MATRICES Y SISTEMAS LINEALES EN APLICACIÓN

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO

RECINTO DE FAJARDO

Proyecto MSP-II

Resolver un sistema de ecuación lineal

• Existen diversas formas para resolver un sistema de ecuación lineal utilizando matrices.

• Operaciones de reducir filas y obtener la matriz identidad en donde estaba la matriz original y aumentada con la columna de los constantes es el método de Gaussiano.

• El encontrar la determinante de la matriz original y la matriz de cada variable es el método de Cramer.

• El dibujar la gráfica de dos ecuaciones de dos variables es el método de gráficas.

Método Gaussiano

Para utilizar matrices y el método de eliminación Gaussiano para resolver un sistema de ecuación lineal, deberemos utilizar los siguientes pasos:

1. Escribir la matriz aumentada del sistema de ecuación lineal. Esto es, se escribe una matriz con los coeficientes de cada variable y el resultado de cada sistema.

2. Utilice la operación de eliminar filas, esto es, conseguir la matriz identidad en donde está escrito la matriz de los coeficientes.

3. Escriba el sistema de ecuaciones lineales que corresponden a la matriz en la fila en forma escalonada, y el uso de eliminar los coeficientes hasta tener 1 en la diagonal principal y 0 en las otras entradas.

Método Gaussiano: ejemplo

Resuelva el sistema de ecuación siguiente:

Matriz aumentada

Intercambiar Fila 2 con Fila 1:

:

De la segunda fila obtenemos que y = 4, y se puede sustituir por la primera fila

Resolver el siguiente sistema de ecuación:

Pasos:

1. Escribir la matriz aumentada.

2. Determinar el 1 en la primera fila primera columna.

3. Reducir hasta conseguir la matriz identidad.

Matriz aumentada:

• No existe ninguna fila que tenga un coeficiente numérico que inicie con 1.

• Se debe entonces reducir la primera fila dividiendo por 12.

Ahora debemos conseguir un 0 en la segunda fila, primera columna.

Esta solución indica que el sistema tiene infinitas soluciones.

Matriz , con método Gaussiano

Resuelve el sistema siguiente:

Matriz aumentada:

No tengo un 1 en ninguna fila iniciando, por lo cual se debe dividir a la primera fila por 3 para reducirla a 1 esa entrada.

:

:

:

Ahora se puede encontrar las otras soluciones.

Tenemos la siguiente matriz:

Reescribimos la ecuación:

+

Sustituir en la segunda ecuación, , y después las dos respuestas en la primera y obtendremos

Método de Determinante:

• La determinante de una matriz es el producto de sus diagonales.

Ejemplo:

Matriz Coeficiente: Determinante:

det(A) =

Resolver matriz

• Para utilizar la regla de Cramer, requiere que sea una matriz cuadrada. Además, que tenga una sola solución.

• Si el sistema fuera así:

La matriz original será: , la matriz de la variable , será: y la matriz de la variable será .

Para resolver entonces:

Si , existe una sola solución entonces , no existe solución.

Ejemplo:

= =

Matriz Para un sistema veamos:

En este sistema se debe eliminar una fila y una columna para obtener una matriz . Si eliminamos primera fila sería así:

La regla de Cramer para resolver un sistema de es:

Sea A =

=

La determinante del ejemplo anterior sería:

1

Por lo cual, la matriz solución cambiará a base de cambiar la columna de las variables por la matriz constante.

.

Resuelve el sistema de ecuación utilizando la regla de Cramer

Matriz original:

= =

Matriz x:

Por lo tanto:

Matriz y:

Por lo tanto:

Matriz z:

Por lo tanto:

La solución al sistema es:

Ejercicios

a)

b)