Temas Selectos de Ingeniera Fsica IIIMecanica Cuantica yAlgebra de OperadoresAlejandroKunoldEscritoconLATEX22Indicegeneral1. ElExperimentodeStern-Gerlach 51.1. Momento magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Experimento de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1. Experimento 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2. Experimento 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3. Experimento 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. El estado cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Analisis del Experimento 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Cuarto Experimento de Stern-Guerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6. Quinto Experimento de Stern-Guerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. MecanicaMatricial 112.1. Representacion matricial de los bras y los kets . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Operadores de Rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. El generador de rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Eigenestados y Eigenvalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5. El operador identidad y los operadores de proyeccion. . . . . . . . . . . . . . 142.6. Representacion Matricial de los Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7. Elementos de matriz del operador adjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.8. Productos de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.9. Valores esperados de los operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.10. Polarizacion de Fotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163. MomentoAngular 173.1. Rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Operadores que Conmutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3. Eigenestados y Eigenvalores del Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.1. Espn 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.2. Operadores de Ascenso y Descenso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4. Los elementos de matriz de los operadores de ascenso y descenso . . . . . . . 223.5. El Problema de Eigenvalores de Espn12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234INDICEGENERAL4. EvolucionTemporal 254.1. Evolucion Temporal y Ecuacion de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. Dependencia Temporal de los Valores Esperados . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3. Precesion del espn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4. Resonancia Magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.5. Principio de Incertidumbre de Heisemberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5.1. Desigualdad de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5.2. Principio de Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315. MecanicaCuanticaenUnaDimension 355.1. Eigenestados de la Posici on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2. El Operador de Translacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3. El generador de Translaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4. El Operador de Momento en la Base de Posicion . . . . . . . . . . . . . . . . 405.5. Espacio de Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.6. Paquete de Ondas Gausiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.7. Evolucion Temporal de una Partcula Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.8. La Ecuacion de Schrodinger en el Espacio de Posicion . . . . . . . . . . . . . 465.9. Pozo de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476. OsciladorArmonico 496.1. El Operador Hamiltoniano del Oscilador Armonico . . . . . . . . . . . . . . . 496.2. Elementos de Matriz de los Operadores de Ascenso y Descenso . . . . . . . . 516.3. La Funcion de Onda en el Espacio de Posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . 537. TeoradePerturbaciones 557.1. Teora de Perturbaciones Independiente del Tiempo . . . . . . . . . . . . . . 557.1.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2. Teora de Perturbaciones Dependientes del Tiempo. . . . . . . . . . . . . . . 587.2.1. ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Captulo1ElExperimentodeStern-GerlachEl experimento de Stern-Gerlach consiste en la deteccion del momento magnetico de unapartcula a traves de su trayectoria en un campo magnetico altamente no uniforme. En lagura 1.1 puede verse el resultado experimental obtenido por Walther Gerlach en 1922.1.1. MomentomagneticoEl momento magnetico de una partcula esta dado por =IAcu =qcT r2r vrv=qv2rcr2r pmrv=q2mcL (1.1)dondeIes la corriente,q es la carga de la partcula,v la velocidad,r el radio de la orbita,Tsu perodo, p el momento lineal yL el momento angular. Esto es cierto si la masa y lacarga de la partcula estan localizadas en un punto. Para una esfera solida con carga y masauniformemente distribuidas =56q2mcL. (1.2)En general se puede decir que = gq2mcL. (1.3)donde g es el factor giromagnetico y depende de como se distribuye la carga y la masa desdeel punto de vista clasico. Cuanticamente veremos que no es tan simple. En el caso particulardel electron y el espn = gq2mcS. (1.4)dondeSes el espn del electron.La energa de una partcula con espn en un campo magnetico esta dada porU= B (1.5)6 ElExperimentodeStern-GerlachFigura 1.1: Resultados del experimento de Stern - Gerlachentonces la fuerza experimentada por la partcula esF= U= (B) = zBzz, (1.6)suponiendo queB = kBz (z), es solo funcion dez y no tiene componentes enx yy.1.2. ExperimentodeStern-GerlachEn el experimento de Stern-Gerlach, que puede verse en la gura 1.2, se evapora plataenun horno en el que hay un peque no oricio.Los atomos calientes de plata salen por eloricioyposteriormentesoncolimadospormediodesucesivosoricios. El hazobtenidopasa por una region de campo magnetico no homogeneo. La fuerza de la eq. (1.6) divide alhaz en dos partes, aquella cuyas partculas tienen proyeccion del espn Sz = /2 y aquellaque tieneSz = /2. Se puede pensar en tres experimentos de Stern-Gerlach:1.2.1. Experimento1Un haz de electrones pasa por el campo magnetico alineado enz. Salen por un lado lamitad de los atomos de plata que entraron y por el otro la otra mitad. Ver gura 1.3 (a).1.2.2. Experimento2Un haz de electrones pasa por el campo magnetico alineado enz.Elhaz resultante espasado nuevamente por un campo magnetico alineado enz. Sale un haz de electrones quecontiene la mitad de los atomos originales. Ver gura 1.3 (b).1.3Elestadocuantico 7Figura 1.2: Esquema del experimento de Stern - Gerlach.1.2.3. Experimento3Un haz de electrones pasa por el campo magnetico alineado enz.Elhaz resultante espasado nuevamente por un campo magnetico alineado enx. En esta etapa intermedia salenla mitad de los electrones por un lado y la otra mitad por el otro lado. Cualquiera de estosdos haces resultantes es pasado por un campo magnetico alineado enz. Salen nuevamentedos haces. Ambos contienen la cuarta parte de los atomos originales. Ver gura 1.3 (c)1.3. ElestadocuanticoDependiendopordondesaleunatomopodemosasignarleunvectorquedescribasuestado. Si sale por el lado positivo de la proyeccion enzdel espn asignamos [+z) y si salepor el lado negativo [z). [+z) recibe el nombre de ket. El ket [+z) tiene espn /2 y el ket[z) tiene espn /2.Hacemos una serie de suposiciones sobre estos vectores:1. [+z) y [z) forman una base completa y ortonormal. Es decirc+[+z) + c[z) = 0 (1.7)solo sic+ = c = 0 y el producto interno de estos vectores es+z [+z) = z [z) = 1, +z [z) = z [+z) = 0, (1.8)debidoaqueunapartculaconSz= /2tieneceroamplituddeestarenel estadodescrito porSz = /2. +z[ recibe el nombre de bra.2. El estado mas general en el que podemos pensar es[) = c+[+z) + c[z) (1.9)de donde se puede deducir quec+ = +z [) , c = z [) . (1.10)8 ElExperimentodeStern-GerlachFigura 1.3: Esquema del experimento de Stern - Gerlach.3. A cada ket le corresponde un bra entonces[ = c++z[ + cz[ , (1.11)lo que garantiza que [) = [c+[2+[c[2. (1.12)Ademas puede verse quec+= +z [) (1.13)c= z [) (1.14)Los coecientesc+ycson las amplitudes de probabilidad y sus cuadrados [c+[2y[c[2son las probabilidades de que el atomo de plata tenga espn Sz = /2 o Sz = /2respectivamente.Una consecuencia de todo esto es que([+z) +z[ +[z) z[) [) = [) (1.15)entonces[+z) +z[ +[z) z[ = 1. (1.16)1.4. AnalisisdelExperimento3En la primera etapa el estado de los atomos de plata cumple con[) =ei+2 [+z) +ei2 [z) (1.17)1.5CuartoExperimentodeStern-Guerlach 9donde se puede vericar que se cumple que [) = 1. La probabilidad de que un atomotengaSz = /2 oSz = /2 son respectivamentep+= [+z [)[2=_ei+2__ei+2_=_ei+2__ei+2_ =12, (1.18)p= [z [)[2=_ei2__ei2_=_ei2__ei2_ =12, (1.19)el promedio del espn a la entrada esSz) = p+_

