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7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo

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CAPÍTULO 2 :

Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales

2. !n"roducción

Las leyes fundamentales de la física, mecánica, electricidad y termodinámica estánbasadas con frecuencia en observaciones experimentales que explican variaciones en las

propiedades físicas y estados de los sistemas. Estas leyes, mas que describir

directamente el estado de los sistemas físicos se expresan en términos de los cambios

espaciales y temporales de las variables intervinientes. Es por ello que las ecuaciones

diferenciales tienen importancia fundamental en las aplicaciones de ingeniería ya que

numerosos procesos físicos son idealizados (o modelizados matemáticamente por estas

ecuaciones. !ales ecuaciones son a veces conocidas como ecuaciones de razón ya que

expresan la raz"n de cambio de una variable como una funci"n de las variables yparámetros del problema.

#odemos citar como e$emplos de las leyes fundamentales que se escriben en términos de

la raz"n de cambio de las variables a%

• &egunda ley de 'eton del movimiento

m

F

dt

dv =

donde v es la velocidad, F es la fuerza, m es la masa y t el tiempo.

• Ley del calor de )ourier

dx

dT k' q ⋅−=

donde q es el flu$o de calor, k’ es la conductividad térmica, T es la temperatura y x

la variable espacial.

• Ley del difusi"n de )ic*

dx

dc DJ ⋅−=

donde q es el flu$o másico, D es el coeficiente de difusi"n, c es la concentraci"n y

x la variable espacial.

CAPITUL ! " #LUCI$% %U&'(ICA D) )CUACI%)# DIF)()%CIAL)#

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• Ley de )araday

dt

di L*+ L ⋅=

donde + L es la caida de volta$e, L es la inductancia, i es la corriente y t la variabletemporal.

La mayoría de las ecuaciones diferenciales de importancia práctica no se pueden resolver

mediante métodos analíticos de calculo, y es debido a esto que los métodos numéricos

7an adquirido una importancia extraordinaria en todos los campos de la ingeniería sobre

todo a partir de la disponibilidad de computadoras que soportan grandes vol8menes de

cálculo.

&olo a forma de síntesis de lo estudiado en los cursos de matemática superior, seenumeran a continuaci"n un con$unto de definiciones acerca de las ecuaciones

diferenciales, su caracterizaci"n y soluci"n.

• +aria,-es inde.endientes / de.endientes0 &e dice que una variable de una ecuaci"n

diferencial es independiente si existen una o más derivadas con respecto a esa

variable. 3na variable es dependiente cuando existen derivadas de esa variable. El

n8mero de variables dependientes se denomina a menudo en los problemas de

ingeniería como 9grados de libertad: del problema.

• )cuaciones Di1erencia-es ordinarias / .arcia-es0 &i en una ecuaci"n diferencial 7ay

una sola variable independiente, las derivadas son totales y a la ecuaci"n se la

denomina ordinaria. #or el contrario, si aparecen dos o más variables independientes

las derivadas serán parciales y la ecuaci"n será diferencial parcial.

• rden de una )cuación di1erencia-0 es la derivada de mayor orden que aparece en la

ecuaci"n.

• )cuación di1erencia- -inea-0 3na ecuaci"n diferencial es lineal si en ella no aparecenpotencias de la variable dependiente ni de sus derivadas ni productos de la variable

dependiente por sus derivadas o productos entre derivadas.

3na ecuación di1erencia- ordinaria -inea- es aquella que se a$usta a la forma general%

( ) ( ) ( ) ( ) x 1 / x 2 a/ x 3a4444444n/ 5x6na =⋅+′⋅++⋅

donde / 5n6 es la n;ésima derivada de / con respecto a x , y a (x y f (x son funciones

específicas de x.


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• #o-ución de una ecuación di1erencia-0 Es cualquier relaci"n funcional que no incluya

derivadas o integrales de funciones desconocidas y que la verifique idénticamente por

sustituci"n directa.

2.2 Solución de una Ecuación Diferencial

-ada un a ecuaci"n diferencial ordinaria de orden n, cuya forma general puede escribirse

como%

F5x7/7/’7/’’444444444/ 5n6 6 8 2 (5.6

su soluci"n general resulta dependiente de n constantes arbitrarias y puede escribirse en

la forma% 9 5x7/7c 37 c ! 7 44447 c n 6 8 2 (5.5

&e requiere de n condiciones para obtener una soluci"n 8nica.

<ráficamente, la ecuaci"n (5.5 representa a una familia de curvas planas, cada una de

ellas obtenidas para valores particulares de las n constantes c 37 c ! 7 44447 c n como se

muestra en la figura siguiente.

< = >6

< = >5

< = >?

< = >@

x

y

+ada una de estas curvas corresponde a una soluci"n particular de la ecuaci"n (5.6 y

analíticamente puede obtenerse 9su$etando: la soluci"n general (5.5 a n condiciones

independientes que permitan valuar las constantes arbitrarias. -ependiendo de c"mo se

establezcan estas condiciones, se distinguen dos tipos de problemas% los llamados de

va-ores inicia-es y los de va-ores de 1rontera.

a6 Pro,-ema de va-ores inicia-es% 3n problema de valores iniciales está gobernado por una

ecuaci"n diferencial de orden n y un con$unto de n condiciones independientes, todas


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ellas válidas para el mismo punto inicia- . Es decir, si se especifican todas las condiciones

en el mismo valor de la variable independiente al inicio del dominio al problema se lo

denomina como .ro,-ema de condiciones inicia-es o va-or inicia- .

&i en la ecuaci"n (5.6 x 8 a es el punto inicial, en un problema de valores iniciales, las

condiciones de contorno resultarán del tipo%

/5a6 8 / 2 7 /’5a6 8 /’ 2 7 /’’5a68/’’ 2 44444444444444444 / 5n65a68 / 5n62

y se tratará de encontrar una soluci"n particular para (5.6 que verifique las anteriores, tal

como se muestra en la figura siguiente%

x

y

x = a

,6 Pro,-emas de 1rontera% #or el contrario, en los problemas de valores de frontera deben

establecerse condiciones en todos y cada uno de los puntos que constituyen la frontera

del dominio de definici"n del problema. Es decir, si las condiciones se especifican sobre

distintos valores de la variable independiente en la frontera del dominio al problema se lo

denomina .ro,-ema de condiciones de contorno o va-or -:mite4

En particular, en el espacio unidimensional 7ay dos puntos de frontera, por e$emplo x 8 a y

x 8 , si el dominio de definici"n es el intervalo cerrado Aa,bB.

x

y

x = a x = b


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Cásicamente, la soluci"n numérica de ecuaciones diferenciales consisten en sustituir el

dominio continuo de soluciones por uno discreto, es decir formado por puntos igualmente

espaciados entre sí.

/sí, en un problema de valores iniciales el dominio de definici"n del problema, x ≥ a, se

sustituye por el con$unto infinito de puntos% x 2 8 a7 x 3 8 x 2 ; ∆7 x ! 8 x 2 ; ! ∆7 x < 8 x 2 ; <∆44 4En los problemas de frontera, el dominio se discretiza en x 2 8 a7 x 3 8 x 2 ; ∆7 x ! 8 x 2 ; ! ∆7

x < 8 x 2 ; <∆4444444 x n 8 x 2 ; n∆ 8 ,, obtenidos al dividir el intervalo Aa,bB en n partes iguales.

Dabiéndose discretizado el problema continuo se tratará de obtener una soluci"n para los

puntos considerados, y esto se 7ará, en general, sustituyendo las derivadas que

aparezcan en la ecuaci"n diferencial y en las condiciones de contorno, por expresiones

numéricas de derivaci"n que proporcionen una aproximaci"n a las derivadas o tratando

de integrar la ecuaci"n y reemplazando al proceso de integraci"n por una f"rmula

numérica que se aproxima a la integral.

2.# Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

2.3.1 Problemas de Condiciones Iniciales

En este tipo de problemas, como ya lo expresamos anteriormente, debemos obtener

valores aproximados de la funci"n soluci"n de una ecuaci"n diferencial en m puntos de un

intervalo del dominio de la misma, partiendo de condiciones iniciales conocidas de la

funci"n a determinar en el extremo inicial del intervalo.


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En los denominados métodos de un paso, que describiremos a continuaci"n, el valor de la

funci"n en el primer punto interior del intervalo se calcula a partir del valor conocido de la

funci"n en punto inicial del intervalo. -e la misma forma el valor de la funci"n inc"gnita en

el i;ésimo punto del dominio, x i, se calcula a partir del valor de la funci"n en el punto x i;6. /

su vez la funci"n en el punto iF6 se calcula a partir del valor de la funci"n en el punto i, .

Es decir que se calcula la funci"n en un punto cualquiera del intervalo partiendo de la

soluci"n obtenida para el punto anterior, y así sucesivamente. -e esta manera, con la

aplicaci"n recurrente los algoritmos correspondientes a cualquiera de estos métodos, a lo

largo de todo el intervalo de integraci"n, se obtiene la denominada trayectoria de la

soluci"n.

Los métodos que estudiaremos están limitados a la soluci"n de ecuaciones di1erencia-es

ordinarias de .rimer orden. Esto, que en principio parece una severa limitaci"n de los

mismos, no lo es tanto si recordamos que cualquier ecuación di1erencia- ordinaria de

orden n puede ser transformada en un sistema de n ecuaciones di1erencia-es ordinariasde .rimer orden4 #or otra parte el procedimiento para obtener la soluci"n de un sistema

de E-2s de primer orden es una sencilla extensi"n del procedimiento para obtener la

soluci"n de una sola E-2 por lo que estos métodos pueden ser aplicados sin ninguna

dificultad a la soluci"n de E-2s de orden n.

-ada una ecuaci"n diferencial ordinaria de primer orden de la forma%

( )/ x71 dx

d/

=

la soluci"n numérica tendrá la forma%

=>/ / i 3i ⋅+=+

-e acuerdo con esta ecuaci"n, una pendiente estimada se usa para extrapolar desde un

valor anterior yi a un nuevo valor yiF6 en una distancia 7.!odos los denominados métodos de un paso, que veremos en este capítulo, se pueden

expresar en esta forma general, que solo va a diferir en la manera en la cual se estima la

pendiente.


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2.3.1.1 Método de Euler

+omo sabemos, la primera derivada de una funci"n 15x6 valuada en un punto del dominio

x i representa la pendiente de la funci"n en x i . &i la ecuación di1erencia- ordinaria a resolver

la expresábamos como%

( )/ x71 dx

d/ =

entonces la pendiente en x i e yi será%

( )i i

/ 7 x 1 > =

En este procedimiento, la pendiente ( )i i / 7 x 1 > = calculada en el extremo inicial del

intervalo, x i , es tomada como una aproximaci"n de la pendiente promedio sobre todo el

intervalo. Entonces se predice un nuevo valor de / por medio de la pendiente en x i , que

7abrá de extrapolarse en forma lineal sobre el paso de longitud = , mediante la aplicaci"n

de la expresi"n%


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= 6/ 7 x 5 1 / =>/ / i i i i 3i ⋅+=⋅+=+

)?em.-o 30 3sar el método de Euler para resolver numéricamente la ecuaci"n%

@4A x !2 B x 3! x ! B

dx

d/ ! < +⋅⋅+⋅=

desde x = > 7asta x = @ con un paso de 7 = >.. La condici"n inicial en x = > es y = 6.

