matrices y determinantes

Matrices y Determinantes

2º Bachillerato

Dimensión de la matriz nm

2ª columna

3ª fila

Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.

a11 a12 a13 ...... a1n

a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

= (aij )

Concepto de matriz. Igualdad de matrice

Matriz: Ejemplo

Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:

1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.

2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.

3. Elena compró un bocadillo y un refresco.

Estos datos se pueden agrupar en una matriz

2 1 1

1 1 1

1 1 0

Expresión matricial: ejemplo

Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =

2 5 –3

1 –4 1

Tiene la siguiente matriz ampliada: A* =

2 5 –3 1

1 –4 1 –2

Tiene la siguiente expresión matricial:

2 5 –3

1 –4 1

x

y z

=

1

– 2

2 z 4y - x

1z3y5x2El sistema

Clasificación de matrices: Elementos

• Matriz escalar: es una matriz diagonal donde todos los elementos de ella son iguales.

• Matriz triangular superior: es una matriz donde todos los elementos por debajo de la diagonal son ceros.

• Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los elementos por encima de la diagonal son ceros.

• Matriz nula: es una matriz en la que todos los elementos son nulos.

• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

• Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, cuya diagonal principal es 1.

33

000

000

000

O

23

00

00

00

O

400

320

631

T

100

030

002

D

100

010

001

I3

200

020

002

A

453

023

001

T

1 2 4

2 3 5

4 5 -1

0 2 -4

-2 0 3

4 -3 0

Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 )

Matriz columna: A =

2

4 6

jiij aa

Diagonalsecundaria

Diagonal principal

Matriz cuadrada: A=

1 3 5

2 4 6 1 1 1

• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:

• Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:

Clasificación de matrices: Forma

Suma de matrices

Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)

A + B = (aij ) + (bij ) =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

+

b11 b12 b13 b14

b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34

=

=

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14

a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34

= (aij + bij )

Propiedades de la adición de matrices

• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

• Conmutativa: A + B = B + A

• Elemento neutro: A + O = O + A = A donde O es la matriz nula.

• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = O

La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.

Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.

Si A = (aij), entonces kA = (kaij)

Producto de un número por una matriz

k . A = k . (aij) = k·

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 a32 a33

=

ka11 ka12 ka13

ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33

= (kaij)

Propiedades suma y producto por un número

• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB

• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA

• Elemento neutro: 1 · A = A

• Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A

Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.

Producto de matrices

es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es: cij = ai1

. b1j + ai2. b2j + ... + ain

. bnj

El producto de la matriz

A = (a ij) =

a11 a12 a13 ...... a1n a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

por la matriz

B = (b ij) =

np3n2n1n

p3333231

p2232221

p1131211

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

......

..........

......

......

......

Ejemplo: producto de matrices

2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?

(aij)2,3 . (bij)3,3 =

productoposible

(cij) 2, 3

A · B =

2 1 –1

3 –2 0 .

1 2 0

1 0 –3 0 1 –2

=

3 3 –1

1 6 6

1. El producto de A =

2 1 –1

3 –2 0 por la matriz B =

1 2 0

1 0 –3 0 1 –2

de A por cada columna de B.

multiplicando cada fila

¿Cuándo es posible el producto de matrices?

(aij)m,n . (bij)n,p =

Posible

filas

columnas

(cij)m,p

El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

Propiedades del producto de matrices (I)

I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de dimensión pxr.

A . (B . C) = (A . B) . C

III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxr y C de dimensión nxr.

A . (B + C) = A . B + A . C

IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión mxn y C de dimensión nxp.

(A + B) . C = A . C + B . C

las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:

Im · A = A · In = A

II. Elemento neutro. Si A es una matriz mxn, y

Im =

1......000

..........

0......100

0......010

0......001

e In =

1 0 0 ...... 0 0 1 0 ...... 0 0 0 1 ...... 0 .. .. .. .. .. 0 0 0 ...... 1

Propiedades del producto de matrices (II)

I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en un orden distinto al dado.

