mÓdulo ii Álgebra expresiones algebraicas · 2019. 8. 22. · expresiones algebraicas actividad...

ANEXO CIU 2019

DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA PRODUCCIÓN E INNOVACIONES TECNOLÓGICAS:

LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

TECNICATURA EN ANALISTA PROGRAMADOR UNIVERSITARIO

MÓDULO II

ÁLGEBRA

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Universidad Nacional de José C. Paz Secretaría Académica

Dirección General de Acceso y Apoyo al Estudiante Equipo de Coordinación y Asesores de Matemática Ciclo de Inicio Universitario

1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Actividad Nº1 Une con flechas cada enunciado coloquial con su expresión algebraica correspondiente

a) El cuadrado de la diferencia entre dos números a y b (a + b)3 b) El doble del siguiente de un número entero a 2.(a + 1) c) Al cubo de un número a se lo aumenta en b unidades 2 a + 1 d) La diferencia entre los cuadrados de dos números a y b a3 + b e) El siguiente del doble de un número entero a2 – b2 f) El cubo de la suma entre a y b (a – b)2 g) El triple de un número más 1 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏

2

h) La mitad del cuadrado de un número 3 a + 1 i) La diferencia entre la mitad de un número y otro

número 𝑎𝑎2

2

j) La mitad de la diferencia de dos números 𝑎𝑎2

2 - y

PARA REFRESCAR UN POCO LA MEMORIA

DEFINICIÓN: Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionados entre sí por una o más operaciones. Las letras utilizadas en las expresiones algebraicas se llaman variables, los números son conocidos como coeficientes. Una expresión algebraica puede ser clasificada en racional o irracional, dentro de las racionales tenemos dos tipos: enteras (polinomios) y fraccionarias. Expresiones algebraicas enteras Se llaman expresiones algebraicas enteras a toda combinación de números y letras relacionadas a través de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación de exponente natural. Es decir, en estas expresiones no puede aparecer ninguna letra en el denominador ni afectada por una raíz o estar elevada a un exponente negativo. Estas expresiones las has trabajado y operado con el nombre de “Polinomios”. Dos o más términos son semejantes cuando tiene la misma variable elevada a un mismo exponente. Ejemplos: 3. x es semejante con -24.

32

.x5 es semejante con 0,54 x5

Reducción de expresión Cuando en una expresión algebraica, se efectúan todas las operaciones posibles dentro de ella, se dice que está reducida. Ejemplos:

5x2 – 8x2 = - 3x2 , pues al ser términos semejantes se puede operar con los coeficientes, resolviendo la suma algebraica entre 5 y -8



2

𝑦𝑦 + 3. 𝑥𝑥.𝑦𝑦 – 2. 𝑥𝑥.𝑦𝑦 = 𝒚𝒚 + 𝒙𝒙.𝒚𝒚, aquí los términos semejantes son los que tienen parte literal 𝑥𝑥𝑦𝑦, por lo tanto sólo podemos reducir esos términos.

-2ab2 + 5a2b – 6,5 a + 5,5a2b – 8,2ab2 = -10,2 ab2 – 6,5a + 10,5a2b , ten en cuenta que los términos ab2 y a2b no son semejantes

Grado El grado de una expresión algebraica está determinado por el término de mayor exponente 3

2 .𝑥𝑥5 es de grado 5

3. 𝑥𝑥 es de grado 1

5𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 – 2𝑥𝑥 – 𝑥𝑥7 es de grado 7

6 es de grado 0

Actividad Nº1 Determina el grado de cada expresión e indica el término independiente

a) P(𝑥𝑥) = −5 + 3𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 b) Q(𝑥𝑥) = 7𝑥𝑥5 − 9𝑥𝑥3 + 3

4𝑥𝑥2 − 12

c) R(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥 + 125𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥5

Actividad Nº2 Reduzca en cada caso los términos e indica el grado de la expresión resultante.

a) 3𝑦𝑦 + 2𝑦𝑦 = b) 𝑎𝑎 + 4 𝑎𝑎 = c) 𝑏𝑏 – 4𝑏𝑏 + 3𝑏𝑏 = d) 5𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥4 – 2𝑥𝑥2 – 𝑥𝑥4 = e) 5𝑎𝑎 + 7 + 2 𝑎𝑎 + 4 – 6 𝑎𝑎 + 3 = f) 4𝑥𝑥2𝑦𝑦 – 3𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥𝑦𝑦2 – 5𝑥𝑥2𝑦𝑦 + 7𝑦𝑦 + 7𝑥𝑥𝑦𝑦2 =

¿Cómo operamos con expresiones algebraicas?

