1.- DEFORMACIONES DE LAS ESTRUCTURAS.Las estructuras de ingeniera estn realizadas con materiales que se deforman ligeramente cuando estn sometidas a esfuerzos, cambios de temperatura, etc. Como consecuencia de estas deformaciones, los puntos de la estructura experimentan ciertos movimientos llamados desplazamientos o corrimientos, y la estructura sufre a su vez una deformacin general. Siempre que no se sobrepase el lmite elstico del material, todas las deformaciones y corrimientos desaparecen cuando se suprime el esfuerzo, o la temperatura vuelve a su valor primitivo. Este tipo de deformacin se llama elstica, y puede ser producida por cargas que acten sobre la estructura o por variaciones de temperatura. A veces, la deformacin de la estructura es consecuencia de asientos de los apoyos, juego en los nudos articulados, retraccin del hormign o alguna otra causa. En estos casos, la causa permanece en accin continuamente, por lo que las deformaciones resultantes no desaparecen. Este tipo de deformacin se llama no elstica. En ambos tipos, puede verse que la deformacin de la estructura se puede producir con o sin esfuerzos en la misma.1.1.- Deformaciones planas de elementos lineales.En esttica diferenciamos dos estados: el de cargas, que nos da las relaciones entre las fuerzas exteriores (cargas, temperatura) y las interiores (N, Q y M), y el estado de deformaciones que describe la relacin entre la deformacin de una pieza y la de todo el sistema. La unin entre los dos sistemas, es decir, la relacin entre las deformaciones y las tensiones es suministrada por la Ley de Hooke, que puede expresarse como:

1.2.- Deformaciones debidas a tensiones axiales.Dado que el esfuerzo axial N produce una tensin , la variacin de longitud es:

1.3.- Deformaciones debidas a tensiones de flexin.

Y el ngulo de deformacin: 1.4.- Deformaciones debidas a tensiones cortantes.

Por tanto: En la cual es el factor de correccin que tiene en cuenta la variacin de las tensiones cortantes a lo largo del canto de la seccin, y que depende de la forma de sta:

En secciones rectangularesEn secciones circularesEn secciones doble T

1.5.- Deformaciones debidas a tensiones de torsin.

En la anterior, 1 es el radio de valor unitario.

1.6.- Deformaciones debidas a variacin uniforme de temperatura.

En las cuales es el coeficiente de dilatacin trmica. 1.7.- Deformaciones debidas a variaciones no uniformes de temperatura.

2.- TRABAJO DE DEFORMACIN Y ENERGA POTENCIAL DE DEFORMACIN 2.1.- Trabajo de deformacin por traccin o compresin (solicitacin axil).Un sistema de fuerzas exteriores acta sobre un cuerpo elstico, realizando un cierto trabajo L. Como resultado del trabajo realizado, en el cuerpo se acumula cierta energa potencial U del slido deformado. Al mismo tiempo, parte del trabajo sirve para transmitir ciertas velocidades a la masa del slido, es decir, se transforma en energa cintica E. El balance de energa es el siguiente:L = U + ESi la carga se aplica lentamente, la velocidad de desplazamiento de la masa del cuerpo ser pequea. Este proceso de carga se denomina esttico y el cuerpo en cada momento se encuentra en equilibrio, siendo el balance de energa: L = UEl trabajo de las fuerzas exteriores se transforma totalmente en energa potencial de deformacin. En consecuencia se dice que el slido elstico es un acumulador de energa. Analicemos la situacin de una barra sometida a la accin de un esfuerzo de solicitacin axil N, y supongamos que la fuerza exterior crece desde cero hasta el valor final N, de modo suficientemente lento para no producir acciones dinmicas sensibles, puede calcularse el trabajo que realiza por efecto del desplazamiento del punto de aplicacin de la fuerza, que tambin vara desde cero hasta l.

Si en un instante cualquiera la fuerza ha alcanzado un valor intermedio , siendo un nmero variable entre cero y uno, y si no se supera el lmite de proporcionalidad del material, la variacin de longitud correspondiente ser de magnitud .Al aplicar a la fuerza un incremento infinitesimal , por ser N constante e igual al mximo valor del esfuerzo normal, en consecuencia el punto de aplicacin sufrir un desplazamiento suplementario , teniendo en cuenta que es constante, y el trabajo de deformacin en la barra ser: y que corresponde al rea rayada en el grfico.Luego, el trabajo de deformacin total ser:

2.2.- Trabajo de deformacin por flexin.Por las razones antes expuestas, si se supone la aplicacin gradual del momento flector, resultar:

2.3.- Trabajo de deformacin por corte.