#ara el primer paso%

( ) ( ) 24A 36725 1 / / 2 24A ⋅+=

donde / 526 8 3 y la pendiente estimada en x 8 2 es%

( ) ( ) ( ) ( ) @4A @4A 2 !2 B2 3! 2 ! Bdx

d/ 527361 ! <

3/ 27 x =+⋅⋅+⋅=

= ==

reemplazando%

( ) ( ) A4!A 24A @4A 342/ 24A =⋅+=

La funci"n soluci"n exacta es%

3 x @4A x 32 B x C x 24A B/ ! <C

+⋅+⋅⋅+⋅=

y para x 8 24 la soluci"n exacta es%

( ) ( ) ( ) ( ) <4!3@DA 324A @4A 24A 32 B24A C24A 24A B/ ! <C =+⋅+⋅⋅+⋅=

/sí, el error absoluto es%

) t 8 verdadero " a.roximado 8 <4!3@ " 4! 8 B!42<3!

y el error relativo porcentual%

E<43F322 <4!3@DA

!42<3!A 322

verdadero

) FG t

t −=×−

=×=

#ara el segundo paso%


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( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) A4@A /

24A @4A 24A !2 B24A 3! 24A ! BA4!A /

24A A4!A6724A 5 1 / /

3

! <3

24A 3

=

⇒⋅+⋅⋅+⋅+=

⇒⋅+=

y para x 8 342 la soluci"n exacta es%

( ) ( ) ( ) ( ) <42 3342 @4A 342 32 B342 C342 24A B/ ! <C =+⋅+⋅⋅+⋅=

/sí, el error absoluto es%

E t = verdadero J aproximado = ?.> J .IH = ;5.IH

y el error relativo porcentual%

HA4@F322 <42

!4@DA 322

verdadero

) FG t

t −=×−

=×=

y si seguimos calculando la soluci"n para el resto de los puntos del dominio

correspondientes a un paso 7 = >., obtenemos la siguiente tabla%

x yverdadero yEuler rK local rK global

>.> 6.>>>>> 6.>>>>> ; ;>. ?.56IH .5>>> ;G?.6 ;G?.6

6.> ?.>>>>> .IH>> ;5I.> ;.I

6. 5.56IH .65>> ;6.@6 ;6?6.>

5.> 5.>>>>> @.>>>> 5>. ;65.>

5. 5.H6IH @.H>>> 6H.? ;[email protected]

?.> @.>>>>> .IH>> @.> ;@G.

?. @.H6IH H.65>> ;66.? ;6.>

@.> ?.>>>>> H.>>>>> ;?.> ;6??.?

&i graficamos la soluci"n verdadera y la soluci"n calculada vemos que si bien el error es

considerable, tal como se desprende de los cálculos de errores 7ec7os anteriormente, la

soluci"n calculada 9copia: de manera bastante aproximada la forma de la soluci"n exacta.

4ntuitivamente es de esperar que si disminuimos el paso =, esto es si la extrapolaci"n de

la pendiente calculada al inicio del intervalo se 7ace sobre un intervalo menor, entonces

la soluci"n calculada se aproxime a la exacta.


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)?em.-o !4 &i para la misma ecuaci"n diferencial del e$emplo anterior, con las mismas

condiciones iniciales, tomamos a7ora un paso 7 = >.5. Es claro que al tomar a7ora un

paso, es decir un incremento de x , que es la mitad del anterior, los puntos dondedeberemos valuar a la expresi"n soluci"n del método de Euler se duplicara. Esto significa

que para aproximar a la funci"n soluci"n en el mismo intervalo el esfuerzo computacional

se incrementara. Los resultados obtenidos, que compararemos con los obtenidos en el

e$emplo anterior, se condensaron en la siguiente tabla%

x yverdadero yEuler % global

>.>> 6.>>>>> 6.>>>>> ;

>.5 5.G> ?.65>> ;55.>>.> ?.56IH @.6HG ;5.

>.H ?.5H?> @.@56 ;?H.>

6.>> ?.>>>>> @.?@?H ;@@.I

6.5 5.6I> ?.GIH ;?.6

6.> 5.56IH ?.@G ;G>.5

6.H 6.I> ?.5@56 ;G5.?

5.>> 5.>>>>> ?.65>> ;G.?

5.5 5.5@I> ?.5>>> ;@@.G

5.> 5.H6IH ?.G6H6 ;??.>

5.H ?.?@6I> @.6HG ;5.6

?.>> @.>>>>> @.I@?H ;56.6

?.5 @.5?> .@GIH ;5>.H

?.> @.H6IH .IGH6 ;5@.?

?.H @.?6> .I>@G ;[email protected]

@.>> ?.>>>>> .>>>>> ;GG.H


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&i a7ora graficamos las soluciones calculadas y la soluci"n exacta obtenemos%

&e puede apreciar que, si bien los errores siguen siendo considerables, estos 7an

disminuido apreciablemente respecto de aquellos obtenidos cuando el paso es = 8 24 .

&i se sigue disminuyendo el paso = , los errores van disminuyendo seg8n una ley que se

grafica a continuaci"n%

#odemos observar que se puede disminuir el error al disminuir el tamaMo del paso y que

disminuyendo el paso a la mitad se disminuye el error relativo aproximadamente a la

mitad. &in embargo se observa que para 7 = >.>>6 el error relativo porcentual todavía

excede el >.6 K, es decir que el método de Euler exige un gran esfuerzo computacional

para dar niveles de error aceptables.

Es claro que una fuente fundamental de error en este método es que la derivada al inicio

del intervalo se aplica a través de todo el intervalo.


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5.?.6.6.6 /nálisis del error para el método de Euler

&e puede tener cierto conocimiento acerca de la magnitud y propiedades del error que se

comete al aplicar el método de Euler si derivamos a este directamente de la expansi"n de

la serie de !aylor. Es necesario aclarar que esta estimaci"n del error in7erente al método

en si mismo no contempla, por lo tanto, los errores de redondeo que se producen al

almacenar los n8meros provenientes del calculo en la memoria de las computadoras.

En el error in7erente al método, denominado también error de truncamiento, se distinguen

dos componentes% el error de truncamiento -oca-7 que resulta de la aplicaci"n del método

en cuesti"n sobre un paso , y el error de truncamiento .ro.aado que resulta de las

aproximaciones producidas en los pasos previos. La suma de los dos es el total o el error

de truncamiento -o,a-4

La ecuaci"n diferencial su$eta a integraci"n es de la forma general%

( )/ x71 / =′

donde /’ 8 d/ J dx7 / es la variable dependiente, y x es la variable independiente. +omo

sabemos, si la funci"n soluci"n / tiene derivadas continuas, puede representarse como

una expansi"n de la serie de !aylor con respecto a los valores de inicio ( x i 7 / i , es decir%

n( =nK

/ 4444444444=

<K

/ =

!K

/ =/ / / n

5n6i <

' ' ' i !

' ' i '

i i 3i +⋅++⋅+⋅+⋅+=+

donde = 8 x i;3 B x i y ( n es el residuo definido como%

( ) ( )( )

3n3n

n =K 3n

L / ( +

+⋅

+=

donde esta en alg8n lugar en el intervalo x i a x i;3.

La ecuaci"n anterior también puede expresarse como%

65==nK

6/ 75x 1 44=

<K

6/ 75x 1 =

!K

6/ 75x 1 = 6/ 715x / / 3nni i

365n<i i

' ' ! i i

'

i i i 3i +

−

+ +⋅++⋅+⋅+⋅+=

donde 65 1nhO + especifica que el error de funcionamiento local, o residuo, es proporcional

al tamaMo del paso elevado a la potencia (nF6;ésima.


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/l comparar esta 8ltima ecuaci"n con la del método de Euler, vemos que esta

corresponde a la serie de !aylor que incluye 7asta el término de la primera derivada%

=>/ =/ / = 6/ 715x / / i i i i i 3i ⋅+=⋅′+=⋅+=+

-e la comparaci"n surge claramente que ocurre un error de truncamiento porque

aproximamos la soluci"n verdadera mediante un n8mero finito de términos de la serie de

!aylor.

Entonces el error de truncamiento en el método de Euler es atribuible a los términos

remanentes de la expansi"n de !aylor que no se incluyeron en la ecuaci"n, esto es%

65==nK

6/ 75x 1 44=

<K

/ 6/ 75x 1 =

!K

6/ 75x 1 ) 3nni i

365n<

' ' ' i i i

' ' ! i i

'

t +

−+⋅++⋅+⋅=

donde ) t es el error de truncamiento local verdadero4 #ara = lo suficientemente pequeMo

(menor que 6 los errores en los términos de la ecuaci"n anterior generalmente

disminuyen al aumentar el orden por lo que el resultado es a menudo representado

mediante la aproximaci"n%

! i i '

=!K

6/ 75x 1 ) ⋅=a

o también como 65=) 2a = donde ) a es el error de truncamiento local a.roximado.

Esto significa que el error aproximado local es proporcional al cuadrado del tamaMo del

paso y a la primera derivada de la ecuaci"n diferencial. Es decir que si = disminuye el

error disminuye con el cuadrado de =.

El desarrollo de la serie de !aylor proporciona solo un estimado del error de truncamiento-oca-7 pero no proporciona una medida del error de truncamiento .ro.aado y por lo tanto

tampoco del error de truncamiento -o,a-4 &in embargo se puede demostrar que el error

de truncamiento -o,a- es 5=6, es decir de orden 6 o proporcional al tamaMo del paso.

Es obvio que el método de Euler proporcionara predicciones libres de error si la funci"n

soluci"n de la ecuaci"n diferencial es lineal, debido a que para una funci"n lineal la

derivada segunda es nula, o visto de otra forma porque Euler utiliza segmentos de línea

recta para aproximar la soluci"n. -e allí que el método de Euler se conozca como uno de

.rimer orden4 -e la misma manera, podemos extrapolar, los métodos de orden n;ésimo


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darán resultados perfectos si la funci"n soluci"n de la ecuaci"n diferencial a resolver es

un polinomio de orden n;ésimo.

2.3.1.2 Método de Heun

+omo ya 7emos mencionado la fuente fundamental de error en el método de Euler es que

la derivada de la funci"n al inicio del intervalo se aplica a través de toda la longitud del

mismo. El método de Deun propone me$orar la estimaci"n de la pendiente calculando las

derivadas al comienzo y al final del intervalo. Luego, estas derivadas se promedian para

obtener una estimaci"n me$orada de la pendiente para todo el intervalo. Este

procedimiento se ilustra en la siguiente figura%

En este método primero se calcula la derivada al comienzo del intervalo%

6/ 7 x 5 1 / i i i =′

y se usa para extrapolar linealmente a un valor de y iF6, que distinguiremos con el

supraíndice > por ser la misma una predicci"n intermedia y no la respuesta final como lo

7ubiera sido en el método de Euler%

= 6/ 7 x 5 1 / / i i i 2

3i ⋅+=+


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Esta ecuaci"n es la llamada ecuación .redictor y da una predicci"n intermedia de y iF6,

denominada y>6i+ , que permite el cálculo de una estimaci"n de la pendiente al final del

intervalo%

( )2 3i 3i

' 3i / 7 x 1 / +++ =

Luego se obtiene una pendiente promedio para el intervalo%

( )!

/ 7 x 1 / 7 x 1

!

/ / /

2 3i 3i i i 3i i +++ +

=′+′

=′

Esta pendiente promedio se usa para extrapolar nuevamente desde y i a yiF6 usando el

método, ya conocido, de Euler

( ) =!

/ 7 x 1 / 7 x 1 / /

2 3i 3i i i i 3i ⋅++= ++

+

la cual es conocida como ecuación corrector .

El método de Deun es un .rocedimiento .redictor " corrector o mu-ti.aso4 Este puede

expresarse en forma resumida como%

( ) ( )=

!

/ 7 x 1 / 7 x 1 / /

= 6/ 7 x 5 1 / /

2 3i 3i i i

i 3i

i i i 2

3i

⋅+

+=

⋅+=

+++

+

+2E+!2

#E-4+!2

+omo la ecuaci"n corrector tiene a y iF6 en ambos miembros, entonces puede aplicarse en

forma iterativa, y de esta manera obtener una estimaci"n me$orada de y iF6. El criterio de

iteraci"n no necesariamente converge a la soluci"n verdadera sino que lo 7ará sobre una

soluci"n aproximada con un error de truncamiento finito. +omo sucede con la mayoría de

los métodos iterativos un criterio de terminaci"n para la convergencia del corrector está

dado por la ecuaci"n%

F322/

B / / G

? 3i

3 ?B3i

? 3i

a ⋅=+

++

donde 6; $6i

$6i ye y

++ resultan de dos iteraciones sucesivas, la actual y la anterior respectivamente.

)?em.-o4 esolver mediante el método de Deun la siguiente ecuaci"n diferencial%


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/ 24A BeC/ dx

d/ x 24@ ⋅⋅=′=

desde x = > a x = @, con un tamaMo de paso 7 = 6, y la condici"n inicial en x = > es y = 5.