• Sumas y restas Para operar en la suma y resta de expresiones algebraicas, tenemos en cuenta la agrupación de términos semejantes, es decir, igual parte literal con mismo exponente. Ejemplos: (−3𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎 - 1

3𝑎𝑎3 − 6) + (−𝑎𝑎 + 7𝑎𝑎2 + 1 – 𝑎𝑎3)= suprimimos los paréntesis teniendo

en cuenta los signos que lo preceden y agrupamos cada término semejante para poder operar entre ellos, en este caso:

(−3𝑎𝑎2 + 7𝑎𝑎2 )+( - 13 𝑎𝑎3 –𝑎𝑎3 ) + (2𝑎𝑎 – 𝑎𝑎) + ( −6 + 1) = 𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐 −𝟒𝟒

𝟑𝟑 𝒂𝒂𝟑𝟑 + 𝒂𝒂 − 𝟓𝟓



3

• Multiplicaciones y divisiones Aquí tenemos en cuenta las propiedades de la potenciación vistas en el módulo

anterior, es decir, cuando multiplicamos potencias de igual base, los exponentes se suman y si dividen se restan. Con respecto a la multiplicación de un factor por una suma algebraica o de una suma algebraica por otra, aplicamos la propiedad distributiva correspondiente.

Ejemplos: 1) Multiplicación y división de varios factores 3𝑎𝑎𝑦𝑦𝑏𝑏. (−5𝑏𝑏3) = −𝟏𝟏𝟓𝟓𝒂𝒂𝒚𝒚𝒃𝒃𝟒𝟒 , multiplicamos los números aplicando regla de signos y

sumamos los exponentes de las letras que son iguales, mientras que las letras que sólo aparecen una vez, las expresamos en el resultado sin modificación.

14 𝑥𝑥3. 𝑥𝑥2𝑧𝑧. (−2𝑦𝑦. 5𝑥𝑥)= −𝟏𝟏

𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟔𝟔𝒚𝒚𝒚𝒚

−12x2y z6yx

= −𝟐𝟐𝒙𝒙𝒚𝒚, aquí la división entre -12 y 6 nos da -2, luego tomamos las letras

iguales y restamos sus exponentes por tratarse de una división.

Actividad Nº3 Resuelva las siguientes operaciones

a) 12.𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = f) −2 + 23 𝑥𝑥 + 5

3 𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥2 =

b) 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 – 𝑥𝑥 = g) 5𝑥𝑥 . 4𝑥𝑥 =

c) 8𝑥𝑥 – 8𝑥𝑥 = h) 3𝑥𝑥2 . 32 . 𝑥𝑥3 . 9𝑥𝑥4 =

d) −3𝑥𝑥 – 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥2 = i) 5.𝑎𝑎. 𝑎𝑎.𝑎𝑎 = e) −𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥3 + 7𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥3 – 2𝑥𝑥2 = j) − 100 𝑎𝑎: (−50𝑎𝑎) =

Actividad Nº4 Escriba V (verdadero) o F (falso). Explica las respuestas que son falsas.

a) 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎6 b) 4𝑚𝑚 + 5𝑚𝑚 = 9 𝑚𝑚2 c) 𝑏𝑏 . 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏2

d) 14 𝑎𝑎. 1

4 𝑎𝑎 = (

14 ) 2 .𝑎𝑎2

e) − 25 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎2 – ( − 𝑎𝑎) = -

75 𝑎𝑎 + 2 𝑎𝑎2

f) 𝑥𝑥3 = 3𝑥𝑥

2) Multiplicación de un factor por una suma o resta y de una suma algebraica por otra

2𝑥𝑥. (5 + 𝑥𝑥)= 2𝑥𝑥. 5 + 2𝑥𝑥. 𝑥𝑥 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 Aplicamos la propiedad distributiva

¿Cómo se hace esto?

