Tema: Optimización

Lida Buitrago García

25 de mayo de 2013

Se enumeran a continuación algunos pasos que son útiles al abordar un problema de esta naturaleza.

1. Hacer hasta donde sea posible un dibujo indicando las variables que intervienen en el problema.

2. Determinar la función a maximizar o minimizar asi como el intervalo en el cual está de�nida.

3. Utilizar la información del problema para expresar la función obtenida en el paso 2., en términosde una sola variable, en este caso se recurre a la información auxiliar que da el problema.

4. Derivar la función a optimizar respecto a su variable independiente.

5. Igualar a cero la derivada de la función, y resolver la ecuación para la variable independiente (seobtienen los puntos críticos)

6. Hallar la segunda derivada y reemplazar los puntos críticos, con el �n de utilizar el criterio de lasegunda derivada para máximos y mínimos

7. Dar respuesta al problema.

ATENCI �ON : Es importante tener presente que las respuestas obtenidas debendar respuesta al problema; es decir no todos los puntos que satisfacen la funci�ona optimizar satisfacen el problema:

EJEMPLOUn alambre de 100 cm de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con

la otra un cuadrado. ¿Cómo debe ser cortado el alambre para que:

La suma de las áreas de las dos �guras sea máxima?

La suma de las áreas de las dos �guras sea mínima?

Solución:

1. Supóngase que el alambre se parte a una distancia x de uno de sus extremos. Si x es la longitud dela circunferencia, entonces 100� x es el perímetro del cuadrado

1

2. La función a optimizar es el área del cuadrado mas el área del círculo.

El radio de la circunferencia esx

2�y el lado del cuadrado es

100� x4

. Ahora sea A (x) la función

que representa la suma de ambas áreas, entonces se tiene A (x) = �� x2�

�2+

�100� x4

�2para

0 � x � 100, ya que se cuenta con 100 cm de alambre.

3. Para este problema este paso no es necesario ya que la asignación de variables en el grá�co nospermite de�nir a A (x) en términos de una sola variable.

4. Por ser A (x) una función continua en el intervalo [0; 100], existe un valor máximo y un valor mínimode A (x) en dicho intervalo, por tanto se garantiza que el problema tendrá respuesta.

Derivando la expresión se tiene

dA

dx=

d

�� x2�

�2+

�100� x4

�2!dx

=1

8�(4x� 100� + �x)

5. Al igualar a cero se obtiene que, 18� (4x� 100� + �x) = 0, de donde x =

100�

4 + �es un punto crítico.

6. Al determinar la segunda derivada A00 (x) =d�18� (4x� 100� + �x)

�dx

=1

8�(� + 4) la cual por

ser constante y positiva, determina que en x =100�

4 + �hay un mínimo.

7. Como hay que dar respuesta al problema, se deben encontrar los valores máximos y minimos parael problema, por lo tanto se determinan los valores de A (x) para:

a) El punto crítico x =100�

4 + �; A

�100�

4 + �

�= �

0B@100�

4 + �2�

1CA2

+

0B@100�100�

4 + �4

1CA2

= 2500�+4 = 350;061

b) Y los extremos del intervalo A (0) y A (100) ; A (0) = �

�0

2�

�2+

�100� 04

�2= 625 y

A (100) = �

�100

2�

�2+

�100� 100

4

�2=2500

�= 795;77 lo cual indica que el valor mínimo se

tiene para el punto crítico y el valor máximo para 100 cm, es decir se obtiene un área máximacuando se forma solamente una circunferencia.

Ejercicios

1. Completar los siguientes enunciados de tal manera que al a�rmación sea correcta

a) Para determinar los valores extremos de una función es necesario determinar primero ___________.

b) El criterio de segunda derivada dice que ___________________

c) Al determinar la función a optimizar en un problema, es necesario hallar _________ paraluego determinar los puntos críticos.

2

d) Si en un problema de optimización se pide hallar valores máximos y mínimos y al utilizar loscriterios de primera y segunda derivada solo se obtiene uno de ellos, entonces el valor faltantese debe encontrar en __________________.Resolver los siguientes problemas

2. Determinar dos números no negativos cuya suma sea 1 y la suma de sus cuadrados sea mínima.

3. Si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 1. Hallar el máximo valorque puede tomar 2a+b.

4. Se va a fabricar una lata cilíndrica sin tapa para contener 100cm3 de líquido. Encontrar las dimen-siones que minimizan el material requerido en la construcción.