/ntes de resolver el problema en forma numérica y a los efectos de comparar error

calculamos la soluci"n exacta que es %

( ) x 24A B x 24A B x 24@ e!eBe34<

C / ⋅+⋅=

/7ora, ya abordando el problema desde el punto de vista numérico, inicialmente

calculamos la pendiente en ( x> , y> %

<!24A BeC/ 2 2 =⋅⋅=′

&e puede apreciar la falta de precisi"n de este calculo si tenemos en cuenta que la

pendiente promedio real para el intervalo A > , 6 B es @.6@G.

3sando la ecuación .redictor obtenemos un estimado de y en x = 6%

A 3<!=/ / / 2 2 2 3 =⋅+=⋅′+=

2bsérvese que este sería el resultado que se obtendría con Euler, con un error relativo

porcentual del 5.? K. /7ora para me$orar el estimado anterior en NiF6 usamos el valor >

6y para predecir la

pendiente en el final del intervalo%

E4C2!3ECA 24A BeC/ 7 x 1 / 324@2 333 =⋅⋅==′ ⋅

Esta pendiente se promedia con la pendiente inicial para obtener una pendiente promedio

sobre el intervalo A >,6 B

C4232@! !

E4C2!3EC</ =

+=′

#odemos ver que esta pendiente promedio calculada es mas cercana a la pendiente

promedio verdadera de @.6@G.

/7ora aplicamos la ecuación corrector , sin iterar%E4D232@! 3C4D232@!!/ 3 =⋅+=


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.6G

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


&e observa claramente que esta estimaci"n, que se obtuvo sin iteraci"n sobre la ecuaci"n

corrector, tiene un error relativo porcentual del JI.6I K respecto de la soluci"n exacta.

Entonces esta es muc7o mas aproximada a la soluci"n exacta que la que se obtuvo en el

primer paso, que es equivalente a la aplicaci"n simple de Euler.

&i refinamos la predicci"n de y6 al sustituir este valor calculado en el segundo miembro de

la ecuación corrector tendremos%

=!

/ M / / / M 32

2 3 ⋅′+′

+=

/7ora calculamos nuevamente la estimaci"n de la pendiente en el punto final del

intervalo%

A4AA3E!<E4232@!24A BeC/ 24A BeC/ M

324@

3

x 24@

33

=⋅⋅=⋅⋅=′ ⋅⋅

N por 8ltimo con esta nueva estimaci"n de la pendiente obtenemos una nueva estimaci"n

del valor de la funci"n al final del intervalo%

E4!A@333!

A4AA3E!<<!/ M 3 =⋅

++=

Esta nueva estimaci"n tiene un error relativo porcentual es de J6.?6 K.

-ebe tenerse en cuenta de que puede suceder que al efectuar un n8mero mayor deiteraciones el error aumente. &i esto sucediera significaría que el tamaMo del paso

utilizado no es el adecuado y tendríamos que disminuirlo. #ara el caso particular que

estamos analizando si iteráramos nuevamente obtendríamos un valor de / 3 8 E4<@!3!H7 lo

que significaría un error relativo porcentual de ?.>?K. esto nos indica en principio que el

paso = 8 3 que estamos utilizando es excesivo.

Los resultados se sintetizan en la siguiente tabla%

x yverdadero 6 iteraci"n 6 iteracionesyDeun r K yDeun r K

> 5.>>>>>>> 5.>>>>>>> >.>> 5.>>>>>>> >.>>

6 G.6@G?6@ G.H>6>I6 I.6I G.?G>IG 5.GI

5 [email protected]@?56 6G.?6HI6 .@ 6.?>55?GH ?.>

? ??.GHH6H6I ?H.65@I 6>.@G [email protected]@?5HG6 ?.6H

@ H.??IG5G I?.??HHGH@ 6>.G5 HH.H?>G5 ?.6I


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.6H

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


En el siguiente gráfico podemos ver una comparaci"n, para la ecuaci"n polin"mica del

e$emploanterior, entre los métodos de Deun, Euler, calculado con = 8 247 y la soluci"n

verdadera%

5.?.6.5.6 /nálisis del error para el método de Deun

En las ecuaciones predictor y corrector que vimos precedentemente la derivada es una

funci"n tanto de la variable independiente x , como de la variable dependiente /4 En casos

tales como polinomios, donde la E-2 es solo funci"n de la variable independiente la

ecuaci"n .redictor no es requerida y el corrector se aplica solo una vez en cada paso.

#ara estos casos la técnica se aplica en forma concisa como%

( ) ( )=

!

x 1 x 1 / / 3i i

i 3i ⋅+

+= +

+

#or otro lado, si recordamos la expansi"n de !aylor para una funci"n 15x6 alrededor del

punto x i , tendremos%

65==nK

65x 1 44=<K

65x 1 =!K

65x 1 = 65x 1 / /

3nni 5n6

<i ' ' '

! i ' '

i '

i 3i +

+ +⋅++⋅+⋅+⋅+=

La derivada segunda de la funci"n 15x6 en el punto x i puede expresarse en forma

aproximada como%

=

65x 1 65x 1 65x i 3i i

′−′=′′ + f


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.6I

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


&i reemplazamos esta en la expansi"n de !aylor y tomamos el desarrollo 7asta el término

de orden ? tendremos que%

65==!

65x 1 65x 1 = 65x 1 / =

<K

65x 1 =

!K

=

65x 1 65x 1

= 65x 1 / / <i 3i i i

<i !

i 3i

i i 3i O+⋅′−′

+⋅′+=⋅′′′

+⋅

′−′

+⋅′+= ++

+

eordenando la ecuaci"n queda%

65==!

65x 1 65x 1 / / <i 3i

i 3i O+⋅′+′

+= ++

Oemos que los dos primeros términos del segundo miembro se corresponden con la

expresi"n de la ecuaci"n corrector del método de Deun. #or lo tanto, el error de

truncamiento local del método de Deun es de orden ? y esta dado por la expresi"n%

( ) <a =

3!

L 1 ) ⋅

′′′−=

Pueda demostrado de esta manera que el método de Deun es de segundo orden porque

se incluyen términos de segundo orden del desarrollo de !aylor. '"tese que si la funci"n

soluci"n es un polinomio cuadrático o inferior el método de Deun es exacto puesto que la

tercer derivada de la funci"n soluci"n es cero.#uede demostrarse que el error global es de orden 5=! 6. Esto significa que al disminuir el

paso = disminuye el error a una velocidad mayor que para el método de Euler.

2.3.1.3 Método del punto medio ( o del polígono mejorado

Esta técnica es otra simple modificaci"n del método de Euler. El método consiste en usar

el método de Euler para predecir un valor de y en el punto medio del intervalo%

!

= 6/ 7 x 5 1 / / i i i ! 3i ⋅+=+

Este valor predic7o se usa para calcular una pendiente en el punto medio del intervalo%

6/ 7 x 5 1 / ! J 3i ! J 3i ! J 3i +++ =′


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.6

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


Esta pendiente se considera como una pendiente promedio en todo el intervalo. Luego

con esta pendiente promedio estimada se extrapola linealmente desde x i 7asta xiF6%

= 6/ 7 x 5 1 / / ! J 3i ! J 3i i 3i ⋅+= +++

Esta técnica no es iterativa puesto que yiF6 no esta en ambos miembros de la ecuaci"ncorrector.

5.?.6.?.6 El error en el método del punto medio

En un análisis similar que el realizado para el método de Deun se demuestra que el

método del polígono me$orado también es un método de segundo orden, que

tampoco requiere de la evaluaci"n de derivadas superiores al primer orden.

!ambien en este método los errores de truncamiento local y global son de orden

5=< 6 y 5=! 6 respectivamente.

2.3.1.! Métodos de "unge # $utta

El método de Deun, el del punto medio y la misma técnica de Euler son casos particulares

de una clase mas general de procedimientos de un paso denominados métodos de unge

J Qutta. Esta afirmaci"n será demostrada en los desarrollos subsiguientes.


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.5>

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


Los métodos de unge J Qutta (Q tienen la característica de poseer precisiones propias

de desarrollos de !aylor que incluyen términos de derivadas de ordenes superiores a uno

sin requerir el cálculo de las mismas.

&i escribimos la ecuaci"n original del método de Euler en forma generalizada, tendremos%

( ) ==7/ 7 x >/ / i i i 3i ⋅+=+

donde a ( )=7/ 7 x > i i se la denomina 1unción incremento, y puede ser interpretada comouna pendiente representativa sobre el intervalo. La 1unción incremento se escribe engeneral como%

nn! ! 33 k a44444444444444444444k ak a> ⋅++⋅+⋅=

donde las a son constantes y las k son%

( )

( )

( )

( )=k q444444444444=k q=k q/ =7 . x 1 k

4

=k q=k q/ =7 . x 1 k

=k q/ =7 . x 1 k

/ 7 x 1 k

3nB3nB37nB! 37! nB3373nBi 3nBi n

! !! 3!3i ! i <

333i 3i !

i i 3

⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅+=

⋅⋅+⋅⋅+⋅+=⋅⋅+⋅+=

=

&e observa claramente que las k son relaciones de recurrencia ya que la primera

interviene en la segunda, a su vez la primera y la segunda intervienen en la tercera y asísucesivamente.

Es posible concebir varios tipos de métodos de unge J Qutta al emplear diferentes

n8meros de términos en la funci"n incremento, que en general tiene n. &i tomamos n = 6,

método de unge J Qutta de primer orden, tendremos que la funci"n incremento es%

( )i i 333 / 7 x 1 ak a> ⋅=⋅=

+omo se observa el método de unge J Qutta de primer orden es el método de Euler.3na vez que se elige n, se eval8an las a7 . y q al igualar la ecuaci"n inicial a los términos

correspondientes de la serie de !aylor. /sí, al menos para las versiones de orden inferior,

el n8mero de términos n representa el orden de la aproximaci"n.

#or e$emplo, los métodos de unge J Qutta de segundo orden, n 8 !7 para los cuales la

funci"n incremento consta de dos términos, serán exactos si la soluci"n de la ecuaci"n

diferencial es una cuadrática. /demás, como los términos que tienen =< y mayores no son

considerados en el desarrollo el error de truncamiento local es 5=< 6 y el global es 5=! 64


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.56

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


[email protected] 0étodos de unge J Qutta de segundo orden.

&i la funci"n incremento tiene dos términos, esto es n 8 ! entonces la ecuaci"n general

del método de unge J Qutta se escribe como%

( ) =k ak a/ / ! ! 33i 3i ⋅⋅+⋅+=+

Las ai son constantes a determinar y las k i son%

( )

( )=k q/ =7 . x 1 k

/ 7 x 1 k

333i 3i !

i i 3

⋅⋅+⋅+==

Las constantes p6 y q66 también deben ser determinadas. En definitiva deberemos

determinar los valores de las constantes a6, a5, p6 y q66.#ara ello desarrollamos la serie de !aylor de segundo orden para y iF6 en términos de yi y la

derivada primera de la funci"n respecto de x valuada en x i 7 / i 7 ( )i i / 7 x 1 %

( ) ( ) ! i i

i i i 3i =!K

/ 7 x 1 =/ 7 x 1 / / ⋅

′+⋅+=+

&i tenemos en cuenta que %

( ) ( ) ( )

dx

d/

/

/ x71

x

/ x71 / 7 x 1 i i ⋅

∂∂

+∂

∂=′

&ustituyendo esta en la anterior, tendremos que%

( ) ( ) ( )

!K

=

dx

d/

/

/ x71

x

/ x71 =/ 7 x 1 / /

!

i i i 3i ⋅

⋅

∂∂

+∂

∂+⋅+=+

#or otro lado desarrollamos por serie de !aylor a la funci"n * 5, recordando que una seriede !aylor para dos variables se define como%

( ) ( ) 444444444444444444/

I s

x

I r I I / x7r / r7 x +

∂∂

⋅+∂∂

⋅+=++

Entonces tendremos que%

( ) ( ) 444444444

/

1 =k q

x

1 = ./ 7 x 1 =k q/ =7 . x 1 k 3333i i 333i 3i ! +

∂

∂⋅⋅⋅+

∂

∂⋅⋅+=⋅⋅+⋅+=


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.55

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


&i a7ora reemplazamos *6 y *5 desarrollado como serie en la ecuaci"n inicial nos queda%

( ) ( ) ( ) 4444/

1 =q/ 7 x 1 a

x

1 = .a/ 7 x 1 =a/ 7 x 1 =a/ / !