Me olvide!!!!!



4

(2𝑏𝑏 + 𝑎𝑎). (3𝑎𝑎 – 5𝑏𝑏)=2𝑏𝑏. (3𝑎𝑎 – 5𝑏𝑏) + 𝑎𝑎. (3𝑎𝑎 – 5𝑏𝑏) = 6𝑏𝑏𝑎𝑎 – 10𝑏𝑏2 + 3𝑎𝑎2 – 5𝑎𝑎𝑏𝑏 = –𝟏𝟏𝟏𝟏𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝒃𝒃

Se aplicó la propiedad distributiva de una suma respecto de una diferencia y luego se

redujeron los términos semejantes.

• Potencias de potencias En este caso aplicaremos la propiedad de las potencias vista para números

enteros y racionales, es decir, multiplicamos los exponentes. Ejemplos

(2. 𝑥𝑥5)6 = 26 . (𝑥𝑥5)6 = 𝟔𝟔𝟒𝟒 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟏𝟏 (3𝑥𝑥2)3 = 33. (𝑥𝑥2 )3 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙𝟔𝟔

Actividad Nº5

a) Para el siguiente rectángulo, calcula el área: 8.𝑎𝑎 + 5

2. 𝑎𝑎 𝑨𝑨 =

b) Reduzca las siguientes expresiones algebraicas cuando sea posible:

1) 4. 𝑥𝑥. (−3. 𝑥𝑥2 + 6. 𝑥𝑥3) = 2) −6. 𝑥𝑥3. (2. 𝑥𝑥5 – 3. 𝑥𝑥) =

3) 14

𝑥𝑥3 . (𝑥𝑥2 – 8. 𝑥𝑥2 - 13

. 𝑥𝑥)=

4) (5.𝑥𝑥 + 6). (−2. 𝑥𝑥 - 13 )=

5) (4. 𝑥𝑥2 + 3. 𝑥𝑥 – 1). (− 14

. 𝑥𝑥 + 2. 𝑥𝑥2) =

Actividad Nº6 Halla el valor de 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 , 𝑐𝑐 y 𝑑𝑑 en cada caso, para que se cumplan las siguientes igualdades:

a) (𝑥𝑥 − 1). (𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑏𝑏) = 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2 − 3. 𝑥𝑥 + 3 b) (𝑥𝑥2𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏). (𝑐𝑐𝑥𝑥 − 1) = 3. 𝑥𝑥3 + 5. 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 1) c) (3𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥 − 5) + (−4 + 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑏𝑏𝑥𝑥2 + 𝑐𝑐𝑥𝑥3 + 𝑑𝑑𝑥𝑥4) = −9 + 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥4 d) (5𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥5 + 8𝑥𝑥5 − 7𝑥𝑥) − (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥3 + 𝑑𝑑𝑥𝑥5) = 3 + 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2



5

PRODUCTOS ESPECIALES

• CUADRADO DE UN BINOMIO Una expresión de la forma (𝑥𝑥 ± 𝑎𝑎)2 recibe el nombre de cuadrado de un binomio y se expresa en forma desarrollada como:

(𝒙𝒙 ± 𝒂𝒂)𝟐𝟐 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 ± 𝟐𝟐.𝒙𝒙.𝒂𝒂 + 𝒂𝒂𝟐𝟐 El polinomio obtenido recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. El desarrollo del cuadrado de binomio podemos obtenerlo como, el cuadrado del primer término, más o menos el doble del producto de los dos términos, más el cuadrado del segundo término. Ejemplos:

(7 + 𝑥𝑥)2 = 72 + 2.7. 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 𝟒𝟒𝟒𝟒 + 𝟏𝟏𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 (𝑥𝑥 − 8)2 = 𝑥𝑥2 + 2. 𝑥𝑥. (−8) + (−8)2 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 – 𝟏𝟏𝟔𝟔𝒙𝒙 + 𝟔𝟔𝟒𝟒 (−𝑥𝑥2 – 3𝑥𝑥)2 = (−𝑥𝑥2)2 + 2. (−𝑥𝑥)2. (−3𝑥𝑥) + (−3𝑥𝑥)2 = 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐

También podemos resolver el cuadrado del binomio aplicando la propiedad distributiva: Si tomamos el primer ejemplo, tenemos: (7 + 𝑥𝑥)2 = (7 + 𝑥𝑥). (7 + 𝑥𝑥). Por estar el binomio elevado al cuadrado, multiplicamos la base dos veces por sí misma por definición de potencia: 7. (7 + 𝑥𝑥) + 𝑥𝑥. (7 + 𝑥𝑥) = 7.7 + 7. 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥. 7 + 𝑥𝑥. 𝑥𝑥 = 49 + 7𝑥𝑥 + 7𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 𝟒𝟒𝟒𝟒 + 𝟏𝟏𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝒙𝒙𝟐𝟐

• MULTIPLICACIÓN DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE IGUALES BASES Una expresión de la forma (𝑥𝑥 + 𝑎𝑎). (𝑥𝑥 – 𝑎𝑎) es un producto especial y que conocemos como producto de la suma por la diferencia de las mismas bases. Para desarrollarlo aplicamos la propiedad distributiva y obtenemos una diferencia de cuadrados de las mismas bases.

(𝒙𝒙 + 𝒂𝒂). (𝒙𝒙 − 𝒂𝒂) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 – 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝒙𝒙 𝑦𝑦 𝒂𝒂 son las bases Utilizando entonces la propiedad distributiva tenemos el desarrollo de este producto de la siguiente manera: 𝑥𝑥. (𝑥𝑥 – 𝑎𝑎) + 𝑎𝑎. (𝑥𝑥 –𝑎𝑎) = 𝑥𝑥. 𝑥𝑥 – 𝑥𝑥. 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎. 𝑥𝑥 – 𝑎𝑎. 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥2 – 𝑥𝑥. 𝑎𝑎 + 𝑥𝑥.𝑎𝑎 – 𝑎𝑎2 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 – 𝒂𝒂𝟐𝟐

En consecuencia, el producto de la suma por la diferencia de iguales bases es igual al cuadrado de la primera base menos el cuadrado de la segunda.

Ejemplos: (𝑥𝑥 + 8) . (𝑥𝑥 − 8) = 𝑥𝑥2 – 82 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 – 𝟔𝟔𝟒𝟒 (𝑥𝑥2 + 3) . (𝑥𝑥2 – 3) = (𝑥𝑥2)2 – 32 = 𝒙𝒙𝟒𝟒 – 𝟒𝟒 (− 4 + 𝑥𝑥3). (4 + 𝑥𝑥3) = (𝑥𝑥3 + 4). (𝑥𝑥3 − 4) = (𝑥𝑥3)2 – (4)2 = 𝒙𝒙𝟔𝟔 – 𝟏𝟏𝟔𝟔 (− 0,5𝑥𝑥 + 0,25𝑥𝑥3). (0,5𝑥𝑥 + 0,25𝑥𝑥3) = (0,25𝑥𝑥3 + 0,5𝑥𝑥). (0,25𝑥𝑥3– 0,5𝑥𝑥) = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐 – 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓𝒙𝒙𝟔𝟔



6

Actividad Nº7 Desarrolla los siguientes productos especiales.

a) (𝑥𝑥 – 5). ( 𝑥𝑥 + 5) = e) (3𝑥𝑥 + 7)2 = b) (5𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥4). (− 5𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥4) = f) (− 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2)2 =

c) (−0,4. 𝑥𝑥2 + 14

. 𝑥𝑥). (0,4. 𝑥𝑥2 + 14

. 𝑥𝑥) = g) ( - 0,4 a7 — 0,3)2 =

d) (4 + 8 𝑎𝑎). (4 + 8 𝑎𝑎) = h) (− 13 .𝑥𝑥 — 1

3 .𝑥𝑥 5) 2 =

Actividad Nº8 ¿Cómo resuelves las siguientes operaciones?

