meca de cr centro de masa

7/25/2019 Meca de Cr Centro de Masa

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C.P INGENIERA ELECTRNICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD ELCUSCO

MECNICA DE CUERPO RGIDO

CENTRO DE MASA

Cuerpo rgido.

Esttica.- La Dinmica es la parte de la Mecnica en la que se estudia la relacin existente

entre el movimiento de un cuerpo y sus causas. Nos ensea que dicho movimiento dependede la masa del cuerpo y de las acciones o fuerzas que ejercen sore !l otros cuerpos queconstituyen su medio amiente. Los efectos de dichas fuerzas pueden contrarrestarse entre s"#dando lu$ar a una situacin anlo$a a la que se presentar"a si no actuase fuerza al$una soreel cuerpoLa Mecnica que estudia slo aquellos sistemas en los que las fuerzas actuantes secontrarrestan# recie el nomre de %sttica.

%l momento resultante M en la ecuacin dee ser nulo para que exista equilirio# deercalcularse con respecto a un cierto centro de reduccin &. 'Nos podemos pre$untar si es

indiferente el centro de reduccin que escojamos(.)ecordemos que la resultante $eneral de un sistema de vectores deslizantes es independientedel centro de reduccin ele$ido# pero que no sucede lo mismo con el momento resultante$eneral# que var"a de un punto a otro. La relacin existente entre M& y M&* es+

de modo que si ) , - primera condicin de equilirio/# entonces M&* , M y si el momentoresultante es nulo con respecto a un centro de reduccin tami!n lo ser con respecto acualquier otro punto &*. 0or tanto# astar verificarla para un solo punto del espacio# toda vezque se haya verificado la condicin.

Equilibrio del slido rgido.- 1aemos que el movimiento ms $eneral de un slido r"$ido esel rototraslatorio+ esto es# compuesto de una rotacin y una traslacin. 1aemos# adems# queel centro de masa del slido r"$ido al i$ual que el de cualquier sistema material/ se muevecomo si la resultante de todas las fuerzas que act2an sore el slido r"$ido estuviese aplicadaen !l. %n ausencia de fuerzas# el centro de masa del slido r"$ido se mueve con velocidadconstante movimiento rectil"neo y uniforme/. 3s" pues# el slido r"$ido se encuentra enequilirio de traslacin en un referencial cuando la aceleracin de su centro de masa es nulaen ese referencial.%n cuanto al equilirio de rotacin no podemos se$uir con la misma analo$"a ya que lapart"cula no rota/. 4uando un slido r"$ido utiliza uno de sus ejes principales de inercia comoeje de rotacin no muestra tendencia al$una a aandonar ese eje y no ejerce reacciones sorelos apoyos del mismo. 0or esa razn los ejes principales del slido recien tami!n el nomre

de ejes lires.

eo!etra de las !asas


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Distribucio"es discretas # co"ti"uas de!ateria.5 6na distriucin discreta de materiaes aqu!lla en la que las part"culas estnnetamente diferenciadas por la existencia de

espacios vac"os entre ellas. 6na distriucindiscreta de materia quedar definida mediantelas coordenadas de posicin de todas y cadauna de las part"culas que la inte$ran# como seilustra.

Desde un punto de vista microscpico esa es lasituacin real# puesto que la materia presentauna estructura esencialmente discreta.

1in emar$o# desde un punto de vista macroscpico#

podemos y deemos considerar el caso de unadistriucin continua de materia# una distriucin demateria sin espacios vac"os o soluciones decontinuidad. %n este caso# veremos que en muchasocasiones ser necesario descomponer el sistemamaterial en un n2mero infinito de porcioneselementales infinitesimales/# de masa dm# como seilustra.

0ara caracterizar una distriucin continua de materia# definimos la densidad volum!trica 7# la

densidad superficial 8 y la densidad lineal 9# correspondientes a una distriucin c2ica#superficial y lineal de materia# respectivamente# por:

donde d;# d1 y ds representan# respectivamente# los elementos de volumen# de superficie y delon$itud# correspondientes al elemento de masa dm. %n $eneral# la densidad del sistemamaterial 7# 8 o 9/ variar de una zona a otra del sistema material+ esto es# la densidad seruna funcin de punto 7x#y#z/# 8x#y#z/ o 9x#y#z/# y deeremos conocer dicha funcin para queel sistema material quede ien definido.

Ce"tro de !asa.5 4onsideremos un sistema de part"culas# compuesto por N de ellas# cuyasmasas desi$naremos por mi i , # cuandoas" conven$a/# cuyo vector de posicin respecto a & es donde M , m irepresenta# evidentemente# la masa total del sistema de part"culas.

TEOREMA I.- La posicin del centro de masa de un sistema es independiente delreferencial que utilicemos y depende solamente de las masas de las partculas y de lasposiciones de unas respecto a otras.

%n efecto# de acuerdo con el carcter vectorial de la definicin del centro de masa# y puestoque no hemos hecho referencia al$una a nin$2n conjunto particular de ejes# la posicin del


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MECNICA DE CUERPO RGIDOcentro de masa no depender de laorientacin del sistema de ejes# conori$en en que elijamos. 0ero#adems# deemos demostrar que laposicin del centro de masa no depende

tampoco de la eleccin del ori$en. 0arademostrar esto 2ltimo# consideraremosdos puntos & y &*# or"$enes de dosreferenciales# y sean ri y ri* los vectoresde posicin de una part"cula $en!rica#mi# respecto a cada uno de esosor"$enes. La relacin existente entre losvectores riy ri* es:Los centros de masa 4M y 4M* estarndefinidos por los vectores de posicin rcmy r*cmrelativos a & y &*# con

