Prof. Jenner Huamán Callirgos

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

DIVISORES COMUNES. MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Ejemplo: Hallar los divisores comunes de los números 72 y 84.

D (72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}D (84) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84}

Los divisores comunes a ambos números son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

El mayor de estos divisores comunes es 12, por lo tanto se llamará máximo común divisor (m.c.d.), es decir el m.c.d. (72 , 84) = 12

El mayor de los divisores comunes avarios números recibe el nombre deMÁXIMO COMÚN DIVISOR.

Ojito

Nº de divisores comunes = Nº de divisores del MCD

Del ejemplo anterior:

Los divisores comunes de 72 y 84 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.El mayor divisor común es 12.

Nº de divisores comunes = Nº de divisores de 12

12 = 22 .31 Nº de divisores de 12 = (2+1)(1+1) = 6

Debemos tener en cuenta que:

El MCD nunca es mayor que uno de los números.Ejemplo:MCD(15; 20; 40) = 5

Si el menor de los números es divisor común de los otros, entonces el MCD será ese menor.Ejemplo:MCD(9; 18; 36; 90) = 9

Menor divisor común

El MCD de dos números primos entre sí (PESI) es la unidad.Ejemplo:MCD(k; k+1) = 1MCD (31; 17) = 1

FORMAS PRÁCTICAS PARA DETERMINAR EL MCD

POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA

Se escriben los números en fila, luego se dividen simultáneamente del menor al mayor factor primo común a dichos números.

El MCD buscado es el producto de los divisores hallados.

Ejemplo: Hallar el MCD de 2 100; 2 520 y 840

2 100 - 2520 - 840 21 050 1 260 420 2525 630 210 3175 210 70 535 42 14 75 6 2

MCD = 22. 3 . 5 . 7

MCD = 420

POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

Sean los números:

A = 26 x 35 x 54

B = 24 x 53 x 72 MCD (A; B) = 24 x 53

“Se toman los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes”

POR DIVISIONES SUCESIVAS O ALGORITMO DE EUCLIDES

Hallar el MCD de 20 y 8 por el algoritmo de Euclides.

Resolución

20 8

2

4

4

2

0

MCD

MCD (20 ; 8) = 4

En general

A B

q1 q2 q3

r2r1

r1 r2

0

MCD

Cocientes sucesivos

Residuos sucesivos

MCD (A ; B) = r2

Aplicación

Calcular la suma de 2 números PESI si al calcular el MCD por elalgoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes el 2; 5; 3 y 2respectivamente.

Resolución

Sea A > B y son PESI, por lo tanto MCD(A; B) = 1

A B

352 2

1

1 0

27

27

MCD

B = 7 x 5 + 2 = 37

A = 2B+ 7 = 81A + B = 118

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

MÚLTIPLOS COMUNES. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El MCM de varios números naturales es aquel número natural que cumple dos condiciones: Es un múltiplo común de todos Es el menor posible.

Ejemplo:

Sean los números 4 y 6.

Números Múltiplos

4 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...

6 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...

1° Sus múltiplos comunes: 12, 24, 36, 48, ...

2° El menor es 12 => MCM = 12

Ojito

Múltiplos comunes de (A,B,C) = Múltiplos del MCM de (A,B,C)

Ejemplo

Hallar cuántos múltiplos comunes tiene 9 y 6 entre 180 y 360Resolución

MCM (9;6) = 18Múltiplos comunes = 18k

Dato 180 < 18k < 360

10 < k < 20

K= 11; 12; 13; …..;19

Hay 9 múltiplos comunes

Debemos tener en cuenta que:

El MCM nunca es menor que alguno de los números.Ejemplo:MCM(6; 9; 27) = 54

Si el menor número es múltiplo de los otros, entonces el MCM es el menor número.Ejemplo:MCM(5; 10; 15; 90) = 90

Mayor múltiplo común

El MCM de dos números primos entre sí (PESI) es el producto de dichos números.Ejemplo:MCM(k; k+1) = k(k+1)MCM (31; 17) = 31 x 17

FORMAS PRÁCTICAS PARA DETERMINAR EL MCM

POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA

Se dividen los números dados simultáneamente a todos o algunos de ellos, del menor al mayor factor primo, hasta que se obtengan cocientes iguales a la unidad.

