta a un espejo de las de la figura 4.7a. El punto de remanso está en x = +a = m/U∞. La distribución de velocidad sobre la superficie se muestra en la figura 4.7d.e) Óvalo de RankineCuando una fuente y un sumidero se alinean en la dirección de una corriente uniforme, como en la figura 4.7a, se obtiene una forma elíptica denominada óvalo de Rankine, de longitud mayor a su anchura. La función de corriente del conjunto es:

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Figura 4.7. Flujo de Rankine. a) Corriente uniforme y una fuente, c) corriente uniforme y un sumidero. Cuando se dibujan las líneas de corriente, Ψ constante, a partir de la ecuación anterior, se obtiene un cuerpo de forma oval como el de la figura 4.8. La semilongitud (L) y la semianchura (h) del óvalo dependen de la intensidad relativa de la fuente y de la corriente uniforme, esto es, de la relación m/U∞a, que en la figura 4.8b es igual a 1. Las líneas de corriente circulatorias en el interior del óvalo no son interesantes y normalmente no se muestran. La línea oval corresponde a Ψ = 0.Hay puntos de remanso en la parte frontal y posterior del óvalo (x = ± L, y = 0), y puntos de velocidad máxima y presión mínima en (x = 0, y = ± h). Todos estos valores son funciones de parámetro adimensional básico m/U∞a, y se pueden determinar de las ecuaciones:

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Figura 4.8. Óvalo de Rankine. Resultado de sumar una fuente y un sumidero a una corriente libre.

Cuando aumentamos m/U∞a desde cero hasta valores grandes, la forma del óvalo aumenta de tamaño y espesor desde una placa plana de longitud 2a a un cilindro enorme casi circular. Esto se muestra en la siguiente tabla 4.1. En el límite m/U∞a→∞, L/h→1 y umax/u∞→2, se tiene el flujo alrededor de un cilindro circular.

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Tabla 4.1. Relaciones para determinar el efecto en el Óvalo de Ranking

Todos los óvalos de Rankine, excepto los muy delgados, tienen un gradiente adverso de presión muy grande en su parte posterior. Se desprende la capa límite formándose una estela ancha, de modo que no resultaría realista aplicar el modelo no viscoso a esta zona.

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FLUJO EN CAPA LÍMITE

El borde de la capa límite cuyo espesor se designa con 6 (x) se define arbitrariamente como el lugar geométrico de los puntos en la que la velocidad es igual al 99% de la velocidad de la corriente libre.

Se sabe que en un fluido ideal las velocidades permanecen invariables en una sección determinada, sin embargo, en un fluido real existe un frenado en la proximidad de la pared debido a la viscosidad. Es debido a la viscosidad que en los fluidos reales no existe deslizamiento en las fronteras rígidas, es decir, la velocidad del fluido con respecto a la frontera es cero (Principio de no deslizamiento). Como resultado de este fenómeno resulta que los gradientes de velocidad y esfuerzo tangencial son máximos en esta zona. La zona donde la velocidad es influenciada por los esfuerzos tangenciales se denomina capa límite, en esta zona la velocidad se aproxima asintóticamente a la velocidad del flujo principal.

La capa límite, aguas arriba de un cuerpo de forma aerodinámica, es muy delgada, pero al moverse esta capa por el cuerpo hay una mayor

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cantidad de partículas que son retardadas por efecto del esfuerzo de corte. Así, la capa límite aumenta su espesor hacia aguas abajo.

En el caso de superficies lisas, la capa límite es laminar, ya que las partículas de fluido se mueven en capas lisas. Pero al aumentar el espesor, ésta se vuelve inestable y se transforma en una capa límite turbulenta, donde las partículas de fluido se mueven con diversas trayectorias. Sin embargo, en esta región aún persiste el flujo laminar por medio de la llamada sub-capa laminar.

Algunas definiciones importantes son:

Capa Límite: capa de fluido muy delgada que está en contacto con una superficie sólida, dentro de la cual no se pueden despreciar los efectos viscosos. Capa de fluido cuya velocidad es afectada por la fuerza cortante en la frontera.

Espesor de la capa límite,: lugar geométrico de los puntos donde la velocidad u paralela a la placa alcanza el 99% del valor de la velocidad exterior U.

Espesor de deslizamiento: distancia que deben desplazarse las líneas de corriente para que se satisfaga la conservación de la masa entre la entrada y la salida para un fluido escurriendo por un placa plana.

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Para que se satisfaga la ecuación de continuidad se debe tener que:

Luego:

(1.1)

Espesor de Momentum,: espesor de la capa de fluido de velocidad U cuya cantidad de movimiento es igual al déficit de cantidad de movimiento o, en otras palabras, a la cantidad de movimiento transferida a la pared.

