mecanica de fluidos
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FLUJO FLUJO POTENCIALPOTENCIAL
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FLUJO POTENCIAL
Superponer varios flujos potenciales simples para construir un flujo.
El flujo potencial representa a los flujos sin viscosidad
Es posible estudiarlos teóricamente
Proporciona las condiciones de frontera a utilizarse en la solución de la capa límite.
Objetivo
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CONCIDERACIONES BÁSICAS
- Flujo bidimensional, permanente, incompresible e irrotacional.- Condiciones de contorno para flujo no viscoso.- Conservación de masa- Física y matemáticas necesarias para la mecánica de fluidos
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FISICA Y MATEMATICAS NECESARIAS PARA LA MECANICA DE FLUIDOS
DERIVADAS PARCIALES
2( , ) 2 cos(3 )
2 2cos(3 )
???
F x y yx x y
Fxy y
xF
y
REGLA DE LA CADENA
( , )
( , )
( , )
???
F F A B
A x y
B x y
F F A F B
x A x B xF
y
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r
X
Y
Z
r xi yj zk
V ui vj wk
dr dx dy dzV i j k
dt dt dt dt
, ,dx dy dz
u v wdt dt dt
VECTORES
Considere el movimiento de una partícula. Denotando como r el vector posición (desplazamiento) de la partícula, y los vectores i, j, y k denotan a los vectores unitarrios en la dirección X, Y y Z, respectivamente. Luego
El vector velocidad V del movimientode un punto es dado por:
donde por definición
Por lo tanto:
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Gradiente
Divergencia
Rotacional
Laplaciano
OPERADOR NABLA
Es un operador diferencial representado por el símbolo V (nabla).
Este operador puede aplicarse a campo escalares Ф o a campos vectoriales
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Líneas de Corriente
Es un lugar geométrico de los puntos tangentes al vector velocidad de las partículas de fluido en instante t .
v
y
u
x
Ecuación de la línea de corriente en forma vectorial
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CAPA LÍMITE
Prandtl 1904: Explica la resistencia de los cuerpos currentilineos, placas planas paralelas al flujo y similares en flujo de pequeña viscosidad
Los efectos friccionantes del flujo se confinan a la capa limite y quizá a una estela detrás de un cuerpo pero fuera de la capa limite la viscosidad del fluido no tiene efecto el fluido es sin fricción e irrotacional
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V=0 en A y C Punto de estancamiento
En A y C V=0 Punto de estancamiento
En A y C la presión es máximo
En B la velocidad es máximo y la presión es mínimo
a) Flujo inviscido
b) Flujo existente
Flujo alrededor de una esfera
Región separada
Capa límite
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FUNCIÓN CORRIENTE
Se basa en el principio de la continuidad y las propiedades de la línea de corriente.
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)........(1 udyvdx
:es toralderivada la ),( : Si yx
.....(2) dyy
dxx
d
Comparando ambas expresiones se tiene :
.......(3) y
ux
v
El flujo entre las lineas de corriente puede ser cuantificado por:
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La ecuación de Vorticidad:
y
uv
x
expresados en términos de :
2
2
2
2
x y
Para flujos irrotacionales z =0
0x
22
2
2
2
y
Ecuación de Laplace
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POTENCIAL DE VELOCIDADEs una función (x,y) cuya derivada negativa con respecto a la distancia en cualquier dirección proporciona la velocidad en dicha dirección.
),(),(
vuVyx
y- v
dxu
gradV
Solo los campos irrotacionales pueden ser representado por una función potencial
Es perpendicular a la función de corriente
De la definición:
La función escalar se llama Potencial de Velocidad
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Si el flujo es considerado incompresible y estable, introduciendo en la ecuación de continuidad.
0y
v
dx
u
Se obtiene:
02
2
2
22
yx
La ecuación de Laplace.
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RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN DE LA CORRIENTE Y EL POTENCIAL DE VELOCIDAD
xyv
dxu
y
Ecuación de Cauchy-Riemann
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RELACIÓN ENTRE LAS LÍNEAS DE CORRIENTES Y LAS LÍNEAS EQUIPOTENCIALES
Las líneas son constantes forman una familia de líneas de corrientes, ahora se vera que las líneas de son constantes o líneas equipotenciales constituyendo otra familia de líneas ortogonales a la líneas de corrientes, las dos familias de curvas constituyen una malla ortogonal conocida como red de flujo.
u
v
dx
dy
udyvdxdyy
dxx
c
0Línea de corrientes cte:
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COORDENADAS POLARES
Es un sistema de coordenadas bidimensionales en el cual cada punto (posición) en el plano esta determinado por una ángulo y una distancia
(1)
(2)
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Las componentes radial y tangencial de la velocidad en coordenadas polares.
......(3)
r
y
yr
x
xr
De (1) y (2) en (3):
sencos
yxr
Componentes radiales de velocidad:
r
Vr
Vr
Sustituyendo las derivadas parciales del Potencial de Velocidad por las componentes de la velocidad.
)sencos( VyVx
r
Vx y Vy componentes de la velocidad
en la dirección radial
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En función de la función corriente:
rrVr
V
Relaciones polares en función de corrientes y en potencial de velocidad
rr
rr
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FLUJOS BÁSICOS
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Un Flujo Uniforme es aquel que tiene magnitud constante. (V0)
Flujo rectilíneo
1c
1k 2k 3ky
x
2c
3c
4c
0V
en una misma dirección.