33i i ! !

3! i i ! i i 3i 3i +∂∂

⋅⋅⋅⋅+∂∂

⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=+

&i agrupamos términos%

( ) ( )[ ] ( ) ....7y

f qy,xf a

x

f pa7y,xf ay,xf ayy 5

66ii565ii5ii6i6i +⋅

∂∂

⋅⋅⋅+∂∂

⋅⋅+⋅⋅+⋅+=+

&i comparamos términos de esta 8ltima ecuaci"n con%

( )

( ) ( )

!K

=

dx

d/

/

/ x71

x

/ x71

=/ 7 x 1 / /

!

i i i 3i ⋅

⋅∂

∂

+∂

∂

+⋅+=+

para 7acer equivalentes las dos ecuaciones se debe cumplir que%

!

3qa

!

3 .a 7 3aa 33! 3! ! 3 =⋅=⋅=+ y

&e observa que estas tres ecuaciones simultáneas contienen las cuatro constantes

desconocidas. /l 7aber una inc"gnita mas que el n8mero de ecuaciones, no existe un

con$unto 8nico de constantes que satisfagan las ecuaciones. &in embargo, podemossuponer una de las constantes y calcular a las otras tres. )n consecuencia7 existe una

1ami-ia de mNtodos de seundo orden4

&i 7acemos que todas las constantes queden, por e$emplo, en funci"n de a5%

! 33

! 3! 3

a!

3q

a!

3 . 7 aB3a

⋅=

⋅== y

-ebido a que podemos elegir infinitos valores para a5, entonces tenemos infinitos métodosde unge J Qutta de segundo orden. +ada una de estas versiones darían el mismo

resultado si la soluci"n de la ecuaci"n diferencial ordinaria fuera cuadrática, lineal o

constante, y diferentes resultados si la soluci"n es mas complicada.

&Ntodo de Oeun con un so-o corrector % #ara a5 = R tendremos que, por reemplazo en las

ecuaciones anteriores, a6 = R , p6 = 6 y q66 = 6. eemplazando estos valores en la

ecuaci"n general de segundo orden del método de unge J Qutta %


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.5?

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


( ) =k ak a/ / ! ! 33i 3i ⋅⋅+⋅+=+

2btendremos la ecuaci"n%

=k !

3k

!

3 / /

! 3i 3i

⋅

⋅+⋅+=+

Ecuaci"n esta donde%

( )

( )=k / =7 x 1 k

/ 7 x 1 k

3i i !

i i 3

⋅++==

&e observa que *6 es la pendiente en el inicio del intervalo y *5 la pendiente al final del

mismo. Puda claro entonces que se reproduce de esta manera e- mNtodo de Oeun siniteración4

&Ntodo de- .unto medio0 #ara a5 = 6, tendremos entonces, por reemplazo en las

ecuaciones correspondientes, que a6 = > , p6 = q66 = R. &i reemplazamos a estas

constantes en la ecuaci"n general de segundo orden%

( ) =k ak a/ / ! ! 33i 3i ⋅⋅+⋅+=+

Puedará la ecuaci"n%=k / / ! i 3i ⋅+=+

Ecuaci"n esta donde%

( )

⋅⋅+⋅+=

=

=k !

3/ =7

!

3 x 1 k

/ 7 x 1 k

3i i !

i i 3

&e observa que *6 es la pendiente en el inicio del intervalo y *5 la pendiente en el punto

medio del mismo. )ntonces7 con estos va-ores de constantes se re.roduce e- mNtodo de-

.unto medio4

&Ntodo de (a-ston0 #ara a5 = 5S?, tendremos que, por reemplazo en las ecuaciones

anteriores, a6 = 6S? , p6 = q66 = T. &i reemplazamos estos valores en la ecuaci"n general

de segundo orden %

( ) =k ak a/ / ! ! 33i 3i ⋅⋅+⋅+=+


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.5@

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


Puedara la ecuaci"n%

=k <

! k

<

3 / / ! 3i 3i ⋅

⋅+⋅+=+

Ecuaci"n donde%

( )

⋅⋅+⋅+=

=

=k C

</ =7

C

< x 1 k

/ 7 x 1 k

3i i !

i i 3

&e observa que *6 es la pendiente en el inicio del intervalo y *5 la pendiente en el punto

ubicado a ?S@ del mismo. )ste es e- denominado mNtodo de (a-ston.

)?em.-o0 3sar el método de punto medio y el método de alston para resolver

numéricamente la ecuaci"n%

@4A x !2 B x 3! x ! Bdx

d/ ! < +⋅⋅+⋅=

desde x = > 7asta x = @ con un paso de 7 = >.. La condici"n inicial en x = > es y = 6.

a6 &Ntodo de- .unto medio0

( )

⋅⋅+⋅+=

=

=k !

3/ =7

!

3 x 1 k

/ 7 x 1 k

3i i !

i i 3

reemplazando, y teniendo en cuenta que la ecuaci"n solo depende de x%

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) C4!3@A @4A 24!A !2 24!A 3! 24!A ! k

@4A @4A 2 !2 2 3! 2 ! / 7 x 1 k

! <!

! <i i 3

=+⋅−⋅+⋅−=

=−⋅−⋅+⋅−==

Luego, reemplazando en%

=k / / ! i 3i ⋅+=+


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.5

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


2btendremos el valor en x 8 24 %

( ) <432H<DA 24!A C4!3@DA 3/ 24A =⋅+=

donde el error relativo porcentual respecto de la solucion exacta es de ?.@K. El cálculo se

repite para los otros puntos aplicando el mismo criterio.

,6 &Ntodo de (a-ston0

( )

⋅⋅+⋅+=

=

=k C

</ =7

C

< x 1 k

/ 7 x 1 k

3i i !

i i 3

eemplazando en las anteriores, y teniendo en cuenta que la ecuaci"n solo depende de

x, tendremos%

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) !4A@!2<3!A @4A 24<A !2 24<A 3! 24<A ! k

@4A @4A 2 !2 2 3! 2 ! / 7 x 1 k

! <!

! <i i 3

=+⋅−⋅+⋅−=

=−⋅−⋅+⋅−==

eemplazando estos valores en la ecuaci"n del método%

=k <

! k

<

3 / / ! 3i 3i ⋅

⋅+⋅+=+

N nos queda para x 8 24 %

<4!<C<A 24A C4AACE@A 324A !4A@!2<3!A <

! @4A

<

3 3/ 524A6 =⋅+=⋅

⋅+⋅+=

El error relativo porcentual respecto de la soluci"n exacta es de es de J6.I5K. Luego, el

cálculo se repite para los otros puntos aplicando el mismo procedimiento.

x yverdadero

Deun (sin iteraci"n #unto 0edio alston

y r K y r K y r K

>.> 6.>>>>> 6.>>>>> >.> 6.>>>>>> >.> 6.>>>>>> >.>

>. ?.56IH ?.@?H> G.I ?.6>?H ?.@ ?.5HH?@@ 6.I

6.> ?.>>>>> ?.?H>> 65. 5.I65>> G.? ?.6>6G? ?.@


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.5G

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


6. 5.56IH 5.GIH> 56.6 6.I@?H 6>.G 5.?@HGG .I

5.> 5.>>>>> 5.>>>> 5.> 6.H>>>> 65. 5.6@>G5 H.>

5. 5.H6IH ?.6IH> 6H.5 5.@I@?H I.G 5.I@G .>

?.> @.>>>>> @.?H>> .@ ?.I65>> @.H @.66H6II 5.

?. @.H6IH @.?H> @.G @.G>?H 5.? @.I>>HI6 6.H

@.> ?.>>>>> ?.>>>>> >.> ?.>>>>>> >.> ?.>?65> 6.>

En la tabla anterior se presentan los valores de la funci"n soluci"n de la ecuaci"n

diferencial propuesta calculada seg8n los distintos métodos. En el gráfico inferior se

graficaron dic7as soluciones para su comparaci"n.

[email protected] 0étodos de unge J Qutta de tercer orden.

#artiendo de la ecuaci"n general de unge J Qutta y 7aciendo n 8 < nos queda%

( ) =k ak ak a/ / ! ! 33i 3i ⋅⋅+⋅+⋅+=+ 33

&e puede 7acer un 7acer un desarrollo similar al del método de segundo orden. +omo

resultado de dic7o desarrollo se llegan a G ecuaciones con I inc"gnitas por lo que deben

especificarse con antelaci"n los valores de 5 de ellas con el fin de establecer todos los

parámetros restantes.

3na versi"n com8n del método de unge J Qutta de tercer orden que resulta es%

( ) =k k Ck E

3 / / <! 3i 3i ⋅+⋅+⋅+=+


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.5H

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


donde%

( )

( )=k ! =k / =7 x 1 k

=k !

3/ =7

!

3 x 1 k

/ 7 x 1 k

! 3i i <

3i i !

i i 3

⋅⋅+⋅−+=

⋅⋅+⋅+=

=

#uede observarse que si la derivada de la funci"n soluci"n depende solo de x este

método de tercer orden se reduce a la regla de #im.son 3J<4 Los métodos de unge J

Qutta de tercer orden tienen errores local y global de 5= 6 y 5=<6 respectivamente y dan

resultados exactos cuando la funci"n es una funci"n c8bica o de menor orden. &i se trata

de polinomios la ecuaci"n anterior dará también resultados exactos cuando la funci"n

soluci"n de la ecuaci"n diferencial es de cuarto orden debido a que la regla de #im.son

3J< proporciona estimaciones exactas de la integral de c8bicas.

5.?.6.@.? 0étodos de unge J Qutta de cuarto orden.

-e las infinitas versiones de los métodos de unge J Qutta los de cuarto orden son los

más utilizados. #artiendo de la ecuaci"n general y 7aciendo n = @ tenemos%

( ) =k ak ak ak a/ / ! ! 33i 3i ⋅⋅+⋅+⋅+⋅+=+ 4433

&e puede 7acer un 7acer un desarrollo similar al del método de segundo orden. +omo

resultado de dic7o desarrollo se llega a un n8mero de ecuaciones inferior a la cantidad de

inc"gnitas por lo que deben especificarse con antelaci"n los valores de algunas de ellas

con el fin de establecer todos los parámetros restantes.

La forma de uso mas com8n, de todas las infinitas posibilidades, es la que se denomina

mNtodo de (une " utta c-Qsico de cuarto orden4 La expresi"n resultante es%

( ) =k k ! k ! k E 3 / / C<! 3i 3i ⋅+⋅+⋅+⋅+=+

donde%

( )

( )=k / =7 x 1 k

=k !

3/ =7

!

3 x 1 k

=k !

3/ =7

!

3 x 1 k

/ 7 x 1 k

<i i C

! i i <

3i i !

i i 3

⋅++=

⋅⋅+⋅+=

⋅⋅+⋅+=

=


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.5I

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


#uede observarse que si la derivada de la funci"n soluci"n depende solo de x el método

de unge J Qutta clásico de cuarto orden es similar a la regla de #im.son 3J<4 !ambién

presenta alguna similitud con el método de Deun, en el sentido que son desarrolladas

estimaciones m8ltiples de las pendientes en el punto medio, para finalmente, combinadas

con las pendientes obtenidas al inicio y final del intervalo, obtener una pendiente promedio

me$orada para el intervalo. En esta versi"n del método, como en las anteriores de

distintos ordenes, cada una de las k i representa una pendiente. Luego, reemplazadas

estas en la primera expresi"n, se obtiene una pendiente media me$orada representativa

del intervalo. La interpretaci"n gráfica de las pendientes estimadas k i se presenta a

continuaci"n%

)?em.-o0 esolver, utilizando el método de unge J Qutta de cuarto orden, las siguientes

ecuaciones%

a ( ) @4A x !2 B x 3! x B! / x71 dx

d/ ! < +⋅⋅+⋅==

mediante un tamaMo de paso de = 8 24 y una condici"n inicial de / 8 3 en x 8 24

En principio debemos calcular las pendientes k i , seg8n las ecuaciones dadas para lasmismas. 2bsérvese que la derivada solo depende de x%

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) @4A = x !2 B= x 3! = x B! =k / =7 x 1 k

@4A =!