2_+ p_

2_ = 0 (1.20)y la dispersion deSzesS2z= S2z_Sz)2= p+_

2_2+ p_

2_2= 24. (1.21)Una vez que el haz de atomos entra al aparato de Stern-Gerlach alineado enz se divideen dos y la probabilidad de que salga por el lado deSz = /2 esp+ = 1/2 y la de que salgapor el lado deSz = /2 esp+ = 1/2.El hazdeSz=/2estaenunestadodescritopor [+z)entoncesp+=1yp=0.Ademas Sz) = /2 y Sz = /2.Como la base [+z) , [z) es completa entonces el estado [+x) queda dado por[+x) =ei+2 [+z) +ei2 [z) . (1.22)Por esto, el haz cuyo estado es [+x) tiene ambas proyecciones enzy da lugar a dos haces:uno conSz = /2 y otro conSz = /2.1.5. CuartoExperimentodeStern-GuerlachEn este se utiliza el dispositivo dise nado por Feynman que regresa a los atomos de plataal lugar original.1.6. QuintoExperimentodeStern-GuerlachEn este experimento se utiliza la misma conguracion que en el tercer experimento deStern-Guerlachperoenlugardeproyectarenzproyectamosprimeroenyyluegoenx.Tenemos que el vector de estado correspondiente aSy = /2 es[+y) =ei+2 [+z) +ei2 [z) =ei+2_[+z) +eii+2[z)_. (1.23)Multiplicando el conjugado de la ecuacion anterior por la ec. (1.22) tenemos que[+y [+x)[ =12 [1 + cos ( )] . (1.24)10 ElExperimentodeStern-Gerlachdonde = +y = +. Es importantenotar quelas fases nopuedenserarbitrarias.Para que la ecuacion anterior este normalizada = /2.Sesuele tomar = 0 y = /2 por lo que obtenemos[+x) =12[+z) +12[z) . (1.25)Se puede comprobar facilmente que el ket[x) =12[+z) 12[z) . (1.26)cumple las condiciones de ortonormalidad+x[+x) = x[x) = 1, +x[x) = x[+x) = 0. (1.27)Analogamente, los kets que se obtienen para las proyecciones eny[+y) =12[+z) +i2[z) , [y) =12[+z) i2[z) , (1.28)cumplen las condiciones de ortonormalidad+y [+y) = y [y) = 1, +y [y) = y [+y) = 0. (1.29)Captulo2MecanicaMatricialEn este captulo representaremos los bras y los kets en forma matricial.2.1. RepresentacionmatricialdelosbrasylosketsHacemos las siguientes asignaciones[)Sz_ +z [)z [)_ =_c+c_[Sz_ [+z) [z)_ = _c+c_. (2.1)Esto quiere decir que hemos elegido una representacion muy particular para la base [+z) , [z),esta se muestra a continuacion[+z)Sz_ +z [+z)z [+z)_ =_10_[z)Sz_ +z [z)z [z)_ =_01_(2.2)[+x)Sz_ +z [+x)z [+x)_ =12_11_[x)Sz_ +z [x)z [x)_ =12_11_(2.3)[+y)Sz_ +z [+y)z [+y)_ =12_1i_[y)Sz_ +z [y)z [y)_ =12_1i_(2.4)En las ecuaciones anteriores, el subndiceSzsignica que la base corresponde a las proyec-ciones enz del espn.12 MecanicaMatricial2.2. OperadoresdeRotacionSi rotamos al vector [+z) 90osobre el ejejdebemos obtener al vector [+x)[+x) = R_2j_[+z)[x) = R_2j_[z) . (2.5)Al actuar sobre un estado completamente general obtenemosR_2j_[) = c+R_2j_[+z) + cR_2j_[z) = c+[+x) + c[x) (2.6)Es natural preguntarnos cuales son los bras de los kets de la ec. 2.5; una posibilidad es que+x[ = R_2j_+z[x[ = R_2j_z[ , (2.7)pero esto es incorrecto ya que, por ejemplo+x[+x) =_+zR_2j_R_2j_ +z_ =_+zR_2j_ +x_ = +x[z) =12(2.8)Por este motivo denimos al operador adjunto+x[ = R_2j_+z[x[ = R_2j_z[ . (2.9)Para el caso particular del operador de rotaciones puede verse que+x[+x) =_+zR_2j_R_2j_ +z_ = 1 (2.10)porlotantoR_2j_R_2j_=1. Losoperadoresquecumplenestacondicionrecibenelnombre de operadores unitarios.2.3. ElgeneradorderotacionesAhora tratamos de construir un operador que genere rotaciones innitesimales en lugarde rotaciones de 90o.Veamos si el operador dado porR(dk) = 1 i

Jzd (2.11)cumpleconlascondicionesgeneralesdelasrotaciones. Enlaecuacionanterior Jzesunoperador que tiene unidades de espn. Ademas suponemos que es hermitiano, es decirJz =Jz. Se puede probar que este operador es unitarioR(dk) R (dk) = 1 +i

_Jz Jz_d +O_d2_(2.12)2.4EigenestadosyEigenvalores 13Ahora tratamos de encontrar las rotaciones nitasR(k) R(dk) = R([d + ] k)R(k)_1 i

Jzd_= R([d + ] k)R(k) R([d + ] k) =i

JzdR(k)lmd0R(k) R([d + ] k)d=i

JzR(k)R(k) =i

JzR(k) . (2.13)La solucion formal de esta ecuacion esR(k) = exp_i

Jz_(2.14)Esto tambien se puede demostrar usando la denicion de la exponencialexp (x) = lmN_1 +xN_N(2.15)y el hecho de quelmNR(dk)N= R(k) , d = lmNN . (2.16)2.4. EigenestadosyEigenvaloresDos estados representan la misma situacion fsica si los kets que los describen dieren alo mas en una fase. Si rotamos a [+z) o [z) sobre el ejezdeberamos obtener la mismasituacion fsicaR(k) [+z) = exp (i) [+z) (2.17)y para esto es importante queJz[+z) = [+z) (2.18)dondees un n umero real. Esto puede verse del hecho de queR(k) [+z) = exp_i

Jz_[+z)=

n1n!_i

Jz_n[+z) =

n1n!_i

_n[+z)= exp_i

_[+z) . (2.19)14 MecanicaMatricial2.5. El operadoridentidadylosoperadoresdeproyec-cionComo ya hemos visto[) = ([+z) +z[ +[z) z[) [) = [) (2.20)por lo que[+z) +z[ +[z) z[ = 1. (2.21)Los operadoresP+ = [+z) +z[ , P = [z) z[ (2.22)se llaman proyectores ya que al actuar sobre un estado dejan solo la proyeccionP+[) = c+[+z) , P[) = c[z) . (2.23)Estos operadores cumplen con las propiedadesP2+ = P+, P2 = P, (2.24)P+P = 0, PP+ = 0, (2.25)P+ + P = 1. (2.26)Estoestarelacionadoconel experimentodeStern-Gerlach. Cadaoperadordeproyeccioncorresponde a una de las salidas del experimento de Stern-Gerlach.2.6. RepresentacionMatricialdelosOperadoresUn operador actuando sobre un ket da por resultado otro ketA[) = [) . (2.27)Insertando un 1 en medio y multiplicando por [+z) y [z) obtenemos_ +z [A[ +z) +z [A[ z)z [A[ +z) z [A[ z)__ +z [)z [)_ =_ +z [)z [)_(2.28)Ya habamos visto que[)Sz_ +z [)z [)_, [)Sz_ +z [)z [)_(2.29)por lo tantoA Sz_ +z [A[ +z) +z [A[ z)z [A[ +z) z [A[ z)_(2.30)Porejemplo, podemoscalcularlarepresentacionmatricial deJz. Ennotaciondebraketstenemos queJz = 2P+ 2P(2.31)A Sz_ +z [Jz[ +z) +z [Jz[ z)z [Jz[ +z) z [Jz[ z)_ =_/2 00 /2_(2.32)2.7Elementosdematrizdeloperadoradjunto 152.7. ElementosdematrizdeloperadoradjuntoSi el operadorA act ua sobre un ket se obtiene otro ket diferente y los mismo ocurre conlos brasA[) = [) , [ A = [ . (2.33)Los elementos de matriz del operadorA y su adjuntoAson[A[ ) = [) , [A[ ) = [) (2.34)y como [) = [)entonces[A[ ) = [A[ )(2.35)Sepuededecir entonces quelamatrizcorrespondienteal adjuntodeunoperador es latranspuesta conjugada del operador original.Si hacemos la asignacion [1) = [+z) y [2) = [z) y la matriz del operador A queda comoAij = i [A[ j) (2.36)entonces_A_ij = iAj_ = j [A[ i) = Aji. (2.37)De otra formaA _A11A12A21A22_, A _A11A21A12A22_. (2.38)2.8. ProductosdeOperadoresDe lo que ya hemos visto2

