CURSO: ESTADISTICA APLICADA A LA GESTION EMPRESARIAL

SECCIONES: 20N, 24M, 25M y 26M Nº de alumnos – 20N: 20

DOCENTE: C.P.C. JUAN MARTIN YAP RUIZ N° de alumnos – 24M: 20

FECHA: 18/06/10 DURACIÓN: 90 minutos N° de alumnos – 25M: 35

TEMAS: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS, E(X), V(X) y DESVIAC.

Tema: Variable Aleatoria Discreta.

1.- Una compañía de servicios está postulando a 3 contratos del gobierno. El gerente de la compañía estima que las ganancias que le pueden reportar los contratos son de 1.25, 2.5 y 1.75 miles de soles respectivamente.

Se definen las variables aleatorias:

X : Número de contratos que puede ganar la compañía.

Y: Cantidad de dinero a obtener si gana los contratos.

Obtener el recorrido de las variables aleatorias X e Y.

2.- Supóngase que el gerente de producción de una Compañía está investigando el tiempo que necesitan los operarios para ensamblar una pieza particular, teniendo conocimiento adicional de que el menor tiempo registrado es de 15 minutos.

Obtener el recorrido de la variable aleatoria.

3.- Una urna contiene 6 fichas numeradas con dígitos del 1 al 6. Se extrae aleatoriamente una ficha y se define la variable aleatoria X como el número de divisores del digito extraído. Obtener el recorrido de la variable X y sus probabilidades asociadas.

4.- Un gerente de una compañía estima que tiene una probabilidad de 0.5 de ganar un contrato; 0.3 de ganar 2 contratos y de 0.2 de ganar 3 contratos.

Construir la tabla y el gráfico de la distribución de probabilidades de la variable aleatoria X

MFACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y RELACIONES INDUSTRIALES

5.- Dada la siguiente información:

Se desea obtener lo siguiente:

a) El valor esperado de X e interpretar.

b) Si se duplica cada uno de los valores de la variable, hallar el nuevo valor esperado.

c) Obtener E(√3x – 10)

d) V(X), σ(X) Interpretar.

e) V(1.1X + 4)

6.- COMPUTERSA, Cía. ensambladora, diariamente ensambla 5 computadoras. Si se define X como el número de computadoras mal ensambladas:

a) ¿Es X una variable aleatoria?

b) Si la respuesta anterior es afirmativa, halle el rango de la variable aleatoria X.

7.- En la siguiente tabla se presenta el # de camionetas que fueron solicitadas en una agencia de alquiler de automóviles durante un período de 50 días. Las frecuencias observadas se convirtieron en probabilidades para este período de 50 días.

Número de Camionetas Alquiladas Número de Días Probabilidad p(x)3 3 0.064 7 0.145 12 0.246 14 0.287 10 0.208 4 0.08

Totales 50 1.00

a) Graficar la distribución de probabilidad.

b) Hallar la demanda esperada y desviación estándar de camionetas solicitadas en alquiler.

c) Calcular la probabilidad que sean solicitadas en alquiler más de 5 camionetas.

8.-Una compañía sabe por experiencia que la probabilidad de que un cheque recibido no tenga fondos es de 0.05. (Binomial).

Xi 1 2 3 4P(X) 1/

63/6 1/

61/6

Encontrar la probabilidad de que 20 cheques recibidos:

a) 6 no tengan fondos.b) Menos de 3 no tengan fondos.c) Más de 18 no tengan fondos

9.- La probabilidad de que cierto tipo de objeto pase con éxito una determinada prueba es 5/6. Se prueban 10 de tales objetos. Si X es la variable aleatoria que se define como el número de objetos que no pasan la prueba:

a) Determine la función de probabilidad de X

b) Calcule la media y la desviación estándar de X.

c) Determinar la función de distribución acumulada F(x) de X.

d) Usando F(x), calcular P[ 7< X < 9 ].