3 x !2 B=

!

3 x 3! =

!

3 x B! =k

!

3/ =7

!

3 x 1 k

@4A =!

3 x !2 B=

!

3 x 3! =

!

3 x ! B=k

!

3/ =7

!

3 x 1 k

@4A x !2 B x 3! x ! B/ 7 x 1 k

i !

i <

i <i i C

i

!

i

<

i ! i i <

i

!

i

<

i 3i i !

i !

i <

i i i 3

++⋅+⋅++⋅=⋅++=

+

⋅+⋅

⋅+⋅+

⋅+⋅=

⋅⋅+⋅+=

+

⋅+⋅

⋅+⋅+

⋅+⋅=

⋅⋅+⋅+=

+⋅⋅+⋅==


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.5

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


Entonces tenemos que x i 8 27 x i;3J! 8 24! / x i;= 8 244

eemplazando en las anteriores%

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 34!A @4A 24A !2 B24A 3! 24A B! k

C4!3@A @4A 24!A !2 B24!A 3! 24!A B! k

C4!3@A @4A 24!A !2 B24!A 3! 24!A B! k

@4A @4A 2 !2 B2 3! 2 B! k

! <C

! <<

! <!

! <3

=+⋅⋅+⋅=

=+⋅⋅+⋅=

=+⋅⋅+⋅=

=+⋅⋅+⋅=

Luego estas pendientes son reemplazadas en la expresi"n del método de unge J Qutta

clásico de cuarto orden%

( ) =k k ! k ! k

E

3 / / C<! 3i 3i ⋅+⋅+⋅+⋅+=+

/plicada esta ecuaci"n, para obtener el valor de la funci"n en >., / 5246, partiendo del valor

conocido de la funci"n en >, / 526%

( ) <4!3@A 24A 34!A C4!3@A ! C4!3@A ! @4A E

3 3/ 524A6 =⋅+⋅+⋅+⋅+=

Esta soluci"n coincide con la exacta. Esto se debe a que la soluci"n verdadera es de

cuarto orden porque estamos integrando un polinomio de tercer orden. Entonces estemétodo, que para polinomios reproduce la soluci"n de #im.son 3J< nos proporciona la

soluci"n exacta.

b ( ) / 24A eC/ x71 dx

d/ x 24@ ⋅−⋅== ⋅

mediante un tamaMo de paso de = 8 24 y una condici"n inicial de / 8 ! en x 8 24

-e la misma manera procedemos al cálculo de las pendientes partiendo de que en x i 8 27

/ i 8 ! %

( ) ( ) ( ) <! 24A eC27! 1 k 2 24@ 3 =⋅−⋅== ⋅

Este valor de k 3 se usa para calcular un valor de / y la pendiente k ! en el punto medio%

( ) ( )

( ) ( ) ( ) <4A32E33!4A 24A eC24!A7!4A 1 k

!4A !

24A <4!

!

=k 2 / 24!A /

24!A 24@ !

3

=⋅−⋅==

=

+=⋅+=

⋅


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.?>

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


Esta pendiente k ! se usa a su vez para calcular otro valor de / y otra pendiente, k <7 en el

punto medio del intervalo%

( ) ( )

( ) ( ) ( ) <4CCE@A !4@EA<24A eCEA<24!A7!4@ 1 k

!4@EA<!

24A <4A32E334!

!

=k 2 / 24!A /

24!A 24@ <

!

=⋅−⋅==

=

+=⋅+=

⋅

-espués, esta pendiente k < se usa a su vez para calcular el valor de / y la pendiente k en

el punto final del intervalo%

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) C432AE2<<4!<<H! 24A eCH! 24A7<4!<<1 k

<4!<<H! 24A <4CCE@A4! =k 2 / 24A /

24A 24@ C

<

=⋅−⋅==

=+=⋅+=⋅

#or ultimo, las cuatro estimaciones de la pendiente se combinan para obtener una

pendiente promedio, que a su vez es utilizada para realizar la predicci"n al final del

intervalo%

( ) <4DA3EEH24A C432AE2<<4CCED@A ! <4A32E33! <E

3!/ 524A6 =⋅+⋅+⋅+⋅+=

La soluci"n verdadera es / 5246 8 <43!34

5.?.6.@.@ 0étodos de unge J Qutta de orden superior.

&i se requiere mayor exactitud en las estimaciones es recomendable utilizar alguno de los

mNtodos de (une " utta de quinto orden4 ) ntre estos se destaca el mNtodo de Rutc=er0

( ) =k D k <! k 3! k <! k D H2

3 / / E A C<3i 3i ⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅+=+

donde%


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.?6

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


( )

⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−+=

⋅⋅+⋅⋅+⋅+=

⋅+⋅⋅−⋅+=

⋅⋅+⋅⋅+⋅+=

⋅⋅+⋅+=

=

=k D

@ =k

D

3! =k

D

3! =k

D

! =k

D

</ =7 x 1 k

=k 3E

<=k

3E

</ =7

C

< x 1 k

=k =k !

3/ =7!

3 x 1 k

=k @

3=k

@

3/ =7

C

3 x 1 k

=k C

3/ =7

C

3 x 1 k

/ 7 x 1 k

A C<! 3i i E

C3i i A

<! i i C

! 3i i <

3i i !

i i 3

Este método es mas preciso que el de cuarto orden, pero es muc7o mayor la comple$idad

adicional y el esfuerzo computacional.

5.?.6.@. +omparaci"n de los métodos de unge J Qutta

La comparaci"n se plantea en términos de resolver la ecuaci"n diferencial%

( ) / 24A eC/ x71 dx

d/ x 24@ ⋅−⋅== ⋅

mediante distintos tamaMos de paso. La condici"n inicial es que la funci"n soluci"n vale %/ 8 ! en x 8 2 y el intervalo de soluci"n es el A>,@B4

&e compararon las exactitudes de los distintos métodos al calcular el resultado de la

funci"n soluci"n en x 8 4 La respuesta exacta para este punto del dominio es%

/ 56 8 4<<@HE

&e realiz" el calculo mediante los métodos de Euler, Deun sin iteraci"n, unge J Qutta de

tercer orden, unge J Qutta clásico de cuarto orden y el unge J Qutta de Cutc7er de

quinto orden.La comparaci"n se realizo calculando el error relativo porcentual de cada método para

distintos tamaMos de paso. El esfuerzo computacional involucrado en la obtenci"n de

cada soluci"n se define como%

=

a,Bn)s1uerzo 1 ⋅=


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.?5

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


donde nf es el n8mero de evaluaciones de la funci"n involucradas en el cálculo para un

determinado método. #ara nf menores o iguales que @, n f es igual al orden del método.

#ara ordenes superiores nf es mayor que el orden del método (el método de Cutc7er es

de orden y requiere de G evaluaciones. #or otro lado, la cantidad ( b J a S 7 (el

intervalo dividido por el tamaMo del paso es la cantidad de aplicaciones del método para

obtener el resultado.

&i consideramos que las evaluaciones de la funci"n son con frecuencia los pasos que

consumen la mayor cantidad de tiempo, la ecuaci"n anterior proporciona una cierta

medida del tiempo de e$ecuci"n requerido para alcanzar la respuesta.

#or ultimo se grafic" el valor absoluto del error relativo porcentual contra el esfuerzo

computacional para cada uno de los métodos utilizados en la comparaci"n.

La simple inspecci"n del l gráfico anterior nos permite concluir que%

• Los métodos de orden superior alcanzan mayor exactitud para el mismo esfuerzo

computacional.

• La ganancia en exactitud con el esfuerzo adicional (disminuyendo 7 tiende a

disminuir después de un punto. Las curvas primero caen con rapidez y luego

tienden a nivelarse.


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.??

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


2.#..$ %esolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden n median"e

las "écnicas de %un&e ' (u""a.

5.?.6..6 !ransformaci"n de una E-2 de orden n en un sistema de n E-2s de primer

orden

+onsidérese una ecuaci"n diferencial de la siguiente forma%

=

−

−

3n

3n

!

!

n

n

dx

/ d 74444447

dx

/ d 7

dx

d/ /7 x71

dx

/ d para x Aa7,B

Esta ecuaci"n diferencial ordinaria involucra a la funci"n / y a sus n primeras derivadas,

puesto que la derivada nBésima depende, seg8n una funci"n conocida 1 , de x7 / y las n " 3

primeras derivadas.

#ara que la ecuaci"n anterior tenga una soluci"n 8nica son necesarias n condiciones

adicionales sobre la funci"n inc"gnita / . +omo sabemos, estas condiciones adicionales se

llaman condiciones inicia-es si están dadas en un mismo punto del intervalo Aa7,B, o

condiciones de contorno si están dadas en más de un punto del intervalo Aa7,B.

3n caso 7abitual de condiciones iniciales es que la funci"n / y sus n B 3 primeras

derivadas tengan valores prescritos conocidos 2 7 37 !74444444447 nB3 en el extremo a del intervalo%

( ) ( ) ( ) ( ) S adx

/ d 44444444444 S a

dx

/ d S a

dx

d/ S a/ 3n3nB

3nB

! !

!

32 −====

Entonces, si se complementa la ecuaci"n diferencial ordinaria con las condiciones

iniciales anteriores, se obtiene un .ro,-ema de va-or inicia-4 #artiendo de la informaci"n

que se tiene de la funci"n / en el punto x 8 a debemos integrar la ecuaci"n diferencial

ordinaria para 7allar la evoluci"n de la funci"n / en todo el intervalo Aa7,B.

#or otro lado sabemos que una ecuación di1erencia- ordinaria de orden n puede ser

transformada en un sistema de n ecuaciones di1erencia-es ordinarias de .rimer orden con

n funciones inc"gnitas. Es decir que podemos reducir el orden de las derivadas a costa de

aumentar el n8mero de inc"gnitas


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.?@

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


En nuestro caso esta transformaci"n es necesaria puesto que las técnicas numéricas que

7emos visto 7asta este momento están diseMadas para resolver problemas de primer

orden.

La idea básica de la transformaci"n es tratar explícitamente como funciones inc"gnita a

las n " 3 primeras derivadas de la funci"n /4 Esto puede expresarse como%

dx

d/

dx

/ d /

4

dx

d/

dx

/ d /

dx

d/

dx

d/ /

/ /

3nn

n

n

! !

!

<

3!

3

−=≡

=≡

=≡

≡

(6

+on la ayuda de las ecuaciones anteriores la ecuaci"n diferencial ordinaria original puede

escribirse como%

( )n<! 3n / 74444447/ 7/ 7/ x71

dx

d/ = para x Aa7,B

Pueda claro que, en definitiva, solo 7emos 7ec7o un cambio de notaci"n. &i tomamos

esta 8ltima ecuaci"n y la combinamos con las (6 a excepci"n de la primera y se

transforman también las condiciones iniciales se obtiene%


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.?

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

inicia-esscondicionen

S adx

/ d a/ 4

4

S adx

/ d a/

S adx

d/ a/

S a/ a/

incoInitasnconecuacionesn

/ 74444447/ 7/ 7/ x71 dx

d/

dx

/ d dx

d/ /

0

dx

/ d

dx

d/ /

dx

d/

dx

d/ /

3n3nB

3nB

n

! !

3!

<

3!

2 3

n<! 3n

n

n3n

n

!

! !

<

3!

==

==

==

==

=

≡=

≡=

≡=

−

−

)?em.-o0 Expresar la siguiente ecuaci"n diferencial ordinaria de orden ? en un sistema de

tres ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 6.

-ada la siguiente ecuaci"n%

( ) ( ) ( )( ) ! eC x / C

dx

x d/ x <

dx

x / d !

dx

x / d x x !

!

!

