UNIVERSIDAD DEEL SALVADORFACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICASDEPARTAMENTO DE MATEMTICA Y ESTADISTCAMATEMATICAIIICICLO II 2012MATERIAL DE APOYO CONTROL DE LECTURA No. 1MXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLEEnlasempresas haysituaciones enlascuales lasactividades deproducciny/o mercado, entre otras, se encuentran con ciertas condiciones que las limitan y circunscriben a determinados montos y alcances o proyecciones. De ah que los montos de produccin y venta que minimizan costos y/o maximizan utilidades se ven afectados por dichas condiciones, por lo cual se hace necesario considerar los Mximos y Mnimos sin Condiciones y los Mximos y Mnimos con Condiciones.Mximos y Mnimos sin Condiciones Notacin: Expresin SignificadoPfla funcin evaluada en el punto P0qfPdd la derivada total de f con respecto a q, evaluada en po (en estecaso f es una funcin de una sola variable)0ufPla derivadaparcialde f con respecto a u, evaluada en po(en este caso fes una funcin de varias variables)EsconocidoqueunafuncintieneunmximorelativoenunpuntoPsi lafuncin evaluada en dicho punto es mayor o igual a la funcin evaluada en cualquier punto en las proximidades del punto P. De manera similar, una funcin tiene un mnimo relativo en un punto P si la funcin evaluada en dicho punto es menor o igual a la funcin evaluada en cualquier punto en las proximidades del punto P.1Definicin: Sedicequeunafuncindevariasvariablesf(r, s, t, , z) tieneunvalor mximo relativo en un punto P0(r0, s0, t0, , z0) sif(r0, s0, t0, , z0) f(r, s, t, , z)para todos los puntos P(r, s, t, , z) prximos al punto P0(r0, s0, t0, , z0).una funcin f de varias variables tiene un valor mximo relativo en un punto P0 si dicha funcin f evaluada en P0 es mayor o igual que fevaluada en cualquier punto prximo a P0Si f(r0, s0, t0, , z0) f(r, s, t, , z) para todos los puntos P(r, s, t, , z) prximos al punto P0(r0, s0, t0, , z0), entonces la funcin tiene un mnimo relativo en el punto P0.si f evaluada en P0 es menor o igual que fevaluada en cualquier punto prximo a P0la funcin f de varias variables tiene un valor mnimorelativo en P0PUNTO CRITICO: A todo punto P0para el cual se cumple que 0 , .......... , 0 , 0 , 0 0 0 0 0PzfPtfPsfPrf, seleconocecomounpuntocrtico de la funcin f . En un punto crtico P0,puede que la funcin f tenga un mximo o un mnimo.DETERMINANTE HESSIANO: De una funcin de dos variables, u = f(x1, x2), se pueden obtener un mximo de dos al cuadrado derivadas parciales de segundo orden, o sea cuatro: 2 2 1 2 2 1 1 1 , , ,x x x x x x x xf f f f.Si estas derivadas parciales se ubican en un arreglo cuadrado fila-columna se obtiene el determinante de orden dos: 2 2 1 22 1 1 12

x x x xx x x xf ff f

A este arreglo conformado por todas las posibles derivadas parciales de segundo orden de f se le conoce como el determinante Hessiano de la funcin f de dos variablesSi la funcin es de tres variables, u = f( x1, x2, x3 ), se pueden obtener un mximo de tres al cuadrado derivadas parciales de segundo orden, o sea nueve: 23 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 , , , , , , , ,x x x x x x x x x x x x x x x x x xf f f f f f f f f. Si estas derivadas parciales se ubican en un arreglo cuadrado fila-columna se obtiene el determinante de orden tres:3 3 2 3 1 33 2 2 2 1 23 1 2 1 1 13x x x x x xx x x x x xx x x x x xf f ff f ff f f A este arreglo conformado por todas las posibles derivadas parciales de segundo orden de f se le conoce como el determinante Hessiano de la funcin f de tres variablesEn general, el Hessiano de una funcin de n variables, u = f(x1, x2, x3, . , xn), es el determinantedeordennconformadopor todaslasnal cuadrado posiblesderivadas parciales de segundo orden:n n n nnnnx x x x x xx x x x x xx x x x x xf f ff f ff f f.... ....:::::::::::::::.... ........ ....2 12 2 2 1 21 2 1 1 1 Ejemplos: Encontrar el Hessiano para c/u de las funciones dadas1) u = x ln(yz) xy22) f(x, y) = x ln(y) + x2 y3) f(x, y, z) = y exz xyz2Solucin: 1) u = x ln(yz) xy2Se trata de una funcin de tres variables, por tanto elHessiano de la funcin u es el determinante de orden tres formado por todas las segundas derivadas parciales de u:zz zy zxyz yy yxxz xy xxu u uu u uu u u 3 3Ahora solo resta encontrar las derivadas parciales de segundo orden y sustituirlas para obtener el Hessiano. En este ejemploseencuentran solamente uxyy uyy, las dems las encuentra el estudiante:1]1

xu y xyu

Hay que derivar u con respecto a x para despus derivar este resultado con respecto a y:1]1