5. Una página rectangular ha de contener 96 cm2 de texto. Los márgenes superior e inferior tienen3cm de anchura y los laterales 2cm. Qué dimensiones de la página minimizan la cantidad de papelrequerida?

6. Dos fábricas están situadas a un mismo lado de una carretera, la una a 4 Kms. Y la otra a 6 Kms.de distancia. Los puntos de la carretera más próximos a las fábricas están separados 5 Kms. Sedesea instalar una central eléctrica que suministre energía a ambas fábricas. En que punto del bordede la carretera debe instalarse para que la distancia total a las fábricas sea mínima.

7. Una caja descubierta por la parte superior y de base cuadrada debe construirse con 192 pie2 dematerial, ¿Cuales deben ser las dimensiones de la caja para que el volumen sea máximo?.

8. Se va a construir una caja abierta recortando cuadrados iguales en cada una de las esquinas de unahoja de cartón de 12 pulg2 para después doblar hacia arriba los lados. Calcule la longitud del ladodel cuadrado que se debe recortar para que se maximice el volumen. ¿Cuál es el volumen?

Figura ejercicio 9

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9. Una ventana tiene de un rectángulo con un semicírculo en la parte superior ( el diámetro delsemicírculo mide lo mismo que la base del rectángulo). Si el perímetro de la ventana es igual a 30cm. Calcule las dimensiones de la ventana para que por ella entre la mayor cantidad posible de luz(mayor área posible)

Una tienda de campaña va a tener una forma cónica. Calcular la razón entre la medida del radio yla altura para que una tienda de determinado volumen requiera la menor cantidad de material.

10. Un trozo de alambre de 20 cm de longitud se va a cortar en dos segmentos, cada uno de los cualesserá doblado para formar un cuadrado. ¿Cómo deberá cortarse el alambre de manera que el áreatotal de los dos cuadrados sea la más pequeña posible?

11. Una empresa fabrica y vende escritorios y trabaja en competición perfecta (los precios de losartículos son constantes) y puede vender a un precio de $200 el escritorio todos los escritorios queproduce. Si x escritorios se producen y se venden cada semana y C (x) dolares es el costo totalde producción semanal, entonces C (x) = x2 + 40x+ 3000: Determinar cuántos escritorios deberánfabricarse por semana para que la empresa obtenga la mayor utilidad total por semana. ¿Cuál esdicha utilidad máxima por semana?

12. Se va a edi�car una construcción de un solo piso que tenga una super�cie rectangular de 13200pies2; se necesitará un área de descarga de 22 pies de ancho en las partes frontal y trasera y ademásse necesitará un área de descarga de 15 pies de ancho a los lados. Calcular las dimensiones del loteque tenga la menor área en la cual se pueda levantar dicha construcción.

13. Se ha determinado que si los salarios se excluyen, el número de dolares en el costo por kilómetropor el manejo de un camión es de 8 + 1

300x; donde x km/h es la velocidad del camión. Si el salariocombinado del conductor y de su ayudante es de $27 por hora, ¿Cuál debe ser la velocidad promediodel camión para que el costo por kilómetro sea mínimo?

14. La sección transversal de una pileta tiene forma de un triángulo isósceles invertido. Si las longitudesde los lados iguales es de 38 cm, hallar el tamaño del ángulo que dará a la pileta su máximacapacidad.

15. Un campo rectangular que tiene un área de 2700 m2 será cercado con una barda y se empleará unabarda central para dividirlo por la mitad. Si el costo de la barda central es de $6 por metro y el dela barda de los lados es de $9 el metro, calcular las dimensiones del campo que hagan que el costode la barda sea mínimo.

16. Un fabricante de cajas va a fabricar una caja cerrada con un volumen especí�co V , cuya baseserá un rectángulo con una longitud tres veces mayor que su anchura. Determinar cuales son lasdimensiones más económicas.

17. ¿Cuál es el área máxima del rectángulo inscrito en una semicircunferencia de radio r?

18. Determinar las dimensiones del rectángulo que tenga área máxima y que se pueda inscribir en untriángulo equilátero con lado de longitud L. Sí un lado del rectángulo esta en la base del triángulo.

19. Un rectángulo con 36 cm de perímetro gira sobre uno de sus lados generando un cilindro. Encontrarel volumen máximo del sólido generado.

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