2.4.- Trabajo de deformacin por torsin.

Donde es el factor de conversin que depende de la forma de la seccin.2.5.- Expresin General del Trabajo Interno de Deformacin.En el caso de una pieza solicitada en forma general, el trabajo interno de deformacin se obtiene como suma de los trabajos generados por las distintas solicitaciones existentes. Admitiendo la posibilidad de que estas solicitaciones sean variables, se llega a:

3.- TRABAJO DE DEFORMACIN INTERNO Y EXTERNO.Como ya se ha explicado, las fuerzas exteriores que se aplican a un cuerpo realizan un trabajo que denominamos externo, que se emplea en: a) Deformar el cuerpo;b) Producir energa cintica y/o; c) Vencer la resistencia de rozamiento de los enlaces exteriores. Si las fuerzas se aplican de modo esttico, los enlaces son rgidos; o el rozamiento que en ellos se produce es despreciable, y no existe ninguna causa de disipacin de energa, el trabajo exterior se emplea totalmente en deformar el cuerpo, transformndose en energa potencial de elstica de deformacin, medida tambin por el trabajo interior realizado por las solicitaciones internas durante la deformacin.Luego:

Ecuacin que se emplea al calcular deformaciones y para el estudio de los sistemas hiperestticos. En estas condiciones, el trabajo de deformacin depende slo del estado inicial y final del elemento, y no de los estados intermedios: por ello se dice que el sistema es conservativo. Dado que el material se ha supuesto elstico, este trabajo se almacena y puede recuperarse en el momento en que la estructura recobra su forma primitiva al retirar las cargas.4.- TRABAJO EXTERNO DE DEFORMACIN. TEOREMA DE CLAPEYRON.

Sea un cuerpo elstico de forma cualquiera, sometido a fuerzas exteriores: P1, P2, P3,.... Pn, y sean: 1, 2, 3,..., n los desplazamientos que sufren los puntos de aplicacin de dichas fuerzas, medidos en la misma direccin y sentido. Suponiendo que el sistema de fuerzas exteriores no est influido por la deformacin elstica del cuerpo, por lo que los desplazamientos y las deformaciones resultan funciones lineales homogneas de las fuerzas exteriores, y es vlido el principio de superposicin de efectos. Este estado depende nicamente de las fuerzas finales que actan sobre el cuerpo, y no del orden en que stas han sido aplicadas. Por tratarse de un sistema conservativo, el trabajo interno de deformacin depende slo del estado final del cuerpo. Aplicando las fuerzas de modo que crezcan desde cero hasta los valores finales de modo suficientemente lento, pasando por valores constantemente proporcionales entre s, el desplazamiento del punto de aplicacin de dichas fuerzas crece tambin proporcionalmente a las mismas, y cesa cuando se alcanzan los valores finales. Luego:

Teorema de Clapeyron: El trabajo realizado por las fuerzas que actan estticamente sobre un cuerpo elstico es independiente del orden en el que se aplican las fuerzas, y vale la mitad de la suma de los productos de los valores finales de las fuerzas por los valores finales de los desplazamientos de sus puntos de aplicacin, medidos en las direcciones de las fuerzas.Si actan tambin momentos exteriores Me:

Siendo las rotaciones de los puntos de aplicacin de dichos momentos, medidas en el plano de los mismos. Si el cuerpo elstico en estudio est ligado a otros cuerpos con enlaces no rgidos, es necesario tener en cuenta tambin las reacciones R de los enlaces y los movimientos de stos, medidos en las direcciones de las fuerzas R:

Si los enlaces son rgidos, = 0 y la expresin vuelve a tomar la forma (1). 5.- TRABAJO MUTUO O INDIRECTO.El trabajo de deformacin es funcin cuadrtica y homognea de las fuerzas, as como tambin puede expresarse como funcin cuadrtica homognea de las deformaciones. Por ejemplo, para el caso de solicitacin axil: Como funcin de las fuerzas es: Como funcin de las deformacin, y teniendo en cuenta que las deformaciones se calculan como , resulta Por ello, el principio de superposicin de efectos no es vlido para evaluar el trabajo de deformacin, ya que en dicho principio es consecuencia directa de la dependencia lineal y homognea entre causas y efectos, esto es, cargas y deformaciones. Entonces, en general, el trabajo de deformacin debido a varias fuerzas no resulta igual a la suma de los trabajos que se obtendran aplicando cada una de las fuerzas por separado.