i=1[i) i[ = 1,2

i=1Pi = 1. (2.39)Los elementos de matriz del producto de dos operadoresA yBes(AB)ij = i [AB[ j) . (2.40)Insertando un 1 entre los dos operadores en la ecuacion anterior obtenemos que(AB)ij =2

n=1i [A[ n) n[B[ j) =2

n=1AinBAnj(2.41)es el producto de las matrices que representan a los operadores.16 MecanicaMatricial2.9. ValoresesperadosdelosoperadoresPara un estado dado por[) = c+[+z) + c[z) = [+z) +z [) +[z) z [) (2.42)el valor promedio del espn esta dado porSz) =

2[c+[2 2[c[2= 2[+z [)[2 2[z [)[2=

2 [+z) +z [) 2 [z) +z [)[ Jz ([+z) +z[ +[z) z[) [) = [A[ ) (2.43)2.10. PolarizaciondeFotonesReconocemos dos estados de polarizacion en los fotones: [x) y [y). Si un foton pasa por unpolarizador cuyo eje de transmision es horizontal, los fotones que pueden pasar son aquellosque se encuentran en el estado [y).La base de estados[R) =12 ([x) + i [y)) , [L) =12 ([x) i [y)) . (2.44)Esto corresponde a un campo electrico circularmente polarizadoE = E0i exp (ikz t) + iE0j exp (ikz t) (2.45)en cuyo frente de onda gira.Captulo3MomentoAngularEl ordenenel querealizamosunrotacionesimportante. Poresto, lasrotacionesengeneral no conmutan y sus generadores tampoco.3.1. RotacionesUna rotacion al rededor del ejez esta dada por__A

xA

yA

z__ = S (k)__AxAyAz__, S (k) =__cos sin 0sin cos 00 0 1__(3.1)Una rotacion alrededor del ejex esta dada porS (i) =__1 0 00 cos sin 0 sin cos __(3.2)Una rotacion alrededor del ejey esta dada porS (j) =__cos 0 sin 0 1 0sin cos __(3.3)Ahorahacemosdosrotacionessucesivasinnitesimalesal rededordexyyylerestamosdos rotaciones sucesivas primero al rededor dey yx obteniendoS (i) S (j) S (j) S (i) =__0 2020 00 0 0__ = S_2k_I (3.4)18 MomentoAngularQueremos que las rotaciones de estados cuanticos hagan los mismo entoncesR(i) R(j) R(j) R(i)=_1 iJx

12_Jx

_2__1 iJy

12_Jy

_2__1 iJy

12_Jy

_2__1 iJx

12_Jx

_2__1 (JxJyJyJx) 2

2_(3.5)Queremos entonces que[Jx, Jy] = JxJyJyJx = iJz(3.6)donde[Jx, Jy]recibeelnombredeconmutador.Podemosrepetiresteprocedimientoparalas otras dos rotaciones obteniendo[Jz, Jx] = iJy, [Jy, Jz] = iJx(3.7)3.2. OperadoresqueConmutanSe dice que dos operadores conmutan cuando[A, B] = 0 AB = BA. (3.8)Dos operadores que conmutan tienen los mismos eigenvectoresA[a) = a [a)BA[a) = Ba [a)AB[a) = Ba [a)A(B[a)) = a (B[a)) (3.9)Como supusimos que solo hay uno de estos estados entoncesB[a) = b [a) (3.10)dondeb es una constante entonces podemos reetiquetar a [a)[a) [a, b) (3.11)y se dice que [a, b) es eigenestados simultaneo deA yB.3.3. EigenestadosyEigenvaloresdelMomentoAngularAunque la relacion de conmutacion de las ecs. (3.6) y (3.7) prueban que los operadoresde las componentes del momento no conmutan entre si, se puede ver que el conmutador deJ2conmuta con cualquiera de ellosJ2= J2x + J2y + J2z(3.12)3.3EigenestadosyEigenvaloresdelMomentoAngular 19entonces_Jz, J2 = _Jz, J2x+_Jz, J2y = 0 (3.13)Elresultadoanteriorpuededemostrarseutilizandolasidentidadesdeconmutadoressigu-ientes[A, B + C] = [A, B] + [A, C] (3.14)[A, BC] = B[A, C] + [A, B] C (3.15)Utilizando el resultado de la secci on anterior podemos ver queJ2[, m) = 2[, m) (3.16)Jz[, m) = m [, m) (3.17)donde 0 dado queJ2es la magnitud de un vector y ademas suponemos que, m[

, m

) = , m,m . (3.18)3.3.1. Espn1Mas adelante veremos que para = 1 los operadoresJx,JyyJzse pueden representarmatricialmente comoJx Jx =

2__0 1 01 0 10 1 0__, Jy Jy =

2__0 i 0i 0 i0 i 0__,Jz Jz = __1 0 00 0 00 0 1__, (3.19)y el cuadrado del modulo deJJ2J2= 2__1 0 00 1 00 0 1__(3.20)Los eigenvectores de J2pueden serv1 =__100__, v2 =__010__, v3 =__001__. (3.21)Pero puede elegirse otra base distinta. Lo que resulta conveniente de esta base es que ademasson eigenestados de J

. Esto se debe a que estos estados son degenerados, es decir, que paraun solo estado deJ2hay, como veremos mas adelante, 2 + 1 estados deJz.Denimos las siguientes matricesJ = JxiJy(3.22)20 MomentoAngulary notamos que tiene el efecto de hacer subir o bajar a los eigenvectores encontrados anteri-ormente.J+v3 =2v2, J+v2 =2v1, J+v1 = 0, (3.23)Jv1 =2v2, Jv2 =2v3, Jv3 = 0. (3.24)(3.25)Decimos entonces que estos son operadores de ascenso y descenso.3.3.2. OperadoresdeAscensoyDescensoLos operadores de ascenso y descenso se denen comoJ+ = Jx + iJy(3.26)yJ = JxiJy = (Jx + iJy) = J+. (3.27)El conmutador de estos operadores conJzes[Jz, J] = [Jz, JxiJy] = i (JyiJx) = J(3.28)En la seccion anterior vimos que estos operadores en su forma matricial actuando sobre loseigenvectores deJznos llevan de un vector al siguiente. Vemos que esto mismo ocurre conlos operadoresJzJ[, m) = (JJz + [Jz, J]) [, m) = (JJz +J) [, m)= J (Jz +) [, m) =(m1) [, m) . (3.29)Ademas, paraJ2tenemos queJ2J[, m) = 2[, m) (3.30)Por lo tantoJ[, m) = c[, m1) (3.31)Dado que el cuadrado de la magnitud debe ser mayor que el cuadrado de cualquiera de suscomponentes tenemos que, mJ2J2z, m_ 0 (3.32)de donde se deduce que