2y x- ln(yz)x xu x[ ] [ ]2 2yy - ln(yz)xu x x - ln(yz)x xu x[ ]yyxyu yzy yz y yz uuxyxy212yz y ) ln(y ) ln(y : que tiene anteriorse resultado el do sustituyen ,xu y 2 2 1]1

1]1

1]1

11]1

yu y yyu Hay que derivar u con respecto a y para despus derivar este resultado nuevamente con respecto a y:[ ]1]1

1]1

22yy ln(yz)y

y x- ln(yz)y yu x xx4xyxxzx 2y yu 2yyz . . 11]1

11]1

xyyxuuyyyy2y : que tiene se anteriorresultado el do sustituyen ,yu y [ ]xyxyyu x xyyx uyy222 )y1( y x21y 2- 11]1

Corresponde al estudiante verificar que las dems derivadas parciales son precisamente las que se muestran en el Hessiano:zz zy zxyz yy yxxz xy xxu u uu u uu u u 3 220 102211210 zxzxyxyyzyy Nota: Las soluciones de los ejercicios 2) f(x, y) = x ln(y) + x2 y 3) f(x, y, z) = y exz xyz2 se dejan al estudiante.5MENORES PRINCIPALES DE UN DETERMINANTE DE ORDEN NUn determinante de orden n es de la forma:3 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 11: : : :: : : :- - -- - - - - -n n n n nnnna a a aa a a aa a a aa a a an Los menores principales de n se encuentran de la siguiente manera: El primer menor principal 1 es el determinante de orden 1 conformado por el primer elemento de la diagonal principal: 1 = a11 El segundo menor principal 2 es el determinante de orden 2 cuya diagonal principal son los elementos a11 y a22: 22 2112 112a aa a El tercer menor principal3es el determinante de orden 3 cuya diagonal principal son los elementos a11, a22 y a3 3:33 32 3123 22 2113 12 113a a aa a aa a a As sucesivamente hasta llegar al ltimo menor principalncuya diagonal son los elementos a11, a22, a3 3, a44, ., ann. O sea que el ltimo menor principal es el mismo determinante n.6CRITERIO PARA MXIMOS Y MNIMOS PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLESEste no es ms que un caso particular del criterio para funciones de varias variablesSi z= f(x,y)es una funcin de dosvariablesy P0(x0, y0) es unpuntocrticode f, entonces puede ocurrir que: a) 001< P y , 002> P en cuyo caso hay un mximo relativo z0 = 0PfZz0 (x0, y0, z0) z = f(x, y)

Y y0 x0P0(x0, y0) X En el punto (x0, y0, z0) hay un mximo relativo cuyo valor es z0 = f(x0, y0)b) 001> P y , 002> P en cuyo caso hay un mnimo relativo z0 = 0PfZ

z = f(x, y) En el punto (x0, y0, z0) hay un mnimoz0relativo cuyo valor es z0 = f(x0, y0) (x0, y0, z0) Y y0 Xx0P0(x0, y0)7c) , 002< P en cuyo caso para P0 hay un punto de silla(x0, y0, z0) Y

z = f(x, y) z0

(x0, y0, z0)El punto (x0, y0, z0) es un punto de silla: ah no hay un mximo relativo ni un mnimo y0 Y x0P0(x0, y0)

Xd) , 002 P en cuyo caso se dice que el criterio falla: no se puede concluir con respecto al punto crtico P0(x0, y0, z0)Ejemplo: Encontrar los mximos y mnimos relativos def(x, y) = x3 3xy + y2 + y 5Solucin: Paso 1: Se aplica la condicin necesaria.Se encuentran las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para as encontrar los puntos crticos, o sea aquellos puntos para los cuales puede que haya un mximo o un mnimo relativo (o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables).f(x, y) = x3 3xy + y2 + y 51]1

+ +5 y 3xy - xx

xy) f(x,2 3yfx 1]1

+ +5 y 3xy - xy

yy) f(x,2 3yfyy 3 -2x 3 xf 1 2y x -3 + + yf8Igualando a cero las derivadas parciales:fx = 0 fy = 03x2 3y = 0 (1) -3x + 2y + 1 = 0 (2),seobtieneel sistemadedosecuacionescondosincgnitas, el cual seresuelvepor cualesquiera de los mtodos ya conocidos.Por ejemplo, por igualacin: 3x2 3y = 0 (1) -3x + 2y + 1 = 0 (2)y = x2

21 3 xy y = yx2 = 21 3 x 2x2 3x + 1 = 0, de donde x = 1 x = 1/2Sustituyendo en cualesquiera de las ecuaciones (1) (2) se obtiene y = 1 y =1/4Se tienen entonces dos puntos crticos: P1(1, 1)yP2(1/2, 1/4)Paso 2: Se aplica la condicin suficiente.Se encuentran los menores principales delHessiano de la funcin f y se evalan en cada punto crtico. El signo de los valores numricos resultantes indica si hay un mximo o un mnimo relativos (o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables).f(x, y) = x3 3xy + y2 + y 5El Hessiano de f es: yy yxxy xxf ff f 2Los menores principales de2sonyy yxxy xxxxf ff ff 2 1y,Hayqueencontrar lasderivadasparcialesdesegundoordenparasustituirlasenlos menores principales:Las derivadasy xf fyya se conocen del paso 1:y 3 - x 32xf 1 2y x -3 + + yf9xxxfy x fy x fffxxxxx6323x 3 3 tituye- sus se ,x x 2 1]1