10.- En una tienda de alquiler de autos, cada vez que un cliente alquile un automóvil debe pagar como mínimo $4. Si alquila un auto tipo A debe pagar $15 más, y si alquila un auto tipo no A debe pagar $5 más. Se sabe que la probabilidad de que un cliente alquile un auto tipo A es de 0.7. De cinco clientes que alquilan autos en esta tienda:

a) Determine la distribución de probabilidades de los clientes que alquilan automóviles tipo

A.

b) Determine la utilidad y la utilidad esperada que producen a la tienda los 5 clientes que

alquilan automóviles.

11.- La probabilidad de dar en un blanco con un disparo es de 0.2.

¿Cuál es el número mínimo de disparos que tendrán que hacerse para tener una

probabilidad mayor que 0.9 de dar en el blanco por lo menos una vez? (Posible Geométrica)

12.- Un examen tiene dos partes A y B:

La parte A tiene 8 preguntas con 5 respuestas opcionales cada una, la parte B tiene 4 preguntas con 3 respuestas opcionales cada una.

Si se contestan todas las preguntas al azar, hallar la probabilidad de contestar correctamente 5 preguntas de la parte A y 3 preguntas de la parte B.

13.- La media del tiempo que necesita un empleado para llenar un formulario es de 20 segundos.

a) Si el número de formularios llenados por minuto tiene una distribución de poisson,

encontrar la probabilidad de que en un minuto se llene más de un formulario.

b) Si el tiempo necesario para llenar un formulario tiene una distribución exponencial, hallar

la probabilidad de que un empleado se demore menos de 30 segundos en llenar un

formulario.

14.- Suponga que llegan en forma aleatoria una serie de llamadas a una central telefónica con un promedio de tres llamadas por minuto. (Poisson)

a) Calcular la probabilidad de que en el período de un minuto

a1) no ocurra llamada alguna. a2) ocurran al menos 4 llamadas.

b) Si cada llamada cuesta NS/. 0.50, ¿cuánto es el costo esperada por la llamada?

15.- Una empresa textil produce un tipo de tela en rollos de 100 metros. El número de defectos que se encuentra al desenrollar la tela es una variable aleatoria de Poisson que tiene en promedio 4 defectos por cada 20 metros de tela.

a) ¿Que probabilidad hay de que al desenrollar la tela se encuentre menos de tres defectos

en los primeros 50 metros?

b) Hallar la probabilidad de que al desenrollar la tela no se encuentren defectos en el primer

segmento de 5 metros de tela.

c) Si se desenrollan 5 rollos de tela escogidos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no se

encuentre defectos en el primer segmento de 5 metros de tela en al menos dos de ellas?

16.- En una caja se tienen 9 focos, de los cuales 4 están quemados.

Se extraen al azar 3 focos, encontrar la probabilidad de que 2 de los focos extraídos estén

quemados.

a) Si la extracción es sin reposición. (Distribución Hipergeométrica).b) Si la extracción es con reposición. (Distribución Binomial).

17.- Suponga que una producción de pollos bebe ha dado 10% de pollitos hembras. (Distribución Binomial).

a) Si la producción es llenada al azar en cajas de n pollos bebé cada una, hallar el valor de n

de manera que la probabilidad de que no haya pollos bebé hembras en la caja sea igual a

0.08

b) Si cada caja contiene 24 pollos bebé, hallar la ley de probabilidad del número de pollos

bebé hembras por caja, ¿cuál es el número esperado de pollitos hembra por caja?

c) Si un criador de pollos recibe 20 cajas de 24 pollos bebé cada una, hallar el modelo de

probabilidad del número de cajas que no contengan pollitos hembra, ¿cuál es el número

esperado de cajas que no contengan pollos bebé hembra?