2_ m2_ , m[ , m) 0 (3.33)y nalmentem2 (3.34)Supongamos quejes el maximo valor que puede tomarm entoncesJ+[, j) = 0 (3.35)3.3EigenestadosyEigenvaloresdelMomentoAngular 21MultiplicandoJJ+ = J2x + J2y + i [Jx, Jy] = J2J2z Jz(3.36)porel ket [, j)debemosobtenercerodebidoal operador J+enel ladoizquierdodelaecuacion anteriorJJ+[, j) = J2J2z Jz[, j) = _ j2j_

2[, j) = 0 (3.37)obteniendose que = j(j +1). Analogamente, suponemos quej

es el mnimo valor posibledemJ[, j

) = 0J+J= J2x + J2y i [Jx, Jy] = J2J2z+ JzJ+J[, j

) = _J2J2z+ Jz_[, j

) = _ j2j

_

2[, j

) = 0 (3.38)y por lo tanto = j

(j

1). Ambas ecuaciones deben ser igualesj (j + 1) = j

_j2j

_j2j2+ (j + j

) = 0(j + j

) (j j

) + (j + j

) = 0(j + j

) (j j

+ 1) = 0 (3.39)y por lo tanto hay dos soluciones posiblesj + j

= 0, j j

+ 1 = 0. (3.40)La segunda ecuacion no es valida ya que si j = j

+1, se viola nuestra hipotesis inicial en laquej es el valor maximo dem. Por lo tanto nos quedamos conj

= j. Podemos reetiquetarlos kets de la manera[, m) [j, m) (3.41)dondeJ2[, m) = 2[, m) J2[j, m) = j (j + 1) 2[j, m) ,Jz[, m) = m [, m) Jz[j, m) = m [j, m) (3.42)Si aplicamos un cierto n umero de veces el operadorJal ket [j, j) eventualmente debemosllegaral ket [j, j). Denoseras, llegaramosaunestadoconm ,= j parael cual secumple la ec.(3.38).Esto es una contradiccionya que suponemosque [j, j)eselestadocon menor m. Ademas, dado que el n umero de veces que aplicamos el operador de descensoJes un enteroj j

= 2j = n, conn un entero, entoncesj =n2= 0, 12, 1, 32, 2, 52, 3,(3.43)Por otro lado, j m jentoncesm = j, j 1, j 2, j 3, , 3 j, 2 j, 1 j, j. .2j+1 estados(3.44)22 MomentoAngular3.4. Loselementosdematrizdelosoperadoresdeas-censoydescensoCuandoJ+oJact uansobreunestadoconproyeccionzdelmomentoangulardadapor el n umero cuantico m, se obtiene otro estado con m+1 o m1 respectivamente, comopuede verse en la ec. (3.31). En la nueva notacionJ+[j, m) = c+ [j, m + 1) , J[j, m) = c [j, m1) (3.45)Nuestro objetivo ahora es calcular c+ y c. Calculando el adjunto de las ecuaciones anterioresobtenemos quej.m[ J+ = j.m[ J = c+j.m + 1[ , j.m[ J = j.m[ J+ = cj.m1[ . (3.46)entoncesj, m[JJ+[ j, m) = c+c+

2j, m + 1 [j, m + 1) . (3.47)Usando la ec. (3.36)j, m[JJ+[ j, m) = j, mJ2J2z Jzj, m_= _j (j + 1) m2m

2j, m[j, m)= [c+[2

2j, m + 1 [j, m + 1) , (3.48)de donde se deduce, salvo por una fase, quec+ = _j (j + 1) m(m + 1) (3.49)y ademasJ+[j, m) = _j (j + 1) m(m + 1) [j, m + 1) (3.50)Es importante notar que cuando m = j, c+ = 0 como esperabamos de la accion del operadorJ+en la ec. (3.35).Similarmente,j, m[J+J[ j, m) = cc

2j, m1 [j, m1) , (3.51)y, calculando el braketj, m[J+J[ j, m) = j, mJ2J2z+ Jzj, m_= _j (j + 1) m2+ m

2j, m[j, m)= [c[2

2j, m1 [j, m1) , (3.52)de donde se deduce, salvo por una fase, quec = _j (j + 1) m(m1) (3.53)y nalmenteJ[j, m) = _j (j + 1) m(m1) [j, m1) (3.54)Tambien se puede notar que se cumple la ec. (3.38)3.5ElProblemadeEigenvaloresdeEspn12233.5. ElProblemadeEigenvaloresdeEspn12Cambiamoslanotacion. Cuandohablamosdemomentoangularorbital utilizamoslaletraL, cuando hablamos de espn utilizamos la letraSy cuando hablamos genericamentede momento angular o de momento angular total utilizamos la letraJ.Para espn 1/2 tenemos las ecuaciones de eigenvaloresS2[s, m) = s (s + 1) 2[s, m) (3.55)Sz[s, m) = m [s, m) . (3.56)donde s = 1/2 y m = 1/2, 1/2. La base esta formada entonces por los kets_12,12_,12, 12__donde 12, 12_ = [+z) ,12, 12_ = [z) (3.57)En esta baseSztoma la formaSz _ 12,12[Sz[12,12_ 12,12[Sz[12, 12_12, 12[Sz[12,12_ 12, 12[Sz[12, 12__ = 2_1 00 1_(3.58)De la misma forma podemos calcularS+ _ 12,12[S+[12,12_ 12,12[S+[12, 12_12, 12[S+[12,12_ 12, 12[S+[12, 12__ = _0 10 0_(3.59)yS _ 12,12[S[12,12_ 12,12[S[12, 12_12, 12[S[12,12_ 12, 12[S[12, 12__ = _0 01 0_(3.60)De las ecs. (3.26) y (3.27)S+= Sx + iSy(3.61)S= SxiSy(3.62)y sus relaciones inversas sonSx=S+ + S2(3.63)Sx=S+S2i(3.64)(3.65)y sus representaciones matriciales sonSx 2_0 11 0_(3.66)ySy 2_0 ii 0_(3.67)24 MomentoAngularDe estos resultados podemos denir las matrices de Pauli de la relacionSx 2x, Sy 2y, Sz 2z(3.68)dondex =_0 11 0_, y =_0 ii 0_, z =_1 00 1_(3.69)Captulo4EvolucionTemporalEnestecaptuloestudiamos comocambianenel tiempolos estados deunsistema.Veremos que el generador de las evoluciones temporales es el Hamiltoniano del sistema.4.1. EvolucionTemporalyEcuaciondeSchrodingerQueremosencontrarunoperadorquenosespeciquecomoevolucionaeneltiempoelestado de un sistema[ (t)) = U (t) [ (0)) . (4.1)Este operador debe ser unitario para que se conserve la probabilidad igual a uno o bien lanormalizacion.Deigual maneraquelohicimosparalasrotacionespodemosescribiral operadordeevolucion temporal de un diferencial de tiempo comoU (dt) = 1 i

