OSCILACIONES Y MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

DINMICA DE FLUIDOSINTRODUCCINPROFESOR: LIC. CARLOS E. JOO. G.DEFINICIN: El flujo de fluidos suele ser extremadamente complejo, como se aprecia en las corrientes de los rpidos de los ros o en las flamas de una fogata.Pero algunas situaciones se pueden presentar como modelos idealizados relativamente simples. En lugar de estudiar el movimiento de cada partcula del fluido como una funcin del tiempo, se describirn las propiedades del fluido en movimiento en cada punto como una funcin del tiempo.

Nos valdremos de principios ya estudiados como las leyes de movimiento y conservacin de la energa propuestas por Newton, entre otros.. 03/06/2012 08:36 a.m.2Lic. Carlos E. Joo GarcaCARACTERSTICAS GENERALES DEL FLUJO DE FLUIDOSCuando un fluido est en movimiento, su flujo puede caracterizarse como uno de dos tipos principales:Ser estable (estacionario) o laminar si cada partcula del fluido sigue una trayectoria uniforme , por lo que las trayectorias particulares de cada uno nunca se cruzan entre s. As en el flujo estable, la velocidad del fluido en cualquier punto se mantiene constante en el tiempo. Arriba de cierta rapidez critica el flujo del fluido se vuelve turbulento; ste es un flujo irregular caracterizado por pequeas regiones similares a torbellinos.

03/06/2012 08:36 a.m.3Lic. Carlos E. Joo GarcaADEMS:El flujo puede ser compresible o incompresible, si la densidad del fluido es una constante o no. Por lo general se piensa que los lquidos fluyen de manera incompresible. Pero aun en un gas muy compresible, la variacin de la densidad puede ser insignificante, y en la practica podemos considerarlo incompresible (aerodinmica subsnica).El flujo puede ser viscoso o no viscoso. La viscosidad en el movimiento de los fluidos es el equivalente a la friccin en el movimiento de los slidos, es decir el grado de friccin interna del fluido. Debido a la viscosidad parte de la energa cintica del flujo se convierte en energa interna.El flujo puede ser rotacional o irrotacional. (el vrtice formado cuando se quita la tina del bao).

03/06/2012 08:36 a.m.4Lic. Carlos E. Joo GarcaFLUIDOS IDEALES:Como el movimiento de un fluido real es muy complicado e incluso no del todo comprendido, harn algunas suposiciones en este planteamiento. Consideraremos el caso de un fluido llamado ideal.Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo.La temperatura no vara.El fluido no tiene viscosidad. Fluido no viscoso. Se desprecia la friccin interna entre las distintas partes del fluido.Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo(y entonces la velocidad y la presin no dependen del tiempo). El flujo no es turbulento, es laminar.Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto.

03/06/2012 08:36 a.m.5Lic. Carlos E. Joo GarcaLAS LNEAS DE CORRIENTE:El camino de una partcula individual de fluido se llama lnea de flujo. Si el patrn global de flujo no cambia con el tiempo entonces se trata de un flujo estacionario o estable, cada elemento que pasa por un punto sigue la misma lnea de flujo.Una Lnea de corriente es una curvatura cuya tangente en cualquier punto tiene la direccin de la velocidad del fluido en ese punto (velocidad constante en un mismo punto). No se pueden cruzar dos lneas de flujo o de corriente en un flujo estacionario.

Es decir que el fluido no puede cruzar las paredes laterales de un tubo de flujo; y los fluidos de distintos tubos de flujo no pueden mezclarse.

03/06/2012 08:36 a.m.6Lic. Carlos E. Joo Garca

03/06/2012 08:36 a.m.7Lic. Carlos E. Joo GarcaLA ECUACIN DE CONTINUIDAD:En un intervalo de tiempo t la seccin S1 se mueve hacia la derecha x1=v1 t. La masa de fluido desplazada hacia la derecha es m1=S1 x1=S1v1 t.

En el mismo intervalo t la seccin S2 se mueve hacia la derecha x2=v2 t. La masa de fluido desplazada hacia la derecha es m2=S2 x2=S2v2 t.Si es un fluido incompresible se tiene un flujo o caudal constante:S1v1 = S2v2 03/06/2012 08:36 a.m.8Lic. Carlos E. Joo GarcaEJEMPLO 6: CATARATAS DEL NIAGARA (Serway-P.471).Cada segundo 5 525 m3 de agua fluyen sobre los 670m de ancho del risco de la porcin Horseshoe Falls (cada de herradura) de las cataratas del Nigara. El agua llega aproximadamente 2m de fondo cuando alcanza el risco Cul es su rapidez en ese instante?

Solucin: El rea de la seccin transversal del agua cuando sta alcanza el lmite del risco es A=(670m)(2m)= 1340m2.La rapidez de flujo de 5 525m3/s es igual a Av . esto produce una velocidad de

03/06/2012 08:36 a.m.9Lic. Carlos E. Joo GarcaLa rapidez del agua de riego del extremo de una manguera de jardn, aumenta cuando el pulgar reduce la abertura.

03/06/2012 08:36 a.m.10Lic. Carlos E. Joo GarcaEJEMPLO 7: (RESNICK-P.354-fig.16.5). La figura muestra cmo la corriente de agua que sale de un grifo se estrecha conforme va cayendo. La superficie transversal A1 es 1.2cm2 y la de A2 es 0.35cm2 .Los dos niveles estn separados por una distancia vertical h (45mm). Con qu rapidez fluye el agua del grifo?