18.- Se escriben los nombres de 7 mujeres y 3 hombres en pedacitos de papel y se los coloca en una caja. De la caja se escogen al azar 4 papelitos.

a) Determine la distribución de probabilidad del número de papelitos seleccionados que

contengan nombres de hombres:

a1) Si se escogen uno por uno sin reposición.(Distribución Hipergeométrica).a2) Si se escogen uno por uno con reposición.(Distribución Binomial).

b) Calcule la probabilidad de que se seleccione los nombres de por lo menos dos hombres.

19.- Una compañía recibe semanalmente un embarque de 500 artículos de cierto tipo. La Cía.

controla la calidad de cada embarque probando 10 artículos escogidos al azar uno por uno

y sin reposición, y rechaza el embarque si más de uno de los artículos probados no

cumplen las especificaciones. Se sabe que cada embarque semanal contiene 90% de

artículos que cumplen las especificaciones.

Sea X el número de artículos en la muestra que no cumplen las especificaciones.

a) ¿Con qué probabilidad se rechaza cualquier embarque semanal? (Distribución

Hipergeométrica)

b) Si el costo de la inspección semanal en soles está dado por: C = 2 + 4X + X2 , calcular el

costo esperado por inspección.

c) Hallar la probabilidad de que el costo por inspección sea mayor o igual que 34 soles.

(Aproximación de la Hipergeométrica a la Binomial)

20.- En un grupo de 50 periodistas sólo 10 son colegiados.

Si se toma una muestra de 5 periodistas de este grupo ¿Cuál es la probabilidad de que en la

muestra por lo menos 2 sean colegiados? (Hipergeométrica)

21.- En un lote de 50 motores tres de ellos son defectuosos. Un inspector elige 5 motores y los

inspecciona, si encuentra algún defectuoso inspecciona todo el lote. (Hipergeométrica).

22.- En un libro el número promedio de errores por página es de 4. Suponiendo que el número

de errores por página se distribuye Poisson ¿Cuál es la probabilidad de que si se examinan

10 páginas se encuentren en total exactamente 35 errores?

23.- La probabilidad de que cualquier pregunta sea bien contestada por un alumno es de 0.6 si

se hacen preguntas hasta que el alumno conteste bien una pregunta. ¿Cuál es la

probabilidad de que se tenga que hacer 5 preguntas al alumno? (Geométrica).

24.- Un estudio realizado en las tierras de cultivo de Tarapoto concluye afirmando que la probabilidad de cada hectárea de siembra de arroz contenga por lo menos un nido de hormiga es de 0.005. De 600 hectáreas de siembras de arroz escogidas al azar, ¿qué probabilidades hay de que al menos 5 de ellas contengan por lo menos un nido de hormiga? (Aproximación binomial a Poisson).

25.- El número de accidentes que sufre una empresa de taxis se distribuye según el modelo de

Poisson con un promedio de 2 accidentes por semana.

a) Si el primer día de la semana ya ha habido un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que

en esa semana no haya más de dos accidentes? (Poisson)

b) ¿Cuántos autos tiene la compañía de taxis si existe la probabilidad igual a 0.25 de que no

hay taxi que no sufra un accidente en una semana? (Aproximación binomial a Poisson).

26.- Un vendedor a domicilio compra 10 unidades de un producto a NS/. 2 cada una. Por cada producto gana NS/. 13 si lo vende o pierde NS/. 1 además del costo si no lo vende en el día. Si la probabilidad de venta de cada unidad es de 0.2 y si las ventas son independientes.

a) Hallar la distribución de probabilidad de las unidades vendidas.

b) Calcular la utilidad esperada del vendedor.

27.- Al realizar un experimento, la probabilidad de lograr el objetivo es de 0.4. Si se realiza el experimento 20 veces bajo las mismas condiciones y asumiendo resultados independientes.

a) Calcular la probabilidad de lograr el objetivo por lo menos tres de las 20 veces.

b) El costo de realizar el experimento es de NS/. 1,500 , si se logra el objetivo; y de NS/. 3,000 si no se logra. Calcular el costo esperado para realizar el experimento.