Hdt (4.2)dondeHes el generador de translaciones temporales. Pero no hemos contestado que esH.En el captulo anterior vimos queJzera el generador de rotaciones al rededor del ejez. Enotras palabras,Jzgenera rotaciones de la forma + . Puede decirse queJzgenerauna transformacion en su variable canonicamente conjugada. La funcion lagrangiana de unrotor esL_, _ =12I 2V (4.3)El momento conjugado de la variable esp =L = I = Jz(4.4)Esto mismo puede deducirse de las ecuaciones de la funcion HamiltonianaH =12Ip2 + V (4.5) =Hp=1Ip =1IJz(4.6)26 EvolucionTemporalResumiendop = Jzproduce una transformacion + sobre su variable conjugada.Queremos que las evoluciones temporales tengan esta misma propiedad. Por ahora sabemosque la transformacion que se produce es de la format t + t y queda la pregunta Cuales la variable conjugada de t?. Es facil vericar que el momento conjugado de t es Hya quet =Hpt=HH= 1. (4.7)Entonces,eloperadorhermitianoqueproduceevolucionestemporaleseselHamiltoniano.Ademas siHno depende del tiempo entonces (t) [H[ (t)) = (0)U (t) HU (t) (0)_ = (0) [H[ (0)) . (4.8)Por otro lado, si la funcion hamiltoniana no depende del tiempo entonces esta coincide conla energa del sistema y se conserva por lo tantoE) = (t) [H[ (t)) = (0) [H[ (0)) . (4.9)Es facil inferir queU (t + dt) = U (dt) U (t) =_1 i

Hdt_U (t) (4.10)por lo tantoU (t + dt) U (t)dt= i

HU (t) . (4.11)Esto quiere decir que el operador de evolucion temporal satisface la ecuacion diferencialtU (t) = i

HU (t) . (4.12)Multiplicando ambos lados de la ecuacion anterior por el estado inicial [ (0)) obtenemost[ (t)) = i

H[ (t)) , (4.13)esta es la ecuacion de Schrodinger.Si H no es una funcion del tiempo, entonces, la solucion de la ecuacion diferencial (4.12)U (t) = exp_i

H_. (4.14)Otra forma de reproducir este resultado esU (t) = lmNUN(dt) = lmN_1 i

Hdt_N= exp_i

H_. (4.15)Los eigenestados del hamiltoniano cumplen conH[E) = E [E) (4.16)4.2DependenciaTemporaldelosValoresEsperados 27y ademasexp_i

Ht_[E) =

n=0_i

tH_n[E)=

n=0_i

tE_n[E) = exp_i

Et_[E) (4.17)Entonces, si el estado inicial es un eigenestado de la energa [ (0)) = [E)[ (t)) = exp_i

Ht_[E) = exp_i

Et_[E) , (4.18)estos se llaman estados estacionarios.4.2. DependenciaTemporaldelosValoresEsperadosEl valor esperado de un operadorA se dene comoA) = (t) [A[ (t)) (4.19)y su derivada temporal esddtA) =i

(t) [[H, A][ (t)) + (t)At (t), (4.20)dondeel terminoA/tconservalavariaciondel operadorensi. Si el operadornotienevariacion temporal entonces, la variacion de su valor esperado solo depende del conmutador[H, A]. Se puede decir que si un operador conmuta con el hamiltoniano entonces, la cantidadfsica representada por el operador se conserva.4.3. PrecesiondelespnEl hamiltoniano para un espn en presencia de campo magnetico esH = S =ge2mcBSz = 0Sz(4.21)dondeB = Bk y0 = geB/2mc. Como[Sz, H] = 0 (4.22)entonces, los eigenestados deSzson eigenestados deHH[+z) = 0Sz[+z) = 02[+z) = E+[+z) (4.23)H[z) = 0Sz[z) = 02[z) = E[z) (4.24)28 EvolucionTemporalSe puede notar que en este caso en particular el operador de evolucion temporal coincidecon una rotacion al rededor del ejez por un angulo0tU (t) = exp_i0t

Sz_ = R(k) . (4.25)Si por ejemplo [ (0)) = [+z), entonces, el estado es estacionario y tenemos[ (t)) = exp_i0t

Sz_[+z) = exp_i0t2_[+z) (4.26)Si por otro lado [ (0)) = [+x) entonces[ (t)) = exp_i0t

Sz_[+x) = exp_i0t

Sz_12 ([+z) +[z))=12_ei0t/2[+z) + ei0t/2[z)_=12ei0t/2_[+z) + ei0t[z)_(4.27)Las probabilidades de que el electron se encuentre en alguno de los eigenestados deSzson[+z [ (t) )[2=ei0t/222=12, [z [ (t) )[2=ei0t/222=12. (4.28)Esto es lo que esperabamos ya que [ (t)) es siempre perpendicular al eje z. El valor esperadodeSzes entoncesSz) = (t) [Sz[ (t)) =12_

2_+ 12_

2_(4.29)Encambio, paralas componentes xyy seobservauncomportamientonotrivial. Lasamplitudes de probabilidad estan dadas por+x[ (t) ) =_12+z[ +12z[__ei0t/22[+z) +ei0t/22[z)_= cos_0t2_(4.30)x[ (t) ) =_12+z[ 12z[__ei0t/22[+z) ei0t/22[z)_= cos_0t2_(4.31)y las probabilidades son entonces[+x[ (t) )[2= cos2_0t2_, [x[ (t) )[2= sin2_0t2_. (4.32)4.4ResonanciaMagnetica 29Con estos resultados podemos calcular el valor esperado del espnSxSx) = cos2_0t2__

2_+ sin2_0t2__

2_ = 2 cos (0t) (4.33)o bienSx) = (t) [Sx[ (t))=

2_ei0t/2ei0t/2 _ 2_0 11 0_

2_ei0t/2ei0t/2_=

2 cos (0t) . (4.34)obteniendose el mismo resultado.De la misma forma podemos calcular las probabilidades y el valor esperado del operadorSy[+y [ (t) )[2=1 + sin (0t)2, (4.35)[y [ (t) )[2=1 sin (0t)2, (4.36)Sy) =

2 sin (0t) . (4.37)De estos resultados puede verse que el espn hace una precesion alrededor del eje del campomagnetico.4.4. ResonanciaMagneticaEnlaseccionanteriorel campomagneticoeraindependientedel tiempoporlotantosolo obtuvimos una precesion al rededor de su eje. Si ahora agregamos una componente delcampo magnetico que dependa del tiempo podemos observar efectos de resonancia.El hamiltoniano esta dado porH = B =ge2mcSB =ge2mcS(B1 cos ti + B0k) = 0Sz + 1 cos tSx(4.38)donde hemos denido0 = egB0/2mc y1 = egB1/2mc. La evolucion temporal del estadoqueda dada por[ (t)) = a (t) [+z) + b (t) [z) _a (t)b (t)_(4.39)suponiendo que el estado inicial es[ (0)) = [+z) _10_(4.40)30 EvolucionTemporalEn la base de los eigenestados deSzel hamiltoniano (4.38) se escribe comoH = 0Sz + 1 cos tSx 02_1 00 1_+ 12cos (t)_0 11 0_=

2_01 cos t1 cos t 0_(4.41)La ecuacion de Schrodinger dependiente del tiempo esH[ (t)) = i t[ (t))