1]1

3323y 3 3 tituyesus se ,x y 2 1]1

1]1

xyfy x fy x fffxyxxy[ ]31 2 3x 1 2 3 tituye- sus se ,y x + + + + 11]1

yxfy x fy x fffyxyyx

[ ]21 2 3y 1 2 3 tituye- sus se ,y y + + + + 11]1

yyfy x fy x fffyyyyyLos menores principales son entonces:9 12 ) 3 )( 3 ( ) 2 )( 6 (

2 22 12 33 6 6x x xyy yxxy xxxxxf ff ffAlevaluar1y 2en cada punto crtico elsigno de los valores numricos resultantes indicasi hay un mximo o un mnimo relativo: a) Para P1(1, 1) 9 ) 1 ( 121) , 1 ( 9 121) , 1 ( ) 1 ( 6611212 1 PPx x1000 31) , 1 (

11112121y 0: que observa se mnimos ymximos para criterio el Aplicando1) , 1 ( 0 6PPPP De lo anterior se concluye que en el punto P1(1, 1) la funcin tiene un mnimo.Dicho mnimo relativo es igual a la funcin f evaluada en el punto crtico P1(1, 1):f(x, y) = x3 3xy + y2 + y 5f(1, 1) = (1)3 3(1) (1) + (1)2+ (1) 5 f(1, 1) = -6 es el mnimo relativo de la funcin.b) Para P2(1/2, 1/4)0 3921129 12222221212 10 3 2166 ,_

,_

PPPPx xAplicando el criterio para mximos y mnimos se tiene que:022P, de donde se concluye que para P2(1/2, 1/4) no hay mximo ni mnimo relativo: hay un punto de silla.Ejemplo: Encontrar los mximos y mnimos relativos de f(x, y, z) = x2 + y2 + 7z2 xySolucin: Paso 1: Se aplica la condicin necesaria.11Se encuentran las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para as encontrar los puntos crticos (aquellos puntos para los cuales puede haberun mximo o un mnimo relativos; o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables).f(x, y, z) = x2 + y2 + 7z2 xy1]1

+ +xy zfx2 2 27 y xx

xz) y, f(x,

1]1

+ +xy zfy2 2 27 y xy

yy) y, f(x,y - x 2 xf x - 2y yf14z7 y xz zy) y, f(x,2 2 2 + + 1]1

zfxy z f fz zIgualando a cero las derivadas parciales se obtiene el sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas:fx = 0fy = 0 fz = 02x y = 0 (1)2y - x = 0 (2) 14z = 0 (3)Este sistema se puede resolver por cualesquiera de los mtodos ya conocidos, resultando que:x = 0,y = 0 z = 0, Se tiene entonces un punto crtico: P1(0, 0, 0)Paso 2: Se aplica la condicin suficiente.Se encuentran los menores principales del Hessiano de la funcin fy se evalan en el punto crtico. El signo de los valores numricos resultantes indica si hay un mximo o un mnimo relativos (o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables).f(x, y, z) = x2 + y2 + 7z2 xyEl Hessiano de f es:12zz zy zxyz yy yxxz xy xxf f ff f ff f f 3Los menores principales de3son:

yy yxxy xxxxf ff ff 2 1 ,yzz zy zxyz yy yxxz xy xxf f ff f ff f f 3Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden:Las derivadas z, f y xf f ya se conocen del paso 1: fx = 2x y,fy = 2y x,fz = 14z

[ ] 2 2x x x 1]1

xxf y xffxx

[ ] 1 2y x y 1]1

xyf y xffxyEl estudiante puede verificar que las restantes derivadas de segundo orden son: fxz = 0,fyx = -1,fyy = 2,fyz = 0,fzx = 0,fzy = 0,fzz = 14 Los menores principales son entonces:3 ) 1 )( 1 ( ) 2 )( 2 (22 2 21 12 11 2

yy yxxy xxxxf ff ff

14 0 00 2 10 1 2

3 3 zzfzyfzxfyzfyyfyxfxzfxyfxxf1342) 1 )( 1 )( 14 ( ) 2 )( 0 )( 0 ( ) 0 )( 2 )( 0 ( ) 0 )( 1 )( 0 ( ) 0 )( 0 )( 1 ( ) 14 )( 2 )( 2 (0 02 11 214 0 00 2 10 1 2

33: Re + + Sarrus por solviendoAl evaluar1,2y 3en elpunto crtico elsigno de los valores numricos resultantes indica si hay un mximo o un mnimo relativo: Para P1(0, 0, 0):0 , 0 0 42 0 3 0) 0, , 0 (