.

Tema: Variable Aleatoria Continua.

1.- Sea X variable aleatorio con función de densidad:

k , 3 ≤ x ≤ 8

f(x)=

0 , en otro caso

Obtener:

a) El valor de la constante k.

b) La función de distribución Fx(a).

c) El gráfico de f(x) y Fx(a).

2.- Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad de probabilidad está dada

por:

1/5 , 3 ≤ x ≤ 8

f(x)=

0 , en otro caso

a) Hallar la esperanza de la variable xb) Hallar E( 2x + 1 )c) Obtener la varianza de la variable aleatoria xd) Calcular V( 2x + 1 )

3.- Los ingresos en miles de soles de los pobladores de un distrito de Lima se comportan como la siguiente función de probabilidad:

x/10 + 1/10 , 0 ≤ x ≤ 2

f(x)= -3x/40 + 9/20 , 2 < x ≤ 6

0 , x < 0 o 6 < x

a) ¿Cuál es el ingreso esperado en dicho distrito?b) Si se escoge al azar a un poblador del distrito, ¿cuál es la probabilidad que su ingreso

sea inferior a 1,000 soles o superior a 3,000 soles?

4.- Supóngase que la función de distribución acumulada de la variable aleatoria x es:

0 , si x < 0

F(x)= 0.3 x2 + 0.5 , si 0 ≤ x ≤ 1

1 , si….1 < x

a) Hallar la función de densidad de probabilidad de x.b) Trazar la grafica de F(x) y f(x)c) Calcular P[ X ≤ 0.2 ] , P[ 0.5≤ X ≤ 1 ]d) Obtener E(x) y V(x)

5.- La duración (en horas) de una pila eléctrica es una variable con función de densidad

f(x) = mx + c , 0 < x < 3.

Si la media de la variable es de una hora, encontrar la probabilidad de que una pila dure más

de 2 horas.

6.- Una tienda de comestibles comercializa un producto que compra a $8 y vende a $10 cada unidad. Debido a que el producto es perecedero, las unidades que se queden sin vender al final del día se desechan; perdiendo además del costo $1 por unidad. El tendero ha establecido que la distribución de probabilidades de la demanda diaria del producto es la que se da en la tabla.

Demanda : d 0 10 20 30 40 50Probabilidad 1/10 1/10 2/1

03/10 2/10 1/10

a) Si el comerciante adquiere 30 unidades diariamente, ¿cuánto sería su utilidad esperada?

b) ¿Cuántas unidades del producto debería comercializar diariamente a fin de maximizar su

utilidad esperada? Utilice sólo valores de la demanda.

7.- El jefe de administración de BIOTEC SAC está preocupado por las necesidades de caja de la firma a corto plazo ya que la empresa necesita efectivo para sus transacciones diarias. La empresa se ha presentado a 3 licitaciones del gobierno y es seguro que por lo menos uno de tales contratos le será otorgado a la firma. La probabilidad de otorgamiento de un solo contrato se estima en 0.5, la de 2 contratos en 0.3 y la de 3 contratos en 0.2. Cada contrato plantea a la firma una demanda de dinero de $200 a corto plazo. Con el fin de planificar futuras necesidades de caja, el jefe de administración necesita tener alguna idea de la magnitud de las demandas de caja que pueden resultar de las 3 licitaciones de contratos.

a) Si X es el número de contratos que puede ganar la firma, hallar su distribución de probabilidades. (1 punto).

b) Hallar la distribución de probabilidades de la demanda de caja que puede requerir la empresa. (1 punto).

c) ¿Cuál es la demanda de caja esperada resultante de estas licitaciones? (1 punto).

8.- Se está investigando dos oportunidades de inversión en bienes raíces. La sociedad inversionista ha apartado cuatro niveles posibles de inversión asignándoles las siguientes probabilidades de ocurrencia:

Oportunidades de Inversión

Si la sociedad puede hacer sólo una de las inversiones, ¿cuál deberá elegirse?

