COLEGIO DE BACHILLERES DE ESTADO DE DURANGO

“LA FORESTAL”

Máximos y Mínimos Relativos

Diana Ramírez Gamboa

507MCalculo

Introducción

En este presente trabajo se representa de manera que yo entendí el concepto de máximos y mínimos relativos en una función y variados problemas de la vida cotidiana que me pareció importante poner y practicar con ayuda de varios maestros, y por supuesto con el apoyo de fuentes de consulta, tales como lo son el internet y los libro en biblioteca y el que nos han proporcionado.

Me pareció importante definir desde un principio lo que son los máximos y mínimos y es por donde se empezara a desarrollas el trabajo.

Objetivos

El objetivo primordial y el que mas me concierne de este trabajo es el de entender lo que son los máximos y mínimos de una función así con esto también poder realizar deferentes trabajos y saber detectarlos de forma en que no se me dificulte la resolución de estos problemas.

Principalmente en este trabajo quiero expresar como lo entendí, además de que ponerme como objetivo aprender mas y recopilar todos los conocimientos que tengo desde un principio para así comparar y tal vez me resulte así mas fácil.

Máximos y Mínimos

Los máximos y mínimos de una función son generalmente los puntos más grandes y más bajos que hay en un conjunto de determinados valores de algún problema o función.

Así pues los valores máximos y mínimos se representan la mayoría de las veces para la mayor comprensión en graficas en donde se ven los diversos valores a lo largo del dominio y contradominio.

Con esto se puede decir que la obtención de Máximos y mínimos es una de las más útiles aplicaciones de las derivadas

También con estas divisiones de los valores, se encuentra variantes de división como lo son las valores relativos, que son en donde una función infinita va decreciendo y ascendiendo, entonces se toma un valor determinado para representar el valor máximo y mínimo, y así estos tomas los nombres de máximo y mínimo relativo.

Con lo anterior una función puede tener varios máximos y mínimos por como esta conformado la grafica o como están dado los diversos valores.

A continuación se da un ejemplo de la diversidad de máximos y mínimos de las funciones:

Como se puede observar las fluctuaciones de la grafica provoca que se tenga varios puntos importantes en ella.

Los máximos y mínimos de una función pueden ser relativos o absolutos, los absolutos son puntos en donde la variable dependiente tiene el mayor o menor valor respectivamente, en la funciones continuas estos valores son infinitos.

Máximos y Mínimos Relativos

En donde nos vamos a centrar en este trabajo es en los relativos, un máximo es relativo si en este punto la función pasa de ser creciente a decreciente, y un punto de una función es un mínimo relativo si en ese punto la función pasa de ser decreciente a creciente.

Me centre en el máximo y mínimo relativo ya que su estudio es de gran importancia ya que tiene diferentes aplicaciones, no solo de manera teórica sino también práctica en diversos problemas cotidianos como por ejemplo en la utilidad de las empresas, o en la realización de empaques o demás usos prácticos.

Es por eso que su aplicación es usada en varias ciencias y disciplinas, mayormente en el ámbito económico y de construcción.

Para resumir, observando la imagen de arriba, se ve que los máximos y mínimos son cuando la grafica cambia su continuidad en un punto, en donde de crecimiento cambia a decrecimiento o al revés.

Para evaluar la derivada si estos realizan en cero significa que el punto evaluado es de cambio.

Para realizar la determinación de los máximos y mínimos se utilizan las derivadas.

Método para hallar máximos y mínimos

1. Obtener la primera derivada de la función f´(x)2. Igualar a cero la primera derivada y resolver la ecuación

resultante; las raíces de la ecuación son los valores críticos3. Para cada valor critico, sustituir primero un valor un poco

menor y después un valor un poco mayor que el valor critico que se analiza en la primera derivada de la función. Si el signo de la primera derivada es positivo y después negativo, se tiene un máximo para ese valor critico; si el signo es primero negativo y después positivo, se tiene un mínimo para ese valor critico. Si la primera derivada no cambia de signo, en ese valor crítico no hay ni máximo ni mínimo.

Ejemplo:

Se al función f(x)= 5 – x2, encontrar los máximos de la función y sus puntos de inflexión.

Se calcula la derivada de la función:

f(x)= 5 – x2

De acurdo a la formula: d ( cxn ) = cn xn-1

f´(x)= 2x

A continuación, se evalúa la derivada en 0:

f´(0)= 2(0) = 0

El punto p(0,5) tiene como derivada cero, por lo que en ese punto la función no es creciente ni decreciente, sino que es un punto d inflexión:

Problemas

Se tiene una lámina circular que tiene de radio 70 cm. De la que se desea cortar un rectángulo de la mayor área posible.

o ¿Qué medidas debe tener el rectángulo?

o ¿Cuál debe ser el área máxima?

Algunas formas de recortar rectángulos en el círculo

Si representamos la longitud del rectángulo con L. La anchura con A. Siendo el diámetro D = 2 r = 140 cm. Puesto que el diámetro del círculo es la recta transversal del rectángulo, que lo divide en dos triángulos rectángulos:

Por el teorema de Pitágoras: L2 + A2 = D2 (140 cm.)2

L 2 + A2 = 19600

A = 19600 - L2

70 cm

¿?

¿?

El área del rectángulo será Y = L A = L 19600 - L2 obteniendo el máximo de la función:

Y = L 19600 - L2

L2

Y = 19600 - L2 - 19600 - L2 se iguala la derivada a cero

L2

19600 - L2 - 19600 - L2 = 0 despejando L en la derivada

L = 9800 Al sustituir en la función:

Y = L 19600 - L 2 = 9800 19600 - 9800 = 9800

Para encontrar la anchura del cuadrado

A = 19600 - L = 19600 - 9800 = 9800

El rectángulo solución, resulto el cuadrado que mide por lado 9800 cm x 9800 cm.

Correspondiéndole un área de 9, 604,000 cm2

9800 cm

99cm

Conclusión

A lo largo de este trabajo se puede denotar las definiciones y ejemplos con ejercicios además de que con imágenes me apoye para entender mejor, en el primer ejemplo se ve como desde la función se da la derivada de esta, y se evalúa en un punto determinado que se temo como 0 por la comodidad de este numero además de que yo siento que de alguna forma entendí lo que lo máximos y mínimos en forma teórica y también practica con los problemas realizados. Con esto le halle una utilidad cotidiana de las derivadas a las cuales solo las veía como problemas que no se presentaban diariamente, pero con los problemas de un aspecto mas real entendí y además de que las resoluciones de estos problemas son sencillas si se conoce un poco de matemáticas y de derivadas.

Bibliografía

http://html.rincondelvago.com/maximos-y-minimos.html

http://www.google.com.mx/imgres?um=1&hl=es&sa=N&biw=1024&bih=677&tbm=isch&tbnid=VTe5HSMzZkioUM:&imgrefurl=http://www.xenciclopedia.com/post/Calculo/Maximos-y-minimos-relativos.html&docid=F_X6-nV4cJjp7M&imgurl=http://www.xenciclopedia.com/upload/10-07/maximo-minimo-relativo1211.gif&w=300&h=246&ei=625wUI3VCdCFyQGcjoEI&zoom=1&iact=hc&vpx=743&vpy=154&dur=1693&hovh=196&hovw=240&tx=170&ty=91&sig=118270964032630725503&page=1&tbnh=146&tbnw=178&start=0&ndsp=13&ved=1t:429,r:3,s:0,i:77

http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm

http://www.uaem.mx/posgrado/mcruz/maximominimo.PDF

Libro de COBAED Sección de Calculo, Máximos y Mínimos