<

<

+⋅=⋅+⋅⋅+⋅+⋅

-onde las condiciones iniciales son en x 8 27 / 526 87 /’ 526 8 B37 /’’ 526 8 !4

!ransformarla en un sistema de ? ecuaciones de primer orden.

#ara ello definimos las siguientes variables dependientes%

( ) ( )

( ) ( ) x u x v

x v x /

'

'

=

=

Entonces puede apreciarse que%

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) x u x v x /

x u x v x /

x v x /

' ' ' ' ' '

' ' '

'

==

==

=


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.?G

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


La ecuaci"n original podrá entonces escribirse en términos del siguiente sistema%

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

x

/ C x / x < x v ! ! eC x u

x u x v

x v x /

' ! ' x '

'

'

⋅−⋅⋅−⋅−+⋅==

=

N las condiciones iniciales en x 8 2 %

! u 3v CT/ 526526526 =−== y

5.?.6..5 esoluci"n de un sistema de n E-2s de primer orden

Na sea que estemos afrontando un problema de ingeniería cuya soluci"n implique la

resoluci"n de una ecuaci"n diferencial de orden n, o uno que implique la resoluci"n de un

sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, nos enfrentaremos a la

necesidad de resolver un sistema que podremos expresar como sigue%

( )

( )

( )n! 3nn

n! 3! !

n! 333

/ 44477444444444/ 7/ 7 x 1 dx

d/

4

4

/ 44477444444444/ 7/ 7 x 1 dx

d/

/ 44477444444444/ 7/ 7 x 1 dx

d/

=

=

=

#or supuesto, la soluci"n de tal sistema requiere de que se conozcan las n condiciones

iniciales en el valor inicial del intervalo correspondiente a x .

!odos los métodos vistos anteriormente para simples ecuaciones pueden extenderse a la

resoluci"n de sistemas como el anterior. El procedimiento para resolver un sistema de

ecuaciones simplemente involucra aplicar las técnicas conocidas para cada ecuaci"n en

cada paso, antes de proceder con el siguiente. Esto quedará claramente ilustrado con el

siguiente e$emplo donde 7emos aplicado el método de Euler.


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.?H

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


)?em.-o 30 esoluci"n de un sistema de E-2s mediante el método de Euler.

esolver el siguiente con$unto de ecuaciones diferenciales ordinarias%

3! !

33

/ 243B/ 24<BCdx

d/

/ 24A Bdx

d/

⋅⋅=

⋅=

esolveremos el sistema en el intervalo entre x = > y x = 5, con condiciones iniciales en x

= >, y6 = @ , y5 = G. 3tilizaremos un paso = 8 244

&e implementa el método de Euler para cada variable mediante la ya conocida expresi"n%

= 6/ 7 x 5 1 / / i i i 3i ⋅+=+

#rimero calculamos las pendientes%

34@ C243BE24<BCE6C7725 1 dx

d/

! BC24A BE6C7725 1 dx

d/

! !

33

=⋅⋅==

=⋅==

N luego los valores de la funci"n para el primer paso%

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) E4H24A 34@ E=E67C725 1 2 / 24A /

<24A ! B C=E67C725 1 2 / 24A /

! ! !

333

=⋅+=⋅+=

=⋅+=⋅+=

#ara un segundo paso volvemos a calcular las pendientes%

34E<<243BE4H24<BCE4H6<7724A 5 1 dx

d/

34A B<24A BE4H6<7724A 5 1 dx

d/

! !

33

=⋅⋅==

=⋅==

N luego los valores de la funci"n para el segundo paso%


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.?I

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) D4D3A 24A 34E< E4H=E4H6<7724A 5 1 24A / 342 /

!4!A 24A 34A B <=E4H6<7724A 5 1 24A / 342 /

! ! !

333

=⋅+=⋅+=

=⋅+=⋅+=

N así contin8a el cálculo 7asta el final. Los resultados se resumen en la siguiente tabla%

x y6 y5

>.> @.>>>>>> G.>>>>>>

>. ?.>>>>>> G.>>>>>

6.> 5.5>>>> H.H6>>>

6. 6.GIH>> I.@@5>

5.> 6.5GG5 .>@IH>

)?em.-o !0 esoluci"n de un sistema de E-2s mediante el método de unge J Qutta

clásico de cuarto orden.

esolver el mismo con$unto de ecuaciones diferenciales ordinarias anterior%

3! !

33

/ 243B/ 24<BCdx

d/

/ 24A Bdx

d/

⋅⋅=

⋅=

esolveremos el sistema en el intervalo entre x = > y x = 5, con condiciones iniciales en x

= >, y6 = @ , y5 = G. 3tilizaremos un paso = 8 244

&i bien la aplicaci"n del método de unge J Qutta a un sistema de ecuaciones

diferenciales ordinarias no presenta mayor complicaci"n, desde el punto de vista

conceptual, respecto a su aplicaci"n a una sola ecuaci"n, debe tenerse cuidado aldeterminarse las pendientes y al calcular los valores intermedios necesarios. #or ello

antes de abordar la resoluci"n planteada describiremos en detalle los pasos a seguir%

• #rimero se calculan las pendientes para todas las variables en el valor inicial (las

*6.

• Esas pendientes se usarán entonces para 7acer predicciones de las variable

dependientes / i en el punto medio del intervalo.


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.?

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


• -ic7os valores del punto medio se utilizan, a su vez, para calcular un con$unto de

pendientes en el punto medio (las *5.

• Esas nuevas pendientes se usarán entonces para 7acer otro con$unto de

predicciones de las variables dependientes / i en el punto medio, que a su vez se

utilizarán para una nueva predicci"n de la pendiente en el punto medio (las *?.

• Estas después se emplearán con el fin de 7acer las predicciones de las variables

dependientes / i al final del intervalo que serán usadas para calcular las pendientes

del final del intervalo (las *@.

• #or ultimo las k i se combinan para formar un con$unto de funciones incremento,

que se utilizan para 7acer la predicci"n final de las variables dependientes.

Entonces, comenzando el procedimiento antes descripto primero calculamos las

pendientes al inicio del intervalo%

34@ C243BE24<BCE6C7725 1 k

! BC24A BE6C7725 1 k

! 37!

3373

=⋅⋅==

=⋅==

-onde la nomenclatura utilizada debe interpretarse de la siguiente manera% * i,$ es el i;

ésimo valor de * para la $;ésima variable dependiente. Luego calculamos los primeros

valores de / 3 e / ! en el punto medio%

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) E4CA !

24A 34@ E

!

=k 2 /

! =/

<4A !

24A ! BC

!

=k 2 /

! =/

37! ! !

37333

=⋅+=⋅+=

=⋅+=⋅+=

Estos valores se usarán para calcular el primer con$unto de pendientes de punto medio%

34D3A <4A 243BE4CA 24<BCE4CA6<4A7724!A 5 1 k

34DA B<4A 24A BE4CA6<4A7724!A 5 1 k

! !7!

3!73

=⋅⋅==

=⋅==

Estas pendientes, a su vez, se usan para determinar el segundo con$unto de predicciones

de las variables dependientes en el punto medio%


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.@>

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) E4C!@DA !

24A 34D3A E

!

=k 2 /

! =/

<4AE!A !

24A 34DA BC

!

=k 2 /

! =/

!7! ! ' !

!733' 3

=⋅+=⋅+=

=⋅+=⋅+=

Estos valores se utilizarán para calcular el segundo con$unto de pendientes de punto

medio%

34D3A3!A <4AE!A 243BE4C!@DA 24<BCE4C!@DA6<4AE!A7724!A 5 1 k

34D@3!A B<4AE!A 24A BE4C!@DA6<4AE!A7724!A 5 1 k

! <7!

3<73

=⋅⋅==

=⋅==

Estas pendientes, a su vez, se utilizarán para determinar las predicciones de las variables

dependientes al final del intervalo%

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) E4@AAE<24A 343A3!A E =k 2 / =/

<432H<A 24A 34@3!A BC=k 2 / =/

<7! ! !

<7333

=⋅+=⋅+=

=⋅+=⋅+=

Estas predicciones de las variables dependientes al final del intervalo serán utilizadas

para calcular las pendientes al final del intervalo%

34E<3DHC<432H<DA 243BE4@ADAE<24<BCE4@ADAE<6<432H<DA7724A 5 1 k

34AACE@@ B<432H<DA 24A BE4@ADAE<6<432H<DA7724A 5 1 k

! C7!

3C73

=⋅⋅==

=⋅==

Los valores de * se pueden utilizar entonces para calcular las predicciones de las

variables dependientes , mediante la ecuaci"n%

( ) =k k ! k ! k E

3 / / C<! 3i 3i ⋅+⋅+⋅+⋅+=+

eemplazando los valores obtenidos calculamos las variables dependientes / 3 e / !

respectivamente%

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) <433A!<C24A 34AACE@@ 34@3!A B! 34A B! ! BE

3C24A /

=k k ! k ! k E

3 2 / 24A /

3

C73<73!7337333

=⋅−+++⋅+=

⋅+⋅+⋅+⋅+=

y


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.@6

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) E4@AE2 24A 34E<3HC343A3!A ! 343A ! 34@ E

3E24A /

=k k ! k ! k E

3 2 / 24A /

!

C7! <7! !7! 37! ! !

=⋅+⋅+⋅+⋅+=

⋅+⋅+⋅+⋅+=

#rocediendo de la misma manera para los puntos restantes se obtiene los resultados que

se condensan en la siguiente tabla%

) * *2

>.> @.>>>>>> G.>>>>>>

>. ?.665?@ G.IHGH>

6.> 5.@5G6H6 H.G?56>G

6. 6.II5? I.?5GIIG5.> 6.@H6HH I.@GIG

2.#..+ %esolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden n median"e el

mé"odo de diferencias fini"as.

La integraci"n 7acia delante paso a paso de ecuaciones diferenciales de orden superior puede también efectuarse sustituyendo en la ecuaci"n diferencial y en sus condiciones

iniciales, las derivadas por las expresiones ya conocidas de derivaci"n numérica por

diferencias finitas.

+omo ya sabemos el reemplazo debe 7acerse siempre por expresiones de derivaci"n

consistentes, es decir, que tengan el mismo orden de interpolaci"n, o dic7o de otra

manera el mismo orden de error.

Los operadores para interpolaciones de distinto orden se obtienen seg8n lo ya visto en

cursos anteriores y son validas todas las conclusiones vistas entonces. 3n breve resumen

de este tema se desarrolla en los /péndices 5.6 y 5.5 del presente capítulo.

)?em.-o0 esolver, por el método de diferencias finitas, la siguiente ecuaci"n diferencial

ordinaria de segundo orden%

2 / ! dx

d/

dx

/ d !

!

=⋅−−


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.@5

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


en el intervalo entre x = > y x = >., con paso 7 = >.6, y las siguientes condiciones

iniciales% 243/ 526 = / 24! / 526 =′ .

&ustituyendo las derivadas primera y segunda que aparecen en la ecuaci"n diferencial

por las expresiones numéricas correspondientes a una interpolaci"n limitada de segundo

orden, tendremos, para el i;ésimo punto%

( ) ( ) 2 / ! / / 2 / B=!

3/ / ! /

=

3i 3i i 3iB3i i 3iB!

=⋅−+⋅+⋅⋅

−+⋅−⋅ ++

eemplazando 7 = >.6 nos queda, para el i;ésimo punto, la siguiente ecuaci"n%

( ) ( ) 2 / ! / / BA / / ! / 322 i 3i 3iB3i i 3iB =⋅−+⋅−+⋅−⋅ ++

&i operamos y reordenamos los términos nos queda%

2 / HA / !2! / 32A 3i i 3iB =⋅+⋅−⋅ +

Entonces, si despe$amos el valor de / en el punto 5i ; 36, este nos queda en funci"n de los

valores de / ya conocidos en los puntos 5i6 e (i " 36%

3iBi 3i / 3432A / !43!E / ⋅−⋅=+

Las condiciones iniciales también deben se discretizadas. Entonces tenemos%

( )

( ) ( ) 24! / / B=!