1ustituyendo ecuaciones# tenemos:

de modo que rcmy r*cmdeterminan un mismo punto 4M ? 4M*/ respecto a & y &*# por lo que elcentro de masa es 2nico.%n coordenadas cartesianas# que son las utilizadas ms com2nmente# la posicin del centrode masa del sistema de part"culas viene dada por:

0ara un sistema continuo# de materia# el clculo del centro de masa exi$e la descomposicinde la distriucin de materia en un n2mero infinito de porciones elementales infinitesimales/#de masa dm# como se ilustra en la fi$ura.%n estas condiciones# los sumatorios que aparecenen las expresiones anteriores se convierten eninte$rales# resultando:


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%xtendi!ndose las inte$raciones a toda la re$in ) ocupada por la distriucin continua demateria. 1i tenemos en cuenta las definiciones dadas anteriormente para la densidadvolum!trica 7# la densidad superficial 8 y la densidad lineal 9# correspondientes adistriuciones c2ica# superficial y lineal de la masa# la expresin se escriir en las si$uientes

formas:

y para la componente xcmse tendr.

De manera anlo$a se tendr expresiones similares para y cm# y zcm# respectivamente.

%n $eneral# la densidad del sistema material 7# 8 o 9/ variar de un punto a otro del sistema+esto es# la densidad ser una funcin de punto 7x#y#z/# 8x#y#z/ o 9x#y#z/# y deeremosconocer dicha funcin para poder evaluar las inte$rales.4uando el sistema es homo$!neo# de modo que la densidad tiene un valor constante en todoel recinto de inte$racin.

donde ;# 1 y s representan el volumen# la superficie y la lon$itud# respectivamente# del recintode inte$racin# o sea# de la re$in del espacio ocupada por el sistema material. %n estascondiciones cuerpos homo$!neos/# la posicin del centro de masa depende tan slo de laforma $eom!trica del cuerpo# y el centro de masa recie el nomre de centroide.

TEOREMA II.- El momento esttico de un sistema de partculas respecto a cualquierplano que pasa por su centro de masa es nulo.

%l momento esttico @/ de un sistema de part"culas respecto a un plano se define como lasuma de los productos de las masas de las part"culas por sus distancias respectivas# con si$noincluido# al plano+ esto es:

0ara demostrar el teorema# consideremos un planoque pase por el centro de masas del sistema depart"culas# expresado por su ecuacin normal:

Donde A# B y C son los n$ulos directores delvector normal al plano y es la distancia de !ste alori$en de coordenadas. Las coordenadas de unapart"cula $en!rica del sistema son xi#yi#zi/ y sudistancia al plano es

%l momento esttico del sistema de part"culasrespecto al plano es


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3s" tami!n, el !o!e"to estticoes la suma de los productos de cada elemento de uncuerpo por su distancia a un eje. Eay momentos estticos del peso# de la masa# del volumende los cuerpos# y de reas y de l"neas. 1e llaman momentos por su semejanza con losmomentos de las fuerzas# que se otienen mediante el producto de una fuerza por la distancia

de su l"nea de accin a un cierto eje y tienden a lo$rar que el cuerpo $ire. 0ero los momentoestticos no producen nin$una tendencia al $iro# por eso son estticos. 1e llaman tami!nmomentos de primer orden.3unque se trata de un concepto meramente matemtico# sin nin$una referencia f"sica# nosservirn para otener lu$ares reales# como el centro de $ravedad y el centro de masa de uncuerpo# as" como los centroides de volumen# de rea y de l"nea

$eso de u" cuerpoLa fuerza con que la Fierra atrae a un cuerpo se llama peso. 3unque la hemos venidoconsiderando como una fuerza concentrada# realmente no lo es# el peso de un costal demanzanas# por ejemplo# es la suma de los pesos de cada manzana.0ensemos en un menhir o en una $ran piedra cualquiera. 1u peso es la suma de los pesos de

cada una de sus part"culas. Fodos esos pesos constituyen un sistema de fuerzas paralelas.0ara determinar su resultante emplearemos las dos ecuaciones si$uientes:

De donde

Gue para este caso particular se convierte en:

%sta 2ltima inte$ral es el momento esttico del peso con respecto al eje de las yes# que sesuele simolizar as":

0uesto que los cuerpos tienen tres dimensiones# es ms frecuente traajar con los momentosestticos del peso de un cuerpo# no respecto a ejes# sino respecto a planos+ o sea

4omo las coordenadas x# y y z pueden ser positivas# ne$ativas o nulas# los momentosestticos tami!n pueden resultar positivos# ne$ativos o nulos.


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MECNICA DE CUERPO RGIDOLos momentos estticos de un cuerpo# respecto a un plano de simetr"a son nulos# puesto queel momento de un lado del plano es i$ual al del otro lado# pero de sentido contrario. Dicho deotra manera# el centro de $ravedad de un cuerpo se encuentra en el plano de simetr"a# si elcuerpo lo tiene. H se hallar tami!n en el eje o en el punto de simetr"a# si existe.

Ce"troides0uesto que los momentos estticos con respecto a planos# en particular los de volumen# son lasuma de los productos de cada parte por su distancia al plano# el de un cuerpo compuesto seotiene sumando los momentos estticos de cada parte. 1i dividimos el resultado de esa sumaentre el volumen de todo el cuerpo otenemos la distancia del plano al centroide. Ilustraremosesto con el si$uiente ejemplo.

4omo en este caso# por la homo$eneidad del cuerpo y por sus limitadas dimensiones tanto elcentro de masa como el centro de $ravedad y el centroide del volumen son el mismo punto#nos limitaremos a otener este 2ltimo.&servamos# en primer lu$ar# que hay un plano paralelo al yz que es de simetr"a# pues cortaen dos partes i$uales al cuerpo cuya ecuacin es x ,


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