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En el campo de Flujo: u=V v=0
CUydxVdy )0(
La función corriente se obtiene:
Para = 0 la línea de corriente coincide con el eje x
Función de corriente
Potencial de velocidad
Vy
Vx
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En coordenadas polares donde: y = rsen
= Vrsen
Vy
x
r
0
0
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Fuente y sumidero
Fuente y sumidero son dos conceptos matemáticos. Son dos puntos singulares en
medio del fluido, en el cual la materia (sale) o es extraída (Sumidero)
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El componente radial y tangencial de la velocidad.
0
2
rV
r
q
rVr
r = módulo del vector posiciónq = Caudal (Intensidad) a través de cualquier
banda
A través de todos los círculos de radio r pasara el mismo régimen de flujo q.
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Fuente :
2
q
Función de corriente
q= caudal por unidad de profundidad= arc tang. (y/x)
Potencial de velocidad
rq
ln2
= fuerza de la fuente2q
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Sumidero :
2
q
Función de corriente
= arc tang. (y/x)q= caudal por unidad de profundidad
Potencial de velocidad
rq
ln2
= fuerza de la fuente2q
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Vórtice libre o irrotacional El vórtice libre esta descrito por líneas de corriente circulares
concéntricas y con distribuciones de velocidades tal que el campo de flujo es irrotacional.
Las componentes radiales de velocidad en todas partes es igual a 0.
tVr 2
Ciculación La
r
Se obtiene un vórtice bidimensional si se toma la función de corriente de la fuente como función potencial
La circulación es la magnitud del vórtice
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Función de corriente
dextrògiro Vórtice ln2
Votice del Fuerza ,ln2
02
0 ,2
r
r
cddrr
Vrr
V rt
Función potencial
2
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• La circulación a lo largo de cualquier curva cerrada coincidente con cualquier línea de corriente se calcula:
2
ln2
VelocidaddePotencial
rCorrienteFunción
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SUPERPOSICIÓN DE FLUJOS
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Fuente en un Flujo RectilíneoLa superposición de una fuente y un flujo rectilíneo
s
Xs
V
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2
2
VelocidaddePotencial
qVrsenCorrienteFunción
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La distancia entre el punto de estancamiento ‘s’ y el origen es ‘x’
q
vxs 2
Donde q es la intensidad de la fuenteY v la velocidad del flujo
Contorno de Cuerpo 22qqsenVr
Componente de Velocidad Vr y Vt
r
qV
qsenV
rrV rr
2cos
2
1
Vsenq
senVrr
V rt
2
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FUENTE Y SUMIDERO DE IGUAL FUERZA
El campo de flujo producido por una fuente y un sumiderode igual fuerza, el régimen de flujo total pasa de uno a otro
y se caracteriza por una familia de líneas de corrientes originadas en la fuente y que terminan en el sumidero.
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La Función Corriente del campo de flujo es
12
2121
2
2
22
donde
qqqqt
La Función de Corriente en coordenadas cartesianas
ax
y
ax
yqarctanarctan
2
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FUENTE Y SUMIDERO DE IGUAL FUERZA EN UN FLUJO RECTILINEO
De la combinación de un fujo rectilíneo con una fuente y un sumidero de igual fuerza resulta el ovalo de Rankine.
V
f s
1 22
b
1r
2r
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Función de Corriente
1.........arctanarctan2
ax
y
ax
yqVy
El contorno del cuerpo
Va
qa
l
1
2
b\2 se obtiene para x=0; y=b\2 y ψ=0 en (1)
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Potencial de Velocidad
3........2
senVq
rsft
Función de Corriente
senVrrq
rsft lnln2
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DobleteUn doblete se define como el resultado de la suma de la fuente y un sumidero de igual intensidad cuandoSe aproximan uno al otro.
21
22
0
0
:
rrr
sen
a
Como
asensenrAB 22
a a
1 2
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Función de Corriente
r
asenq
2
2
Sea 2qa=m fuerza del doblete
r
mseny
2
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DOBLETE EN FLUJO RECTILINEO
Cuando se combina el doblete con el flujo rectilíneo resulta uncaso limite del ovalo de Rankine.
S S
V
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Función de Corriente
r
msensenVr 2
En contorno 0
senr
RrV
VmR
2
2 doblete del fuerza ,VR2m donde
cte.R 2
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Componente Radial de la Velocidad:
Componente tangencial de la Velocidad:
cos)1( 2
2
r
RV
rvr
sen
r
RV
rvt )1( 2
2
Potencial de Velocidad:
Función de Corriente:
r
qvr cos
cos
r
senqsenvr
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EL DOBLETE EN EL FLUJO RECTILINEO CON CIRCULACIÓN
Se puede construir otro campo de flujo útil por superposición de:Vórtice libre, un doblete y un flujo rectilíneo uniforme.
Obteniéndose la Función de corriente:
cos2
)(2
senr
RrV
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Las Componentes de Velocidad
cos)1( 2
2
r
RV
rvr
rsen
r
RV
rvt 2
)1( 2
2
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En el contorno del cuerpo r=R vr=0
RVsenvt
2
2
En el punto de estancamiento: 0tv
VRsen
4
Fx, Fy = Fuerzas ejercidas
por el fluido sobre el circulo.
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1.sen ntoestancamie depuntos dos loson confundier se ,
es d'' de grande ams valor el Para
2
vertical.ejesu sobrey cìrculo del debajolugar algun en encontrara se
ntoestancamie de punto el ,1VR4
Para
VR41
R
14
VR
R
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Conociendo u y v la función corriente es:
Cdyy
dxx
La ecuación de continuidad:
......(4) 0 x
y
vu
Sustituyendo el (3):
xyyxx
22
o )x
( y
)y
(
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