II. Si A . B = O entonces no siempre ocurre que A = O ó B = O.

III. Si A . C = B . C y C O, entonces no necesariamente A = B.

IV. (A + B)2 A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.

V. (A – B)2 A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.

VI. A2 – B2 (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.

Ejemplo: Aunque

0 2

0 0 .

0 –3

0 0 =

0 0

0 0 ninguno de los factores que

forman el producto es la matriz nula.

Potencia de una matriz

Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma.

An = A . A . ........... . An veces

Ejemplo:

10

11A

10

21

10

11

10

11AAA2

10

31

10

21

10

11AAA 23

10

41

10

31

10

11AAAAAAA 34

10

1

10

11

10

11AAAAA 1-

veces-

nnn

n

n

Matriz traspuesta

I. Para la matriz A, (At)t = A

II. Para las matrices A y B, (A + B)t = At + Bt

III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At

IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt . At

V. Si A es una matriz simétrica, At = A

Propiedades:

La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.

Ejemplo: Si A =

1 2 3

4 5 6 entonces At =

1 4

2 5 3 6

Inversa de una matriz

Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A . B = B . A = I, siendo la matriz unidad. La matriz inversa se representa por A–1.

Y de aquí se deduce que:

Ejemplo: Dada A =

2 –1

1 1 para obtener A-1 =

x y

z t se ha de cumplir

2 –1

1 1 .

x y

z t =

1 0

0 1

2x – z 2y – t

x + z y + t =

1 0

0 1

2x – z = 1 x + z = 0 2y – t = 0 y + t = 1

x = 1/3 y = 1/3 z = –1/3 t = 2/3

Por tanto A-1 =

13

13

– 13

23

Propiedades de la matriz inversa

I. Si las matrices A y B son inversibles (A . B)–1 = B–1 . A–1

II. Si A es una matriz inversible y k 0, (k . A)–1 = (1/k) . A–1

III. Si A es una matriz inversible, (A–1)–1 = A

IV. La matriz unidad es inversible y además I–1 = I

V. Si A es una matriz inversible, (A–1)t = (At)–1

Combinación lineal entre filas y columnas

En una matriz A, las filas pueden representarse por F1, F2, ... , Fm y las columnas por C1, C2, ... , Cn.

Se llama combinación lineal de las filas F1, F2, F3 ... , Fm a una expresión de la forma:

k1 . F1 + k2 . F2 + k3 . F3 + ... + km . Fm siendo k1, k2, ... , km números reales.

Se llama combinación lineal de las columnas C1, C2, C3 ... , Cn a una expresión de la forma: k1

. C1 + k2 . C2 + k3 . C3 + ... + kn . Cn siendo k1, k2, ... , kn números reales.

A =


.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

= (C1, C2, C3, ... , Cn) =

F1 F2 F3 ...... Fm

Dependencia lineal entre filas y columnas

• Una fila (o columna) de una matriz depende linealmente de otras si es combinación lineal de ellas.

• Si entre las filas (o columnas) de una matriz, alguna depende linealmente de otras, se dice que son linealmente dependientes; en caso contrario, son linealmente independientes.

F3 = F1 + 2F2

Ejemplo: En la matriz A =

2 0 –1 1

1 3 1 0 4 6 1 1

la tercera fila es combinación lineal de la primera y la

segunda ya que:

En cambio: En la matriz B =

1 2 4

3 –1 5 las dos filas son linealmente independientes porque ninguna

de ellas es igual a una constante por la otra.

Rango de una matriz

• El rango por filas de una matriz es el número de filas linealmente independientes.

• El rango por columnas de una matriz es el número de columnas linealmente independientes.

• Se puede demostrar que el rango por filas coincide con el rango por columnas en cualquier matriz. A este valor común se le llama rango de la matriz y se representa rg A.

Operaciones que no modifican el rango de una matriz

• Intercambiar dos filas (o columnas) entre sí.

• Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero.

• Sumar a una fila (o columna) una combinación lineal de otras filas (o columnas).

Ejemplos rango de una matriz escalonada

2 0 –1 1

0 1 1 0 0 0 1 1

La matriz A = tiene rango 3.

