mcd

Aritmtica

Mximo Comn Divisor (MCD)tc "_________________________________________________________________"

tc "_________________________________________________________________"Dado un conjunto de numeros enteros positivos, se define el MCD de estos como aquel entero positivo que cumple las siguientes condiciones:

1. Es un comun divisor de los numeros.

2. Es el mayor de los divisores comunes.

Veamos para 12 y 18

Divisores comunes: 1; 2; 3 y 6.

Luego se puede observar que el mayor de los divisores comunes es 6.

Analicemos ahora los divisores del MCD (es decir de, 6).

De ello se puede sealar lo siguiente:

Los divisores comunes de un conjunto de nmeros son tambin divisores de su MCD.

Aplicacin 1Si , Cuntos divisores comunes tiene A; B y C?

Rpta: 16

El MCD esta contenido en los nmeros y es el mayor numero que esta contenido en cada uno de ellos, tambin que cada uno de los nmeros es mltiplo de su MCD.

Aplicacin 2

Si ; calcule Rpta: 11Mnimo Comn Mltiplo (MCM)tc "_________________________________________________________________"

tc "_________________________________________________________________"Dado un conjunto de nmeros enteros positivos, el MCM de dichos nmeros es un entero positivo que cumple las siguientes condiciones:1. Es un mltiplo comn de los divisores.

2. Es el menor de estos mltiplos comunes, pero diferente de cero.

Veamos para 12 y 18.

Mltiplos comunes: 36; 72; 108;Luego, se puede observar que el menor de los mltiplos comunes es 36.

Analicemos ahora los multiplos del MCM(es decir de 36).

Entonces podemos decir lo siguiente:

Los mltiplos comunes de un conjunto de nmeros son tambin mltiplos de su MCM.Aplicacin 3

Halle la suma de los multiplos comunes de 3 y 4 que sean de dos cifras.

Rpta: 432.

El MCM es un numero que contiene a cada uno de los numeros, incluso es el menor numero que contiene a cada uno de los numeros. Ademas, el MCM es multiplo de cada uno de los numeros.Aplicacin 4

Halle el menor numero que contiene a otros doce enteros positivos diferentes. De como respuesta la suma de sus cifras.

Rpta: 6.MTODOS PARA EL CLCULO DEL MCD Y MCMtc "_________________________________________________________________"

tc "_________________________________________________________________"MCD

POR DESCOMPOSICION SIMULTANEA:Se extraen los divisores comunes del conjunto de numeros teniendo en cuenta para ello los criterios de divisibilidad vistos ya anteriormente. El procedimiento continua hasta que ya no se puedan extraer divisores comunes.

Calcule el .

Observemos que:

En general, los numeros A, B y C dados de tal manera que . Se tendr que:

Aplicacin 5

Si , adems, . Cuntos valores asume N?

Rpta: 8.Aplicacin 6

Se tienen tres toneles de vino que tienen 180; 240 y 288 litros de vino de diferente calidad y se desea envasarlos en bidones de igual capacidad. Cul es la menos cantidad de bidones que se usaran, de modo que no se desperdicie vino, adems, el volumen del bidn esta expresado en nmeros enteros de litros y los vinos de diferente calidad no se deben mezclar?

Rpta: 59.

MCMUna vez extrados los divisores comunes, se seguirn extrayendo factores de los nmeros que quedan hasta que al final todos queden reducidos a la unidad.

Calcule el

Observamos que:

En general, se tienen los nmeros A, B y C, de manera que

Aplicacin 7

Halle si el MCM de los nmeros y es 90.

Rpta: 12.Aplicacin 8

Se desea disear una caja cubica de volumen mnimo para almacenar jabones cuyas dimensiones son 10cm, 12cm y 15cm. Calcule cuantas de estas cajas se necesitaran para empaquetar un lote de 7200 jabones, si se desea que la caja contenga la menor cantidad de jabones y no sobre espacio vaco.

Rpta: 60.

Observacin:

Donde: K es un entero.POR DESCOMPOSICION CANONICA:Dadas las descomposiciones cannicas de los nmeros A y B.

(Mayor numero contenido en A y B)

(Menor numero que contiene a A y B)

Luego se observa lo siguiente: El MCD de dos o mas nmeros, que estn descompuestos cannicamente, resulta de multiplicar a los factores primos comunes elevados a los menores exponentes.

El MCM de dos o mas nmeros, que estn descompuestos cannicamente, resulta de multiplicar a los factores primos comunes, y los no comunes, elevados a los mayores exponentes.

Aplicacin 9

Se sabe que , adems, A y B poseen 20 divisores comunes. Halle

Rpta: 2.Aplicacin 10

Si , halle la suma de todos los valores de .

Rpta: 413.POR DIVISIONES SUCESIVAS O ALGORITMO DE EUCLIDES:Consiste en la aplicacin repetitiva del siguiente teorema: El MCD del dividendo y divisor de una divisin inexacta es igual al MCD del divisor y residuo, es decir:

Se divide el mayor de los nmeros entre el menor; luego, el residuo obtenido pasa a ser divisor y este proceso se repite hasta que la divisin resulte exacta; entonces el ultimo divisor ser el MCD de dichos nmeros.Ejemplo Ilustrativo: Calcular el MCD de 525 y 231

Luego el MCD (525, 231) = 21

PROPIEDADES DEL MCD Y MCM

Slo para 2 nmeros A y B.tc "_________________________________________________________________"

tc "_________________________________________________________________"I. Si A y B son PESI, entonces:

Si a y b son PESI, entonces:

Si a y b son PESI, entonces:

II. Si , entonces:

III. Si ; se cumple

Donde p y q son PESI.

Adems:

IV.

V. Solo para el MCM

Si se cumple que:

Entonces:

Para 2 o ms nmeros:tc "_________________________________________________________________"

tc "_________________________________________________________________"Se cumple:VI. Si , entonces:

Siendo n un divisor de d.Nota:Si , entonces

VII. Si , entonces:

Siendo n un divisor de m.

Nota:

Si , entonces

VIII. Si , entonces se cumple lo siguiente:

IX. Si , entonces se cumple lo siguiente:

X. Solo para el MCD se cumple que:

XI. Si A; B; C; D son PESI 2 a 2, entonces se cumple lo siguiente:

Aplicacin 11

Al calcular el MCD de dos numeros por el algoritmo de euclides se obtuvo como cocientes sucesivos a 1; 2; 1 y 3. Calcule dichos numeros si la diferencia de ellos es 48.

Aplicacin 12

Calcule el .Aplicacin 13

Sean los nmeros positivos A y B que cumplen:

Calcule A + B si se sabe adems que A no es Divisible por 11.

TEMA:

Mcd - mcm

Aritmtica

EMBED Equation.DSMT4





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