ESTUDIOS GENERALESDEPARTAMENTO DE MATEMATICACICLO PRE2016 - I

TEMAESCUELA PROFESIONAL

MATRICESINGENIERA: ELECTRNICA - SISTEMAS

FECHA15/02/2016TURNOMAULA504SESIN04

MATRICESCONCEPTO Y CLASIFICACIN Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser nmeros ordenados en filas y columnas.Se llamamatrizde orden mn" a un conjunto rectangular de elementosaijdispuestos en mfilas y enncolumnas. El orden de una matriz tambin se denominadimensinotamao, siendo m yn nmeros naturales.Las matrices se denotan con letras maysculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras minsculas y subndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genrico que ocupe la filai y la columnaj se escribeaij. Si el elemento genrico aparece entre parntesis tambin representa a toda la matriz: A = (aij)De forma abreviada se escribe Orden de una matriz : Indica el nmero de filas y el nmero de columnas que tiene.m: nmero de filas n: nmero de columnasElementos de una matriz : Indica la i-sima fila y la j-sima columnai: posicin de la filaj: posicin de la columnaEl vector fila se le llama Al vector Columna se le llama .Ejemplo: , ,

Introduccin:El primero que emple el trmino matriz fue el ingls James Joseph Silvestre (1814-1897) en el ao 1850. Sin embargo, hace ms de dos mil aos los matemticos chinos haban descubierto ya un mtodo de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales equivalente al mtodo de Gauss y por lo tanto, empleaban tablas con nmeros. Prueba de ello es que el mtodo aparece en Los Nueve Captulos, la obra matemtica china ms importante de la antigedad.

Arthur Cayley (1821-1895) es uno de los matemticos ms prolficos de la historia siendo uno de los primeros en estudiar las matrices de forma sistemtica. En 1858 public unas Memorias sobre la teora de matrices en la que daba la definicin de matriz, suma de matrices, de producto de un nmero real por una matriz, de producto de matrices y de inversa de una matriz. Cayley afirma que obtuvo la idea de matriz a travs de la de determinante y tambin como una forma conveniente de expresar transformaciones geomtricas.

El concepto de matriz alcanza mltiples aplicaciones tanto en la representacin y manipulacin de datos como en el clculo numrico y simblico que se deriva de los modelos matemticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenieras, la economa, la fsica, la estadstica y las diferentes ramas de las matemticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el clculo numrico y, por supuesto, el lgebra.

RESOLVER Y HALLAR LA RESPUESTA CORRECTA:Un carpintero quiere construir una escalera de tijera, cuyos brazos una vez abiertos formen un ngulo de 60. Para que la altura de la escalera, estando abierta sea de 1.80 m. Qu longitud debe tener cada brazo?

Piensa en grande y tus hechos crecern, piensa en pequeo y quedars atrs, piensa que puedes y podrs, todo est en el estado mental.

Arthur CayleyJoseph Silvestre

Matriz triangulara) La matriz cuadrada es triangular superior si

b) La matriz cuadrada es triangular inferior si

Igualdad de Matrices.- Las matrices son iguales si, y slo si, .Ejemplo: Sean las matrices y ; Hallar los valores de x e y de modo que .ResolucinDeterminemos el valor de la matriz A

Luego, si:

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos:

PropiedadesSean A, B, C matrices del mismo orden (elementos de ) se cumplen las siguientes propiedades:P1.

Ejemplo: Si y cules son los valores de w, z, y y t para que

Matrices especiales

Matriz cuadrada.- si (nmero de filas igual al nmero de columnas), o diremos que o es una matriz cuadrada. Ejemplo: Matriz rectangular.- La matriz de orden de , con recibe el nombre de matriz rectangular .Ejemplo: Matriz cero.- , es nula si, y slo si Tambin llamada matriz nula.

Ejemplo:

Matriz diagonal.- La matriz cuadrada es diagonal si

Por lo menos algn es diferente de cero.Ejemplo:

Matriz de identidad.- La matriz cuadrada es la matriz identidad si, y slo si

Ejemplo

Ejemplo:

Matriz Transpuesta .- Sean las matrices Diremos que B es la transpuesta de A, si y slo si ,y denotamos. Es decir:

es la transpuesta de

Ejemplo:

Sea hallar la transpuesta.