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- Cantidad de movimiento que entra:

- Cantidad de movimiento que sale:∫0

Y

ρ u2 dy

La diferencia entre la cantidad de movimiento que entra y la cantidad de movimiento que sale estará dada por:

ρ U 2 h−∫0

Y

ρ u2 dy = ρ U2 θ

Donde: fracción de cantidad de movimiento transferida a la placa.

Por continuidad:

U h =∫0

Y

u dy

ρ U2 h= ρ U ∫0

Y

u dy

ρ U2 θ = ρ U ∫0

Y

u dy −∫0

Y

ρ u2 dy

= ρ ∫0

∞

(U u − u2 ) dy

∴ θ =∫0

∞ ( uU − u2

U 2 ) dy

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θ =∫0

∞ uU

(1 − uU ) dy (1.2)

ESTUDIO DE LA CAPA LÍMITE PARA UN FLUJO QUE ATRAVIESA UNA PLACA PLANA.

Aplicación de la Ecuación de Cantidad de Movimiento en su forma integral al estudio de la capa límite.

Sea una placa plana, como la que se muestra en la figura y un fluido escurriendo por ella.

Se tiene que la cantidad de fluido que entra al volumen de control por la sección OB está dada por:

Por otro lado, la cantidad de fluido que sale del volumen de control por la sección AC es:

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Luego, la cantidad de fluido que atraviesa la sección BC es:

Por otro lado, la ecuación general de cantidad de movimiento está dada por:

Considerando flujo permanente incompresible se tiene que la única fuerza que actúa es la fuerza de arrastre en la placa, ya que se considera que la presión es constante alrededor de todo el volumen de control. Luego:

El arrastre sobre la placa ocurre en la dirección opuesta, luego:

F =−ρ ∫0

δ

u (U − u ) dy

(1.3)

Pero, esta fuerza se puede expresar también en función del esfuerzo de corte a lo largo de la placa, es decir:

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Así, igualando ambas expresiones y despejando la tensión de corte, se tiene:

(1.4)

Puede apreciarse que el valor de 0 depende de:

- La distribución de velocidades en la capa límite.

- La manera de como varía el espesor de la capa límite.

Sea: : velocidad relativa a la velocidad inicial.

: Altura relativa al espesor de la capa límite.

Entonces:

(1.5)

Para: y* = 0 ; u* = 0

y* = 1 ; u* = 1

Capa Límite Laminar.

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Prandtl propone que la distribución de la velocidad en la capa límite laminar está dada por:

Reemplazando en la expresión de la tensión de corte:

Por otro lado:

Y:

Entonces, se tiene que:

Igualando ambas expresiones de la tensión de corte, se tiene finalmente:

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Para: x = 0 ; = 0 ; C = 0

Despejando el espesor de la capa límite, se llega a relacionar esta variable con el número de Reynolds:

Con: ; Luego:

Esta ecuación entrega el espesor de la capa límite para flujo laminar y se puede observar que el valor de aumenta con la raíz cuadrada de la distancia a la orilla frontal de la placa.

Reemplazando en la ecuación de 0, se tiene:

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Con:

Así, para una longitud x = L; se tiene:

FL =∫0

L

τ0 dx =∫0

L

0. 322 ρ U2

√Rex dx

∴ FL = 0 .644 ρ U2

√ReL L

(1.6)

Donde la resistencia crece con la raíz cuadrada de la longitud de la placa. Esta resistencia o arrastre se puede expresar también en términos de un coeficiente adimensional de arrastre CD multiplicado por la presión de estancamiento y el área de la placa (por unidad de ancho).

(1.7)

Con: (1.8)

Cuando el número de Reynolds oscila entre 0.5 106 y 106 la capa límite se hace turbulenta. Este valor crítico de Reynolds depende de varios factores, como:

- La turbulencia inicial del flujo.

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- El borde de ataque.

- La rugosidad de la placa.

Además, se ha visto que para números de Reynolds menores que 2500, la teoría de la capa límite falla, pues el espesor es tan grande que tiene un efecto sobre la corriente exterior.

Capa Límite Turbulenta.

Aplicando el mismo análisis integral y aplicado la ecuación de cantidad de movimiento se puede llegar a determinar el crecimiento de la capa límite turbulenta y las tensiones de corte sobre una placa lisa.

Prandtl sugirió que los perfiles turbulentos pueden aproximarse a la ley de la potencia a un séptimo. De esta manera se puede suponer que la distribución de velocidades de la capa límite turbulenta es:

Desarrollando la expresión integral para encontrar el esfuerzo de corte, se tiene:

Igualando ambas expresiones de 0:

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Para: = 0 ; x = 0 C = 0

Se puede apreciar de esta expresión que la capa límite turbulenta aumenta de espesor más rápidamente, ya que es proporcional a x4/5, en cambio el espesor de la capa límite laminar es proporcional a x1/2. Reemplazando el valor del espesor de la capa límite en la expresión experimental de 0, se obtiene:

τ 0 = 0 .029 ρ U2

(Rex )1/5

∴ FL = 0 .036 ρ U2

(ReL )1/5 L

(1.9)

Con:

(1.10)

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Cuando el número de Reynolds tiene valores entre 0.5 106 y 107 se cumple que las ecuaciones anteriores son válidas, pero para flujos con números de Reynolds mayores el exponente en la distribución de velocidad se reduce.