2_01 cos t1 cos t 0__a (t)b (t)_ = i_ a (t)b (t)_(4.42)Si1 = 0 entonces la solucion seraa (t) = a (0) ei0t/2, b (t) = b (0) ei0t/2(4.43)Esto sugiere que la solucion general sea de la forma_a (t)b (t)_ =_c (t) ei0t/2d (t) ei0t/2_. (4.44)Sustituyendo esta ecuacion en (4.42) obtenemosi_ c (t)d (t)_=12cos (t)_d (t) ei0tc (t) ei0t_=14_d (t)_ei(0+)t+ ei(0)tc (t)_ei(0)t+ ei(+0)t_(4.45)Suponiendo que nos encontramos cerca de la resonancia, 0, obtenemos quei c (t) =_t0d (t) ei(0+)t+_t0d (t) ei(0)t(4.46)laprimeraintegral enelladoderechodelaecuacionanteriorconsistedeunterminoqueoscila lentamente d (t) multiplicado por un termino que oscila rapidamente exp [i (0 + ) t].Si el tiempo t en esa integral es sucientemente largo entonces las rapidas oscilaciones anulanla integral. Entoncesi c (t) =_t0d (t) . (4.47)Llevando a cabo este mismo calculo para la otra ecuacion obtenemosi_ c (t)d (t)_ =14_d (t)c (t)_(4.48)derivando con respecto al tiempo una vez mas obtenemosi_ c (t)d (t)_ =14_d (t)c (t)_(4.49)4.5PrincipiodeIncertidumbredeHeisemberg 314.5. PrincipiodeIncertidumbredeHeisembergEn esta seccion veremos el principio de incertidumbre de Heisemberg.4.5.1. DesigualdaddeSchwarzSi tenemos dos vectores no necesariamente ortonormales [) y [) entonces cumplen conla siguiente desigualdad[) [ ) [[ )[2(4.50)Para demostrar esta desigualdad proponemos un estado[) = [) + [) (4.51)dado que [) 0 tenemos que[) + [ ) + [) + [ ) 0 (4.52)Encontramos el valor de que minimiza el termino de la izquierda [) = [ ) + [ ) = 0 (4.53) [) = [) + [ ) = 0 (4.54)De estas ecuaciones puede deducirse que = [) [ ), = [ ) [ )(4.55)y sustituyendo el valor de yen la ec. (4.52) obtenemos[) [) [ )[ ) [ ) [ ) [) + [ ) [) [ )2 [ ) 0[) [[ )[2 [ ) 0[) [ ) [[ )[2(4.56)Con esto queda demostrada la desigualdad.4.5.2. PrincipiodeIncertidumbreAhora supongamos que los estados [) y [) estan dados por[) = (AA)) [) (4.57)[) = (B B)) [) (4.58)dondeA yBson dos operadores hermitianos cuyo conmutador esta dado por[A, B] = iC. (4.59)32 EvolucionTemporalPor construccionCdebe ser hermitiano tambien. Notamos que[) =_(AA))2_ = A2_ = A2_A)2(4.60) [ ) =_(B B))2_ = B2_ = B2_B)2(4.61)Tambien se puede vericar facilmente queAB =12 (AB BA) + 12 (AB + BA)=12 [A, B] + 12A, B (4.62)El valor esperado del conmutador de la expresion anterior es un n umero puramente imagi-nario ya que[A, B] = [A, B] = [A, B] = iC = (iC), (4.63)por otro lado, el anticonmutador es puramente real ya queA, B = A, B . (4.64)Entonces el valor esperado de (4.62) esAB) =12 [A, B]). .imaginario+12[A, B]). .real(4.65)entonces[AB)[2=14[[A, B])[2+ 14[[A, B])[2(4.66)Si quitamos el ultimo termino de la derecha, la relacion se hace mas fuerte ya que si c2a2+ b2entonces tambienc2 a2por lo tanto[AB)[2=14[[A, B])[2(4.67)y nalmente[AB)[214[C)[2(4.68)Sustituyendo esta relacion y las ecs. (4.60) y (4.61) en (4.56) obtenemosA2_ B2_14[C)[2. (4.69)Esta recibe el nombre de desigualdad de Heisemberg.Un caso particular interesante es el de la energa y el tiempo. El operador de energa quese dene comopt = i t(4.70)es conjugado al tiempot ya que[pt, t] = i. (4.71)4.5PrincipiodeIncertidumbredeHeisemberg 33Si hacemosA = ptyB = t en la desigualdad de Heisemberg (4.69) obtenemosp2t_ t2_14[i)[2. (4.72)que es lo mismo queE2_ t2_ 24. (4.73)34 EvolucionTemporalCaptulo5MecanicaCuanticaenUnaDimensionHasta ahora solo hemos estudiado el momento angular, pero los sistemas fsicos son rep-resentados por otras cantidades fsicas importantes. En este captulo estudiamos cantidadescomo la posicion y el momento de partculas restringidas a una sola dimension.5.1. EigenestadosdelaPosicionLos eigenestados de la posicion cumplen con la ecuacion x[x) = x[x) (5.1)donde x es el operador de posicion y [x) es el estado de posicion con < x < .Entre estos estados y los estados de espn hay una gran diferencia. Los estados de espntienen dos eigenvalores posibles y puede llevarse a cabo una medicion obteniendose algunode ellos. Sin embargo, en estos estados no tiene sentido hacer una medicion de la posicion,en todo caso podemos encontrar la posicion de la partcula en alg un rango x.En este caso un estado general puede escribirse como la superposicion de varios estadosde posicion[) =_dxc (x) [x) (5.2)Si consideramos que estos estados estan ortonormalizados seg unx[x

) = (x x

) (5.3)entonces podemos encontrar que los coecientes en la ec. (5.2) se pueden calcular comox

[) =_dxc (x) x

[x) =_dxc (x) (x x

) = c (x

) (5.4)36 MecanicaCuanticaenUnaDimensionpor lo que podemos reescribir la ec. (5.2) como[) =_dx[x) x[) =__dx[x) x[_[) . (5.5)En forma similar a las ecs. (1.15) y (1.16) podemos ver que_dx[x) x[ = 1. (5.6)Supongamos ahora que [) es un estado normalizado pero arbitrario en todo lo demas,entonces [) =_ _dx

dx [x) x[x

) x

[) =_ _dx

dx [x) x

[) (x x

)=_dx[x[)[2= 1. (5.7)Podemosidenticaradx[x[)[2conlaprobabilidaddeencontraralapartculaentrexyx + dx. As, el n umero complejo x[) es la amplitud de probabilidad de encontrar a lapartcula entrex yx + dx y en general depende de la posicion. A esta funcion de posicionla denominamos funcion de onda y se denota de la siguiente forma (x) = x[) (5.8)y la condicion de unitariedad (5.7) toma la forma_dxxx =_dx[x[2= 1. (5.9)Con esta deniciones podemos ver que forma toman algunas cantidades comunes:1. El producto de dos kets [) y [)[) =_dx[x) x[) =_dx (x) (x) . (5.10)2. El valor esperado de un operador tal como la posicion [ x[ ) = [_dx x[x) x[) = [_dxx[x) x[)=_dxx [x) x[) =_dxx (x) (x) =_dxx[ (x)[2(5.11)5.2. ElOperadordeTranslacionLa transformacion natural para la base de eigenestados es la translacion denida comoT (a) [x) = [x + a) . (5.12)5.3ElgeneradordeTranslaciones 37Supongamosque [)esunestadoarbitrarioyal sermodicadoporunatranslacionseobtiene[

) = T (a) [) ,

[ = [ T (a) . (5.13)insertando un 1 en el lado derecho de la ecuacion anterior obtenemos[

) = T (a)_dx

[x

) x

[) =_dx

[x

+ a) x

[) , (5.14)por lo tanto, el estado [

) en representacion de coordenadas espaciales toma la forma

(x) = x[

) = x[T (a)[ ) =_dx

x[T (a)[ x

) x

[)=_dx

x[x

+ a) x

[) =_dx

(x x

a) x

[) = (x a) (5.15)en la ecuacion anterior hemos insertando un 1 entre el operadorT (a) y el ket [).El operador de translaciones debe ser unitario ya que

[

) = T (a) T (a)_ = [) , (5.16)entoncesT (a) T (a) = 1 (5.17)y ademas, comoT (a) T (a) = 1 (5.18)entoncesT (a) = T (a) . (5.19)De esta ecuacion y (5.13) podemos ver que