a) (2𝑏𝑏 + 3 𝑎𝑎)3 = b) (2𝑚𝑚2 + 3𝑚𝑚3)4 = c) ( 5 + 2𝑥𝑥 – 3𝑥𝑥2)2 =

Actividad Nº9 Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda. Fundamenta resolviendo.

a) (𝑥𝑥 + 2)2 = 𝑥𝑥2 + 4 c) (𝑥𝑥 + 12 )2 = 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 0,25

b) (𝑥𝑥 – 3)2 = 𝑥𝑥2 − 9 − 6. 𝑥𝑥 d) (𝑥𝑥 − 4). (𝑥𝑥 − 4) = 𝑥𝑥2 + 16

Actividad Nº10 Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos y escribe luego el correspondiente binomio que permite su desarrollo.

a) 9𝑥𝑥2 + 24𝑥𝑥 + ⋯ = b) 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + ⋯ = c) 1

4 𝑎𝑎2 − ⋯+ 25 = (1

2𝑎𝑎 − ⋯ )2

d) 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + ⋯ = (𝑥𝑥 + ⋯ )2 e) … + 70𝑎𝑎𝑏𝑏2 + ⋯ = (5𝑎𝑎 + ⋯ )2

Actividad Nº11 Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

a) (23 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏). 𝑏𝑏 + 4𝑏𝑏3 ∶ (1

3 𝑏𝑏2) =

b) – 𝑎𝑎.𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎. 5 𝑎𝑎2 + 9.𝑎𝑎.𝑎𝑎.𝑎𝑎 =

c) (−𝑎𝑎 – 𝑎𝑎). (5 𝑎𝑎 + 12 𝑎𝑎) =

d) (𝑥𝑥2 − 4). (𝑥𝑥 + 5) – (𝑥𝑥 + 5). (𝑥𝑥 − 3) = e) (b – 4)2 - (b – 4). (𝑏𝑏 + 4) = f) (1 – 𝑥𝑥)2 + (1 + 𝑥𝑥)2 =



7

FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Factorizar un polinomio implica expresarlo como el producto de dos o más polinomios primos. Partimos de una expresión polinómica formada por sumas algebraicas y llegamos a otra expresión equivalente que es una multiplicación de otros polinomios de menor grado posible. Estos polinomios de grado menor son los polinomios primos o irreducibles, aquellos polinomios que no pueden seguir factorizándose, es decir, no pueden ser descompuestos en polinomios de grado más chico. Los polinomios que podemos transformar en producto, lo hacemos a través de casos. En el anexo trabajaremos solo con: factor común, diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto. Factor común: Es el procedimiento inverso al de aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma o resta. 𝑎𝑎. (𝑥𝑥 ± 𝑦𝑦) = 𝒂𝒂. 𝑥𝑥 ± 𝒂𝒂.𝑦𝑦 𝒂𝒂 es el factor común (se repite en ambos términos) Para extraer el factor común debes proceder de manera inversa: 𝒂𝒂. 𝑥𝑥 ± 𝒂𝒂.𝑦𝑦 = 𝒂𝒂. (𝑥𝑥 ± 𝑦𝑦). Primero debes detectar cuál es el factor que se encuentra repetido en todos los términos. Puedes encontrar un factor común literal, factor común numérico o ambos. Respecto de la parte literal debes observar la letra que aparece en todos los términos y la seleccionas con su menor exponente. En cuanto a la parte numérica, se busca el máximo divisor entre los números existentes, si los números son primos, el factor común numérico será la unidad y no se escribe. En el caso de que los términos del polinomio tengan fracciones, se procede como antes mencionamos, buscando el divisor común mayor tanto para el numerador como para el denominador de la fracción, una vez encontrado, extraemos ese factor. Podemos decir entonces que si en todos los términos de la expresión algebraica figura un factor, dicha expresión queda expresada como el producto de ese factor común por el cociente que se obtiene dividiendo cada término de la expresión dada por el factor común. Ejemplos:

a) 6𝑥𝑥5– 12 𝑥𝑥4 + 18𝑥𝑥3 = 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟑𝟑. ( 𝑥𝑥2 – 2𝑥𝑥 + 3) 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟑𝟑 es el factor común y 𝑥𝑥2 – 2𝑥𝑥 + 3 es la expresión que resulta de dividir por el factor común 6x3 la expresión algebraica dada 6𝑥𝑥5– 12 𝑥𝑥4 + 18𝑥𝑥3