Si sobre un cuerpo, por ejemplo el reticulado que se muestra en la figura anterior, actan dos fuerzas, P1 y P2, en un orden de aplicacin arbitrario, se puede evaluar el trabajo que stas producen. Suponiendo que P1 acta primero, el trabajo sobre el cuerpo ser nicamente L1. Luego, al aplicar P2, sta produce un trabajo L2, de igual magnitud que realizara la misma fuerza aplicada sobre el reticulado descargado. Pero durante la aplicacin de la fuerza P2, la fuerza P1, que ya actuaba, realiza un nuevo trabajo L1-2, pues su punto de aplicacin se desplaza nuevamente debido a la deformacin producida por la fuerza P2. Luego, el trabajo total ser:

L1-2 recibe el nombre de trabajo mutuo o indirecto de las dos fuerzas. El trabajo mutuo o indirecto puede ser positivo, negativo o nulo, razn por la cual el trabajo debido a dos o ms fuerzas puede ser mayor, menor o igual a la suma de los trabajos simples que efectan las mismas. L1-2 resulta nulo slo en el caso en que el desplazamiento del punto de aplicacin de P1 provocado por P2 sea nulo, es decir, que las direcciones de P1 y 1-2 sean normales entre s. Por otro lado, ser negativo cuando el sentido de la fuerza P1 sea contrario al de la deformacin 1-2. En general, toda fuerza aplicada al cuerpo realiza el mismo trabajo que realizara si actuase sola, pero hace adems realizar trabajo al resto de las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo. Por lo tanto, en la expresin del trabajo de deformacin: El factor i corresponde al desplazamiento del punto de aplicacin de la carga Pi debido a todo el sistema de fuerzas, y no slo los que cada una de stas provocan en su punto de aplicacin.6.- TEOREMA DE RECIPROCIDAD DE LAS DEFORMACIONES ELSTICAS O LEY DE BETTI La ley de Betti es aplicable a cualquier tipo de estructuras: vigas, prticos o sistemas reticulados. Se analizar el ejemplo del sistema reticulado de la figura, sometido a dos sistemas de fuerzas A y B:

Si se aplican en primer lugar las fuerzas del sistema A, stas realizan un trabajo . Al aplicar las del sistema B, se produce el trabajo debido a stas y los desplazamientos de sus puntos de aplicacin, en tanto que las fuerzas del sistema A, que ya se encontraba aplicado, realizan un nuevo trabajo denominado trabajo mutuo o indirecto . El trabajo total es:

Al invertir el orden de aplicacin de los dos sistemas de fuerzas, esto es, se aplica primero el sistema B produciendo , y luego el sistema A, originando el trabajo indirecto de las fuerzas B, , el trabajo total vale:

Pero el trabajo total es el mismo en ambos casos, ya que la configuracin final de cargas es idntica; luego, los trabajos mutuos o indirectos deben ser iguales:

Ley de Betti: En una estructura cualquiera, cuyo material es elstico y sigue la ley de Hooke, y en la que los enlaces externos son rgidos o capaces de ceder elsticamente, pero no de modo anelstico, y la temperatura es constante, el trabajo mutuo o indirecto que realiza un sistema de fuerzas A ya aplicado al cuerpo elstico durante la aplicacin de un sistema de fuerzas B es igual al trabajo mutuo o indirecto que realizara el sistema B si ya estuviese aplicado al mismo cuerpo elstico durante la aplicacin del sistema A.7.- LEY DE MAXWELL.La Ley de Maxwell es un caso particular de la Ley de Betti. Ley de Maxwell: En un cuerpo elstico cualquiera, con vnculos que no pueden ceder anelsticamente y siendo P1II = P2I, el desplazamiento de un punto 1 en la direccin ab, debido a la carga P2I aplicada en el punto 2 que acta en una direccin cd, es numricamente igual a la deformacin en el punto 2 en la direccin cd, debida a una carga P1II en el punto 1, que acta en la direccin ab.

Por la Ley de Betti: L1-2 = L2-1 P1II . abI = P2I . cdII, pero P1 = P2 ab = cd.Como ejemplo de aplicacin inmediata de la Ley de Maxwell, para una carga de valor unitario P = P1 = P2 = 1 t, se propone:

En la designacin de los desplazamientos, el primer subndice expresa el punto en el que se mide la deformacin y el segundo el punto en que se aplica la fuerza que la produce. REFERENCIA BIBLIOGRFICA.http://www.frsf.utn.edu.ar/matero/visitante/bajar_apunte.php?id_catedra=157&id_apunte=694