(x) = x[

) = x[T (a)[ ) = xT (a)_ = x a [) = (x a) . (5.20)lo que reproduce el resultado obtenido de la ec. (5.15).5.3. ElgeneradordeTranslacionesDelamismaformaquehemoshechoantes,consideramoseloperadordetranslacionesinnitesimales dado porT (dx) = 1 i

pxdx (5.21)donde la accion de este operador sobre un ket de posicion esta dado porT (dx) [x) = [x + dx) (5.22)y pxes un operador desconocido por el momento.Deseamosqueestatransformacionseaunitariacomolovemosenlaec. (5.17)porlotanto_1 i

pxdx__1 +i

pxdx_ = 1 +i

_ px px_dx (5.23)38 MecanicaCuanticaenUnaDimensionpor lo tanto px = px. (5.24)En otras palabras, el operador generador de translaciones pxes hermitiano.Por otro lado, en la seccion 4.1 hemos visto que un operador genera transformaciones ensu operador canonicamente conjugado. En el caso de la posicion en un problema unidimen-sionalpx =L x(5.25)lo que indica quepxyx son variables canonicamente conjugadas y por lo tantopxgeneratransformaciones de la formax x + dx.De la misma forma que lo hicimos en el captulo 4T (x + dx) = T (x) T (dx) = T (x)_1 i

pxdx_(5.26)analogamenteT (x + dx) = T (dx) T (x) =_1 i

pxdx_T (x)T (x + dx) T (x)dx= i

pxT (x)T (x)x= i

pxT (x) , (5.27)la solucion a esta ecuacion diferencial, con la condicion inicialT (0) = 1 da por resultadoT (x) = exp_i

x px_(5.28)Al igual que en el captulo 4, tambien podemos utilizar la denicion de la funcion expo-nencialT (a) = lmN_1 i

px_ aN__N, lmNaN= dx. (5.29)Calculamos el efecto del conmutador [ x, T (dx)] sobre un estado [) arbitrario[ x, T (x)] [) = [ xT (x) T (x) x] [)= [ xT (x) T (x) x]_dx[x) x[) x_dx[x + x) x[) T (x)_dxx[x) x[)=_dx(x + x) [x + x) x[) _dxx[x + x) x[)= x_dxx[x + x) x[) = xT (x)_dxx[x) x[)= xT (x) [) = x_1 i

pxx_[) = x[) (5.30)5.3ElgeneradordeTranslaciones 39y como [) es un ket arbitrario, podemos generalizar[ x, T (x)] = x. (5.31)Por otro lado[ x, T (x)] = ix

[ x, px] . (5.32)Juntando los resultados de las ecs. (5.31) y (5.32) vemos que[ x, px] = i. (5.33)Engeneral, podemos escribir el hamiltonianodeunapartculaunidimensional enlaformaH = px2m + V( x) y (5.34)podemosencontrarlasecuacionesdemovimientoapartirdelaecuaciondeSchrodinger(4.13)t x) = (t)[t x[ (t)) + (t)[ x [ (t))t=i

_ (t) H x (t)_i

_ (t) x H (t)_ =i

_ (t)_ H, x_ (t)_=i

_ (t)12m ( px [ px, x] + [ px, x] px) (t)_=1m (t) [ px[ (t)) = px)m, (5.35)donde hemos utilizado la identidad de conmutadores[A, BC] = B[A, C] + [A, B] C. (5.36)De la misma manera podemos hacert px) = (t)[t px[ (t)) + (t)[ px [ (t))t=i

_ (t) H px (t)_i

_ (t) px H (t)_ =i

_ (t)_ H, px_ (t)_=i

(t) [[V( x) , px][ (t)) =i

_ (t)[ x, px] V( x) x (t)_= _ (t)V( x) x (t)_ =_V( x) x_. (5.37)Enesta ultimaecuacionutilizamoselsiguienteteorema:SeanA, ByCoperadorestalesque[A, B] = C (5.38)y[A, C] = [B, C] = 0 (5.39)40 MecanicaCuanticaenUnaDimensionentonces[A, f (B)] = [A, B]Bf (B) = CBf (B) (5.40)y[B, f (A)] = [B, A]Af (A) = CAf (A) . (5.41)5.4. ElOperadordeMomentoenlaBasedePosicionEstudiamos el operador de momento en la base de posicion. Una translacion innitesimalactuando sobre un estado arbitrario da por resultadoT (x) [) = T (x)_dx[x) x[) =_dx[x + x) x[)=_dx

[x

) x

x[) =_dx

[x

) (x

x) . (5.42)Lafunciondeondadesplazadauninnitesimal puedeexpresarsecomounaexpansionenseries de potencias como (x

x) = (x

) xx

(x

) + = x

[) xx

x

[)(5.43)Sustituyendo este ultimo resultado en la ec. (5.42) obtenemosT (x) [) =_dx

[x

)_x

[) xx

x

[)_=_dx

[x

) x

[) x_dx

[x

)x

x

[)=__dx

[x

) x

[_[) x_dx

[x

)x

x

[)= [) x_dx

[x

)x

x

[) . (5.44)Esta ultima ecuacion puede escribirse tambien en terminos de la forma explcita del operadorde translacion (5.21)T (x) [) =_1 i

pxx_[) (5.45)comparando las ecuaciones (5.44) y (5.45) obtenemos quei

pxx[) = x_dx

[x

)x

x

[) (5.46) px= i_dx

[x

)x

x

[) =

i_dx

[x

)x

x

[) (5.47)Multiplicando ambos lados de la ecuacion anterior por el bra x[ obtenemos quex[ px[ ) =

i_dx

x[x

)x

x

[) = i_dx

(x x

)x

x

[)=

ixx[) = ix (x) . (5.48)5.5EspaciodeMomento 41En el caso particular en el que [) = [x), tenemos los elementos de matriz del momento enla base de posicionx[ px[ x

) = ixx[x

) = ix (x x

) (5.49)y el valor esperado del momento puede calcularse como px) = [ px[ ) =_dx (x) ix (x) . (5.50)Todosestosresultadossugierenqueel operadordemomentoenel espaciodeposicionestoma la forma pxbasede x

ix. (5.51)5.5. EspaciodeMomentoAnalogamenteal espaciodeposiciones, labaseformadapor los eigenvectores delosmomentos cumple con la ecuacion de eigenvalores px[p) = [p) . (5.52)Un estado arbitrario puede ser expresado como una superposicion de estados de momento[) =__dp [p) p[_[) =_dp [p) p [) =_dp [p) (p) (5.53)y consecuentemente, en esta base el 1 puede representarse por medio de1 =_dp [p) p[ . (5.54)Dado que el operador de momento es hermitiano, los estados de momento son ortonormalesal igual que los de posicionp [p

) = (p p

) (5.55)entonces1 = [) =_dp [p) p [) =_dp [p [)[2=_dp (p) (p) =_dp [ (p)[2.(5.56)Esto nos permite identicar adp [p [)[2= dp [ (p)[2(5.57)con la probabilidad de que la partcula tenga un momento que se encuentre en el intervalo[p, p + dp].Puede demostrarse, en la misma forma que para la posicion, quep [ x[ ) = ipp [) = ip (p) . (5.58)42 MecanicaCuanticaenUnaDimensionAhora queremos calcular el braket x[p). Primero calculamosx[ px[ p) = p x[p) = ixx[p) (5.59)La solucion formal de esta ecuacion esx[p) = N exp_ipx