423 1 111 112 213 213 2 1 , 0: que que observa se mnimos ymximos para criterio el Aplicando0) 0, , 0 ( 0) 0, , 0 (0 22 P PPP PP De lo anterior se concluye que en el punto P1(0, 0, 0) la funcin tiene un mnimo.Dicho mnimo relativo es igual a la funcin f evaluada en el punto crtico P1(0, 0, 0):f(x, y, z) = x2 + y2 + 7z2 xyf(0, 0, 0) = (0)2 + (0)2 + 7(0)2 (0)(0) f(0, 0, 0) = 0 es un mnimo relativo de la funcin.El siguiente ejercicio lo resuelve el estudiante siguiendo las indicaciones que se plantean parasudesarrollo, lascualessonmuysimilaresalasutilizadaspararesolver losdos ejemplos anteriores. Ejercicio: Encontrar los extremos relativos, si existen, de la funcin dada f(x, y) = 2x4 + y2 x2 2ySolucin: 14Paso 1:Tienes que encontrar los puntos crticos. Cmo?. Encuentra las primeras derivadas parciales con respecto a x e y, las igualas a cero y resuelves el sistema de ecuaciones resultante. f(x, y) = 2x4 + y2 x2 2ya) Las derivadas encontradas debern ser: fx = 8x3 2x,fy = 2y - 2b) Despus deigualar ambasderivadasaceroyresolver el sistemadeecuaciones resultante, los puntos crticos que debers encontrar son: P1(-1/2, 1), P2(0, 1),P3(1/2, 1)Paso2:Tienesqueencontrar el Hessianodelafuncinf ylosmenoresprincipales. Evalas dichos menores en cada punto crtico y el signo de estos resultados te dir si hay mximos o mnimos relativos.f(x, y) = 2x4 + y2 x2 2ya) Tienes que encontrar todas las derivadas parciales de segundo orden y as los menores principales debern resultar: 1 = 24x2 22 = 48x2 4Al evaluar 1 y 2 en cada punto crtico deber resultarte que: ParaP1(-1/2, 1),1> 0y2 > 0 en P1(-1/2, 1) hay un mnimo relativo. Te corresponde encontrar dicho mnimo. ParaP2(0, 1),qu sucede? ParaP3(1/2, 1),qu sucede?Debes recordar que todos los ejercicios de este tipo se resuelven de manera similar.MXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS Las empresas enfrentan constantemente problemas de maximizacin o minimizacin, en dondeel dominiodelafuncinseencuentralimitadopor ciertasrestriccionesenlas variablesqueintervienen. Estetipodeproblemasrecibeel nombredemximosy mnimos condicionados y las condiciones o restricciones en las variables son llamadas comnmente condiciones laterales.Ejemplos de este tipo de problema podran ser:15 El gerente de una fbrica que elabora dos productos finales para los cuales utiliza alguna materia prima en comn y tiene limitaciones para obtenerla. Es posible que paraminimizar loscostostengaquedistribuir adecuadamentelamateriaprima disponible para producir una cantidad mnima determinada de cada producto. Una compaa desea maximizar sus ventas como resultado de la utilizacin de dos medios publicitarios diferentes, manteniendo los costos totales de promocin dentro de lmites especficos.Elprocedimiento para resolver problemas de mximos y mnimos condicionados sufre algunas modificaciones, en referencia a problemas de mximos y mnimos libres.La siguiente figura muestra que el mximo condicionado es muy diferente al mximo libre: mL : mximo libre ZmC : mximo condicionado f(x, y, z) El dominio de f(x, y, z) son los puntos del crculo de radio r. Si no hay restricciones el mximo esmL : mximo libre. La grfica de g(x, y) = 0 son los puntos de la recta dentro del crculo; si se restringe el dominio a nicamente estos puntos,entoncesel mximoqueseobtieneesmC: mximo condicionado. Y r