Propiedades:1.

1.

1.

si es un escalar.1.

Matriz Simtrica.- Es aquella matriz cuyos elementos que equidistan de la diagonal principal son iguales, es decir, aquella matriz que es igual a su transpuesta. Es decir, es una matriz simtrica si y slo si .Ejemplo:

Pruebe si es simtrica.

Tenemos que como decimos que es simtrica.

Matrices Opuestos.- Son aquellas matrices cuyos elementos correspondientes son opuestos, es decir, sean y son opuestas si y slo si .

Ejemplo: y son dos matrices opuestas.

Traza de una matriz.- Es la sumatoria de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada, es decir, para Ejemplos:1.

Hallar la traza de la matriz . 1.

Hallar la traza de la matriz . 1.

Hallar la traza de la matriz

Matriz Escalar.- Es aquella matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a una constante, es decir, siendo un escalar cualquiera.Ejemplos:

Matriz Escalonada.-Es aquella matriz cuyos elementos por debajo de los elementos diagonales son iguales a cero. Es decir, sea una matriz cualquiera decimos que es escalonada si y slo si,

Matriz no singular.- Una matriz cuadrada de orden n es no singular Ejemplo:Las matrices , Existencia de la inversa de una matriz cuadrada.- Una matriz cuadrada tiene inversa si, y slo si Matriz inversa.- Sea una matriz cuadrada . Se dice que es invertible o no singular si existe una matriz de tal que La matriz se conoce como inversa de y se denota con Propiedades:1. 2. 3. 4. 5.

6.

Teorema:

Si el determinante de A no es cero el inverso multiplicativo de A es:

Ejemplo: Encontrar

Solucin

1. encuentro el determinante de A:2. calculo la adj A Cofactores de A

3. con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo que es la .

Matriz Antisimtrica.- Es aquella matriz cuyos elementos de la diagonal principal es igual a cero y los elementos que equidistan de ella son opuestos, es decir, aquella matriz que es igual a la opuesta de su transpuesta. Es decir, es antisimtrica si y slo si .Ejemplo:

Pruebe si es antisimtrica.

Tenemos que luego por tanto es antisimtrica.

Matriz Ortogonal.- Decimos que una matriz es ortogonal, si . Podemos ver que una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa Ejemplo:

La matriz es ortogonal si:

Matriz Normal.- Una matriz es normal si conmuta con su transpuesta, esto es, si . Observe que si es simtrica, antisimtrica u ortogonal, es necesariamente normal.Ejemplo:

Sea . Entonces:

puesto que , la matriz es normal.

Matriz Nilpotente.- es nilpotente, si para algn matriz cuadrada nula.

Ejemplo:

Demostrar que es una matriz nilpotente de orden 3.Solucin:Para hacer dicha demostracin es necesario calcular A3, por lo que tenemos

Como vemos que A3=0, entonces A es nilpotente de orden 3.

Matriz involutiva.- A es involutiva, si y slo si,

Ejemplo:

Si , demostrar de A2=I.Solucin

Es necesario calcular A2=I, por lo que tenemos:

Como vemos que A2=I., entonces A es una matriz involutiva.Matriz hermitiana.- Es unamatriz cuadradade elementoscomplejosque tiene la caracterstica de ser igual a su propiatraspuesta conjugada Sea , A es hermitiana si, y slo si,

4. aplicamos el teorema

Comprobamos la respuesta:

Matriz Idempotente.- Una matriz cuadrada es idempotente si, y slo si, Ejemplo:

Si a , Demostrar que A es idempotente.Solucin:

Como vemos que se cumple entonces A es una matriz idempotente.

Ejemplo:

, demostrar que A es una matriz hermitianaSolucin

,

Como se cumple que , por lo tanto A es una matriz hermitiana.

OPERACIONES DE MATRICES

I. Suma de matrices.- para dos matrices, A y B, de la misma dimensin, la suma de ambas, es la matriz de la misma dimensin,dada por la suma de sus trminos correlativos:

Ejemplo: Sean

y , entonces su suma ser .

Obs. No podemos sumar matrices que no tengan la misma dimensin.