9.- Suponga que un juego consiste en lanzar un dado y que si obtiene al menos 5 puntos se gana $2, en caso contrario se pierde el número obtenido en dólares:

a) Defina la función utilidad en el juego.

b) Calcular la utilidad esperada en el juego.

10.- Suponga que en un juego al azar consiste en lanzar un dado y que el jugador puede ganar $7, si obtiene al menos 5 puntos, o perder $2 en caso contrario.

a) ¿Cuánto espera ganar en el juego?

b) ¿Cuánto debería ganar para que el juego sea justo?

11.- Una compañía de seguros propone asegurar cierta marca de automóvil del año en $20,000.

La compañía estima que una pérdida total puede ocurrir con una probabilidad de 0.001, una pérdida del 50% con una probabilidad de 0.02, una pérdida del 25% con una probabilidad de 0.2. Si se ignoran las demás pérdidas parciales, ¿qué prima debe cobrar la compañía de seguros si espera una ganancia de $200?

12.- La vida útil de un objeto en miles de horas, es una variable aleatoria continua x cuya función de densidad de probabilidad es:

1 – x/2 , si 0 ≤ x ≤ 2

f(x)=

0 , en el resto.

a) Calcular la esperanza de vida del objeto.b) Calcular la moda.c) Calcular la mediana.

Región Nor Oriente Región CentralUtilidad ($) Probabilidad Utilidad ($) Probabilidad

-4,000 0.2 0 0.41,000 0.3 2,000 0.34,000 0.3 4,000 0.28,000 0.2 6,000 0.1

13.- Una distribuidora de textos universitarios tiene un stock de 200 libros al principio de cada semana. Sus demandas semanales tienen un comportamiento de frecuencia relativa que aumenta constantemente hasta llegar a 100 libros y luego, permanece constante entre 100 y 200 libros. Si x representa la demanda semanal en cientos de textos y suponiendo que las frecuencias relativas de la demanda se modelan de la forma siguiente:

x , si 0 ≤ x ≤ 1

f(x) = 1/2 , si 1 < x ≤ 2

0 , 2 < x

a) Hallar la demanda semanal esperada de textos universitarios

14.- Suponga que la vida útil en años de cierto tipo de computadora es una variable aleatoria x con función de densidad de probabilidad:

2 – 2x , si 0 ≤ x ≤ 1

f(x) =

0 , en el resto

El distribuidor ofrece una garantía de 6 meses. Si la computadora falla en ese período se reemplaza por otra, a lo más una sola vez. Si cada computadora tiene el costo de fabricación de $400 y precio de venta $900, ¿cuánto es la utilidad esperada por computadora?

15.- La demanda en miles de metros de determinada tela que produce una compañía textil es una variable aleatoria x que tiene una función de densidad siguiente: f(x) = 1/10 , si 0 ≤ x ≤ 10

Si por cada metro de tela vendida gana $4, pero por cada metro de tela no vendida en la temporada pierde $1, ¿cuál es la producción que maximiza la utilidad esperada de la compañía?

16.- Una fábrica produce cierto líquido que tiene una proporción " x " de azúcar con función de densidad: f(x) = 2x , 0 < x < 5. La fábrica vende este líquido a NS/. 10 el litro si : 0.3 < x < 0.6 y a NS/. 8 el litro en caso contrario. Si el costo de producción es de NS/. 3 el litro, hallar la utilidad esperada por litro.

17.- La proporción de pureza X por galón de un compuesto que produce una empresa es una variable aleatoria con función de densidad:

3x2 , si 0 ≤ x ≤ 1

f(x) =

0 , en otros casos

Si la proporción de pureza del compuesto es menor o igual a un nivel k, el compuesto se destina a un fin A obteniéndose una utilidad de 50 dólares por galón. En caso contrario, el compuesto se destina a un fin B obteniéndose una utilidad de 60X dólares por galón. Determine el nivel k que le permita a la empresa maximizar su utilidad esperada por galón.