03/06/2012 08:36 a.m.11Lic. Carlos E. Joo GarcaEJEMPLO 8: (Sears-P.528).Como parte de un sistema de lubricacin para maquinaria pesada, un aceite con densidad de 850 kg/m3 se bombea a travs de un tubo cilindrico de 8.0 cm de dimetro a razn de 9.5 litros por segundo. Calcule la rapidez del aceite y la razn de flujo de masa?. Si el dimetro del tubo se reduce a 4.0cm, qu nuevos valores tendrn la rapidez y la razn de flujo de volumen? Suponga que el aceite es incompresible.

(Respuesta a: 1,9m/s y; respuesta b: 7.6m/s) 03/06/2012 08:36 a.m.12Lic. Carlos E. Joo GarcaTEOREMA DE BERNOULLI:Segn la ecuacin de continuidad, la rapidez de flujo en un fluido puede variar a lo largo de las trayectorias del fluido. La presin tambin puede variar, al igual que la situacin esttica, depende de la altura y de la rapidez de flujo. Deduciremos la expresin llamada ecuacin de Bernoulli, y es una herramienta indispensable para analizar los sistemas de plomera, las estaciones generadoras hidroelctricas y el vuelo de los aviones.

03/06/2012 08:42 a.m.13Lic. Carlos E. Joo GarcaANALISIS:Considere el flujo de un fluido ideal por un tubo no uniforme en un tiempo t.

En la figura, se seala la situacin inicial 1 y se compara la situacin final 2 despus de un tiempo t. Durante dicho intervalo de tiempo, la cara anterior S1 del elemento de fluido se ha desplazado x1 =v1 t , y la cara posterior S2 se ha desplazado x2 = v2 t , hacia la derecha.03/06/2012 08:43 a.m.14Lic. Carlos E. Joo GarcaANALISIS:

Un cilindro de volumen V2=A2 v2 t = A2 x2 sale del tubo a travs de S2 , y es el mismo en cualquier caso: V=S1x1=S2 x2. Adems, el elemento de masa que fluye por S1 es m1 = S1 v1 t , as mismo la masa que fluye por S2 es m2 = S2 v2 t .03/06/2012 08:44 a.m.15Lic. Carlos E. Joo GarcaANALISIS:Comparando la situacin inicial en el instante t y la situacin final en el instante t +t. Observamos que el elemento m incrementa su altura, desde la altura y1 a la altura y2 .Calculemos el trabajo efectuado por sobre este elemento durante t . Suponemos que no hay friccin interna del fluido (no hay viscosidad)Las presiones en los extremos son p1 ,y p2 ; las fuerzas debidas a las presiones sobre los elementos de fluido sobre su cara anterior y sobre su cara posterior son: F1=p1S1 y F2=p2S2.

03/06/2012 08:55 a.m.16Lic. Carlos E. Joo GarcaANALISIS:La fuerza F1 se desplaza x1 = v1 t. La fuerza y el desplazamiento son del mismo signo. La fuerza F2 se desplaza x2 = v2 t. La fuerza y el desplazamiento son de signos contrarios. El trabajo de las fuerzas exteriores es Wext = W1 - W2 = F1 x1 - F2 x2 = (p1 - p2) V . El teorema de trabajo-energa nos dice que el trabajo de las fuerzas exteriores que actan sobre un sistema de partculas modifica la energa del sistema de partculas, es decir, la suma de las variaciones de la energa cintica y la energa potencial del sistema de partculas.

03/06/2012 08:55 a.m.17Lic. Carlos E. Joo GarcaANALISIS:Wext=Ef - Ei=(Ek+Ep)f - (Ek+Ep)i = Ek+ Ep. Y el trabajo no vara en el tiempo dt. La variacin de energa cintica es: Ek = 1/2 mv22 1/2 mv12=1/2 V(v22-v12) La variacin de energa potencial gravitacional es: Ep=mgy2 - mgy1=V (y2 - y1)g . Tomando diferenciales en vez de :Wext=Ef - Ei =( p1 - p2 ) dV = 1/2dmv22 - 1/2dmv12 + dm.g.y2 - dm.g.y1 . Ya que =dm/d V , dividiendo entre d V y reordenando:

03/06/2012 08:55 a.m.18Lic. Carlos E. Joo GarcaANALISIS:Obtenemos la ecuacin de Bernoulli, y es vlida para cualesquier dos puntos del tubo de flujo, as:

p +.g.y +1/2 .v2 = cte.

Observe que si el fluido no se mueve la expresin se reduce a la de la presin para un fluidoen reposo.PRESIN ESTTICAPRESIN DINMICA03/06/2012 09:15 a.m.19Lic. Carlos E. Joo GarcaDINMICA DE FLUIDOSECUACIN DE BERNOULLIAPLICACIONESPROFESOR: LIC. CARLOS E. JOO. G.EJEMPLO 9: Presin de agua en el hogar

03/06/2012 09:41 a.m.21Lic. Carlos E. Joo Garca

Ecuacin de Bernoulli para una Altura Constante: Teorema de TorricelliACTIVIDADES:Ejemplo. Radio del depsito 10 cm, Radio del orificio 0.8 cmAltura inicial 45 cm, H=0.45 m Desarrollo: A1= (0.1)2 m2 A2= (0.008)2 m2v2=Suponga ahora que la altura no es constante. cuanto tiempo demorara el fluido en evacuar del recipiente?.

03/06/2012 09:41 a.m.22Lic. Carlos E. Joo GarcaEfecto Venturi: Altura constanteLa ecuacin de continuidad se escribe:v1A1=v2A2Que nos dice que la velocidad del fluido en el tramo de la tubera que tiene menor seccin es mayor que la velocidad del fluido en el tramo que tiene mayor seccin. Si A1>A2, se concluye que v1