3 /

243/

3i 3iB2

2

=+⋅⋅

=′

=

+

&e puede apreciar que la segunda ecuaci"n nos permite expresar un punto exterior al

dominio (/ iB3 67 en funci"n de otro interior al mismo (/ i;3. Entonces%

242CB/ / 33B =

&i aplicamos el operador obtenido los puntos x = >.6, x = >.5, tendremos%

#ara x = >.6


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.@?

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


( ) ( )

2433 /

24!A / !432A

242CC/ 3432A 24!3</

242C/ 3432A 243!43!E / 3432A / !43!E /

3

3

33

33B2 3

=

=⋅+⋅−=

−⋅−⋅=⋅−⋅=

#ara x = >.5

( ) ( )

243<@ /

2433432A 2433 !43!E / 3432A / !43!E /

!

2 3!

=

=⋅−⋅=⋅−⋅=

#ara x = >.?

( ) ( )

243EC/

2433 3432A 243<@ !43!E / 3432A / !43!E /

<

3! <

=

=⋅−⋅=⋅−⋅=

para x = >.@

( ) ( )

243HE /

243<@ 3432A 243EC!43!E / 3432A / !43!E /

C

! <C

=

=⋅−⋅=⋅−⋅=

para x = >.

( ) ( )

24!<A /

243EC3432A 243HE !43!E / 3432A / !43!E /

C

<CA

=

=⋅−⋅=⋅−⋅=

2.#.2 Pro,lemas de -alores en la fron"era.

3n problema de valores en la frontera se defini" como aquel en el cual las condiciones de

contorno se imponen sobre ambos extremos del intervalo que constituye el dominio de

definici"n. #ara ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 5n, en general 7abrá n

condiciones de frontera en cada borde x 8 a y x 8 , y estas condiciones contendrán

derivada 7asta de orden 5n;6.

La soluci"n de estos problemas será planteada en este apartado en base al

procedimientos de -iferencias )initas, el cual consiste, básicamente, en reemplazar a


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.@@

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


cada una de las derivadas que aparecen en la expresi"n de la ecuaci"n diferencia por su

aproximaci"n en -iferencias )initas.

El procedimiento de cálculo se ilustrará con el siguiente e$emplo%

)?em.-o% resolver la siguiente ecuaci"n diferencial%

y su$eta a las siguientes condiciones de contorno% y(>=> U y(6=6

El problema se resolverá dividiendo el dominio de definici"n en @ partes iguales, es decir

∆=>.5.

Paso % -iscretizaci"n del dominio

Paso 2% 0odelo matemático de la ecuaci"n de gobierno

&i se considera una interpolaci"n limitada de segundo orden, la derivada puede

aproximarse en el punto x 8 x i mediante la siguiente expresi"n en diferencias finitas%

la cual, reemplazada en la ecuaci"n de gobierno, proporciona la expresi"n de la ecuaci"n

diferencial valuada en ese punto%

la cual puede representarse por el siguiente operador%

el cual constituye el 9operador de la ecuaci"n diferencial:.

Paso #% Oaloraci"n de la ecuaci"n discretizada en cada uno de los puntos inc"gnitas%


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.@

3 x 2 2/ dx

/ d !

!

≤≤=−

x = 00

x = 14

x 1

x 2

x 3

[ ]3i i 3i ! Ui U

!

!

/ / ! / V3

dx / d +−

=+−≈

[ ] 2 / / / ! / V

3i 3i i 3i !

=−+− +−

[ ] 2 3E 7 <<B 73ET 2 V

3 7 3

V

! B7

V

3! ! !

==

−

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


• En x = x6 → 6G y> J?? y6 F6G y5 = > ∴ ;?? y6 F6G y5 = > (considerando que y>=>

• En x = x5 → 6G y6 J?? y5 F6G y? = >

• En x = x? → 6G y5 J?? y? F6G y@ = > ∴ F6G y5 ;?? y6 = ;6G (considerando que y@=6

Las ecuaciones anteriores pueden escribirse en el siguiente como %

;?? 6G > y6 > y6 >.55

6G ;?? 6G y5 = > ∴ y5 = >.@@

> 6G ;?? y? ;6G y? >.H>

)?em.-o0 resolver la ecuaci"n diferencial %

su$eta a las condiciones de contorno% yS> = yVV(> = > U y(6 = yV(6 = >

Paso % -iscretizaci"n del dominio

+aso a ∆ = 6S@

+aso b ∆ = 6SI

Paso 2% 0odelo matemático de la ecuaci"n de gobierno#ara representar a las derivadas que aparecen tanto en la ecuaci"n de gobierno como en

las condiciones de contorno se considerará una interpolaci"n limitada de segundo orden.

-e acuerdo a ello%

a

b


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.@G

3 x 2 x / 3E4dx

/ d C

C

≤≤=−

[ ]3 23 V!

3/' i +−=

[ ]3 !B 3 V

3' /'

! i ++=

[ ]3CB E CB 3 V

3/ C

I+ +++=

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


c

F6 F6 ;5 F6

;5 F6 ;5 F6

F6 F6 ;5 F6

6S∆@ F6 ;@ FG ;@ F6

2perador de la Ecuaci"n -iferencial%

Paso #: Oaloraci"n del operador diferencial en los puntos del dominio.

+aso a

• En el punto x = > la soluci"n es conocida, y(>=>, por lo cual no se valoriza el operador

en este punto.

• En x = 6 → 6S∆@ (F6 yW ;@ y> F(G;6G∆@.y6 J @.y5 F 6 y? = x6 . En esta ecuaci"n el

valor yW no se conoce ya que xW (x =;∆ se ubica fuera del dominio del problema.&in embargo, de acuerdo a las condiciones de borde enunciadas anteriormente, en x=>

debe cumplirse la condici"n de yVV(>=>. -iscretizando esta condici"n, resulta%

reemplazando arriba, resulta en x =6 → 6S∆@ (F(;6G∆@.y6 J @.y5 F 6 y? = x6

• En x =5 → 6S∆@(F6y> ;@y6 F(G;6G∆@.y5 [email protected]?F6y@ = x5 ∴

6S∆@ (;@ y6F(G;6G∆@.y5 [email protected]? = x5

• En x =? → 6S∆@(F6y6 ;@y5 F(G ;6G∆@.y? J @.y@ F 6yW = x? , nuevamente, en la

expresi"n anterior yW correspondería al valor de la funci"n en un punto xW (x =6F ∆,

ubicado fuera del intervalo. +onsiderando que en x=6 debe cumplirse la condici"n de

borde yV(6 = >, discretizando esta 8ltima, resulta%


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.@H

[ ] x 3CB V3E E CB 3 V

3 CC

=+−++

[ ] 332 ! 2 / W / 2/ 34 / W ! B /W 34 V

3' /' −=∴=++=

[ ] <<C / W / 2/W / V!

3

/' =∴=+−=

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


que reemplazado en la ecuaci"n anterior, resulta para x = ?

6S∆@(F6y6 ;@y5 F(H;6G∆@.y? = x?

/grupando las ecuaciones que resultan de valuar el operador diferencial en los puntos x6,

x5, x?, y x@ resulta el siguiente sistema de ecuaciones lineales%

F;6G∆@ ;@ F6 y6 x6.∆@ y6 >.>>5

;@ FG;6G∆@ ;@ y5 = x5.∆@∴ y5 = >.>>?@

F6 ;@ FH;6G∆@ y? x?.∆@ y? >.>>5>

+aso b

• En x =6 → 6S∆@ (F(;6G∆@.y6 J @.y5 F 6 y? = x6

• En x =5 → 6S∆@ (;@ y6F(G;6G∆@.y5 [email protected]? = x5

• En x =? → 6S∆@(F6y6 ;@y5 F(G ;6G∆@.y? J @.y@ F 6y = x?

• En x =@ → 6S∆@(F6y5 ;@y? F(G ;6G∆@.y@ J @.y F 6yG = x@

• En x = → 6S∆@(F6y? ;@y@ F(G ;6G∆@.y J @.yG F 6yH = x

• En x =G → 6S∆@(F6y@ ;@y F(G ;6G∆@.yG J @.yH = xG

• En x =H → 6S∆@(F6y ;@yG F(H;6G∆@.yH = xH

F;6G∆@ ;@ F6 > > > > y6 x6.∆@

;@ FG;6G∆@ ;@ F6 > > > y5 x5.∆@

F6 ;@ FG;6G∆@ ;@ F6 > > y? x?.∆@

> F6 ;@ FG;6G∆@ ;@ F6 > y@ = x@.∆@

> > F6 ;@ FG;6G∆@ ;@ F6 y x.∆@

> > > F6 ;@ FG;6G∆@ ;@ yG xG.∆@

> > > > F6 ;@ FH;6G∆@ yH xH.∆@

y6 >.>>65

y5 >.>>56

y? >.>>5H

y@ = >.>>5H

y >.>>5?

yG >.>>6

yH >.>>>


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.@I

Anlisis de Con-er&encia

>.>>>>

>.>>>

>.>>6>

>.>>6

>.>>5>

>.>>5

>.>>?>

>.>>?

>.>>@>

> >.5 >.@ >.G >.I 6

/

0

-=6SI -=6S@

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


)inalmente, en la figura de la derec7a se representa la soluci"n obtenida en ambos casos.

-e los 5 e$emplos resueltos se obtienen las siguientes conclusiones%

• La discretizaci"n de las condiciones de contorno permite en todos los casos obtener

un sistema de ecuaciones del cual solo participan como inc"gnitas aquellos puntos en

donde la soluci"n no es conocida a priori.

• El sistema de ecuaciones resultantes es simétrico y con una distribuci"n en banda.

• La soluci"n debe buscarse por el camino de estudiar su convergencia a medida que

∆→ >.

AP1ND!CE 2.. : !n"erolación Polinomial. Diferencias 3ini"as

+onsidérese la funci"n y = f(x definida en forma tabular, para la cual se desconoce su

expresi"n analítica.

&up"ngase que los valores de x>, x6 = xo F ∆x, x5 = xo F 5.∆x, ... xn= xnFn.∆x, todos

ellos igualmente espaciados una magnitud ∆x, se conocen los correspondientes valores

y>, y6, ... yn. Estos valores pueden arreglarse como se muestra en la tabla siguiente%

Xi Ni

x> y>

x6=x>F∆x y6

x5=x>F5.∆x y5


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.@

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


. .

xn=x>Fn.∆x yn

!abla 6% )unci"n definida en forma tabular

&e llaman .rimeras di1erencias =acia de-ante a las diferencias entre dos valores

consecutivos de y. En la tabla 6, las primeras diferencias 7acia delante son%

ao = y6 J y>

a6 = y5 J y6

a5 = y? J y5

...............

yn.6=yn J yn;6

que se representan por ∆yi.

-e igual forma, las diferencias de las primeras diferencias se llaman seundas di1erencias

=acia de-ante, y valen%

bo = a6 J ao = y5 J 5.y6 F y>

b6 = a5 J a6 = y? J 5.y5 F y6

b5 = a? J a5 = y@ J 5.y? F y5

..............bn;5 = an;6 J an;5 = yn J 5.yn;6 F yn;5

las cuales se representan por ∆5yi. 'uevamente, las diferencias de las segundas

diferencias son las terceras diferencias 7acia delante, ∆?yi, las cuales resultan%

co = b6 J bo = y? J ?.y5 F ?.y6 J y>

c6 = b5 J b6 = y@ J ?.y? F ?.y5 J y6

.............................

cn;? = bn;5 J bn;? = yn J ?.yn;6 F ?.yn;5 J yn;?

&iguiendo el proceso se definen las cuartas, quintas, etc. diferencias 7acia delante. !odas

las diferencias pueden ordenarse en una tabla denominada !abla de -iferencias en donde

cada diferencia se indica entre los dos elementos que la producen, como se muestra a

continuaci"n%

x> y>

a>=y6;y>


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.>

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


x6=x>F∆x y6 b> = a6;a>

a6=y5;y6 c>=b6;b>

x5=x>F5.∆x y5 b6 = a5;a6 ......

a5=y?;y5 c6=b5;b6

x?=x>F?.∆x y? b5 = a?;a5 ......

a?=y@;y? c>=b?;b5

x@=x>F@.∆x y@ YYYYYYY ......

YYYYYYY YYYYYYY

YYYYYYY . YYYYYYY ......