Ejemplo:

Hallar el MCM de 2 100; 2 520 y 420

2 100 - 2520 - 420 21 050 1 260 210 2525 630 105 2525 315 105 3175 105 35 3175 35 35 535 7 7 57 7 7 71 1 1

MCM = 23. 32 . 52 . 7

MCD = 12600

POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

Sean los números:

A = 26 x 35 x 54

B = 24 x 53 x 72

“Se toman los factores primos comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes”

MCM (A; B) = 26 x 35 x 54 x 72

APLICACIONES

1. Se desea formar un cubo con ladrillos de dimensiones de 20 cm x 15 cm x 6 cm.¿Cuántos ladrillos serán necesarios para formar dos cubos de los más pequeños?A) 120 B) 180 C) 240 D) 300 E) 360Resolución

Siendo “L” el lado de los cubos los cuales deben ser pequeños, entonces “L” debe ser lo mínimo posible.

L

L

L15

6

20

De donde:

L= 6kL= 15kL = 20k

L =MCM(6;15;20) = 60K = 60(mínimo)

Nº Ladrillos=603

15 x 6 x 20= 120 ladrillos por cubo

Respuesta: Nº ladrillos en 2 cubos = 240

2. Hoy José, Carlos y Daniel han salido juntos a caminar por la mañana. Si en adelante José sale cada 4 días a caminar, Carlos cada 6 días y Daniel cada 5 días.¿Dentro de cuántos días volverán a salir juntos?A) 30 B) 36 C) 45 D) 60 E) 72

Resolución

3. En una pista circular tres atletas corren en una misma dirección. El primero demora 10 s en dar una vuelta, el segundo 11 s y el tercero 12 s. ¿Cuántos minutos tardan en pasar juntos por la partida por primera vez? (UNMSM – 2004)a) 22 b) 12 c) 10 d) 20 e) 11

Resolución

4. ¿Cuántas losetas cuadradas todas iguales, se necesitará como mínimo para cubrir totalmente el piso de la figura mostrada?(UNMSM – 2007 - I)a) 16 b) 12c) 10d) 14e) 6

Resolución 20cm

30cm

10cm

5cm

5. La suma de dos números es 48. Si el producto del máximo común divisor con el mínimo común múltiplo es 540. Calcular la razón entre el menor y el mayor.(UNMSM – 2008 - II)a) 2/5 b) 3/5 c) 1/2 d) 3/4 e) 1/3

Resolución

6. Si E = MCD(6432; 132) – 8, halle el valor de E2 + E + 1.(UNMSM –2013 - II)a) 21 b) 157 c) 111 d) 91 e) 43

¿Cuántas cajas cúbicas como máximo se podrán utilizar para empaquetar 12000 barras de jabón cuyas dimensiones son 8 cm, 15 cm y 20 cm de modo que todos estén completamente llenas?A) 30 B) 25 C) 15 D) 16 E) 20

Resolución

¿Cuántos divisores comunes tienen los números:3050; 4540 y 6030?A) 961 B) 952 C) 852 D) 957 E) 978

Resolución

Al calcular el MCD de dos números por el algoritmo de Euclides los cocientes sucesivos fueron: 3; 1; 3 y 5. Hallar el menor de los números si la suma es 1200.A) 252 B) 240 C) 228 D) 276 E) 948

Resolución

Resolución

Se trata de depositar el aceite de 3 barriles que tienen 210, 300 y 420litros de capacidad en envases que sean iguales entre sí. ¿Cuál es lamenor cantidad de envases que se emplearía para que todos esténllenos y no desperdiciar aceite?A) 28 envases B) 31 envases C) 36 envases D) 38 envasesE) 40 envases

Aquí me quedé