Experimentalmente se ha encontrado que el arrastre es un poco mayor que el que da la ecuación encontrada. Esto se debe a que la capa límite en contacto con la pared es laminar.

FLUJO EN CANALES ABIERTOS

La característica principal que diferencia el flujo en un canal abierto del flujo en un ducto cerrado es que en el canal existe una superficie libre la cual se encuentra a una presión constante. Por ejemplo, la presión sobre la superficie del agua en un rio se encuentra sometida a la presión atmosférica y esta presión es constante a lo largo del río. La implicancia fundamental de esta característica es que el movimiento del fluido se origina en el peso del fluido (fuerza gravitatoria) y no la existencia o no de una diferencia de presiones, como es el caso de un ducto cerrado. La distribución de presiones en un canal abierto es por lo general hidrostática, es decir, depende solo de la profundidad del fluido. Las otras fuerzas de importancia en el estudio de canales abiertos, son la fuerza de inercia y la fuerza originada por la fricción.

Además de las clasificaciones vistas anteriormente como laminar, turbulento, etc., la existencia de una superficie libre permite clasificar los flujos en canales abiertos de acuerdo a la forma en que varía su profundidad (y) a lo largo del canal (x). Un flujo se diría uniforme si la profundidad del flujo no varía a lo largo del canal, es decir, si dy/dx = 0, y no–uniforme si la profundidad varía a lo largo del canal, es decir, si dy/dx 6= 0. Los flujo no uniformes se dividen además en flujos que

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varían rápidamente, dy/dx ' 1 y flujos que varían lenta o gradualmente, dy/dx _ 1.Como en cualquier tipo de flujo, el flujo en canales abiertos puede ser laminar, de transición o turbulento. Esto estará determinado por el valor del numero de Reynolds, definido como

Como regla general se considera que el flujo laminar si Re _ 500, turbulento si Re _ 12500 y de transición si 500 < Re < 12500. Estos son solo valores de referencia y dependen, entre otras cosas, de la geómetra del canal y por lo tanto varían de una geómetra a otra. En la práctica, el flujo en canales es por lo general turbulento.Una característica importante de la superficie libre es que esta se puede deformar. Esta deformación forma ondas de superficies (olas) que viajan sobre la superficie a una velocidad que depende tanto de propiedades de la onda, como su amplitud y longitud, como de características del canal como profundidad, velocidad del flujo, etc... El carácter del flujo dependerá, entre otras cosas, de la velocidad del flujo relativo a la velocidad de desplazamiento de una onda de superficie. El numero a dimensional que describe este comportamiento, y por lo tanto caracteriza los distintos tipos de flujo, es el numero de Froude, que, como se vio en el capítulo 8, se define como:

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Donde l es una dimension caracterıstica del flujo. Como se vera mas adelante, el denominador de la ecuacion anterior representa la velocidad de propagacion de una onda de superficie o gravedad.Un flujo donde Fr < 1 se denomina subcrıtico o lento. Si Fr = 1 el flujo se llama crıtico y si Fr > 1 el flujo se dice supercrıtico o rapido. Como se puede apreciar, existe una analogıa entreesta clasificacion y la clasificacion, mediante el numero de Mach, de los distintos regımenes de flujos compresibles. El numero de Mach es la razon entre la velocidad del flujo y la velocidad de propagacion de una onda de presion a traves del medio, y el numero de Froude es la razon entre la velocidad del flujo y la velocidad de propagacion de una onda de superficie sobre la superficie del flujo.

Ondas de superficieEn esta seccion se analizara la velocidad de propagacion c de una onda de superficie generada artificialmente que se desplaza sobre la superficie de lıquido, originalmente en reposo, como muestra la figura 12.1. Se supondra que no existen efectos disipativos. Suponiendo un volumen de control que se desplaza con la onda se pueden aplicar las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento al volumen de control perturbado artificialmente. Se supondra que el flujo es uniforme y unidimensional. La ecuacion d continuidad por unidad de profundidad para el volumen de control es

Reordenando se obtiene

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Analogamente, aplicando la ecuacion de cantidad de movimiento se obtiene

Despreciando los terminos de orden _2 c/r a los terminos de orden _ se obtiene

Combinando las ecuaciones 12.4 y 12.6 se obtiene finalmente

Este resultado muestra que a mayor amplitud la onda se propaga a una velocidad mayor. Para ondas de amplitud pequena, es decir, cuando _y _ y la ecuacion anterior queda