YYYYYYY cn;?=bn;5;bn;?

YYYYYYY . bn;5=an;6;an;5

an;6=yn;yn;6

xn=x>Fn.∆x yn

!abla 'Z 5% !abla de -iferencias

/parentemente se tiene la impresi"n de que el proceso de determinar diferencias es

infinito, pero un e$emplo nos demostrará que no lo es para el caso en que los puntos

dados estén ubicados sobre un polinomio.

&upongamos que los puntos están ubicados sobre un polinomio de grado 5, entonces se

tendrá%

x* = x> F *.∆x → y* = /(x> F *.∆x5 F C(x> F *.∆x F +x*F6 = x> F (*F6..∆x → y* = /(x> F (*F6..∆x5 F C(x> F (*F6..∆x F +

x*F5 = x> F (*F5..∆x → y* = /(x> F (*F5..∆x5 F C(x> F (*F5..∆x F +

En base a ello, las primeras diferencias adelante resultarán%

∆y* = y*F6 J y* = 5./. ∆x.x> F C. ∆x F (5*F6./. ∆x5

∆y*F6 = y*F5 J y*F6 = 5./. ∆x.x> F C. ∆x F (5*F?./. ∆x5

y las segundas diferencias%

∆5y* = ∆y*F6 ; ∆y* = 5./. ∆x5

+omo las segundas diferencias 7acia delante son constantes (no dependen de * e

iguales entre si, las terceras, cuartas, etc. diferencias serán nulas.

En este e$emplo, se ve que en un polinomio de grado dos se llega a las diferencias de

orden dos. 3na consecuencia razonable es pensar que el grado de desarrollo de las


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.6

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


diferencias es el mismo que el grado del polinomio. En efecto, es posible demostrar que

para un polinomio del tipo y= xn F ... la enésima diferencia se 7ace constante e igual a %

∆ny* = n[. ∆xn

Lo anterior puede establecerse como un teorema, que tiene como consecuencia el

siguiente corolario%

9&i en el proceso de obtenci"n de las diferencias 7acia delante sucesivas de una funci"n,

una de estas se vuelve constante (o aproximadamente constante, puede afirmarse que

el con$unto de valores tabulados queda satisfec7o exactamente (o muy

aproximadamente por un polinomio de grado igual al orden de la diferencia constante.

El e$emplo siguiente ilustra este caso.

X N ∆y ∆5y ∆?y> 5

G

5 I @I

@ @I

@ G5 G

6> @I

G 565 6@@

5@ @II >G 65

@IG

6> 5

+omo las terceras diferencias son constantes, el con$unto de valores indicados están

representados por un polinomio de grado ?. En efecto, los mismos 7an sido tabulados a

partir de %

y = x?

J x F 5

E$emplo 6 % -e la tabla siguiente obtener el valor de y para x=>.55

X N

>.>> >.>>

>.> >.@I


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.5

>.>>

>.5>

>.@>

>.G>

>.I>

6.>>

6.5>

> >.> >.6 >.6 >.5 >.5 >.? >.?

/

0

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


>.6> >.I@

>.6 6.>>

>.5> >.6

>.5 >.G>

>.?> >.6@

a !abla de -iferencias

> >.>>

>.@I

>.> >.@I ;>.65

>.?G ;>.>

>.6 >.I@ ;>.56 >.>

>.6G ;>.>@ >.>6

>.6 6.>> ;>.5@ >.>G ;>.>6

;>.> >.>5 ;>.>6

>.5 >.6 ;>.55 >.>

;>.?6 >.>I

>.5 >.G> ;>.6

;>.@G

>.? >.6@

O/L2E& -E L/ )3'+4\' 9N: 4'!E#2L/-/ E' X=>.55

2rigen 2rden 4nterpolaci"n

x xo yo * 6 5 ? @ Exac

>.55 >.>> >.>> @.@ 5.6> 6.5?6 >.H>6 >.I>H >.I>I

>.> >.@I ?.@ 6.H6> >.IH> >.HH >.I>I

>.6> >.I@ 5.@ 6.56G >.I>G >.I6> >.I>

>.6 6.>> 6.@ >.H >.H >.H >.H

>.5> >.6 >.@ >.IH@ >.>6 >.>G >.>G

ErroresAKB

2rden 4nterpolaci"n


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.?

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


xo yo 6 5 ? @

>.>> >.>> 6G6 5 6? >

>.> >.@I 665 I 6 >

>.6> >.I@ > > > >

>.6 6.>> 5? 5? 5? 5?

>.5> >.6 I 66 65 65

AP1ND!CE 2.2. : Deri-ación Numérica. Oeradores de Diferencias 3ini"as.

-ada una funci"n y=f(x definida en forma tabular se trata de calcular el valor de sus

derivadas en alguno de los puntos x=x>, x6, x5, .....xn.&i se acepta aproximar a la funci"n f(x con el polinomio que pasa por los nF6 puntos, se

tiene%

en donde * = AX J X>BS∆x


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.@

5,6 444/ V<K

!6365k k5k / V

!K

36k5k V/ 4k / / 2

<2

! 2 2 P +

−−+

−++=

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


-erivando ambos miembros de (b con respecto a 9x:, y teniendo en cuenta que el

segundo miembro es una funci"n compuesta de x, se tiene%

-erivando esta 8ltima expresi"n con respecto a 9x: se obtiene la derivada segunda%

y derivando nuevamente, se obtiene la derivada tercera%

&i la derivada fuera limitada de primer orden, es decir si solo se consideraran los términos

asociados a la primer diferencia, la derivada primera resultaría%

expresi"n que indica que la derivada primera resultaría constante entre los puntos y6 e y>,

por lo cual, la derivada segunda resultaría nula en ese intervalo.+onsiderando que ∆y> = y6 J y> , la derivada primera en x = x> resulta%

'otacionalmente, la expresi"n anterior se representa como%


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.

dx

dk 44/ V

<K

!6365k k5k / V

!K

36k5k V/ 4k /

dk

d

dx

d15x62

<2

! 2 2

+

−−+

−++=

44444/ VE

! k E k </ V

!

3k ! V/ 4

Vx

3

dx

d15x62

<!

2 !

2

+

+−+

−+=

[ ] 44444/ V3645k / V4 Vx

3dx

15x6d 2 <2 ! ! !

!

+−+=

[ ] 44444/ V Vx

3

dx

15x6d 2

<

<<

<

+=

[ ] V/ 4 Vx

3

dx

d15x62 =

[ ] / / B Vx

3

dx

d15x632

2 U U

+==

X3 3Y Vx

3/' 2 +−=

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


en donde se 7a subrayado el coeficiente del pivote en donde se está calculando la

derivada. <eométricamente, equivale a tomar como primera derivada a la pendiente de la

recta que une los puntos (x>,y> y (x6,y6.

La expresi"n indicada puede utilizarse corriendo el pivote sobre todos los puntos del

dominio en donde quiera evaluarse la primer derivada a excepci"n del 8ltimo punto del

cual se conoce informaci"n, (xn, yn.. #ara él será necesario utilizar un 9operador corrido

a la derec7a: que determine yV6.

+omo el operador dado no depende de *, y la interpolaci"n supuesta entre los puntos es

lineal, significa que la derivada primera es constante y el operador para el punto extremo

a la derec7a del intervalo puede escribirse como%

Lo cual, como es obvio, implica que la derivada primera para los dos 8ltimos puntos del

intervalo es la misma, solo válido cuando 7→>.

E$emplo 5% La funci"n tabulada en el E$emplo 6 corresponde a y=seno(6>.x. &e calculará

a continuaci"n la derivada numérica en cada uno de los puntos tabulados.

X N NV AExactaB NVA-.).B

>.>> >.>> 6>.>> .

>.> >.@I I.HI H.5@

>.6> >.I@ .@> ?.65

>.6 6.>> >.H6 ;6.HG

>.5> >.6 ;@.6G ;G.55

>.5 >.G> ;I.>6 ;.6

>.?> >.6@ ;.> ;.6

&i a7ora se considera que la

interpolaci"n es limitada de segundo

orden, las expresiones para la estimaci"n de las derivadas resultarían%

y la derivada tercera resultaría nula dentro del intervalo Ay>, y5B.


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.G

X3 3BY Vx

3/' 2 +=

;6.>>

;6>.>>

;.>>

>.>>

.>>

6>.>>

6.>>

>.>> >.> >.6> >.6 >.5> >.5 >.?

)

* 4 5 ) 6

Exacta -.). 6er 2rden

/ V!

3k ! V/ 4

Vx

3

dx

d15x62

! 2

−

+=

[ ] / V4 Vx

3

dx

15x6d 2

!

! !

!

=

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


+omo%

∆y> = y6 J y>

∆5y> = y5 J 5.y6 F y>

las expresiones para la estimaci"n de las derivadas resultan%

+omo se observa, es necesario contar con la informaci"n de tres puntos para laestimaci"n de ambas derivadas con este orden de interpolaci"n. &i bien la derivada

segunda resulta la misma en todos los puntos del intervalo, no es así para la derivada

primera la cual depende de *, es decir, de cual de los tres puntos del intervalo Ay >,y5B

estemos calculando la derivada.

En efecto, en x =x> (* => resultará%

#or otra parte, si lo que se busca es calcular la derivada primera en el punto x =x6, es

decir * =6, resultará%

y finalmente, en el punto x =x5 (* =5, resultará%

expresiones que pueden ser escritas en forma de operador de la siguiente manera%


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.H

( ) / / ! / !

3k ! / /

Vx

3

dx

d15x62 3! 2 3

+−−+−=

[ ] / / ! / Vx

3

dx

15x6d 2 3! ! !

!

+−=

[ ] / / C4/ <4 Vx !4

3

dx

d15x6! 32

2 U U

−+−==

[ ] / / Vx !4

3

dx

d15x6! 2

3 U U

+−==

[ ] / </ C4/ 34 Vx !4

3

dx

d15x6! 32

! U U

+−+==

[ ] 3C< Vx !4

3/' 2 −+−=

[ ] 3 23 Vx !4

3/' 3 +−=

[ ] <CB 3 Vx !4

3/' ! ++=

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


Los operadores de derivada segunda no dependen de *, por lo cual%

E$emplo ?% +alcular los valores de la derivada primera de la funci"n tabulada en el

E$emplo 6 utilizando operadores corridos a izquierda, centrados y corridos a derec7a.

X N NV AExacB +4 +E +->.>> >.>> 6>.>> 6>.HG

>.> >.@I I.HI .?> I.@6

>.6> >.I@ .@> .G .6I G.>H

>.6 6.>> >.H6 >.@G >.GI 6.>G

>.5> >.6 ;@.6G ;@.H ;?. ;@.56

>.5 >.G> ;I.>6 ;H.GI ;I.@@

>.?> >.6@ ;.> ;6>.G6

En el cuadro de la derec7a se

representaron las diferentes

aproximaciones $unto a la

soluci"n exacta. +omo se

observa, en todos los casos los

resultados son satisfactorios y

significativamente mas precisos que

aquellos estimados en base ainterpolaciones limitadas de

primer orden

#or otra parte, si se compara los resultados detallados en la tabla se concluye que

aquellos obtenidos utilizando operadores centrados generan, en promedio, errores más

reducidos que en caso de utilizar errores corridos. Esta conclusi"n es co7erente con lo

que se intuye si se considera que los operadores centrados recogen 9informaci"n: de la

forma de la curva 7acia ambos lados del punto en donde se está estimando la derivada,


+!E-/ 01!2-2& +20#3!/+42'/LE& 5 #ág.I

[ ] 3!3 Vx

3' /'

! 2 +−+=

[ ] 3 ! 3 Vx

3

' /' ! 3 +−+= [ ] 3!3 Vx

3' /' ! ! +−+=

;6.>>

;6>.>>

;.>>

>.>>

.>>

6>.>>

6.>>

>.>> >.> >.6> >.6 >.5> >.5 >.?>

/

0 7 5 / 6

Exacta +4 +E +-

7/23/2019 Mc2 Cap2 Edo


mientras que los operadores corridos lo 7acen solamente considerando lo que ocurre

7acia atrás o 7acia delante seg8n los casos.

mc2 cap2 edo

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