18.- Un agente de bienes raíces cobra honorarios fijos de S/ 200 más una comisión de 5% sobre el beneficio (utilidad) obtenido por el propietario. Si el beneficio del propietario es una variable aleatoria x con función de densidad de probabilidad:

1/2,000 , si 0 ≤ x ≤2,000

f(x) =

0 , en el resto

a) ¿Cuánto espera obtener de utilidad el agente?b) ¿Qué probabilidad hay de que obtenga utilidades superiores a S/ 275?

19.- Un agente de bienes raíces gana NS/. 1,000 más una fracción X de la ganancia que desea obtener el propietario. Si se considera a X como una variable aleatoria con función de densidad

Ax(1 – x) , si 0 ≤ x ≤1

f(x) =

0 , en el resto

y un propietario quiere ganar 25,000

a) ¿Cuánto se espera que gane el agente?b) ¿Cuál es la probabilidad de que el agente gané más de 11,000?

20.- La longitud en metros de ciertos postes de tendido telefónico es una variable aleatoria

continua con función de densidad de probabilidad:

(2/25)x , si 0 < x < 5

f(x) =

0 , en el resto.

a) Encontrar la media de la variable aleatoria continua [ E(x) ].

b) Encontrar la varianza de la variable aleatoria continua [ V(x) ].

c) Hallar la probabilidad de que la longitud de un poste esté entre 3 y 4 metros.

21.- Suponga que la demanda diaria en kilos de café, en una tienda de abarrotes, es una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad:

kx , si 0 ≤ x < 6

f(x) = x(1/18 – k) , si 6 ≤ x ≤ 8.485

0 , en cualquier otro caso.

a) Determinar el valor de la constante k.

b) Calcular la probabilidad de que en un día cualquiera la tienda de abarrotes venda

entre 4 y 7 kilos de café.

22.- Si X es una variable aleatoria con media µ y desviación estándar σ hallar la media y la varianza de la variable aleatoria estándar:

Z = ( X -µ )/ σ

23.- En el almacén de una agencia de transportes el peso de las encomiendas es una variable normal con una media de 10 kilos y una desviación estándar de 2 kilos.

Si se tienen 100 encomiendas, hallar la probabilidad de que menos de 15 de ellas pesen más de 125 kilos.

24.- El consumo diario de petróleo en una fábrica es una variable normal. Se observa durante 25 días el consumo diario de petróleo y con un 90% de seguridad se obtiene para la media del consumo diario el siguiente intervalo de confianza: 73.1564, 86.6436.

Encontrar con esta información un intervalo de confianza para la media del consumo diario con un 95% de seguridad

25.- El consumo diario de petróleo en una fábrica tiene distribución normal.

El 96.78% de los días se consumen menos de 167 galones y el 98.21% de los días se

consumen menos de 172 galones.

¿Qué porcentaje de días se consumirán entre 110 y 160 galones?

26.- La cantidad de kilómetros que puede recorrer un carro con un galón de gasolina es una variable normal con media 40 y varianza 16.

Encontrar la probabilidad de que:

a) Con un galón se recorra más de 42 kilómetros.

b) Con 9 galones se recorra más de 378 kilómetros.

27.- El impuesto que pagan las personas tiene una media de NS/. 2,000 con una desviación estándar de NS/. 500.

Suponiendo una distribución normal:

a) ¿Qué porcentaje de personas pagan entre 1,500 y 3,000 Nuevos Soles?

b) Cuál es la probabilidad de que 4 personas paguen en total más de NS/. 10,000?

28.- La longitud (en centímetros) de los clavos, en una tienda, es una variable normal con una media de 10 y una desviación estándar de 2.

Si se considera que un clavo es defectuoso si mide menos de 7 centímetros, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad de que de 100 clavos más de 12 sean defectuosos?