Considerando el movimiento de ondas continuas de forma sinusoidal, es posible obtener unadescripcion mas general acerca del movimiento de las ondas. Considerando ondas de amplitud pequena y longitud de onda _ como muestra la figura 12.2 se obtiene la siguiente expresion para la velocidad de desplazamiento

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La figura 12.3 muestra resultado anterior en forma grafica. Se ve que la velocidad de propagación varıa tanto con la longitud de onda como con la profundidad del fluido y es independiente de la amplitud _y. Para los casos donde la profundidad del fluido es mucho mayor que la longitud de onda , y _ _, que corresponde al caso de oceanos por ejemplo, la velocidad c sera independiente de la profundidad e igual a

Por otro lado, para el caso donde la profundidad es pequena en relacion a la longitud de onda, es decir, y _ _, la ecuacion 12.9 tiende a la ecuacion 12.8, es decir, c ! pgy. Esta situación que corresponde a la gran mayorıa de los flujo en canales .

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Figura 12.3: Velocidad de propagacion de una onda de superficie en funcion de la longitud de onda.

Consideraciones energeticasEn esta seccion se realizaran algunas consideraciones energeticas sobre el flujo en canales. Para ello consideraremos un tramo de un canal como el que se muestra en la figura 12.4. Se supondrá que el perfil de velocidades es uniforme en cualquier seccion del canal. La pendiente del fondo del canal o solera (S0 = (z1 − z2)l) se supondra constante y pequena.

Un balance de energıa en unidades de longitud entre dos secciones del canal resulta

Donde hL representa las perdidas de energıa. La diferencia de cota entre 1 y 2 se puede expresar como z1−z2 = S0l. Ademas, como la presion es esencialmente hidroestatica en cualquier sección del canal, se cumple que p/ = y. Reemplazando se obtiene

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Expresando la perdida de energıa hL en funcion de la pendiente de la lınea de energıa total Sf tal que hL = Sf l la ecuacion de energıa queda

Para el caso donde no hay perdidas de energıa (Sf = 0) y el canal es horizontal (S0 = 0) se Cumple

Energıa especıficaLa energıa especıfica E se define como la energıa relativa al fondo del canal, es decir,

La energıa total o altura total (energıa en unidades de longitud) en un punto del canal sera, por lo tanto, la energıa especıfica mas la energıa potencial del punto dado, es decir,

El balance de energıa analizado anteriormente se puede expresar en terminos de la energıa especıfica de la siguiente manera

Si se considera un canal de seccion de paso rectangular de ancho b, la energıa especıfica se puede escribir en terminos del flujo volumetrico por unidad de profundidad q = Q/b = V yb/b = V y, como

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Para un canal de ancho b constante, q se mantendra constante a lo largo del canal, independiente de las posibles variaciones de la profundidad y. Graficando la funcion E = E(y)1 para valores constantes de q se obtiene el diagrama de energıa espe´ıfica que tiene la forma del diagrama de la figura 12.5. De esta figura se ve que para un valor dado de q, todas las curvas tienen una energıa mınima E mın. Este punto se denomina punto crıtico y la profundidad y energıa correspondientes se denominan profundidad y energıa criticas respectivamente. El valor de la profundidad crıtica yc se obtiene de 1Esta es una funcion cubica en y, con dos soluciones positivas y una negativa. Esta ´ultima carece de interpretacion fısica por lo que no se muestra.

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Reemplazando en E(y) se obtiene

La velocidad en el punto crıtico es

Esta velocidad corresponde a la velocidad de una onda de gravedad o superficie vista anteriormente.Sobre esta energıa mınima, es decir, para E > Emın, existen dos posibles profundidades(ysub, ysup) en el canal. Ademas las curvas son asintoticas a y = E e y = 0 superior e inferiormente.Estos lımites corresponden a un canal muy profundo con velocidades muy lentas y a un canal con una velocidad muy alta y una profundidad muy baja. Como q = V y es constante y como ysub > ysup se obtiene que Vsup > Vsub. Por lo tanto, el punto crıtico divide el grafico en una region superior donde el flujo es subcrıtico (Fr < 1) y una region donde el flujo es supercrıtico (Fr > 1). Para el punto crıtico se cumple que Fr = 1.El diagrama de energıa especıfica, E−y, es para un caudal por unidad de ancho q constante. En un canal es posible que q varıe a lo largo del canal, por ejemplo debido a un cambio de sección entre dos puntos. En el diagrama de energıa especıfica esto se ve reflejado en el cambio de una curva a otra. A medida que q aumenta o disminuye, la curva E −y se desplaza hacia la derecha o izquierda respectivamente.

Para el caso de canales de seccion transversal A distinta a la rectangular y caudal volumetricoQ dado la energ´ıa especıfica es

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