condicin g(x, y) = 0: si el dominio se condiciona soloX a los puntos de esta recta, la mayor imagen es mC Algunosdelosproblemasdemximosymnimoscondicionadospuedenresolverse tratando de reducirlos a problemas de mximos y mnimos libres, lo cual no siempre es posible. Generalmente se utiliza un procedimiento conocido como mtodo de los multiplicadores de Lagrange, el cual se describe a continuacin:Si en un problema de optimizacin f(r, s, t, .., z) es la funcin a optimizar (la funcin que se va a maximizar o minimizar) y sig(r, s, t, , z) = 0 es la condicin lateral que restringe su dominio, entonces para resolver el problema se procede como sigue:16I. Se construye la funcin objetivo F, la cual est constituida por la suma de la funcin a optimizar conel productodelafuncinrestriccinpor lavariable. Alanueva variable se le conoce como multiplicador de Lagrange. F(, r, s, t, , z) = f(r, s, t, , z) + g(r, s, t, , z) II. Se define el determinante de orden n+1, conocido como Hessiano orlado, conformadopor las derivadas parciales de segundo orden de la funcin objetivo:z... ...s r: ... ... : : :: ... ... : : :z... ...s r ssz... ...s rz... ... 1zFzFzFzFsFsF F FrFrFrFrFFsFsF Fn +III. Si P0(0, r0, s0, t0, , z0) es un punto crtico de la funcin objetivo F, entonces en base a los menores principales3, 5, 4, .., n+1 se establece que:a) Si, 003P , 004P , 005P , 006P.., entonces la funcin originalf tiene un mximo relativo en P0y dicho mximo es igual a0Pfb)Si, 003P , 004P , 005P , 006P..,entonces la funcin origina f tiene un mnimo relativo en P0y dicho mnimo es igual a0Pfc) En cualquier otra situacin el criterio falla.Nota: Es importante observar que para mximos y mnimos condicionados no se toman en cuenta los menores principales 2 1y Ejemplos:Unaempresacalculaquelafuncindeutilidadpor laproduccinyventa mensuales de dos artculos diferentes x e y est dada por la ecuacin: U(x, y) = 12x + 20y x2 2y2, en miles de dlares.a) Si ladisponibilidaddemateriaprimaesprcticamenteilimitada, calcular el nivel mensual de produccin y venta que maximiza la utilidad.17b) Si la disponibilidad de materia prima es de 99 unidades por mes y si para producir cada artculo x se utilizan 4 unidades mientras que para producir cada artculo y se necesitan 8 unidades, calcular el nivel mensual de produccin y venta que maximiza la utilidad.Solucin:a) Enestecasonoexistecondicinalguna: setratadeunproblemade mximos ymnimos libres.Paso 1: Se encuentran las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para as hallar los puntos crticos.Funcin a optimizar: U(x, y) = 12x + 20y x2 2y2 x 2 12 2y x - 20y 12xx xy) U(x,2 2 +1]1

x xf U y 4 20 2y x - 20y 12xy yy) U(x,2 2 +1]1

y yU U Ux = 0 Uy = 012 2x = 0 x = 6 20 4y = 0 y = 5,el punto crtico es entoncesP0(6, 5). Paso 2: Se encuentran los menores principales del Hessiano de la funcin fy se evalan en el punto crtico para determinar la naturaleza del mismo. U(x, y) = 12x + 20y x2 2y2El Hessiano de U es: yy yxxy xxU UU U 2Los menores principales de2son: yy yxxy xxxxU UU UU

2 1y, Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden:Las derivadas Y xU U y ya se conocen:2x - 12 xU 4y 20 yU18[ ] 2 2 12x x

x 1]1

xxU xUUxx [ ] 0 2 12y x

y 1]1

xyU xUUxy[ ] 0 4 20x y

x 11]1

yxU yUUyx

[ ] 4 4 20y y

y 11]1

yyU yUUyyLos menores principales son entonces:8 ) 0 )( 0 ( ) 4 )( 2 (22 2 14 00 2 yy yxxy xxxxf fU UUAl evaluar1y 2en cada punto crtico, elsigno de los valores numricos resultantes indica si hay un mximo o un mnimo relativo: Para P0(6, 5) 0 85) , 6 (

8 5) , 6 (0 2 200212 1 PP5) , 6 ( 0relativo. mximo un valorene funcin ti la y 0que tiene se mnimos ymximos para criterio el Segn 02100PPPpara Dicho mximo relativo es igual a la funcin U evaluada en el punto crtico P0(6, 5):U(x, y) = 12x + 20y x2 2y2U(6, 5) = 12(6) + 20(5) (6)2 2(5)2 U(6, 5) = 111U(6, 5) = 111 miles de dlares es la utilidad mxima al producir y vender 6 artculos del tipo x y5 del tipo y, por mes,si no hay restriccin en la obtencin de la materia prima.19Solucin:b) En este caso existen condiciones que limitan la produccin: se trata de un problema de mximos y mnimos condicionados.I. Se construye la funcin objetivoF(, x, y) = U(x, y) + g(x, y), para lo cual obviamente senecesita conocer la funcin restriccin g(x, y):Funcin a optimizar: U(x, y) = 12x + 20y x2 2y2 Restriccin: 4unidades demateriaprimapor el nmerodeartculos x ms8 unidades de materia prima por el nmero de artculos y es igual a las 88 unidades de materia prima disponible por mes 4x + 8y = 88, de donde g(x, y) = 4x + 8y - 88Funcin objetivo: ya se sabe que la funcin objetivo es igual a la suma de la funcin a optimizar con el producto de la funcin restriccin por la variable .F(, x, y) = U(x, y) + g(x, y)F(, x, y) = (12x + 20y x2 2y2 ) + (4x + 8y 88)II. Se encuentran los puntos crticos de la funcin objetivo igualando a cero las derivadas de primer orden:F(, x, y) = (12x + 20y x2 2y2 ) + (4x + 8y 88)88 8 4 ) 88 8 4 (y x - 20y (12x