0000

0110

1102


1000

0100

1102


0000

0200

1120


0000

0000

1000


Cálculo del rango de una matriz

a) Si es necesario, reordenar filas para que a11 0 (si esto no fuera posible, aplicar todo el razonamiento a a12).

b) Anular todos los elementos por debajo de a11: para ello multiplicar la primera fila por –a21/a11 y sumar a la segunda, multiplicar la primera fila por –a31/a11 y sumar a la tercera, .... multiplicar la primera fila por –am1/a11 y sumar a la m-ésima.

c) Repetir los pasos anteriores basados en a22 y, después, en cada aii.

d) El proceso termina cuando no quedan más filas o están formadas por ceros.

A =


.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

Cálculo del rango de una matriz

Aplicando los procesos anteriores se puede llegar a una matriz escalonada que indica el número de filas o columnas independientes y por tanto el rango de la matriz.

* * * * *

* * * * * * * * * * * * * * *

Rango 4

* * * * *

0 * * * * 0 0 * * * 0 0 0 * *

Rango 3

* * * * *

0 * * * * 0 0 * * *

Rango 2

* * * * *

0 * * * *

Rango 1

* * * * *

A no es inversible

Restando a la segunda fila la primera por 4:

1 – 12

12 0

0 0 –2 1

Condición para que una matriz sea inversible

Ampliamos la matriz A con la matriz identidad:

2 –1 1 0

4 –2 0 1

Dividiendo la primera fila por 2:

1 – 12

12 0

4 –2 0 1

• Al operar con las filas de A se ha llegado a una matriz de rango distinto a la dimensión de la matriz A.

• Por tanto: una matriz cuadrada A de orden n es inversible si y sólo si rg A = n.

• De otra forma: A es inversible si y sólo si sus filas (o sus columnas) son linealmente independientes.

Para estudiar si A =

2 –1

4 –2 es inversible:

Determinante de segundo orden

Ejemplo: 3 2 2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -

1

Dada una matriz cuadrada de segundo orden:

a a a A =

11 12

a21 22

se llama determinante de A al número real:

det (A)=|A|=

a a11 12 a21 a22 11

a22 –

a21

a12

= a

Determinante de orden 3

a11 a12 a13 a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33.

Dada una matriz cuadrada de orden 3

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Definición:

det (A) o |A|, al número real siguiente: Se llama determinante de A,

Regla de Sarrus

La regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en la expresión del determinante de orden 3 y sus signos.

Aplicaciones a la regla de Sarrus

24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77

det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 + 5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1) . (–3) . 3 + 5 . 4 . (–4)] =

El determinante de la matriz A =

3 5 1

4 –2 –1 2 –3 –4

es

Determinante de cualquier orden

–3 5

–1 –1

= 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) = 34

El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos:

det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain . Ain sería el desarrollo por la i-ésima fila

det (A) = a1j . A1j + a2j · A2j + .. .+ amj . Amj sería el desarrollo por la j-ésima columna

Por ejemplo:

2 –1 1 2 1 6 1 0

3 –1 –1 3 2 –1 0 1

= 1 · (–1)2+1 –1 1 2 –1 –1 3 –1 0 1

+ 6 · (–1)2+2 2 1 2

3 –1 3 2 0 1

+

+ 1 · (–1)2+3 2 –1 2

3 –1 3 2 –1 1

+ 0 · (–1)2+4 2 –1 1

3 –1 –1 2 –1 0

=

Cálculo de determinantes usando desarrollo por los elementos

de una fila o columna

• Se llama menor Mij de la matriz A al determinante de la matriz que se obtiene al suprimir en A la fila i-ésima y la columna j-ésima.

• Se llama adjunto Aij del elemento aij de la matriz A al número Aij = (–1)i+jMij.