Propiedades de la suma de matrices:Si son matrices del mismo orden don dimensin de , se cumplen las siguientes propiedades:1. conmutativa2. asociativa3. existencia de la matriz nula4. existencia del opuestoDonde es opuesto de

II. Producto de un escalar por un matriz.- o producto por un nmero real, k. Para multiplicar por un nmero una matriz de cualquier dimensin, de dimensin , se multiplican todos y cada uno de los elementos de la matriz por dicho nmero.Ejemplos:

Propiedades del producto de un escalar por una matriz.- Si son escalares y con dimensin de Se cumplen:1. 2. 3.

III. Multiplicacin de matrices.- Para dos matrices , de dimensin , y , de dimensin , el producto es la matriz de dimensin dada por , es decir, cada elemento se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna j de la segunda matriz y sumando los resultados obtenidos.Ejemplo:

A= B=

AB=

BA=

Obs. Muy importante, para que dos matrices se puedan multiplicar entre si la primera ha de tener el mismo nmero de columnas que filas tiene la segunda.

Propiedades de la multiplicacin de matrices:1. 2. siempre que tenga sentido: siempre que tenga sentido: 3. 4. 5.

Ejercicios

01. Construir la matriz:a) A = ; i = 1, 2, 3; si

b) tal que

c) M, cuadrada de orden tres tal que

02. Hallar los valores de las incgnitas y si:

03. a) Para las matrices Calcular:

b) Sean: A = B =

C = Calcular, si es posible:

04. Sean y . Hallar los valores de x para los cuales se verifica la siguiente ecuacin A2 3A = B.

05. Dadas las matrices

a) Calcula

b) Calcula

06. Halla el valor de cada incgnita para que las dos matrices sean iguales.

07. Indicar explcitamente la matriz:

08. Si , calcular donde:

,

09. Mostrar el equivalente de: , si la siguiente matriz es nula:

10. Mostrar el mayor elemento que posee la matriz

y

11. Si y despejar la matriz X de: Dar como respuesta los elementos de la diagonal principal.

12. Qu relacin satisfacen m y n si A y B son matrices conmutables:

;

13. Dada la matriz: , encontrar la matriz

14. Calcular m si:

15. Dadas las matrices:

; Calcular la Traz(AB)

16. Una fbrica produce dos modelos de acumuladores de calor, G y P, en tres terminaciones: normal, lujo y especial. Del modelo G, produce 500 unidades normales,300 unidades de lujo y 200 especiales. Del modelo P, produce 400 unidades normales, 200 unidades de lujo y 100 especiales. La terminacin normal necesita 20 horas de fabricacin de piezas y 1,5 horas de montaje. La terminacin de lujo necesita 25 horas de fabricacin y2 horas de montaje, y la terminacin especial necesita 30 horas de fabricacin y 2,5 horas de montaje.a) Representa en dos matrices la informacin dada.b) Escribe una matriz que exprese las horas de fabricacin y de montaje empleadas para cada uno de los modelos.c) Si cada hora de fabricacin se paga a 15 soles y cada hora de montaje a 18 soles, escribe una matriz que exprese el costo total de los acumuladores G y P.

17. Sean las matrices:

y Si A=B calcular: la traza de la matriz A+3C.

18. Escribir explcitamente la matriz A. A = (aij)3x2 / aij = i + 2j

19. Si: = . Halle: (x + 2y) (z + w)

20. Si: A = , B = y A = B. Calcular el valor de: E = 4x + 2y z

21. Sean las matrices .

a) Encuentra el valor o valores de x que hacen cierta la igualdad

b) Determina x para que

22. Calcular la matriz inversa de: (aplicando la matriz adjunta)

23. Dadas las matrices: A = ;

B = ; C = ,

24. Una empresa naviera tiene tres lneas: A, B y C. El lunes salieron 6 barcos en la lnea A, 5 en la B y 7 en la C. El martes salieron 2 barcos de la lnea A, 3 de la B y 1 de la C. El jueves salieron 5 barcos de la lnea A, 3 de la B y 7 de la C. Represntalo en forma de matriz.