y) x, , F()2 2 +1]1

+ ++ y x y x FF 4 2 12 ) 88 8 4 (y x - 20y (12x

y) x, , F()2 2+ 1]1

+ ++ xxy xxFxxF 8 4 20 ) 88 8 4 (2y x - 20y (12x

y) x, , F()2 2+ 1]1

+ ++ yyy xyFyyF20F = 0 Fx = 0 Fy = 0(1)4x + 8y 88 = 0 (2)12 2x + 4 = 0 (3)20 4y + 8 = 0Despejando de las ecuaciones (2) y (3) se obtiene: 26 x25 y Por igualacin, , se llega a2526 y xDespejando x en trminos de y se obtiene la ecuacin (4): x = y + 1Sustituyendo este resultado en la ecuacin (1):(1) 4x + 8y 88 = 0 4(y + 1) + 8y 88 = 0se encuentra que y = 7. Sustituyendo este resultado en la ecuacin (4):(4)x = y + 1x = (7) + 1se obtiene x = 8De manera similar, sustituyendo x = 8 en la ecuacin (1) se encuentra que = 1. Esta variablenoesnecesarioencontrarlapuestoquelafuncinaoptimizarnodependede ella!!.El punto crtico es entonces P0(0, x0, y0) = P0(1, 8, 7), o bien P0(x0, y0) = P0(8, 7)III. Se encuentran los menores principales del Hessiano de la funcin objetivo, comenzando por el tercero, y se evalan en el punto crtico para determinar si hay un mximo o un mnimo relativo. ElHessiano de la funcin objetivo es: yy yxyxy xxxy xF F FF F FF F F 3A partir del tercero solo hay un menor principal: 3 Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden para sustituirlas en 3 :yFxF F , ya se conocen: F = 4x + 8y 88,Fx = 12 2xyFy = 20 4y + 821[ ] 0 88 8 4 +1]1

F y xFF

[ ] 4 88 8 4

+1]1

xF y xxFxF x El estudiante puede verificar que las dems derivadas de segundo orden son 8 yF ,4 xF,2 xxF,0 xyF,8 yF,0 yF,4 yyFDe donde se tiene que:

4 0 80 2 48 4 03 yy yxyxy xxxy xF F FF F FF F F ,el cual se puede resolver por Sarrus:192) 4 )( 4 )( 4 ( ) 0 )( 0 )( 0 ( ) 8 )( 2 )( 8 ( ) 0 )( 4 )( 8 ( ) 8 )( 0 )( 4 ( ) 4 )( 2 )( 0 (0 82 - 44 04 0 80 2 48 4 0