El determinante de una matriz A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

es igual a la suma de los elementos

de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos:

det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + ai3 . Ai3 sería el desarrollo por la i-ésima fila det (A) = a1j . A1j + a2j . A2j + a3j . A3j sería el desarrollo por la j-ésima columna

Ejemplos: desarrollos de un determinante de orden 3

Desarrollo por primera columna de un determinante de orden 3

Desarrollo por tercera fila de un determinante de orden 3

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11.(-1)1+1

a22 a23

a32 a33 + a21

.(-1)2+1 a12 a13

a32 a33 + a31

.(-1)3+1 a12 a13

a22 a23

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a31.(-1)3+1

a12 a13

a22 a23 + a32

.(-1)3+2 a11 a13

a21 a23 + a33

.(-1)3+3 a11 a12

a21 a22

I. El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero.

II. El determinante de una matriz con una fila o columnas nulas es cero.

Cálculo inmediato de determinantes (I)

Ejemplos:


–1 4 –1

3 2 3 2 5 2

es igual a cero porque la tercera y

primera columnas son iguales.


2 4 –1

1 –2 3 3 –6 9

es igual a cero porque la tercera fila

es igual a la segunda multiplicada por 3.

Ejemplo:


–1 0 –1

3 0 3 2 0 2

es igual a cero porque la segunda columna

es nula.

III. El determinante de una matriz en que una fila o columna depende linealmente de otras filas o columnas es cero.

IV. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

Cálculo inmediato de determinantes (II)

Ejemplo:


2 4 0

1 3 –1 3 1 5

es igual a cero porque la tercera columna es

igual al doble de la primera menos la segunda.

Ejemplo:

El determinante de la matriz A =

–1 0 –1

0 2 3 0 0 2

es igual –4.

V. El determinante de la matriz unidad es 1

Cálculo inmediato de determinantes (III)

Ejemplos:

El determinante de la matriz I3 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

es igual a 1.

El determinante de la matriz I5 =

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

es igual a 1.

I. Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz por un número el determinante de la matriz se multiplica por ese número.

II. Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signos.

Propiedades: operaciones con filas y columnas (I)

Ejemplo:

2 3 4 20

= 2 3

4 . 1 4 . 5 = 4

2 3 1 5

Ejemplo:

1 – 4 2 5 = –

– 4 1 5 2

III. Al sumar a una fila o columna una combinación lineal de las otras filas o columnas, respectivamente, el valor del determinante no varía.

Propiedades: operaciones con filas y columnas (II)

Ejemplo: Si en A = 2 3 – 1 1 5 2 4 13 4

sumamos a la tercera fila la primera mult iplicada por – 1 más

la segunda multiplicada por – 2, obtenemos:

B = 2 3 – 1 1 5 2

4 + 2 (–1) + 1(–2) 13 + 3 (–1) + 5(–2) 4 + (–1) (–1) + 2(–2)

y se cumple que ambos determinantes son iguales: BA

I. El determinante del producto de dos matrices cuadradas y multiplicables es igual al producto de los determinantes de cada una de ellas.

II. El producto de los determinantes de dos matrices inversas es 1.

Operaciones con matrices (I)

Ejemplo:

Sean A =

2 0

1 –1 y B =

4 1

3 2 . Se tiene que |A| = –2 y |B| = 5.

Como A . B =

8 2

1 –1 y | A . B | = – 10 se observa que | A

. B | = |A|

. |B|

Ejemplo:

Sea A =

3 0

1 1 ; entonces A–1 =

1/3 0

–1/3 1

Como | A | = 3 y | A–1 | = 1/3, se observa que | A | . | A–1 | = 1

III. Al trasponer una matriz su determinante no varía.

VI. Si se multiplica una matriz cuadrada de orden n por un número el nuevo determinante es igual al anterior multiplicado por la potencia n-ésima del número.