Recuerda: Si un término de la expresión algebraica coincide en su totalidad con el factor común, entonces, al extraer dicho factor y realizar la división , colocamos 1 en el término correspondiente. Ten en cuenta que la cantidad de términos sigue siendo la misma.

b) 25 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 + 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙.( 2

5 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2 + 𝟏𝟏)

El factor común coincide con el último término de la expresión. Entonces, colocamos el 1 en el último término del paréntesis, esto ocurre debido a que una expresión dividida por si misma da por resultado 1.



8

25𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥. (

25𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2)

El error que suele cometerse es no escribir el 1 que se obtiene en el último término. La cantidad de términos resultantes dentro del paréntesis debe coincidir con la cantidad de términos que tiene la expresión original.

Seguimos con algunos ejemplos más!!!!!

c) 15𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 + 3𝑎𝑎 = 𝟑𝟑. ( 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 𝑎𝑎) d) 8𝑥𝑥2− 20𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 = 𝟒𝟒𝒙𝒙. ( 2𝑥𝑥 – 5𝑦𝑦 + 1)

e) 518

𝑥𝑥2𝑦𝑦3 + 254

𝑥𝑥3𝑦𝑦2 - 158

𝑥𝑥4𝑦𝑦5 = 𝟓𝟓𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟐𝟐.(1

9 𝑦𝑦 +

52 𝑥𝑥 -

34 𝑥𝑥2𝑦𝑦3 )

Actividad Nº12 Extrae en cada caso el factor común • 𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟓𝟓𝒙𝒙𝒚𝒚 = • 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒑𝒑𝟔𝟔𝒒𝒒𝟐𝟐 – 𝟒𝟒𝒑𝒑𝟓𝟓𝒒𝒒𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝒑𝒑𝟒𝟒𝒒𝒒𝟒𝟒 = • 𝟒𝟒𝒙𝒙𝒚𝒚 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝒑𝒑 = • 9𝑦𝑦4 – 15𝑦𝑦3 + 3𝑦𝑦2 = • 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 – 𝟐𝟐𝟏𝟏𝒚𝒚𝒙𝒙𝟐𝟐 = • 6𝑥𝑥2𝑦𝑦 – 21𝑥𝑥3𝑦𝑦2 + 3𝑥𝑥2𝑦𝑦3 = • 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟒𝟒 – 𝟐𝟐𝟏𝟏𝒙𝒙𝟑𝟑 = • 0,8𝑏𝑏4 − 1,6𝑏𝑏9 – 1,2𝑏𝑏2 = • 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚 – 𝟐𝟐𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟓𝟓𝒚𝒚 – 𝟓𝟓𝟒𝟒𝒙𝒙𝟔𝟔𝒚𝒚 = •

12

𝑎𝑎3𝑦𝑦2 - 18

𝑥𝑥2𝑦𝑦2 =

Diferencia de cuadrados:

Hemos visto en productos especiales de expresiones algebraicas que, el resultado de la

multiplicación entre la suma por la diferencia de las mismas bases da por resultado una

diferencia de cuadrados. Sea por ejemplo:

(𝑥𝑥2 + 5). (𝑥𝑥2 − 5) = 𝑥𝑥2. (𝑥𝑥2 – 5) + 5. (𝑥𝑥2 – 5) = 𝑥𝑥2. 𝑥𝑥2 – 𝑥𝑥2. 5 + 5. 𝑥𝑥2 − 5.5 = 𝑥𝑥4 – 5𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥2 − 25 = 𝒙𝒙𝟒𝟒 – 𝟐𝟐𝟓𝟓

Vemos que el resultado es una diferencia entre el cuadrado de 𝑥𝑥2 y el cuadrado de 5

Transformar en producto una diferencia de cuadrados es el procedimiento inverso al que

hicimos anteriormente y para ello nos guiamos con una serie de pasos:

1º. Debemos identificar que la expresión sea una resta entre dos términos (debe haber

dos términos de distinto signo) y luego ver que los términos sean cuadrados perfectos, es

decir, que tengan raíz cuadrada.