33 + + Recordar que para mximos y mnimos condicionados no se toman en cuenta los menores principales 2 1y Criterios: En base a los menores principales3, 5, 4, .., n+1 se establece que:a) Si, 003P , 004P , 005P , 006P.., entonces lafuncin origina f tiene un mximo relativo en P0y es igual a0Pfb) Si, 003P , 004P , 005P , 006P.., entonces lafuncin origina f tiene un mnimo relativo en P0y es igual a0Pfc) En cualquier otra situacin el criterio falla.22En este ejercicio , 0 19203 P coincide con la disposicin a) del criterio por lo que se concluye que la funcin a optimizarU(x, y)tiene un mximo relativo en P0el cual es igual a: 0PU= U(x0, y0)U(x, y) = 12x + 20y x2 2y2 0PU= U(8, 7) = 12(8) + 20(7) (8)2 2(7)2 U(8, 7) = 74U(8, 7) = 74 miles de dlares es la utilidad mxima al producir y vender 8 artculos del tipo xy7 del tipo y, por mes, bajo la restriccin planteada. Ejemplo: Una empresa produce calcetines de dos tipos: x pares (cantidad en miles) de calcetines de vestir yypares (cantidad en miles) del tipo deportivo. De acuerdo con la demanda y otras situaciones de mercado, se ha calculado que la funcin de costos totales es C(x, y) = 2x2 + xy y2 + 200yque la produccin total mensual deber ser de 200 pares (cantidad en miles). Cuntos pares de cada tipo debern producirse para minimizar los costos?Solucin:Existeunacondicinquelimitalaproduccin: setratadeunproblemade mximos y mnimos condicionados.I. Se construye la funcin objetivoF(, x, y) = C(x, y) + g(x, y), para lo cual obviamente se necesita conocer la restriccin g(x, y):Funcin a optimizar: C(x, y) = 2x2 + xy y2 + 200Restriccin: La produccin total,x miles de pares de calcetines de vestir ms y milesde pares del tipo deportivo, deber ser igual a 200 x + y = 200, de donde resulta que g(x, y) = x + y - 200Funcin objetivo: F(, x, y) = C(x, y) + g(x, y)F(, x, y) = (2x2 + xy y2 + 200 ) + (x + y 200)II. Se encuentran los puntos crticos de la funcin objetivo:F(, x, y) = (2x2 + xy y2 + 200 ) + (x + y 200)Se encuentran las derivadas parciales con respecto a las variables, x e y, resultando:F = x + y 200 Fx = 4x + y + Fy = x + 2y + 23F = 0 Fx = 0 Fy = 0(1)x + y 200 = 0 (2)4x + y + = 0 (3)x + 2y + = 0El estudiantepuedeverificar queal resolver el sistemadeecuacionesel puntocrtico resulta ser: P0(x0, y0) = P0(50, 150)III. Se encuentran los menores principales del Hessiano de la funcin objetivo, comenzando por el tercer menor(no se toman en cuenta los menores principales2 1y ), y se evalan en el punto crtico para determinar si hay un mximo o un mnimo relativo. ElHessiano de la funcin objetivo es: yy yxyxy xxxy xF F FF F FF F F 3 Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden para sustituirlas en 3 :Las derivadas yFxF F , ya se conocen: F = x + y 200, Fx = 4x + y + yFy = x + 2y + El estudiante puede comprobar que las derivadas parciales de segundo orden son:0 F,1 xF,1 yF,1 xF,4 xxF,1 xyF,1 yF,1 yxF,2 yyFDe donde se tiene que42 1 11 4 11 1 03 yy yxyxy xxxy xF F FF F FF F F Criterios: En base a los menores principales3, 5, 4, .., n+1 se establece que:a) Si , 003P , 004P , 005P , 006P.., entonces la funcin original f tiene un mximo relativo en P0y es igual a0Pf24b) Si , 003P , 004P , 005P , 006P.., entonces la funcin original f tiene un mnimo relativo en P0y es igual a0Pfc) En cualquier otra situacin el criterio falla.Enestecaso, 0 403 P coincideconladisposicinb) del criteriopor loquese concluye que la funcin a optimizarC(x, y)tiene un mnimo relativo en P0(50, 150).Seconcluyeentoncesqueparaminimizar loscostossedebernproducir por mes 50,000 pares de calcetines de vestir y 150,000 pares del tipo deportivo(recordar que el problema especifica que las cantidades estn dadas en miles).Bibliografa:Weber, Jean E.Matemtica para Administracin y EconomaEditorial Harla, Mxico, 4ta. Edicin, 198425UNIVERSIDAD DEEL SALVADORFACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICASDEPARTAMENTO DE MATEMTICA Y ESTADISTCAMATEMATICAIIICICLO I 2012GUA DE EJERCICIOS SOBRE MXIMOS Y MNIMOS EN FUNCIONES DE DOS VARIABLESPreparado por: Lic. Oscar Roberto Chacn.I. Encuentre los mximos o mnimos relativos si los hay de las siguientes funciones. x x y x xy y x fx y y y x fy x y x y x fy x xy y x fx y xy x y x fy x y x y x fy x y x xy y x fe y x fy x y xy x y x fxy y x y x fy x y xy x y x fxy y x y x fx y xy x y x fxy2 ) ( 2 ) , ( . 1316172 ) , ( . 127 4 2 ) , ( . 11813 ) , ( . 105 3 ) , ( . 91612 2 ) , ( . 89 8 8 4 10 4 ) , ( . 7) , ( . 64 4 4 2 ) , ( . 527 36 6 3 ) , ( . 48 6 2 2 ) , ( . 315 12 2 2 ) , ( . 210 8 6 4 2 ) , (. 122 2 42 23 32 22 2 4 42 22 23 22 22 32 2+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 26

xyy xy x fq ppq q p fK L K L LK K L fy x y x y x fye xe y x fy x xy y x fy xxyy x fy xy x y x fy x+ + + + + + + + + + + + + 64 1) , (. 211 1) , (. 202 10 264 2 ) , (. 191 ) ( 2 ) 8 (31) , (. 18) , (. 17) ln( ) , (. 162) , (. 154 1) , ( . 142 22 2 3 3222 2II. Resuelva:1. Una empresa esta desarrollando un nuevo refresco. El costo en dlares de producir un lote del refresco es C(x, y) = 2200 + 27x3 72xy +8y2Donde x es el nmero de kilos de azcar por lote yyes el numero de gramos de saborizante por lote. a)Encuentre las cantidades de azcar ysaborizanteque conducen aun costo mnimo por lote.b)Cual es el costo mnimo?2. Suponga que la ganancia de cierta compaa est dada por U(x, y) = 1000 + 24x - x2 + 80y - y2

Donde x es el costo de una unidad de fuerza de trabajo y y es elcosto deuna unidad de bienes.Encuentre los valores de x y y que maximicen laganancia. Encuentre la ganancia mxima.3. El costo total de producir x unidades de cinta tipo Ay y unidades de cinta tipo B esta dado por :C(x, y) = 2x2 + 3y2 - 2xy + 2x - 126y + 380027 Encuentre el nmero de unidades de cada tipo de cinta que deben producirse para que el costo sea mnimo. Encuentre el costo totalmnimo. 4. El ingreso total en miles de dlares por la venta de x tinasyy calentadores esta dadapor : I(x, y) = 12 + 74x + 85y 3x2 5y2 5xyEncuentre el nmero de cada artculo que debe venderse paraproducirel ingreso mximo. Encuentre el ingreso mximo.5. El ingreso mensual en cientos de dlares por la produccin de x miles de toneladas de mineral tipo A y y miles de toneladas de mineral tipo B, esta dado por:I(x, y) = 2xy + 2y + 12 El correspondiente costo en cientos de dlares esta dado por: C(x, y) = 2x2 +y2Encuentre la cantidad de cada tipo de mineral que debe producirse para obtener la mxima ganancia.6. Suponga que el costo y el ingreso en miles de dlares por la fabricacin de x unidades de un producto A y y unidades de un producto B,estn dados por:C(x, y) = x2 + 3y3 ;I(x,y) = 6xy + 3 x2Cuantas unidades de cada producto producirn una gananciamxima? Cuanto es la ganancia mxima?7. Suponga que P (L, K) = 1.08L2 0.03L3 + 1.68K2 - 0.08K3 es la funcin de produccinde una empresa.Encuentre las cantidades de insumo L y K que maximizan laproduccin P.8. Una empresa produce dos tipos de producto, A y B. El costo diario total (en dlares) de producir x unidades de A y y unidades de B, est dada por