Operaciones con matrices (II)

Ejemplo:

Sea A =

2 0 –2

1 1 3 3 0 2

. Entonces At =

2 1 3

0 1 0 –2 3 2

Se cumple que | A | = | At |

Ejemplo:

Se cumple que: 2

2 0 – 2

1 1 3 3 0 2

=

4 0 – 4

2 2 6 6 0 4

= 23

2 0 – 2

1 1 3 3 0 2

Operaciones con matrices (III)

V. Si A =

a11 a12 + b12 a13

a21 a22 + b22 a23

a31 a32 + b32 a33

se cumple que:

a11 a12 + b12 a13 a21 a22 + b22 a23

a31 a32 + b32 a33 =

a11 a12 a13 a21 a22 a23

a31 a32 a33 +

a11 b12 a13 a21 b22 a23

a31 b32 a33

Ejemplo:

Sea A =

2 3 –1

1 5 2 4 13 4

. Entonces se cumple que | A | = 7

Y se tiene que:

2 3 –1

1 5 2 4 13 4

=

1 + 1 3 –1

3 – 2 5 2 1 + 3 13 4

=

1 3 –1

3 5 2 1 13 4

+

1 3 –1

– 2 5 2 3 13 4

= (-70) + 77

• Las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes si y sólo si su determinante es cero.

• El rango de una matriz coincide con el orden del determinante de mayor orden distinto de cero.

Determinantes y rango de una matriz

Ejemplo:

Las columnas de la matriz A =

1 2 5 2 1 4 3 –1 1

son linealmente dependientes ya que | A | = 0.

La relación de dependencia es: la 3ª columna es igual a la 1ª más el doble de la 2ª.

• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 4.




• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden tres es distinto de cero rang(A) 3.

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden tres es distinto de cero rang(A) 3.

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden dos es distinto de cero rang(A) 2.

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden dos es distinto de cero rang(A) 2. En caso contrario rang(A) = 1

En caso contrario rang(A) = 1

En caso contrario rang(A) = 2En caso contrario rang(A) = 2

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden cuatro es distinto de cero rang(A) 4.• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de

orden cuatro es distinto de cero rang(A) 4.En caso contrario rang(A) = 3

En caso contrario rang(A) = 3

Y así hasta que no sea posible continuarY así hasta que no sea posible continuar

• El rango de la matriz nula es 0.• Si la matriz A no es nula rang(A) 1.• El rango de la matriz nula es 0.• Si la matriz A no es nula rang(A) 1.

Algoritmo para el cálculo del rango de una matriz

• La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ¹ 0.

• Dada la matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A y se representa adj (A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij.

Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (I)

Ejemplo: Dada la matriz (A) =

2 -2 2

2 1 0 3 -2 2

, su adjunta sería:

adj (A)=

1 0 –2 2 –

2 0 3 2

2 1 3 –2

––2 2 –2 2

2 2 3 2 –

2 –2 3 –2

–2 2 1 0 –

2 2 2 0

2 –2 2 1

=

2 –4 –7 0 –2 –2 –2 4 6

La matriz A tiene inversa ya que: det(A) = – 2 0

Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (II)

Se cumple que si | A | ≠ 0 entonces la matriz inversa A

–1 es igual a:

A–1

= 1

| A | adj(At) =

1| A | [adj(A)]

t

Ejemplo: Dada la matriz A =

2 –2 2

2 1 0 3 –2 2

, pretendemos encontrar su inversa:

Ya hemos visto que: adj (A) =

2 –4 –7

0 –2 –2 –2 4 6

Entonces: [adj (A)]t =

2 0 –2

–4 –2 4 –7 –2 6

Por lo tanto: A–1 = 1

| A | [adj (A)]t = 1 –2

2 0 –2

–4 –2 4 –7 –2 6

=

–1 0 1

2 1 –2 7/2 1 –3

• El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos.

• El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga 1 ó –1, para simplificar los cálculos.

• 2ª fila por (–3) + 1ª fila• 2ª fila por (–2) + 3ª fila• 2ª fila por (–3) + 4ª fila

desarrollo por 1ª columna

• 1ª fila por 1 + 3ª fila

desarrollo por 1ª columna

–18

Cálculo de determinantes por el método de Gaus

Ejemplo:

3 5 – 2 6 1 2 – 1 1 2 4 1 5 3 7 5 3

=

0 – 1 1 3 1 2 –1 1 0 0 3 3 0 1 8 0

= –1 . – 1 1 3 0 3 3 1 8 0

= –1 . – 1 1 3 0 3 3 0 9 3

=

= (–1) . (–1) 3 3 9 3 =

matrices y determinantes

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