_(5.60)dondeNes un factor de normalizacion que puede calcularse dep

[p) =_dxp

[x) x[p) = [N[2_dxexp_ip p

x_, (5.61)ademas sabemos que (p p

) =12_dxexp [ix(p p

)] (5.62)entoncesN= 1/2 yx[p) =12 exp_ipx

_. (5.63)Lasfuncionesdeondaenel espaciodecoordenadasespacialesydemomentosestanrelacionadas (p) = p [) =_dxp [x) x[) =_dxp [x) (x) (x) = x[) =_dp x[p) p [) =_dp x[p) (p) (5.64)sustituyendo la ec. (5.63) en las ecuaciones anteriores obtenemos (p) =_dxp [x) x[) =_dx12eipx/x[) (5.65) (x) =_dp x[p) p [) =_dp12eipx/p [) (5.66)Como ya hemos visto, la funcion de onda (5.63) es eigenfuncion del operador de momentocomo consecuencia de la ec. (5.52). Puede verse facilmente que el momento conmuta con elhamiltoniano de una partcula libre_ H, px_ = 0 (5.67)dondeH = p2x2m(5.68)entonces, de lo visto en la seccion 3.2, los eigenestados del momento pxson tambien eigen-estados del hamiltonianoH. Particularmente, de la ecuacionH[p) = p2x2m[p) =p22m[p) (5.69)puede verse que los eigenvalores del hamiltoniano en la base de los momentos son E = p2/2m.5.6PaquetedeOndasGausiano 435.6. PaquetedeOndasGausianoLos eigenestados de la posicion tienen x) = 0 y por lo tanto p) . De la mismaforma los eigenestados de momento tienen p) = 0 y por lo tanto x) . En amboscasos unadelas cantidades estacompletamentedeterminadaylaotraestatotalmenteindeterminada.El paquete gausiano tiene la dispersion mnima, es decir xp = /2.Empezamos con un paquete gausiano (x) = x[) = Nex2/2a2(5.70)dondeNes una constante de normalizacion que puede obtenerse de la condicion [) =_dx (x) (x) = [N[2_dxex2/a2= 1. (5.71)Hacemos esta integral utilizando la formula general_dxex2+x= exp_24_(5.72)obteniendose que[N[2a = 1 (5.73)entoncesN=1(a2)12. (5.74)La densidad de probabilidad esta dada por[ (x)[2=1aex2/a2. (5.75)Podemos calcular la posicion promedio y el cuadrado de la posicion promedio de los paquetescomox) =_dx (x) x (x) =1a_dxex2/a2x (5.76)=_1a_dxex2/a2+x_=0= 0x2_=_dx (x) x2 (x) =1a_dxex2/a2x2=22_1a_dxex2/a2+x_=0=a22(5.77)y entonces, la incertidumbre esta dada porx) =_x2) x)2=a2. (5.78)44 MecanicaCuanticaenUnaDimensionEn las ecuaciones anteriores hemos utilizado las relaciones_dxex2/a2+x=2aea222_dxex2/a2+x=2a3ea22222_dxex2/a2+x=2a3_1 + 2a2_ea222(5.79)(5.80)La incertidumbre del momento puede calcularse como px) =_dx (x) ix (x) = 2ia_dxex2/a2x=_2ia3_dxex2/a2+x_=0= 0 (5.81) p2x_=_dx (x)_

ix_2 (x) =

2a5_dxex2/a2 _a2x2_=

2a3_dxex2/a222_ 2a5_dxex2/a2+xx2_ =

22a2, (5.82)por lo tantop) =_ p2x) px)2=

2a(5.83)Otra forma de hacer este calculo es utilizando la relacion (5.65) para obtener la funcionde onda en el espacio de momentos y posteriormente calcular los valores esperados de px)y p2x_. La funcion de onda en el espacio de momentos puede obtenerse como (p) = p [) =_dxp [x) x[) =_dx12eipx/1(a)12ex2/2a2=1_23/2

_12=_dxex2/2a2ipx/a(5.84)y utilizando la integral de la ec. (5.72) (p) =_a

_12ep2a2/22. (5.85)5.7EvolucionTemporaldeunaPartculaLibre 45Los valores esperados del momento y el cuadrado del momento son entonces px) = [ px[ ) =_dp [p) p p [) =_dp (p) p (p) (5.86)=a

_dpep2a2/2p = 0, p2x_= p2x_ =_dp [p) p2p [) =_dp (p) p2 (p) (5.87)=a

_dpep2a2/2p =

22a2(5.88)esto reproduce los resultados encontrados en las ecs. (5.81) y (5.82).5.7. EvolucionTemporaldeunaPartculaLibreEn la seccion (5.5) vimos que los eigenestados del operador de momento tambien lo sondel hamiltoniano de partcula libre dado porH = p2x2m. (5.89)Larepresentaciondemomentosesentonceslaformamasdirectadeestudiarlaevolucionde un paquete de ondas. Un estado arbitrario [) evoluciona en la forma[ (t)) = exp_iH

t_[ (0)) = exp_iH

t__dp [p) p [)=_dp exp_i p2x2mt_[p) p [) =_dp exp_ip22mt_[p) p [) . (5.90)Para el paquete gausiano de la ec. (5.70) tenemos que (x, t) = x[ (t) ) =_xexp_i p2x2mt__= x[ exp_i p2x2mt__dp [p) p [)=_dp exp_ip22mt_x[p) p [) =exp_x22a2(1itma2)___a +itma__12(5.91)dondehemosutilizadolosresultados(5.63)y(5.85)para x[p)y p [)respectivamente.Paralafunciondeondaenlaecuacionanteriorpodemoscalcularlaincertidumbredelaposicion comox = _x2) (5.92)46 MecanicaCuanticaenUnaDimensiondondex2_=_ (t)( x x))2 (t)_ = (t)[ ( x x))2_dx[x) x[ (t) )=_dx( x x))2 (t) [x) x[ (t) ) =_dx( x x))2 (x, t) (x, t)=a2_1 +

2t2m2a4_12. (5.93)Para el calculo de la ecuacion anterior revisa el problema 6.4 de la Tarea 7.5.8. LaEcuaciondeSchrodingerenelEspaciodePosi-cionEmpezamos por multiplicar la ec. de Schrodinger dada en (4.1) por el bra x[_x H (t)_ = i_xddt (t)_. (5.94)Suponemos que el hamiltoniano esta dado porH =p22m + V(x) H = p2x2m + V( x) . (5.95)Necesitamos entonces calcular los terminosV( x) [x) = V(x) [x) , x[ V( x) = x[ V(x) (5.96)y por lo tantox[V( x)[ (t)) = V(x) x[ (t) ) = V(x) (x, t) . (5.97)El termino de la energa cinetica esta dado porx p2x (t)_ =_

ix_2x[ (t) ) = 22x2 x[ (t) ) = 22x2 (x, t) , (5.98)entonces, la ec. de Schrodinger toma la forma_ 22m2x2+ V(x)_x[ (t) ) = i tx[ (t) ) (5.99)que es lo mismo que_ 22m2x2+ V(x)_ (x, t) = i t (x, t) (5.100)En el caso particular en el que [ (t)) es un eigenestado de la energa, la funcion de ondaesta dada porE (x, t) = x[E (t) ) = x[U (t)[ (0)) = x[U (t)[ E)= exp (iEt/) x[E) = exp (iEt/) E (x) , (5.101)5.9PozodePotencial 47donde, los eigenestados de la energa [E) cumplen con la ecuacion de eigenvaloresH[E) = E [E) . (5.102)Al introducir la forma (5.101) de la funcion de onda en la ecuacion de Schrodinger depen-diente del tiempo obtenemos la ecuacion de Schrodinger estacionaria_ 22m2x2+ V(x)_x[E) = E x[E) ,_ 22m2x2+ V(x)_E (x) = EE (x) (5.103)5.9. PozodePotencialResolvemos un ejemplo particular, el pozo de potencial rectangular dado por el potencialV(x) =_0, [x[ < a/2,V0, [x[ a/2,. (5.104)En la region del pozo de potencial la solucion de la ec. de Schrodinger esd2dx2= 2mE

2 = k2, [x[