C(x,y) = 250 4x 7y + 0.2x2 + 0.1y228a) Determine el nmero de unidades de A y B que la empresa debe producir al dacon el objeto de minimizar el costo total.b) Si la empresa puede vender cada unidad de A a $20 y cada unidad de B a $16, encuentre los niveles de produccin de A y B que maximizan las utilidades de la empresa. Cul es la utilidad Mxima?9. Unaempresa utiliza dos tipos de materia primas, A y B, en su producto. Usando x unidades de A yy unidades de B,la empresa puede elaborar P unidades de su producto, conP =0.52x + 0.48y + 0.12xy 0.07x2 0.06y2 Sielcosto de cada unidad de A es de $5.10 y de $1.80 por cada unidad utilizada de B,y si la empresa puede vender todas las unidades que produce a $15.00 cada una, Quecantidad de A y B debera utilizar laempresa con el objeto de maximizar sus utilidades?III. Encuentre los mximos y mnimos relativos, para las siguientes funciones,sujetas a la condicin lateral dada.FUNCIN CONDICIN LATERAL

700 x ; 700 5xy 2 ) , ( . 104 x ; x 3 4 ) , ( . 913x ; 2 3 ) , ( . 831 3y 2x ; 3xy- ) , ( . 77 3 2x ; ) , ( . 67 2 - 3x ; 7 5 2 ) , ( . 51 x ; ) , ( . 44x ; 6 3 ) , ( . 321 y 2x ; 4 3 ) , ( . 210 x ; ) , ( . 12 22 22 22 22 22 22 22 22 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + y y x y x fy y y x fy y x y x fy x y x fy y x y x fy y x y x fy y x y x fy y x y x fxy y x y x fy xy y x f29 FUNCIN CONDICIN LATERAL

32 x ; 2 ) , ( . 170 8 x ; ) , ( . 160 2 x ; 6 ) , ( . 15100 2x ; 2 2 ) , ( . 140 6 2 - x ; ) , ( . 130 4 x ; ) , ( . 1220 8 - 2x; 6 4 ) , ( . 112 22 22 22 22 2 + + + + + + + + + + + y y x y x fy e y x fy y x y x fy y xy x y x fy y x y x fy y x y x fy y x y x fxy IV. Resuelva:1. La funcin de produccin para una empresa es:f(x, y) = 12x + 20y x2 2y2El costo para la compaa es $4. y $8. por unidad de xey respectivamente.Si la empresa desea que elcosto totalde los insumos sea de $88. , Calcule la mxima produccin posible, sujeta a la restriccin presupuestal.2. El costo de producir x modelos regulares y y modelos de lujo del productode unaempresa, esta dado por : C(x, y)= x2 + 1.5y2 + 300. Cuantas unidades de cada tipo deben producirse a fin de minimizar los costostotales, si la empresa debe producirun total de 200 unidades?3. La funcin de produccin de una empresaes f(x, y) = 80x3/4 y1/4. En donde x e y representan elnmero de unidades de mano de obra y de capitalutilizado y f es elnmero de unidades elaboradasdelproducto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $60. y cada unidad de capital un costo de $200. Si la empresa dispone de $40,000 destinados a produccin, determine el nmero de unidades de mano de obra y capitalque la empresa debe emplear a fin de obtener unaproduccin mxima.304. Encuentre el costo mnimo para fabricar 20,000 unidades de un producto, si la funcin de produccin esP(x, y) = 100 x0.6 y0.4Siendo x el nmero de unidades de trabajo (a $48. por unidad) y yel numero de unidades de capital (a $36. por unidad).5.La funcin de produccin de una empresaes 2 25 . 1 3 800 ) , ( K L K L P + Donde L y K representan el nmero de unidades de mano de obra y de capital utilizados, los costos unitarios de mano de obra y delcapitalson de $250. y $50., respectivamente.Si laempresadisponede$6,750paragastos enproduccin, determineel nmerodeunidades demanodeobray decapital quelaempresadebe emplear, a fin de obtener una produccinmxima.6. Una empresa puede elaborar su producto en dos plantas, el costo de producir x unidades en su primera planta y y unidades en la segunda planta esta dado por la funcinde costo conjunta: C(x, y) = x2 + 2y2 - 5xy +700Si la empresa tiene un pedido de 500 unidades,Cuantas unidades debe producir en cada planta con el objeto de minimizar el costo total?31