25. Una fbrica produce dos modelos de lavadoras: A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminacin N, 200 unidades en la L y 50 en la S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminacin N, 100 unidades en la L y 30 en la S. La terminacin N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracin. La terminacin L lleva 30 horas de taller y 1,2 horas de administracin. La terminacin S lleva 33 horas de taller y 1,3 horas de administracin. Calculemos, utilizando clculo matricial, una matriz que represente las horas de taller y administracin para cada uno de los modelos.26. En una pastelera elaboran tres tipos de postres: utilizando leche, huevos y azcar (entre otros ingredientes) en las cantidades que se indican:A: 3/4 de litro de leche, 100 g de azcar y 4 huevos.B: 3/4 de litro de leche, 112 g de azcar y 7 huevos.C: 1 litro de leche y 200 g de azcar.El precio al que se compran cada uno de los tres ingredientes es de 0,6 euros el litro de leche, 1 euro el kg de azcar, y 1,2 euros la docena de huevos.Obtn matricialmente el gasto que supone cada uno de estos tres postres (teniendo en cuenta solamente los tres ingredientes indicados).

27. Halla la matriz X 2 + Y 2, donde X e Y son dos matrices cuadradas de orden dos, verificando:

28. Una compaa tiene las listas mensuales de ventas de sus productos expresados como matrices cuyas filas, en orden, representan el nmero de modelos estndar, de lujo y superlujo que se vendieron y las columnas, tambin en orden, indican el nmero de unidades rojas, blancas amarillas y azules que se vendieron. Las matrices para enero y febrero son:

a) Cuntos modelos blancos de superlujo se vendieron en enero?b) En qu mes se vendieron ms modelos estndar amarillos?c) De qu modelo y color se vendi el mismo nmero de unidades ambos meses?d) Cuntos artculos se vendieron en enero?

29. Una empresa tiene cuatro panaderas: A, B, C, D y en cada una de ellas produce tres tipos de pan: blanco, de centeno e integral de trigo. El nmero de kilogramos de pan producidos diariamente en cada una de las panaderas se muestra en la siguiente tabla:

El beneficio es de 0.70$ por cada kilogramo de pan blanco, 0.45$ por cada kilogramo de pan de centeno y 0.50$ por cada kilogramo de pan integral. Encontrar la ganancia que obtiene la empresa en cada una de las panaderas, expresndolo en forma matricial.

30. Una empresa tiene tres factoras, F1, F2, F3, en las que se fabrican diariamente tres tipos diferentes de productos, A, B y C, como se indica a continuacin:F1: 200 unidades de A, 40 de B y 30 de C.F2: 20 unidades de A, 100 de B y 200 de C.F3: 80 unidades de A, 50 de B y 40 de C.Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 5 euros; por cada unidad de B, se obtienen 20 euros de beneficio; y por cada una de C, 30 euros.Sabiendo que la empresa vende toda la produccin diaria, obtn matricialmente el beneficio diario obtenido con cada una de las tres factoras.31. Para la matriz , verificar que

32. Es posible usar la multiplicacin de matrices para codificar y decodificar mensajes secretos.

Primero, las letras del alfabeto se convierten en nmero; . Entonces los nmeros se convierten en las entradas de una matriz cuadrada M. Para completar el cdigo, M se multiplica por alguna matriz K clave no singular que tenga el mismo orden que M. Por ejemplo, HELP 8 5 12 17 = M

Si K = entonces K.M = = C.La matriz C contiene el mensaje HELP codificado.a) Cmo puede decodificarse C para obtener la matriz M?

b) Si K = y C = Decodificar C y determinar el mensaje.

33. Una fbrica produce dos modelos de coches A y B, en tres acabados: GX, GD y Ti. Produce, al mes, del modelo A: 200, 100 y 50 unidades en los acabados GX, GD y Ti, respectivamente. Produce del modelo B: 150, 50 y 10 unidades de anlogos acabados. El acabado GX lleva 25 horas de taller de chapa y 10 horas de montaje. El acabado GD lleva 28 horas de taller de chapa y 12 de montaje y el acabado Ti lleva 28 y 15 horas de chapa y montaje, respectivamente.(a) Elabora dos matrices que contengan la informacin dada.(b) Calcula las horas de taller de chapa y de montaje que son necesarias para cada uno de los modelos.

34.