Te olvidaste el 1!!!!!



9

2º. Calculamos las bases de los cuadrados (extraemos la raíz cuadrada de cada término)

3º. Transformamos la diferencia de cuadrados en el producto de binomios conjugados, es

decir, uno con suma y el otro con resta, formados con dichas bases.

Ejemplos:

49x2 – 25y6 = Ambos términos son de distinto signo y 49𝑥𝑥2 𝑦𝑦 25𝑦𝑦6

7𝑥𝑥 5𝑦𝑦3 son cuadrados perfectos, siendo sus raíces 𝟐𝟐𝒙𝒙 y 𝟓𝟓𝒚𝒚𝟑𝟑

√49𝑥𝑥2 = 7𝑥𝑥 Entonces 49𝑥𝑥2 – 25𝑦𝑦6 = (7𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦3). (7𝑥𝑥 – 5𝑦𝑦3)

�25𝑦𝑦6 = 5𝑦𝑦3

Actividad Nº13 Transforma en producto cuando sea posible, a través de diferencias de cuadrados: Trinomio cuadrado perfecto: El desarrollo de un cuadrado de binomio tiene como resultado un trinomio cuadrado

perfecto.

A continuación te recordamos las condiciones para que un trinomio, si es cuadrado

perfecto, se pueda transformar en su correspondiente binomio al cuadrado:

Ejemplos:

a) 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙𝒚𝒚 + 𝟒𝟒𝒚𝒚𝟐𝟐 =

1º Verificamos que el polinomio tenga tres términos, de los cuales dos de ellos deben ser

positivos y cuadrados perfectos (deben tener raíz cuadrada). Las raíces serán las bases

del binomio.

• 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟒𝟒 – 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟒𝟒 =

• 𝒓𝒓𝟒𝟒 − 𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓 =

• −𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 =

• 𝑥𝑥2 − 49121

=

• 𝒙𝒙𝟒𝟒𝒚𝒚𝟐𝟐 – 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟔𝟔 =

• 144𝑛𝑛6 − 9𝑝𝑝8 =

• 𝟐𝟐𝟓𝟓𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝟒𝟒 =

• −1 + 0,04𝑎𝑎2 =

• 𝟏𝟏 – 𝟐𝟐𝟓𝟓𝒓𝒓𝟒𝟒 =

• −0,1024𝑧𝑧2 + 36 =

• 𝟏𝟏𝟔𝟔𝒙𝒙𝟒𝟒 – 𝟏𝟏𝟏𝟏 =

• 16𝑐𝑐2 + 9 =



10

√4𝑥𝑥2 = 2𝑥𝑥 √9𝑧𝑧2 = 3𝑧𝑧

2º- Verificamos calculando el doble producto de las dos raíces extraídas

Verificación: 𝟐𝟐. 2𝑥𝑥. 3𝑧𝑧 = 12𝑥𝑥𝑧𝑧

3º- Observamos que coincide en valor absoluto y signo con el término del trinomio, en

consecuencia, el trinomio es cuadrado perfecto y puede expresarse:

4𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥𝑦𝑦 + 9𝑧𝑧2 = (𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒚𝒚)2

b) 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟔𝟔 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔

+ 𝒙𝒙𝟑𝟑 =

√4𝑥𝑥6 = 2x3 � 116

= 14

Verificación: 𝟐𝟐. 2𝑥𝑥3 .14 = 𝑥𝑥3 , coincide con el tercer término, en consecuencia:

4𝑥𝑥6 + 116

+ 𝑥𝑥3 = (𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟒𝟒 )2

c) 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟒𝟒

𝒙𝒙𝟒𝟒 – 𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚 + 𝟒𝟒𝒚𝒚𝟐𝟐 =

�254𝑥𝑥4 =

52

𝑥𝑥2 �9𝑦𝑦2 = 3𝑦𝑦

Verificación: 𝟐𝟐.52 𝑥𝑥2. 3𝑦𝑦 = 15𝑥𝑥2𝑦𝑦

Se observa en el resultado de la verificación, que el tercer término coincide en valor absoluto, aunque no en signo, en consecuencia uno de los términos del binomio será negativo:

254

𝑥𝑥4 – 15𝑥𝑥2𝑦𝑦 + 9𝑦𝑦2 = (𝟓𝟓𝟐𝟐

𝒙𝒙2 − 𝟑𝟑𝒚𝒚)2 ó 254

𝑥𝑥4 – 15𝑥𝑥2𝑦𝑦 + 9𝑦𝑦2 = (–𝟓𝟓𝟐𝟐

𝒙𝒙2 + 𝟑𝟑𝒚𝒚)2

d) 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟒𝟒 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 = Verificación: 𝟐𝟐. 𝑥𝑥. 1

2 = 𝑥𝑥

√𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥 �14 = 12



11

En este ejemplo observamos que el término de la verificación no coincide con el tercer término del trinomio, nos da 𝒙𝒙 y debe ser 𝟐𝟐𝒙𝒙, en consecuencia decimos que el polinomio es trinomio pero no cuadrado perfecto. No podemos expresarlo en producto a través de este caso. Actividad Nº14 Transforma en producto cuando sea posible, cada uno de los siguientes trinomios:

• 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟔𝟔𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟔𝟔 = • 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟔𝟔

𝟒𝟒=

• −𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝟓𝟓 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 = • 2𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥2 = • 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 = • 9

4+ 𝑥𝑥 + 1

9𝑥𝑥2 =

• 49𝒔𝒔𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟒𝟒𝒔𝒔 + 𝟏𝟏 = • 4𝑥𝑥2 − 25 + 20𝑥𝑥 = • 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝒙𝒙 + 𝟒𝟒 = • 𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥2 + 1

4=

• 𝒏𝒏𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟔𝟔 = • 4𝑥𝑥2 + 81 − 36𝑥𝑥 = • 𝟑𝟑𝟔𝟔 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝒄𝒄𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟐𝟐𝒄𝒄 = • 100 + 4𝑥𝑥4 − 40𝑥𝑥 = • 100𝒂𝒂𝟒𝟒 − 𝟔𝟔𝟏𝟏𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝟒𝟒𝒃𝒃𝟐𝟐 • 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1

4=

Para finalizar este módulo te proponemos realizar estas dos últimas actividades!!!!!! Actividad Nº15 La siguiente secuencia algebraica muestra que todos los números reales son cero.

¿Dónde está el error? Si 𝒂𝒂 ∈ ℝ

𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎2

𝑎𝑎2 – 𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎2 – 𝑎𝑎2

�𝑎𝑎 – 𝑎𝑎�. (𝑎𝑎 + 𝑎𝑎) = 𝑎𝑎. �𝑎𝑎 – 𝑎𝑎�

𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎

𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 – 𝑎𝑎

𝑎𝑎 = 0



12

Actividad Nº16 Sigue la secuencia que te damos a continuación y descubre donde se comete el error.

16 – 36 = 25 – 45

16 – 36 + (92)2 = 25 – 45 + (

92)2

42 – 𝟐𝟐. 4. 92 + (

92)2 = 52 – 𝟐𝟐. 5. 9

2 + (

92)2

(4 − 92 )2 = (5 -

92 )2

4 - 92 = 5 -

92

4 = 5 Nos encontramos en el módulo III con Ecuaciones….. Bibliografía • Marina E Andrés- Pablo J Kaczor – María C Latorre – Gustavo E Piñeiro- Gisela B

Serrano Editorial Santillana Matemática III • Martín Pérez – Gabriela Righetti – Gustavo E Piñeiro- Gisela B Serrano Editorial

Nuevamente Santillana Matemática III • Silvia Altman – Mabel Arnejo – Claudia Comparatore Editorial Tinta Fresca matemática

ES3 • Stanley A Smith – Randall I. Charles – John A. Dossey – Mervin L. Keedy –

Marvin L. Bittinger. Álgebra y Trigonometría. Red federal de Formación Docente Continua Ministerio de Cultura y Educación de la Nación. Addison Wesley Longman

mÓdulo ii Álgebra expresiones algebraicas · 2019. 8. 22. · expresiones algebraicas actividad...

Documents